4133

Вивчення вільних затухаючих коливань математичного маятника

Лабораторная работа

Физика

Вивчення вільних затухаючих коливань математичного маятника Мета роботи. Вивчити затухаючі коливання математичного маятника i визначити характеристики затухаючих коливань (період затухаючих коливань, логарифмічний декремент затухання, коефіцієнт зат...

Украинкский

2012-11-14

138.5 KB

25 чел.

Вивчення вільних затухаючих коливань математичного маятника

Мета роботи.

Вивчити затухаючі коливання математичного маятника i визначити характеристики затухаючих коливань (період затухаючих коливань, логарифмічний декремент затухання, коефіцієнт затухання, час релаксації коливань).

  1.  Теоретичні відомості.

В реальних фізичних системах, які здійснюють вiльнi коливання, крім внутрішньої сили, яка повертає систему до положення рівноваги, завжди діють сили тертя та опору. Тому реальні вiльнi коливання відбуваються з поступовими втратами енергії коливань на роботу проти цих сил i створення коливань у навколишньому середовищі, i вони є затухаючими.

Розглянемо вiльнi затухаючі коливання математичного маятника. Математичним маятником називається матеріальна точка підвішена на невагомій i нерозтяжній нитці, що коливається у вертикальній площині під дією сили тяжіння. На практиці математичним маятником можна вважати металеву кульку масою m, підвішену на легкій нитці, довжина якої l значно більша за розміри кульки (рис. 1). Центр мас такої системи збігається з центром мас кульки.

При вiдхиленнi маятника від положення рівноваги виникає повертаюча до положення рівноваги сила F, яка є складовою сили тяжіння кульки i дорівнює:

,

де g – прискорення вільного падіння, α- кутове зміщення маятника відносно положення рівноваги.

При малих кутах (α ≤10º ) ,                                              (1)

де х – лінійне зміщення кульки відносно положення рівноваги.

Тому повертаюча сила дорівнюватиме:

,                                                       (2)

де знак “ - “ вказує на те, що сила напрямлена в протилежну сторону до зміщення х.

Повертаюча сила F за природою не є пружною, але як і остання пропорційна зміщенню від положення рівноваги, тому вона називається квазіпружною.

Коефіцієнт  називається коефіцієнтом квазіпружної сили.

Будемо вважати, що причиною затухання коливань є сила опору в’язкого середовища, яка у випадку невеликої швидкості руху тіла дорівнює:

,                                                        (3)

де r – коефіцієнт опору, який залежить від в’язкості середовища та форми тіла, а  – швидкість тіла, що дорівнює:

Знак “ - ” в рівнянні (3) вказує на те, що сила опору повітря напрямлена у бік протилежний швидкості кульки.

Запишемо рівняння динаміки руху математичного маятника:

,                                                  (4)

де а – прискорення кульки, яке дорівнює:

Рис. 1.

Підставимо вираз для швидкості та прискорення в формулу (4) і отримаємо:

Поділимо останнє рівняння на m і введемо позначення:

                                                      (5)

Остаточно рівняння вільних затухаючих коливань математичного маятника матиме вигляд:

                                          (6)

Розв’язком цього рівняння є функція:

                                            (7)

Враховуючи те, що кутове зміщення α відповідно до формули (1) пропорційне лінійному зміщенню х, диференціальне рівняння вільних коливань та його розв’язок можна представити у вигляді:

                                         (8)

,

де  - амплітуда затухаючих коливань в довільний момент часу, амплітуда коливань в початковий момент часу, β – коефіцієнт затухання, визначається формулою (5),  - циклічна частота затухаючих коливань

,                                                    (9)

де  - власна частота коливань:

                                                         (10)

Як видно з рівняння затухаючих коливань, амплітуда коливань з часом зменшується, тому затухаючі коливання лише умовно можна вважати періодичними. Умовний період затухаючих коливань визначається за формулою:

                                  (11)

Графік затухаючих коливань зображений на рис. 2.

Рис. 2.

Амплітуда затухаючих коливань зменшується за експоненціальним законом, але відношення амплітуд двох послідовних коливань є величиною сталою, тобто характеристикою коливань. Ця величина називається декрементом затухання, а її логарифм логарифмічним декрементом затухання:

                                    (12)

Затухаючі коливання також характеризують часом релаксації τ. За цей час амплітуда коливань зменшується в е раз:

Звідки випливає, що:

                                                      (13)

Таким чином, частота, період, коефіцієнт затухання, час релаксації та логарифмiчннй декремент затухання є характеристиками затухаючих коливань.

3. Методика вимірювання.

Характеристики затухаючих коливань математичного маятника визначаються за вимірюваними значеннями амплітуди коливань в початковий момент часу та через час t, а також за кількістю коливань за цей час.

Період коливань маятника визначається за формулою:

                                                        (14)

Амплітуда коливань в момент часу t від початку коливань згідно формули (8) дорівнює:

З цієї формули отримаємо розрахункову формулу для коефіцієнта затухання:

                                                 (15)

З формули (13) час релаксації є величиною оберненою коефiцiєнту затухання. Тоді:

                                                    (16)

Підставимо вирази (15), (14) в формулу (12) і дістанемо розрахункову формулу для логарифмічного декремента затухання:

                                                    (17)

4. Порядок виконання роботи.

1. Відхилити маятник від положення рівноваги на кут α ≤10º i відпустити.

2. Пропустивши (1-2) коливання, виміряти кут відхилення маятника, який визначає амплітуду коливань в початковий момент часу αm, і одночасно увімкнути секундомір.

3. Відрахувати (20 —30) коливань і вимкнути секундомір. Записати час цих коливань і амплітуду коливань αm через цей час. Результати занести в таблицю 1. Вимірювання провести 3 рази.

Таблиця 1.

, град

, град

п

t, c

1

2

3

Середні значення

4. За середніми значеннями отриманих величин визначити середні значення періоду, коефіцієнта затухання, часу релаксації та логарифмічного декремента затухання за формулами (14), (15), (16), (17). Результати завести в таблицю 2.

5. Визначити відносні похибки вимірювання періоду, часу релаксації, коефіцієнта затухання, логарифмічного декремента затухання  за формулами:

, ,

, ,

, ,

, ,

відповідно. Результати занести в таблицю 2

6. Визначити абсолютні похибки непрямих вимірювань  за формулами: , , ,  відповідно та зробити висновки. Результати занести в таблицю 2.

Таблиця 2.

5. Прилади та обладнання.

Математичний маятник зі шкалою, секундомір, лінійка.


x

α

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

Tз

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39626. Сборный связевый железобетонный каркас с диафрагмами жесткости 4.5 MB
  1 Нагрузка с перекрытия передается на ригели с ригелей на колонны с колонн на фундамента а с фундамента на основание. Нагрузки в плоскости рамы Нагрузка от собственного веса ригелей Предварительно принимаем для ригелей длиной от 2. Нагрузка при таком условии будет равна: 1.4 Схема загружения от собственного веса балок Нагрузка от пола перекрытия Свойства слоев пола: 1.
39627. Проектирование шестиэтажного здания с цокольный этажом, техническим чердаком и подвалом 1.69 MB
  Вначале определяем перечень работ подготовительного периода. Для упрощения состава подготовительных работ в номенклатуру вносим укрупненную строку «Внутриплощадочные работы». Далее выделяем следующие работы: срезку растительного слоя; вертикальную планировку поверхности; разработку грунта в отвал и транспорт с дальнейшим добором вручную.
39628. УСТАНОВКА (АТТИТЮД) 44 KB
  В российской психологии разработка общепсихологической теории установки принадлежит Д. Объектом для установки может быть все на что реагирует человек: любой символ фраза лозунг лицо учреждение идея. Можно иметь установки в отношении определенной профессии Организации Объединенных Наций политической партии книги национального меньшинства марки стирального порошка блондинок и т. Новорожденный ребенок имеет установки лишь относительно тех стимулов на которые существует врожденная реакция удовольствие или боль.
39629. Требования и порядок создания информационно-развлекательной системы «Развлекательный портал» 9.07 MB
  Порядок оформления работы Стадии: Техническое задание а Обоснование перспективности реализуемого проекта: постановка задачи; сбор базовых материалов; установка критериев системы; необходимость проведения исследовательских работ; b Исследовательская работа: выбор оптимальных методов решения поставленной задачи; определение требований к техническим средствам; обоснование практической возможности реализации данного проекта; в Разработка и утверждение технического задания: определение требований к проекту; ...
39630. КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ОСНОВАМ ОХРАНЫ ТРУДА 3.04 MB
  В соответствии с этой статьёй государство даёт гарантии каждому своему гражданину на надлежащие безопасные и здоровые условия труда и на заработную плату не ниже той которая определена законом. Таким образом в Конституции за государством закреплена забота об условиях труда его научной организации и это является одним из основных направлений его политики. Проблемами связанными с обеспечением здоровых и безопасных условий труда занимается охрана труда.
39631. Расчет газотурбинной установки мощностью 16 МВт 1.06 MB
  темы спроектирован регулируемый сопловой аппарат свободной силовой турбины найдены зависимости различных параметров при повороте сопловых лопаток. Также дипломный проект включает в себя: расчет тепловой схемы двигателя с последующим выбором Gв и к0 газодинамический расчет турбин по среднему диаметру расчет закона закрутки всех ступеней турбины высокого давления и силовой турбины расчеты на прочность рабочей лопатки 3й ступени силовой турбины технологию эксплуатации ГПА описание конструктивных особенностей экономическую частьрасчет...
39632. Компрессор высокого давления турбореактивного двухконтурного двигателя тягой 140 кН 1.65 MB
  Цели работы: ‒ разработка конструкции КВД; ‒ расчет на прочность и колебания основных элементов компрессора; ‒ в технологической части выполнить расчеты режимов резания для одной операции; ‒ в экономическом разделе рассчитать себестоимость затрат на проектирование промежуточного диска КВД; ‒ в разделе по безопасности жизнедеятельности провести оценку безопасности жизнедеятельности пассажиров самолета путем надежности и отказобезопасности КВД. В работе проведен сравнительный анализ конструкций КВД двигателей класса тяги 1218 тонн выбрана...
39633. Горные и маркшейдерские работы при строительстве тоннеля №3 Адлер-горноклиматический курорт «Альпика-Сервис» 21.63 MB
  Маркшейдерская служба призвана заниматься съёмками на земной поверхности и в горных выработках с целью изображения их на чертежах, а также для решения различных горно-геометрических задач, возникающих при освоении месторождения.
39634. Сайт бесплатных объявлений и рекламы 13.12 MB
  Задачей данной работы является реализация размещения объявлений и рекламы, используя Интернет. Структура интерфейса электронной доски объявлений должна быть понятна для обычного пользователя, в то же время необходимо позаботиться об наборе функциональных средств, обеспечивающих удобство работы с набором объявлений