41615

Решение уравнения f(x)=0 методами простых итераций и Ньютона

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Если же то вычисления заканчивают и за приближённое значение корня принимают величину . Абсциссы вершин этой ломанной представляют собой последовательные приближения корня . Из рисунков видно что если на отрезке то последовательные приближения колеблются около корня если же производная положительна то последовательные приближения сходятся к корню монотонно. Если через точку с координатами провести касательную то абсцисса точки пересечения этой касательной с осью и есть очередное приближение корня уравнения .

Русский

2013-10-24

134.65 KB

10 чел.

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

Уфимский государственный авиационный технический университет

Лабораторная работа №3

по дисциплине «Численные методы»

На тему: «Решение уравнения f(x)=0 методами простых итераций и Ньютона»

Выполнил:

студент группы ПМ-335

Ямилев И.М.

Проверил:

Голичев И.И.

Уфа

2012

Отчёт по лабораторной работе № 3.

 

Задача:

1.Требуется найти корни уравнения

Требуется использовать:

  1.  метод простых итераций
  2.  метод Ньютона

Теория:

1) Метод простых итераций

Метод простых итераций (метод последовательных приближений) решения уравнения  состоит в замене исходного уравнения эквивалентным ему уравнением  и построении последовательности  , сходящейся при к точному решению. Сформулируем достаточные условия сходимости метода простых итераций.

 Теорема. Пусть функция определена и дифференцируема на , причём все её значения. Тогда, если существует число , такое, что на отрезке , то последовательность   сходится к единственному на решению уравнения при любом начальном значении , т.е.

, , ,

 При этом, если на отрезке производная положительна, то

,

если отрицательна, то

.

Опишем один шаг итераций. Исходя из найденного на предыдущем шаге значения , вычисляем . Если , полагают и выполняют очередную итерацию. Если же , то вычисления заканчивают и за приближённое значение корня принимают величину . Погрешность полученного результата зависит от знака производной: если , то корень найден с погрешностью , если , то погрешность не превышает .

Метод допускает простую геометрическую интерпретацию. Построим графики функций и . Корнем уравнения

является  абсцисса точки пересечения кривой с прямой (рис. 1). Взяв в качестве начальной произвольную точку , строим ломаную линию (рис.3 а, б). Абсциссы вершин этой ломанной представляют собой последовательные приближения корня . Из рисунков видно, что если на отрезке , то последовательные приближения   колеблются около корня , если же производная положительна, то последовательные приближения сходятся к корню монотонно.

При использовании метода простых итераций основным моментом является выбор функции в уравнении , эквивалентном исходному. Для метода итераций следует подбирать функцию так, чтобы . При этом следует помнить, что скорость сходимости последовательности к корню тем выше, чем меньше число .

2) Метод Ньютона

Если известно хорошее начальное приближение решения уравнения , то эффективным методом повышения точности является метод Ньютона (метод касательных). Метод состоит в построении итерационной последовательности , сходящейся к корню уравнения . Сформулируем достаточные условия сходимости метода.

 Теорема. Пусть определена и дважды дифференцируема на , причём , а производные , сохраняют знак на отрезке . Тогда, исходя из начального приближения , удовлетворяющего неравенству , можно построить последовательность

,

сходящуюся к единственному на решению уравнения .

Метод Ньютона допускает простую геометрическую интерпретацию. Если через точку с координатами провести касательную, то абсцисса точки пересечения этой касательной с осью и есть очередное приближение корня уравнения .

Для оценки погрешности приближения корня можно воспользоваться неравенством

,

где – наибольшее значение модуля второй производной на отрезке ; – наименьшее значение модуля первой производной на отрезке . Таким образом, если , то . Последнее соотношение означает, что при хорошем начальном приближении корня после каждой итерации число верных десятичных знаков в очередном приближении удваивается, т.е. процесс сходится очень быстро. Значит, если необходимо найти корень с точностью , то итерационный процесс можно прекращать, когда

.

Опишем один шаг итераций. Если на -м шаге очередное приближение не удовлетворяет условию окончания процесса, то вычисляем величины , и следующее приближение корня . При выполнении условия

величину принимаем за приближённое значение корня , вычисленное с точностью .

Метод Ньютона эффективен, если известно хорошее начальное приближение для корня и в окрестности корня график функции имеет большую крутизну. В том случае процесс быстро сходится. Если же численное значение производной вблизи корня мало, то процесс вычисления корня может оказаться очень долгим.

Результаты:

По заданию необходимо найти корни функции

1) В точке  функция , а в точке  функция . В точке  функция , а в точке  функция . Таким образом, мы локализовали первый корень на промежутке [0.01; 0.2], а другой – на [0.8; 1.5].

Далее получаем функции  и :

Из приведенных выражений для  и  видно, что они удовлетворяют условиям теоремы. Для  на отрезке [0.01; 0.2] верна оценка:

Для  на отрезке [0.8; 1.5] верна оценка:

Для обоих методов выбираем точность .

За начальное приближение берется    

Для метода простых итераций получены результаты для 2 корней:

№ итерации

Приближенные значения корня

1

0.05352

2

0.03236

3

0.03009

4

0.02985

5

0.02983

№ итерации

Приближенные значения корня

1

0.98707

2

1.04824

3

1.06573

4

1.07055

5

1.07186

6

1.07222

7

1.07232

Посчитаем погрешности полученных результатов, приняв за  и  точные решения.

На промежутке [0.01; 0.2] , следовательно

На промежутке [0.8; 1.5]  , следовательно


2) Аналитически получаем, что на отрезках  [0.01; 0.2] и [0.8; 1.5] функция f удовлетворяет условиям сходимости Ньютона.

В точке  функция , а в точке   функция , следовательно, выполнено:

Производные  и  сохраняют знак на этом промежутке. Точка  удовлетворяет условию

и, следовательно, может быть взята в качестве начального приближения.

В точке  функция , а в точке   функция     , следовательно, выполнено:

Производные  и  сохраняют знак на этом промежутке. Точка  удовлетворяет условию

и, следовательно, может быть взята в качестве начального приближения.

Получаем значения минимумов и максимумов производных на этих отрезках:

Для метода Ньютона получены результаты:

№ итерации

Приближенные значения корня

1

0.02061

2

0.02811

3

0.02977

4

0.02982

№ итерации

Приближенные значения корня

1

1.09059

2

1.07241

3

1.07235


Вывод:

Из полученных результатов видно, что метод Ньютона нахождения нуля функции на заданном промежутке сходится быстрее метода простых итераций, однако требует дополнительные условия сходимости и аналитические расчеты и оценки.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

48194. Мікроекономіка 22.13 MB
  Цей опорний конспект лекцій створено з метою надання допомоги студентам в процесі вивчення дисципліни. Інформація в опорному конспекті лекцій розташована в порядку викладання тем дисципліни у відповідності з навчальною програмою
48195. Соціальна профілактика як аспект соціальної політики держави 403 KB
  Соціальна профілактика як аспект соціальної політики держави Сутність соціальної профілактики. Предмет обєкти та субєкти чинники соціальної профілактики. Рівні профілактики. Нормативноправова база держави в напрямку профілактики негативних явищ у дитячому та молодіжному середовищі.
48196. СОЦІАЛЬНЕ СТРАХУВАННЯ. КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ 1.47 MB
  050104 ФІНАНСИ усіх форм навчання та слухачів ЦПО Суми Видавництво СумДУ 2009 МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ СУМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ СОЦІАЛЬНЕ СТРАХУВАННЯ КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ для студентів напряму підготовки 0501 спеціальності 7.050104 ФІНАНСИ усіх форм навчання та слухачів ЦПО Затверджено на засіданні кафедри фінансів як конспект лекцій з дисципліни âСоціальне страхуванняâ. Суми Видавництво СумДУ 2009 Соціальне страхування: Конспект лекцій Укладачі: П.
48197. СОЦІОЛОГІЯ. КУРС ЛЕКЦІЙ 4.91 MB
  Цей курс лекцій належить до нової генерації підручників, за допомогою яких здійснюється перехід до нових, інтерактивних методів викладання та діалогової форми навчання. Він містить три теоретичні розділи, а також окремий розділ, присвячений розробці програми і технологій конкретно-соціологічних досліджень. Подаються рекомендації щодо ефективної організації навчального процесу, поточного контролю знань студентів із застосуванням тестової системи
48198. Соціологія. Конспект лекцій 665.5 KB
  Значення дисципліни в підготовці фахівця зумовлено тим, що вона забезпечує формування й розвиток у студентів наукових поглядів, переконань, знань в галузі суспільних відносин, основних сферах життєдіяльності людини, взаємовідносин між різними соціальними спільнотами та групами. Ці знання необхідні випускникам університету для аналізу соціальних процесів, що відбуваються в сучасному суспільстві, зокрема, в Україні
48199. Современная зарубежная журналистика (лекции) 822 KB
  Это был отказ от той структуры вершину которой венчала центральная газета страны Правда за ней следовала другая периодика рангом пониже. Первая современная ежедневная газета появилась в Японии в 1870 году. В настоящее время в стране издается 121 ежедневная газета.
48200. СПЕЦИАЛЬНАЯ ПСИХОЛОГИЯ И ПЕДАГОГИКА КАК НАУКА 245.5 KB
  В основе отклонений в развитии ребенка лежат в одних случаях органические или грубые функциональные нарушения центральной нервной системы в других периферические поражения отдельного или нескольких анализаторов; значимыми являются также резко неблагоприятные условия жизни ребенка в раннем периоде. Если слепой или глухой ребенок достигает в развитии того же что и нормальный то дети с дефектом достигают этого иным способом на ином пути иными средствами и для педагога особенно важно знать своеобразие пути по которому он...
48201. Реактори хімічної промисловості 143 KB
  Тому на відміну від швидкості хімічної реакції користуються поняттям загальної спільної швидкості процесу. Хімічна кінетика вчення про швидкості хімічної реакції. Під кінетикою реакції розуміють залежність швидкості даної реакції від концентрацій температури тиску. Термодинаміка дає уявлення про можливість здійснення а також про напрям розвитку як самої хімічної реакції так і окремих її етапів.
48202. Статистика. Курс лекцій 1.19 MB
  Серед цих причин є основні загальні для всіх подій масового процесу і другорядні індивідуальні для кожного елементу сукупності але випадкові для маси. Наприклад під час вивчення кваліфікаційного рівня робітників підприємства елементом сукупності є окремий робітник при цьому обсяг сукупності визначається межами підприємства чисельністю його робітників. Елемент сукупності робітник є носієм ознаки кваліфікаційного рівня. Сукупності можуть бути як однорідними так і різнорідними.