41307

Метод конечных разностей для решения дифференциальных уравнений в частных производных, способы построения трехмерных графиков в среде УМС Mathcad

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Графики функции.Предусмотреть счетчик числа уточнений итераций значений функции. Значения функции выводить в виде матрицы. Построить график функции fxy.

Русский

2013-10-23

591.35 KB

110 чел.

Содержание

  1.  Цель работы…………………………………………………………….3
  2.  Задание………………………………………………………………….3
  3.  Основные сведения……………………………………………………..3
  4.  Блок-схема алгоритма ……...………………………………………….6
  5.  Текст программы ….…………………………………………………...7
  6.  Графики функции   ……………………….…...…………………10
  7.  Список литературы…………………………………………………….11


  1.  Цель работы

Изучение метода конечных разностей, решение уравнения Лапласа на плоскости, приобретение практических навыков составления схем алгоритмов, программ, построения трехмерных графиков в среде УМС Mathcad и работы на ЭВМ.

  1.  Задание
  2.  Изучить метод конечных разностей для решения дифференциальных уравнений в частных производных, способы построения трехмерных графиков в среде УМС Mathcad.
  3.  Составить алгоритм и программу решения задачи Дирихле. Предусмотреть счетчик числа уточнений (итераций) значений функции. Значения функции выводить в виде матрицы. Варианты заданий в таблице.
  4.  Ввести программу в ЭВМ, отладить ее и выполнить. Результаты приложить к отчету.
  5.  Построить график функции f(x,y).

вар.

Область решения

Граничные условия

a

b

c

d

25

0,1

1,1

0,1

1,1

  1.  Основные сведения

МКР является универсальным методом решения дифференциальных уравнений. Ранее было рассмотрено применение МКР при решении краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с граничными условиями. Как и для этих задач, решение дифференциальных уравнений с частными производными МКР проводится в два этапа.

1. Разностная или дискретная аппроксимация дифференциального уравнения на сетке и формирование системы разностных уравнений.

2. Решение системы разностных уравнений и определение значений искомой функции в узлах разностной сетки.

На этапе разностной аппроксимации сначала строится разностная сетка на плоскости или в пространстве, как правило, равномерная. Все частные и смешанные производные, входящие в дифференциальное уравнение, заменяются формулами численного дифференцирования (выражаются через конечные разности). В результате получается разностное уравнение, содержащее неизвестные значения функции в узлах разностной сетки. Это уравнение называется разностной схемой. Далее это разностное уравнение записывается для каждого узла разностной сетки, где нужно определить искомую функцию. В результате получается система разностных уравнений. В частности, для дифференциального уравнения с двумя независимыми переменными часто используется двумерная прямоугольная разностная сетка, часто с равными шагами h по координатам x и y. Для этого заданный интервал [a,b] по оси 0х делится на n равных участков с равномерным шагом . А интервал [c,d] по оси 0y – на m равных участков с таким же шагом .

Рис. 6.1. Аппроксимация частных производных

Выразим производные функции двух переменных в узле через конечные разности (рис 6.1). Принадлежность функции к данному узлу будем обозначать соответствующими индексами при знаке функции f:

,

и т.п.

При использовании формул односторонней и центральной конечных разностей (ОКР, ЦКР) частная производная первого порядка функции по x выразятся следующим образом:

• левые ОКР    – ;

• правые ОКР  – ;

• ЦКР           – .

Аналогичные формулы получаются для частной производной по у:

• левые ОКР    – ;

• правые ОКР – ;

• ЦКР         – .

Вторые производные по переменным x и y находятся по аналогичным для функции одной переменной формулам

Смешанная производная находится с использованием формулы ЦКР

Аналогичным образом можно получить формулы для частных и смешанных производных для случаев, когда шаги разностной сетки по осям x и y различные. Также можно рассматривать разностные сетки для трехмерного пространства и получить соответствующие формулы.

  1.  Блок-схема алгоритма

Рис.1 Решение уравнения Лапласа методом конечных разностей

  1.  Текст программы

program lab10;

uses crt;

label 1,2;

const a=0.1;

     c=0.1;

     b=1.1;

     dd=1.1;

var x,y,h,e,be,v,d:real;

   i,j,n,m,k,l:integer;

   f:array [0..100,0..100] of real;

begin

clrscr;

write('Введите размерность матрицы n=');

readln(n);

m:=n;

write('Введите точность e=');

readln(e);

write('Введите допустимое число итераций l=');

readln(l);

h:=(b-a)/n;

i:=0; j:=0;

x:=0.2;

y:=0.2;

for j:=0 to m do

begin

f[n,j]:=0.13*x+0.2*y;

x:=x+h;

end;

i:=0; j:=0;

x:=0.1;

y:=0.1;

for i:=n downto 0 do

begin

f[i,j]:=0.13*x+0.2*y;

y:=y+h;

end;

i:=0; j:=0;

x:=0.1;

y:=1.1;

for j:=0 to m do

begin

f[i,j]:=0.13*x+0.2*y;

x:=x+h;

end;

i:=0; j:=0;

x:=1.1;

y:=0.1;

for i:=n downto 0 do

begin

f[i,n]:=0.13*x+0.2*y;

y:=y+h;

end;

writeln('Вывод массива границ');

for i:=1 to n-1 do

for j:=1 to m-1 do

f[i,j]:=0;

for i:=0 to n do

begin

for j:=0 to m do

begin

write(f[i,j]:5:3,' ');

end;

writeln;

end;

k:=0;

1:

be:=0;

for i:=1 to n-1 do

for j:=1 to m-1 do

begin

v:=(f[i-1,j]+f[i+1,j]+f[i,j-1]+f[i,j+1])/4;

d:=abs(v-f[i,j]);

f[i,j]:=v;

if be<d then be:=d;

k:=k+1; if k>=l then begin writeln('Превышено число итераций'); goto 2; end;

end;

if be<=e then begin

writeln('Конечный массив');

for i:=0 to n do

begin

for j:=0 to m do

begin

write(f[i,j]:5:3,' ');

end;

writeln;

end; end else goto 1;

2:

writeln('Число итераций k=',k);

end.

Результат решения в среде Pascal:

Начальные условия:

Размерность матрицы n=10

Точность решения ε=0.00001

Число допустимых итераций l=10000

  1.  График функции

                                 


Список литературы

1. Турчак Л.И. Основы численных методов: учеб. пособие для вузов/ Л.И. Турчак, П.В. Плотников. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Физматлит, 2003. – 304 с.: ил. (Первое издание – 1987 г.)

2. Амосов А.А. Вычислительные методы для инженеров: учеб. пособие/ А.А. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. Копченова. – 2-е изд., доп. – М.: Изд-во МЭИ, 2003. – 596 с.: ил. (Первое издание – 1994 г.)

3. Макаров Е.Г. Инженерные расчеты в Mathcad (+СD)/ Е.Г. Макаров. – СПб.: Питер, 2007. – 592 с.: ил. +CD-ROM

4. Поршнев С.В. Численные методы на базе Mathcad/ С.В. Поршнев, И.В. Беленкова. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 464 с.: ил.

5. Николаев Н.Н. Вычислительная математика (Линейная алгебра. Приближенное представление функций): конспект лекций/ Н.Н. Николаев. Чуваш. ун-т. – Чебоксары, 1996. – 64 с.: ил.

6. Николаев Н.Н. Вычислительные методы. Определенные интегралы, нелинейные и дифференциальные уравнения: конспект лекций/ Н.Н. Николаев. Чуваш. ун-т. – Чебоксары, 2010. 96 с.: ил.

7. Николаев Н.Н. Основы работы в системе MATHCAD: вычислительные методы: лаб. практикум/ Н.Н. Николаев. – Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2011. – 116 с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39787. Российская Федерация в 1990-е гг. 75 KB
  Было определено направление дальнейшего политического и социально-экономического развития России. Нижняя плата представлена Государственной Думой РФ куда входят депутаты напрямую избираемые гражданами России. между автономными республиками России был подписан Федеративный договор предусматривающий разделение полномочий между федеральными и республиканскими органами власти.
39788. Советская Россия в годы НЭПа 89 KB
  Лучшим обоснованием необходимости форсированной модернизации стала возможность внешней агрессии против СССР. После того как летом 1927 года СССР и Великобритания разорвали дипломатические отношения органы партийной пропаганды создали полное впечатление что готовиться нападение на СССР. Создание СССР.
39789. «Великие реформы» Александра II и контрреформы Александра III 65.5 KB
  Великие реформы Александра II и контрреформы Александра III Крестьянская реформа. То что он пересилил себя и согласился на перемены говорит о том что реформы назрели окончательно. Для подготовки и проведения реформы в январе 1857 г. Комитеты выдвинули различные варианты проекта реформы гг.
39790. Общественное движение в России во второй половине XIX в 68.5 KB
  Общественное движение в России во второй половине XIX в. Огарев и в России вокруг журнала Современник Н. Кроме того предполагалось ввести народное представительство широкое самоуправление передать землю народу а фабрики и заводы – рабочим предоставить демократические свободы всему населению России. Энгельса и распространением их в России.
39791. Внешняя политика России во второй половине XIX начале XX вв. 49.5 KB
  Внешняя политика России во второй половине XIX начале XX вв. Участие России в европейских коалициях связано прежде всего с так называемым Балканским вопросом. После поражения в Крымской войне России было запрещено иметь военный флот на Черном море строить там крепости и форты. разрушили систему тяжелого и унизительного для России Парижского мирного трактата 1856 года.
39792. Экономическая модернизация России в конце XIX – начале ХХ вв. 42 KB
  Экономическая модернизация России в конце XIX – начале ХХ вв. Экономическое развитие России и государственная программа Развития страны. верст новых железных дорог что позволило России выйти на второе место в мире по их протяженности. Своеобразие развития капитализма в России по сравнению с Западом заключалось в том что государство активно вмешивалось в экономическую жизнь страны.
39793. Первая русская революция 1905-1907 гг. 39 KB
  Второй путь объединял самые разнообразные слои общества с плохо сформулированными устремлениями и самые разнообразные формы социального протеста: от стихийных крестьянских антипомещичьих бунтов до забастовок рабочих и создания альтернативных органов власти – Советов. рабочих. В поддержку рабочих начали выступать студенты. Забастовки длившиеся неделями и охватывавшие тысячи рабочих требовали своих организационных центров.
39794. Возникновение парламентаризма и многопартийности в России начале XX в 77.5 KB
  Манифест от 17 октября обещал: – даровать народу гражданские свободы на основе незыблемых принципов неприкосновенности личности свободы совести свободы слова свободы собраний и организаций; – провести выборы в Государственную Думу и обеспечить участие в них рабочих которые согласно указу от 6 августа были лишены права голоса; – ввести за непременное правило что ни один закон не может войти в силу без согласия Думы дабы народные избранники смогли на деле участвовать в контроле за законностью действий государя. I и II Государственные думы....
39795. Россия в условиях I мировой войны и национального кризис 64 KB
  в Петрограде по призыву большевиков состоялась антивоенная манифестация посвященная Международному дню работниц перешедшая в крупную городскую стачку в которой приняло участие 128 тыс. На следующий день под лозунгами Хлеба Мира бастовало 214 тыс. а 25 марта – 305 тыс. Единственной либеральной партией оставались кадеты чья численность в тот момент составляла 100 тыс.