41613

Приближенное вычисление интеграла методом Симпсона и методом Гаусса

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Требуется вычислить интеграл: Требуется использовать: метод Симпсона метод Гаусса Теория: 1 Метод Симпсона Для приближённого вычисления интеграла чаще всего подынтегральную функцию заменяют близкой ей вспомогательной функцией интеграла от которой вычисляется аналитически. В частности если при вычислении подынтегральную функцию заменить интерполяционным многочленом второй степени построенным по значениям функции в трёх...

Русский

2013-10-24

92.3 KB

89 чел.

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

Уфимский государственный авиационный технический университет

Лабораторная работа №2

по дисциплине «Численные методы»

На тему: «Приближенное вычисление интеграла методом Симпсона и методом Гаусса»

Выполнил:

студент группы ПМ-335

Ямилев И.М.

Проверил:

Голичев И.И.

Уфа

2012

Отчёт по лабораторной работе № 2.

 

Задача:

1.Требуется вычислить интеграл:                                                         

Требуется использовать:

  1.  метод Симпсона
  2.  метод Гаусса

Теория:

1) Метод Симпсона

Для приближённого вычисления интеграла чаще всего подынтегральную функцию заменяют «близкой» ей вспомогательной функцией, интеграла от которой вычисляется аналитически. За приближённое значение интеграла принимают интеграл от вспомогательной функции. В частности, если при вычислении   подынтегральную функцию заменить интерполяционным многочленом второй степени, построенным по значениям функции в трёх точках , то получится так называемая простая квадратурная формула Симпсона

,

где – остаточный член. Если   непрерывна на , то

, .

С увеличением длины промежутка интегрирования точность простой формулы Симпсона в общем случае быстро падает.

Для повышения точности интегрирования применяют составную формулу Симпсона. Чтобы получить составную формулу Симпсона, разобьем отрезок на чётное число отрезков длины . Пусть , , . Применим простую формулу Симпсона к каждому из отрезков длины . После суммирования интегралов по всем отрезкам получаем составную формулу Симпсона

.

Алгебраический порядок точности формулы Симпсона равен трём. Это означает, что она точна для многочленов до третьей степени включительно. Оценка погрешности формулы Симпсона по остаточному  члену часто оказывается малоэффективной из-за трудностей оценки четвёртой производной  подынтегральной функции.

На практике применяют  правило Рунге. Для этого выбирают число кратное 2 и вычисляют приближённое значение интеграла по формуле Симпсона с шагом   (обозначим это приближённое значение ). Затем вычисляют приближённое значение интеграла по формуле Симпсона с шагом (обозначим его ).

За приближённое значение интеграла , вычисленное по формуле Симпсона с поправкой по Рунге, принимают

.

Погрешность этого результата приближённо оценивают величиной .

2) Метод Гаусса

Гауссом были построены квадратурные формулы наивысшего алгебраического порядка точности. В квадратурной формуле Гаусса

узлы и коэффициенты подобраны так, чтобы формула была точна для всех многочленов степени . Можно показать, что если – число узлов квадратурной формулы, то её алгебраический порядок точности не может быть выше . Для приближённого вычисления интеграла по конечному отрезку выполняем замену переменной ; тогда квадратурная формула Гаусса принимает вид

,

где ; – узлы квадратурной формулы Гаусса; – гауссовы коэффициенты; .

Можно показать, что узлы квадратурных формул Гаусса являются корнями многочленов Лежандра степени . Например, при для узлов получаем . При этом .  Таким образом, квадратурная формула Гаусса

имеет такой же алгебраический порядок точности, что и формула Симпсона, но требует вычисления подынтегральной функции только в двух точках.

Если подынтегральная функция достаточно гладкая, то квадратурная формула Гаусса обеспечивает очень высокую точность при небольшом числе узлов, так как для погрешности формула Гаусса с узлами справедлива оценка

.

Концы отрезка интегрирования никогда не входят в число узлов формул Гаусса. Поэтому формулы Гаусса удобны для вычисления несобственных интегралов от неограниченных функций, если особые точки подынтегральной функции лежат на концах отрезка интегрирования. Так, формулы Гаусса позволяют вычислить интеграл , в то время как формула Симпсона здесь неприменима. Блок-схема вычисления интеграла по формуле Гаусса с восемью узлами: , ; ,;; ; , .

Результаты:

1) Для метода Симпсона получены результаты для чисел разбиений:

Число разбиений

Значение интеграла

Погрешность

1

100

-0.520721

0,000181323

2

200

-0.521986

9,03818е-005

3

400

-0.522617

4.51212е-005

4

800

-0.522933

2.25432е-005

5

1600

-0.52309

1.12673е-005

6

3200

-0.523164

5.63255е-006

7

6400

-0.523209

2.816е-006

2) Вычисление по квадратурной формуле Гаусса дало значение интеграла:

-0.523248
Вывод:

Из полученных результатов видно, что значения метод Гаусса является более точным и требует меньших вычислительных затрат по сравнению с методом Симпсона, однако требует заранее вычисленных Гауссовых коэффициентов для заданного числа узлов.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

17625. Многофакторная регрессия: основные понятия 180 KB
  Тема: Многофакторная регрессия: основные понятия План: Что такое множественная регрессия Как будут выглядеть результаты множественной регрессии. Как выглядит компьютерная распечатка результатов множественной регрессии. Окружающий нас мир мн...
17626. Интерпретация результатов многофакторного моделирования 156 KB
  Тема: Интерпретация результатов многофакторного моделирования Пример. Реклама в журналах. Название журнала Y тариф одна страница цветной рекламы дол. X1 планируемая аудитория тыс. че...
17627. Статистические выводы по многофакторной модели 247 KB
  Тема: Статистические выводы по многофакторной модели Насколько хороши наши прогнозы Этот раздел следует рассматривать в основном как обзор поскольку стандартное отклонение оценки Se и коэффициент детерминации R2 имеют для множественной регрессии вообще гово
17628. Сложности и проблемы, связанные с множественной регрессией 62 KB
  Тема: Сложности и проблемы связанные с множественной регрессией К сожалению на практике множественная регрессия не всегда позволяет получить результаты о которых пишут в учебниках. В этой лекции приведен перечень потенциальных проблем и некоторые соображения п
17629. Составление отчетов: представление результатов множественной регрессии 87.5 KB
  Тема: Составление отчетов: представление результатов множественной регрессии Умение грамотно изложить представить результаты проделанной работы важная составляющая профессиональной деятельности в большинстве областей. Менеджер использует соответствующие к
17630. Фундаментальні поняття контроллінга 109.5 KB
  Тема 1. Фундаментальні поняття контроллінга 1. Сутність принципи і сфера застосування контроллінга 2. Мета предмет методи і об’єкти контроллінга 3. Функції та завдання контроллінга 1. Сутність принципи і сфера застосування контроллінга Під контроллінгом ...
17631. Організаційна структура та функції управління 140 KB
  Тема 2. Організаційна структура та функції управління 1. Вибір організаційної структури управління 2. Функції управління 3. Роль контроллінга в процесі управління Вибір організаційної структури управління Сучасна теорія та практика менеджменту вва...
17632. Організаційні аспекти створення служби контроллінга 117.5 KB
  Тема 3. Організаційні аспекти створення служби контроллінга 1. Принципи створення служби контроллінга 2. Структура і персонал служби контроллінга 3. Функції та завдання служби контроллінга 4. Информационные потоки на предприятии в системе контроллинга 5.Возможн
17633. АВС – аналіз та XYZ – аналіз 244.5 KB
  Тема 5. АВС – аналіз та XYZ – аналіз Поняття АВС – аналізу та XYZ – аналізу. Проведення ABCаналізу Визначення А В Ззадач XYZаналіз структури споживання XYZаналіз по точності прогнозу 1.1. Что мы понимаем под АВСанализом ABCанализ является важным и