41307

Метод конечных разностей для решения дифференциальных уравнений в частных производных, способы построения трехмерных графиков в среде УМС Mathcad

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Графики функции.Предусмотреть счетчик числа уточнений итераций значений функции. Значения функции выводить в виде матрицы. Построить график функции fxy.

Русский

2013-10-23

591.35 KB

121 чел.

Содержание

  1.  Цель работы…………………………………………………………….3
  2.  Задание………………………………………………………………….3
  3.  Основные сведения……………………………………………………..3
  4.  Блок-схема алгоритма ……...………………………………………….6
  5.  Текст программы ….…………………………………………………...7
  6.  Графики функции   ……………………….…...…………………10
  7.  Список литературы…………………………………………………….11


  1.  Цель работы

Изучение метода конечных разностей, решение уравнения Лапласа на плоскости, приобретение практических навыков составления схем алгоритмов, программ, построения трехмерных графиков в среде УМС Mathcad и работы на ЭВМ.

  1.  Задание
  2.  Изучить метод конечных разностей для решения дифференциальных уравнений в частных производных, способы построения трехмерных графиков в среде УМС Mathcad.
  3.  Составить алгоритм и программу решения задачи Дирихле. Предусмотреть счетчик числа уточнений (итераций) значений функции. Значения функции выводить в виде матрицы. Варианты заданий в таблице.
  4.  Ввести программу в ЭВМ, отладить ее и выполнить. Результаты приложить к отчету.
  5.  Построить график функции f(x,y).

вар.

Область решения

Граничные условия

a

b

c

d

25

0,1

1,1

0,1

1,1

  1.  Основные сведения

МКР является универсальным методом решения дифференциальных уравнений. Ранее было рассмотрено применение МКР при решении краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с граничными условиями. Как и для этих задач, решение дифференциальных уравнений с частными производными МКР проводится в два этапа.

1. Разностная или дискретная аппроксимация дифференциального уравнения на сетке и формирование системы разностных уравнений.

2. Решение системы разностных уравнений и определение значений искомой функции в узлах разностной сетки.

На этапе разностной аппроксимации сначала строится разностная сетка на плоскости или в пространстве, как правило, равномерная. Все частные и смешанные производные, входящие в дифференциальное уравнение, заменяются формулами численного дифференцирования (выражаются через конечные разности). В результате получается разностное уравнение, содержащее неизвестные значения функции в узлах разностной сетки. Это уравнение называется разностной схемой. Далее это разностное уравнение записывается для каждого узла разностной сетки, где нужно определить искомую функцию. В результате получается система разностных уравнений. В частности, для дифференциального уравнения с двумя независимыми переменными часто используется двумерная прямоугольная разностная сетка, часто с равными шагами h по координатам x и y. Для этого заданный интервал [a,b] по оси 0х делится на n равных участков с равномерным шагом . А интервал [c,d] по оси 0y – на m равных участков с таким же шагом .

Рис. 6.1. Аппроксимация частных производных

Выразим производные функции двух переменных в узле через конечные разности (рис 6.1). Принадлежность функции к данному узлу будем обозначать соответствующими индексами при знаке функции f:

,

и т.п.

При использовании формул односторонней и центральной конечных разностей (ОКР, ЦКР) частная производная первого порядка функции по x выразятся следующим образом:

• левые ОКР    – ;

• правые ОКР  – ;

• ЦКР           – .

Аналогичные формулы получаются для частной производной по у:

• левые ОКР    – ;

• правые ОКР – ;

• ЦКР         – .

Вторые производные по переменным x и y находятся по аналогичным для функции одной переменной формулам

Смешанная производная находится с использованием формулы ЦКР

Аналогичным образом можно получить формулы для частных и смешанных производных для случаев, когда шаги разностной сетки по осям x и y различные. Также можно рассматривать разностные сетки для трехмерного пространства и получить соответствующие формулы.

  1.  Блок-схема алгоритма

Рис.1 Решение уравнения Лапласа методом конечных разностей

  1.  Текст программы

program lab10;

uses crt;

label 1,2;

const a=0.1;

     c=0.1;

     b=1.1;

     dd=1.1;

var x,y,h,e,be,v,d:real;

   i,j,n,m,k,l:integer;

   f:array [0..100,0..100] of real;

begin

clrscr;

write('Введите размерность матрицы n=');

readln(n);

m:=n;

write('Введите точность e=');

readln(e);

write('Введите допустимое число итераций l=');

readln(l);

h:=(b-a)/n;

i:=0; j:=0;

x:=0.2;

y:=0.2;

for j:=0 to m do

begin

f[n,j]:=0.13*x+0.2*y;

x:=x+h;

end;

i:=0; j:=0;

x:=0.1;

y:=0.1;

for i:=n downto 0 do

begin

f[i,j]:=0.13*x+0.2*y;

y:=y+h;

end;

i:=0; j:=0;

x:=0.1;

y:=1.1;

for j:=0 to m do

begin

f[i,j]:=0.13*x+0.2*y;

x:=x+h;

end;

i:=0; j:=0;

x:=1.1;

y:=0.1;

for i:=n downto 0 do

begin

f[i,n]:=0.13*x+0.2*y;

y:=y+h;

end;

writeln('Вывод массива границ');

for i:=1 to n-1 do

for j:=1 to m-1 do

f[i,j]:=0;

for i:=0 to n do

begin

for j:=0 to m do

begin

write(f[i,j]:5:3,' ');

end;

writeln;

end;

k:=0;

1:

be:=0;

for i:=1 to n-1 do

for j:=1 to m-1 do

begin

v:=(f[i-1,j]+f[i+1,j]+f[i,j-1]+f[i,j+1])/4;

d:=abs(v-f[i,j]);

f[i,j]:=v;

if be<d then be:=d;

k:=k+1; if k>=l then begin writeln('Превышено число итераций'); goto 2; end;

end;

if be<=e then begin

writeln('Конечный массив');

for i:=0 to n do

begin

for j:=0 to m do

begin

write(f[i,j]:5:3,' ');

end;

writeln;

end; end else goto 1;

2:

writeln('Число итераций k=',k);

end.

Результат решения в среде Pascal:

Начальные условия:

Размерность матрицы n=10

Точность решения ε=0.00001

Число допустимых итераций l=10000

  1.  График функции

                                 


Список литературы

1. Турчак Л.И. Основы численных методов: учеб. пособие для вузов/ Л.И. Турчак, П.В. Плотников. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Физматлит, 2003. – 304 с.: ил. (Первое издание – 1987 г.)

2. Амосов А.А. Вычислительные методы для инженеров: учеб. пособие/ А.А. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. Копченова. – 2-е изд., доп. – М.: Изд-во МЭИ, 2003. – 596 с.: ил. (Первое издание – 1994 г.)

3. Макаров Е.Г. Инженерные расчеты в Mathcad (+СD)/ Е.Г. Макаров. – СПб.: Питер, 2007. – 592 с.: ил. +CD-ROM

4. Поршнев С.В. Численные методы на базе Mathcad/ С.В. Поршнев, И.В. Беленкова. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 464 с.: ил.

5. Николаев Н.Н. Вычислительная математика (Линейная алгебра. Приближенное представление функций): конспект лекций/ Н.Н. Николаев. Чуваш. ун-т. – Чебоксары, 1996. – 64 с.: ил.

6. Николаев Н.Н. Вычислительные методы. Определенные интегралы, нелинейные и дифференциальные уравнения: конспект лекций/ Н.Н. Николаев. Чуваш. ун-т. – Чебоксары, 2010. 96 с.: ил.

7. Николаев Н.Н. Основы работы в системе MATHCAD: вычислительные методы: лаб. практикум/ Н.Н. Николаев. – Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2011. – 116 с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22775. Ініціативи дипломатії УРСР в 00Н 41 KB
  Концепції нейтралітету та позаблоковості в зовнішній політиці України. Відносини України з країнами Африки. Концепція нейтралітету та позаблоковостів в зовнішній політиці України. зазначається про намір України стати нейтральною однак в цьому документі крім положень що фіксують оборонний характер військової доктрини можна зустріти тезу про те що У дотримується свого позаблокового статусу.
22776. Створення та розгортання діяльності Наркомату закордонних справ УРСР 39.5 KB
  Механізм формування та реалізації зовнішньої політики України. Правда дещо несподіваною виявилася кандидатура наркома закордонних справ України. Механізм формування та реалізації зовнішньої політики України. Під керівництвом Президента України практична реалізація зовнішньополітичної діяльності забезпечується Кабінетом Міністрів України і здійснюється Міністерством закордонних справ іншими центральними органами державної виконавчої влади на основі Конституції і законів України.
22777. Українське питання на завершальному етапі Другої світової війни 42 KB
  Засади та основні напрямки зовнішньої політики України. Під кінець війни міжнародний авторитет України зріс збільшувалась увага в світі до життя й долі українського народу. Правда дещо несподіваною виявилася кандидатура наркома закордонних справ України. Засади та основні напрямки зовнішньої політики України З погляду концептуальної визначеності зовнішньополітичного курсу України особливо велике значення мав документ схвалений Верховною Радою України 2 липня 1993 р.
22778. УРСР на міжнародній арені 1944-1949 рр 56 KB
  Національні інтереси України зовнішній аспект. Співробітництво України в Чорноморському регіоні. Про значний міжнародний авторитет України свідчило обрання Д. Національні інтереси України зовнішній аспект.
22779. Зовнішньополітична діяльність закордонних українських громадсько-політичних організацій в повоєнній добі 45 KB
  Концепція стратегічного партнерства в зовнішній політиці України. Розбудова відносин України з країнами Африки. Концепції стратегічного партнерства в зовнішній політиці України Стратегічне партнерство являє собою стан відносин що характеризуються наявністю комплексних стратегічних інтересів в сіх сферах діяльності двох сторін з огляду на певну політичну взаємозалежність та готовність до застосування компромісних механізмів узгодження спільних інтересів. Але у випадку з нашою державою така взаємозалежність є асиметричною і як правило...
22780. Двосторонні договори та угоди УРСР 1944-1949 рр.: зміст, значення, наслідки 51 KB
  Проте дослідники звертали увагу на три справжні причини такого ставлення приховану надію на повернення західноукраїнських земель очікування можливої війни між союзниками СРСР та Великою Британією й США невдоволення поляків характером і діяльністю ПКНВ. Україну як незалежну державу США визнали 26 грудня 1991р. Кравчука до США. В ході візиту було підписано низку документів зокрема політичну декларацію та меморандум про взаєморозуміння між урядами України та США.
22781. Проблема множинного представництва на завершальному етапі II світової війни 83.5 KB
  Етапи відносин України та Російської Федерації. Передбачалося що на початку роботи конференції делегати Великобританії й США підтримають пропозицію про допуск до первісного членства двох радянських республік України та Білорусії. Етапи відносин України та Російської Федерації. розстрілу Білого дому та зміцнення позицій реформаторів у Кремлі курс щодо України став жорсткішим що виявилось у намаганнях на дострокових виборах 1994 р.
22782. Участь делегації УРСР в роботі Паризької мирної конференції 67.5 KB
  Відносини ЄССШАУ країна. міністри закордонних справ Англії США Франції й СРСР опублікували Декларацію про колишні італійські колоніальні володіння в Африці яка стала основою для Спільної декларації з цього питання і була підписана разом із мирними угодами. Відносини ЄС Україна США. Геополітичний простір України передбачає визначення таких пріоритетних зовнішньополітичних напрямків як ЄС перспективна мета на інтеграцію до європейського політичного економічного правового простору РФ найбільший впливовий сусід відносини з...
22783. Зовнішньополітична діяльність УРСР у 1950-1980-х рр. 47 KB
  ГУУАМ: мета та основні напрямки співробітництва. ГУУАМ: мета основні напрямки і перспективи діяльності. Розширене обєднання держав отримало назву ГУУАМ. ГУУАМ має органічно доповнювати механізми співробітництва в регіоні.