41613

Приближенное вычисление интеграла методом Симпсона и методом Гаусса

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Требуется вычислить интеграл: Требуется использовать: метод Симпсона метод Гаусса Теория: 1 Метод Симпсона Для приближённого вычисления интеграла чаще всего подынтегральную функцию заменяют близкой ей вспомогательной функцией интеграла от которой вычисляется аналитически. В частности если при вычислении подынтегральную функцию заменить интерполяционным многочленом второй степени построенным по значениям функции в трёх...

Русский

2013-10-24

92.3 KB

91 чел.

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

Уфимский государственный авиационный технический университет

Лабораторная работа №2

по дисциплине «Численные методы»

На тему: «Приближенное вычисление интеграла методом Симпсона и методом Гаусса»

Выполнил:

студент группы ПМ-335

Ямилев И.М.

Проверил:

Голичев И.И.

Уфа

2012

Отчёт по лабораторной работе № 2.

 

Задача:

1.Требуется вычислить интеграл:                                                         

Требуется использовать:

  1.  метод Симпсона
  2.  метод Гаусса

Теория:

1) Метод Симпсона

Для приближённого вычисления интеграла чаще всего подынтегральную функцию заменяют «близкой» ей вспомогательной функцией, интеграла от которой вычисляется аналитически. За приближённое значение интеграла принимают интеграл от вспомогательной функции. В частности, если при вычислении   подынтегральную функцию заменить интерполяционным многочленом второй степени, построенным по значениям функции в трёх точках , то получится так называемая простая квадратурная формула Симпсона

,

где – остаточный член. Если   непрерывна на , то

, .

С увеличением длины промежутка интегрирования точность простой формулы Симпсона в общем случае быстро падает.

Для повышения точности интегрирования применяют составную формулу Симпсона. Чтобы получить составную формулу Симпсона, разобьем отрезок на чётное число отрезков длины . Пусть , , . Применим простую формулу Симпсона к каждому из отрезков длины . После суммирования интегралов по всем отрезкам получаем составную формулу Симпсона

.

Алгебраический порядок точности формулы Симпсона равен трём. Это означает, что она точна для многочленов до третьей степени включительно. Оценка погрешности формулы Симпсона по остаточному  члену часто оказывается малоэффективной из-за трудностей оценки четвёртой производной  подынтегральной функции.

На практике применяют  правило Рунге. Для этого выбирают число кратное 2 и вычисляют приближённое значение интеграла по формуле Симпсона с шагом   (обозначим это приближённое значение ). Затем вычисляют приближённое значение интеграла по формуле Симпсона с шагом (обозначим его ).

За приближённое значение интеграла , вычисленное по формуле Симпсона с поправкой по Рунге, принимают

.

Погрешность этого результата приближённо оценивают величиной .

2) Метод Гаусса

Гауссом были построены квадратурные формулы наивысшего алгебраического порядка точности. В квадратурной формуле Гаусса

узлы и коэффициенты подобраны так, чтобы формула была точна для всех многочленов степени . Можно показать, что если – число узлов квадратурной формулы, то её алгебраический порядок точности не может быть выше . Для приближённого вычисления интеграла по конечному отрезку выполняем замену переменной ; тогда квадратурная формула Гаусса принимает вид

,

где ; – узлы квадратурной формулы Гаусса; – гауссовы коэффициенты; .

Можно показать, что узлы квадратурных формул Гаусса являются корнями многочленов Лежандра степени . Например, при для узлов получаем . При этом .  Таким образом, квадратурная формула Гаусса

имеет такой же алгебраический порядок точности, что и формула Симпсона, но требует вычисления подынтегральной функции только в двух точках.

Если подынтегральная функция достаточно гладкая, то квадратурная формула Гаусса обеспечивает очень высокую точность при небольшом числе узлов, так как для погрешности формула Гаусса с узлами справедлива оценка

.

Концы отрезка интегрирования никогда не входят в число узлов формул Гаусса. Поэтому формулы Гаусса удобны для вычисления несобственных интегралов от неограниченных функций, если особые точки подынтегральной функции лежат на концах отрезка интегрирования. Так, формулы Гаусса позволяют вычислить интеграл , в то время как формула Симпсона здесь неприменима. Блок-схема вычисления интеграла по формуле Гаусса с восемью узлами: , ; ,;; ; , .

Результаты:

1) Для метода Симпсона получены результаты для чисел разбиений:

Число разбиений

Значение интеграла

Погрешность

1

100

-0.520721

0,000181323

2

200

-0.521986

9,03818е-005

3

400

-0.522617

4.51212е-005

4

800

-0.522933

2.25432е-005

5

1600

-0.52309

1.12673е-005

6

3200

-0.523164

5.63255е-006

7

6400

-0.523209

2.816е-006

2) Вычисление по квадратурной формуле Гаусса дало значение интеграла:

-0.523248
Вывод:

Из полученных результатов видно, что значения метод Гаусса является более точным и требует меньших вычислительных затрат по сравнению с методом Симпсона, однако требует заранее вычисленных Гауссовых коэффициентов для заданного числа узлов.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25137. Некоторые стандартные функции над числовыми данными 63.5 KB
  А и Р целые и вещественные числа. А целое и веществ. А целое и веществ. Р веществ.
25140. Головні риси філософії доби Відродження 23.5 KB
  Головні риси філософії доби Відродження. Епоха відродження характеризується розвитком промисловості торгівлі військової справи. Саме тому антропоцентризм головна ідея світогляду епохи Відродження. Відродження це цілісна культура що увібрала в себе все життя людини а не окремі його характеристики.
25141. Фіхте: філософія як науковчення 23.5 KB
  Фіхте: філософія як науковчення Фіхте послідовник Канта. Фіхте: Моя система є ніщо інше як система Канта тобто вона містить той же погляд на предмет але у своєму способі викладення вона жодним чином не залежить від викладення Канта. Фіхте намагався покращити зміни світ. Фіхте ідеаліст.
25142. Поняття практичного розуму у І.Канта 30 KB
  Свобода альфа і омега всієї практичної філософії Канта саме в свободі Кант вбачав високе призначння людини.€ Найглибший вимір людини який відрізняє її від усього створного світу моральність. Основний закон моральности категоричний імператив дотримання якого моральний обовязок людини.Формула персоналізації вчиняй так щоб ти завжди ставився до людства і в своїй особі і в особі будьякої іншої людини також як до засобу і ніколи тільки як до мети.
25143. Проблема буття у філософії 39.5 KB
  Проблема буття у філософії Онтологія вчення про буття. Вперше проблема сформульована Парменідом з якого і починається аналіз проблеми буття у європейській традиції.Що розуміється під буттям І є має нічого що не належало б до буття Парменід.Категорія буття Онтологічне значення методу Сократ Буття як ейдос ПлатонДіалектика буття і небуття як умова розрі нення істини і заблудження.
25144. Філософія Просвітництва: основні засади 23 KB
  Філософія Просвітництва: основні засади Взагалі у широкому сенсі Просвітництво є епохою в історії людства що збігається утвердженням капіталізму і відповідно руйнуванням феодалізму. Цікавими є погляди різних мислителів на епоху просвітництва. Вихідні ідеї епохи Просвітництва: культ науки відповідно Розуму прогрес людства. Усі праці діячів Просвітництва мають у собі ідею апології Розуму його світлої сили.