41304

Численные методы и компьютерные технологии решения дифференциальных уравнений 1-го порядка

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Изучение численных методов и компьютерных технологий решения обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка, приобретение практических навыков составления алгоритмов, программ и работы на ЭВМ.

Русский

2013-10-23

456.91 KB

16 чел.

Содержание

  1.  Цель работы…………………………………………………………….3
  2.  Задание………………………………………………………………….3
  3.  Основные сведения метода Рунге-Кутта…………………………….3
  4.  Блок-схема алгоритма ...………………………………………….......4
  5.  Текст программы ….……………………………………………….….5
  6.  Результаты решения задачи в УМС MathCad……………………......6

Список литературы…………………………………………………...…..7


  1.  Цель работы

Изучение численных методов и компьютерных технологий решения обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка, приобретение практических навыков составления алгоритмов, программ и работы на ЭВМ.

  1.  Задание
  2.  Изучить численные методы и компьютерные технологии решения дифференциальных уравнений 1-го порядка.
  3.  Составить алгоритм и программу решения дифференциального уравнения с различными шагами интегрирования. Предусмотреть вывод функции, а также производной. Варианты даны в таблице.
  4.  Ввести программу в ЭВМ, отладить ее и выполнить.
  5.  Решить данное дифференциальное уравнение в среде УМС Mathcad. Результаты вывести в табличной форме и в виде графика.

вар.

Дифференциальное уравнение

y=(x0)

Отрезок

[x0; xk]

Шаг

h

Метод

2

2,6

[1,8; 2,8]

0,1

4

  1.  Основные сведения метода Рунге-Кутта

В методе Рунге-Кутта в разложении функции в окрестности точки в ряд Тейлора учитываются члены, содержащие производные до 4-го порядка включительно

.

Или , где , а

.

Производные высших порядков можно определить последовательным дифференцированием исходного уравнения (4.5): . Однако в методе Рунге-Кутта вместо непосредственных вычислений производных определяются следующие четыре коэффициента:

  (4.10)

Можно показать, что с точностью до четвертых степеней

.

Тогда

.   (4.11)

Погрешность метода .

  1.  Блок-схема алгоритма

Рис.1. Решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта

  1.  Текст программы

program laba7;

uses crt;

label 1,2;

var x0,xk,y0,h,x1,x2,y2,y1:real;

begin

clrscr;

x0:=1.8;

xk:=2.8;

h:=0.01;

y0:=2.6;

writeln('x1',' ':7,'y1');

writeln(x0, ' ':5,y0:2:3);

1:x1:=x0+h;

x2:=x0+h/2;

if x1>xk then goto 2 else

begin y2:=y0+(h/2)*(x0+cos(y0/sqrt(5)));

     y1:=y0+h*(x2+cos(y2/sqrt(5)));

     writeln(x1:2:3, ' ':5,y1:2:3);

     x0:=x1; y0:=y1; goto 1;

end;

2: end.

Рис.2. Результаты решение в среде Pascal

  1.  Результаты решения задачи в УМС MathCad


Список литературы

1. Турчак Л.И. Основы численных методов: учеб. пособие для вузов/ Л.И. Турчак, П.В. Плотников. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Физматлит, 2003. – 304 с.: ил. (Первое издание – 1987 г.)

2. Амосов А.А. Вычислительные методы для инженеров: учеб. пособие/ А.А. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. Копченова. – 2-е изд., доп. – М.: Изд-во МЭИ, 2003. – 596 с.: ил. (Первое издание – 1994 г.)

3. Макаров Е.Г. Инженерные расчеты в Mathcad (+СD)/ Е.Г. Макаров. – СПб.: Питер, 2007. – 592 с.: ил. +CD-ROM

4. Поршнев С.В. Численные методы на базе Mathcad/ С.В. Поршнев, И.В. Беленкова. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 464 с.: ил.

5. Николаев Н.Н. Вычислительная математика (Линейная алгебра. Приближенное представление функций): конспект лекций/ Н.Н. Николаев. Чуваш. ун-т. – Чебоксары, 1996. – 64 с.: ил.

6. Николаев Н.Н. Вычислительные методы. Определенные интегралы, нелинейные и дифференциальные уравнения: конспект лекций/ Н.Н. Николаев. Чуваш. ун-т. – Чебоксары, 2010. 96 с.: ил.

7. Николаев Н.Н. Основы работы в системе MATHCAD: вычислительные методы: лаб. практикум/ Н.Н. Николаев. – Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2011. – 116 с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21987. Византия в XII-XV вв. 78 KB
  административный и судебный иммунитет в большинстве владений у родственников императоров был полный налоговый иммунитет имели они и свой штат оставался в Византии ограниченным не только в XII в. Пожалование земли и крестьян в пронию до известной степени заменило стратиотское землевладение крестьянского типа которое полностью не исчезло а сохранялось до конца существования Византии. В Византии имел гораздо меньшее развитие чем на Западе процесс субинфеодации. Феодальные институты Византии прония арифмос харистикий экскуссия ...
21988. Германия в XI-XV вв. 151.5 KB
  Полностью романской была Лотарингия присоединенная к Германии уже в конце IX в. Новые императоры вернулись от вселенской политики к германским проблема в Италию ходили походами только для коронации в Германии опирались на епископов и на слой министериалов и боролись с герцогами. Но после клюнийской реформы духовенство в Германии усилилось а в XI в. Генрих IV стал править самостоятельно в качестве короля Германии ему прежде всего пришлось столкнуться с фактом возросшей независимости светских и духовных князей.
21989. Германия в XVI-первой половине XVII вв. 182.5 KB
  Международная экономическая роль Германии выражалась в том что она занимала первое место в мире по добыче серебра 80 шло из Германии в Европу. Альбрехт не был в состоянии уплатить Фуггерам и добился от папы Льва X разрешения провести продажу индульгенций в Саксонии и других местах Германии за что обещал уплатить курии 10. На востоке Германии большое значение приобретают ярмарки в Лейпциге с конца XV в. Процесс созревания некоторых предпосылок генезиса капитализма был приостановлен в Западной Германии и Австрии феодальной реакцией...
21990. Гуманизм Италии XIV-XV вв. 147 KB
  Гуманисты были творцами новой системы знания в центре которого стояла проблема человека его земного предназначения термин humanista полагает П. Мишле выдвинул принципиально отличное от средневекового решения проблемы отношения человека к миру. Бурдаха где он писал что новое понимание искусства литературы науки новая концепция человека не вступали в противоречие в христианской религией ибо были предопределены ее пышным цветением в XIII в. Наиболее значительной для Тоффанина была идея божественности человека.
21991. Западная Европа в конце XI в. 30 KB
  Отношения между представителями класса феодалов в государствах Западной Европы строились по принципу т. На ее вершине находился император король который считался верховным сеньором всех феодалов их сюзереном главой феодальной иерархии. Среди церковных феодалов тоже существовала иерархия по рангу занимаемой ими должности: папа римский кардиналы архиепископы епископы аббаты приоры кюре викарий. Многие из них были вассалами светских феодалов по своим земельным владениям и наоборот.
21992. Западные славяне 61.5 KB
  начинается серия войн с Византией велись они с переменным успехом но в целом удачно для Болгарии. престиж Болгарии как международной державы был высок. Послов Болгарии за императорским столом сажали выше чем послов германского императора Оттона I. в Болгарии появилось богомильское движение дуализм.
21993. Индия в IV-VI-VII-XII вв. 50 KB
  Упадок империи Гуптов в Индии явился рубежом отделяющим древность от средневековья. Индии. вождем эфталитов стал Торомана который овладел Гандхарой областью на северозападе Индии затем двинулся в пределы самой империи. Инд частью Центральной Индии совр.
21994. Индия в XII-XVII вв. 74.5 KB
  Завоеванные индийские земли были включены в состав гос. земель державы Гуридов и Мухаммед Гури как их верховный собственник стал раздавать эти земли в условное феодальное держание икта своим военачальникам поставив над ними в качестве наместника Кутбаддина Айбека. Военачальники которым он роздал индийские земли в феодальное держание отказались признать нового правителя Газни своим господином и создали на территории Северной Индии собственное государство получившее название по имени своей столицы Делийский султанат 12061526 гг....
21995. Иран в V-VII – X- XIII вв. 50.5 KB
  Сасанидский Иран крупнейшее государство Передней Азии. Эти изделия вывозились в страны Средиземноморья Азии Китай. Азии. Азии.