41277

Дискретно-стохастические модели (Р-схемы). Основные соотношения. Возможные приложения P-схемы. Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы). Основные соотношения

Лекция

Математика и математический анализ

Непрерывностохастические модели Qсхемы Основные соотношения Особенности непрерывностохастического подхода рассмотрим на примере типовых математических Qсхем – систем массового обслуживания англ. В качестве процесса обслуживания могут быть представлены различные по своей физической природе процессы функционирования экономических производственных технических и других систем например: потоки поставок продукции некоторому предприятию потоки деталей и комплектующих изделий на сборочном конвейере цеха заявки на обработку информации ЭВМ...

Русский

2013-10-23

159.5 KB

43 чел.

Лекция 7. Дискретно-стохастические модели (Р-схемы). Основные соотношения. Возможные приложения P-схемы. Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы). Основные соотношения.

2.4. Дискретно-стохастические модели (Р-схемы)

Основные соотношения

Рассмотрим особенности построения математических схем при дискретно-стохастическом подходе на вероятностных (стохастических) автоматах. В общем виде вероятностный автомат Р-схемы (англ. probabijistic automat) можно определить как дискретный потактный преобразователь информации с памятью, функционирование которого в каждом такте зависит только от состояния памяти в нем, и может быть описано статистически.

Введем математическое понятие Р-автомата, используя понятия, введенные для F-автомата. Рассмотрим множество G, элементами которого являются всевозможные пары (xi, zs), где xi и zs – элементы входного подмножества Х и подмножества состояний Z соответственно. Если существуют две такие функции и , что с их помощью осуществляются отображения GZ и GY, то говорят, что F = <Z, X, Y, , > определяет автомат детерминированного типа.

Рассмотрим более общую математическую схему. Пусть
Ф – множество всевозможных пар вида (
zk, yi), где уi – элемент выходного подмножества Y. Потребуем, чтобы любой элемент множества G индуцировал на множестве Ф некоторый закон распределения следующего вида:

Элементы из Ф

(z1, y2)

(z1, y2)    

. . .

(zk, yJ-1)

(zK, yJ)

(xi, zs)

b11

b12

. . .

bK(J-1)

bKJ

При этом bkj = 1, где bkj – вероятности перехода автомата в состояние zk и появления на выходе сигнала yj , если он был в состоянии zs и на его вход в этот момент времени поступил сигнал xi. Число таких распределений, представленных в виде таблиц, равно числу элементов множества G. Обозначим множество этих таблиц через В. Тогда четверка элементов P = <Z, X, Y, B> называется вероятностным автоматом (Р-автоматом).

Возможные приложения P-схемы

Пусть элементы множества G индуцируют некоторые законы распределения на подмножествах Y и Z, что можно представить соответственно в виде:

Элементы из Y

y1

y2

. . .

yJ-1

yJ

(xi, zs)

q1

q2

. . .

qJ-1

qJ

Элементы из Z

z1

z2

. . .

zK-1

zK

(xi, zs)

z1

z2

zK-1

zK

При этом zk = 1 и qj = 1, где zk  и qj  вероятности  перехода
Р-автомата в состояние zk и появления выходного сигнала yk при условии, что
Р-автомат находился в состоянии zs и на его вход поступил входной сигнал xi.

Если для всех k и j имеет место соотношение qj zk = bkj, то такой
Р-автомат называется вероятностным автоматом Мили. Это требование означает выполнение условия независимости распределений для нового состояния Р-автомата и его выходного сигнала.

Пусть теперь определение выходного сигнала Р-автомата зависит лишь от того состояния, в котором находится автомат в данном такте работы. Другими словами, пусть каждый элемент выходного подмножества Y индуцирует распределение вероятностей выходов, имеющих следующий вид:

Элементы из Y

y1

y2

. . .

yK-1 

yK 

zk

s1

s2

. . .

sI-1

sI

Здесь si = 1, где si – вероятность появления выходного сигнала yi при условии, что Р-автомат находился в состоянии zk.

Если  для  всех  k  и  i имеет  место  соотношение   zk si = bki ,то такой
Р-автомат называется вероятностным автоматом Мура. Понятие
Р-автоматов Мили и Мура введено по аналогии с детерминированным
F-автоматом. Частным случаем Р-автомата, задаваемого как P=<Z, X, Y, B>, являются автоматы, у которых либо переход в новое состояние, либо выходной сигнал определяются детерминировано. Если выходной сигнал
Р-автомата определяется детерминировано, то такой автомат называется
Y-детерминированным вероятностным автоматом. Аналогично,
Z-детерминированным вероятностным автоматом называется Р-автомат, у которого выбор нового состояния является детерминированным.

Пример 2.1. Пусть задан Y-детерминированный P-автомат

   

На рис. 2.5 показан ориентированный граф переходов этого автомата. Вершины графа сопоставляются состояниям автомата, а дуги – возможными переходами из одного состояния в другое. Дуги имеют веса, соответствующие вероятностям перехода pij, а около вершин графа пишутся значения выходных сигналов, индуцируемых этими состояниями. Требуется оценить суммарные финальные вероятности пребывания этого P-автомата в состояниях z2 и z3.

Рис. 2.5. Граф вероятностного автомата

При использовании аналитического подхода можно записать известные соотношения из теории марковских цепей и получить систему уравнений для определения финальных вероятностей. При этом начальное состояние z0 можно не учитывать, так как начальное распределение не оказывает влияние на значения финальных вероятностей. Тогда имеем

где сk – финальная вероятность пребывания Р-автомата в состоянии zk.

Получаем систему уравнений

Добавим к этим уравнениям условие нормировки с1 + с2 + с3 + с4 = 1. Тогда, решая систему уравнений, получим с1 = 5/23, с2 = 8/23, с3 = 5/23,
с4 = 5/23. Таким образом, с2 + с3 = 13/23 = 0,5652. Другими словами, при бесконечной работе заданного в этом примере Y-детерминированного
Р-автомата на его выходе формируется двоичная последовательность с вероятностью появления единицы, равной 0,5652.

Подобные Р-автоматы могут использоваться как генераторы марковских последовательностей, которые необходимы при построении и реализации процессов функционирования систем S или воздействий внешней среды Е. 

2.5. Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы)

Основные соотношения

Особенности непрерывно-стохастического подхода рассмотрим на примере типовых математических Q-схем – систем массового обслуживания (англ. queueing system).

В качестве процесса обслуживания могут быть представлены различные по своей физической природе процессы функционирования экономических, производственных, технических и других систем, например: потоки поставок продукции некоторому предприятию, потоки деталей и комплектующих изделий на сборочном конвейере цеха, заявки на обработку информации ЭВМ от удаленных терминалов и т.д. При этом характерным для работы таких объектов является случайное появление заявок (требований) на обслуживание и завершение обслуживания в случайные моменты времени, т.е. стохастический характер процесса их функционирования.

Потоком событий называется последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то случайные моменты времени. Различают потоки однородных и неоднородных событий. Поток событий называется однородным, если он характеризуется только моментами поступления этих событий (вызывающими моментами) и задается последовательностью {tn} = {0  t1  t2 ...  tn  }, где tn момент наступления п-го события – неотрицательное вещественное число. Однородный поток событий также может быть задан в виде последовательности промежутков времени между п-м и (n – 1)-м событиями {n}, которая однозначно связана с последовательностью вызывающих моментов {tn}, где n = tn tn-1, п 1, t0 = 0, т.е. 1 = t1. Потоком неоднородных событий называется последовательность {tn, fn}, где tn вызывающие моменты; fnнабор признаков события. Например, применительно к процессу обслуживания для неоднородного потока заявок может быть задана принадлежность к тому или иному источнику заявок, наличие приоритета, возможность обслуживания тем или иным типом канала.

В любом элементарном акте обслуживания можно выделить две основные составляющие: ожидание обслуживания заявкой и собственно обслуживание заявки. Это можно изобразить в виде некоторого i-го прибора обслуживания Пi (рис. 2.6), состоящего из накопителя заявок Hi, в котором может одновременно находиться ji =  заявок, где   емкость i-гo накопителя, и канала обслуживания заявок (или просто канала) Ki. На каждый элемент прибора обслуживания Пi поступают потоки событий: в накопитель Hi поток заявок wi, на канал Ki поток обслуживаний иi .

Рис. 2.6. Прибор обслуживания заявок

Заявки, обслуженные каналом Ki, и заявки, покинувшие прибор Пi по различным причинам необслуженными (например, из-за переполнения накопителя Hi), образуют выходной поток yi Y, т.е. интервалы времени между моментами выхода заявок образуют подмножество выходных переменных.

Обычно, поток заявок wiW, т.е. интервалы времени между моментами появления заявок на входе Ki, образует подмножество неуправляемых переменных, а поток обслуживания uiU, т.е. интервалы времени между началом и окончанием обслуживания заявки, образует подмножество управляемых переменных.

Процесс функционирования прибора обслуживания Пi можно представить как процесс изменения состояний его элементов во времени zi(t). Переход в новое состояние для Пi означает изменение количества заявок, которые в нем находятся (в канале Ki и в накопителе Hi). Таким образом, вектор состояний для Пi имеет вид: , где ziH – состояние накопителя Hi (ziH = 0 – накопитель пуст, ziH = 1 – в накопителе имеется одна заявка, ..., ziH = LiH  накопитель полностью заполнен); LiH емкость накопителя Нi, измеряемая числом заявок, которые в нем могут поместиться; zikсостояние канала Ki (zik = 0канал свободен, zik = 1 – канал занят).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Советов Б.Я. Моделирование систем : учеб. для вузов / Б.Я. Советов, С.А. Яковлев. М. : Высш. шк., 2001. 343 с.

2. Советов Б.Я. Моделирование систем : учеб. для вузов / Б.Я. Советов, С.А. Яковлев. 2-е изд. М.: Высшая школа, 1998. 319 с.

3. Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем: учеб. для вузов / В.П. Тарасик. М.: Наука, 1997. 600 с.

4. Введение в математическое моделирование: учеб. пособие для вузов/ под ред. П.В.Тарасова. М.: Интермет Инжиниринг, 2000. 200 с.

5. Ивченко Г.И. Математическая статистика: учебное пособие для втузов / Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев. М.: Высш. шк., 1984. 248 с.

6. Альянах И.Н. Моделирование вычислительных систем / И.Н. Альянах. Л.: Машиностроение, 1988. 233 с.

7. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем – искусство и наука / Р. Шеннон. М.: Мир, 1978. 308 с.

5

0,5

0,5

ui

wi

0

z1

z2

z3

z4

z0

1,0

0,4

1,0

0

1

0,6

0,25

0,75

0

1

Пi

Кi

уi

Нi


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83747. Возможности динамических (электронных) таблиц 460 KB
  Формы организации познавательной деятельности: групповая индивидуальная Средства обучения: презентация ПК с программным обеспечением и подключенным ЖК – телевизором для объяснения материала раздаточный материал для выполнения практического задания.
83748. Animals in our life 37.5 KB
  Учитель предлагает вспомнить стихотворение Моя мечта которое учащиеся учили дома наизусть. Сначала учитель прочитывает стихотворение затем по одной строчке вместе с детьми после чего каждый учащийся читает по одной строчки стихотворения по цепочке.
83749. Военная реформа Петра I 73.5 KB
  Цели урока: Дать характеристику военной реформы Петра I; Выяснить результаты петровской реформа; Значение петровской реформы для российской армии и России. Тема урока: объяснение нового материала. Методы и приёмы: Эвристическая беседа.
83750. Сравнение The Present Simple и The Present Continuous 204.68 KB
  Цель: более глубокое усвоение знаний, высокий уровень обобщения, систематизации. Задачи: Образовательные: обобщить материал как систему знаний, наглядно показать и закрепить разницу двух настоящих времен. Развивающие: развивать пространственное мышление, выявлять связи, формулировать выводы...
83751. Правовое регулирование единого сельскохозяйственного налога: общие положения, налогоплательщики, основные элементы налога, налоговая декларация 40.66 KB
  ЗАМЕНЯЕТ НАЛОГИ Освобождает от налогов: ОРГАНИЗАЦИИ: налога на прибыль организаций за исключением налога уплачиваемого с доходов по дивидендам и отдельным видам долговых обязательств налога на имущество организаций налога на добавленную стоимость за исключением НДС уплачиваемого при ввозе товаров на таможне а также при выполнении договора простого товарищества или договора доверительного управления имуществом ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ПРЕДПРИНИМАТЕЛИ: налога на доходы физических лиц в отношении доходов от предпринимательской деятельности...
83752. Правовое регулирование упрощенной системы налогообложения: общие положения, налогоплательщики, основные элементы налога, особенности уплаты 42.57 KB
  В связи с применением УСН налогоплательщики освобождаются от уплаты налогов применяемых общей системой налогообложения налога на имущество организаций налога на добавленную стоимость и др.13 НК РФ Переход на УСН с ЕНВД с начала того месяца в котором была прекращена их обязанность по уплате единого налога на вмененный доход п. СТАВКИ И ПОРЯДОК РАСЧЕТА Расчет налога производится по следующей формуле статья 346.
83753. Правовое регулирование системы налогообложения в виде единого налога на вмененный доход для отдельных видов деятельности: общие положения, налогоплательщики, основные элементы налога 40.79 KB
  ЕНВД применяется в отношении отдельных видов предпринимательской деятельности п. Налог на прибыль организаций В отношении прибыли полученной от предпринимательской деятельности облагаемой единым налогом 2. Налог на имущество организаций В отношении имущества используемого для ведения предпринимательской деятельности облагаемой единым налогом 3.
83754. Правовое регулирование системы налогообложения при выполнении соглашений о разделе продукции: общие положения, налогоплательщики, особенности уплаты 41.83 KB
  Система налогообложения при выполнении соглашений о разделе продукции особая система налогообложения специальный налоговый режим применяемый при выполнении соглашений которые заключены в соответствии с Федеральным законом от 30. № 225ФЗ О соглашениях о разделе продукции. Режим применяется в течение всего срока действия соглашения о разделе продукции.
83755. Правовое регулирование транспортного налога: общие положения, налогоплательщики, основные элементы налога, особенности регионального законодательства 42.78 KB
  Налогоплательщиками транспортного налога признаются лица на которых в соответствии с законодательством Российской Федерации зарегистрированы транспортные средства ст. Плательщиками налога также признаются физические лица получившие транспортные средства по доверенности выданной до 29 июля 2002 года. Следовательно по истечении трех лет с момента выдачи доверенности на право владения и распоряжения транспортным средством выданной до 29 июля 2002 года плательщиком транспортного налога признается физическое лицо на которое зарегистрировано...