4149

Розклад числа на прості множники

Практическая работа

Математика и математический анализ

Розклад числа на прості множники Означення. Розкладом натурального числа nна прості множники (факторизацією числа) називається представлення його у вигляді взаємно прості числа, ki...

Украинкский

2012-11-13

97.5 KB

4 чел.

Розклад числа на прості множники

Означення. Розкладом натурального числа n на прості множники (факторизацією числа) називається представлення його у вигляді n = , де pi – взаємно прості числа, ki ³ 1 .

Задача перевірки числа на простоту є простішою за задачу факторизації. Тому перед розкладанням числа на прості множники слід перевірити число на простоту.

Означення. Розбиттям числа називається задача представлення натурального числа n у вигляді n = a * b, де a, b – натуральні числа, більші за 1 (не обов’язково прості).

Метод Ферма

Нехай n – складене число, яке не є степенем простого числа. Метод Ферма намагається знати такі натуральні x та y, що n = x2y2. Після чого дільниками числа n будуть a = xy та b = x + y: n = a * b = (xy)(x + y).

Якщо припустити що n = a * b, то в якості x та y (таких що n = x2y2)  можна обрати

,

Приклад. Виберемо n = 143 = 11 * 13.

Тоді x = (13 + 11) / 2  = 12, y = (13 – 11) / 2 = 1.

Перевірка: x2y2 = 122 – 11 = 143 = n.

Теорема. Якщо n = x2y2, то  < x < (n + 1) / 2.

Доведення. З рівності n = x2y2 випливає, що n < x2, тобто  < x.

Оскільки a = n / b, то . Максимальне значення x досягається при мінімальному b, тобто при b = 1. Звідси x =  < .

Отже для пошуку представлення n = x2y2 слід перебрати всі можливі значення x із проміжку [,  (n + 1) / 2], перевіряючи при цьому чи є вираз x2 - n повним квадратом.

Приклад. Розкласти на множники n = 391 методом Ферма.  = 19.

202 – 391 = 9 = 32. Маємо рівність: 391 = 202 – 32.

Звідси 391 = (20 – 3)(20 + 3) = 17 * 23.

Алгоритм Полард - ро факторизації числа

У 1974 році Джон Полард запропонував алгоритм знаходження нетривіального дільника натурального числа n. Пр цьому алгоритм використовує лише операції додавання, множення та віднімання модулярної арифметики.

Ідея алгоритма Полард – ро полягає в ітеративному обчисленні деякої наперед заданої поліноміальної функції f з цілими коефіцієнтами. Побудуємо послідовність xi наступним чином: x0 оберемо довільним із Zn, а xi+1 = f(xi) mod n, i ³ 0. Оскільки xi можуть приймати лише скінченний набір значень (цілі числа від 0 до n), то існують такі цілі n1 та n2 (n1 < n2), що = . Враховуючи поліноміальність f, для кожного натурального k маємо: =, тобто починаючи з індекса i = n1 послідовність {xi mod n} буде періодичною.

Приклад. Нехай n = 21, x0 = 1, xi+1 =  + 3 mod 21.

Тоді послідовність xi має вигляд: 1, 4, 19, 7, 10, 19, 7, 10, ... .

Таким чином x3 = x6, період послідовності дорівнює 3.

Послідовність xi можна відобразити у вигляді кола з хвостом: коло відповідає періодичній частині, а хвіст – доперіодичній. Картинка нагадує грецьку літеру r, тому метод який застосовується в алгоритмі називається r – евристикою. Послідовність із попереднього прикладу можна зобразити так:

Ідея алгоритму полягає в обчисленні для кожного i > 0 значення d = НСД(x2ixi, n). Якщо на деякому кроці d > 1, то це і є нетривіальний дільник числа n.

Побудуємо послідовність елементів xi наступним чином:

x0 = 2, xi+1 = f(xi) = ( + 1) mod n, i > 0

Алгоритм

Вхід: натуральне число n, параметр t ³ 1.

Вихід: нетривіальний дільник d числа n.

1. a = 2, b = 2;

2. for i ¬ 1 to  t do

2.1. Обчислити a ¬ (a2 + 1) mod n; b ¬ (b2 + 1) mod n; b ¬ (b2 + 1) mod n;

2.2. Обчислити d ¬ НСД(a - b, n);

2.3. if 1 < d < n return (d);  // знайдено нетривіальний дільник

3. return (False);   // дільника не знайдено

Вважаємо, що функція f(x) = (x2 + 1) mod n генерує випадкові числа. Тоді для знаходження дільника числа n необхідно виконати не більш ніж O() операцій модулярного множення.

Якщо алгоритм Поларда – ро не знаходить дільника за t ітерацій, то замість функції f(x) = (x2 + 1) mod n можна використовувати f(x) = (x2 + c) mod n, для деякого цілого c, c ¹ 0, -2.

Приклад. Нехай n = 19939.

Послідовність xi: 2, 5, 26, 677, 19672, 11473, 12391, 6582, 15217, 5483, 15217, 5483, 15217, ... .

a

b

d

2

2

1

5

26

1

26

19672

1

677

12391

1

19672

15217

1

11473

15217

1

12391

15217

157

Знайдено розклад 19939 = 157 * 127.

Нехай n = 143. Послідовність xi: 2, 5, 26, 105, 15, ... .

a

b

d

2

2

1

5

26

НСД(21, 143) = 1

26

15

НСД(11, 143) = 11


Знайдено розклад 143 = 11 * 13.

Ймовірносний квадратичний алгоритм факторизації числа

Твердження. Нехай x та y – цілі числа, x2 º y2 (mod n) та x ¹ ±y (mod n). Тоді x2y2 ділиться на n, при чому жоден із виразів x + y та xy не ділиться на n. Число d = НСД(x2y2, n) є нетривіальним дільником n.

Теорема. Якщо n – непарне складене число, яке не є степенем простого числа, то завжди існують такі x та y, що x2 º y2 (mod n), при чому x ¹ ± y (mod n).

Доведення. Нехай n = n1 * n2 – добуток взаємно простих чисел. Оберемо таке y, що НСД(y, n) = 1. Далі розв’яжемо систему рівнянь:

Розв’язком системи будуть такі x та y за модулем n = НСК(n1, n2), що x2 º y2 (mod n). Якщо при цьому припустити, що x º y (mod n), то з другого рівняння системи маємо: y º y (mod n2), або 2 * y = 0 (mod n2). Оскільки було обрано НСД(y, n2) = 1, то з останньої рівності випливає що n2 ділиться на 2, тобто є парним. Це суперечить умові теореми про непарність n.

Приклад. Виберемо n1 = 11,  n2 = 13 – взаємно прості числа. Тоді n = 11 * 13 = 143. Покладемо y = 5,  НСД(5, 143) = 1. Складемо систему порівнянь:

 або  

Розв’язком системи буде x º 60 (mod 143).

Має місце рівність 602 º 52 (mod 143) , при чому 60 ¹ ±5 (mod 143).

Тоді дільником числа n буде d = НСД(60 – 5, 143) = 11.

Формально ймовірносний квадратичний алгоритм факторизації будується на наступній ідеї:

Нехай F = {p0, p1, p2, …, pt} – множникова основа, pi – різні прості числа, при чому дозволяється обрати p0 = -1. Побудуємо множину порівнянь

 º zi ,

таку що значення zi є повіністю факторизованими у множині F :

,

та добуток деякої підмножини значень zi є повним квадратом:

z =  = y2, y Î Z, fi Î {0, 1}

Якщо множина порівнянь із вказаними властивостями побудована, то поклавши x =  і перевіривши виконання нерівності x ¹ ± y (mod n), отри маємо x2 º y2 (mod n). Число d = НСД(x2y2, n) є нетривіальним дільником n.

Приклад. Знайти дільник числа n = 143.

Обираємо випадково число x Î [2, 142], обчислюємо x2 (mod 143) та розкладаємо результат на множники:

1. z1 = 192 (mod 143) = 75 = 3 * 52.

2. z2 = 772 (mod 143) = 66 = 2 * 3 * 11.

3. z3 = 292 (mod 143) = 126 = 2 * 32 * 7.

4. z4 = 542 (mod 143) = 56 = 23 * 7.

Можна помітити, що добуток z3 та z4 є повним квадратом:

z = z3 * z4 = 24 * 32 * 72 = (22 * 3 * 7)2 = 842

Маємо рівність:

z3 * z4 = 292 * 542 º 842 (mod 143)

або враховуючи що 29 * 54 (mod 143) º 136, маємо:

1362 = 842 (mod 143), при чому 136 ¹ ±84 (mod 143)

Дільником числа n = 143 буде d = НСД(136 – 84, 143) = НСД(52, 143) = 13.

Квадратичний алгоритм факторизації

Серед усіх існуючих алгоритмів факторизації найшвидшим є квадратичний. Він ефективно застосовується для чисел, кількість цифр яких менша за 100 та які не мають малих простих дільників. Еврістичний аналіз, проведений Померансом [1] у 1981 році показав, що число N може бути розкладено на множники за час .

Нехай n – число, яке факторизується, m = . Розглянемо многочлен

q(x) = (x + m)2 - n

Квадратичний алгоритм обирає ai = x + m (x = 0, ±1, ±2, …), обчислює значення bi = (x + m)2n та перевіряє, чи факторизується bi у множниковій основі F = {p0, p1, p2, …, pt}.

Помітимо, що   = (x + m)2n º (x + m)2 (mod n) º bi (mod n).

Алгоритм

Вхід: натуральне число n, яке не є степенм простого числа.

Вихід: нетривіальний дільник d числа n.

1. Обрати множникову основу F = {p0, p1, p2, …, pt}, де  p0 = -1, pii - те просте число p, для якого n є квадратичним лишком за модулем p.

2. Обчислити m = [].

3. Знаходження t + 1 пари (ai, bi).

   Значення x перебираються у послідовності 0, ±1, ±2, … .

   Покласти i ¬ 1. Поки i £ t + 1 робити:

3.1. Обчислити b = q(x) =  (x + m)2n та перевірити, чи розкладається b у множниковій основі F. Якщо ні, обрати наступне x та повторити цей крок.

3.2. Нехай b = . Покласти ai = x + m, bi = b, vi = (vi1, vi2, …, vit), де vij = eij mod 2, 1 £ j £ t.

3.3. i ¬ i + 1.

4. Знайти підмножину T Í {1, 2, …, t + 1} таку що  = 0.

5. Обчислити x =  mod n.

6. Для кожного j, 1 £ j £ t, обчислити lj = () / 2.

7. Обчислити y =  mod n.

8. Якщо x º ±y (mod n), знайти іншу підмножину T Í {1, 2, …, t + 1} таку що  = 0 та перейти до кроку 5.

9. Обчислити дільник d = НСД(xy, n).

Приклад. Розкласти на множники n = 24961.

1. Побудуємо множникову основу: F = {-1, 2, 3, 5, 13, 23}

2. m = [] = 157.

3. Побудуємо наступну таблицю:

i

x

q(x)

факторизація q(x)

ai

vi

1

0

-312

-23 * 3 * 13

157

(1, 1, 1, 0, 1, 0)

2

1

3

3

158

(0, 0, 1, 0, 0, 0)

3

-1

-625

-54

156

(1, 0, 0, 0, 0, 0)

4

2

320

26 * 5

159

(0, 0, 0, 1, 0, 0)

5

-2

-936

-23 * 32 * 13

155

(1, 1, 0, 0, 1, 0)

6

4

960

26 * 3 * 5

161

(0, 0, 1 ,1, 0, 0)

7

-6

-2160

-24 * 33 * 5

151

(1, 0, 1, 1, 0, 0)

4. Виберемо T = {1, 2, 5}, оскільки v1 + v2 + v5 = 0.

5. Обчислимо x = (a1a2a5) (mod n) = 936 = 26 * 34 * 132.

6. l1 = 1, l2 = 3, l3 = 2, l4 = 0, l5 = 1, l6 = 0.

7. y = -23 * 32 * 13 (mod n) = 24025.

8. Оскільки 936 º –24025 (mod n), необхідно шукати іншу множину T.

9. Виберемо T = {3, 6, 7}, оскільки v3 + v6 + v7 = 0.

10. Обчислимо x = (a3a6a7) mod n = 23405 = 210 * 34 * 56.

11. l1 = 1, l2 = 5, l3 = 2, l4 = 3, l5 = 0, l6 = 0.

12. y = -25 * 32 * 53 (mod n) = 13922.

13. 23405 ¹ ±13922 (mod n).

d = НСД(xy, n) = НСД(9483, 24961) = 109 – дільник.

Відповідь: 109 – дільник 24961.

Література

1. Pomerance C. Analysis and comparison of some integer factorization algorithms. In Computational Methods in Number Theory, vol.154, H.Lenstra and R.Tijdeman, Eds. Amsterdam Mathematics Center 1982, pp. 89 – 139.


7

0

19

4

1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23729. Признаки делимости на 10, на 5, на 2 44.5 KB
  – Что общего в числах полученного ряда Все числа кратны 5. Эти числа оканчиваются на 0. – Приведите пример четного числа удовлетворяющего неравенству x 80. – Какие остатки могут получаться при делении числа на 100.
23730. Свойства и признаки делимости 71.5 KB
  2 а x не делится на 10 т. 2 а x делится на 3; число оканчивается любой цифрой кроме 0; б x делится на 7; б x не делится на 5; в x не делится на 2 т. любое нечётное число; в x делится на 3; г x делится на 9. г x не делится на 9.
23731. Признаки и свойства делимости 59.5 KB
  – С какой целью мы их изучали Чтобы быстрее определять делится ли число сумма произведение на заданное число. а Найдите числа 365 Чтобы найти часть от числа надо число разделить на знаменатель и умножить на числитель получится 292; б Найдите число если его равны 146. Чтобы найти результат надо число разделить на числитель и умножить на знаменатель получится 219 2. а любое число не делящееся на 10; Что бы сумма делилась на число надо чтобы каждое слагаемое делилось на число: 140 делится на 10 значит x должен делиться на...
23732. Простые и составные числа 46.5 KB
  Образовательные: познакомить учащихся с понятием простого и составного числа повторить понятие делителя и классификации закрепить алгоритм решения задач на движение. 1 – Прежде всего вспомним какое число называется делителем числа а Делителем числа a называется число на которое а делится без остатка или: b делит а если существует такое число с что а = bс. – Запишите делители числа 30.
23733. Логическое кодирование 137.5 KB
  Основаны на разбиении исходной последовательности бит на порции, которые называют символами. Затем каждый исходный символ заменяется на новый, который имеет большее количество бит, чем исходный.
23734. Амплитудно-частотная характеристика, полоса пропускания, затухание и пропускная способность 176 KB
  Волоконно-оптический кабель также искажает передаваемый сигнал, что обусловлено различным временем распространения мод и наличием частотной зависимости показателя преломления материала оптического кабеля.
23735. Простые и составные числа 45 KB
  Формировать способность к рефлексивному анализу собственной деятельности: к фиксированию собственных затруднений по теме «Простые и составные числа», выявлению их причин и построению проекта выхода из затруднений...
23736. Алгоритмы разложения чисел на простые множители 40 KB
  Тренировать способность к практическому использованию алгоритма разложения чисел на простые множители; повторить и закрепить признаки делимости действия со смешанными числами решение задач на проценты составление геометрических фигур из частей.
23737. Разложение чисел на простые множители 44.5 KB
  Основная цель: – сформировать способность представления числа в виде произведения простых множителей; повторить и закрепить: понятие простого и составного числа признаки делимости. – Из получившегося ряда чисел назовите числа кратные 3. – Из получившегося ряда чисел назовите числа кратные 9. – Из получившегося ряда чисел назовите числа кратные 6.