41283

ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

Реферат

Математика и математический анализ

Алгебра логики или алгебра высказываний разработана Джорджем Булем в 1854 г. Отсюда второе название "Булева алгебра". Логическая функция – закон соответствия между логическими переменными (функция дискретная). Логическая переменная либо есть, либо ее нет. Логическая функция может иметь произвольное число логических переменных. Область определения насчитывает значений, где n – количество переменных.

Русский

2013-10-23

56.5 KB

42 чел.

ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

Алгебра логики или алгебра высказываний разработана Джорджем Булем в 1854 г. Отсюда второе название "Булева алгебра". Логическая функция – закон соответствия между логическими переменными (функция дискретная). Логическая переменная либо есть, либо ее нет. Логическая функция может иметь произвольное число логических переменных. Область определения насчитывает  значений, где n – количество переменных. Таблица истинности логической функции устанавливает соответствия между возможными наборами значений логических переменных и значениями логической функций (табличный метод задания логической функции). Любая логическая функция представляется через элементарные логические функции. Эта алгебра оперирует двумя понятиями – ложь и правда. Для технических целей удобно заменить ложь=0, правда=1. Тогда будем оперировать двумя символами 0 и 1.

    Если в обычной алгебре буквами A, B, C…X, Y, Z обозначаются произвольные числа, то в булевой алгебре их всего два. Над этими числами производятся не арифметические, а логические операции.

Логические операции и элементарные логические функции.

ДИЗЪЮНКЦИЯ (логическое сложение) 

Таблица сложения:       Выполняет логическую операцию ИЛИ.  

    0 v 0 = 0          Обозначается X=AvB.

    0 v 1 = 1              

    1 v 0 = 1          На выходе появится сигнал 1, когда

    1 v 1 = 1          ИЛИ на первом ИЛИ на втором входе  

Обозначение на схемах:  есть сигнал 1.                     

                     Эту схему в электронике называют

A 1 X=AvB  схемой сборки.  

B        Технический пример: сигнал о пожаре.

КОНЪЮНКЦИЯ (логическое умножение)   

Таблица умножения:      Выполняет логическую операцию И.  

    0 0 = 0          Обозначается X=A^B.

    0 1 = 0              

    1 0 = 0          На выходе появится сигнал 1, когда

    1 1 = 1          И на первом И на втором входе  

Обозначение на схемах:  есть сигнал 1.                     

         Эту схему в электронике называют

A &  X=AB схемой совпадений.

B    Технический пример: сигнал "готовность".

ИНВЕРСИЯ (логическое отрицание)   

    

Таблица сложения:       Выполняет логическую операцию НЕ.  

    1 = 0             Обозначается чертой сверху.

    0 = 1              

Обозначение на схемах:

Эту схему в электронике называют

A 1  X=A  инвертором.  

                       Технический пример: сигнал о пожаре.

ОТРИЦАНИЕ ОТ КОНЪЮКЦИИ (И-НЕ)

0 & 0 = 1

0 & 1 = 1      ___

1 & 0 = 1  A & F=A&B

1 & 1 = 0  B

     функция Шеффера

ОТРИЦАНИЕ ОТ ДИЗЪЮНКЦИИ (ИЛИ-НЕ)

0 0 1  Стрелка Пирса

0 1 0    __    X1  1   F

1 0 0  F=Xn; F=1, если Xn=0 X2

1 1 0

РАВНОЗНАЧНОСТЬ

X1

X2

F

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

    __ __

X1    F=X1&X2 V X1&X2

X2  =   F

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

  1.  Законы одинарных элементов

    A v 1 = 1

    A 1 = A       Эти соотношения доказываются путем подстановки

    A v 0 = A                  A=1 и A=0

    A 0 = 0

2. Законы отрицания  

 _

A = A           Закон двойного отрицания

A A = 0     Законы дополнительности

A vA = 1

_   _   _____

A v B = A B     Правило де Моргана    Следствия из правила де Моргана:

 _   _   _____      ___      ____

A B = A v B             A v B =AB   A vB =A v B

____   _____

AB =A vB   AB =A v B

3. Комбинационные законы

    A v A = A         Законы тавтологии

    A A = A       

    A v B = B v A     Коммутативные законы

    A B = B A   

   (A v B) v C = A v (B v C)  Ассоциативные законы  

   (A  B)  C = A  (B  C)   

    A(B v C) = AB v AC             Дистрибутивные законы

    A v (BC) = (A v B)(A v C)  Второй дистрибутивный закон можно доказать на

основе первого:

(AvB)(AvC) = AAvACvBAvBC = AvACvABvBC = =A(1vCvB)vBC = A v BC

    A v AB = A     Законы поглощения   Законы поглощения можно доказать:

    A(A v B) = A        AvAB = A(1vB) = A

      A(AvB) = AAvAB = AvAB = A(1vB) = A

    A B v AB = A        Законы склеивания

    (A v B)(A vB) = A   Доказательство:

 A B v AB = A(B vB) = A

(A v B)(A vB) = A A v AB v A B v BB = A v AB v AB = =A(1 vB v B) = A

ПОСТРОЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ СХЕМ

Каждое логическое выражение можно реализовать в виде конкретной логической схемы:

 a      1    a  ab  1    D=a vab

      &

 b

Можно попытаться преобразовать это выражение:

      ___   ________    __________ ___

D = a vab =aab =a(a vb)= a a vab =ab = a v b

Следовательно D=a v b      a    1   D=a v b

         b 

Эта схема намного проще, поэтому всегда следует стараться упростить выражение.

Это же преобразование можно сделать с помощью второго дистрибутивного закона, а затем закона склеивания:          

D = a vab = (a va)(a v b)= a v b

Логические элементы. Параметры логических элементов. Типы выходных каскадов.

Логические элементы строятся на базе ключа. Под логическими элементами понимаются схемы малой интеграции. Можно реализовать на следующих элементах: электромагнитные реле, диоды, транзисторные интегральные микросхемы.

Различают статические и динамические параметры логических элементов:

Статические параметры:

  1.  Помехоустойчивость.

-это максимальное напряжение, которое можно добавить к Umax без переключения инвертора


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

65517. Методи та алгоритми диспетчеризації завдань у розподілених комп’ютерних системах 572.5 KB
  Сьогодні участь у міжнародних програмах стає стратегічним питанням інформаційного розвитку держав. Україна також стоїть на шляху науково-технічної інтеграції у європейський та світовий простір, про що говорить низка проектів, в яких Україна є повноправним учасником.
65519. ДІАГНОСТИЧНА ЗНАЧИМІСТЬ НОВОГО МЕТОДУ ДОВГОХВИЛЬОВОЇ ОФТАЛЬМОГРАФІЇ У ХВОРИХ З ВІКОВОЮ МАКУЛЯРНОЮ ДЕГЕНЕРАЦІЄЮ 226 KB
  Патологія макулярної ділянки очного дна займає одне з перших місць в світі як причина слабкого зору та сліпоти і на теперішній час вважається найбільш складною для діагностики та лікування. Одним із найбільш розповсюджених та найтяжчих захворювань органа зору серед патології очного дна...
65520. Особливості використання сучасних сортів ячменю ярого в селекції на пивоварну якість та продуктивність 222.5 KB
  Актуальність теми полягає в необхідності встановлення ефективності селекції ячменю ярого на пивоварну якість і урожайність на основі використання в схрещуванні сучасних сортів виділених за цінними ознаками продуктивності...
65521. Підвищення точності зміцнювальної накатки зубців за рахунок розробки принципово нової геометрії накатного інструмента 191 KB
  Підвищення продуктивності та якості виготовлення циліндричних зубчастих коліс із одночасним зниженням їх собівартості є однією з найбільш актуальних задач технологів та інструментальників усього світу.
65522. Диференціальний розчинонасос із вертикальним проточним плунжером 1.09 MB
  У будівельній промисловості при спорудженні будівель як промислового так і цивільного призначення до чверті загальної трудомісткості становлять роботи повязані з використанням будівельних розчинів: штукатурні роботи улаштування наливних підлог замонолічування стиків будівельних елементів тощо.
65523. ЕКОЛОГІЧНЕ ОБГРУНТУВАННЯ ЗАХИСТУ ЧОРНОЇ СМОРОДИНИ ВІД ЛУСКОКРИЛИХ ШКІДНИКІВ В ЦЕНТРАЛЬНОМУ ЛІСОСТЕПУ УКРАЇНИ 222 KB
  В агроекологічних умовах Центрального Лісостепу в останні роки значної шкоди агроценозу смородини чорної завдає комплекс лускокрилих фітофагів зокрема смородинова склівка листовійки аґрусова вогнівка та смородинова брунькова міль.
65524. Підвищення показників якості базової станції технології WiMax 418 KB
  Для цього випадку в рамках даної дисертаційної роботи запропоновано варіант збільшення зони покриття базової станції WiMаx за допомогою багатопролітної радіорелейної лінії. Тема роботи присвячена дослідженню можливості застосування як засобу збільшення зони покриття базової станції WiMаx...
65525. ПРОДУКТИВНІСТЬ ЛЬОНУ-ДОВГУНЦЯ ЗАЛЕЖНО ВІД ЗАСТОСУВАННЯ КОМПЛЕКСНОГО ДОБРИВА ТА РЕГУЛЯТОРА РОСТУ В УМОВАХ ПОЛІССЯ 298 KB
  З появою нових комплексних добрив з певним співвідношенням макро- та мікроелементів, а також універсальних регуляторів росту біологічного походження нового покоління з’явилися резерви покращення забезпечення льону-довгунця необхідними...