41309

Численные методы и компьютерные технологии решения нелинейных уравнений

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

За приближенное значение корня принимается точка пересечения хорды АВ с осью абсцисс. Координата этой точки находится из уравнения этой хорды АВ рис. В точке пересечения хорды АВ с осью абсцисс . К уравнению хорды Далее сравниваются значения функции на левой границе и в точке пересечения хорды АВ с осью абсцисс по знаку.

Русский

2013-10-23

471 KB

3 чел.

Содержание

  1.  Цель работы…………………………………………………………….....3
  2.  Задание………………………………………………………………….....3
  3.  Основные сведения о методе Хорд…….………………………………..3
  4.  Блок-схема алгоритма ...………………………………………………….5
  5.  Текст программы ….………………………………………………….......6
  6.  Результаты решения задачи в УМС MathCad………………………….....7
  7.  Список литературы…………………………………………………….…8


  1.  Цель работы

Изучение численных методов и компьютерных технологий решения нелинейных (алгебраических и трансцендентных) уравнений, приобретение практических навыков составления алгоритмов, программ и работы на ЭВМ..

  1.  Задание
  2.  Изучить численные методы и компьютерные технологии решения нелинейных уравнений.
  3.  Составить алгоритм и программу решения уравнения. Предусмотреть ограничение допустимого количества итераций и вывод числа итераций на печать.
  4.  Ввести программу в ЭВМ, отладить и выполнить программу на ЭВМ для различных значений точности.
  5.  Построить зависимость числа итераций от точности решения уравнения
  6.  Решить данное уравнение с использованием универсальной математической системы (УМС) Mathcad.

№ вар

Уравнение

Интервал

[a;b]

Метод решения

Точность

2

[0; 2]

Хорд

  1.  Основные сведения о методе Хорд

Процесс уточнения корня уравнения методом хорд иллюстрируется построениями на рис. 1.7. В этом методе нелинейная функция на заданном отрезке интерполируется уравнением прямой. За приближенное значение корня принимается точка пересечения хорды АВ с осью абсцисс. Координата этой точки находится из уравнения этой хорды АВ (рис. 1.8):

.

В точке пересечения хорды АВ с осью абсцисс . Тогда

 

или

.   (1.3)

y

a

f(a)

f(x)

A

B

b

x

x0

f(b)

x1

x2

a

f(b)

f(x)

A

B

b

x

x

f(a)

Рис. 1.7. Метод хорд  Рис. 1.8. К уравнению хорды

Далее сравниваются значения функции на левой границе и в точке пересечения хорды АВ с осью абсцисс по знаку. Если значения функции одного знака, то принимается . Если же  имеют разные знаки, то .

Аналогичную (1.3) формулу для нахождения точки пересечения хорды АВ с осью абсцисс можно получить, если за базовую принять правую границу. В этом случае координата точки пересечения хорды АВ с осью абсцисс также находится из уравнения прямой АВ (рис. 1.8):

.

В точке пересечения хорды АВ с осью абсцисс значение . С учетом этого

.

Или

.   (1.4)

Далее по знаку сравниваются значения функции на правой границе и в точке пересечения хорды АВ с осью абсцисс. Если значения функции одного знака, то принимается . Если же  имеют разные знаки, то .

Применяя формулу (1.3) или (1.4) многократно, последовательно находят приближения корней . Условием окончания процесса уточнения корня служат неравенства

.  (1.5)

Алгоритм метода хорд представлен на рис. П1,б.

Метод хорд в ряде случаев обеспечивает более быструю сходимость, чем метод половинного деления.

  1.  Блок-схема алгоритма

Рис.1 Решение нелинейного уравнения методом хорд

  1.  Текст программы

program lab5;

uses crt;

label 1,2,3;

var a,b,x,x1,y1,y2,y3,e1,e2:real;

   n1,n:integer;

begin

clrscr;

writeln('Нахождение f(x)=0.25*exp(3*ln(x))+x-1.2502=0') ;

writeln('интервал от О до 2') ;

a:=0; b:=2;

write('Введите e1=');

readln(e1);

write('Введите e2=');

readln(e2);

write('Введите n1 =');

readln(n1);

y1:=0.25*a*a*a+a-1.2502;

x1:=a;

y2:=0.25*exp(3*ln(b))+b-1.2502;

n:=0;

2:

n:=n+1;

if n>n1 then begin writeln('n>n1'); goto 3;end;

x:=a-y1*(b-a)/(y2-y1);

y3:=0.25*exp(3*ln(x))+x-1.2502;

if abs(y3)<=e1 then begin writeln('по е1'); goto 1;end

  else        begin

              if y1*y2<0 then begin b:=x; y2:=y3; end

                         else begin a:=x; y1:=y3; end;

              if abs(x-x1)<=e2 then begin writeln('по е2'); goto 1;end

              else begin x1:=x; goto 2; end;

              end;

1:

writeln('Ответ: x=',x:5:2,' y3=',y3);

writeln('количество циклов =',n);

3:end.

  1.  Результаты решения задачи в УМС MathCad

Рис.2 График зависимости

Список литературы

1. Турчак Л.И. Основы численных методов: учеб. пособие для вузов/ Л.И. Турчак, П.В. Плотников. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Физматлит, 2003. – 304 с.: ил. (Первое издание – 1987 г.)

2. Амосов А.А. Вычислительные методы для инженеров: учеб. пособие/ А.А. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. Копченова. – 2-е изд., доп. – М.: Изд-во МЭИ, 2003. – 596 с.: ил. (Первое издание – 1994 г.)

3. Макаров Е.Г. Инженерные расчеты в Mathcad (+СD)/ Е.Г. Макаров. – СПб.: Питер, 2007. – 592 с.: ил. +CD-ROM

4. Поршнев С.В. Численные методы на базе Mathcad/ С.В. Поршнев, И.В. Беленкова. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 464 с.: ил.

5. Николаев Н.Н. Вычислительная математика (Линейная алгебра. Приближенное представление функций): конспект лекций/ Н.Н. Николаев. Чуваш. ун-т. – Чебоксары, 1996. – 64 с.: ил.

6. Николаев Н.Н. Вычислительные методы. Определенные интегралы, нелинейные и дифференциальные уравнения: конспект лекций/ Н.Н. Николаев. Чуваш. ун-т. – Чебоксары, 2010. 96 с.: ил.

7. Николаев Н.Н. Основы работы в системе MATHCAD: вычислительные методы: лаб. практикум/ Н.Н. Николаев. – Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2011. – 116 с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

17604. Характеристика економічного потенціалу 342.5 KB
  ТЕМА Характеристика економічного потенціалу. План 1. Поняття та склад потенціалу національної економіки 2. Природноресурсний потенціал 3. Демографічний та трудовий потенціал 4. Науковотехнічний потенціал 5. Інформаційний потенціал 6. Виробничий потенціал ...
17605. ФУНКЦІОНУВАННЯ ІНФРАСТРУКТУРИ НАЦІОНАЛЬНОГО РИНКУ 251.5 KB
  ТЕМА: ФУНКЦІОНУВАННЯ ІНФРАСТРУКТУРИ НАЦІОНАЛЬНОГО РИНКУ План 1 Національний ринок України і його проблеми 2. Проблеми національного ринку 3. Сутність і функціонуеання ринкової інфраструктури 4. Вплив ринкової інфраструктури на формування конкурентного середов
17606. ДЕРЖАВНІСТЬ ТА ДЕРЖАНИЕ УПРАВЛННЯ ЕКОНОМІКОЮ 183 KB
  ТЕМА:ДЕРЖАВНІСТЬ ТА ДЕРЖАНИЕ УПРАВЛННЯ ЕКОНОМІКОЮ ПЛАН Українська держава та її засади 2. Місце держави в управлінні економікою Українська держава та її засади Історія країн засвідчує що успіхи одних і невдачі інших проглядаються через пр...
17607. ДЕМОКРАТІЯ, ЕКОНОМІЧНА СВОБОДА ТА ЕКОНОМІЧНИЙ ПОРЯДОК 144.5 KB
  ТЕМА: ДЕМОКРАТІЯ ЕКОНОМІЧНА СВОБОДА ТА ЕКОНОМІЧНИЙ ПОРЯДОК План Сутність демократії та її місце в самоуправлінні економікою Економічна свобода і її основи 3. Економічний порядок як система узгоджених інтересів Сутність демократії та її місце
17608. ТЕОРІЯ СУСПІЛЬНОГО ДОБРОБУТУ ТА СОЦІАЛЬНО-РИНКОВОЇ ЕКОНОМІКИ 209.5 KB
  ТЕМА: ТЕОРІЯ СУСПІЛЬНОГО ДОБРОБУТУ ТА СОЦІАЛЬНОРИНКОВОЇ ЕКОНОМІКИ ПЛАН 1. Суспільні потреби як соціальна база добробуту 2. Національний продукт як виробнича база добробуту 3. Засади соціальноринкової економіки 4. Становления ринкового механізму ціноутворення ...
17609. СТРУКТУРНА ПЕРЕБУДОВА НАЦІОНАЛЬНОЇ ЕКОНОМІКИ 275 KB
  ТЕМА : СТРУКТУРНА ПЕРЕБУДОВА НАЦІОНАЛЬНОЇ ЕКОНОМІКИ План Формування ринкових відносин Стратегія структурних перетворень Капіталовкладення і реструктуризація основного капіталу зайнятості та національного продукту Мікроекономічна с
17610. Політика економічного зростання в національній економіці 3.27 MB
  Тема: Політика економічного зростання в національній економіці. План 1. Економічне зростання як категорія національної економіки 2. Типи та способи економічного зростання 3. Фактори економічного зростання 1. Економічне зростання як категорія національної
17611. ІНСТИТУЦІОНАЛЬНІ ФОРМИ ІНТЕГРАЦІЇ У СВІТОВЕ ГОСПОДАРСТВО 206 KB
  ТЕМА: ІНСТИТУЦІОНАЛЬНІ ФОРМИ ІНТЕГРАЦІЇ У СВІТОВЕ ГОСПОДАРСТВО План 1. Світове господарство: структура тенденції розвитку. Показники відкритості економіки 2. Форми і механізми інтеграції національної економіки у світове господарство 3. Ек...
17612. ІНСТИТУЦІЙНІ ЧИННИКИ РОЗВИТКУ НАЦІОНАЛЬНОЇ ЕКОНОМІКИ 148 KB
  Тема: ІНСТИТУЦІЙНІ ЧИННИКИ РОЗВИТКУ НАЦІОНАЛЬНОЇ ЕКОНОМІКИ План 1. Інститути права управління і власності 2. Власність в умовах ринку 3. Упорядкування приватизаціі в Україні 1. Інститути права управління і власності Однією з найважливіших проблем націо...