4133

Вивчення вільних затухаючих коливань математичного маятника

Лабораторная работа

Физика

Вивчення вільних затухаючих коливань математичного маятника Мета роботи. Вивчити затухаючі коливання математичного маятника i визначити характеристики затухаючих коливань (період затухаючих коливань, логарифмічний декремент затухання, коефіцієнт зат...

Украинкский

2012-11-14

138.5 KB

25 чел.

Вивчення вільних затухаючих коливань математичного маятника

Мета роботи.

Вивчити затухаючі коливання математичного маятника i визначити характеристики затухаючих коливань (період затухаючих коливань, логарифмічний декремент затухання, коефіцієнт затухання, час релаксації коливань).

  1.  Теоретичні відомості.

В реальних фізичних системах, які здійснюють вiльнi коливання, крім внутрішньої сили, яка повертає систему до положення рівноваги, завжди діють сили тертя та опору. Тому реальні вiльнi коливання відбуваються з поступовими втратами енергії коливань на роботу проти цих сил i створення коливань у навколишньому середовищі, i вони є затухаючими.

Розглянемо вiльнi затухаючі коливання математичного маятника. Математичним маятником називається матеріальна точка підвішена на невагомій i нерозтяжній нитці, що коливається у вертикальній площині під дією сили тяжіння. На практиці математичним маятником можна вважати металеву кульку масою m, підвішену на легкій нитці, довжина якої l значно більша за розміри кульки (рис. 1). Центр мас такої системи збігається з центром мас кульки.

При вiдхиленнi маятника від положення рівноваги виникає повертаюча до положення рівноваги сила F, яка є складовою сили тяжіння кульки i дорівнює:

,

де g – прискорення вільного падіння, α- кутове зміщення маятника відносно положення рівноваги.

При малих кутах (α ≤10º ) ,                                              (1)

де х – лінійне зміщення кульки відносно положення рівноваги.

Тому повертаюча сила дорівнюватиме:

,                                                       (2)

де знак “ - “ вказує на те, що сила напрямлена в протилежну сторону до зміщення х.

Повертаюча сила F за природою не є пружною, але як і остання пропорційна зміщенню від положення рівноваги, тому вона називається квазіпружною.

Коефіцієнт  називається коефіцієнтом квазіпружної сили.

Будемо вважати, що причиною затухання коливань є сила опору в’язкого середовища, яка у випадку невеликої швидкості руху тіла дорівнює:

,                                                        (3)

де r – коефіцієнт опору, який залежить від в’язкості середовища та форми тіла, а  – швидкість тіла, що дорівнює:

Знак “ - ” в рівнянні (3) вказує на те, що сила опору повітря напрямлена у бік протилежний швидкості кульки.

Запишемо рівняння динаміки руху математичного маятника:

,                                                  (4)

де а – прискорення кульки, яке дорівнює:

Рис. 1.

Підставимо вираз для швидкості та прискорення в формулу (4) і отримаємо:

Поділимо останнє рівняння на m і введемо позначення:

                                                      (5)

Остаточно рівняння вільних затухаючих коливань математичного маятника матиме вигляд:

                                          (6)

Розв’язком цього рівняння є функція:

                                            (7)

Враховуючи те, що кутове зміщення α відповідно до формули (1) пропорційне лінійному зміщенню х, диференціальне рівняння вільних коливань та його розв’язок можна представити у вигляді:

                                         (8)

,

де  - амплітуда затухаючих коливань в довільний момент часу, амплітуда коливань в початковий момент часу, β – коефіцієнт затухання, визначається формулою (5),  - циклічна частота затухаючих коливань

,                                                    (9)

де  - власна частота коливань:

                                                         (10)

Як видно з рівняння затухаючих коливань, амплітуда коливань з часом зменшується, тому затухаючі коливання лише умовно можна вважати періодичними. Умовний період затухаючих коливань визначається за формулою:

                                  (11)

Графік затухаючих коливань зображений на рис. 2.

Рис. 2.

Амплітуда затухаючих коливань зменшується за експоненціальним законом, але відношення амплітуд двох послідовних коливань є величиною сталою, тобто характеристикою коливань. Ця величина називається декрементом затухання, а її логарифм логарифмічним декрементом затухання:

                                    (12)

Затухаючі коливання також характеризують часом релаксації τ. За цей час амплітуда коливань зменшується в е раз:

Звідки випливає, що:

                                                      (13)

Таким чином, частота, період, коефіцієнт затухання, час релаксації та логарифмiчннй декремент затухання є характеристиками затухаючих коливань.

3. Методика вимірювання.

Характеристики затухаючих коливань математичного маятника визначаються за вимірюваними значеннями амплітуди коливань в початковий момент часу та через час t, а також за кількістю коливань за цей час.

Період коливань маятника визначається за формулою:

                                                        (14)

Амплітуда коливань в момент часу t від початку коливань згідно формули (8) дорівнює:

З цієї формули отримаємо розрахункову формулу для коефіцієнта затухання:

                                                 (15)

З формули (13) час релаксації є величиною оберненою коефiцiєнту затухання. Тоді:

                                                    (16)

Підставимо вирази (15), (14) в формулу (12) і дістанемо розрахункову формулу для логарифмічного декремента затухання:

                                                    (17)

4. Порядок виконання роботи.

1. Відхилити маятник від положення рівноваги на кут α ≤10º i відпустити.

2. Пропустивши (1-2) коливання, виміряти кут відхилення маятника, який визначає амплітуду коливань в початковий момент часу αm, і одночасно увімкнути секундомір.

3. Відрахувати (20 —30) коливань і вимкнути секундомір. Записати час цих коливань і амплітуду коливань αm через цей час. Результати занести в таблицю 1. Вимірювання провести 3 рази.

Таблиця 1.

, град

, град

п

t, c

1

2

3

Середні значення

4. За середніми значеннями отриманих величин визначити середні значення періоду, коефіцієнта затухання, часу релаксації та логарифмічного декремента затухання за формулами (14), (15), (16), (17). Результати завести в таблицю 2.

5. Визначити відносні похибки вимірювання періоду, часу релаксації, коефіцієнта затухання, логарифмічного декремента затухання  за формулами:

, ,

, ,

, ,

, ,

відповідно. Результати занести в таблицю 2

6. Визначити абсолютні похибки непрямих вимірювань  за формулами: , , ,  відповідно та зробити висновки. Результати занести в таблицю 2.

Таблиця 2.

5. Прилади та обладнання.

Математичний маятник зі шкалою, секундомір, лінійка.


x

α

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

Tз

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24395. Виды коммуникаций 40.5 KB
  Коммуникации проявляются главным образом в наличии информационных связей. Если они нарушены или их нет вообще нет и не может быть коммуникации. Информация – это необходимое условие коммуникаций но понятие коммуникации не сводиться полностью к понятию информации или информационных связей. При одинаковой информации коммуникации складываются различным образом.
24397. Современные подходы к управлению: процессный, системный, ситуационный 27.5 KB
  Следовательно процесс управления состоит из 5 взаимосвязанных функций: 1.Организационная функция – работа связанная с созданием самой организации ее структуры управления коммуникаций а так же обеспечение работы людей всеми необходимыми средствами 3. Контроль –Контроль базовый элемент управления ни одну из функций нельзя рассматривать в отрыве от контроля т. Ситуационный подход – состоит в том чтобы увязывать приемы управления с конкретными ситуациями.
24398. Мотивация как функция управления 27.5 KB
  В общем смысле мотивация это процесс побуждения себя и других к деятельности для достижения определенных целей. Мотивация стимулирования к деятельности процесс побуждающий к работе воздействие на человека для достижения личных коллективных и общественных целей. Мотивация как процесс состоит из 6 этапов : Возникновение потребности. Существуют различные способы мотивации : а нормативная мотивация побуждение человека к определенному поведению посредством идейнопсихологического воздействия: убеждения внушения информирования...
24399. Особенности туризма как объекта управления 26.5 KB
  Так как туристский продукт проявляется в виде услуги то его необходимыми признаком является невозможность хранения этой услуги. В отличие от материальных товаров услуги нельзя попробовать на вкус на ощупь их не увидишь и не услышишь до момента их непосредственного оказания. Неотделимость от источника и объекта услуги. Оказание услуги требует присутствия и того кто оказывает ее и того кому она оказывается.
24401. Управление через договор франчайзинга 69.5 KB
  Управление через договор франчайзинга. Термин франчайзинг имеет французские корни franchise привилегия льгота и означает в современном понимании систему договорных отношений между крупными и мелкими самостоятельными предприятиями при которой последние получают право на производство и реализацию от имени и под торговой маркой крупной фирмы определенного вида товаров и услуг. Франчайзинг как специфическая разновидность договора зародился в США. В 60е годы франчайзинг стал стратегией роста и развития гостиниц и мотелей.
24402. Профессиональная этика 33 KB
  Содержание любой профессиональной этики складывается из общего и частного. Общие принципы профессиональной этики базирующиеся на общечеловеческих нормах морали предполагают: а профессиональную солидарность иногда перерождающуюся в корпоративность; б особое понимание долга и чести; в особую форму ответственности обусловленную предметом и родом деятельности. Профессиональные этики как правило касаются лишь тех видов профессиональной деятельности в которых наличествует разного рода зависимость людей от действий профессионала т.
24403. Нормативная этика 29 KB
  Все моральные учения и этические теории выдвигавшиеся в истории в конечном итоге были посвящены решению практических нравственных проблем. И каждый теоретик посвоему обосновывал моральные представления того обва и класса духовным выразителем интересов крого он выступал хотя субъективно стремился к созданию беспристрастной теории возвышающейся над различными моральными позициями. края содержит моральные оценки и предписания но не может быть научной и метаэтику края является якобы строго научной теорией очищенной от моральных...