41305

Численные методы и компьютерные технологии решения систем дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений n-го порядка

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Изучение численных методов и компьютерных технологий решения систем дифференциальных уравнений 1-го порядка и дифференциальных уравнений n-го порядка, приобретение практических навыков составления алгоритмов, программ и работы на ЭВМ.

Русский

2013-10-23

778.94 KB

36 чел.

Содержание

  1.  Цель работы……………………………………………………...…….3
  2.  Задание……………………………………………………………...….3
  3.  Основные сведения исправленного метода Эйлера….………...….3
  4.  Блок-схема алгоритма ...………………………………………..…....5
  5.  Текст программы ….……………………………………………...…..6
  6.  Результаты решения задачи в УМС MathCad…………………….........8

Список литературы…………………………………………………........9


  1.  Цель работы

Изучение численных методов и компьютерных технологий решения систем дифференциальных уравнений 1-го порядка и дифференциальных уравнений n-го порядка, приобретение практических навыков составления алгоритмов, программ и работы на ЭВМ.

  1.  Задание
  2.  Изучить численные методы и компьютерные технологии решения систем дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений n-го порядка.
  3.  Составить алгоритм и программу решения дифференциального уравнения 2-го порядка. Варианты даны в таблице. В программе предусмотреть вывод на печать значений аргумента, результатов численного решения, включая первую производную, точных значений функции и погрешности счета.
  4.  Ввести программу в ЭВМ, отладить ее и выполнить. Результаты приложить к отчету.
  5.  Решить данное дифференциальное уравнение в среде УМС Mathcad. Результаты представить в табличной форме и в виде графика.

вар.

Дифференциальное

уравнение

Нач. условия

Отрезок

[x0; xk]

Шаг

h

Метод

Точное решение

y0

y0

2

1

1

[0; 0,5]

0,05

2

  1.  Основные сведения исправленного метода Эйлера

В исправленном методе Эйлера для повышения точности в разложении искомой функции в ряд Тейлора учитываются три первых члена ряда Тейлора

.  (4.7)

При этом вторая производная находится по формуле правой односторонней конечной разности

.

Тогда из (4.7)

Или, с учетом вышеприведенных обозначений,

.

Аналогично для узла формулу исправленного метода Эйлера можно записать в виде

.  (4.8)

Рис. 4.2. Исправленный метод Эйлера

Структура этой формулы такая же, что и для метода Эйлера. Но вместо производной в начале элементарного участка здесь используется среднее значение производных в начале и в конце этого участка. То есть в исправленном методе Эйлера производная функции на интервале также принимается постоянной, но равной среднему значению производных в начале и в конце интервала. Это повышает точность решения уравнения.

Исправленный метод Эйлера иллюстрируется графиками на рис. 4.2. Здесь через и условно обозначены значения производных в начале и в конце элементарного участка , а через – их среднее значение. Как видно, локальная погрешность этого метода действительно меньше, чем для метода Эйлера.

Полученная схема решения является неявной, поскольку искомое значение входит в обе части уравнения (4.8). Поэтому используются две итерации. Сначала вычисляется промежуточное значение искомой функции в точке методом Эйлера по формуле (4.6)

,

а затем подставляется в уравнение (4.8):

.

Локальная погрешность исправленного метода Эйлера . Объем вычислений в этом методе больше, поскольку на каждом шаге значение функции вычисляется 2 раза. Алгоритм представлен на рис. П8,а.

  1.  Блок-схема алгоритма

Рис.1. Решение системы двух дифференциальных уравнений 1-го порядка методом Эйлера

  1.  Текст программы

program laba8;

uses crt;

label 1,2;

var x0,xk,y0,z0,h,x1,y2,y1,z1,z2,z,yt,n:real;

begin

clrscr;

y0:=1; x0:=0; xk:=0.5; h:=0.05; z0:=1; yt:=1;

writeln('Введите n');

read(n);

h:=(xk-x0)/n;

writeln('x=',x0,' ':7,' y=',y0,' ':7,' z=',z0,' ':7,'уточненное=',yt);

2:

x1:=x0+h;

if x1>xk then goto 1 else;

y2:=y0+h*z0;

z2:=z0+h*(-(1+z0*z0)/(1+x0*x0));

y1:=y0+(h/2)*(z0+z2);

z1:=z0+(h/2)*((-(1+z0*z0)/(1+x0*x0))

      +(-(1+z2*z2)/(1+x1*x1)));

yt:=1-x1+2*ln(1+x1);

writeln('x1=',x1:3:3, ' ':3, 'y1=',y1:3:4, ' '

 :3, 'z=',z1:3:4, ' ':3, 'yt=',yt:3:4, ' ':3);

x0:=x1;

y0:=y1;

z0:=z1;

goto 2;

1:

end. 

Рис.2. Результаты решения в среде Pascal

  1.  Результаты решения задачи в УМС MathCad

Список литературы

1. Турчак Л.И. Основы численных методов: учеб. пособие для вузов/ Л.И. Турчак, П.В. Плотников. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Физматлит, 2003. – 304 с.: ил. (Первое издание – 1987 г.)

2. Амосов А.А. Вычислительные методы для инженеров: учеб. пособие/ А.А. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. Копченова. – 2-е изд., доп. – М.: Изд-во МЭИ, 2003. – 596 с.: ил. (Первое издание – 1994 г.)

3. Макаров Е.Г. Инженерные расчеты в Mathcad (+СD)/ Е.Г. Макаров. – СПб.: Питер, 2007. – 592 с.: ил. +CD-ROM

4. Поршнев С.В. Численные методы на базе Mathcad/ С.В. Поршнев, И.В. Беленкова. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 464 с.: ил.

5. Николаев Н.Н. Вычислительная математика (Линейная алгебра. Приближенное представление функций): конспект лекций/ Н.Н. Николаев. Чуваш. ун-т. – Чебоксары, 1996. – 64 с.: ил.

6. Николаев Н.Н. Вычислительные методы. Определенные интегралы, нелинейные и дифференциальные уравнения: конспект лекций/ Н.Н. Николаев. Чуваш. ун-т. – Чебоксары, 2010. 96 с.: ил.

7. Николаев Н.Н. Основы работы в системе MATHCAD: вычислительные методы: лаб. практикум/ Н.Н. Николаев. – Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2011. – 116 с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

13750. Искусство и власть 34 KB
  1. Искусство и власть. В развитии человеческой культуры постоянно прослеживается любопытная закономерность того как искусство часто использовалось для укрепления власти светской и религиозной. Благодаря произведениям искусства власть укрепляла свой...
13751. Искусство вокруг нас. Виды искусства 642 KB
  Вопрос 1. Искусство вокруг нас. Виды искусства. Искусство часть духовной культуры человечества специфический род духовно практического освоения мира. К искусству относят разновидности человеческой деятельности объединяемые художественно образными формами в
13752. Развитие дизайна и его значение в жизни современного общества 1.31 MB
  Развитие дизайна и его значение в жизни современного общества Формирование красивой и комфортной предметной среды всегда привлекало внимание людей. На рубеже ХIХ ХХ вв. вместе с развитием промышленного производст...
13753. Художественный образ – стиль – язык 2.33 MB
  Художественный образ стиль язык. У каждого времени свое лицо свой образ свои мелодии и ритмы. Когда мы видим величественные египетские пирамиды храм Василия Блаженного рассматриваем полотна Рембрандта Репина слушаем музыку Баха Моцарта Чайковского читаем...
13754. Наука и искусство. Универсальный гений эпохи Возрождения Леонардо да Винчи 1.38 MB
  Наука и искусство. Универсальный гений эпохи Возрождения Леонардо да Винчи. Наука и искусство две области деятельности человечества на протяжении всего существования. Культуре в равной мере нужны и наука и искусство. Для того чтобы наука приносила людям пользу и рад
13755. Декоративно-прикладное искусство 2.81 MB
  Декоративноприкладное искусство Декоративноприкладное искусство сложное и многогранное явление культуры. Оно охватывает многие виды народных промыслов связанных с созданием художественных изделий имеющих практическое назначение в быту
13756. Красота Земли в искусстве (поэтический пейзаж) 2.23 MB
  Красота Земли в искусстве поэтический пейзаж А.С.Пушкин называл искусство магическим кристаллом сквозь грани которого поновому видны окружающие нас люди предметы явления привычной жизни. Во все времена живописцы композиторы и писатели отражают в своих...
13757. Музыка в быту 1.54 MB
  Музыка в быту Трудно представить жизнь современного человека без музыки. Она окружает его повсюду. Музыка звучит с экранов телевизоров с мониторов компьютеров. Она сопровождает праздники развлечения и т. п. У каждого наверняка есть своя фо...