41309

Численные методы и компьютерные технологии решения нелинейных уравнений

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

За приближенное значение корня принимается точка пересечения хорды АВ с осью абсцисс. Координата этой точки находится из уравнения этой хорды АВ рис. В точке пересечения хорды АВ с осью абсцисс . К уравнению хорды Далее сравниваются значения функции на левой границе и в точке пересечения хорды АВ с осью абсцисс по знаку.

Русский

2013-10-23

471 KB

3 чел.

Содержание

  1.  Цель работы…………………………………………………………….....3
  2.  Задание………………………………………………………………….....3
  3.  Основные сведения о методе Хорд…….………………………………..3
  4.  Блок-схема алгоритма ...………………………………………………….5
  5.  Текст программы ….………………………………………………….......6
  6.  Результаты решения задачи в УМС MathCad………………………….....7
  7.  Список литературы…………………………………………………….…8


  1.  Цель работы

Изучение численных методов и компьютерных технологий решения нелинейных (алгебраических и трансцендентных) уравнений, приобретение практических навыков составления алгоритмов, программ и работы на ЭВМ..

  1.  Задание
  2.  Изучить численные методы и компьютерные технологии решения нелинейных уравнений.
  3.  Составить алгоритм и программу решения уравнения. Предусмотреть ограничение допустимого количества итераций и вывод числа итераций на печать.
  4.  Ввести программу в ЭВМ, отладить и выполнить программу на ЭВМ для различных значений точности.
  5.  Построить зависимость числа итераций от точности решения уравнения
  6.  Решить данное уравнение с использованием универсальной математической системы (УМС) Mathcad.

№ вар

Уравнение

Интервал

[a;b]

Метод решения

Точность

2

[0; 2]

Хорд

  1.  Основные сведения о методе Хорд

Процесс уточнения корня уравнения методом хорд иллюстрируется построениями на рис. 1.7. В этом методе нелинейная функция на заданном отрезке интерполируется уравнением прямой. За приближенное значение корня принимается точка пересечения хорды АВ с осью абсцисс. Координата этой точки находится из уравнения этой хорды АВ (рис. 1.8):

.

В точке пересечения хорды АВ с осью абсцисс . Тогда

 

или

.   (1.3)

y

a

f(a)

f(x)

A

B

b

x

x0

f(b)

x1

x2

a

f(b)

f(x)

A

B

b

x

x

f(a)

Рис. 1.7. Метод хорд  Рис. 1.8. К уравнению хорды

Далее сравниваются значения функции на левой границе и в точке пересечения хорды АВ с осью абсцисс по знаку. Если значения функции одного знака, то принимается . Если же  имеют разные знаки, то .

Аналогичную (1.3) формулу для нахождения точки пересечения хорды АВ с осью абсцисс можно получить, если за базовую принять правую границу. В этом случае координата точки пересечения хорды АВ с осью абсцисс также находится из уравнения прямой АВ (рис. 1.8):

.

В точке пересечения хорды АВ с осью абсцисс значение . С учетом этого

.

Или

.   (1.4)

Далее по знаку сравниваются значения функции на правой границе и в точке пересечения хорды АВ с осью абсцисс. Если значения функции одного знака, то принимается . Если же  имеют разные знаки, то .

Применяя формулу (1.3) или (1.4) многократно, последовательно находят приближения корней . Условием окончания процесса уточнения корня служат неравенства

.  (1.5)

Алгоритм метода хорд представлен на рис. П1,б.

Метод хорд в ряде случаев обеспечивает более быструю сходимость, чем метод половинного деления.

  1.  Блок-схема алгоритма

Рис.1 Решение нелинейного уравнения методом хорд

  1.  Текст программы

program lab5;

uses crt;

label 1,2,3;

var a,b,x,x1,y1,y2,y3,e1,e2:real;

   n1,n:integer;

begin

clrscr;

writeln('Нахождение f(x)=0.25*exp(3*ln(x))+x-1.2502=0') ;

writeln('интервал от О до 2') ;

a:=0; b:=2;

write('Введите e1=');

readln(e1);

write('Введите e2=');

readln(e2);

write('Введите n1 =');

readln(n1);

y1:=0.25*a*a*a+a-1.2502;

x1:=a;

y2:=0.25*exp(3*ln(b))+b-1.2502;

n:=0;

2:

n:=n+1;

if n>n1 then begin writeln('n>n1'); goto 3;end;

x:=a-y1*(b-a)/(y2-y1);

y3:=0.25*exp(3*ln(x))+x-1.2502;

if abs(y3)<=e1 then begin writeln('по е1'); goto 1;end

  else        begin

              if y1*y2<0 then begin b:=x; y2:=y3; end

                         else begin a:=x; y1:=y3; end;

              if abs(x-x1)<=e2 then begin writeln('по е2'); goto 1;end

              else begin x1:=x; goto 2; end;

              end;

1:

writeln('Ответ: x=',x:5:2,' y3=',y3);

writeln('количество циклов =',n);

3:end.

  1.  Результаты решения задачи в УМС MathCad

Рис.2 График зависимости

Список литературы

1. Турчак Л.И. Основы численных методов: учеб. пособие для вузов/ Л.И. Турчак, П.В. Плотников. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Физматлит, 2003. – 304 с.: ил. (Первое издание – 1987 г.)

2. Амосов А.А. Вычислительные методы для инженеров: учеб. пособие/ А.А. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. Копченова. – 2-е изд., доп. – М.: Изд-во МЭИ, 2003. – 596 с.: ил. (Первое издание – 1994 г.)

3. Макаров Е.Г. Инженерные расчеты в Mathcad (+СD)/ Е.Г. Макаров. – СПб.: Питер, 2007. – 592 с.: ил. +CD-ROM

4. Поршнев С.В. Численные методы на базе Mathcad/ С.В. Поршнев, И.В. Беленкова. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 464 с.: ил.

5. Николаев Н.Н. Вычислительная математика (Линейная алгебра. Приближенное представление функций): конспект лекций/ Н.Н. Николаев. Чуваш. ун-т. – Чебоксары, 1996. – 64 с.: ил.

6. Николаев Н.Н. Вычислительные методы. Определенные интегралы, нелинейные и дифференциальные уравнения: конспект лекций/ Н.Н. Николаев. Чуваш. ун-т. – Чебоксары, 2010. 96 с.: ил.

7. Николаев Н.Н. Основы работы в системе MATHCAD: вычислительные методы: лаб. практикум/ Н.Н. Николаев. – Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2011. – 116 с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46059. Уравнения движения механизма 479.5 KB
  Выполнив приведение сил и масс, любой механизм с одной степенью свободы (рычажный, зубчатый, кулачковый и др.), сколь бы сложным он ни был, можно заменить его динамической моделью...
46060. Кинематика и динамика вращательного движения АТТ 500.5 KB
  Кинематические характеристики частицы (поступательного движения АТТ) – перемещение , скорость и ускорение не могут служить характеристиками АТТ, участвующего во вращательном движении (для разных точек АТТ они разные). Нужны другие характеристики.
46061. Ламбдацизм. Определение, этиология, виды. Логопедические технологии устранения ламбдацизма у детей 30.5 KB
  Во время правильного произнесения звука л органы речи принимают следующее положение: губы раскрыты занимают нейтральное положение или принимают положение последующего гласного звука; зубы незначительно разомкнуты; язык узкий кончик языка поднимается и упирается в верхние резцы или их десны средняя часть языка опущена боковые края тоже опущены; между боковыми краями языка и коренными зубами остается щель через которую выходит воздушная струя.Артикуляция твердого звука л сложнее артикуляции ль поэтому нарушение его произношения...
46062. Ротацизм. Определение, этиология, виды. Логопедические технологии устранения ротацизма у детей 36.5 KB
  Причины нарушения звуков р и рь: укороченная подъязычная связка уздечка ограничивающая движение вверх кончика языка и передней части спинки языка; слабость мышц языка; неумение выполнять языком произвольные целенаправленные движения; нарушения фонематического слуха.Звук р согласныйвоздушная струя встречает преграду;язычный переднеязычный передненебный передняя часть языка направляется к передней части неба;смычный дрожащий вибрант образуется путем вибрации кончика языка смыкании и размыкании его около альвеол;сонорный...
46063. Каппацизм и йотацизм. Определение, этиология, виды. Логопедические технологии устранения каппацизма и йотацизма. Каппацизм – дефект произношения нёбных звуков к, к 18.5 KB
  Кончик языка опущен но не прикасается к нижним зубам. Корень языка поднят и смыкается с небом.Предложите ребенку произносить слоги татата и одновременно с этим нажимайте шпателем или плоским концом ложечки на кончик языка отодвигайте язык отт нижних зубов глубь рта. Таким образом спинка языка все больше выгибается и соответственно получается тятятя потом кякякя и наконец когда происходит смычка спинки языка с небом должно получиться какака.
46064. Нарушение звукопроизношения по звонкости – глухости, твёрдости – мягкости. Логопедические технологии устранения этих дефектов 32 KB
  Исправление данного недостатка следует начинать со щелевых звуков в –з – жА потом квзрывным б – д – г. громкое ишёпотное произнесение гласных звуков отрывисто и длительно. Озвончение щелевых звуков не всегда удаётся вызвать сразу это связано с тем что как правило в этих случаях есть какой то вид сигматизма. При этом он обращает внимание ребенка не только на различие в звучании звуков но и на то что в момент произнесения твердого звука в можно прикоснувшись рукой к гортани ощущать её вибрацию.
46065. Игры в логопедической работе с детьми. Системы игр, анализ методической литературы 15 KB
  Игры в логопедической работе с детьми. Игры используют в любые режимные моменты как на занятиях так и вне. Подготовительный этап: игры на развитие всех психических функций. Далее игры на развитие артикуляционной моторики.
46066. Личность логопеда. Сферы деятельности логопеда, функциональные обязанности, профессионально значимые качества. Организация логопедической помощи населению России 36 KB
  Логопед должен уметь распознавать речевые нарушения владеть приёмами и методами их устранения и коррекции специальными методами обучения детей с речевыми расстройствами родному языку как в дошкольном так и в школьном возрасте проводить профилактическую работу по предупреждению неуспеваемости хорошо знать психологические особенности детей с речевой патологией использовать приемы и методы их воспитания корреляции и развития у них высших корковых функций. Первостепенное значение для эффективности работы по обучению воспитанию...
46067. Теоретические и методологические основы специальной педагогической науки об обучении, воспитании, лиц с нарушениями речи 19 KB
  Теоретические и методологические основы специальной педагогической науки об обучении воспитании лиц с нарушениями речи. Логопедия – это наука о нарушениях речи методах их выявления и устранения средствами специального обучения и воспитания. Термин логопедия происходит от греческих корней логос слово и пайдео воспитываю обучаю – и в переводе означает воспитание правильной речи. Предметом логопедии как науки являются нарушения речи и процесс обучения и воспитания лиц с нарушением речевой деятельности.