41613

Приближенное вычисление интеграла методом Симпсона и методом Гаусса

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Требуется вычислить интеграл: Требуется использовать: метод Симпсона метод Гаусса Теория: 1 Метод Симпсона Для приближённого вычисления интеграла чаще всего подынтегральную функцию заменяют близкой ей вспомогательной функцией интеграла от которой вычисляется аналитически. В частности если при вычислении подынтегральную функцию заменить интерполяционным многочленом второй степени построенным по значениям функции в трёх...

Русский

2013-10-24

92.3 KB

93 чел.

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

Уфимский государственный авиационный технический университет

Лабораторная работа №2

по дисциплине «Численные методы»

На тему: «Приближенное вычисление интеграла методом Симпсона и методом Гаусса»

Выполнил:

студент группы ПМ-335

Ямилев И.М.

Проверил:

Голичев И.И.

Уфа

2012

Отчёт по лабораторной работе № 2.

 

Задача:

1.Требуется вычислить интеграл:                                                         

Требуется использовать:

  1.  метод Симпсона
  2.  метод Гаусса

Теория:

1) Метод Симпсона

Для приближённого вычисления интеграла чаще всего подынтегральную функцию заменяют «близкой» ей вспомогательной функцией, интеграла от которой вычисляется аналитически. За приближённое значение интеграла принимают интеграл от вспомогательной функции. В частности, если при вычислении   подынтегральную функцию заменить интерполяционным многочленом второй степени, построенным по значениям функции в трёх точках , то получится так называемая простая квадратурная формула Симпсона

,

где – остаточный член. Если   непрерывна на , то

, .

С увеличением длины промежутка интегрирования точность простой формулы Симпсона в общем случае быстро падает.

Для повышения точности интегрирования применяют составную формулу Симпсона. Чтобы получить составную формулу Симпсона, разобьем отрезок на чётное число отрезков длины . Пусть , , . Применим простую формулу Симпсона к каждому из отрезков длины . После суммирования интегралов по всем отрезкам получаем составную формулу Симпсона

.

Алгебраический порядок точности формулы Симпсона равен трём. Это означает, что она точна для многочленов до третьей степени включительно. Оценка погрешности формулы Симпсона по остаточному  члену часто оказывается малоэффективной из-за трудностей оценки четвёртой производной  подынтегральной функции.

На практике применяют  правило Рунге. Для этого выбирают число кратное 2 и вычисляют приближённое значение интеграла по формуле Симпсона с шагом   (обозначим это приближённое значение ). Затем вычисляют приближённое значение интеграла по формуле Симпсона с шагом (обозначим его ).

За приближённое значение интеграла , вычисленное по формуле Симпсона с поправкой по Рунге, принимают

.

Погрешность этого результата приближённо оценивают величиной .

2) Метод Гаусса

Гауссом были построены квадратурные формулы наивысшего алгебраического порядка точности. В квадратурной формуле Гаусса

узлы и коэффициенты подобраны так, чтобы формула была точна для всех многочленов степени . Можно показать, что если – число узлов квадратурной формулы, то её алгебраический порядок точности не может быть выше . Для приближённого вычисления интеграла по конечному отрезку выполняем замену переменной ; тогда квадратурная формула Гаусса принимает вид

,

где ; – узлы квадратурной формулы Гаусса; – гауссовы коэффициенты; .

Можно показать, что узлы квадратурных формул Гаусса являются корнями многочленов Лежандра степени . Например, при для узлов получаем . При этом .  Таким образом, квадратурная формула Гаусса

имеет такой же алгебраический порядок точности, что и формула Симпсона, но требует вычисления подынтегральной функции только в двух точках.

Если подынтегральная функция достаточно гладкая, то квадратурная формула Гаусса обеспечивает очень высокую точность при небольшом числе узлов, так как для погрешности формула Гаусса с узлами справедлива оценка

.

Концы отрезка интегрирования никогда не входят в число узлов формул Гаусса. Поэтому формулы Гаусса удобны для вычисления несобственных интегралов от неограниченных функций, если особые точки подынтегральной функции лежат на концах отрезка интегрирования. Так, формулы Гаусса позволяют вычислить интеграл , в то время как формула Симпсона здесь неприменима. Блок-схема вычисления интеграла по формуле Гаусса с восемью узлами: , ; ,;; ; , .

Результаты:

1) Для метода Симпсона получены результаты для чисел разбиений:

Число разбиений

Значение интеграла

Погрешность

1

100

-0.520721

0,000181323

2

200

-0.521986

9,03818е-005

3

400

-0.522617

4.51212е-005

4

800

-0.522933

2.25432е-005

5

1600

-0.52309

1.12673е-005

6

3200

-0.523164

5.63255е-006

7

6400

-0.523209

2.816е-006

2) Вычисление по квадратурной формуле Гаусса дало значение интеграла:

-0.523248
Вывод:

Из полученных результатов видно, что значения метод Гаусса является более точным и требует меньших вычислительных затрат по сравнению с методом Симпсона, однако требует заранее вычисленных Гауссовых коэффициентов для заданного числа узлов.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

64414. Розробка технології знепилювання хвостосховищ гірничо-збагачувальних комбінатів Кривбасу 557.15 KB
  Технологія видобутку корисних копалин з подальшим збагаченням бідних руд що існує насьогодні потребує великих територій під облаштування спеціальних місць для розміщення відходів збагачення хвостів.
64415. Патогенетичне обґрунтування способу лікування загострень хронічного періодонтиту 145.5 KB
  У останнє десятиріччя не дивлячись на значне збільшення обєму та якості стоматологічної допомоги кількість пацієнтів з гострими запальними захворюваннями щелепнолицевої ділянки та шиї не зменшується...
64416. ІМУНОТОКСИЧНА ДІЯ СВИНЦЮ І КАДМІЮ ЯК ГІГІЄНІЧНА ПРОБЛЕМА 311.5 KB
  Одним з головних завдань профілактичної медицини, зокрема гігієни праці та промислової токсикології, є дослідження впливу хімічних чинників на організм працюючих, обґрунтування ранніх...
64417. Садові листовійки – філофаги в насадженнях яблуні та регулювання їх чисельності в Передгірному Криму 578 KB
  Останнім часом йде реконструкція старих насаджень поява садів нового типу за сучасними схемами посадки типами крони сортовим складом що відбивається на формуванні фауни листовійок у садових агроценозах.
64418. ЕФЕКТИВНІСТЬ СИСТЕМ ІНЖЕНЕРНОГО ЗАХИСТУ ВІД ПІДТОПЛЕННЯ САМОПЛИВНОГО ТА ПРИМУСОВОГО ТИПУ ТА НАПРЯМИ ЇХ УДОСКОНАЛЕННЯ 7.36 MB
  В Україні істотно поширені процеси підтоплення сільськогосподарських угідь і сільських населених пунктів, які супроводжуються підйомом рівня ґрунтових вод (РҐВ) та зумовлюють низку негативних процесів.
64419. КОМПЛЕКС ФІТОНЕМАТОД АГРОЦЕНОЗІВ ХМЕЛЮ ТА ЗАХОДИ РЕГУЛЯЦІЇ ЇХ ЧИСЕЛЬНОСТІ В ЗОНІ ПОЛІССЯ ТА ЛІСОСТЕПУ УКРАЇНИ 394.5 KB
  Тому одним із основних заходів збільшення валового збору хмелю і поліпшення його якості є надійний захист насаджень від патогенних організмів серед яких одними з найменш вивчених є паразитичні нематоди.
64420. РОЗВИТОК МЕТОДІВ МОДЕЛЮВАННЯ ТЕХНІЧНИХ ЗАСОБІВ ЕНЕРГОЗБЕРЕЖЕННЯ СИСТЕМ УПРАВЛІННЯ ДЛЯ ТЕПЛОВОЗНИХ ДИЗЕЛЬ-ГЕНЕРАТОРІВ 649 KB
  Питання підвищення енергозбереження тепловозних силових установок в умовах стрімкого зростання цін на дизельне паливо в Україні і інших країнах розглядається як одне з першорядних.
64421. ФОРМУВАННЯ ІНСТИТУТУ КОНСОЛІДАЦІЇ ПОЛІТИЧНОЇ ЕЛІТИ В СУЧАСНІЙ УКРАЇНІ 210.5 KB
  В аспекті вивчення шляхів формування демократичної політичної еліти яка ефективно здійснює державне управління з метою реалізації національних інтересів важливе місце займає дослідження інституційних...
64422. МОДЕЛЮВАННЯ ТА ВДОСКОНАЛЕННЯ ПРОЦЕСУ ПЛАСТИФІКАЦІЇ КОНДИТЕРСЬКИХ МАС 354 KB
  Одним з найбільш перспективних напрямів вирішення цієї проблеми є математичне моделювання технологічних процесів для визначення фізико-хімічних і реологічних показників напівфабрикатів на всіх стадіях виробництва.