41307

Метод конечных разностей для решения дифференциальных уравнений в частных производных, способы построения трехмерных графиков в среде УМС Mathcad

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Графики функции.Предусмотреть счетчик числа уточнений итераций значений функции. Значения функции выводить в виде матрицы. Построить график функции fxy.

Русский

2013-10-23

591.35 KB

117 чел.

Содержание

  1.  Цель работы…………………………………………………………….3
  2.  Задание………………………………………………………………….3
  3.  Основные сведения……………………………………………………..3
  4.  Блок-схема алгоритма ……...………………………………………….6
  5.  Текст программы ….…………………………………………………...7
  6.  Графики функции   ……………………….…...…………………10
  7.  Список литературы…………………………………………………….11


  1.  Цель работы

Изучение метода конечных разностей, решение уравнения Лапласа на плоскости, приобретение практических навыков составления схем алгоритмов, программ, построения трехмерных графиков в среде УМС Mathcad и работы на ЭВМ.

  1.  Задание
  2.  Изучить метод конечных разностей для решения дифференциальных уравнений в частных производных, способы построения трехмерных графиков в среде УМС Mathcad.
  3.  Составить алгоритм и программу решения задачи Дирихле. Предусмотреть счетчик числа уточнений (итераций) значений функции. Значения функции выводить в виде матрицы. Варианты заданий в таблице.
  4.  Ввести программу в ЭВМ, отладить ее и выполнить. Результаты приложить к отчету.
  5.  Построить график функции f(x,y).

вар.

Область решения

Граничные условия

a

b

c

d

25

0,1

1,1

0,1

1,1

  1.  Основные сведения

МКР является универсальным методом решения дифференциальных уравнений. Ранее было рассмотрено применение МКР при решении краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с граничными условиями. Как и для этих задач, решение дифференциальных уравнений с частными производными МКР проводится в два этапа.

1. Разностная или дискретная аппроксимация дифференциального уравнения на сетке и формирование системы разностных уравнений.

2. Решение системы разностных уравнений и определение значений искомой функции в узлах разностной сетки.

На этапе разностной аппроксимации сначала строится разностная сетка на плоскости или в пространстве, как правило, равномерная. Все частные и смешанные производные, входящие в дифференциальное уравнение, заменяются формулами численного дифференцирования (выражаются через конечные разности). В результате получается разностное уравнение, содержащее неизвестные значения функции в узлах разностной сетки. Это уравнение называется разностной схемой. Далее это разностное уравнение записывается для каждого узла разностной сетки, где нужно определить искомую функцию. В результате получается система разностных уравнений. В частности, для дифференциального уравнения с двумя независимыми переменными часто используется двумерная прямоугольная разностная сетка, часто с равными шагами h по координатам x и y. Для этого заданный интервал [a,b] по оси 0х делится на n равных участков с равномерным шагом . А интервал [c,d] по оси 0y – на m равных участков с таким же шагом .

Рис. 6.1. Аппроксимация частных производных

Выразим производные функции двух переменных в узле через конечные разности (рис 6.1). Принадлежность функции к данному узлу будем обозначать соответствующими индексами при знаке функции f:

,

и т.п.

При использовании формул односторонней и центральной конечных разностей (ОКР, ЦКР) частная производная первого порядка функции по x выразятся следующим образом:

• левые ОКР    – ;

• правые ОКР  – ;

• ЦКР           – .

Аналогичные формулы получаются для частной производной по у:

• левые ОКР    – ;

• правые ОКР – ;

• ЦКР         – .

Вторые производные по переменным x и y находятся по аналогичным для функции одной переменной формулам

Смешанная производная находится с использованием формулы ЦКР

Аналогичным образом можно получить формулы для частных и смешанных производных для случаев, когда шаги разностной сетки по осям x и y различные. Также можно рассматривать разностные сетки для трехмерного пространства и получить соответствующие формулы.

  1.  Блок-схема алгоритма

Рис.1 Решение уравнения Лапласа методом конечных разностей

  1.  Текст программы

program lab10;

uses crt;

label 1,2;

const a=0.1;

     c=0.1;

     b=1.1;

     dd=1.1;

var x,y,h,e,be,v,d:real;

   i,j,n,m,k,l:integer;

   f:array [0..100,0..100] of real;

begin

clrscr;

write('Введите размерность матрицы n=');

readln(n);

m:=n;

write('Введите точность e=');

readln(e);

write('Введите допустимое число итераций l=');

readln(l);

h:=(b-a)/n;

i:=0; j:=0;

x:=0.2;

y:=0.2;

for j:=0 to m do

begin

f[n,j]:=0.13*x+0.2*y;

x:=x+h;

end;

i:=0; j:=0;

x:=0.1;

y:=0.1;

for i:=n downto 0 do

begin

f[i,j]:=0.13*x+0.2*y;

y:=y+h;

end;

i:=0; j:=0;

x:=0.1;

y:=1.1;

for j:=0 to m do

begin

f[i,j]:=0.13*x+0.2*y;

x:=x+h;

end;

i:=0; j:=0;

x:=1.1;

y:=0.1;

for i:=n downto 0 do

begin

f[i,n]:=0.13*x+0.2*y;

y:=y+h;

end;

writeln('Вывод массива границ');

for i:=1 to n-1 do

for j:=1 to m-1 do

f[i,j]:=0;

for i:=0 to n do

begin

for j:=0 to m do

begin

write(f[i,j]:5:3,' ');

end;

writeln;

end;

k:=0;

1:

be:=0;

for i:=1 to n-1 do

for j:=1 to m-1 do

begin

v:=(f[i-1,j]+f[i+1,j]+f[i,j-1]+f[i,j+1])/4;

d:=abs(v-f[i,j]);

f[i,j]:=v;

if be<d then be:=d;

k:=k+1; if k>=l then begin writeln('Превышено число итераций'); goto 2; end;

end;

if be<=e then begin

writeln('Конечный массив');

for i:=0 to n do

begin

for j:=0 to m do

begin

write(f[i,j]:5:3,' ');

end;

writeln;

end; end else goto 1;

2:

writeln('Число итераций k=',k);

end.

Результат решения в среде Pascal:

Начальные условия:

Размерность матрицы n=10

Точность решения ε=0.00001

Число допустимых итераций l=10000

  1.  График функции

                                 


Список литературы

1. Турчак Л.И. Основы численных методов: учеб. пособие для вузов/ Л.И. Турчак, П.В. Плотников. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Физматлит, 2003. – 304 с.: ил. (Первое издание – 1987 г.)

2. Амосов А.А. Вычислительные методы для инженеров: учеб. пособие/ А.А. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. Копченова. – 2-е изд., доп. – М.: Изд-во МЭИ, 2003. – 596 с.: ил. (Первое издание – 1994 г.)

3. Макаров Е.Г. Инженерные расчеты в Mathcad (+СD)/ Е.Г. Макаров. – СПб.: Питер, 2007. – 592 с.: ил. +CD-ROM

4. Поршнев С.В. Численные методы на базе Mathcad/ С.В. Поршнев, И.В. Беленкова. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 464 с.: ил.

5. Николаев Н.Н. Вычислительная математика (Линейная алгебра. Приближенное представление функций): конспект лекций/ Н.Н. Николаев. Чуваш. ун-т. – Чебоксары, 1996. – 64 с.: ил.

6. Николаев Н.Н. Вычислительные методы. Определенные интегралы, нелинейные и дифференциальные уравнения: конспект лекций/ Н.Н. Николаев. Чуваш. ун-т. – Чебоксары, 2010. 96 с.: ил.

7. Николаев Н.Н. Основы работы в системе MATHCAD: вычислительные методы: лаб. практикум/ Н.Н. Николаев. – Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2011. – 116 с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

42869. Поняття гріха. Історія першого гріхопадіння 70.08 KB
  Бог є абсолютне благо і тому створений Ним світ теж був спочатку прекрасний і не було в ньому ніякого зла. Однак справжня досконалість можлива тільки при уподібненні Богу який і є мірою і вершиною всякої досконалості. Оскільки ж Богу властиві премудрість свобода і любов любов власне і буває тільки вільною то найдосконалішим з усіх створених Ним істот була людина єдина істота що володіє розумом вільною волею і здатністю любити не враховуючи ангелів але про них як і про бісів я тут говорити не буду. Не вдаючись у...
42870. Современные методы сбора видеоинформации 1.49 MB
  Пункты сбора видеоинформации. Мобильные пункты сбора видеоинформации. В первую очередь это касается одного из самых неудобных для передачи по радиоканалам вида информации цифровой видеоинформации необходимость передачи которой возникает при решении задач видеорепортажа видеонаблюдения и т.
42871. Основи риторики. Античність 186 KB
  У школі ви вивчали людину з різних сторін. В анатомії ви дізналися про особливості будови людського тіла, походження людини, як виду; історія розглядала окремі персоналії, народи, їх дії і відносини один з одним на протязі століть; фізика ж допомогла вам розкрити поняття тяжіння, часу, маси, руху, не тільки по відношенню до предметів а й звичайно ж до людини; а на першому курсі ви вивчали психологію, яка прагне розкрити душу, дослідити свідомість саме людини, а не якоїсь іншої істоти. І який же висновок зі всього цього випливає, як видумаєте?
42872. Спектральний аналіз електричного кола 224.84 KB
  Спектральний аналіз вхідного періодичного сигналу. Розрахунок і побудова спектральних діаграм амрлітуд та фаз періодичного сигналу. Кожен із цих методів визначає реакцію електричного кола на вхідний вплив певного електричного сигналу.При такому методі аналізується зміна спектру сигналу.
42873. Сучасні тенденції транспортно-географічного положення України 303.5 KB
  Аналіз взаємного розташування географічних обєктів, дослідження множин місцеположень зумовили появу важливого й базового поняття географічного положення. Його найбільш глибоку теоретичну розробку під назвою економіко-географічне положення (ЕГП) здійснив свого часу М.Баранський. За його визначенням
42875. Процес доставки товару до споживача, методом потенціалів 469.5 KB
  Логістика — це процес управління матеріальним, фінансовим та кадровим потоками, а також необхідним інформаційним потоковим процесом для прискорення фізичного розподілу та мінімізації загальних витрат під час постачання, виробництва і збуту товарів з метою задоволення потреб споживачів.
42876. Підвищення ефективності організації транспортного процесу при перевезенні партіонних вантажів 576.67 KB
  Для досягнення мети необхідно вирішити наступні задачі: сформувати маршрути перевезення партіонних вантажів; визначити техніко експлуатаційні показники роботи автомобілів на маршрутах; розрахувати годинну продуктивність автомобілів і собівартість перевезення вантажів; встановити закон розподілу розмірів партій вантажів які предявлені до перевезення; розрахувати чисельні характеристики замкнутої пуассонівської системи масового обслуговування яка представляє собою спільну роботу автотранспортних і навантажувальних ...