4133

Вивчення вільних затухаючих коливань математичного маятника

Лабораторная работа

Физика

Вивчення вільних затухаючих коливань математичного маятника Мета роботи. Вивчити затухаючі коливання математичного маятника i визначити характеристики затухаючих коливань (період затухаючих коливань, логарифмічний декремент затухання, коефіцієнт зат...

Украинкский

2012-11-14

138.5 KB

25 чел.

Вивчення вільних затухаючих коливань математичного маятника

Мета роботи.

Вивчити затухаючі коливання математичного маятника i визначити характеристики затухаючих коливань (період затухаючих коливань, логарифмічний декремент затухання, коефіцієнт затухання, час релаксації коливань).

  1.  Теоретичні відомості.

В реальних фізичних системах, які здійснюють вiльнi коливання, крім внутрішньої сили, яка повертає систему до положення рівноваги, завжди діють сили тертя та опору. Тому реальні вiльнi коливання відбуваються з поступовими втратами енергії коливань на роботу проти цих сил i створення коливань у навколишньому середовищі, i вони є затухаючими.

Розглянемо вiльнi затухаючі коливання математичного маятника. Математичним маятником називається матеріальна точка підвішена на невагомій i нерозтяжній нитці, що коливається у вертикальній площині під дією сили тяжіння. На практиці математичним маятником можна вважати металеву кульку масою m, підвішену на легкій нитці, довжина якої l значно більша за розміри кульки (рис. 1). Центр мас такої системи збігається з центром мас кульки.

При вiдхиленнi маятника від положення рівноваги виникає повертаюча до положення рівноваги сила F, яка є складовою сили тяжіння кульки i дорівнює:

,

де g – прискорення вільного падіння, α- кутове зміщення маятника відносно положення рівноваги.

При малих кутах (α ≤10º ) ,                                              (1)

де х – лінійне зміщення кульки відносно положення рівноваги.

Тому повертаюча сила дорівнюватиме:

,                                                       (2)

де знак “ - “ вказує на те, що сила напрямлена в протилежну сторону до зміщення х.

Повертаюча сила F за природою не є пружною, але як і остання пропорційна зміщенню від положення рівноваги, тому вона називається квазіпружною.

Коефіцієнт  називається коефіцієнтом квазіпружної сили.

Будемо вважати, що причиною затухання коливань є сила опору в’язкого середовища, яка у випадку невеликої швидкості руху тіла дорівнює:

,                                                        (3)

де r – коефіцієнт опору, який залежить від в’язкості середовища та форми тіла, а  – швидкість тіла, що дорівнює:

Знак “ - ” в рівнянні (3) вказує на те, що сила опору повітря напрямлена у бік протилежний швидкості кульки.

Запишемо рівняння динаміки руху математичного маятника:

,                                                  (4)

де а – прискорення кульки, яке дорівнює:

Рис. 1.

Підставимо вираз для швидкості та прискорення в формулу (4) і отримаємо:

Поділимо останнє рівняння на m і введемо позначення:

                                                      (5)

Остаточно рівняння вільних затухаючих коливань математичного маятника матиме вигляд:

                                          (6)

Розв’язком цього рівняння є функція:

                                            (7)

Враховуючи те, що кутове зміщення α відповідно до формули (1) пропорційне лінійному зміщенню х, диференціальне рівняння вільних коливань та його розв’язок можна представити у вигляді:

                                         (8)

,

де  - амплітуда затухаючих коливань в довільний момент часу, амплітуда коливань в початковий момент часу, β – коефіцієнт затухання, визначається формулою (5),  - циклічна частота затухаючих коливань

,                                                    (9)

де  - власна частота коливань:

                                                         (10)

Як видно з рівняння затухаючих коливань, амплітуда коливань з часом зменшується, тому затухаючі коливання лише умовно можна вважати періодичними. Умовний період затухаючих коливань визначається за формулою:

                                  (11)

Графік затухаючих коливань зображений на рис. 2.

Рис. 2.

Амплітуда затухаючих коливань зменшується за експоненціальним законом, але відношення амплітуд двох послідовних коливань є величиною сталою, тобто характеристикою коливань. Ця величина називається декрементом затухання, а її логарифм логарифмічним декрементом затухання:

                                    (12)

Затухаючі коливання також характеризують часом релаксації τ. За цей час амплітуда коливань зменшується в е раз:

Звідки випливає, що:

                                                      (13)

Таким чином, частота, період, коефіцієнт затухання, час релаксації та логарифмiчннй декремент затухання є характеристиками затухаючих коливань.

3. Методика вимірювання.

Характеристики затухаючих коливань математичного маятника визначаються за вимірюваними значеннями амплітуди коливань в початковий момент часу та через час t, а також за кількістю коливань за цей час.

Період коливань маятника визначається за формулою:

                                                        (14)

Амплітуда коливань в момент часу t від початку коливань згідно формули (8) дорівнює:

З цієї формули отримаємо розрахункову формулу для коефіцієнта затухання:

                                                 (15)

З формули (13) час релаксації є величиною оберненою коефiцiєнту затухання. Тоді:

                                                    (16)

Підставимо вирази (15), (14) в формулу (12) і дістанемо розрахункову формулу для логарифмічного декремента затухання:

                                                    (17)

4. Порядок виконання роботи.

1. Відхилити маятник від положення рівноваги на кут α ≤10º i відпустити.

2. Пропустивши (1-2) коливання, виміряти кут відхилення маятника, який визначає амплітуду коливань в початковий момент часу αm, і одночасно увімкнути секундомір.

3. Відрахувати (20 —30) коливань і вимкнути секундомір. Записати час цих коливань і амплітуду коливань αm через цей час. Результати занести в таблицю 1. Вимірювання провести 3 рази.

Таблиця 1.

, град

, град

п

t, c

1

2

3

Середні значення

4. За середніми значеннями отриманих величин визначити середні значення періоду, коефіцієнта затухання, часу релаксації та логарифмічного декремента затухання за формулами (14), (15), (16), (17). Результати завести в таблицю 2.

5. Визначити відносні похибки вимірювання періоду, часу релаксації, коефіцієнта затухання, логарифмічного декремента затухання  за формулами:

, ,

, ,

, ,

, ,

відповідно. Результати занести в таблицю 2

6. Визначити абсолютні похибки непрямих вимірювань  за формулами: , , ,  відповідно та зробити висновки. Результати занести в таблицю 2.

Таблиця 2.

5. Прилади та обладнання.

Математичний маятник зі шкалою, секундомір, лінійка.


x

α

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

Tз

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

67005. Письмо великої букви С, складів та слів із нею. Складання і записування речень 33 KB
  Оголошення теми і мети уроку Перегляд уривка мультфільму Вкрадений місяць Чи сподобався вам мультфільм Хто бачив цей мультфільм Що таке місяць Навіщо він потрібний На що або на кого схожий місяць Інтерактивна технологія Мікрофон Які ще предмети схожі на букву С Якы предмети можна перетворити на букву С Як Доведіть думку.
67006. Гриби 296.5 KB
  Формувати уявлення про різноманітність грибів у природі про значення грибів у природі і цінність для людей їх охорону; формувати поняття їстівні гриби отруйні гриби; вміння розрізняти їстівні та отруйні гриби узагальнювати висловлювати судження і перевіряти їх правильність...
67007. Подорож картою України 52 KB
  Мета: продовжити формувати уявлення учнів про географічне розміщення України її кордони сусідство з іншими країнами; ознайомити з найбільшими містами України горами водоймами тваринами рослинами; детальніше познайомити із столицею України містом Києвом; викликати позитивні емоції виховувати почуття любові...
67008. Правила поведения в экстремальной ситуации 63.5 KB
  Вводная часть: актуализация опорных знаний. - Что на свете всего дороже. - Как понимаете это слово. Что с ним связано? Что влияет на наше здоровье? (Питание, спорт, профилактика вредных привычек соблюдение правил безопасности, правильный отдых) - Что такое опасная ситуация? - Какое отношение имеют эти слова к здоровью?
67009. Текст. Признаки текста. Виды связи в тексте. Цепная связь. Способы передачи цепной связи. Параллельная связь. Присоединительная связь 102.5 KB
  Текст можно определить как объединенную смысловой и грамматической связью последовательность речевых единиц: высказываний, сложных синтаксических целых, фрагментов, разделов и.т.д. Основными признаками текста являются: 1) завершённость, смысловая законченность, которая проявляется в полном...
67010. Тема текста. Содержание текста. Коммуникативная задача текста. Части текста. Микротемы текста 38.5 KB
  Цели: 1. Углубить понятие о смысловом делении текста. 2. Продолжить работу над синтаксическими конструкциями для выражения характера, образа действия. 3. Добиться осознания студентами тесной взаимосвязи языка и общества, основных функций языка в обществе, которые будут способствовать правильному стилистическому использованию изученных конструкций в речи.
67011. Функционально-смысловые типы монологической речи. Описание 47 KB
  Цели: 1. Углубить понятие о типах монологической речи. 2. Продолжить работу над пунктуационными, синтаксическими, орфографическими и иными ошибками изложений (над наиболее типичными коллективно, над остальными – индивидуально. 3. Добиться осознания студентами тесной взаимосвязи языка и общества...
67012. Описание как функционально-смысловой тип речи 39.5 KB
  В текстах данного типа всегда представлена статичная картина, складывающаяся из указаний на предметы (или части предметов) и их признаки; главным, во имя чего создаются предложения, является указание на признаки; называющие их слова, как правило, помещается в конце предложения...
67013. Функционально-смысловые типы монологической речи. Повествование 43.5 KB
  Повествование раскрывает тесно связанные между собой события явления действия. Чаще всего это действия происходившие в прошлом. Предложения в повествовательных текстах не описывают действия а повествуют о них. Повествование это сообщение о каких-либо событиях и действиях.