41609

Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Требуется написать программу реализующая 2 метода решение системы линейных уравнений: 1методом простых итераций; 2методом Чебышева. Теория: 1Метод простых итераций Требуется решить систему уравнений 1 где симметрическая положительно определенная матрица. Метод простых итераций имеет вид...

Русский

2013-10-24

45.92 KB

31 чел.

Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Уфимский государственный авиационный технический университет

Лабораторная работа№1

по дисциплине «Численные методы»

На тему: «Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева»

Выполнил:

Студент группы ПМ-335

Ямилев И.М.

Проверил:

Голичев И.И.

Уфа

2012

Отчёт по лабораторной работе № 1.

 

Задача:

1. Требуется решить систему уравнений .                                                        

где a=3, b=4.

2. Требуется написать программу реализующая 2 метода решение системы линейных уравнений:

1)методом простых итераций;

2)методом Чебышева.

3. Итерации продолжаются до тех пор, пока 3 последние итерации не будут совпадать с точностью до 6 знаков после запятой.

Теория:

1)Метод простых итераций

Требуется решить систему уравнений

                                                   ,                                                        (1)

где – симметрическая, положительно определенная матрица. Метод простых итераций имеет вид

                                              ,                                                (2)

где где – соответственно минимальное и максимальное собственные числа матрицы или их оценки снизу и сверху. Можно положить

,

.

Из (2)  следует,  что

                                          (3)

Полагаем начальное приближение

2)Метод Чебышева

Пусть   – симметрическая, положительно определенная матрица. В явном методе Чебышева вместо итерационного процесса (2) используется следующий

                                                ,                                               (4)

                                                                     

где – минимальное и максимальное собственные числа матрицы.

, ,  

Метод Чебышева отличается от предыдущего метода тем, что число итерации задается в начале итерационного процесса. Особенностью метода Чебышева является то, что именно последняя n-я итерация считается верной. После выполнения всех итераций число n увеличивается,  процедура повторяется.

Вычисления останавливаем, когда абсолютное значение между двумя последовательными повторениями становится не более чем

Результаты:

1.Для метода простых итерации.

Для указанной точности, итерации остановились при n=13.

1) при n=11

2) при n=12

3) при n=13

2.Для метода Чебышева

Для указанной точности число необходимых итераций n=4.

1) при заданном общем числе итераций n=3 получили результат:                   

 

2) при заданном общем числе итераций n=4

                 

Вывод:

  1.  Для метода простых итераций получен результат:

.

2)      Для метода Чебышева получен результат:

Таким образом, метод Чебышева дает более точное приближение при меньшем числе итераций, однако число итераций должно быть известно заранее.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34147. Цель государственного регулирования предпринимательской деятельности 17.14 KB
  Целью государственного регулирования предпринимательской деятельности является создание определенных условий обеспечивающих нормальное функционирование экономики в целом и стабильное участие предпринимателей страны в международном разделении труда и получение от этого оптимальных выгод. Поэтому цели и задачи государственного регулирования подвержены изменениям между тем как механизм регулирования достаточно хорошо отработан хотя и имеет особенности в каждой отдельно взятой стране. В обобщенном виде в задачи государственного регулирования...
34148. Рынок 16.16 KB
  Это самое простое но одновременно и самое поверхностное понятие рынка. В настоящее время существует множество определений рынка. Есть и определение рынка как действительного пространства на котором взаимодействуют предложение и спрос на те или иные блага товары и услуги и существуют способы их взаимодействия. Для нормального функционирования рынка необходимы следующие основные условия: 1 свобода предпринимательской деятельности; 2 конкуренция совершенная и несовершенная; 3 наличие различных форм собственности; 4 свободное...
34149. Деньги 29.36 KB
  Сущность денег раскрывается в их функциях. Ученыеэкономисты считают что можно выделить пять функций денег Современные экономисты считают что деньги выполняют три функции деньги как мера стоимости деньги как средство обращения и деньги как средство накопления. движение денег в наличной и безналичной формах закрепленная национальным законодательством; включает следующие элементы денежную единицу масштаб цен виды денег в стране и порядок их эмиссии порядок обращения денег и платежей а также государственный аппарат осуществляющий...
34150. Закон стоимости 14.56 KB
  Закон стоимости вынуждает товаропроизводителей следить за тем чтобы индивидуальные затраты труда на производство товаров не превышали общественно необходимые. Закону стоимости свойственны следующие черты: в основе стоимости лежит общественно необходимый труд; величина стоимости товара прямо пропорциональна количеству воплощенного в нем общественно необходимого труда и обратно пропорциональна его производительной силе; обмен товаров совершается в соответствии с количеством воплощенного в них общественно необходимого труда; с возникновением...
34151. Понятие «рынок» и «рыночная экономика» 14.23 KB
  Рынок возникает и развивается вместе с разделением труда в обществе задолго до формирования рыночной экономики. В современной экономической литературе понятия рынок и рыночная экономика употребляются в одном и том же значении: для характеристики рыночной экономики одновременно понимаемой и как рынок. Рынок это одна из важнейших категорий товарного хозяйства выражающая его наиболее существенные связи и отношения связанные с обменом.
34152. Спрос 17.46 KB
  Объем спроса это количество товара которое покупатели желают приобрести за некоторый период например день или год. Объем спроса зависит от цены данного товара цены других товаров товаровзаменителей доходов покупателей и их вкусов. Графическое выражение между ценой товара и величиной спроса предъявляемого покупателями на этот товар называется кривой спроса. Кривая спроса обычно является убывающей.
34153. Объем предложения товара 16.06 KB
  Объем предложения товара это количество товара которое продавцы желают продать за некоторый период например день или год. Объем предложения зависит от цены товаров от цены используемых в производстве ресурсов имеющихся в распоряжении товаропроизводителей и других факторов. Важно отличать объем предложения от объема производства: не все что создано производителем предлагается к продаже и не все что продается обязательно покупается. Объем предложения определяется только поведением продавцов тогда как объем продаж определяется и...
34154. Равновесная цена 14.49 KB
  Взаимодействие предложения и спроса приведет к установлению рыночной цены или равновесной цены. Равновесная цена это цена при которой объем спроса равен объему предложения и этот объем является соответственно равновесным. Возможны четыре варианта взаимодействия спроса и предложения: 1 возрастание спроса на товар кривая его двигается вправо; 2 уменьшение спроса на товар кривая его двигается влево; 3 возрастание предложения на товар кривая его двигается вправо; 4 уменьшение предложения на товар кривая его двигается влево.
34155. Главный фактор потребности выбора 16.57 KB
  Потребляя те или иные блага люди тем самым как бы оценивают их полезность для себя. Главный фактор потребности выбора полезность того или иного товара это категория применяемая для характеристики результатов эффективности экономических решений или деятельности. В более ограниченном смысле полезность определяется как субъективная польза извлекаемая индивидом из потребления товара или услуги. Полезность означает способность экономического блага товара услуги удовлетворять определенные потребности людей.