41277

Дискретно-стохастические модели (Р-схемы). Основные соотношения. Возможные приложения P-схемы. Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы). Основные соотношения

Лекция

Математика и математический анализ

Непрерывностохастические модели Qсхемы Основные соотношения Особенности непрерывностохастического подхода рассмотрим на примере типовых математических Qсхем систем массового обслуживания англ. В качестве процесса обслуживания могут быть представлены различные по своей физической природе процессы функционирования экономических производственных технических и других систем например: потоки поставок продукции некоторому предприятию потоки деталей и комплектующих изделий на сборочном конвейере цеха заявки на обработку информации ЭВМ...

Русский

2013-10-23

159.5 KB

47 чел.

Лекция 7. Дискретно-стохастические модели (Р-схемы). Основные соотношения. Возможные приложения P-схемы. Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы). Основные соотношения.

2.4. Дискретно-стохастические модели (Р-схемы)

Основные соотношения

Рассмотрим особенности построения математических схем при дискретно-стохастическом подходе на вероятностных (стохастических) автоматах. В общем виде вероятностный автомат Р-схемы (англ. probabijistic automat) можно определить как дискретный потактный преобразователь информации с памятью, функционирование которого в каждом такте зависит только от состояния памяти в нем, и может быть описано статистически.

Введем математическое понятие Р-автомата, используя понятия, введенные для F-автомата. Рассмотрим множество G, элементами которого являются всевозможные пары (xi, zs), где xi и zs – элементы входного подмножества Х и подмножества состояний Z соответственно. Если существуют две такие функции и , что с их помощью осуществляются отображения GZ и GY, то говорят, что F = <Z, X, Y, , > определяет автомат детерминированного типа.

Рассмотрим более общую математическую схему. Пусть
Ф – множество всевозможных пар вида (
zk, yi), где уi – элемент выходного подмножества Y. Потребуем, чтобы любой элемент множества G индуцировал на множестве Ф некоторый закон распределения следующего вида:

Элементы из Ф

(z1, y2)

(z1, y2)    

. . .

(zk, yJ-1)

(zK, yJ)

(xi, zs)

b11

b12

. . .

bK(J-1)

bKJ

При этом bkj = 1, где bkj – вероятности перехода автомата в состояние zk и появления на выходе сигнала yj , если он был в состоянии zs и на его вход в этот момент времени поступил сигнал xi. Число таких распределений, представленных в виде таблиц, равно числу элементов множества G. Обозначим множество этих таблиц через В. Тогда четверка элементов P = <Z, X, Y, B> называется вероятностным автоматом (Р-автоматом).

Возможные приложения P-схемы

Пусть элементы множества G индуцируют некоторые законы распределения на подмножествах Y и Z, что можно представить соответственно в виде:

Элементы из Y

y1

y2

. . .

yJ-1

yJ

(xi, zs)

q1

q2

. . .

qJ-1

qJ

Элементы из Z

z1

z2

. . .

zK-1

zK

(xi, zs)

z1

z2

zK-1

zK

При этом zk = 1 и qj = 1, где zk  и qj  вероятности  перехода
Р-автомата в состояние zk и появления выходного сигнала yk при условии, что
Р-автомат находился в состоянии zs и на его вход поступил входной сигнал xi.

Если для всех k и j имеет место соотношение qj zk = bkj, то такой
Р-автомат называется вероятностным автоматом Мили. Это требование означает выполнение условия независимости распределений для нового состояния Р-автомата и его выходного сигнала.

Пусть теперь определение выходного сигнала Р-автомата зависит лишь от того состояния, в котором находится автомат в данном такте работы. Другими словами, пусть каждый элемент выходного подмножества Y индуцирует распределение вероятностей выходов, имеющих следующий вид:

Элементы из Y

y1

y2

. . .

yK-1 

yK 

zk

s1

s2

. . .

sI-1

sI

Здесь si = 1, где si – вероятность появления выходного сигнала yi при условии, что Р-автомат находился в состоянии zk.

Если  для  всех  k  и  i имеет  место  соотношение   zk si = bki ,то такой
Р-автомат называется вероятностным автоматом Мура. Понятие
Р-автоматов Мили и Мура введено по аналогии с детерминированным
F-автоматом. Частным случаем Р-автомата, задаваемого как P=<Z, X, Y, B>, являются автоматы, у которых либо переход в новое состояние, либо выходной сигнал определяются детерминировано. Если выходной сигнал
Р-автомата определяется детерминировано, то такой автомат называется
Y-детерминированным вероятностным автоматом. Аналогично,
Z-детерминированным вероятностным автоматом называется Р-автомат, у которого выбор нового состояния является детерминированным.

Пример 2.1. Пусть задан Y-детерминированный P-автомат

   

На рис. 2.5 показан ориентированный граф переходов этого автомата. Вершины графа сопоставляются состояниям автомата, а дуги – возможными переходами из одного состояния в другое. Дуги имеют веса, соответствующие вероятностям перехода pij, а около вершин графа пишутся значения выходных сигналов, индуцируемых этими состояниями. Требуется оценить суммарные финальные вероятности пребывания этого P-автомата в состояниях z2 и z3.

Рис. 2.5. Граф вероятностного автомата

При использовании аналитического подхода можно записать известные соотношения из теории марковских цепей и получить систему уравнений для определения финальных вероятностей. При этом начальное состояние z0 можно не учитывать, так как начальное распределение не оказывает влияние на значения финальных вероятностей. Тогда имеем

где сk – финальная вероятность пребывания Р-автомата в состоянии zk.

Получаем систему уравнений

Добавим к этим уравнениям условие нормировки с1 + с2 + с3 + с4 = 1. Тогда, решая систему уравнений, получим с1 = 5/23, с2 = 8/23, с3 = 5/23,
с4 = 5/23. Таким образом, с2 + с3 = 13/23 = 0,5652. Другими словами, при бесконечной работе заданного в этом примере Y-детерминированного
Р-автомата на его выходе формируется двоичная последовательность с вероятностью появления единицы, равной 0,5652.

Подобные Р-автоматы могут использоваться как генераторы марковских последовательностей, которые необходимы при построении и реализации процессов функционирования систем S или воздействий внешней среды Е. 

2.5. Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы)

Основные соотношения

Особенности непрерывно-стохастического подхода рассмотрим на примере типовых математических Q-схем – систем массового обслуживания (англ. queueing system).

В качестве процесса обслуживания могут быть представлены различные по своей физической природе процессы функционирования экономических, производственных, технических и других систем, например: потоки поставок продукции некоторому предприятию, потоки деталей и комплектующих изделий на сборочном конвейере цеха, заявки на обработку информации ЭВМ от удаленных терминалов и т.д. При этом характерным для работы таких объектов является случайное появление заявок (требований) на обслуживание и завершение обслуживания в случайные моменты времени, т.е. стохастический характер процесса их функционирования.

Потоком событий называется последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то случайные моменты времени. Различают потоки однородных и неоднородных событий. Поток событий называется однородным, если он характеризуется только моментами поступления этих событий (вызывающими моментами) и задается последовательностью {tn} = {0  t1  t2 ...  tn  }, где tn момент наступления п-го события – неотрицательное вещественное число. Однородный поток событий также может быть задан в виде последовательности промежутков времени между п-м и (n – 1)-м событиями {n}, которая однозначно связана с последовательностью вызывающих моментов {tn}, где n = tn tn-1, п 1, t0 = 0, т.е. 1 = t1. Потоком неоднородных событий называется последовательность {tn, fn}, где tn вызывающие моменты; fnнабор признаков события. Например, применительно к процессу обслуживания для неоднородного потока заявок может быть задана принадлежность к тому или иному источнику заявок, наличие приоритета, возможность обслуживания тем или иным типом канала.

В любом элементарном акте обслуживания можно выделить две основные составляющие: ожидание обслуживания заявкой и собственно обслуживание заявки. Это можно изобразить в виде некоторого i-го прибора обслуживания Пi (рис. 2.6), состоящего из накопителя заявок Hi, в котором может одновременно находиться ji =  заявок, где   емкость i-гo накопителя, и канала обслуживания заявок (или просто канала) Ki. На каждый элемент прибора обслуживания Пi поступают потоки событий: в накопитель Hi поток заявок wi, на канал Ki поток обслуживаний иi .

Рис. 2.6. Прибор обслуживания заявок

Заявки, обслуженные каналом Ki, и заявки, покинувшие прибор Пi по различным причинам необслуженными (например, из-за переполнения накопителя Hi), образуют выходной поток yi Y, т.е. интервалы времени между моментами выхода заявок образуют подмножество выходных переменных.

Обычно, поток заявок wiW, т.е. интервалы времени между моментами появления заявок на входе Ki, образует подмножество неуправляемых переменных, а поток обслуживания uiU, т.е. интервалы времени между началом и окончанием обслуживания заявки, образует подмножество управляемых переменных.

Процесс функционирования прибора обслуживания Пi можно представить как процесс изменения состояний его элементов во времени zi(t). Переход в новое состояние для Пi означает изменение количества заявок, которые в нем находятся (в канале Ki и в накопителе Hi). Таким образом, вектор состояний для Пi имеет вид: , где ziH – состояние накопителя Hi (ziH = 0 – накопитель пуст, ziH = 1 – в накопителе имеется одна заявка, ..., ziH = LiH  накопитель полностью заполнен); LiH емкость накопителя Нi, измеряемая числом заявок, которые в нем могут поместиться; zikсостояние канала Ki (zik = 0канал свободен, zik = 1 – канал занят).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Советов Б.Я. Моделирование систем : учеб. для вузов / Б.Я. Советов, С.А. Яковлев. М. : Высш. шк., 2001. 343 с.

2. Советов Б.Я. Моделирование систем : учеб. для вузов / Б.Я. Советов, С.А. Яковлев. 2-е изд. М.: Высшая школа, 1998. 319 с.

3. Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем: учеб. для вузов / В.П. Тарасик. М.: Наука, 1997. 600 с.

4. Введение в математическое моделирование: учеб. пособие для вузов/ под ред. П.В.Тарасова. М.: Интермет Инжиниринг, 2000. 200 с.

5. Ивченко Г.И. Математическая статистика: учебное пособие для втузов / Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев. М.: Высш. шк., 1984. 248 с.

6. Альянах И.Н. Моделирование вычислительных систем / И.Н. Альянах. Л.: Машиностроение, 1988. 233 с.

7. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем – искусство и наука / Р. Шеннон. М.: Мир, 1978. 308 с.

5

0,5

0,5

ui

wi

0

z1

z2

z3

z4

z0

1,0

0,4

1,0

0

1

0,6

0,25

0,75

0

1

Пi

Кi

уi

Нi


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

67092. «Дивись на нас, як на рівних» (сценарій конкурсно-ігрової програми до відзначення Всесвітнього дня інвалідів) 73 KB
  Мета. Ознайомити дітей з Державними програмами соціальної підтримки інвалідів в Україні; дати інформацію про проведення Параолімпійських ігор; формувати в учнів почуття милосердя та солідарності з дітьми з обмеженими фізичними можливостями; виховання толерантного ставлення, підтримки, співчуття до інвалідів.
67093. Історичні пісні 144.5 KB
  Виховувати гордість за український народ який має славне героїчне минуле прищеплювати глибокі почуття любові до пісні рідного краю свого народу. Історичні пісні здебільшого виникали у самому вирі бурхливого життя народу.
67094. Историческая игра «Путешествие в мир истории» 83 KB
  Объявляется первый конкурс конкурс Плутословов Учитель. Начинаем третий конкурс конкурс капитанов. Слово предоставляется нашему высокому ареопагу жюри объявляет результаты 13 конкурсов. Ведущий Следующий конкурс Исторический зоосад.
67095. Игровой урок с будущими первоклассниками 86.5 KB
  Беседа: Приходилось ли вам плакать Почему А какое слово противоположное слову плакать Почему люди плачут или смеются А покажите мне своё настроение с которым вы пришли ко мне на урок. VIII Клуб почемучек а Беседа: Дети к нам пришла умная сова с вопросом. Знаете ли вы какое слово на свете самое любознательное...
67096. Как стать ответственным 52 KB
  Напишите ответственный на доске и попросите учащихся дать определение этому понятию. Спросите учащихся могут ли люди стать более ответственными в своих поступках. Если да то как Например стараться всегда приходить вовремя усердно работать говорить правду осознавать ошибки выражать свои мысли и идеи быть лидером...
67097. Карнавал квітів 25 KB
  Нарешті всі ви завітали А ми боялись заблукали Ласкаво просимо Будьте як вдома Знайомтесь з усіма що ще не знайомі. Сонечко: За горами за лісами За широкими полями Серед квітів і дерев Став палац там неосяжний. Король квітів: Познайомити вже час з вихователями вас.
67098. Свято до дня Валентина «Карнавал квітів» 1.97 MB
  Oh, endless sky, full of light and stars at night Bless our hearts and make them bright We ask for love, on lap we praise Get down here, with all your grace. З'являється "Her Majesty, Love". (господарка свята) - Joy, happiness, beauty I'll send to your hearts I'll make you be sweethearts
67099. Гори Карпати 175.5 KB
  Мета: продовжувати формувати уявлення про природу України поняття гори; сформувати поняття Карпатські гори; формувати навички роботи з картами схемами зошитом підручником; розвивати пізнавальний інтерес спостережливість творчі навички; виховувати любов та дбайливе ставлення до природи патріотичні та естетичні почуття.
67100. Україна на карті. Найбільші міста України 166 KB
  Загальнопізнавальні цілі: продовжити формувати уявлення учнів про географічне розміщення України її кордони сусідство з іншими країнами; ознайомити з історико етнографічними регіонами та найбільшими містами України. Фізична карта України Розуміння знає розташування України знаходить її столицю на карті...