4149

Розклад числа на прості множники

Практическая работа

Математика и математический анализ

Розклад числа на прості множники Означення. Розкладом натурального числа nна прості множники (факторизацією числа) називається представлення його у вигляді взаємно прості числа, ki...

Украинкский

2012-11-13

97.5 KB

4 чел.

Розклад числа на прості множники

Означення. Розкладом натурального числа n на прості множники (факторизацією числа) називається представлення його у вигляді n = , де pi – взаємно прості числа, ki ³ 1 .

Задача перевірки числа на простоту є простішою за задачу факторизації. Тому перед розкладанням числа на прості множники слід перевірити число на простоту.

Означення. Розбиттям числа називається задача представлення натурального числа n у вигляді n = a * b, де a, b – натуральні числа, більші за 1 (не обов’язково прості).

Метод Ферма

Нехай n – складене число, яке не є степенем простого числа. Метод Ферма намагається знати такі натуральні x та y, що n = x2y2. Після чого дільниками числа n будуть a = xy та b = x + y: n = a * b = (xy)(x + y).

Якщо припустити що n = a * b, то в якості x та y (таких що n = x2y2)  можна обрати

,

Приклад. Виберемо n = 143 = 11 * 13.

Тоді x = (13 + 11) / 2  = 12, y = (13 – 11) / 2 = 1.

Перевірка: x2y2 = 122 – 11 = 143 = n.

Теорема. Якщо n = x2y2, то  < x < (n + 1) / 2.

Доведення. З рівності n = x2y2 випливає, що n < x2, тобто  < x.

Оскільки a = n / b, то . Максимальне значення x досягається при мінімальному b, тобто при b = 1. Звідси x =  < .

Отже для пошуку представлення n = x2y2 слід перебрати всі можливі значення x із проміжку [,  (n + 1) / 2], перевіряючи при цьому чи є вираз x2 - n повним квадратом.

Приклад. Розкласти на множники n = 391 методом Ферма.  = 19.

202 – 391 = 9 = 32. Маємо рівність: 391 = 202 – 32.

Звідси 391 = (20 – 3)(20 + 3) = 17 * 23.

Алгоритм Полард - ро факторизації числа

У 1974 році Джон Полард запропонував алгоритм знаходження нетривіального дільника натурального числа n. Пр цьому алгоритм використовує лише операції додавання, множення та віднімання модулярної арифметики.

Ідея алгоритма Полард – ро полягає в ітеративному обчисленні деякої наперед заданої поліноміальної функції f з цілими коефіцієнтами. Побудуємо послідовність xi наступним чином: x0 оберемо довільним із Zn, а xi+1 = f(xi) mod n, i ³ 0. Оскільки xi можуть приймати лише скінченний набір значень (цілі числа від 0 до n), то існують такі цілі n1 та n2 (n1 < n2), що = . Враховуючи поліноміальність f, для кожного натурального k маємо: =, тобто починаючи з індекса i = n1 послідовність {xi mod n} буде періодичною.

Приклад. Нехай n = 21, x0 = 1, xi+1 =  + 3 mod 21.

Тоді послідовність xi має вигляд: 1, 4, 19, 7, 10, 19, 7, 10, ... .

Таким чином x3 = x6, період послідовності дорівнює 3.

Послідовність xi можна відобразити у вигляді кола з хвостом: коло відповідає періодичній частині, а хвіст – доперіодичній. Картинка нагадує грецьку літеру r, тому метод який застосовується в алгоритмі називається r – евристикою. Послідовність із попереднього прикладу можна зобразити так:

Ідея алгоритму полягає в обчисленні для кожного i > 0 значення d = НСД(x2ixi, n). Якщо на деякому кроці d > 1, то це і є нетривіальний дільник числа n.

Побудуємо послідовність елементів xi наступним чином:

x0 = 2, xi+1 = f(xi) = ( + 1) mod n, i > 0

Алгоритм

Вхід: натуральне число n, параметр t ³ 1.

Вихід: нетривіальний дільник d числа n.

1. a = 2, b = 2;

2. for i ¬ 1 to  t do

2.1. Обчислити a ¬ (a2 + 1) mod n; b ¬ (b2 + 1) mod n; b ¬ (b2 + 1) mod n;

2.2. Обчислити d ¬ НСД(a - b, n);

2.3. if 1 < d < n return (d);  // знайдено нетривіальний дільник

3. return (False);   // дільника не знайдено

Вважаємо, що функція f(x) = (x2 + 1) mod n генерує випадкові числа. Тоді для знаходження дільника числа n необхідно виконати не більш ніж O() операцій модулярного множення.

Якщо алгоритм Поларда – ро не знаходить дільника за t ітерацій, то замість функції f(x) = (x2 + 1) mod n можна використовувати f(x) = (x2 + c) mod n, для деякого цілого c, c ¹ 0, -2.

Приклад. Нехай n = 19939.

Послідовність xi: 2, 5, 26, 677, 19672, 11473, 12391, 6582, 15217, 5483, 15217, 5483, 15217, ... .

a

b

d

2

2

1

5

26

1

26

19672

1

677

12391

1

19672

15217

1

11473

15217

1

12391

15217

157

Знайдено розклад 19939 = 157 * 127.

Нехай n = 143. Послідовність xi: 2, 5, 26, 105, 15, ... .

a

b

d

2

2

1

5

26

НСД(21, 143) = 1

26

15

НСД(11, 143) = 11


Знайдено розклад 143 = 11 * 13.

Ймовірносний квадратичний алгоритм факторизації числа

Твердження. Нехай x та y – цілі числа, x2 º y2 (mod n) та x ¹ ±y (mod n). Тоді x2y2 ділиться на n, при чому жоден із виразів x + y та xy не ділиться на n. Число d = НСД(x2y2, n) є нетривіальним дільником n.

Теорема. Якщо n – непарне складене число, яке не є степенем простого числа, то завжди існують такі x та y, що x2 º y2 (mod n), при чому x ¹ ± y (mod n).

Доведення. Нехай n = n1 * n2 – добуток взаємно простих чисел. Оберемо таке y, що НСД(y, n) = 1. Далі розв’яжемо систему рівнянь:

Розв’язком системи будуть такі x та y за модулем n = НСК(n1, n2), що x2 º y2 (mod n). Якщо при цьому припустити, що x º y (mod n), то з другого рівняння системи маємо: y º y (mod n2), або 2 * y = 0 (mod n2). Оскільки було обрано НСД(y, n2) = 1, то з останньої рівності випливає що n2 ділиться на 2, тобто є парним. Це суперечить умові теореми про непарність n.

Приклад. Виберемо n1 = 11,  n2 = 13 – взаємно прості числа. Тоді n = 11 * 13 = 143. Покладемо y = 5,  НСД(5, 143) = 1. Складемо систему порівнянь:

 або  

Розв’язком системи буде x º 60 (mod 143).

Має місце рівність 602 º 52 (mod 143) , при чому 60 ¹ ±5 (mod 143).

Тоді дільником числа n буде d = НСД(60 – 5, 143) = 11.

Формально ймовірносний квадратичний алгоритм факторизації будується на наступній ідеї:

Нехай F = {p0, p1, p2, …, pt} – множникова основа, pi – різні прості числа, при чому дозволяється обрати p0 = -1. Побудуємо множину порівнянь

 º zi ,

таку що значення zi є повіністю факторизованими у множині F :

,

та добуток деякої підмножини значень zi є повним квадратом:

z =  = y2, y Î Z, fi Î {0, 1}

Якщо множина порівнянь із вказаними властивостями побудована, то поклавши x =  і перевіривши виконання нерівності x ¹ ± y (mod n), отри маємо x2 º y2 (mod n). Число d = НСД(x2y2, n) є нетривіальним дільником n.

Приклад. Знайти дільник числа n = 143.

Обираємо випадково число x Î [2, 142], обчислюємо x2 (mod 143) та розкладаємо результат на множники:

1. z1 = 192 (mod 143) = 75 = 3 * 52.

2. z2 = 772 (mod 143) = 66 = 2 * 3 * 11.

3. z3 = 292 (mod 143) = 126 = 2 * 32 * 7.

4. z4 = 542 (mod 143) = 56 = 23 * 7.

Можна помітити, що добуток z3 та z4 є повним квадратом:

z = z3 * z4 = 24 * 32 * 72 = (22 * 3 * 7)2 = 842

Маємо рівність:

z3 * z4 = 292 * 542 º 842 (mod 143)

або враховуючи що 29 * 54 (mod 143) º 136, маємо:

1362 = 842 (mod 143), при чому 136 ¹ ±84 (mod 143)

Дільником числа n = 143 буде d = НСД(136 – 84, 143) = НСД(52, 143) = 13.

Квадратичний алгоритм факторизації

Серед усіх існуючих алгоритмів факторизації найшвидшим є квадратичний. Він ефективно застосовується для чисел, кількість цифр яких менша за 100 та які не мають малих простих дільників. Еврістичний аналіз, проведений Померансом [1] у 1981 році показав, що число N може бути розкладено на множники за час .

Нехай n – число, яке факторизується, m = . Розглянемо многочлен

q(x) = (x + m)2 - n

Квадратичний алгоритм обирає ai = x + m (x = 0, ±1, ±2, …), обчислює значення bi = (x + m)2n та перевіряє, чи факторизується bi у множниковій основі F = {p0, p1, p2, …, pt}.

Помітимо, що   = (x + m)2n º (x + m)2 (mod n) º bi (mod n).

Алгоритм

Вхід: натуральне число n, яке не є степенм простого числа.

Вихід: нетривіальний дільник d числа n.

1. Обрати множникову основу F = {p0, p1, p2, …, pt}, де  p0 = -1, pii - те просте число p, для якого n є квадратичним лишком за модулем p.

2. Обчислити m = [].

3. Знаходження t + 1 пари (ai, bi).

   Значення x перебираються у послідовності 0, ±1, ±2, … .

   Покласти i ¬ 1. Поки i £ t + 1 робити:

3.1. Обчислити b = q(x) =  (x + m)2n та перевірити, чи розкладається b у множниковій основі F. Якщо ні, обрати наступне x та повторити цей крок.

3.2. Нехай b = . Покласти ai = x + m, bi = b, vi = (vi1, vi2, …, vit), де vij = eij mod 2, 1 £ j £ t.

3.3. i ¬ i + 1.

4. Знайти підмножину T Í {1, 2, …, t + 1} таку що  = 0.

5. Обчислити x =  mod n.

6. Для кожного j, 1 £ j £ t, обчислити lj = () / 2.

7. Обчислити y =  mod n.

8. Якщо x º ±y (mod n), знайти іншу підмножину T Í {1, 2, …, t + 1} таку що  = 0 та перейти до кроку 5.

9. Обчислити дільник d = НСД(xy, n).

Приклад. Розкласти на множники n = 24961.

1. Побудуємо множникову основу: F = {-1, 2, 3, 5, 13, 23}

2. m = [] = 157.

3. Побудуємо наступну таблицю:

i

x

q(x)

факторизація q(x)

ai

vi

1

0

-312

-23 * 3 * 13

157

(1, 1, 1, 0, 1, 0)

2

1

3

3

158

(0, 0, 1, 0, 0, 0)

3

-1

-625

-54

156

(1, 0, 0, 0, 0, 0)

4

2

320

26 * 5

159

(0, 0, 0, 1, 0, 0)

5

-2

-936

-23 * 32 * 13

155

(1, 1, 0, 0, 1, 0)

6

4

960

26 * 3 * 5

161

(0, 0, 1 ,1, 0, 0)

7

-6

-2160

-24 * 33 * 5

151

(1, 0, 1, 1, 0, 0)

4. Виберемо T = {1, 2, 5}, оскільки v1 + v2 + v5 = 0.

5. Обчислимо x = (a1a2a5) (mod n) = 936 = 26 * 34 * 132.

6. l1 = 1, l2 = 3, l3 = 2, l4 = 0, l5 = 1, l6 = 0.

7. y = -23 * 32 * 13 (mod n) = 24025.

8. Оскільки 936 º –24025 (mod n), необхідно шукати іншу множину T.

9. Виберемо T = {3, 6, 7}, оскільки v3 + v6 + v7 = 0.

10. Обчислимо x = (a3a6a7) mod n = 23405 = 210 * 34 * 56.

11. l1 = 1, l2 = 5, l3 = 2, l4 = 3, l5 = 0, l6 = 0.

12. y = -25 * 32 * 53 (mod n) = 13922.

13. 23405 ¹ ±13922 (mod n).

d = НСД(xy, n) = НСД(9483, 24961) = 109 – дільник.

Відповідь: 109 – дільник 24961.

Література

1. Pomerance C. Analysis and comparison of some integer factorization algorithms. In Computational Methods in Number Theory, vol.154, H.Lenstra and R.Tijdeman, Eds. Amsterdam Mathematics Center 1982, pp. 89 – 139.


7

0

19

4

1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84386. Невмирущий Кобзар. Тарас Григорович Шевченко – великий народний поет і художник 62 KB
  Ознайомити учнів із творчістю Т. Г. Шевченка, викликати бажання розповідати, слухати вірші, вчити, сприймати зміст поезії на слух та знаходити її відображення в малюнках; розвивати зв’язне мовлення, пам’ять, увагу, вміння виразно читати вірші, збагачувати словниковий запас.
84387. Theatre of the 20th century and beyond 22.06 KB
  The achievements of realism at the end of the 19th century continued to resonate through the turn of the 21st century, but the most influential innovations in early 20th-century theatre came from a vigorous reaction against realism.
84388. Post-modern literature 13.7 KB
  The term Postmodern literature is used to describe certain tendencies in post-World War II literature. It is both a continuation of the experimentation championed by writers of the modernist period (relying heavily, for example, on fragmentation, paradox, questionable narrators, etc.)...
84389. XX Century Literature 22.69 KB
  The lecture introduces the student to British modernism, beginning in the late nineteenth century, and ending with the third decade of the twentieth. We do this by reading fiction, poetry, and some manifestos. Second, we will focus on embodiment: how are body, self, and psyche distinguished for these authors?
84390. 1901-1939 Modernism 17.25 KB
  The movement known as English literary modernism grew out of a general sense of disillusionment with Victorian era attitudes of certainty, conservatism, and objective truth. The movement was greatly influenced by the ideas of Romanticism...
84391. 1940 to the 21st Century 14.67 KB
  Among British writers in the 1940s and 1950s were novelist Graham Greene whose works span the 1930s to the 1980s and poet Dylan Thomas, while Evelyn Waugh, W.H. Auden and T. S. Eliot continued publishing significant work.
84392. Samarkand, near to ruins of ancient capital of Sogdiana (modern Afrasiab) 30.18 KB
  Having united and subordinated the lands between Amu Darya and Syr-Darya, and also Fergana and Shash viloyat, Amir Temur began aggressive campaigns. For 35 years had lasted board of A.Temur (1370 - 1405) in Central Asia.
84393. Samarkand. Нistorical context 29.55 KB
  As Movarounnahr becomes the center of trade, economy and culture of Near and Middle East. Such ancient cities as Samarkand, Kesh, Bukhara, Termez, Tashkent, Merv, etc., which were destroyed by hordes of Chingizhan began to equip with modern conveniences.
84394. Zahiriddin Muhammad Bobur (1483-1530) 282.75 KB
  In 1494 when Bobur was only 12 years old, he became a ruler. In 1503–1504 he conquered Afghanistan. During 1519 – 1525s he tried to conquer India five times. He became the founder of Bobur’s Empire which lasted more than three centuries (1526-1858).