41613

Приближенное вычисление интеграла методом Симпсона и методом Гаусса

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Требуется вычислить интеграл: Требуется использовать: метод Симпсона метод Гаусса Теория: 1 Метод Симпсона Для приближённого вычисления интеграла чаще всего подынтегральную функцию заменяют близкой ей вспомогательной функцией интеграла от которой вычисляется аналитически. В частности если при вычислении подынтегральную функцию заменить интерполяционным многочленом второй степени построенным по значениям функции в трёх...

Русский

2013-10-24

92.3 KB

90 чел.

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

Уфимский государственный авиационный технический университет

Лабораторная работа №2

по дисциплине «Численные методы»

На тему: «Приближенное вычисление интеграла методом Симпсона и методом Гаусса»

Выполнил:

студент группы ПМ-335

Ямилев И.М.

Проверил:

Голичев И.И.

Уфа

2012

Отчёт по лабораторной работе № 2.

 

Задача:

1.Требуется вычислить интеграл:                                                         

Требуется использовать:

  1.  метод Симпсона
  2.  метод Гаусса

Теория:

1) Метод Симпсона

Для приближённого вычисления интеграла чаще всего подынтегральную функцию заменяют «близкой» ей вспомогательной функцией, интеграла от которой вычисляется аналитически. За приближённое значение интеграла принимают интеграл от вспомогательной функции. В частности, если при вычислении   подынтегральную функцию заменить интерполяционным многочленом второй степени, построенным по значениям функции в трёх точках , то получится так называемая простая квадратурная формула Симпсона

,

где – остаточный член. Если   непрерывна на , то

, .

С увеличением длины промежутка интегрирования точность простой формулы Симпсона в общем случае быстро падает.

Для повышения точности интегрирования применяют составную формулу Симпсона. Чтобы получить составную формулу Симпсона, разобьем отрезок на чётное число отрезков длины . Пусть , , . Применим простую формулу Симпсона к каждому из отрезков длины . После суммирования интегралов по всем отрезкам получаем составную формулу Симпсона

.

Алгебраический порядок точности формулы Симпсона равен трём. Это означает, что она точна для многочленов до третьей степени включительно. Оценка погрешности формулы Симпсона по остаточному  члену часто оказывается малоэффективной из-за трудностей оценки четвёртой производной  подынтегральной функции.

На практике применяют  правило Рунге. Для этого выбирают число кратное 2 и вычисляют приближённое значение интеграла по формуле Симпсона с шагом   (обозначим это приближённое значение ). Затем вычисляют приближённое значение интеграла по формуле Симпсона с шагом (обозначим его ).

За приближённое значение интеграла , вычисленное по формуле Симпсона с поправкой по Рунге, принимают

.

Погрешность этого результата приближённо оценивают величиной .

2) Метод Гаусса

Гауссом были построены квадратурные формулы наивысшего алгебраического порядка точности. В квадратурной формуле Гаусса

узлы и коэффициенты подобраны так, чтобы формула была точна для всех многочленов степени . Можно показать, что если – число узлов квадратурной формулы, то её алгебраический порядок точности не может быть выше . Для приближённого вычисления интеграла по конечному отрезку выполняем замену переменной ; тогда квадратурная формула Гаусса принимает вид

,

где ; – узлы квадратурной формулы Гаусса; – гауссовы коэффициенты; .

Можно показать, что узлы квадратурных формул Гаусса являются корнями многочленов Лежандра степени . Например, при для узлов получаем . При этом .  Таким образом, квадратурная формула Гаусса

имеет такой же алгебраический порядок точности, что и формула Симпсона, но требует вычисления подынтегральной функции только в двух точках.

Если подынтегральная функция достаточно гладкая, то квадратурная формула Гаусса обеспечивает очень высокую точность при небольшом числе узлов, так как для погрешности формула Гаусса с узлами справедлива оценка

.

Концы отрезка интегрирования никогда не входят в число узлов формул Гаусса. Поэтому формулы Гаусса удобны для вычисления несобственных интегралов от неограниченных функций, если особые точки подынтегральной функции лежат на концах отрезка интегрирования. Так, формулы Гаусса позволяют вычислить интеграл , в то время как формула Симпсона здесь неприменима. Блок-схема вычисления интеграла по формуле Гаусса с восемью узлами: , ; ,;; ; , .

Результаты:

1) Для метода Симпсона получены результаты для чисел разбиений:

Число разбиений

Значение интеграла

Погрешность

1

100

-0.520721

0,000181323

2

200

-0.521986

9,03818е-005

3

400

-0.522617

4.51212е-005

4

800

-0.522933

2.25432е-005

5

1600

-0.52309

1.12673е-005

6

3200

-0.523164

5.63255е-006

7

6400

-0.523209

2.816е-006

2) Вычисление по квадратурной формуле Гаусса дало значение интеграла:

-0.523248
Вывод:

Из полученных результатов видно, что значения метод Гаусса является более точным и требует меньших вычислительных затрат по сравнению с методом Симпсона, однако требует заранее вычисленных Гауссовых коэффициентов для заданного числа узлов.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78912. Специфика объекта СГП 21.5 KB
  Вовторых в структуру и содержание объекта социальногуманитарного познания с необходимостью входит субъект познания. Объективация предмета познания оказывается в этом случае неполной и сопряжена с большими методологическим трудностями. Втретьих исследование объекта осуществляется в социальногуманитарном знании с ценностных позиций поскольку субъект познания будучи сам частью социальной системы оказывается нагруженным идеологическими предпосылками предрассудками некритически воспринятыми установками и т.
78913. Социокультурная обусловленность дисциплинарной структуры социально-гуманитарного знания 25 KB
  Прежде всего речь идет о различении социальных наук как наук об обществе и гуманитарных наук как наук в фокусе которых находится человек индивидуальная и социальная психология этика и т. Разделение наук по предмету о чем речь уже шла выше. Разделение наук по методу: в социальных науках используется метод объяснения тогда как в гуманитарных базовой методологической процедурой выступает понимание сразу же заметим что такое разделение грешит противопоставлением понимания объяснению. Разделение наук одновременно по предмету и методу...
78914. Конвергенция естественно-научного и СГН в современой науке 24 KB
  Логику развития методологии гуманитарного познания можно представить следующим образом: сначала проблематика методологии гуманитарных наук развивалась в направлении выявления и обоснования их специфики по сравнению с науками о природе. Главной на этом этапе является проблема идентификации социальногуманитарных наук и их демаркации от наук естественных. Обоснованию специфики социальногуманитарного познания посвящены работы Дильтея Описательная психология Гадамера Истина и метод Фуко Слова и вещи Рикера Герменевтика и...
78915. Специфика научной картины мира в СГН 31.5 KB
  Специфика научной картины мира в СГН Научная картина мира исторична она опирается на достижения науки конкретной эпохи в пределах тех знаний которыми располагает человечество. Научная картина мира представляет собой синтез научных знаний соответствующих конкретноисторическому периоду развития человечества. Поэтому она более строгое понятие чем образ мира или видение мира. В научную картину мира входят знания отвечающие критериям научности.
78916. Специфика субъекта СГП 34 KB
  В сфере познания субъект определяет предмет исследования выделяя его как некий срез противостоящего ему объекта а также выстраивает концептуальную и эмпирическую модели познаваемого предмета. В современном познании субъект проектирует ряд условий познания данного предмета проходит основные этапы процесса познания опираясь на те методы которые в наибольшей степени соответствуют характеристикам и самой природе познаваемого объекта. Субъектами социального и гуманитарного познания могут быть как индивиды отдельные исследователи...
78917. Кантовские представления о диалектике теоретического и практического разума 27 KB
  Правда на сами эти предпосылки Кант не покушается: более того он увековечивает их как прирожденные свойства разума. Резкий метафизический разрыв теоретического и практического разума опытных и априорных суждений анализа и синтеза общего и единичного целого и части – весь комплекс противоречий к которым неизбежно приходит метафизическое мышление Кант выставил перед философией как решающую проблему. Их можно только мыслить как условия возможности и науки и нравственности как гарантии теоретического и...
78918. Принципы логики социальных наук Поппера 47.5 KB
  Именно поразительный прогресс естественных наук о котором идет речь в моем первом тезисе постоянно напоминает нам о нашем незнании даже в области естественных наук...
78919. Социокультурное и гуманитарное содержание понятие жизни 26.5 KB
  Все его творения происходят из неспособности создать привычными средствами жизни и на основе ее эволюционных законов живое существо которое превосходило бы человека. Шелер называет странной пессимистичной ложной оказывается однако логически строго последовательной если по объяснению автора разделять дух соответственно разум и жизнь как два метафизических начала но при этом отождествлять дух с техническим интеллектом интеллектом лишенным мудрости а ценности жизни делать высшими ценностями. Фазы...
78920. История как одна из форм проявления жизни 28.5 KB
  История как одна из форм проявления жизни. Фазы развития этой болезни жизни которая зовется человеком в структурном отношении те же самые какие проходят все стареющие и умирающие существа: прогрессирующее преодоление жизненной силы посредством автономизации механизмов которые сам организм высвобождает из себя по мере старения. История общества по Зиммелю есть история нарастающей интеллектуализации рационализации социальной жизни и углубления влияния принципов денежных отношений. Анализу этих форм Зиммель посветил книгу Философия...