41307

Метод конечных разностей для решения дифференциальных уравнений в частных производных, способы построения трехмерных графиков в среде УМС Mathcad

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Графики функции.Предусмотреть счетчик числа уточнений итераций значений функции. Значения функции выводить в виде матрицы. Построить график функции fxy.

Русский

2013-10-23

591.35 KB

133 чел.

Содержание

  1.  Цель работы…………………………………………………………….3
  2.  Задание………………………………………………………………….3
  3.  Основные сведения……………………………………………………..3
  4.  Блок-схема алгоритма ……...………………………………………….6
  5.  Текст программы ….…………………………………………………...7
  6.  Графики функции   ……………………….…...…………………10
  7.  Список литературы…………………………………………………….11


  1.  Цель работы

Изучение метода конечных разностей, решение уравнения Лапласа на плоскости, приобретение практических навыков составления схем алгоритмов, программ, построения трехмерных графиков в среде УМС Mathcad и работы на ЭВМ.

  1.  Задание
  2.  Изучить метод конечных разностей для решения дифференциальных уравнений в частных производных, способы построения трехмерных графиков в среде УМС Mathcad.
  3.  Составить алгоритм и программу решения задачи Дирихле. Предусмотреть счетчик числа уточнений (итераций) значений функции. Значения функции выводить в виде матрицы. Варианты заданий в таблице.
  4.  Ввести программу в ЭВМ, отладить ее и выполнить. Результаты приложить к отчету.
  5.  Построить график функции f(x,y).

вар.

Область решения

Граничные условия

a

b

c

d

25

0,1

1,1

0,1

1,1

  1.  Основные сведения

МКР является универсальным методом решения дифференциальных уравнений. Ранее было рассмотрено применение МКР при решении краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с граничными условиями. Как и для этих задач, решение дифференциальных уравнений с частными производными МКР проводится в два этапа.

1. Разностная или дискретная аппроксимация дифференциального уравнения на сетке и формирование системы разностных уравнений.

2. Решение системы разностных уравнений и определение значений искомой функции в узлах разностной сетки.

На этапе разностной аппроксимации сначала строится разностная сетка на плоскости или в пространстве, как правило, равномерная. Все частные и смешанные производные, входящие в дифференциальное уравнение, заменяются формулами численного дифференцирования (выражаются через конечные разности). В результате получается разностное уравнение, содержащее неизвестные значения функции в узлах разностной сетки. Это уравнение называется разностной схемой. Далее это разностное уравнение записывается для каждого узла разностной сетки, где нужно определить искомую функцию. В результате получается система разностных уравнений. В частности, для дифференциального уравнения с двумя независимыми переменными часто используется двумерная прямоугольная разностная сетка, часто с равными шагами h по координатам x и y. Для этого заданный интервал [a,b] по оси 0х делится на n равных участков с равномерным шагом . А интервал [c,d] по оси 0y – на m равных участков с таким же шагом .

Рис. 6.1. Аппроксимация частных производных

Выразим производные функции двух переменных в узле через конечные разности (рис 6.1). Принадлежность функции к данному узлу будем обозначать соответствующими индексами при знаке функции f:

,

и т.п.

При использовании формул односторонней и центральной конечных разностей (ОКР, ЦКР) частная производная первого порядка функции по x выразятся следующим образом:

• левые ОКР    – ;

• правые ОКР  – ;

• ЦКР           – .

Аналогичные формулы получаются для частной производной по у:

• левые ОКР    – ;

• правые ОКР – ;

• ЦКР         – .

Вторые производные по переменным x и y находятся по аналогичным для функции одной переменной формулам

Смешанная производная находится с использованием формулы ЦКР

Аналогичным образом можно получить формулы для частных и смешанных производных для случаев, когда шаги разностной сетки по осям x и y различные. Также можно рассматривать разностные сетки для трехмерного пространства и получить соответствующие формулы.

  1.  Блок-схема алгоритма

Рис.1 Решение уравнения Лапласа методом конечных разностей

  1.  Текст программы

program lab10;

uses crt;

label 1,2;

const a=0.1;

     c=0.1;

     b=1.1;

     dd=1.1;

var x,y,h,e,be,v,d:real;

   i,j,n,m,k,l:integer;

   f:array [0..100,0..100] of real;

begin

clrscr;

write('Введите размерность матрицы n=');

readln(n);

m:=n;

write('Введите точность e=');

readln(e);

write('Введите допустимое число итераций l=');

readln(l);

h:=(b-a)/n;

i:=0; j:=0;

x:=0.2;

y:=0.2;

for j:=0 to m do

begin

f[n,j]:=0.13*x+0.2*y;

x:=x+h;

end;

i:=0; j:=0;

x:=0.1;

y:=0.1;

for i:=n downto 0 do

begin

f[i,j]:=0.13*x+0.2*y;

y:=y+h;

end;

i:=0; j:=0;

x:=0.1;

y:=1.1;

for j:=0 to m do

begin

f[i,j]:=0.13*x+0.2*y;

x:=x+h;

end;

i:=0; j:=0;

x:=1.1;

y:=0.1;

for i:=n downto 0 do

begin

f[i,n]:=0.13*x+0.2*y;

y:=y+h;

end;

writeln('Вывод массива границ');

for i:=1 to n-1 do

for j:=1 to m-1 do

f[i,j]:=0;

for i:=0 to n do

begin

for j:=0 to m do

begin

write(f[i,j]:5:3,' ');

end;

writeln;

end;

k:=0;

1:

be:=0;

for i:=1 to n-1 do

for j:=1 to m-1 do

begin

v:=(f[i-1,j]+f[i+1,j]+f[i,j-1]+f[i,j+1])/4;

d:=abs(v-f[i,j]);

f[i,j]:=v;

if be<d then be:=d;

k:=k+1; if k>=l then begin writeln('Превышено число итераций'); goto 2; end;

end;

if be<=e then begin

writeln('Конечный массив');

for i:=0 to n do

begin

for j:=0 to m do

begin

write(f[i,j]:5:3,' ');

end;

writeln;

end; end else goto 1;

2:

writeln('Число итераций k=',k);

end.

Результат решения в среде Pascal:

Начальные условия:

Размерность матрицы n=10

Точность решения ε=0.00001

Число допустимых итераций l=10000

  1.  График функции

                                 


Список литературы

1. Турчак Л.И. Основы численных методов: учеб. пособие для вузов/ Л.И. Турчак, П.В. Плотников. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Физматлит, 2003. – 304 с.: ил. (Первое издание – 1987 г.)

2. Амосов А.А. Вычислительные методы для инженеров: учеб. пособие/ А.А. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. Копченова. – 2-е изд., доп. – М.: Изд-во МЭИ, 2003. – 596 с.: ил. (Первое издание – 1994 г.)

3. Макаров Е.Г. Инженерные расчеты в Mathcad (+СD)/ Е.Г. Макаров. – СПб.: Питер, 2007. – 592 с.: ил. +CD-ROM

4. Поршнев С.В. Численные методы на базе Mathcad/ С.В. Поршнев, И.В. Беленкова. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 464 с.: ил.

5. Николаев Н.Н. Вычислительная математика (Линейная алгебра. Приближенное представление функций): конспект лекций/ Н.Н. Николаев. Чуваш. ун-т. – Чебоксары, 1996. – 64 с.: ил.

6. Николаев Н.Н. Вычислительные методы. Определенные интегралы, нелинейные и дифференциальные уравнения: конспект лекций/ Н.Н. Николаев. Чуваш. ун-т. – Чебоксары, 2010. 96 с.: ил.

7. Николаев Н.Н. Основы работы в системе MATHCAD: вычислительные методы: лаб. практикум/ Н.Н. Николаев. – Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2011. – 116 с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

11663. ИССЛЕДОВАНИЕ АКТИВНОГО ЛИНЕЙНОГО ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА 314.5 KB
  Лабораторная работа № 10 ИССЛЕДОВАНИЕ АКТИВНОГО ЛИНЕЙНОГО ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА Цель работы: исследование основных параметров линейного активного четырехполюсника частотной амплитудной переходной импульсной характеристик Y и Zпараметров. Приборы: генерато
11664. Изучение основ работы с базовыми инструментами в системе программирования VB-Net 2008 425.5 KB
  Изучение основ работы с базовыми инструментами в системе программирования VBNet 2008. Цель работы: Изучение основ работы с основными инструментами VBNET: командной строкой полем метки текстовым полем познакомиться с вспомогательными элементами управления: радиокнопкой ф
11665. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА 120.13 KB
  МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № 1.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА ЦЕЛЬ РАБОТЫ 1 Ознакомиться с теорией маятника. 2 Экспериментальное определить ускорение свободного падения в данном географическо...
11666. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА 221.71 KB
  МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № 1.2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА ЦЕЛЬ РАБОТЫ: определить момент инерции физического маятника и исследовать зависимость момента инерции от положения центра масс маятника относительно оси вращен
11667. ИССЛЕДОВАНИЕ СЛОЖЕНИЯ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ РАЗЛИЧНЫХ ЧАСТОТ 232.61 KB
  МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № 1.4 ИССЛЕДОВАНИЕ СЛОЖЕНИЯ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ РАЗЛИЧНЫХ ЧАСТОТ Цель работы: исследование траектории движения точки участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях; проверка градуировки шк
11668. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА САМОИНДУКЦИИ МЕТОДОМ ЖУБЕРА 132.19 KB
  МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №4.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА САМОИНДУКЦИИ МЕТОДОМ ЖУБЕРА ЦЕЛЬ РАБОТЫ Исследовать зависимость коэффициента самоиндукции от положения подвижного сердечника. ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ Исследуемая катушка само...
11669. Ландшафтно-екологічна навчальна практика 8.88 MB
  Шацький національний природний парк розташований біля с.Світязь Шацького району у Волинській області. Парк є місцем, де відпочиваючі проводять свій вільний час. Територія відмінно вписана в навколишній пейзаж із однойменним озером на його території.
11671. ЛИНИИ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОЙ АВТОМАТИКИ И ТЕЛЕМЕХАНИКИ 1.11 MB
  ЛИНИИ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОЙ АВТОМАТИКИ И ТЕЛЕМЕХАНИКИ Методические указания по выполнению лабораторных работ №12 для студентов 3 курса специальности Разработаны на основании примерной учебной программы данной дисциплины составленной в соответствии с государствен...