41305

Численные методы и компьютерные технологии решения систем дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений n-го порядка

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Изучение численных методов и компьютерных технологий решения систем дифференциальных уравнений 1-го порядка и дифференциальных уравнений n-го порядка, приобретение практических навыков составления алгоритмов, программ и работы на ЭВМ.

Русский

2013-10-23

778.94 KB

32 чел.

Содержание

  1.  Цель работы……………………………………………………...…….3
  2.  Задание……………………………………………………………...….3
  3.  Основные сведения исправленного метода Эйлера….………...….3
  4.  Блок-схема алгоритма ...………………………………………..…....5
  5.  Текст программы ….……………………………………………...…..6
  6.  Результаты решения задачи в УМС MathCad…………………….........8

Список литературы…………………………………………………........9


  1.  Цель работы

Изучение численных методов и компьютерных технологий решения систем дифференциальных уравнений 1-го порядка и дифференциальных уравнений n-го порядка, приобретение практических навыков составления алгоритмов, программ и работы на ЭВМ.

  1.  Задание
  2.  Изучить численные методы и компьютерные технологии решения систем дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений n-го порядка.
  3.  Составить алгоритм и программу решения дифференциального уравнения 2-го порядка. Варианты даны в таблице. В программе предусмотреть вывод на печать значений аргумента, результатов численного решения, включая первую производную, точных значений функции и погрешности счета.
  4.  Ввести программу в ЭВМ, отладить ее и выполнить. Результаты приложить к отчету.
  5.  Решить данное дифференциальное уравнение в среде УМС Mathcad. Результаты представить в табличной форме и в виде графика.

вар.

Дифференциальное

уравнение

Нач. условия

Отрезок

[x0; xk]

Шаг

h

Метод

Точное решение

y0

y0

2

1

1

[0; 0,5]

0,05

2

  1.  Основные сведения исправленного метода Эйлера

В исправленном методе Эйлера для повышения точности в разложении искомой функции в ряд Тейлора учитываются три первых члена ряда Тейлора

.  (4.7)

При этом вторая производная находится по формуле правой односторонней конечной разности

.

Тогда из (4.7)

Или, с учетом вышеприведенных обозначений,

.

Аналогично для узла формулу исправленного метода Эйлера можно записать в виде

.  (4.8)

Рис. 4.2. Исправленный метод Эйлера

Структура этой формулы такая же, что и для метода Эйлера. Но вместо производной в начале элементарного участка здесь используется среднее значение производных в начале и в конце этого участка. То есть в исправленном методе Эйлера производная функции на интервале также принимается постоянной, но равной среднему значению производных в начале и в конце интервала. Это повышает точность решения уравнения.

Исправленный метод Эйлера иллюстрируется графиками на рис. 4.2. Здесь через и условно обозначены значения производных в начале и в конце элементарного участка , а через – их среднее значение. Как видно, локальная погрешность этого метода действительно меньше, чем для метода Эйлера.

Полученная схема решения является неявной, поскольку искомое значение входит в обе части уравнения (4.8). Поэтому используются две итерации. Сначала вычисляется промежуточное значение искомой функции в точке методом Эйлера по формуле (4.6)

,

а затем подставляется в уравнение (4.8):

.

Локальная погрешность исправленного метода Эйлера . Объем вычислений в этом методе больше, поскольку на каждом шаге значение функции вычисляется 2 раза. Алгоритм представлен на рис. П8,а.

  1.  Блок-схема алгоритма

Рис.1. Решение системы двух дифференциальных уравнений 1-го порядка методом Эйлера

  1.  Текст программы

program laba8;

uses crt;

label 1,2;

var x0,xk,y0,z0,h,x1,y2,y1,z1,z2,z,yt,n:real;

begin

clrscr;

y0:=1; x0:=0; xk:=0.5; h:=0.05; z0:=1; yt:=1;

writeln('Введите n');

read(n);

h:=(xk-x0)/n;

writeln('x=',x0,' ':7,' y=',y0,' ':7,' z=',z0,' ':7,'уточненное=',yt);

2:

x1:=x0+h;

if x1>xk then goto 1 else;

y2:=y0+h*z0;

z2:=z0+h*(-(1+z0*z0)/(1+x0*x0));

y1:=y0+(h/2)*(z0+z2);

z1:=z0+(h/2)*((-(1+z0*z0)/(1+x0*x0))

      +(-(1+z2*z2)/(1+x1*x1)));

yt:=1-x1+2*ln(1+x1);

writeln('x1=',x1:3:3, ' ':3, 'y1=',y1:3:4, ' '

 :3, 'z=',z1:3:4, ' ':3, 'yt=',yt:3:4, ' ':3);

x0:=x1;

y0:=y1;

z0:=z1;

goto 2;

1:

end. 

Рис.2. Результаты решения в среде Pascal

  1.  Результаты решения задачи в УМС MathCad

Список литературы

1. Турчак Л.И. Основы численных методов: учеб. пособие для вузов/ Л.И. Турчак, П.В. Плотников. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Физматлит, 2003. – 304 с.: ил. (Первое издание – 1987 г.)

2. Амосов А.А. Вычислительные методы для инженеров: учеб. пособие/ А.А. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. Копченова. – 2-е изд., доп. – М.: Изд-во МЭИ, 2003. – 596 с.: ил. (Первое издание – 1994 г.)

3. Макаров Е.Г. Инженерные расчеты в Mathcad (+СD)/ Е.Г. Макаров. – СПб.: Питер, 2007. – 592 с.: ил. +CD-ROM

4. Поршнев С.В. Численные методы на базе Mathcad/ С.В. Поршнев, И.В. Беленкова. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 464 с.: ил.

5. Николаев Н.Н. Вычислительная математика (Линейная алгебра. Приближенное представление функций): конспект лекций/ Н.Н. Николаев. Чуваш. ун-т. – Чебоксары, 1996. – 64 с.: ил.

6. Николаев Н.Н. Вычислительные методы. Определенные интегралы, нелинейные и дифференциальные уравнения: конспект лекций/ Н.Н. Николаев. Чуваш. ун-т. – Чебоксары, 2010. 96 с.: ил.

7. Николаев Н.Н. Основы работы в системе MATHCAD: вычислительные методы: лаб. практикум/ Н.Н. Николаев. – Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2011. – 116 с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39879. Проверка двигателя на перегрузочную способность и нагрев 483.5 KB
  В задании предполагается, что после отключения двигатель охлаждается до температуры окружающей среды. Время работы не превышает 90 мин, за которое двигатель не достигнет установившейся температуры. Следовательно, в задании имеет место кратковременный режим работы электродвигателя S2.
39880. Разработка технологии, позволяющей сократить выброс дихлорэтана в атмосферный воздух 299 KB
  Целью данного курсового проекта является разработка технологии позволяющей сократить выброс дихлорэтана в атмосферный воздух а уловленный дихлорэтан вернуть в процесс с дальнейшим снижением себестоимости товарного продукта. Сравнительно низкая температура кипения и высокая летучесть дихлорэтана позволяют легко и полностью удалять его как из экстрагированного продукта так и из остаточного материала. Газообразный этилен по трубопроводу из Стерлитамакского цеха N2204 АО Нижнекамскнефтехим поступает с давлением 0812 МПа которое...
39881. Разработка web-сайта ОАО Алейскзернопродукт имени С.Н. старовойтова 3.11 MB
  Выполняя дипломную работу я разобрался в том, что необходимо знать и уметь для создания Web-сайта, какое программное обеспечение является инструментарием создания Web-сайта и как эффективно его использовать. Мною изучен язык Web-программирования – HTML, который является общепринятым стандартом WWW.
39882. Разработка сайта ГОУ СПО Краснодарского торгово-экономического колледжа 11.59 MB
  При помощи сайта можно: передать всю необходимую информацию о колледже и о специальностях в том числе самые последние новости; наладить прямой контакт с абитуриентами и студентами например в форуме и с помощью блицопросов; современно разрекламировать колледж так чтобы иметь одновременно зрелищность телевизионной рекламы и информативность буклета. Таким образом целью дипломного проектирования является разработка сайта для Краснодарского торговоэкономического колледжа. Назначение и цели создания сайта В основе дипломной работы лежат...
39883. Создание Web-страниц 625.5 KB
  Объект исследования: наиболее подходящая программа для создания Webстраниц. Цель работы: создание Webстраниц. В дипломной работе выполнено: обзор программ для создания Webстраниц; сравнительный анализ Macromedia Dreamweaver и Front Page; описан процесс создания и разработки современного сайта; оценка экономической целесообразности использования персонального компьютера; правила охраны труда на рабочем месте оператора компьютерного набора и верстки. Webсайт Htmlпрограммирование ДИЗАЙН САЙТА FRONT PAGE MACROMEDIA DREAMWEAVER.
39884. Разработать принципиальную схему и текст программы контроллера на основе микропроцессора КР580 42 KB
  Алгоритмическое проектирование Процесс Основной Начало подается 0 на Селектор считывания температуры в основной камере Считывается значение температуры с Заданная температура в основной камере под 1 на Селектор считывания температуры в основной камере М1: сравнивается Заданное значение температуры в основной камере и Значение температуры в основной камере если больше то прыг на М2 иначе подается 0 на Включение основной камеры прыг на М1 М2: ожидаем 2 мин.5 часа то Авария М3: сравнивается Заданное значение температуры в морозильной...
39885. ОФОРМЛЕНИЕ ОБЯЗАТЕЛЬНЫХ УЧЕБНЫХ ДОКУМЕНТОВ 636.5 KB
  2 Примечания следует помещать непосредственно после текстового графического материала или таблицы к которым относятся эти примечания и печатать с прописной буквы с абзаца. Примечание к таблице помещают в конце таблицы над линией обозначающей окончание таблицы. Ссылки на подразделы пункты таблицы и иллюстрации не допускаются за исключением подразделов пунктов таблиц и иллюстраций данного документа Ссылка заключается в квадратные скобки [ ] содержит порядковой номер документа в СПИСКЕ ЛИТЕРАТУРЫ указание страниц. Сноски помещают с...
39886. Разработка программного обеспечения для ведения финансовой отчетности Кировской территориальной избирательной комиссии 309 KB
  Во всех территориальных избирательных комиссиях на постоянной штатной основе работают председатели в Мурманской территориальной избирательной комиссии в связи с большим числом избирателей на штатной основе работает и секретарь главные бухгалтеры. Кроме того для обеспечения передачи данных о ходе проводимых избирательных кампаний в вышестоящие избирательные комиссии председателям территориальных избирательных комиссий оперативно подчиняются системные администраторы ГАС Выборы работающие в аппарате Комиссии области. Для обеспечения...
39887. Разработать на основе МПК I8085 контроллер управления, обеспечивающий и поддерживающий определенную температуру (точность: плюс/минус 0.1 С) в холодильной камере, в зависимости от вида продукции для хранения 204.08 KB
  3 Постановка задачи4 Структурная схема устройства5 Общая схема алгоритма.6 Функциональная схема8 Детальная схема алгоритма. Структурная организация устройства Общая схема алгоритма Основная программа Х1: 1 значение с датчиков равно значению с переключателей; 0 не равно; Х2: 1 значение датчика больше чем значение переключателей; 0 меньше: Рис. Общая схема алгоритма работы устройства.