41615

Решение уравнения f(x)=0 методами простых итераций и Ньютона

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Если же то вычисления заканчивают и за приближённое значение корня принимают величину . Абсциссы вершин этой ломанной представляют собой последовательные приближения корня . Из рисунков видно что если на отрезке то последовательные приближения колеблются около корня если же производная положительна то последовательные приближения сходятся к корню монотонно. Если через точку с координатами провести касательную то абсцисса точки пересечения этой касательной с осью и есть очередное приближение корня уравнения .

Русский

2013-10-24

134.65 KB

10 чел.

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

Уфимский государственный авиационный технический университет

Лабораторная работа №3

по дисциплине «Численные методы»

На тему: «Решение уравнения f(x)=0 методами простых итераций и Ньютона»

Выполнил:

студент группы ПМ-335

Ямилев И.М.

Проверил:

Голичев И.И.

Уфа

2012

Отчёт по лабораторной работе № 3.

 

Задача:

1.Требуется найти корни уравнения

Требуется использовать:

  1.  метод простых итераций
  2.  метод Ньютона

Теория:

1) Метод простых итераций

Метод простых итераций (метод последовательных приближений) решения уравнения  состоит в замене исходного уравнения эквивалентным ему уравнением  и построении последовательности  , сходящейся при к точному решению. Сформулируем достаточные условия сходимости метода простых итераций.

 Теорема. Пусть функция определена и дифференцируема на , причём все её значения. Тогда, если существует число , такое, что на отрезке , то последовательность   сходится к единственному на решению уравнения при любом начальном значении , т.е.

, , ,

 При этом, если на отрезке производная положительна, то

,

если отрицательна, то

.

Опишем один шаг итераций. Исходя из найденного на предыдущем шаге значения , вычисляем . Если , полагают и выполняют очередную итерацию. Если же , то вычисления заканчивают и за приближённое значение корня принимают величину . Погрешность полученного результата зависит от знака производной: если , то корень найден с погрешностью , если , то погрешность не превышает .

Метод допускает простую геометрическую интерпретацию. Построим графики функций и . Корнем уравнения

является  абсцисса точки пересечения кривой с прямой (рис. 1). Взяв в качестве начальной произвольную точку , строим ломаную линию (рис.3 а, б). Абсциссы вершин этой ломанной представляют собой последовательные приближения корня . Из рисунков видно, что если на отрезке , то последовательные приближения   колеблются около корня , если же производная положительна, то последовательные приближения сходятся к корню монотонно.

При использовании метода простых итераций основным моментом является выбор функции в уравнении , эквивалентном исходному. Для метода итераций следует подбирать функцию так, чтобы . При этом следует помнить, что скорость сходимости последовательности к корню тем выше, чем меньше число .

2) Метод Ньютона

Если известно хорошее начальное приближение решения уравнения , то эффективным методом повышения точности является метод Ньютона (метод касательных). Метод состоит в построении итерационной последовательности , сходящейся к корню уравнения . Сформулируем достаточные условия сходимости метода.

 Теорема. Пусть определена и дважды дифференцируема на , причём , а производные , сохраняют знак на отрезке . Тогда, исходя из начального приближения , удовлетворяющего неравенству , можно построить последовательность

,

сходящуюся к единственному на решению уравнения .

Метод Ньютона допускает простую геометрическую интерпретацию. Если через точку с координатами провести касательную, то абсцисса точки пересечения этой касательной с осью и есть очередное приближение корня уравнения .

Для оценки погрешности приближения корня можно воспользоваться неравенством

,

где – наибольшее значение модуля второй производной на отрезке ; – наименьшее значение модуля первой производной на отрезке . Таким образом, если , то . Последнее соотношение означает, что при хорошем начальном приближении корня после каждой итерации число верных десятичных знаков в очередном приближении удваивается, т.е. процесс сходится очень быстро. Значит, если необходимо найти корень с точностью , то итерационный процесс можно прекращать, когда

.

Опишем один шаг итераций. Если на -м шаге очередное приближение не удовлетворяет условию окончания процесса, то вычисляем величины , и следующее приближение корня . При выполнении условия

величину принимаем за приближённое значение корня , вычисленное с точностью .

Метод Ньютона эффективен, если известно хорошее начальное приближение для корня и в окрестности корня график функции имеет большую крутизну. В том случае процесс быстро сходится. Если же численное значение производной вблизи корня мало, то процесс вычисления корня может оказаться очень долгим.

Результаты:

По заданию необходимо найти корни функции

1) В точке  функция , а в точке  функция . В точке  функция , а в точке  функция . Таким образом, мы локализовали первый корень на промежутке [0.01; 0.2], а другой – на [0.8; 1.5].

Далее получаем функции  и :

Из приведенных выражений для  и  видно, что они удовлетворяют условиям теоремы. Для  на отрезке [0.01; 0.2] верна оценка:

Для  на отрезке [0.8; 1.5] верна оценка:

Для обоих методов выбираем точность .

За начальное приближение берется    

Для метода простых итераций получены результаты для 2 корней:

№ итерации

Приближенные значения корня

1

0.05352

2

0.03236

3

0.03009

4

0.02985

5

0.02983

№ итерации

Приближенные значения корня

1

0.98707

2

1.04824

3

1.06573

4

1.07055

5

1.07186

6

1.07222

7

1.07232

Посчитаем погрешности полученных результатов, приняв за  и  точные решения.

На промежутке [0.01; 0.2] , следовательно

На промежутке [0.8; 1.5]  , следовательно


2) Аналитически получаем, что на отрезках  [0.01; 0.2] и [0.8; 1.5] функция f удовлетворяет условиям сходимости Ньютона.

В точке  функция , а в точке   функция , следовательно, выполнено:

Производные  и  сохраняют знак на этом промежутке. Точка  удовлетворяет условию

и, следовательно, может быть взята в качестве начального приближения.

В точке  функция , а в точке   функция     , следовательно, выполнено:

Производные  и  сохраняют знак на этом промежутке. Точка  удовлетворяет условию

и, следовательно, может быть взята в качестве начального приближения.

Получаем значения минимумов и максимумов производных на этих отрезках:

Для метода Ньютона получены результаты:

№ итерации

Приближенные значения корня

1

0.02061

2

0.02811

3

0.02977

4

0.02982

№ итерации

Приближенные значения корня

1

1.09059

2

1.07241

3

1.07235


Вывод:

Из полученных результатов видно, что метод Ньютона нахождения нуля функции на заданном промежутке сходится быстрее метода простых итераций, однако требует дополнительные условия сходимости и аналитические расчеты и оценки.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80075. Моя родина (урок довкілля в 3 класі) 43 KB
  Сім’я, мов сонечко, зігріває дитину від народження і до кінця днів. Сім’я – це гніздечко любові і тепла для кожного з нас. У родині має панувати злагода і повага до близьких, менші повинні шанувати старших, особливо бабусь і дідусів.
80076. Н у що б, здавалося, слова… 62.5 KB
  Яка прекрасна українська мова Виплекана колоссям землею виспівана птахами звеличена письменниками. Мова Яка ти багатогранна ніжна чиста як промінчики сонця що яскравим сяйвом осипають землю добром радістю плодами Ти квітуєш пелюстками слів у морозних думах полину даєш поетові дужі крила...
80077. Складання розповіді з елементами опису калини 62 KB
  Вчити дітей складати і записувати розповідь з елементами опису за планом. Розвивати усне та писемне мовлення; уміння описувати рослину, зокрема, калину, використовуючи прикметники, порівняння, слова, вжиті в переносному значенні; пізнавальну діяльність, творчі здібності.
80078. Раз добром налите серце – вік не прохолоне А. Дімаров «Для чого людині серце» 60.5 KB
  Мета: удосконалювати навички правильного свідомого виразного читання читання за особами; учити самостійно визначати головну думку твору; формувати вміння прогнозувати розвиток подій у казці аналізувати порівнювати доводити свою думку; розвивати творчу уяву усне звязне мовлення...
80079. Вічне і живе Шевченкове слово 48.5 KB
  Збагатити знання учнів про життя і творчість Тараса Григоровича Шевченка. Шевченка ілюстрації малюнки запис пісень на вірші Шевченка виставка творів поета для дітей Кобзар карта України. рушник з портретом Шевченка Хід уроку Організація класу до уроку Емоційне налаштування на урок...
80080. Квітами барвистими луг цвіте 61 KB
  Мета: Вдосконалювати вміння правильно, виразно читати, за допомогою інтерактивних методів навчання; Формувати елементарні аналітико-синтетичні вміння у роботі над текстом; Розвивати усне мовлення першокласників; Виховувати дбайливе ставлення до рослин, бажання доглядати й оберігати їх.
80081. Множення чисел, що закінчуються нулями. Водойми України (Математика Я і Україна. Природознавство) 57 KB
  Мета уроку. Показати можливі форми запису при множенні чисел, які закінчуються нулями. Удосконалювати обчислювальні навички. Розвивати логічне мислення. Сформувати уявлення про водойми, дати поняття про джерело, річку, озеро, болото, море; навчити дітей їх розрізняти.
80082. Сложение и вычитание вида 430+50, 200+640, 20+640, 760-400, 760-40 57.5 KB
  Цели. Формировать умения применять общие правила сложения и вычитания круглых трёхзначных чисел; развивать умения решать составные задачи, развивать логическое мышление. внимательность, память, вычислительные и графические навыки, расширять кругозор о животных, о гороскопе; прививать интерес...
80083. Урок позакласного читання в 4 класі за історичною повістю Марка Вовчка «Кармелюк» 42.5 KB
  Мета уроку: прищеплювати любов до читання, цікавість до історичного минулого України; виховувати почуття національної гідності, повагу до історичного минулого України; вдосконалювати навички правильного, свідомого, виразного читання і самостійного читання мовчки; розвивати мислення...