41305

Численные методы и компьютерные технологии решения систем дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений n-го порядка

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Изучение численных методов и компьютерных технологий решения систем дифференциальных уравнений 1-го порядка и дифференциальных уравнений n-го порядка, приобретение практических навыков составления алгоритмов, программ и работы на ЭВМ.

Русский

2013-10-23

778.94 KB

31 чел.

Содержание

  1.  Цель работы……………………………………………………...…….3
  2.  Задание……………………………………………………………...….3
  3.  Основные сведения исправленного метода Эйлера….………...….3
  4.  Блок-схема алгоритма ...………………………………………..…....5
  5.  Текст программы ….……………………………………………...…..6
  6.  Результаты решения задачи в УМС MathCad…………………….........8

Список литературы…………………………………………………........9


  1.  Цель работы

Изучение численных методов и компьютерных технологий решения систем дифференциальных уравнений 1-го порядка и дифференциальных уравнений n-го порядка, приобретение практических навыков составления алгоритмов, программ и работы на ЭВМ.

  1.  Задание
  2.  Изучить численные методы и компьютерные технологии решения систем дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений n-го порядка.
  3.  Составить алгоритм и программу решения дифференциального уравнения 2-го порядка. Варианты даны в таблице. В программе предусмотреть вывод на печать значений аргумента, результатов численного решения, включая первую производную, точных значений функции и погрешности счета.
  4.  Ввести программу в ЭВМ, отладить ее и выполнить. Результаты приложить к отчету.
  5.  Решить данное дифференциальное уравнение в среде УМС Mathcad. Результаты представить в табличной форме и в виде графика.

вар.

Дифференциальное

уравнение

Нач. условия

Отрезок

[x0; xk]

Шаг

h

Метод

Точное решение

y0

y0

2

1

1

[0; 0,5]

0,05

2

  1.  Основные сведения исправленного метода Эйлера

В исправленном методе Эйлера для повышения точности в разложении искомой функции в ряд Тейлора учитываются три первых члена ряда Тейлора

.  (4.7)

При этом вторая производная находится по формуле правой односторонней конечной разности

.

Тогда из (4.7)

Или, с учетом вышеприведенных обозначений,

.

Аналогично для узла формулу исправленного метода Эйлера можно записать в виде

.  (4.8)

Рис. 4.2. Исправленный метод Эйлера

Структура этой формулы такая же, что и для метода Эйлера. Но вместо производной в начале элементарного участка здесь используется среднее значение производных в начале и в конце этого участка. То есть в исправленном методе Эйлера производная функции на интервале также принимается постоянной, но равной среднему значению производных в начале и в конце интервала. Это повышает точность решения уравнения.

Исправленный метод Эйлера иллюстрируется графиками на рис. 4.2. Здесь через и условно обозначены значения производных в начале и в конце элементарного участка , а через – их среднее значение. Как видно, локальная погрешность этого метода действительно меньше, чем для метода Эйлера.

Полученная схема решения является неявной, поскольку искомое значение входит в обе части уравнения (4.8). Поэтому используются две итерации. Сначала вычисляется промежуточное значение искомой функции в точке методом Эйлера по формуле (4.6)

,

а затем подставляется в уравнение (4.8):

.

Локальная погрешность исправленного метода Эйлера . Объем вычислений в этом методе больше, поскольку на каждом шаге значение функции вычисляется 2 раза. Алгоритм представлен на рис. П8,а.

  1.  Блок-схема алгоритма

Рис.1. Решение системы двух дифференциальных уравнений 1-го порядка методом Эйлера

  1.  Текст программы

program laba8;

uses crt;

label 1,2;

var x0,xk,y0,z0,h,x1,y2,y1,z1,z2,z,yt,n:real;

begin

clrscr;

y0:=1; x0:=0; xk:=0.5; h:=0.05; z0:=1; yt:=1;

writeln('Введите n');

read(n);

h:=(xk-x0)/n;

writeln('x=',x0,' ':7,' y=',y0,' ':7,' z=',z0,' ':7,'уточненное=',yt);

2:

x1:=x0+h;

if x1>xk then goto 1 else;

y2:=y0+h*z0;

z2:=z0+h*(-(1+z0*z0)/(1+x0*x0));

y1:=y0+(h/2)*(z0+z2);

z1:=z0+(h/2)*((-(1+z0*z0)/(1+x0*x0))

      +(-(1+z2*z2)/(1+x1*x1)));

yt:=1-x1+2*ln(1+x1);

writeln('x1=',x1:3:3, ' ':3, 'y1=',y1:3:4, ' '

 :3, 'z=',z1:3:4, ' ':3, 'yt=',yt:3:4, ' ':3);

x0:=x1;

y0:=y1;

z0:=z1;

goto 2;

1:

end. 

Рис.2. Результаты решения в среде Pascal

  1.  Результаты решения задачи в УМС MathCad

Список литературы

1. Турчак Л.И. Основы численных методов: учеб. пособие для вузов/ Л.И. Турчак, П.В. Плотников. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Физматлит, 2003. – 304 с.: ил. (Первое издание – 1987 г.)

2. Амосов А.А. Вычислительные методы для инженеров: учеб. пособие/ А.А. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. Копченова. – 2-е изд., доп. – М.: Изд-во МЭИ, 2003. – 596 с.: ил. (Первое издание – 1994 г.)

3. Макаров Е.Г. Инженерные расчеты в Mathcad (+СD)/ Е.Г. Макаров. – СПб.: Питер, 2007. – 592 с.: ил. +CD-ROM

4. Поршнев С.В. Численные методы на базе Mathcad/ С.В. Поршнев, И.В. Беленкова. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 464 с.: ил.

5. Николаев Н.Н. Вычислительная математика (Линейная алгебра. Приближенное представление функций): конспект лекций/ Н.Н. Николаев. Чуваш. ун-т. – Чебоксары, 1996. – 64 с.: ил.

6. Николаев Н.Н. Вычислительные методы. Определенные интегралы, нелинейные и дифференциальные уравнения: конспект лекций/ Н.Н. Николаев. Чуваш. ун-т. – Чебоксары, 2010. 96 с.: ил.

7. Николаев Н.Н. Основы работы в системе MATHCAD: вычислительные методы: лаб. практикум/ Н.Н. Николаев. – Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2011. – 116 с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

10752. Информационный менеджмент (ИМ) 105.46 KB
  Информационный менеджмент ИМ Оглавление Введение1 Тема 1. Развитие ИС и обеспечение ее обслуживания2 Тема 2. Планирование в среде ИС4 Тема 3. Формирование организационной структуры в области информатизации8 Тема 4. Использование и эксплуатация ИС12 Тема 5. Фо
10753. Система прогнозирования поступления абитуриента в вуз 452.5 KB
  Система прогнозирования поступления абитуриента в вуз Курсовая работа 6. Проведение исследования выборки с помощью программы Прогноз поступления. Детальное исследование выборки с помощью нейросетевого пакета Neuro Pro 0.25..
10754. Использование различных алгоритмов обучения нейронной сети в задаче прогнозирования букмекерских коэффициентов 217.5 KB
  Курсовая работа Нейросетевые технологии и их применение Использование различных алгоритмов обучения нейронной сети в задаче прогнозирования букмекерских коэффициентов...
10755. Нейросетевой детектор лжи 280.5 KB
  Нейросетевой детектор лжи Курсовая работа Содержание Введение История детектора лжи в России Детектор лжи в аэропортах Правовое применение полиграфа детектора лжи в России Отношение россиян к детектору лжи Разработка нейросетевого де...
10756. Распознавание речи при помощи нейронных сетей 657 KB
  Метод фильтрации шума Построение русских акустических моделей Требования при построении аудиокорпусов [Фонетические алфавиты Формирование базового русского фонетического словаря Словарь для распознавания ре...
10757. Практикум по многослойным нейронным сетям 115 KB
  Чтобы заинтересовать учеников, поставлена конкретная часто встречающаяся проблема, знакомая каждому школьнику. Учащийся знаком с этой областью на требуемом уровне. Ведь практически каждый из нас болел простудой и знает как это бывает..
10758. Системы синтеза речи с использованием нейронных сетей 403.5 KB
  Теоретическая часть Синтаксический анализатор Фундамент синтаксического анализа. Морфологический и предсинтаксический анализ Заключение Список литературы: Введение Первые говорящие машины пы...
10759. Распознавание автомобильных номеров с помощью нейронных сетей 171.5 KB
  Курсовая работа на тему: Распознавание автомобильных номеров с помощью нейронных сетей. Содержание Введение. 3 Постановка задачи 4 Глава 1. Существующие системы и методы распознавания 4 Глава 2. Шаблоннонейросетевой метод распознавания 8 Ито