41613

Приближенное вычисление интеграла методом Симпсона и методом Гаусса

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Требуется вычислить интеграл: Требуется использовать: метод Симпсона метод Гаусса Теория: 1 Метод Симпсона Для приближённого вычисления интеграла чаще всего подынтегральную функцию заменяют близкой ей вспомогательной функцией интеграла от которой вычисляется аналитически. В частности если при вычислении подынтегральную функцию заменить интерполяционным многочленом второй степени построенным по значениям функции в трёх...

Русский

2013-10-24

92.3 KB

87 чел.

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

Уфимский государственный авиационный технический университет

Лабораторная работа №2

по дисциплине «Численные методы»

На тему: «Приближенное вычисление интеграла методом Симпсона и методом Гаусса»

Выполнил:

студент группы ПМ-335

Ямилев И.М.

Проверил:

Голичев И.И.

Уфа

2012

Отчёт по лабораторной работе № 2.

 

Задача:

1.Требуется вычислить интеграл:                                                         

Требуется использовать:

  1.  метод Симпсона
  2.  метод Гаусса

Теория:

1) Метод Симпсона

Для приближённого вычисления интеграла чаще всего подынтегральную функцию заменяют «близкой» ей вспомогательной функцией, интеграла от которой вычисляется аналитически. За приближённое значение интеграла принимают интеграл от вспомогательной функции. В частности, если при вычислении   подынтегральную функцию заменить интерполяционным многочленом второй степени, построенным по значениям функции в трёх точках , то получится так называемая простая квадратурная формула Симпсона

,

где – остаточный член. Если   непрерывна на , то

, .

С увеличением длины промежутка интегрирования точность простой формулы Симпсона в общем случае быстро падает.

Для повышения точности интегрирования применяют составную формулу Симпсона. Чтобы получить составную формулу Симпсона, разобьем отрезок на чётное число отрезков длины . Пусть , , . Применим простую формулу Симпсона к каждому из отрезков длины . После суммирования интегралов по всем отрезкам получаем составную формулу Симпсона

.

Алгебраический порядок точности формулы Симпсона равен трём. Это означает, что она точна для многочленов до третьей степени включительно. Оценка погрешности формулы Симпсона по остаточному  члену часто оказывается малоэффективной из-за трудностей оценки четвёртой производной  подынтегральной функции.

На практике применяют  правило Рунге. Для этого выбирают число кратное 2 и вычисляют приближённое значение интеграла по формуле Симпсона с шагом   (обозначим это приближённое значение ). Затем вычисляют приближённое значение интеграла по формуле Симпсона с шагом (обозначим его ).

За приближённое значение интеграла , вычисленное по формуле Симпсона с поправкой по Рунге, принимают

.

Погрешность этого результата приближённо оценивают величиной .

2) Метод Гаусса

Гауссом были построены квадратурные формулы наивысшего алгебраического порядка точности. В квадратурной формуле Гаусса

узлы и коэффициенты подобраны так, чтобы формула была точна для всех многочленов степени . Можно показать, что если – число узлов квадратурной формулы, то её алгебраический порядок точности не может быть выше . Для приближённого вычисления интеграла по конечному отрезку выполняем замену переменной ; тогда квадратурная формула Гаусса принимает вид

,

где ; – узлы квадратурной формулы Гаусса; – гауссовы коэффициенты; .

Можно показать, что узлы квадратурных формул Гаусса являются корнями многочленов Лежандра степени . Например, при для узлов получаем . При этом .  Таким образом, квадратурная формула Гаусса

имеет такой же алгебраический порядок точности, что и формула Симпсона, но требует вычисления подынтегральной функции только в двух точках.

Если подынтегральная функция достаточно гладкая, то квадратурная формула Гаусса обеспечивает очень высокую точность при небольшом числе узлов, так как для погрешности формула Гаусса с узлами справедлива оценка

.

Концы отрезка интегрирования никогда не входят в число узлов формул Гаусса. Поэтому формулы Гаусса удобны для вычисления несобственных интегралов от неограниченных функций, если особые точки подынтегральной функции лежат на концах отрезка интегрирования. Так, формулы Гаусса позволяют вычислить интеграл , в то время как формула Симпсона здесь неприменима. Блок-схема вычисления интеграла по формуле Гаусса с восемью узлами: , ; ,;; ; , .

Результаты:

1) Для метода Симпсона получены результаты для чисел разбиений:

Число разбиений

Значение интеграла

Погрешность

1

100

-0.520721

0,000181323

2

200

-0.521986

9,03818е-005

3

400

-0.522617

4.51212е-005

4

800

-0.522933

2.25432е-005

5

1600

-0.52309

1.12673е-005

6

3200

-0.523164

5.63255е-006

7

6400

-0.523209

2.816е-006

2) Вычисление по квадратурной формуле Гаусса дало значение интеграла:

-0.523248
Вывод:

Из полученных результатов видно, что значения метод Гаусса является более точным и требует меньших вычислительных затрат по сравнению с методом Симпсона, однако требует заранее вычисленных Гауссовых коэффициентов для заданного числа узлов.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24205. ИССЛЕДОВАНИЕ СЧЕТЧИКОВ 129.5 KB
  Триггер может служить примером простейшего счетчика. Каждый из триггеров такой цепочки называют разрядом счетчика. Нулевое состояние всех триггеров принимается за нулевое состояние счетчика в целом. Число входных импульсов и состояние счетчика взаимно определены только для первого цикла.
24206. Исследование устройств на операционных усилителях 614.5 KB
  Научиться измерять: входные токи напряжение смещения входное и выходное сопротивления время нарастания выходного напряжения операционных усилителей. ОУ в своём составе имеет входной каскад каскад сдвига уровня напряжения и выходной каскад. Каскад сдвига уровня напряжения выполнен по схеме эмиттерного повторителя и исключает из сигнала уровень постоянной составляющей. Входные токи проходят через внутреннее сопротивление источника входного сигнала и создают на нём падение напряжения.
24207. ИССЛЕДОВАНИЕ ФИЛЬТРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ 120.5 KB
  По частотным характеристикам различают четыре основных вида фильтров рис. Рис. Частотные характеристики идеальных сплошная кривая и реальных пунктирная фильтров нижних частот а верхних б полосового в и режекторного г Фильтры нижних частот ФНЧ пропускают колебания с частотами от нуля до некоторой верхней частоты в фильтры верхних частот ФВЧ колебания с частотой не ниже некоторой нижней частоты н.
24208. Исследование цифро-аналоговых и аналого-цифровых преобразователей 615 KB
  Опорное напряжение U0n 3 В подключается к резисторам матрицы переключателями D C B и A управляемым одноименными клавишами клавиатуры и имитирующими преобразуемый код. Выходное напряжение U0 измеряется мультиметром.1 то напряжение на входе и выходе ОУ равно 0 В.Тогда на вход ОУ через резистор R1 подается напряжение 3 B.
24209. ИССЛЕДОВАНИЕ ШИФРАТОРОВ И ДЕШИФРАТОРОВ 53.5 KB
  Поэтому часто дешифраторы называют дешифраторамидемультиплексорами и наоборот. Схема включения дешифратора 74154. 2 приведена схема включения дешифратора 74154 отечественный аналог К155ИДЗ. В режиме дешифратора с генератора слова на входы Gl G2 подается 0 а на адресные входы код в диапазоне 0000.
24210. ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИХ СУММАТОРОВ 79 KB
  Многоразрядный сумматор создается на базе одного полусумматора и п полных сумматоров. Схемы полусумматора а и полного сумматора б. Задание на подготовку к работе Изучить принцип работы полусумматора. Контрольные вопросы Изобразите схему полусумматора и объясните его работу Изобразите схему полного сумматора и объясните его работу Изобразите схему трехразрядного сумматора и объясните его работу Поясните смысл функции Si=A1 Bi Ci .
24211. Исследование Логических элементов 111 KB
  Выбор двоичной системы счисления диктовался требованиями простоты технической реализации самых сложных задач с использованием всего одного базового элемента ключа который имеет два состояния: включен замкнут или выключен разомкнут. В цифровой технике практические аналоги рассмотренных схем принято называть логическими элементами. Графические обозначения буферного логического элемента а элементов И ANDб ИЛИ OR в Исключающее ИЛИ XOR г и их инверсные варианты во втором ряду NOT NAND NOR XNOR соответственно.
24212. Исследование Мультиплексоров и демультиплексоров 40.5 KB
  У мультиплексора может быть например 16 входов и 1 выход. В силу этого мультиплексоры часто называют селекторами или селекторамимультиплексорами. 1 приведена схема двухканального мультиплексора состоящего из элементов ИЛИ НЕ и двух элементов И. Схема двухканального мультиплексора.
24213. Исследование оперативного запоминающего устройства 354.5 KB
  Матрица состоит из 16 ячеек памяти mem_i схема которой приведена на рис. Каждая ячейка памяти адресуется по входам XY путём выбора дешифраторами адресных линий по строкам Ах0Ах3 и по столбцам Ау0Ау3 см. При этом в выбранной ячейке памяти срабатывает двухвходовой элемент И U1 подготавливая цепи чтениязаписи информации на входных D10D13 или выходных DO0DO3 разрядных шинах. При записи в ячейку памяти см.