41615

Решение уравнения f(x)=0 методами простых итераций и Ньютона

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Если же то вычисления заканчивают и за приближённое значение корня принимают величину . Абсциссы вершин этой ломанной представляют собой последовательные приближения корня . Из рисунков видно что если на отрезке то последовательные приближения колеблются около корня если же производная положительна то последовательные приближения сходятся к корню монотонно. Если через точку с координатами провести касательную то абсцисса точки пересечения этой касательной с осью и есть очередное приближение корня уравнения .

Русский

2013-10-24

134.65 KB

10 чел.

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

Уфимский государственный авиационный технический университет

Лабораторная работа №3

по дисциплине «Численные методы»

На тему: «Решение уравнения f(x)=0 методами простых итераций и Ньютона»

Выполнил:

студент группы ПМ-335

Ямилев И.М.

Проверил:

Голичев И.И.

Уфа

2012

Отчёт по лабораторной работе № 3.

 

Задача:

1.Требуется найти корни уравнения

Требуется использовать:

  1.  метод простых итераций
  2.  метод Ньютона

Теория:

1) Метод простых итераций

Метод простых итераций (метод последовательных приближений) решения уравнения  состоит в замене исходного уравнения эквивалентным ему уравнением  и построении последовательности  , сходящейся при к точному решению. Сформулируем достаточные условия сходимости метода простых итераций.

 Теорема. Пусть функция определена и дифференцируема на , причём все её значения. Тогда, если существует число , такое, что на отрезке , то последовательность   сходится к единственному на решению уравнения при любом начальном значении , т.е.

, , ,

 При этом, если на отрезке производная положительна, то

,

если отрицательна, то

.

Опишем один шаг итераций. Исходя из найденного на предыдущем шаге значения , вычисляем . Если , полагают и выполняют очередную итерацию. Если же , то вычисления заканчивают и за приближённое значение корня принимают величину . Погрешность полученного результата зависит от знака производной: если , то корень найден с погрешностью , если , то погрешность не превышает .

Метод допускает простую геометрическую интерпретацию. Построим графики функций и . Корнем уравнения

является  абсцисса точки пересечения кривой с прямой (рис. 1). Взяв в качестве начальной произвольную точку , строим ломаную линию (рис.3 а, б). Абсциссы вершин этой ломанной представляют собой последовательные приближения корня . Из рисунков видно, что если на отрезке , то последовательные приближения   колеблются около корня , если же производная положительна, то последовательные приближения сходятся к корню монотонно.

При использовании метода простых итераций основным моментом является выбор функции в уравнении , эквивалентном исходному. Для метода итераций следует подбирать функцию так, чтобы . При этом следует помнить, что скорость сходимости последовательности к корню тем выше, чем меньше число .

2) Метод Ньютона

Если известно хорошее начальное приближение решения уравнения , то эффективным методом повышения точности является метод Ньютона (метод касательных). Метод состоит в построении итерационной последовательности , сходящейся к корню уравнения . Сформулируем достаточные условия сходимости метода.

 Теорема. Пусть определена и дважды дифференцируема на , причём , а производные , сохраняют знак на отрезке . Тогда, исходя из начального приближения , удовлетворяющего неравенству , можно построить последовательность

,

сходящуюся к единственному на решению уравнения .

Метод Ньютона допускает простую геометрическую интерпретацию. Если через точку с координатами провести касательную, то абсцисса точки пересечения этой касательной с осью и есть очередное приближение корня уравнения .

Для оценки погрешности приближения корня можно воспользоваться неравенством

,

где – наибольшее значение модуля второй производной на отрезке ; – наименьшее значение модуля первой производной на отрезке . Таким образом, если , то . Последнее соотношение означает, что при хорошем начальном приближении корня после каждой итерации число верных десятичных знаков в очередном приближении удваивается, т.е. процесс сходится очень быстро. Значит, если необходимо найти корень с точностью , то итерационный процесс можно прекращать, когда

.

Опишем один шаг итераций. Если на -м шаге очередное приближение не удовлетворяет условию окончания процесса, то вычисляем величины , и следующее приближение корня . При выполнении условия

величину принимаем за приближённое значение корня , вычисленное с точностью .

Метод Ньютона эффективен, если известно хорошее начальное приближение для корня и в окрестности корня график функции имеет большую крутизну. В том случае процесс быстро сходится. Если же численное значение производной вблизи корня мало, то процесс вычисления корня может оказаться очень долгим.

Результаты:

По заданию необходимо найти корни функции

1) В точке  функция , а в точке  функция . В точке  функция , а в точке  функция . Таким образом, мы локализовали первый корень на промежутке [0.01; 0.2], а другой – на [0.8; 1.5].

Далее получаем функции  и :

Из приведенных выражений для  и  видно, что они удовлетворяют условиям теоремы. Для  на отрезке [0.01; 0.2] верна оценка:

Для  на отрезке [0.8; 1.5] верна оценка:

Для обоих методов выбираем точность .

За начальное приближение берется    

Для метода простых итераций получены результаты для 2 корней:

№ итерации

Приближенные значения корня

1

0.05352

2

0.03236

3

0.03009

4

0.02985

5

0.02983

№ итерации

Приближенные значения корня

1

0.98707

2

1.04824

3

1.06573

4

1.07055

5

1.07186

6

1.07222

7

1.07232

Посчитаем погрешности полученных результатов, приняв за  и  точные решения.

На промежутке [0.01; 0.2] , следовательно

На промежутке [0.8; 1.5]  , следовательно


2) Аналитически получаем, что на отрезках  [0.01; 0.2] и [0.8; 1.5] функция f удовлетворяет условиям сходимости Ньютона.

В точке  функция , а в точке   функция , следовательно, выполнено:

Производные  и  сохраняют знак на этом промежутке. Точка  удовлетворяет условию

и, следовательно, может быть взята в качестве начального приближения.

В точке  функция , а в точке   функция     , следовательно, выполнено:

Производные  и  сохраняют знак на этом промежутке. Точка  удовлетворяет условию

и, следовательно, может быть взята в качестве начального приближения.

Получаем значения минимумов и максимумов производных на этих отрезках:

Для метода Ньютона получены результаты:

№ итерации

Приближенные значения корня

1

0.02061

2

0.02811

3

0.02977

4

0.02982

№ итерации

Приближенные значения корня

1

1.09059

2

1.07241

3

1.07235


Вывод:

Из полученных результатов видно, что метод Ньютона нахождения нуля функции на заданном промежутке сходится быстрее метода простых итераций, однако требует дополнительные условия сходимости и аналитические расчеты и оценки.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

77627. Методы стабилизации коэффициента усиления оптических усилителей 2.25 MB
  Объектом разработки данной дипломной работы являются оптические усилители предназначение для усиления сигнала в составе волоконно-оптических линия связи их характеристики и методы их оптимального функционирования.
77628. Анализ коммерческих расходов в ООО «Квитэк» 182.86 KB
  Тема дипломной работы – учет и анализ коммерческих расходов - выбрана не случайно. Ее актуальность обусловлена тем, что издержки обращения являются одним из обобщающих показателей интенсификации и эффективности потребления ресурсов.
77629. Ценовая политика предприятия «Котлас - Мебель» 744.5 KB
  Актуальность выбранной темы «Ценовая политика организации» объясняется важностью ценовой политики в деятельности предприятия. Одним из наиболее быстрых и экономически эффективных методов увеличения нормы прибыли является совершенствование механизма ценообразования.
77631. Выявление актуальных проблем и предложение рекомендаций по совершенствованию организации государственного заказа в органе исполнительной власти Омской области 108.36 KB
  Поставленная цель предполагает решение ряда задач: раскрыть сущность государственного заказа и принципы на которых он основывается; охарактеризовать нормативно-правовое обеспечение в сфере размещения государственных заказов...
77632. ОСОБЕННОСТИ НАЛОГООБЛОЖЕНИЯ РОССИЙСКОГО МАЛОГО ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА 149.63 KB
  В настоящее время большинство малых предприятий затрудняются в выборе налогового режима, либо необоснованно его выбирают, что влечет за собой ошибки в бухгалтерском и налоговом учете, поэтому перед учредителями малых предприятий...
77633. Соотношение политики и морали. Сократ, Аристотель, Эпикур, Макиавелли, Кант, Ильин 135 KB
  Мораль находит выражение в поступках человека по отношению к обществу, властным структурам, коллективу, семье и т.д. Ценности морали меняются с течением времени и различны у разных народов и слоев населения.
77634. Проблема соотношения биологического и социального в развитии психики человека 85.5 KB
  Интереснее чем сам человек ничего в мире нет. Что зависит от человека а что дано ему от рождения Что можно развить исправить чему можно научить И можно ли это сделать Где лежит граница и есть ли она Эти вопросы занимали умы ученых с давних времен.