41276

Дискретно-детерминированные модели (F-схемы). Основные соотношения. Возможные приложения F-схемы

Лекция

Математика и математический анализ

Система представляется в виде автомата как некоторого устройства с входными и выходными сигналами перерабатывающего дискретную информацию и меняющего свои внутренние состояния лишь в допустимые моменты времени. В каждый момент t = 0 1 2 дискретного времени Fавтомат находится в определенном состоянии zt из множества Z состояний автомата причем в начальный момент времени t = 0 он всегда находится в начальном состоянии z0 = z0. Другими словами если на вход конечного автомата установленного в начальное состояние z0 подавать в...

Русский

2013-10-23

170.5 KB

25 чел.

Лекция 6. Дискретно-детерминированные модели (F-схемы). Основные соотношения. Возможные приложения F-схемы

2.3. Дискретно-детерминированные модели (F-схемы)

Основные соотношения

Рассмотрим особенности дискретно-детерминированного подхода на примере использования в качестве математического аппарата теории автоматов. Система представляется в виде автомата как некоторого устройства с входными  и выходными сигналами, перерабатывающего дискретную информацию и меняющего свои внутренние состояния лишь в допустимые моменты времени. Конечным автоматом называется автомат, у которого множества внутренних состояний, входных и выходных сигналов являются конечными множествами.

Абстрактно конечный автомат (англ. finite automata) можно представить как математическую схему (F-схему), характеризующуюся шестью элементами: конечным множеством Х входных сигналов (входным алфавитом); конечным множеством Y выходных сигналов (выходным алфавитом); конечным множеством Z внутренних состояний (внутренним алфавитом или алфавитом состояний); начальным состоянием z0, z0  Z; функцией переходов (z, x); функцией выходов (z, x). Автомат, задаваемый F-схемой: F = Z, X, Y, , , z0, функционирует в дискретном времени, моментами которого являются такты, каждому из которых соответствуют постоянные значения входного и выходного сигналов и внутренние состояния. Обозначим состояние, а также входной и выходной сигналы, соответствующие t-му такту при t = 0, 1, 2, …, через z(t), x(t), y(t). При этом по условию z(0) = z0, а z(t)Z, x(t)X, y(t)Y.

Абстрактный конечный автомат имеет один входной и один выходной каналы. В каждый момент t = 0, 1, 2, … дискретного времени F-автомат находится в определенном состоянии z(t) из множества Z состояний автомата, причем в начальный момент времени t = 0 он всегда находится в начальном состоянии z(0) = z0. В момент t, будучи в состоянии z(t), автомат способен воспринять на входном канале сигнал x(t)X и выдать на выходном канале сигнал y(t) = [z(t), x(t)], переходя в состояние z(t+1) = [z(t), x(t)], z(t) Z, y(t)Y. Абстрактный конечный автомат реализует некоторое отображение множества слов входного алфавита X на множество слов выходного
алфавита
Y. Другими словами, если на вход конечного автомата, установленного в начальное состояние z0, подавать в некоторой последовательности буквы входного алфавита x(0), x(1), x(2), …, т.е. входное слово, то на выходе автомата будут последовательно появляться буквы выходного алфавита y(0), y(1), y(2), …, образуя выходное слово.

Таким образом, работа конечного автомата происходит по следующей схеме: в каждом t-м такте на вход автомата, находящегося в состоянии z(t), подается некоторый сигнал x(t), на который он реагирует переходом (t+1)-го такта в новое состояние z(t+1) и выдачей некоторого выходного сигнала. Сказанное выше можно описать следующими уравнениями: для F-автомата первого рода, называемого также автоматом Мили,

z(t+1) = [z(t), x(t)], t = 0, 1, 2, …;    (2.15)

y(t) = [z(t), x(t)], t = 0, 1, 2, …;    (2.16)

для F-автомата второго рода

z(t+1) = [z(t), x(t)], t = 0, 1, 2, …;    (2.17)

y(t) = [z(t), x(t1)], t = 1, 2, 3,….   (2.18)

Автомат второго рода, для которого

y(t) = [z(t)], t = 0, 1, 2, …,    (2.19)

т.е. функция выхода не зависит от входной переменной x(t), называется автоматом Мура.

Таким образом, уравнения (2.15)-(2.19), полностью задающие
F-автомат, являются частным случаем уравнений (2.3) и (2.4), когда
система
S – детерминированная и на её единственный вход поступает дискретный сигнал X.

По числу состояний различают конечные автоматы с памятью и без памяти. Автоматы с памятью имеют более одного состояния, а автоматы без памяти (комбинационные или логические схемы) обладают лишь одним состоянием. При этом, согласно (2.16), работа комбинационной схемы заключается в том, что она ставит в соответствие каждому входному сигналу x(t) определенный выходной сигнал y(t), т.е. реализует логическую функцию вида

y(t) = [ x(t)], t = 0, 1, 2, … .

Эта функция называется булевой, если алфавит X и Y, которым принадлежат значения сигналов x и y, состоят из двух букв.

По характеру отсчета дискретного времени конечные автоматы делятся на синхронные и асинхронные. В синхронных F-автоматах моменты времени, в которые автомат «считывает» входные сигналы, определяются принудительно синхронизирующими сигналами. После очередного синхронизирующего сигнала с учетом «считанного» и в соответствии с уравнениями (2.15)-(2.19) происходит переход в новое состояние и выдача сигнала на выходе, после чего автомат может воспринимать следующее значение входного сигнала. Таким образом, реакция автомата на каждое значение входного сигнала заканчивается за один такт, длительность которого определяется интервалом между соседними синхронизирующими сигналами. Асинхронный F-автомат считывает входной сигнал непрерывно и поэтому, реагируя на достаточно длинный входной сигнал постоянной величины x, он может, как следует из (2.15)-(2.19), несколько раз изменять состояние, выдавая соответствующее число выходных сигналов, пока не перейдет в устойчивое, которое уже не может быть изменено данным входным сигналом.

Возможные приложения F-схемы.

Чтобы задать конечный F-автомат, необходимо описать все элементы множества F = <Z, X, Y, , , z0>, т.е. входной, внутренний и выходной алфавиты, а также функции переходов и выходов, причем среди множества состояний необходимо выделить состояние z0, в котором автомат находится в состоянии t = 0. Существуют несколько способов задания работы F-автоматов, но наиболее часто используются табличный, графический и матричный.

В табличном способе задаются таблицы переходов и выходов, строки которых соответствуют входным сигналам автомата, а столбцы – его состояниям. Первый слева столбец соответствует начальному состоянию z0. На пересечении i-й строки и k-го столбца таблицы переходов помещается соответствующее значение (zk, xi) функции переходов, а в таблице выходов – соответствующее значение (zk, xi) функции выходов. Для F-автомата Мура обе таблицы можно совместить.

Описание работы F-автомата Мили таблицами переходов и выходов иллюстрируется табл. 2.1, а описание F-автомата Мура – таблицей переходов (табл. 2.2).

Таблица 2.1

Xi

zk

z0

z1

zk

Переходы

x1

(z0, x1)

(z1, x1)

(zk, x1)

x2

(z0, x2)

(z1, x2)

(zk, x2)

xi

(z0, xi)

(z1,  xi)

(zk, xi)

Выходы

x1

(z0, x1)

(z1, x1)

(zk, x1)

x2

(z0, x2)

(z1, x2 )

(zk, x2)

xi

(z0, xi)

(z1, xi)

(zk, xi)

Таблица 2.2

xi

(zk)

(z0)

(z1)

(zk)

z0

z1

zk

x1

(z0, x1)

(z1, x1)

(zk, x1)

x2

(z0, x2)

(z1, x2)

(zk, x2)

xi

(z0, xi)

(z1, xi)

(zk, xi)

Примеры табличного способа задания F-автомата Мили F1 приведены в табл. 2.3, а для F-автомата Мура F2 – в табл. 2.4.

Таблица 2.3

xi

zk

z0

z1

z2

Переходы

x1

z2

z0

z0

x2

z0

z2

z1

Выходы

x1

y1

y1

y2

x2

y1

y2

y1

Таблица 2.4

Y

xi

y1

y1

y3

y2

y3

z0

z1

z2

z3

z4

x1

z1

z4

z4

z2

z2

x2

z3

z1

z1

z0

z0

При графическом способе задания конечного автомата используется понятие направленного графа. Граф автомата представляет собой набор вершин, соответствующих различным состояниям автомата и соединяющих вершины дуг графа, соответствующих тем или иным переходам автомата. Если входной сигнал xk вызывает переход из состояния zi в состояние zj, то на графе автомата дуга, соединяющая вершину zi c вершиной zj, обозначается xk. Для того чтобы задать функцию выходов, дуги графа необходимо отметить соответствующими выходными сигналами. Для автоматов Мили эта разметка производится так: если входной сигнал xk действует на состояние zi, то получается дуга, исходящая из zi и помеченная xk; эту дугу дополнительно отмечают выходным сигналом y = (zi, xk). Для автомата Мура аналогичная разметка графа такова: если входной сигнал xk, действуя на некоторое состояние автомата, вызывает переход в состояние zj, то дугу, направленную в zi и помеченную xk, дополнительно отмечают выходным
сигналом
y = (zj, xk).

На рис. 2.4. а, б приведены заданные ранее таблицами F-автоматы Мили F1 и Мура F2 соответственно.    

a

б

Рис. 2.4. Графы автоматов а – Мили  и б – Мура

При матричном задании конечного автомата матрица соединений автомата квадратная С=сij, строки соответствуют исходным состояниям, а столбцы – состояния перехода. Элемент сij = xk/ys, стоящий на пересечении
i-й строки и j-го столбца, в случае автомата Мили соответствует входному сигналу xk, вызывающему переход из состояния zi в состояние zj, и выходному сигналу ys, выдаваемому при этом переходе. Для автомата Мили F1, рассмотренного выше, матрица соединений имеет вид:

x2 / y1     –   x1 / y1

C1=     x1 / y1     – x2 / y2    .

x1 / y2  x2 /y1   

Если переход из состояния zi в состояние zj происходит под действием нескольких сигналов, элемент матрицы cij представляет собой множество пар «вход-выход» для этого перехода, соединенных знаком дизъюнкции.

Для F-автомата Мура элемент сij равен множеству входных сигналов на переходе (zi,zj), а выход описывается вектором выходов

(z0)

(z1)

……

=     (zk)     ,

……

(zK)

i-я компонента которого – выходной сигнал, отмечающий состояние zi.

Для рассмотренного выше F-автомата Мура F2 матрицы соединений и вектор выходов имеют вид:

 x1   x2     у1

 x2   x1    у1

C2=       x2    x1     ;     =   у3

x2  x1      у2

x2  x1      у3

Для детерминированных автоматов выполняется условие однозначности переходов: автомат, находящийся в некотором состоянии, под действием любого входного сигнала не может перейти более чем в одно состояние. Применительно к графическому способу задания F-автомата это означает, что в графе автомата из любой вершины не могут выходить два и более ребра,  отмеченные одним и тем же входным сигналом. А в матрице соединений автомата С в каждой строке любой входной сигнал не должен встречаться более одного раза.

Для F-автомата состояние zk называется устойчивым, если для любого входа xiX, для которого (zk, xi) = zk , имеет место (zk,xi) = уk. F-автомат называется асинхронным, если каждое его состояние zkZ устойчиво.

Таким образом, понятие в дискретно-детерминированном подходе к исследованию на моделях свойств объектов является математической абстракцией, удобной для описания широкого класса процессов функционирования реальных объектов в автоматизированных системах управления. С помощью F-автомата можно описать объекты, для которых характерно наличие дискретных состояний, и дискретный характер работы во времени – это элементы и узлы ЭВМ, устройства контроля, регулирования и управления, системы временной и пространственной коммутации в технике обмена информацией и т.д.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Советов Б.Я. Моделирование систем : учеб. для вузов / Б.Я. Советов, С.А. Яковлев. М. : Высш. шк., 2001. 343 с.

2. Советов Б.Я. Моделирование систем : учеб. для вузов / Б.Я. Советов, С.А. Яковлев. 2-е изд. М.: Высшая школа, 1998. 319 с.

3. Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем: учеб. для вузов / В.П. Тарасик. М.: Наука, 1997. 600 с.

4. Введение в математическое моделирование: учеб. пособие для вузов/ под ред. П.В.Тарасова. М.: Интермет Инжиниринг, 2000. 200 с.

5. Ивченко Г.И. Математическая статистика: учебное пособие для втузов / Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев. М.: Высш. шк., 1984. 248 с.

6. Альянах И.Н. Моделирование вычислительных систем / И.Н. Альянах. Л.: Машиностроение, 1988. 233 с.

7. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем – искусство и наука / Р. Шеннон. М.: Мир, 1978. 308 с.

6

 у1

 

           х1

у3            у1

  х2       х2

         х1

   

        х2            х2

     х1 х1  

      х1           х2

у2   у3

z0

z3

z2

z2

z1

z0

   х2           у1

    у1                   x1

 у2

x1   x1         у1

         x2          y2

 y1         x2

z4

z1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

59031. Позакласна робота з математики. Логічні задачі 48 KB
  Завжди робіть таблицю, у ній ви зможете враховувати всі ймовірні варіанти. Уважно читайте кожне твердження. По-справжньому уважно. Звичайно кожне твердження містить щось таке, що дозволить вам спростувати хоча б один із варіантів.
59032. Матеріали до вивчення творів Ернеста Хемінгуея (1899-1961). Людина не для того створена, щоб терпіти поразки 40.5 KB
  Старий рибалка Сантьяго спіймав велику рибину але додому привіз тільки хребет бо рибу зїли акули. Чому хлопець пішов від Сантьяго Звелів тато. Який звичай був у Сантьяго Базікати в морі самим з собою. Яка єдина зброя є у Сантьяго Воля і розум.
59033. М. Метерлінк. Синій птах - лірична оповідь про пошуки щастя 38 KB
  Мета: проаналізувати філософські роздуми автора про велич навколишнього світу в якому живе людина про бажання пізнати таємниці речей і щастя постановку ним питань загальнолюдської моралі; донести учням гуманізм письменника...
59034. Мій рідний край у думах та піснях 60 KB
  Українська мова дуже багата на казки та пісні але найхарактернішими для творчості цього народу є дума епічна поема. І над чим він тяжко в пісні плаче Що він знає а не знаєм ми. Що ж можуть розповісти дослідникові Одещини українські народні пісні та думки Багато аби ми хотіли в ті пісні вслухатися або вчитатися.
59035. Містер початкових класів. Струнко дуть солдати 29.5 KB
  Привітання учасників 10 балів 2.Кожен отримує ту кількість балів скільки разів відіжметься 4. Найбільша кількість балів 5. Перший хто склав отримує 8 балів.
59036. Сценарій виховного заходу. Масляна 51 KB
  Весна Вбігають блазні. Допоможе нам у цьому Масляна. Ведуча: Масляна Масниця Колодій одне з календарно-побутових свят яке повязане із давнім народним звичаєм проводами зими і зустріччю весни. Пісня Масляна Муз.
59037. Матеріальна культура українців 53 KB
  На сьогоднішній урок дослідницькі групи готували повідомлення у вигляді тематичних виписок за темою Матеріальна культура українців. Робота дослідницьких груп Прошу представника першої групи Господарі доповісти.
59038. Мене війна веде все далі 52.5 KB
  Перший юнак. Другий юнак Сніги Не сніги а ріллі Наорані смертю за мить. Третій юнак І руки його обгорілі Не хочуть такого кінця І зуби аж сяють білі На спаленій масці лиця Бо то ж недомріяна мрія То ж вірність його комусь Напис на танку біліє: Жди я вернусь На фоні мелодії пісні...
59039. Методична розробка заходу. Конституція України у моєму житті 45 KB
  Вихователь. Ось уже 9 років ми живемо з вами в незалежній державі, яка знаходиться в Європі, кожної весни цвіте калиновим цвітом і молодіє вербовими гілками, улітку співає соловїним голосом і шелестить достиглим пшеничним колоссям. Кожного дня вона все впевненіше стає на ноги, усе гучніше звучить її голос.