41304

Численные методы и компьютерные технологии решения дифференциальных уравнений 1-го порядка

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Изучение численных методов и компьютерных технологий решения обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка, приобретение практических навыков составления алгоритмов, программ и работы на ЭВМ.

Русский

2013-10-23

456.91 KB

16 чел.

Содержание

  1.  Цель работы…………………………………………………………….3
  2.  Задание………………………………………………………………….3
  3.  Основные сведения метода Рунге-Кутта…………………………….3
  4.  Блок-схема алгоритма ...………………………………………….......4
  5.  Текст программы ….……………………………………………….….5
  6.  Результаты решения задачи в УМС MathCad……………………......6

Список литературы…………………………………………………...…..7


  1.  Цель работы

Изучение численных методов и компьютерных технологий решения обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка, приобретение практических навыков составления алгоритмов, программ и работы на ЭВМ.

  1.  Задание
  2.  Изучить численные методы и компьютерные технологии решения дифференциальных уравнений 1-го порядка.
  3.  Составить алгоритм и программу решения дифференциального уравнения с различными шагами интегрирования. Предусмотреть вывод функции, а также производной. Варианты даны в таблице.
  4.  Ввести программу в ЭВМ, отладить ее и выполнить.
  5.  Решить данное дифференциальное уравнение в среде УМС Mathcad. Результаты вывести в табличной форме и в виде графика.

вар.

Дифференциальное уравнение

y=(x0)

Отрезок

[x0; xk]

Шаг

h

Метод

2

2,6

[1,8; 2,8]

0,1

4

  1.  Основные сведения метода Рунге-Кутта

В методе Рунге-Кутта в разложении функции в окрестности точки в ряд Тейлора учитываются члены, содержащие производные до 4-го порядка включительно

.

Или , где , а

.

Производные высших порядков можно определить последовательным дифференцированием исходного уравнения (4.5): . Однако в методе Рунге-Кутта вместо непосредственных вычислений производных определяются следующие четыре коэффициента:

  (4.10)

Можно показать, что с точностью до четвертых степеней

.

Тогда

.   (4.11)

Погрешность метода .

  1.  Блок-схема алгоритма

Рис.1. Решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта

  1.  Текст программы

program laba7;

uses crt;

label 1,2;

var x0,xk,y0,h,x1,x2,y2,y1:real;

begin

clrscr;

x0:=1.8;

xk:=2.8;

h:=0.01;

y0:=2.6;

writeln('x1',' ':7,'y1');

writeln(x0, ' ':5,y0:2:3);

1:x1:=x0+h;

x2:=x0+h/2;

if x1>xk then goto 2 else

begin y2:=y0+(h/2)*(x0+cos(y0/sqrt(5)));

     y1:=y0+h*(x2+cos(y2/sqrt(5)));

     writeln(x1:2:3, ' ':5,y1:2:3);

     x0:=x1; y0:=y1; goto 1;

end;

2: end.

Рис.2. Результаты решение в среде Pascal

  1.  Результаты решения задачи в УМС MathCad


Список литературы

1. Турчак Л.И. Основы численных методов: учеб. пособие для вузов/ Л.И. Турчак, П.В. Плотников. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Физматлит, 2003. – 304 с.: ил. (Первое издание – 1987 г.)

2. Амосов А.А. Вычислительные методы для инженеров: учеб. пособие/ А.А. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. Копченова. – 2-е изд., доп. – М.: Изд-во МЭИ, 2003. – 596 с.: ил. (Первое издание – 1994 г.)

3. Макаров Е.Г. Инженерные расчеты в Mathcad (+СD)/ Е.Г. Макаров. – СПб.: Питер, 2007. – 592 с.: ил. +CD-ROM

4. Поршнев С.В. Численные методы на базе Mathcad/ С.В. Поршнев, И.В. Беленкова. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 464 с.: ил.

5. Николаев Н.Н. Вычислительная математика (Линейная алгебра. Приближенное представление функций): конспект лекций/ Н.Н. Николаев. Чуваш. ун-т. – Чебоксары, 1996. – 64 с.: ил.

6. Николаев Н.Н. Вычислительные методы. Определенные интегралы, нелинейные и дифференциальные уравнения: конспект лекций/ Н.Н. Николаев. Чуваш. ун-т. – Чебоксары, 2010. 96 с.: ил.

7. Николаев Н.Н. Основы работы в системе MATHCAD: вычислительные методы: лаб. практикум/ Н.Н. Николаев. – Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2011. – 116 с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

35843. Математические методы анализа экономики 565 KB
  Этот метод называют также методом последовательного улучшения решения плана. Решить задачу методом больших штрафов РЕШЕНИЕ: Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных переход к канонической форме. Из уравнений выражаем искусственную переменную: которую подставим в целевую функцию: Или Базисные переменные –х4 х6 Свободные переменные х1 х2 х3 х5 Полагая что свободные переменные равны 0 получим первый опорный план: X1 = 0008010 Базисное...
35844. Функция полезности: определения свойства 538.06 KB
  Самая распространенная – функция КоббаДугласа: g = fLK = 0 Одна из задач фирмы заключается в определении количества продукции и в расчете необходимых для ее выпуска затрат с учетом технологической связи между ними и заданными ценами на затраты и продукцию. Модель фирмы в условиях совершенной конкуренции. Неоклассическая теория фирмы построена на предположении что цель фирмы заключается в максимизации прибыли путем выбора вида затрат при заданной ПФ и заданных ценах на продукцию и затраты. Модель фирмы в условиях олигополии.
35847. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ТЕХНОЛОГИЙ РАСШИРЕНИЯ WEB-СЕРВЕРОВ 236 KB
  Диаграммы Use Cse =диаграммы прецедентов диаграммы вариантов использования Диаграмма Use Cse определяет поведение системы с точки зрения пользователя. Диаграмма Use Cse рассматривается как главное средство для первичного моделирования динамики системы используется для выяснения требований к разрабатываемой системе фиксации этих требований в форме которая позволит проводить дальнейшую разработку. Вершинами в диаграмме Use Cse являются актеры и элементы Use Cse. Элементы Use Cse представляют действия выполняемые системой в интересах...
35848. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ЦИФРОВЫХ АВТОМАТАХ. Функционирование цифрового автомата в дискретном времени 213.5 KB
  ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ЦИФРОВЫХ АВТОМАТАХ. функционирование цифрового автомата в дискретном времени. Отличительной особенностью дискретного автомата является дискретное множество внутренних состояний и скачкообразность перехода из одного состояния в другое. В реальных автоматах множество внутренних состояний всегда конечно поэтому дискретные автоматы часто называют конечными автоматами или просто автоматами.
35849. Коммутаторы: принцип работы. Основные и дополнительные характеристики 192 KB
  Эту информацию записывает в кадр станцияисточник кадра с помощью своего сетевого адаптера который реализует алгоритм маршрутизации от источника source routing. На данный момент обеспечиваются скорости от нескольких десятков кбит с например GPRS – 115 кбит с Протоколы маршрутизации. Протоколы маршрутизации например RIP OSPF NLSP следует отличать от собственно сетевых протоколов например IP IPX. Протоколы маршрутизации используют сетевые протоколы как транспортное средство.
35851. Конституційне право України 193.5 KB
  До таких актів належать: Конституція України основне джерело права; конституційні закони закони що вносять зміни й доповнення до Конституції або скасовують її окремі норми; органічні закони закони прийняття яких передбачено в Конституції; поточні закони що містять конституційноправові принципи й норми; інші акти Верховної Ради України та акти Всеукраїнського референдуму; певні нормативні акти Президента України; деякі нормативні постанови Кабінету Міністрів України; рішення та висновки Конституційного Суду...