41609

Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Требуется написать программу реализующая 2 метода решение системы линейных уравнений: 1методом простых итераций; 2методом Чебышева. Теория: 1Метод простых итераций Требуется решить систему уравнений 1 где – симметрическая положительно определенная матрица. Метод простых итераций имеет вид...

Русский

2013-10-24

45.92 KB

30 чел.

Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Уфимский государственный авиационный технический университет

Лабораторная работа№1

по дисциплине «Численные методы»

На тему: «Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева»

Выполнил:

Студент группы ПМ-335

Ямилев И.М.

Проверил:

Голичев И.И.

Уфа

2012

Отчёт по лабораторной работе № 1.

 

Задача:

1. Требуется решить систему уравнений .                                                        

где a=3, b=4.

2. Требуется написать программу реализующая 2 метода решение системы линейных уравнений:

1)методом простых итераций;

2)методом Чебышева.

3. Итерации продолжаются до тех пор, пока 3 последние итерации не будут совпадать с точностью до 6 знаков после запятой.

Теория:

1)Метод простых итераций

Требуется решить систему уравнений

                                                   ,                                                        (1)

где – симметрическая, положительно определенная матрица. Метод простых итераций имеет вид

                                              ,                                                (2)

где где – соответственно минимальное и максимальное собственные числа матрицы или их оценки снизу и сверху. Можно положить

,

.

Из (2)  следует,  что

                                          (3)

Полагаем начальное приближение

2)Метод Чебышева

Пусть   – симметрическая, положительно определенная матрица. В явном методе Чебышева вместо итерационного процесса (2) используется следующий

                                                ,                                               (4)

                                                                     

где – минимальное и максимальное собственные числа матрицы.

, ,  

Метод Чебышева отличается от предыдущего метода тем, что число итерации задается в начале итерационного процесса. Особенностью метода Чебышева является то, что именно последняя n-я итерация считается верной. После выполнения всех итераций число n увеличивается,  процедура повторяется.

Вычисления останавливаем, когда абсолютное значение между двумя последовательными повторениями становится не более чем

Результаты:

1.Для метода простых итерации.

Для указанной точности, итерации остановились при n=13.

1) при n=11

2) при n=12

3) при n=13

2.Для метода Чебышева

Для указанной точности число необходимых итераций n=4.

1) при заданном общем числе итераций n=3 получили результат:                   

 

2) при заданном общем числе итераций n=4

                 

Вывод:

  1.  Для метода простых итераций получен результат:

.

2)      Для метода Чебышева получен результат:

Таким образом, метод Чебышева дает более точное приближение при меньшем числе итераций, однако число итераций должно быть известно заранее.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

8003. Нестандартні уроки 14.38 KB
  Нестандартні уроки На небезпечну тенденцію зниження інтересу учнів до занять, яка появилась у нашій школі ще в середині 70-х років, масова практика відреагувала нестандартними уроками, головною метою яких є пробудження й утримання інтересу школярів...
8004. Урок - основна форма організації навчання 21.6 KB
  Урок - основна форма організації навчання У сучасній школі класно-урочна форма є головною (основною), її ключовим компонентом є урок. Урок - це відрізок навчального процесу, який є викінченим у смисловому, часовому й організаційному відношенні. Не...
8005. Типи і структура уроків 24.1 KB
  Урок є складним відрізком навчального процесу. Як усі складні обєкти, уроки можуть бути поділені на типи за різними ознаками. За якими ж ознаками групуються уроки? Проблема ця дуже складна і не вирішена остаточно ні у світовій, ні у вітчизняній дидактиці Кількість класифікацій сьогодні вираховується десятками...
8006. Диагностика обучения 32 KB
  Диагностика обучения Диагностика - выявление всех обстоятельств, условий протекания учебного процесса. Целью является своевременно выявить, оценить и проанализировать не только ход учебного процесса, но и его результат. Диагностика включает в с...
8007. Дидактические принципы обучения 57.5 KB
  Дидактические принципы обучения Дидактические принципы - содержание, организационные формы и методы процесса обучения. Дидактические правила - конкретные указания учителю, как нужно поступить в типичной педагогической ситуации. Принципы...
8008. Процесс обучения 27 KB
  Процесс обучения Учебный процесс - двусторонний управляемый процесс совместной деятельности учителя и учащихся, направленный на интеллектуальное развитие, формирование знаний и способов деятельности и развитие их способностей и наклонностей. Со...
8009. Основні принципи реформування змісту сучасної шкільної освіти 18.43 KB
  Основні принципи реформування змісту сучасної шкільної освіти Зміст шкільної освіти не може бути вузьким через те, що особистість, засвоюючи його, готується до збереження і розвитку культури. Тому зміст освіти повинен мати джерела наука, виробничі ...
8010. Зміст освіти в національній школі 22.64 KB
  Зміст освіти в національній школі. Наукові основи визначення змісту освіти та шляхи його вдосконалення відповідно до Законів України Про освіту, Про загальну середню освіту У Законах України Про освіту, Про загальну середню освіту, у Національ...
8011. Характеристика навчальних планів, програм і підручників національної школи 21.08 KB
  Характеристика навчальних планів, програм і підручників національної школи Основним джерелом змісту освіти на державному рівні є такі документи: навчальний план школи, освітні стандарти, предметні програми, підручники. Шкільні навчальні плани. У шкі...