41613

Приближенное вычисление интеграла методом Симпсона и методом Гаусса

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Требуется вычислить интеграл: Требуется использовать: метод Симпсона метод Гаусса Теория: 1 Метод Симпсона Для приближённого вычисления интеграла чаще всего подынтегральную функцию заменяют близкой ей вспомогательной функцией интеграла от которой вычисляется аналитически. В частности если при вычислении подынтегральную функцию заменить интерполяционным многочленом второй степени построенным по значениям функции в трёх...

Русский

2013-10-24

92.3 KB

93 чел.

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

Уфимский государственный авиационный технический университет

Лабораторная работа №2

по дисциплине «Численные методы»

На тему: «Приближенное вычисление интеграла методом Симпсона и методом Гаусса»

Выполнил:

студент группы ПМ-335

Ямилев И.М.

Проверил:

Голичев И.И.

Уфа

2012

Отчёт по лабораторной работе № 2.

 

Задача:

1.Требуется вычислить интеграл:                                                         

Требуется использовать:

  1.  метод Симпсона
  2.  метод Гаусса

Теория:

1) Метод Симпсона

Для приближённого вычисления интеграла чаще всего подынтегральную функцию заменяют «близкой» ей вспомогательной функцией, интеграла от которой вычисляется аналитически. За приближённое значение интеграла принимают интеграл от вспомогательной функции. В частности, если при вычислении   подынтегральную функцию заменить интерполяционным многочленом второй степени, построенным по значениям функции в трёх точках , то получится так называемая простая квадратурная формула Симпсона

,

где – остаточный член. Если   непрерывна на , то

, .

С увеличением длины промежутка интегрирования точность простой формулы Симпсона в общем случае быстро падает.

Для повышения точности интегрирования применяют составную формулу Симпсона. Чтобы получить составную формулу Симпсона, разобьем отрезок на чётное число отрезков длины . Пусть , , . Применим простую формулу Симпсона к каждому из отрезков длины . После суммирования интегралов по всем отрезкам получаем составную формулу Симпсона

.

Алгебраический порядок точности формулы Симпсона равен трём. Это означает, что она точна для многочленов до третьей степени включительно. Оценка погрешности формулы Симпсона по остаточному  члену часто оказывается малоэффективной из-за трудностей оценки четвёртой производной  подынтегральной функции.

На практике применяют  правило Рунге. Для этого выбирают число кратное 2 и вычисляют приближённое значение интеграла по формуле Симпсона с шагом   (обозначим это приближённое значение ). Затем вычисляют приближённое значение интеграла по формуле Симпсона с шагом (обозначим его ).

За приближённое значение интеграла , вычисленное по формуле Симпсона с поправкой по Рунге, принимают

.

Погрешность этого результата приближённо оценивают величиной .

2) Метод Гаусса

Гауссом были построены квадратурные формулы наивысшего алгебраического порядка точности. В квадратурной формуле Гаусса

узлы и коэффициенты подобраны так, чтобы формула была точна для всех многочленов степени . Можно показать, что если – число узлов квадратурной формулы, то её алгебраический порядок точности не может быть выше . Для приближённого вычисления интеграла по конечному отрезку выполняем замену переменной ; тогда квадратурная формула Гаусса принимает вид

,

где ; – узлы квадратурной формулы Гаусса; – гауссовы коэффициенты; .

Можно показать, что узлы квадратурных формул Гаусса являются корнями многочленов Лежандра степени . Например, при для узлов получаем . При этом .  Таким образом, квадратурная формула Гаусса

имеет такой же алгебраический порядок точности, что и формула Симпсона, но требует вычисления подынтегральной функции только в двух точках.

Если подынтегральная функция достаточно гладкая, то квадратурная формула Гаусса обеспечивает очень высокую точность при небольшом числе узлов, так как для погрешности формула Гаусса с узлами справедлива оценка

.

Концы отрезка интегрирования никогда не входят в число узлов формул Гаусса. Поэтому формулы Гаусса удобны для вычисления несобственных интегралов от неограниченных функций, если особые точки подынтегральной функции лежат на концах отрезка интегрирования. Так, формулы Гаусса позволяют вычислить интеграл , в то время как формула Симпсона здесь неприменима. Блок-схема вычисления интеграла по формуле Гаусса с восемью узлами: , ; ,;; ; , .

Результаты:

1) Для метода Симпсона получены результаты для чисел разбиений:

Число разбиений

Значение интеграла

Погрешность

1

100

-0.520721

0,000181323

2

200

-0.521986

9,03818е-005

3

400

-0.522617

4.51212е-005

4

800

-0.522933

2.25432е-005

5

1600

-0.52309

1.12673е-005

6

3200

-0.523164

5.63255е-006

7

6400

-0.523209

2.816е-006

2) Вычисление по квадратурной формуле Гаусса дало значение интеграла:

-0.523248
Вывод:

Из полученных результатов видно, что значения метод Гаусса является более точным и требует меньших вычислительных затрат по сравнению с методом Симпсона, однако требует заранее вычисленных Гауссовых коэффициентов для заданного числа узлов.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

15393. Анализ деятельности ООО «Артпак» 227 KB
  В период прохождения преддипломной практики мною была собрана и изучена информацию о предприятии ООО «Артпак», а так же дана организационно-экономическая характеристика предприятия.
15394. Анализ закрытого акционерного общества ГЕРМАСТ 207 KB
  1. Общая характеристика организации. Полное фирменное наименование: Закрытое акционерное общество ГЕРМАСТ Сокращенное фирменное наименование: ЗАО ГЕРМАСТ. Местонахождение: Россия г. Нижний Новгород пр. Ленина д. 88. Почтовый адрес: 606004 Россия г...
15395. Этапы создания и перспективы развития европейского экономического валютного союза 174 KB
  Контрольная работа Дисциплина Финансы и кредит Тема: Этапы создания и перспективы развития европейского экономического валютного союза Введение Европейский Союз объединяет 15 европейских стран с целью обеспечения мира и процветания их г
15396. СУЩНОСТЬ, ФУНКЦИИ И ИСТОЧНИКИ ФОРМИРОВАНИЯ ПРИБЫЛИ 114 KB
  РЕФЕРАТ СУЩНОСТЬ ФУНКЦИИ И ИСТОЧНИКИ ФОРМИРОВАНИЯ ПРИБЫЛИ Введение В рыночной экономике особое место отводится предприятию способному выполнять исключительно важную функцию зарабатывание прибыли Прибыль создает определен...
15397. Техника безопасности в походе 76.69 KB
  Правила безопасности перед выходом из лагеря населенного пункта Правила безопасности при движении Правила безопасности при прохождении скального рельефа Правила безопасности при страховке на скальном рельефе Правила безопасности при
15398. Размещение отраслей машиностроительного комплекса 79.5 KB
  КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по дисциплине Экономическая география на тему: Размещение отраслей машиностроительного комплекса 1. Роль структура и уровень развития отраслей машиностроительного комплекса. Машиностроительный комплекс является ведущим среди межотр
15399. Место и роль России в международной торговле 176 KB
  КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА на тему Место и роль России в международной торговле Введение. Самая старая форма международных отношений это международная торговля. На протяжения столетий внешняя торговля была и есть основа междун
15400. РУССКАЯ ЭКОНОМИЧЕСКАЯ МЫСЛЬ (XIX – начало XX в.) 88.5 KB
  КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ ИСТОРИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ УЧЕНИЙ ТЕМА № 13 РУССКАЯ ЭКОНОМИЧЕСКАЯ МЫСЛЬ XIX начало XX в. Введение Материальное развитие и состояние общества умонастроение и социальное самочувствие населения во всех странах в большой мере
15401. Основные социально-демографические проблемы развития современной России 140 KB
  Анализ изменения численности населения России и ее регионов Рассмотрим изменение численности населения России в 1970-2004 гг. по данным Российского статистического ежегодника за 2004 гг. Данные представим в таблице 1. Таблица 1 Изменение численности населения России в...