41307

Метод конечных разностей для решения дифференциальных уравнений в частных производных, способы построения трехмерных графиков в среде УМС Mathcad

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Графики функции.Предусмотреть счетчик числа уточнений итераций значений функции. Значения функции выводить в виде матрицы. Построить график функции fxy.

Русский

2013-10-23

591.35 KB

99 чел.

Содержание

  1.  Цель работы…………………………………………………………….3
  2.  Задание………………………………………………………………….3
  3.  Основные сведения……………………………………………………..3
  4.  Блок-схема алгоритма ……...………………………………………….6
  5.  Текст программы ….…………………………………………………...7
  6.  Графики функции   ……………………….…...…………………10
  7.  Список литературы…………………………………………………….11


  1.  Цель работы

Изучение метода конечных разностей, решение уравнения Лапласа на плоскости, приобретение практических навыков составления схем алгоритмов, программ, построения трехмерных графиков в среде УМС Mathcad и работы на ЭВМ.

  1.  Задание
  2.  Изучить метод конечных разностей для решения дифференциальных уравнений в частных производных, способы построения трехмерных графиков в среде УМС Mathcad.
  3.  Составить алгоритм и программу решения задачи Дирихле. Предусмотреть счетчик числа уточнений (итераций) значений функции. Значения функции выводить в виде матрицы. Варианты заданий в таблице.
  4.  Ввести программу в ЭВМ, отладить ее и выполнить. Результаты приложить к отчету.
  5.  Построить график функции f(x,y).

вар.

Область решения

Граничные условия

a

b

c

d

25

0,1

1,1

0,1

1,1

  1.  Основные сведения

МКР является универсальным методом решения дифференциальных уравнений. Ранее было рассмотрено применение МКР при решении краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с граничными условиями. Как и для этих задач, решение дифференциальных уравнений с частными производными МКР проводится в два этапа.

1. Разностная или дискретная аппроксимация дифференциального уравнения на сетке и формирование системы разностных уравнений.

2. Решение системы разностных уравнений и определение значений искомой функции в узлах разностной сетки.

На этапе разностной аппроксимации сначала строится разностная сетка на плоскости или в пространстве, как правило, равномерная. Все частные и смешанные производные, входящие в дифференциальное уравнение, заменяются формулами численного дифференцирования (выражаются через конечные разности). В результате получается разностное уравнение, содержащее неизвестные значения функции в узлах разностной сетки. Это уравнение называется разностной схемой. Далее это разностное уравнение записывается для каждого узла разностной сетки, где нужно определить искомую функцию. В результате получается система разностных уравнений. В частности, для дифференциального уравнения с двумя независимыми переменными часто используется двумерная прямоугольная разностная сетка, часто с равными шагами h по координатам x и y. Для этого заданный интервал [a,b] по оси 0х делится на n равных участков с равномерным шагом . А интервал [c,d] по оси 0y – на m равных участков с таким же шагом .

Рис. 6.1. Аппроксимация частных производных

Выразим производные функции двух переменных в узле через конечные разности (рис 6.1). Принадлежность функции к данному узлу будем обозначать соответствующими индексами при знаке функции f:

,

и т.п.

При использовании формул односторонней и центральной конечных разностей (ОКР, ЦКР) частная производная первого порядка функции по x выразятся следующим образом:

• левые ОКР    – ;

• правые ОКР  – ;

• ЦКР           – .

Аналогичные формулы получаются для частной производной по у:

• левые ОКР    – ;

• правые ОКР – ;

• ЦКР         – .

Вторые производные по переменным x и y находятся по аналогичным для функции одной переменной формулам

Смешанная производная находится с использованием формулы ЦКР

Аналогичным образом можно получить формулы для частных и смешанных производных для случаев, когда шаги разностной сетки по осям x и y различные. Также можно рассматривать разностные сетки для трехмерного пространства и получить соответствующие формулы.

  1.  Блок-схема алгоритма

Рис.1 Решение уравнения Лапласа методом конечных разностей

  1.  Текст программы

program lab10;

uses crt;

label 1,2;

const a=0.1;

     c=0.1;

     b=1.1;

     dd=1.1;

var x,y,h,e,be,v,d:real;

   i,j,n,m,k,l:integer;

   f:array [0..100,0..100] of real;

begin

clrscr;

write('Введите размерность матрицы n=');

readln(n);

m:=n;

write('Введите точность e=');

readln(e);

write('Введите допустимое число итераций l=');

readln(l);

h:=(b-a)/n;

i:=0; j:=0;

x:=0.2;

y:=0.2;

for j:=0 to m do

begin

f[n,j]:=0.13*x+0.2*y;

x:=x+h;

end;

i:=0; j:=0;

x:=0.1;

y:=0.1;

for i:=n downto 0 do

begin

f[i,j]:=0.13*x+0.2*y;

y:=y+h;

end;

i:=0; j:=0;

x:=0.1;

y:=1.1;

for j:=0 to m do

begin

f[i,j]:=0.13*x+0.2*y;

x:=x+h;

end;

i:=0; j:=0;

x:=1.1;

y:=0.1;

for i:=n downto 0 do

begin

f[i,n]:=0.13*x+0.2*y;

y:=y+h;

end;

writeln('Вывод массива границ');

for i:=1 to n-1 do

for j:=1 to m-1 do

f[i,j]:=0;

for i:=0 to n do

begin

for j:=0 to m do

begin

write(f[i,j]:5:3,' ');

end;

writeln;

end;

k:=0;

1:

be:=0;

for i:=1 to n-1 do

for j:=1 to m-1 do

begin

v:=(f[i-1,j]+f[i+1,j]+f[i,j-1]+f[i,j+1])/4;

d:=abs(v-f[i,j]);

f[i,j]:=v;

if be<d then be:=d;

k:=k+1; if k>=l then begin writeln('Превышено число итераций'); goto 2; end;

end;

if be<=e then begin

writeln('Конечный массив');

for i:=0 to n do

begin

for j:=0 to m do

begin

write(f[i,j]:5:3,' ');

end;

writeln;

end; end else goto 1;

2:

writeln('Число итераций k=',k);

end.

Результат решения в среде Pascal:

Начальные условия:

Размерность матрицы n=10

Точность решения ε=0.00001

Число допустимых итераций l=10000

  1.  График функции

                                 


Список литературы

1. Турчак Л.И. Основы численных методов: учеб. пособие для вузов/ Л.И. Турчак, П.В. Плотников. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Физматлит, 2003. – 304 с.: ил. (Первое издание – 1987 г.)

2. Амосов А.А. Вычислительные методы для инженеров: учеб. пособие/ А.А. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. Копченова. – 2-е изд., доп. – М.: Изд-во МЭИ, 2003. – 596 с.: ил. (Первое издание – 1994 г.)

3. Макаров Е.Г. Инженерные расчеты в Mathcad (+СD)/ Е.Г. Макаров. – СПб.: Питер, 2007. – 592 с.: ил. +CD-ROM

4. Поршнев С.В. Численные методы на базе Mathcad/ С.В. Поршнев, И.В. Беленкова. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 464 с.: ил.

5. Николаев Н.Н. Вычислительная математика (Линейная алгебра. Приближенное представление функций): конспект лекций/ Н.Н. Николаев. Чуваш. ун-т. – Чебоксары, 1996. – 64 с.: ил.

6. Николаев Н.Н. Вычислительные методы. Определенные интегралы, нелинейные и дифференциальные уравнения: конспект лекций/ Н.Н. Николаев. Чуваш. ун-т. – Чебоксары, 2010. 96 с.: ил.

7. Николаев Н.Н. Основы работы в системе MATHCAD: вычислительные методы: лаб. практикум/ Н.Н. Николаев. – Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2011. – 116 с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20543. Геометрическая интерпретация ОЗУ 323.5 KB
  Пусть вектор управления U и вектор функционала J имеет по две компоненты: U=U1 U2; J=J1 J2 Управление принимает свои значения из области U а функционалы J из прямоугольника a1≤J1≤A2; a2≤J2≤A1 Задавая различные управления U1U2 из области U и используя уравнение процесса получим на плоскости функционалов некоторую область В. область U отображается в область В. Пересечение областей А и В это есть область выполнения ограничений при допустимых управлениях U. При заданной области допустимых управлений U реализуется область Au= А∩В...
20544. Методологические основы теории принятия решений. Основные этапы принятия решений 27 KB
  Процесс принятия решения является одним из наиболее сложных .этапы: 1 определить цель принимаемого решения 2 определить возможные решения данной проблемы 3 определить возможные исходы каждого решения 4 оценить каждый исход 5 выбрать оптимальные решения на основе поставленной цели.
20545. Количественный анализ при сбыте продукции 35 KB
  Предполагаемые объемы продаж по ценам: Предполагаемый объем продаж при данной цене Возможная цена за единицу 8 долл. 86 долл. 88 долл.000 Переменный расход 4 долл.
20546. Функция полезности. Определение размеров риска 29.5 KB
  Теория полезности позволяет принимающему решение влиять на результат исходов согласно своим оценкам полезности. Количественно рациональность выбора определяется fей полезности. Теория полезности экспериментально подтверждается в зче о вазах.
20547. Задача с вазами 30.5 KB
  В вазах первого типа их количество равно 700 вложено по 6 красных и по 4 черных шара. В вазах второго типа их 300 вложено по 3 красных и по 7 черных шара. Если перед испытуемым находится ваза первого типа и он угадает это то он получит 350 если не угадает то он проиграет 50. Если перед ним ваза второго типа и он угадает это то он получит 500 если не угадает его проигрыш составит 100.
20548. Понятие оптимизации. Постановка задачи оптимизации. Примеры 98 KB
  Методы оптимизации находят широкое применение при решении задач управления сложными техническими системами широко применяются в космонавтике машиностроении и других отраслях промышленности существующие методы управления и построения систем управления в основном решают одномерные задачи и нашли широкое применение при исследовании устойчивости систем описываемых линейными уравнениями с постоянными коэффициентами и т. Основу современной теории управления составляют математическое описание объекта или системы. Вектор Управления u как и фазовый...
20549. Необходимые условия экстремума функций одной и нескольких переменных 58 KB
  Рассмотрим функцию fx она задана на интервале [x1x2] и в точке x0 достигает максимума это означает что в окрестности этой точке значение этой функции будут меньше чем в точке x0 т. приращение функции: для любых стремящихся к 0 В точке x фция fx достигает минимума и во всех ближайших точках значение функции будет больше чем в точке x и приращение функции здесь будет для всех В точках экстремума функции касательная параллельная оси Х и ее угловой коэффициент равен 0 т. Составить первую производную от функции2. исследовать...
20550. Линейное программирование, Постановка задачи 25 KB
  Значительное число плановых производственных задач содержит критерий оптимальности в виде линейной функции независимых переменных. Критерий оптимальности в данном случае записывается в виде некоторой линейной формы. На переменную xj накладываются ограничения различного вида имеющую форму равенств и неравенств Совокупность независимых переменных xj Обеспечивающий минимум или максимум линейной формы F и удовлетворяющий приведенным соотношениям и составляет предмет линейного программирования.
20551. Симплексный метод решения задач линейного программирования 102.5 KB
  Запишем систему уравнений 5 в векторной форме: 6 где Aj B – вектор a элемент матрицы 1. Таким образом нулевые значения переменных удовлетворяют6 Векторы Аjj=n1nmможет служить базисом в mмерном пространстве. Любой небазисный вектор можно разложить по векторам базиса. Разложим некий небазисный вектор Ak по векторам базиса: Умножим 8 на положительную константу и вычтем 8 из 7 произвольная величина ее можно выбрать настолько малой что независимо от значения выражение в скобках будет всегда больше нуля так как 0...