41613

Приближенное вычисление интеграла методом Симпсона и методом Гаусса

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Требуется вычислить интеграл: Требуется использовать: метод Симпсона метод Гаусса Теория: 1 Метод Симпсона Для приближённого вычисления интеграла чаще всего подынтегральную функцию заменяют близкой ей вспомогательной функцией интеграла от которой вычисляется аналитически. В частности если при вычислении подынтегральную функцию заменить интерполяционным многочленом второй степени построенным по значениям функции в трёх...

Русский

2013-10-24

92.3 KB

92 чел.

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

Уфимский государственный авиационный технический университет

Лабораторная работа №2

по дисциплине «Численные методы»

На тему: «Приближенное вычисление интеграла методом Симпсона и методом Гаусса»

Выполнил:

студент группы ПМ-335

Ямилев И.М.

Проверил:

Голичев И.И.

Уфа

2012

Отчёт по лабораторной работе № 2.

 

Задача:

1.Требуется вычислить интеграл:                                                         

Требуется использовать:

  1.  метод Симпсона
  2.  метод Гаусса

Теория:

1) Метод Симпсона

Для приближённого вычисления интеграла чаще всего подынтегральную функцию заменяют «близкой» ей вспомогательной функцией, интеграла от которой вычисляется аналитически. За приближённое значение интеграла принимают интеграл от вспомогательной функции. В частности, если при вычислении   подынтегральную функцию заменить интерполяционным многочленом второй степени, построенным по значениям функции в трёх точках , то получится так называемая простая квадратурная формула Симпсона

,

где – остаточный член. Если   непрерывна на , то

, .

С увеличением длины промежутка интегрирования точность простой формулы Симпсона в общем случае быстро падает.

Для повышения точности интегрирования применяют составную формулу Симпсона. Чтобы получить составную формулу Симпсона, разобьем отрезок на чётное число отрезков длины . Пусть , , . Применим простую формулу Симпсона к каждому из отрезков длины . После суммирования интегралов по всем отрезкам получаем составную формулу Симпсона

.

Алгебраический порядок точности формулы Симпсона равен трём. Это означает, что она точна для многочленов до третьей степени включительно. Оценка погрешности формулы Симпсона по остаточному  члену часто оказывается малоэффективной из-за трудностей оценки четвёртой производной  подынтегральной функции.

На практике применяют  правило Рунге. Для этого выбирают число кратное 2 и вычисляют приближённое значение интеграла по формуле Симпсона с шагом   (обозначим это приближённое значение ). Затем вычисляют приближённое значение интеграла по формуле Симпсона с шагом (обозначим его ).

За приближённое значение интеграла , вычисленное по формуле Симпсона с поправкой по Рунге, принимают

.

Погрешность этого результата приближённо оценивают величиной .

2) Метод Гаусса

Гауссом были построены квадратурные формулы наивысшего алгебраического порядка точности. В квадратурной формуле Гаусса

узлы и коэффициенты подобраны так, чтобы формула была точна для всех многочленов степени . Можно показать, что если – число узлов квадратурной формулы, то её алгебраический порядок точности не может быть выше . Для приближённого вычисления интеграла по конечному отрезку выполняем замену переменной ; тогда квадратурная формула Гаусса принимает вид

,

где ; – узлы квадратурной формулы Гаусса; – гауссовы коэффициенты; .

Можно показать, что узлы квадратурных формул Гаусса являются корнями многочленов Лежандра степени . Например, при для узлов получаем . При этом .  Таким образом, квадратурная формула Гаусса

имеет такой же алгебраический порядок точности, что и формула Симпсона, но требует вычисления подынтегральной функции только в двух точках.

Если подынтегральная функция достаточно гладкая, то квадратурная формула Гаусса обеспечивает очень высокую точность при небольшом числе узлов, так как для погрешности формула Гаусса с узлами справедлива оценка

.

Концы отрезка интегрирования никогда не входят в число узлов формул Гаусса. Поэтому формулы Гаусса удобны для вычисления несобственных интегралов от неограниченных функций, если особые точки подынтегральной функции лежат на концах отрезка интегрирования. Так, формулы Гаусса позволяют вычислить интеграл , в то время как формула Симпсона здесь неприменима. Блок-схема вычисления интеграла по формуле Гаусса с восемью узлами: , ; ,;; ; , .

Результаты:

1) Для метода Симпсона получены результаты для чисел разбиений:

Число разбиений

Значение интеграла

Погрешность

1

100

-0.520721

0,000181323

2

200

-0.521986

9,03818е-005

3

400

-0.522617

4.51212е-005

4

800

-0.522933

2.25432е-005

5

1600

-0.52309

1.12673е-005

6

3200

-0.523164

5.63255е-006

7

6400

-0.523209

2.816е-006

2) Вычисление по квадратурной формуле Гаусса дало значение интеграла:

-0.523248
Вывод:

Из полученных результатов видно, что значения метод Гаусса является более точным и требует меньших вычислительных затрат по сравнению с методом Симпсона, однако требует заранее вычисленных Гауссовых коэффициентов для заданного числа узлов.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

44782. Обучающие работы по созданию и ведению баз данных 2.61 MB
  Система управления базами данных предоставляет значительные возможности по работе с хранящимися данными, их обработке и совместному использованию. Можно выбирать любые поля, форматы полей, сортировать данные, вычислять итоговые значения. Можно отбирать интересующие данные по какому-либо признаку, менять их, удалять, копировать в другие таблицы
44783. Создание базы данных, состоящей из двух таблиц 6 MB
  Воспользуемся новым способом изготовления таблиц. Таблицы будем создавать в режиме Таблицы. В таблице Список будет 7 полей (код, фамилия, имя, отчество, год рождения, курс, название группы в колледже, номер группы в компьютерной школе). Номера групп и фамилии преподавателей школы будут храниться в отдельной таблице Группы в виде двух столбцов
44784. Создание базы данных, состоящей из трех таблиц 2.07 MB
  В данном случае таблицы Группы и Список объединены связью «один-ко-многим», таблицы Список и Личные данные — связью «один-к-одному». Таблицы Группы и Личные данные прямо не связаны
44786. Эрозия и деградация земель. Техногенные пустоши. Рекультивация и мелиорация земель 18.13 KB
  Рекультивация и мелиорация земель Деградация пастбищных земель: включает в себя множество различных проявлений от низкой продуктивности кормов до ухудшения растительного состава разрушения растительного покрова транспортными средствами. Рекультивация комплекс работ по экологическому и экономическому восстановлению земель и водоёмов плодородие которых в результате человеческой деятельности существенно снизилось. Целью проведения рекультивации является улучшение условий окружающей среды восстановление продуктивности нарушенных земель и...
44787. Команды для работы с файлами и каталогами 24.62 KB
  После имени команды надо ввести пробел и имя пользователя например jim: [root] userdd jim После этого система будет знать о существовании пользователя jim говорят будет открыт счет для пользователя jim . После того как вы завершите ввод нажатием клавиши Enter система попросит ввести его повторно: Retype new UNIX pssword: Если вы не ошиблись при вводе пароль приходится вводить вслепую поскольку он не отображается на экране появится сообщение: psswd: ll uthentiction tokens updted successfully [root] mn psswd В ответ вы получите...
44788. Русский язык как предмет изучения и обучения. Место РЯ среди других учебных дисциплин 14.62 KB
  Основу русского языка как школьного учебного предмета составляет наука о русском языке. В разные периоды развития отечественной школы состав учебного предмета Русский язык менялся в зависимости от целей изучения русского языка от уровня развития науки о русском языке и наук психологопедагогического цикла. Изучение языка усвоение сведений добытых учёнымилингвистами в области фонетики лексики словообразования грамматики стилистики. Обучение речи развитие навыков употребления языка для общения мышления.
44790. Предпринимательство, формы и методы организации предпринимательства 14.59 KB
  По характеру деятельности предпринимательство включает несколько форм: коммерческое предпринимательство. Предприниматель выступает в роли коммерсанта торговца который продает готовые товары купленные им у других лиц потребителю покупателю; финансовое предпринимательство. Это форма коммерческого предпринимательства в котором в качестве предмета куплипродажи выступают деньги или ценные бумаги; некоммерческое предпринимательство.