41305

Численные методы и компьютерные технологии решения систем дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений n-го порядка

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Изучение численных методов и компьютерных технологий решения систем дифференциальных уравнений 1-го порядка и дифференциальных уравнений n-го порядка, приобретение практических навыков составления алгоритмов, программ и работы на ЭВМ.

Русский

2013-10-23

778.94 KB

33 чел.

Содержание

  1.  Цель работы……………………………………………………...…….3
  2.  Задание……………………………………………………………...….3
  3.  Основные сведения исправленного метода Эйлера….………...….3
  4.  Блок-схема алгоритма ...………………………………………..…....5
  5.  Текст программы ….……………………………………………...…..6
  6.  Результаты решения задачи в УМС MathCad…………………….........8

Список литературы…………………………………………………........9


  1.  Цель работы

Изучение численных методов и компьютерных технологий решения систем дифференциальных уравнений 1-го порядка и дифференциальных уравнений n-го порядка, приобретение практических навыков составления алгоритмов, программ и работы на ЭВМ.

  1.  Задание
  2.  Изучить численные методы и компьютерные технологии решения систем дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений n-го порядка.
  3.  Составить алгоритм и программу решения дифференциального уравнения 2-го порядка. Варианты даны в таблице. В программе предусмотреть вывод на печать значений аргумента, результатов численного решения, включая первую производную, точных значений функции и погрешности счета.
  4.  Ввести программу в ЭВМ, отладить ее и выполнить. Результаты приложить к отчету.
  5.  Решить данное дифференциальное уравнение в среде УМС Mathcad. Результаты представить в табличной форме и в виде графика.

вар.

Дифференциальное

уравнение

Нач. условия

Отрезок

[x0; xk]

Шаг

h

Метод

Точное решение

y0

y0

2

1

1

[0; 0,5]

0,05

2

  1.  Основные сведения исправленного метода Эйлера

В исправленном методе Эйлера для повышения точности в разложении искомой функции в ряд Тейлора учитываются три первых члена ряда Тейлора

.  (4.7)

При этом вторая производная находится по формуле правой односторонней конечной разности

.

Тогда из (4.7)

Или, с учетом вышеприведенных обозначений,

.

Аналогично для узла формулу исправленного метода Эйлера можно записать в виде

.  (4.8)

Рис. 4.2. Исправленный метод Эйлера

Структура этой формулы такая же, что и для метода Эйлера. Но вместо производной в начале элементарного участка здесь используется среднее значение производных в начале и в конце этого участка. То есть в исправленном методе Эйлера производная функции на интервале также принимается постоянной, но равной среднему значению производных в начале и в конце интервала. Это повышает точность решения уравнения.

Исправленный метод Эйлера иллюстрируется графиками на рис. 4.2. Здесь через и условно обозначены значения производных в начале и в конце элементарного участка , а через – их среднее значение. Как видно, локальная погрешность этого метода действительно меньше, чем для метода Эйлера.

Полученная схема решения является неявной, поскольку искомое значение входит в обе части уравнения (4.8). Поэтому используются две итерации. Сначала вычисляется промежуточное значение искомой функции в точке методом Эйлера по формуле (4.6)

,

а затем подставляется в уравнение (4.8):

.

Локальная погрешность исправленного метода Эйлера . Объем вычислений в этом методе больше, поскольку на каждом шаге значение функции вычисляется 2 раза. Алгоритм представлен на рис. П8,а.

  1.  Блок-схема алгоритма

Рис.1. Решение системы двух дифференциальных уравнений 1-го порядка методом Эйлера

  1.  Текст программы

program laba8;

uses crt;

label 1,2;

var x0,xk,y0,z0,h,x1,y2,y1,z1,z2,z,yt,n:real;

begin

clrscr;

y0:=1; x0:=0; xk:=0.5; h:=0.05; z0:=1; yt:=1;

writeln('Введите n');

read(n);

h:=(xk-x0)/n;

writeln('x=',x0,' ':7,' y=',y0,' ':7,' z=',z0,' ':7,'уточненное=',yt);

2:

x1:=x0+h;

if x1>xk then goto 1 else;

y2:=y0+h*z0;

z2:=z0+h*(-(1+z0*z0)/(1+x0*x0));

y1:=y0+(h/2)*(z0+z2);

z1:=z0+(h/2)*((-(1+z0*z0)/(1+x0*x0))

      +(-(1+z2*z2)/(1+x1*x1)));

yt:=1-x1+2*ln(1+x1);

writeln('x1=',x1:3:3, ' ':3, 'y1=',y1:3:4, ' '

 :3, 'z=',z1:3:4, ' ':3, 'yt=',yt:3:4, ' ':3);

x0:=x1;

y0:=y1;

z0:=z1;

goto 2;

1:

end. 

Рис.2. Результаты решения в среде Pascal

  1.  Результаты решения задачи в УМС MathCad

Список литературы

1. Турчак Л.И. Основы численных методов: учеб. пособие для вузов/ Л.И. Турчак, П.В. Плотников. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Физматлит, 2003. – 304 с.: ил. (Первое издание – 1987 г.)

2. Амосов А.А. Вычислительные методы для инженеров: учеб. пособие/ А.А. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. Копченова. – 2-е изд., доп. – М.: Изд-во МЭИ, 2003. – 596 с.: ил. (Первое издание – 1994 г.)

3. Макаров Е.Г. Инженерные расчеты в Mathcad (+СD)/ Е.Г. Макаров. – СПб.: Питер, 2007. – 592 с.: ил. +CD-ROM

4. Поршнев С.В. Численные методы на базе Mathcad/ С.В. Поршнев, И.В. Беленкова. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 464 с.: ил.

5. Николаев Н.Н. Вычислительная математика (Линейная алгебра. Приближенное представление функций): конспект лекций/ Н.Н. Николаев. Чуваш. ун-т. – Чебоксары, 1996. – 64 с.: ил.

6. Николаев Н.Н. Вычислительные методы. Определенные интегралы, нелинейные и дифференциальные уравнения: конспект лекций/ Н.Н. Николаев. Чуваш. ун-т. – Чебоксары, 2010. 96 с.: ил.

7. Николаев Н.Н. Основы работы в системе MATHCAD: вычислительные методы: лаб. практикум/ Н.Н. Николаев. – Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2011. – 116 с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83448. Поняття основних принципів міжнародного права 36.28 KB
  Основні принципи міжнародного права це система основоположних норм міжнародного права які регулюють відносини між його субєктами і є критерієм правомірності міжнародних правотворчого і правозастосовчого процесів дійсності інших міжнародноправових норм. Не всі принципи міжнародного права є універсальними нормами. Існують також регіональні принципи принцип непорушності державних кордонів партикулярних локальних принципів міжнародного права.
83450. Функції основних принципів міжнародного права 32.08 KB
  Лукашуком основними функціями принципів міжнародного права є: 1 . Сприяння становленню і розвитку системи міжнародного права як безпосередньо так і шляхом обєднання норм інститутів і галузей навколо власних загальнообовязкових правил. Закріплення основних прав обовязків і законних інтересів субєктів міжнародного права визначення основ їх взаємодії шляхом встановлення правових статусів.
83451. Перелік основних принципів міжнародного права. Нормативний зміст основних принципів міжнародного права 38.27 KB
  Нормативний зміст основних принципів міжнародного права Відповідно до принципу незастосування сили або погрози силою всі держави зобовязані утримуватися від погрози силою або її застосування проти територіальної недоторканості та політичної незалежності інших держав або будьяким іншим чином несумісним з цілями ООН. До нормативного змісту принципу також включається: заборона окупації території іншої держави у порушення норм міжнародного права; заборона актів репресалій пов\'язаних із застосуванням сили; надання державою своєї території...
83452. Поняття та види субєктів міжнародного права 36.75 KB
  У міжнародному праві немає норми яка б містила вичерпний перелік субєктів міжнародного права. Єдиним джерелом в якому згадуються субєкти міжнародного права є стаття 3 Віденської конвенції про право міжнародних договорів 1969 р. Конвенція не застосовується до міжнародних угод укладених між державами та іншими субєктами міжнародного права або між такими іншими суб\'єктами міжнародного права.
83453. Поняття та зміст міжнародної правосубєктності 33.66 KB
  Зміст міжнародної правосубєктності залежить від виду субєкта міжнародного права. Найширший він у держав, міжнародна правосубєктність якихєуніверсальною (повною) тавключаєздатністьдо:
83454. Обмеження міжнародної правосубєктності 37.78 KB
  Ці території характеризувалися обмеженням або відсутністю суверенітету а звідси міжнародної правосуб\'єктності. Колонії це залежні території що знаходяться під владою іноземної держави метрополії без самостійної політичної та економічної влади управління якими здійснюється в особливому порядку. В залежності від ступеню самоврядування колонії поділялися на: самоврядні колонії домініони які пройшли розвиток від повної відсутності міжнародної правосуб\'єктності до часткової правосуб\'єктності а згодом й до повної правосуб\'єктності;...
83455. Міжнародна правосуб’єктність держав. Зміст правосуб’єктності держав. Основні права та обов’язки держав 37.61 KB
  Слід підкреслити що всі держави мають статус суб\'єкта міжнародного права. Саме держави можуть створювати інші суб\'єкти міжнародного права. Єдиним міжнародним договором в якому надано дефініцію держави є Конвенція про права та обов\'язки держав 1933 р. Не дивлячись на регіональний характер цієї Конвенції в доктрині міжнародного права стаття 1 Конвенції використовується для визначення держави як суб\'єкта міжнародного права.
83456. Унітарні та складні держави 37.87 KB
  Федерація це союзна держава субєкти якої володіють значною самостійністю у внутріїпніх справах а зовнішні зносини віднесені до компетенції центральної влади. Субєкти федерації не мають права на зовнішньополітичні зносини але можуть підтримувати економічні культурні наукові стосунки з іншими державами. Субєктом міжнародного права виступає федерація в цілому. За принципом виділення субєктів федерації поділяються на: національні побудовані за національним принципом виділення субєктів федерації наприклад Індія; територіальні ...