4133

Вивчення вільних затухаючих коливань математичного маятника

Лабораторная работа

Физика

Вивчення вільних затухаючих коливань математичного маятника Мета роботи. Вивчити затухаючі коливання математичного маятника i визначити характеристики затухаючих коливань (період затухаючих коливань, логарифмічний декремент затухання, коефіцієнт зат...

Украинкский

2012-11-14

138.5 KB

25 чел.

Вивчення вільних затухаючих коливань математичного маятника

Мета роботи.

Вивчити затухаючі коливання математичного маятника i визначити характеристики затухаючих коливань (період затухаючих коливань, логарифмічний декремент затухання, коефіцієнт затухання, час релаксації коливань).

  1.  Теоретичні відомості.

В реальних фізичних системах, які здійснюють вiльнi коливання, крім внутрішньої сили, яка повертає систему до положення рівноваги, завжди діють сили тертя та опору. Тому реальні вiльнi коливання відбуваються з поступовими втратами енергії коливань на роботу проти цих сил i створення коливань у навколишньому середовищі, i вони є затухаючими.

Розглянемо вiльнi затухаючі коливання математичного маятника. Математичним маятником називається матеріальна точка підвішена на невагомій i нерозтяжній нитці, що коливається у вертикальній площині під дією сили тяжіння. На практиці математичним маятником можна вважати металеву кульку масою m, підвішену на легкій нитці, довжина якої l значно більша за розміри кульки (рис. 1). Центр мас такої системи збігається з центром мас кульки.

При вiдхиленнi маятника від положення рівноваги виникає повертаюча до положення рівноваги сила F, яка є складовою сили тяжіння кульки i дорівнює:

,

де g – прискорення вільного падіння, α- кутове зміщення маятника відносно положення рівноваги.

При малих кутах (α ≤10º ) ,                                              (1)

де х – лінійне зміщення кульки відносно положення рівноваги.

Тому повертаюча сила дорівнюватиме:

,                                                       (2)

де знак “ - “ вказує на те, що сила напрямлена в протилежну сторону до зміщення х.

Повертаюча сила F за природою не є пружною, але як і остання пропорційна зміщенню від положення рівноваги, тому вона називається квазіпружною.

Коефіцієнт  називається коефіцієнтом квазіпружної сили.

Будемо вважати, що причиною затухання коливань є сила опору в’язкого середовища, яка у випадку невеликої швидкості руху тіла дорівнює:

,                                                        (3)

де r – коефіцієнт опору, який залежить від в’язкості середовища та форми тіла, а  – швидкість тіла, що дорівнює:

Знак “ - ” в рівнянні (3) вказує на те, що сила опору повітря напрямлена у бік протилежний швидкості кульки.

Запишемо рівняння динаміки руху математичного маятника:

,                                                  (4)

де а – прискорення кульки, яке дорівнює:

Рис. 1.

Підставимо вираз для швидкості та прискорення в формулу (4) і отримаємо:

Поділимо останнє рівняння на m і введемо позначення:

                                                      (5)

Остаточно рівняння вільних затухаючих коливань математичного маятника матиме вигляд:

                                          (6)

Розв’язком цього рівняння є функція:

                                            (7)

Враховуючи те, що кутове зміщення α відповідно до формули (1) пропорційне лінійному зміщенню х, диференціальне рівняння вільних коливань та його розв’язок можна представити у вигляді:

                                         (8)

,

де  - амплітуда затухаючих коливань в довільний момент часу, амплітуда коливань в початковий момент часу, β – коефіцієнт затухання, визначається формулою (5),  - циклічна частота затухаючих коливань

,                                                    (9)

де  - власна частота коливань:

                                                         (10)

Як видно з рівняння затухаючих коливань, амплітуда коливань з часом зменшується, тому затухаючі коливання лише умовно можна вважати періодичними. Умовний період затухаючих коливань визначається за формулою:

                                  (11)

Графік затухаючих коливань зображений на рис. 2.

Рис. 2.

Амплітуда затухаючих коливань зменшується за експоненціальним законом, але відношення амплітуд двох послідовних коливань є величиною сталою, тобто характеристикою коливань. Ця величина називається декрементом затухання, а її логарифм логарифмічним декрементом затухання:

                                    (12)

Затухаючі коливання також характеризують часом релаксації τ. За цей час амплітуда коливань зменшується в е раз:

Звідки випливає, що:

                                                      (13)

Таким чином, частота, період, коефіцієнт затухання, час релаксації та логарифмiчннй декремент затухання є характеристиками затухаючих коливань.

3. Методика вимірювання.

Характеристики затухаючих коливань математичного маятника визначаються за вимірюваними значеннями амплітуди коливань в початковий момент часу та через час t, а також за кількістю коливань за цей час.

Період коливань маятника визначається за формулою:

                                                        (14)

Амплітуда коливань в момент часу t від початку коливань згідно формули (8) дорівнює:

З цієї формули отримаємо розрахункову формулу для коефіцієнта затухання:

                                                 (15)

З формули (13) час релаксації є величиною оберненою коефiцiєнту затухання. Тоді:

                                                    (16)

Підставимо вирази (15), (14) в формулу (12) і дістанемо розрахункову формулу для логарифмічного декремента затухання:

                                                    (17)

4. Порядок виконання роботи.

1. Відхилити маятник від положення рівноваги на кут α ≤10º i відпустити.

2. Пропустивши (1-2) коливання, виміряти кут відхилення маятника, який визначає амплітуду коливань в початковий момент часу αm, і одночасно увімкнути секундомір.

3. Відрахувати (20 —30) коливань і вимкнути секундомір. Записати час цих коливань і амплітуду коливань αm через цей час. Результати занести в таблицю 1. Вимірювання провести 3 рази.

Таблиця 1.

, град

, град

п

t, c

1

2

3

Середні значення

4. За середніми значеннями отриманих величин визначити середні значення періоду, коефіцієнта затухання, часу релаксації та логарифмічного декремента затухання за формулами (14), (15), (16), (17). Результати завести в таблицю 2.

5. Визначити відносні похибки вимірювання періоду, часу релаксації, коефіцієнта затухання, логарифмічного декремента затухання  за формулами:

, ,

, ,

, ,

, ,

відповідно. Результати занести в таблицю 2

6. Визначити абсолютні похибки непрямих вимірювань  за формулами: , , ,  відповідно та зробити висновки. Результати занести в таблицю 2.

Таблиця 2.

5. Прилади та обладнання.

Математичний маятник зі шкалою, секундомір, лінійка.


x

α

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

Tз

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

77003. Порядок рассмотрения и разрешения дела об административном правонарушении, сроки рассмотрения, решения, принимаемые по результатам рассмотрения дела 26.52 KB
  Порядок рассмотрения и разрешения дела об административном правонарушении сроки рассмотрения решения принимаемые по результатам рассмотрения дела. Подготовка к рассмотрению дела об административном правонарушении Судья орган должностное лицо при подготовке к рассмотрению дела об административном правонарушении выясняют следующие вопросы: 1 относится ли к их компетенции рассмотрение данного дела; 2 имеются ли обстоятельства исключающие возможность рассмотрения данного дела судьей членом коллегиального органа должностным лицом; 3...
77004. Содержание постановлений и определений, принятых по результатам рассмотрения дела об административном правонарушении 27.61 KB
  Содержание постановлений и определений принятых по результатам рассмотрения дела об административном правонарушении. По результатам рассмотрения дела об административном правонарушении может быть вынесено постановление. В постановлении по делу об административном правонарушении должны быть указаны: должность фамилия имя отчество судьи должностного лица наименование и состав коллегиального органа вынесших постановление; дата и место рассмотрения дела; сведения о лице в отношении которого рассмотрено дело; обстоятельства...
77005. Обжалование и опротестование постановления по делу об административном правонарушении. Порядок и сроки обжалования (опротестования). Виды принимаемых решений 27.86 KB
  Обжалование и опротестование постановления по делу об административном правонарушении. Пересмотр постановлений и решений по делам об административных правонарушениях Правом на обжалование постановлений по административному делу обладают: лицо в отношении которого ведется административное дело; потерпевший; законный представитель физического лица; законный представитель юридического лица; защитник и представитель Постановление по делу об административном правонарушении может быть обжаловано: вынесенное судьей в вышестоящий суд;...
77006. Порядок вступления в силу вынесенного постановления. Основные положения исполнения постановления по делу об административном правонарушении 27.28 KB
  Основные положения исполнения постановления по делу об административном правонарушении. На стадии исполнения завершается производство исполняются принятые по делам постановления решения осуществляется карательное воздействие. Поэтому на стадии исполнения появляется много новых участников производства действуют особые принципы специфичны и содержание деятельности субъектов власти и статус наказанного. Отношения возникающие на стадии исполнения постановлений о привлечении виновных юридических и физических лиц к административной...
77007. Особенности исполнения отдельных видов административных наказаний 27.01 KB
  Постановление о назначении административного наказания в виде предупреждения исполняется судьей органом должностным лицом вынесшими постановление путем вручения или направления копии постановления Исполнение постановления о наложении административного штрафа. Административный штраф должен быть уплачен лицом привлеченным к административной ответственности не позднее тридцати дней со дня вступления постановления о наложении административного штрафа в законную силу либо со дня истечения срока отсрочки или срока рассрочки. Сумма...
77008. Отсрочка и рассрочка исполнения постановления по делу об административном правонарушении Случаи прекращения исполнения постановления о назначении административного наказания 26.04 KB
  Отсрочка и рассрочка исполнения постановления по делу об административном правонарушении Случаи прекращения исполнения постановления о назначении административного наказания. При наличии обстоятельств вследствие которых исполнение постановления о назначении административного наказания в виде административного ареста лишения специального права или в виде административного штрафа невозможно в установленные сроки судья орган должностное лицо вынесшие постановление могут отсрочить исполнение постановления на срок до одного месяца....
77009. Законность и дисциплина в сфере государственного управления: понятие, сущность. Виды способов обеспечения законности и дисциплины в управленческой деятельности 27.02 KB
  Виды контрольной деятельности: 1 по субъектам: контроль осуществляемый Счетной палатой Федерального Собрания РФ; контроль Министерства по налогам и сборам РФ; контроль Министерства финансов РФ; судебный контроль; 2 по методам: контроль документов издаваемых участниками управленческой деятельности; проверка непосредственно самой деятельности; 3 по времени осуществления: предварительные проверки осуществляемые до реализации субъектов административных правоотношений своих прав и обязанностей; текущие проверки в процессе...
77010. Контроль в государственном управлении: понятие, содержание, виды 29.15 KB
  Сущность контроля за деятельностью органов исполнительной власти заключается в том что уполномоченные на то государственные органы законодательной исполнительной судебной власти и общественные организации используя организационноправовые способы и средства выясняют не допущены ли в деятельности подконтрольных органов исполнительной власти и их должностных лиц какиелибо нарушения законности и если таковые имеются то своевременно их устраняют восстанавливают нарушенные при этом права привлекают виновных к ответственности принимают...
77011. Административный надзор как способ обеспечения законности: понятие, правовые основы, органы осуществляющие, их правовое положение 28.37 KB
  Административный надзор как способ обеспечения законности: понятие правовые основы органы осуществляющие их правовое положение. Административный надзор как способ обеспечения законности представляет собой особый вид государственной деятельности специально уполномоченных органов исполнительной власти и их должностных лиц направленный на строгое и точное исполнение органами исполнительной власти коммерческими и некоммерческими организациями а также гражданами общеобязательных правил имеющих важное значение для общества и...