4133

Вивчення вільних затухаючих коливань математичного маятника

Лабораторная работа

Физика

Вивчення вільних затухаючих коливань математичного маятника Мета роботи. Вивчити затухаючі коливання математичного маятника i визначити характеристики затухаючих коливань (період затухаючих коливань, логарифмічний декремент затухання, коефіцієнт зат...

Украинкский

2012-11-14

138.5 KB

25 чел.

Вивчення вільних затухаючих коливань математичного маятника

Мета роботи.

Вивчити затухаючі коливання математичного маятника i визначити характеристики затухаючих коливань (період затухаючих коливань, логарифмічний декремент затухання, коефіцієнт затухання, час релаксації коливань).

  1.  Теоретичні відомості.

В реальних фізичних системах, які здійснюють вiльнi коливання, крім внутрішньої сили, яка повертає систему до положення рівноваги, завжди діють сили тертя та опору. Тому реальні вiльнi коливання відбуваються з поступовими втратами енергії коливань на роботу проти цих сил i створення коливань у навколишньому середовищі, i вони є затухаючими.

Розглянемо вiльнi затухаючі коливання математичного маятника. Математичним маятником називається матеріальна точка підвішена на невагомій i нерозтяжній нитці, що коливається у вертикальній площині під дією сили тяжіння. На практиці математичним маятником можна вважати металеву кульку масою m, підвішену на легкій нитці, довжина якої l значно більша за розміри кульки (рис. 1). Центр мас такої системи збігається з центром мас кульки.

При вiдхиленнi маятника від положення рівноваги виникає повертаюча до положення рівноваги сила F, яка є складовою сили тяжіння кульки i дорівнює:

,

де g – прискорення вільного падіння, α- кутове зміщення маятника відносно положення рівноваги.

При малих кутах (α ≤10º ) ,                                              (1)

де х – лінійне зміщення кульки відносно положення рівноваги.

Тому повертаюча сила дорівнюватиме:

,                                                       (2)

де знак “ - “ вказує на те, що сила напрямлена в протилежну сторону до зміщення х.

Повертаюча сила F за природою не є пружною, але як і остання пропорційна зміщенню від положення рівноваги, тому вона називається квазіпружною.

Коефіцієнт  називається коефіцієнтом квазіпружної сили.

Будемо вважати, що причиною затухання коливань є сила опору в’язкого середовища, яка у випадку невеликої швидкості руху тіла дорівнює:

,                                                        (3)

де r – коефіцієнт опору, який залежить від в’язкості середовища та форми тіла, а  – швидкість тіла, що дорівнює:

Знак “ - ” в рівнянні (3) вказує на те, що сила опору повітря напрямлена у бік протилежний швидкості кульки.

Запишемо рівняння динаміки руху математичного маятника:

,                                                  (4)

де а – прискорення кульки, яке дорівнює:

Рис. 1.

Підставимо вираз для швидкості та прискорення в формулу (4) і отримаємо:

Поділимо останнє рівняння на m і введемо позначення:

                                                      (5)

Остаточно рівняння вільних затухаючих коливань математичного маятника матиме вигляд:

                                          (6)

Розв’язком цього рівняння є функція:

                                            (7)

Враховуючи те, що кутове зміщення α відповідно до формули (1) пропорційне лінійному зміщенню х, диференціальне рівняння вільних коливань та його розв’язок можна представити у вигляді:

                                         (8)

,

де  - амплітуда затухаючих коливань в довільний момент часу, амплітуда коливань в початковий момент часу, β – коефіцієнт затухання, визначається формулою (5),  - циклічна частота затухаючих коливань

,                                                    (9)

де  - власна частота коливань:

                                                         (10)

Як видно з рівняння затухаючих коливань, амплітуда коливань з часом зменшується, тому затухаючі коливання лише умовно можна вважати періодичними. Умовний період затухаючих коливань визначається за формулою:

                                  (11)

Графік затухаючих коливань зображений на рис. 2.

Рис. 2.

Амплітуда затухаючих коливань зменшується за експоненціальним законом, але відношення амплітуд двох послідовних коливань є величиною сталою, тобто характеристикою коливань. Ця величина називається декрементом затухання, а її логарифм логарифмічним декрементом затухання:

                                    (12)

Затухаючі коливання також характеризують часом релаксації τ. За цей час амплітуда коливань зменшується в е раз:

Звідки випливає, що:

                                                      (13)

Таким чином, частота, період, коефіцієнт затухання, час релаксації та логарифмiчннй декремент затухання є характеристиками затухаючих коливань.

3. Методика вимірювання.

Характеристики затухаючих коливань математичного маятника визначаються за вимірюваними значеннями амплітуди коливань в початковий момент часу та через час t, а також за кількістю коливань за цей час.

Період коливань маятника визначається за формулою:

                                                        (14)

Амплітуда коливань в момент часу t від початку коливань згідно формули (8) дорівнює:

З цієї формули отримаємо розрахункову формулу для коефіцієнта затухання:

                                                 (15)

З формули (13) час релаксації є величиною оберненою коефiцiєнту затухання. Тоді:

                                                    (16)

Підставимо вирази (15), (14) в формулу (12) і дістанемо розрахункову формулу для логарифмічного декремента затухання:

                                                    (17)

4. Порядок виконання роботи.

1. Відхилити маятник від положення рівноваги на кут α ≤10º i відпустити.

2. Пропустивши (1-2) коливання, виміряти кут відхилення маятника, який визначає амплітуду коливань в початковий момент часу αm, і одночасно увімкнути секундомір.

3. Відрахувати (20 —30) коливань і вимкнути секундомір. Записати час цих коливань і амплітуду коливань αm через цей час. Результати занести в таблицю 1. Вимірювання провести 3 рази.

Таблиця 1.

, град

, град

п

t, c

1

2

3

Середні значення

4. За середніми значеннями отриманих величин визначити середні значення періоду, коефіцієнта затухання, часу релаксації та логарифмічного декремента затухання за формулами (14), (15), (16), (17). Результати завести в таблицю 2.

5. Визначити відносні похибки вимірювання періоду, часу релаксації, коефіцієнта затухання, логарифмічного декремента затухання  за формулами:

, ,

, ,

, ,

, ,

відповідно. Результати занести в таблицю 2

6. Визначити абсолютні похибки непрямих вимірювань  за формулами: , , ,  відповідно та зробити висновки. Результати занести в таблицю 2.

Таблиця 2.

5. Прилади та обладнання.

Математичний маятник зі шкалою, секундомір, лінійка.


x

α

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

Tз

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80624. Зв’язок слів у реченні між собою за змістом 82 KB
  Мета. Вчити учнів зв’язувати слова у реченні, удосконалювати вміння встановлювати межі речень; розвивати навички написання слів у реченні, формувати орфографічну увагу, виховувати уважне ставлення до природи Обладнання.
80625. Симетричні форми. Симетрія у природі. Послідовність дій під час виготовлення простих симетричних форм із паперу. Практична робота: вирізання деталей виробів симетричної форми; створення аплікацій із вирізаних простих симетричних форм «Грибочок» 30.5 KB
  Мета. Вчити дітей виготовляти предметні аплікації, ознайомити із способом симетричного вирізування. Розвивати просторове уявлення, дрібну моторику. Виховувати емоційне ставлення до результатів своєї праці, інтерес до секретів природи. Обладнання: зображення грибів, кольоровий папір, картон, клей, ножиці, шаблони.
80626. Письмо великої букви Ф 34.5 KB
  Мета: навчити учнів писати велику букву Ф окремоі в словах; розвивати вміння аалізувати, зіставляти, узагальнювати; продовжувати ознайомлювати учнів зі скоромовками; виховувати інтерес до вивченння української мови, Бережливе ставлення до природи.
80627. Здравствуй, гостья Зима! 33.5 KB
  Выпал пушистый снег. На дворах и домах Снег лежит полотном И от солнца блестит Разноцветным огнем. Как в третьей строфе поэт называет снег С чем он его сравнивает Здесь художник использует такое средство художественной выразительности как сравнение когда один объект сравнивается с другим...
80628. Поняття про мову. Українська мова – державна мова України 49.5 KB
  Мета: Розширити уявлення учнів про мову як найважливіший скарб українського народу, про існування різних мов; вчити спостерігати за звучанням, написанням і значенням слів у споріднених мовах. Розвивати усне мовлення учнів, каліграфічні навички письма, поширювати словниковий запас учнів.
80629. Квіти. Музика П.І. Чайковського «Вальс квітів» 46.5 KB
  Удосконалювати техніку читання прозових творів насичених діалогами; продовжувати навчати учнів сприймати на слух, вчити голосом, інтонацією передавати настрій дійових осіб; визначати головного герою, спостерігати за його вчинками. Розширювати коло морально-етичних понять про добро, людяність, красу.
80630. Андрій М’ястківський. Казка про яблуню 89.5 KB
  Мета. Удосконалювати навички усвідомленого, виразного читання художніх творів; формувати вміння знаходити за допомогою вибіркового читання уривки тексту, що характеризують дійових осіб; виховувати працелюбність, бажання вивчати і допомагати природі.
80631. Гори України. Карпати. Рослини і тварини Карпат 49 KB
  Продовжити формувати поняття гори розкрити залежність природи гір від їхньої висоти; ознайомити учнів з характерними особливостями Карпатських гір географічним положенням кліматом рослинним і тваринним світом корисними копалинам; розвивати спостережливість...
80632. Урок розвитку зв’язного мовлення. Письмовий переказ тексту за складеним планом 28 KB
  Мета: Вчити учнів письмово передавати зміст тексту за складеним планом. Розвивати мовлення, збагачувати словниковий запас. Розвивати увагу, пам’ять, мислення. Виховувати любов до природи, бажання допомагати пташкам взимку.