41609

Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Требуется написать программу реализующая 2 метода решение системы линейных уравнений: 1методом простых итераций; 2методом Чебышева. Теория: 1Метод простых итераций Требуется решить систему уравнений 1 где симметрическая положительно определенная матрица. Метод простых итераций имеет вид...

Русский

2013-10-24

45.92 KB

31 чел.

Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Уфимский государственный авиационный технический университет

Лабораторная работа№1

по дисциплине «Численные методы»

На тему: «Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева»

Выполнил:

Студент группы ПМ-335

Ямилев И.М.

Проверил:

Голичев И.И.

Уфа

2012

Отчёт по лабораторной работе № 1.

 

Задача:

1. Требуется решить систему уравнений .                                                        

где a=3, b=4.

2. Требуется написать программу реализующая 2 метода решение системы линейных уравнений:

1)методом простых итераций;

2)методом Чебышева.

3. Итерации продолжаются до тех пор, пока 3 последние итерации не будут совпадать с точностью до 6 знаков после запятой.

Теория:

1)Метод простых итераций

Требуется решить систему уравнений

                                                   ,                                                        (1)

где – симметрическая, положительно определенная матрица. Метод простых итераций имеет вид

                                              ,                                                (2)

где где – соответственно минимальное и максимальное собственные числа матрицы или их оценки снизу и сверху. Можно положить

,

.

Из (2)  следует,  что

                                          (3)

Полагаем начальное приближение

2)Метод Чебышева

Пусть   – симметрическая, положительно определенная матрица. В явном методе Чебышева вместо итерационного процесса (2) используется следующий

                                                ,                                               (4)

                                                                     

где – минимальное и максимальное собственные числа матрицы.

, ,  

Метод Чебышева отличается от предыдущего метода тем, что число итерации задается в начале итерационного процесса. Особенностью метода Чебышева является то, что именно последняя n-я итерация считается верной. После выполнения всех итераций число n увеличивается,  процедура повторяется.

Вычисления останавливаем, когда абсолютное значение между двумя последовательными повторениями становится не более чем

Результаты:

1.Для метода простых итерации.

Для указанной точности, итерации остановились при n=13.

1) при n=11

2) при n=12

3) при n=13

2.Для метода Чебышева

Для указанной точности число необходимых итераций n=4.

1) при заданном общем числе итераций n=3 получили результат:                   

 

2) при заданном общем числе итераций n=4

                 

Вывод:

  1.  Для метода простых итераций получен результат:

.

2)      Для метода Чебышева получен результат:

Таким образом, метод Чебышева дает более точное приближение при меньшем числе итераций, однако число итераций должно быть известно заранее.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

71905. Зарубежный опыт государственного регулирования инновационной деятельности 16.75 KB
  Можно выделить 3 главные модели научно-технического развития: Страны ориентированные на лидерство в науке на реализацию крупномасштабных целевых проектов охватывающие все стадии производственного цикла.
71908. Защита еловека от биологического действия электромагнитного и ионизирующего излучений 180.25 KB
  Главной целью радиационной безопасности является охрана здоровья населения включая персонал от вредного воздействия ионизирующего излучения путем соблюдения основных принципов и норм радиационной безопасности без необоснованных ограничений полезной деятельности...
71909. Основные направления и инструменты регулирования конкуренции государством 177 KB
  Современная рыночная экономика представляет собой сложнейшую структуру, состоящую из огромного количества разнообразных производственных, коммерческих, финансовых и информационных подструктур, взаимодействующих на фоне разветвленной системы правовых норм бизнеса, и объединяемых единым понятием - рынок.
71910. Последствия употребления генетически модифицированных продуктов для здоровья человека 42.76 KB
  Число жителей Земли за последнее столетие увеличилось с 1.5 до 5.5 млрд. человек, а к 2020 году предполагается вырост до 8 млрд., таким образом возникает огромная проблема, стоящая перед человечеством. Эта проблема заключается в огромном увеличение производства продуктов питания...
71911. Измерение времени 42.45 KB
  Историки отсчитывают время столетиями геологи миллионами лет. Уже пещерный человек знал что от восхода до захода Солнца либо между двумя моментами стояния Солнца в зените проходит примерно одинаковое время и называли его сутками.