41305

Численные методы и компьютерные технологии решения систем дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений n-го порядка

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Изучение численных методов и компьютерных технологий решения систем дифференциальных уравнений 1-го порядка и дифференциальных уравнений n-го порядка, приобретение практических навыков составления алгоритмов, программ и работы на ЭВМ.

Русский

2013-10-23

778.94 KB

33 чел.

Содержание

  1.  Цель работы……………………………………………………...…….3
  2.  Задание……………………………………………………………...….3
  3.  Основные сведения исправленного метода Эйлера….………...….3
  4.  Блок-схема алгоритма ...………………………………………..…....5
  5.  Текст программы ….……………………………………………...…..6
  6.  Результаты решения задачи в УМС MathCad…………………….........8

Список литературы…………………………………………………........9


  1.  Цель работы

Изучение численных методов и компьютерных технологий решения систем дифференциальных уравнений 1-го порядка и дифференциальных уравнений n-го порядка, приобретение практических навыков составления алгоритмов, программ и работы на ЭВМ.

  1.  Задание
  2.  Изучить численные методы и компьютерные технологии решения систем дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений n-го порядка.
  3.  Составить алгоритм и программу решения дифференциального уравнения 2-го порядка. Варианты даны в таблице. В программе предусмотреть вывод на печать значений аргумента, результатов численного решения, включая первую производную, точных значений функции и погрешности счета.
  4.  Ввести программу в ЭВМ, отладить ее и выполнить. Результаты приложить к отчету.
  5.  Решить данное дифференциальное уравнение в среде УМС Mathcad. Результаты представить в табличной форме и в виде графика.

вар.

Дифференциальное

уравнение

Нач. условия

Отрезок

[x0; xk]

Шаг

h

Метод

Точное решение

y0

y0

2

1

1

[0; 0,5]

0,05

2

  1.  Основные сведения исправленного метода Эйлера

В исправленном методе Эйлера для повышения точности в разложении искомой функции в ряд Тейлора учитываются три первых члена ряда Тейлора

.  (4.7)

При этом вторая производная находится по формуле правой односторонней конечной разности

.

Тогда из (4.7)

Или, с учетом вышеприведенных обозначений,

.

Аналогично для узла формулу исправленного метода Эйлера можно записать в виде

.  (4.8)

Рис. 4.2. Исправленный метод Эйлера

Структура этой формулы такая же, что и для метода Эйлера. Но вместо производной в начале элементарного участка здесь используется среднее значение производных в начале и в конце этого участка. То есть в исправленном методе Эйлера производная функции на интервале также принимается постоянной, но равной среднему значению производных в начале и в конце интервала. Это повышает точность решения уравнения.

Исправленный метод Эйлера иллюстрируется графиками на рис. 4.2. Здесь через и условно обозначены значения производных в начале и в конце элементарного участка , а через – их среднее значение. Как видно, локальная погрешность этого метода действительно меньше, чем для метода Эйлера.

Полученная схема решения является неявной, поскольку искомое значение входит в обе части уравнения (4.8). Поэтому используются две итерации. Сначала вычисляется промежуточное значение искомой функции в точке методом Эйлера по формуле (4.6)

,

а затем подставляется в уравнение (4.8):

.

Локальная погрешность исправленного метода Эйлера . Объем вычислений в этом методе больше, поскольку на каждом шаге значение функции вычисляется 2 раза. Алгоритм представлен на рис. П8,а.

  1.  Блок-схема алгоритма

Рис.1. Решение системы двух дифференциальных уравнений 1-го порядка методом Эйлера

  1.  Текст программы

program laba8;

uses crt;

label 1,2;

var x0,xk,y0,z0,h,x1,y2,y1,z1,z2,z,yt,n:real;

begin

clrscr;

y0:=1; x0:=0; xk:=0.5; h:=0.05; z0:=1; yt:=1;

writeln('Введите n');

read(n);

h:=(xk-x0)/n;

writeln('x=',x0,' ':7,' y=',y0,' ':7,' z=',z0,' ':7,'уточненное=',yt);

2:

x1:=x0+h;

if x1>xk then goto 1 else;

y2:=y0+h*z0;

z2:=z0+h*(-(1+z0*z0)/(1+x0*x0));

y1:=y0+(h/2)*(z0+z2);

z1:=z0+(h/2)*((-(1+z0*z0)/(1+x0*x0))

      +(-(1+z2*z2)/(1+x1*x1)));

yt:=1-x1+2*ln(1+x1);

writeln('x1=',x1:3:3, ' ':3, 'y1=',y1:3:4, ' '

 :3, 'z=',z1:3:4, ' ':3, 'yt=',yt:3:4, ' ':3);

x0:=x1;

y0:=y1;

z0:=z1;

goto 2;

1:

end. 

Рис.2. Результаты решения в среде Pascal

  1.  Результаты решения задачи в УМС MathCad

Список литературы

1. Турчак Л.И. Основы численных методов: учеб. пособие для вузов/ Л.И. Турчак, П.В. Плотников. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Физматлит, 2003. – 304 с.: ил. (Первое издание – 1987 г.)

2. Амосов А.А. Вычислительные методы для инженеров: учеб. пособие/ А.А. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. Копченова. – 2-е изд., доп. – М.: Изд-во МЭИ, 2003. – 596 с.: ил. (Первое издание – 1994 г.)

3. Макаров Е.Г. Инженерные расчеты в Mathcad (+СD)/ Е.Г. Макаров. – СПб.: Питер, 2007. – 592 с.: ил. +CD-ROM

4. Поршнев С.В. Численные методы на базе Mathcad/ С.В. Поршнев, И.В. Беленкова. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 464 с.: ил.

5. Николаев Н.Н. Вычислительная математика (Линейная алгебра. Приближенное представление функций): конспект лекций/ Н.Н. Николаев. Чуваш. ун-т. – Чебоксары, 1996. – 64 с.: ил.

6. Николаев Н.Н. Вычислительные методы. Определенные интегралы, нелинейные и дифференциальные уравнения: конспект лекций/ Н.Н. Николаев. Чуваш. ун-т. – Чебоксары, 2010. 96 с.: ил.

7. Николаев Н.Н. Основы работы в системе MATHCAD: вычислительные методы: лаб. практикум/ Н.Н. Николаев. – Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2011. – 116 с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

57505. Інформаційна система. Апаратна складова 85 KB
  Зображення на екрані монітора утворюється з окремих елементів зображення пікселів англ. picture element елемент зображення які інколи називаютьточками зображення. Вони забезпечують високу яскравість і контрастність зображення.
57506. Перші весняні квіти. Урок розвитку зв’язного мовлення 67 KB
  Вчити учнів описувати весняні квіти послідовно формувати думки та поєднувати їх у мовленні. Чайковський Вальс квітів відео Весняні квітиâ Спів соловейкаâ мультимедійна установка. Квіти Отже сьогодні ми навчимося описувати перші весняні квіти.
57507. Групи слів за значенням: синоніми, антоніми, омоніми, конспект уроку 43 KB
  Мета: поглибити знання про групи слів за значеннямформувати вміння визначати в реченнях і текстах синонімиантоніми й омоніми доречно вживати їх у мовленніутворювати синонімічні ряди добирати антонімічні пари...
57508. Дворцовые перевороты 62.5 KB
  Указ Петра I о престолонаследии. Задание учащимся: рассмотреть таблицу Дворцовые перевороты и ответить на вопрос: Что общего между правителями в эту эпоху Варианты ответов учащихся: Правителями были дальние и близкие родственники Петра I.
57509. Групи слів за значенням (синоніми, антоніми, омоніми, пароніми) 35.5 KB
  Скласти речення до кожної групи слів. Синоніми допомагають точніше висловлювати думку уникнути повторення однакових або співзвучних слів. З одним із слів скласти речення.
57510. Іменники-синоніми. Іменники-антоніми. Багатозначні слова 35 KB
  Мета: удосконалювати вміння вживати в мовленні іменники-синоніми антоніми як засіб увиразнення мовивміти застосовувати в мовленні багатозначні словарозвивати і збагачувати мовлення дітей виховувати інтерес до рідної мови.
57511. Омоніми 91 KB
  Мета: дати учням поняття про омоніми, формувати вміння визначати омоніми в реченнях, пояснювати їхнє лексичне значення, доречно вживати їх у мовленні; удосконалювати орфографічні та пунктуаційні навички.
57513. Слово. Значення слова 230.5 KB
  Мета: закріплювати знання про пряме і переносне значення слів багатозначність слова синоніми і антоніми удосконалювати навички користування фразеологізмами; збагачувати словниковий запас розвивати творче мислення та мовлення учнів...