41613

Приближенное вычисление интеграла методом Симпсона и методом Гаусса

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Требуется вычислить интеграл: Требуется использовать: метод Симпсона метод Гаусса Теория: 1 Метод Симпсона Для приближённого вычисления интеграла чаще всего подынтегральную функцию заменяют близкой ей вспомогательной функцией интеграла от которой вычисляется аналитически. В частности если при вычислении подынтегральную функцию заменить интерполяционным многочленом второй степени построенным по значениям функции в трёх...

Русский

2013-10-24

92.3 KB

91 чел.

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

Уфимский государственный авиационный технический университет

Лабораторная работа №2

по дисциплине «Численные методы»

На тему: «Приближенное вычисление интеграла методом Симпсона и методом Гаусса»

Выполнил:

студент группы ПМ-335

Ямилев И.М.

Проверил:

Голичев И.И.

Уфа

2012

Отчёт по лабораторной работе № 2.

 

Задача:

1.Требуется вычислить интеграл:                                                         

Требуется использовать:

  1.  метод Симпсона
  2.  метод Гаусса

Теория:

1) Метод Симпсона

Для приближённого вычисления интеграла чаще всего подынтегральную функцию заменяют «близкой» ей вспомогательной функцией, интеграла от которой вычисляется аналитически. За приближённое значение интеграла принимают интеграл от вспомогательной функции. В частности, если при вычислении   подынтегральную функцию заменить интерполяционным многочленом второй степени, построенным по значениям функции в трёх точках , то получится так называемая простая квадратурная формула Симпсона

,

где – остаточный член. Если   непрерывна на , то

, .

С увеличением длины промежутка интегрирования точность простой формулы Симпсона в общем случае быстро падает.

Для повышения точности интегрирования применяют составную формулу Симпсона. Чтобы получить составную формулу Симпсона, разобьем отрезок на чётное число отрезков длины . Пусть , , . Применим простую формулу Симпсона к каждому из отрезков длины . После суммирования интегралов по всем отрезкам получаем составную формулу Симпсона

.

Алгебраический порядок точности формулы Симпсона равен трём. Это означает, что она точна для многочленов до третьей степени включительно. Оценка погрешности формулы Симпсона по остаточному  члену часто оказывается малоэффективной из-за трудностей оценки четвёртой производной  подынтегральной функции.

На практике применяют  правило Рунге. Для этого выбирают число кратное 2 и вычисляют приближённое значение интеграла по формуле Симпсона с шагом   (обозначим это приближённое значение ). Затем вычисляют приближённое значение интеграла по формуле Симпсона с шагом (обозначим его ).

За приближённое значение интеграла , вычисленное по формуле Симпсона с поправкой по Рунге, принимают

.

Погрешность этого результата приближённо оценивают величиной .

2) Метод Гаусса

Гауссом были построены квадратурные формулы наивысшего алгебраического порядка точности. В квадратурной формуле Гаусса

узлы и коэффициенты подобраны так, чтобы формула была точна для всех многочленов степени . Можно показать, что если – число узлов квадратурной формулы, то её алгебраический порядок точности не может быть выше . Для приближённого вычисления интеграла по конечному отрезку выполняем замену переменной ; тогда квадратурная формула Гаусса принимает вид

,

где ; – узлы квадратурной формулы Гаусса; – гауссовы коэффициенты; .

Можно показать, что узлы квадратурных формул Гаусса являются корнями многочленов Лежандра степени . Например, при для узлов получаем . При этом .  Таким образом, квадратурная формула Гаусса

имеет такой же алгебраический порядок точности, что и формула Симпсона, но требует вычисления подынтегральной функции только в двух точках.

Если подынтегральная функция достаточно гладкая, то квадратурная формула Гаусса обеспечивает очень высокую точность при небольшом числе узлов, так как для погрешности формула Гаусса с узлами справедлива оценка

.

Концы отрезка интегрирования никогда не входят в число узлов формул Гаусса. Поэтому формулы Гаусса удобны для вычисления несобственных интегралов от неограниченных функций, если особые точки подынтегральной функции лежат на концах отрезка интегрирования. Так, формулы Гаусса позволяют вычислить интеграл , в то время как формула Симпсона здесь неприменима. Блок-схема вычисления интеграла по формуле Гаусса с восемью узлами: , ; ,;; ; , .

Результаты:

1) Для метода Симпсона получены результаты для чисел разбиений:

Число разбиений

Значение интеграла

Погрешность

1

100

-0.520721

0,000181323

2

200

-0.521986

9,03818е-005

3

400

-0.522617

4.51212е-005

4

800

-0.522933

2.25432е-005

5

1600

-0.52309

1.12673е-005

6

3200

-0.523164

5.63255е-006

7

6400

-0.523209

2.816е-006

2) Вычисление по квадратурной формуле Гаусса дало значение интеграла:

-0.523248
Вывод:

Из полученных результатов видно, что значения метод Гаусса является более точным и требует меньших вычислительных затрат по сравнению с методом Симпсона, однако требует заранее вычисленных Гауссовых коэффициентов для заданного числа узлов.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36801. ЧАСТНЫЕ РЕАКЦИИ КАТИОНОВ IV АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГРУППЫ 72 KB
  Реактивы: NH42S lCl3 ZnCl2 CrCl3 NOH H2O NH4OH N2S HCl NH4Cl крист K4 [Fe CN 6] K3 [Fe CN 6] CH3COOH. Групповым реагентом на катионы четвертой группы является гидроксид натрия NOH в избытке. В каждую из них добавить 1 мл группового реактива NOH. Ваши наблюдения ____________________________________________________________________________________________________________________________________________ Записать уравнения реакций в молекулярном и ионном виде: LCI3 NOH =...
36802. Структура и принцип работы полевых транзисторов, их статических характеристик и дифференциальных параметров 189.18 KB
  В данной лабораторной работе были изучены структура и принцип работы полевых транзисторов, их статические характеристики и дифференциальные параметры. Были определены пороговое напряжение, крутизна сток-затворных характеристик, внутреннее сопротивление транзисторов в режиме насыщения и в линейном режиме, вычислена удельная крутизна МОП-транзистора КП304А.
36803. ЧАСТНЫЕ РЕАКЦИИ КАТИОНОВ V АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГРУППЫ 78 KB
  Тема: ЧАСТНЫЕ РЕАКЦИИ КАТИОНОВ V АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГРУППЫ. Умения: Отработать практические навыки и углубить теоретические знания по частным реакциям катионов пятой группы. Нитраты хлориды сульфаты и ацетаты катионов пятой группы хорошо растворимы в воде. Соли других катионов этой же группы также подвергаются гидролизу и имеют кислую реакцию среды.
36804. Исследование интегральных оптронов 930.29 KB
  Справочные данные оптронов: АОД101Б: Обратное выходное напряжение = 100 В Обратное входное напряжение = 35 В Напряжение изоляции = 100 В Постоянный или средний входной ток = 20 мА Импульсный входной ток = 100 мА Температура окружающей среды 60.70 0САОТ101БС: Коммутируемое напряжение = 15 В Обратное входное напряжение = 15 В Напряжение изоляции = 20 В Входной ток = 20 мА Выходной ток при Iвх.
36805. ЧАСТНЫЕ РЕАКЦИИ КАТИОНОВ VI АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГРУППЫ 62.5 KB
  Растворы солей меди II окрашены в голубой цвет растворы солей ртути II и кадмия II бесцветны. Катионы меди и ртути имеют степень окисления 1 и 2 поэтому они участвуют в реакциях окисления восстановления. Аммиак образует с раствором соли двухвалентной ртути белый осадок амидохлорида ртути II растворимого в избытке реактива с образованием бесцветного комплексного соединения хлорида тетраамин ртути II HgCl2 2NH4OH = HgNH2Cl 2H2O NH4Cl HgNH2Cl 2NH4OH NH4Cl = [Hg NH34] Cl 2H2O Аммиак в небольших количествах...
36806. ЧАСТНЫЕ РЕАКЦИИ АНИОНОВ I, II, III АНАЛИТИЧЕСКИХ ГРУПП 95.5 KB
  в отдельных порциях исследуемого раствора. При подкислении азотной кислотой аммиачного раствора хлорида серебра вновь выпадает белый творожистый осадок хлорида серебра. а К 23 мл раствора сульфита натрия прилить столько же хлорида бария образовавшийся осадок испытать на растворимость в соляной и азотной кислотах. Запишите ваши наблюдения: Запишите уравнение в молекулярном и ионном виде: N2SO3 BCl2 = ________________________________________________________________________________ ...
36807. Приготовление стандартного раствора щелочи и установление нормальности и титра по щавелевой кислоте 61.5 KB
  Тема: Приготовление стандартного раствора щелочи и установление нормальности и титра по щавелевой кислоте. Приготовление стандартного раствора щелочи. Установление точной концентрации раствора по щавелевой кислоте. Теоретические основы: Для приготовления стандартного раствора и установления его нормальности и титра используют метод нейтрализации.
36808. Электрические и магнитные явления в организме, электрические воздействия и методы исследования 160.5 KB
  По отклонению стрелки гальванометра пользуясь графиком находят температуры исследуемых объектов Дополнительная информация Общая структурная схема для регистрации съёма и передачи медицинской информации. Х  Чувствительный элемент средства измерений электрод датчик  Усилитель  Передатчик  Приёмник  Выходной измеритель регистрирующий прибор У   устройства для съёма информации Устройства для съема передачи и регистрации медикобиологической...
36809. Приготовление стандартного раствора КМnО4 иустановление его нормальности и титра по щавелевой кислоте 61 KB
  Тема: Приготовление стандартного раствора КМnО4 иустановление его нормальности и титра по щавелевой кислоте. Теоретические основы: Перманганатометрия это метод объемного анализа в котором в качестве стандартного раствора используется раствор перманганата калия. В основе метода лежит использование стандартного раствора КМnО4 . нормальность и титр раствора перманганата калия определяют по щавелевой кислоте которая является восстановителем и отдает при этом 2 электрона.