4133

Вивчення вільних затухаючих коливань математичного маятника

Лабораторная работа

Физика

Вивчення вільних затухаючих коливань математичного маятника Мета роботи. Вивчити затухаючі коливання математичного маятника i визначити характеристики затухаючих коливань (період затухаючих коливань, логарифмічний декремент затухання, коефіцієнт зат...

Украинкский

2012-11-14

138.5 KB

25 чел.

Вивчення вільних затухаючих коливань математичного маятника

Мета роботи.

Вивчити затухаючі коливання математичного маятника i визначити характеристики затухаючих коливань (період затухаючих коливань, логарифмічний декремент затухання, коефіцієнт затухання, час релаксації коливань).

  1.  Теоретичні відомості.

В реальних фізичних системах, які здійснюють вiльнi коливання, крім внутрішньої сили, яка повертає систему до положення рівноваги, завжди діють сили тертя та опору. Тому реальні вiльнi коливання відбуваються з поступовими втратами енергії коливань на роботу проти цих сил i створення коливань у навколишньому середовищі, i вони є затухаючими.

Розглянемо вiльнi затухаючі коливання математичного маятника. Математичним маятником називається матеріальна точка підвішена на невагомій i нерозтяжній нитці, що коливається у вертикальній площині під дією сили тяжіння. На практиці математичним маятником можна вважати металеву кульку масою m, підвішену на легкій нитці, довжина якої l значно більша за розміри кульки (рис. 1). Центр мас такої системи збігається з центром мас кульки.

При вiдхиленнi маятника від положення рівноваги виникає повертаюча до положення рівноваги сила F, яка є складовою сили тяжіння кульки i дорівнює:

,

де g – прискорення вільного падіння, α- кутове зміщення маятника відносно положення рівноваги.

При малих кутах (α ≤10º ) ,                                              (1)

де х – лінійне зміщення кульки відносно положення рівноваги.

Тому повертаюча сила дорівнюватиме:

,                                                       (2)

де знак “ - “ вказує на те, що сила напрямлена в протилежну сторону до зміщення х.

Повертаюча сила F за природою не є пружною, але як і остання пропорційна зміщенню від положення рівноваги, тому вона називається квазіпружною.

Коефіцієнт  називається коефіцієнтом квазіпружної сили.

Будемо вважати, що причиною затухання коливань є сила опору в’язкого середовища, яка у випадку невеликої швидкості руху тіла дорівнює:

,                                                        (3)

де r – коефіцієнт опору, який залежить від в’язкості середовища та форми тіла, а  – швидкість тіла, що дорівнює:

Знак “ - ” в рівнянні (3) вказує на те, що сила опору повітря напрямлена у бік протилежний швидкості кульки.

Запишемо рівняння динаміки руху математичного маятника:

,                                                  (4)

де а – прискорення кульки, яке дорівнює:

Рис. 1.

Підставимо вираз для швидкості та прискорення в формулу (4) і отримаємо:

Поділимо останнє рівняння на m і введемо позначення:

                                                      (5)

Остаточно рівняння вільних затухаючих коливань математичного маятника матиме вигляд:

                                          (6)

Розв’язком цього рівняння є функція:

                                            (7)

Враховуючи те, що кутове зміщення α відповідно до формули (1) пропорційне лінійному зміщенню х, диференціальне рівняння вільних коливань та його розв’язок можна представити у вигляді:

                                         (8)

,

де  - амплітуда затухаючих коливань в довільний момент часу, амплітуда коливань в початковий момент часу, β – коефіцієнт затухання, визначається формулою (5),  - циклічна частота затухаючих коливань

,                                                    (9)

де  - власна частота коливань:

                                                         (10)

Як видно з рівняння затухаючих коливань, амплітуда коливань з часом зменшується, тому затухаючі коливання лише умовно можна вважати періодичними. Умовний період затухаючих коливань визначається за формулою:

                                  (11)

Графік затухаючих коливань зображений на рис. 2.

Рис. 2.

Амплітуда затухаючих коливань зменшується за експоненціальним законом, але відношення амплітуд двох послідовних коливань є величиною сталою, тобто характеристикою коливань. Ця величина називається декрементом затухання, а її логарифм логарифмічним декрементом затухання:

                                    (12)

Затухаючі коливання також характеризують часом релаксації τ. За цей час амплітуда коливань зменшується в е раз:

Звідки випливає, що:

                                                      (13)

Таким чином, частота, період, коефіцієнт затухання, час релаксації та логарифмiчннй декремент затухання є характеристиками затухаючих коливань.

3. Методика вимірювання.

Характеристики затухаючих коливань математичного маятника визначаються за вимірюваними значеннями амплітуди коливань в початковий момент часу та через час t, а також за кількістю коливань за цей час.

Період коливань маятника визначається за формулою:

                                                        (14)

Амплітуда коливань в момент часу t від початку коливань згідно формули (8) дорівнює:

З цієї формули отримаємо розрахункову формулу для коефіцієнта затухання:

                                                 (15)

З формули (13) час релаксації є величиною оберненою коефiцiєнту затухання. Тоді:

                                                    (16)

Підставимо вирази (15), (14) в формулу (12) і дістанемо розрахункову формулу для логарифмічного декремента затухання:

                                                    (17)

4. Порядок виконання роботи.

1. Відхилити маятник від положення рівноваги на кут α ≤10º i відпустити.

2. Пропустивши (1-2) коливання, виміряти кут відхилення маятника, який визначає амплітуду коливань в початковий момент часу αm, і одночасно увімкнути секундомір.

3. Відрахувати (20 —30) коливань і вимкнути секундомір. Записати час цих коливань і амплітуду коливань αm через цей час. Результати занести в таблицю 1. Вимірювання провести 3 рази.

Таблиця 1.

, град

, град

п

t, c

1

2

3

Середні значення

4. За середніми значеннями отриманих величин визначити середні значення періоду, коефіцієнта затухання, часу релаксації та логарифмічного декремента затухання за формулами (14), (15), (16), (17). Результати завести в таблицю 2.

5. Визначити відносні похибки вимірювання періоду, часу релаксації, коефіцієнта затухання, логарифмічного декремента затухання  за формулами:

, ,

, ,

, ,

, ,

відповідно. Результати занести в таблицю 2

6. Визначити абсолютні похибки непрямих вимірювань  за формулами: , , ,  відповідно та зробити висновки. Результати занести в таблицю 2.

Таблиця 2.

5. Прилади та обладнання.

Математичний маятник зі шкалою, секундомір, лінійка.


x

α

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

Tз

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32894. Материализм и идеализм. Агностицизм. Материя и движение. Изменение и покой. Определения. Формальная логика. Диалектика и метафизика 46.51 KB
  Материя и движение. Движение Любое изменение вообще начиная с пространственного перемещения предметов и заканчивая человеческим мышлением. Движение есть атрибут материи неотъемлемое свойство любого материального объекта. Движение в чистом виде существует только в мышлении в реальности же существует только движущиеся материальные объекты.
32895. Проблема познания. Ступени познания: чувственное и рациональное, эмпирическое и теоретическое. Сенсуализм и рационализм. Проблема истины. Агностицизм 44.86 KB
  Проблема познания. Ступени познания: чувственное и рациональное эмпирическое и теоретическое. Субъект познания тот кто познает; Объект познания то что познается. Чувственное познание Самая простая и исходная форма познания.
32896. Сознание и человек. Гилозоизм, панпсихизм. Редукционизм, физикализм, механицизм 35.52 KB
  Гилозоизм учение о всеобщей одушевленности материи. Отрицает границу между живым и неживым и считает жизнь неотъемлемым свойством материи. Редукционизм высшие формы материи могут быть полностью объяснены на основе закономерностей свойственных низшим формам т. Механицизм теория в соответствии с которой все явления полностью объяснимы на основе механических принципов; идея что каждое явление представляет собой результат существования материи находящейся в движении и может быть объяснено на основе законов...
32897. Декарт (1596-1650) 11.6 KB
  Первое правило метода гласит что истинным является все то что воспринимается в ясном и отчетливом виде и не дает повода к сомнениям то есть самоочевидно. Второе правило метода предлагает делить каждую сложную вещь ради успеха ее изучения на более простые составляющие. Третье правило метода утверждает: в познании мыслью следует идти от простейших то есть элементарных и наиболее доступных для нас вещей к вещам более сложным. Четвертое правило декартовского метода ориентирует на достижение полноты знания.
32899. Иммануил Кант(1724 – 1804) 12.28 KB
  Иммануил Кант1724 1804. В философском развитии Канта различают 2 периода:1. Разработка космогонической картины мира происхождение солнечной системы из первоначальной туманности теория КантаЛапласа. Всеобщая естественная история и теория неба 1755 в нем Кант практически исключает идею сотворения.
32900. НЕОКАНТИАНСТВО 11.82 KB
  В неокантианстве различают Марбургскую школу занимавшуюся преимущественно логикометодологической проблематикой естественных наук и Фрейбургскую Баденскую школу сосредоточившуюся на проблематике ценностей и методологии наук гуманитарного цикла. Разрабатывала в основном вопросы связанные с методологией гуманитарных наук. Различие между естествознанием и науками гуманитарного цикла представители этой школы видели не в разнице предмета исследования а в специфическом методе присущем историческому познанию.
32901. Философская система 11.94 KB
  Субъективный дух человеческое сознание постигая вещи обнаруживает в них проявление абсолютного духа божественного мышления. Порожденная духом природа не имеет независимого от него существования. Дух выходит из природы прерывая внешнюю кору материальности как чего то низшего.3 Философия духа делится на три части на учения о субъективном объективном и абсолютном духе.
32902. Становление марксистской философии 11.5 KB
  Во второй половине 50х и особенно в 60е годы происходит антропологический поворот : советская философия обращается к человеку человеческой проблематике. В современном буржуазном обществе она предстала по Марксу как проблема отчуждения : устройство общества разделение труда частная собственность таково что результаты человеческой деятельности продукты труда отчуждаются от человека и превращаются в господствующую над ним силу что ведет и к отчуждению людей друг от друга.