41615

Решение уравнения f(x)=0 методами простых итераций и Ньютона

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Если же то вычисления заканчивают и за приближённое значение корня принимают величину . Абсциссы вершин этой ломанной представляют собой последовательные приближения корня . Из рисунков видно что если на отрезке то последовательные приближения колеблются около корня если же производная положительна то последовательные приближения сходятся к корню монотонно. Если через точку с координатами провести касательную то абсцисса точки пересечения этой касательной с осью и есть очередное приближение корня уравнения .

Русский

2013-10-24

134.65 KB

10 чел.

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

Уфимский государственный авиационный технический университет

Лабораторная работа №3

по дисциплине «Численные методы»

На тему: «Решение уравнения f(x)=0 методами простых итераций и Ньютона»

Выполнил:

студент группы ПМ-335

Ямилев И.М.

Проверил:

Голичев И.И.

Уфа

2012

Отчёт по лабораторной работе № 3.

 

Задача:

1.Требуется найти корни уравнения

Требуется использовать:

  1.  метод простых итераций
  2.  метод Ньютона

Теория:

1) Метод простых итераций

Метод простых итераций (метод последовательных приближений) решения уравнения  состоит в замене исходного уравнения эквивалентным ему уравнением  и построении последовательности  , сходящейся при к точному решению. Сформулируем достаточные условия сходимости метода простых итераций.

 Теорема. Пусть функция определена и дифференцируема на , причём все её значения. Тогда, если существует число , такое, что на отрезке , то последовательность   сходится к единственному на решению уравнения при любом начальном значении , т.е.

, , ,

 При этом, если на отрезке производная положительна, то

,

если отрицательна, то

.

Опишем один шаг итераций. Исходя из найденного на предыдущем шаге значения , вычисляем . Если , полагают и выполняют очередную итерацию. Если же , то вычисления заканчивают и за приближённое значение корня принимают величину . Погрешность полученного результата зависит от знака производной: если , то корень найден с погрешностью , если , то погрешность не превышает .

Метод допускает простую геометрическую интерпретацию. Построим графики функций и . Корнем уравнения

является  абсцисса точки пересечения кривой с прямой (рис. 1). Взяв в качестве начальной произвольную точку , строим ломаную линию (рис.3 а, б). Абсциссы вершин этой ломанной представляют собой последовательные приближения корня . Из рисунков видно, что если на отрезке , то последовательные приближения   колеблются около корня , если же производная положительна, то последовательные приближения сходятся к корню монотонно.

При использовании метода простых итераций основным моментом является выбор функции в уравнении , эквивалентном исходному. Для метода итераций следует подбирать функцию так, чтобы . При этом следует помнить, что скорость сходимости последовательности к корню тем выше, чем меньше число .

2) Метод Ньютона

Если известно хорошее начальное приближение решения уравнения , то эффективным методом повышения точности является метод Ньютона (метод касательных). Метод состоит в построении итерационной последовательности , сходящейся к корню уравнения . Сформулируем достаточные условия сходимости метода.

 Теорема. Пусть определена и дважды дифференцируема на , причём , а производные , сохраняют знак на отрезке . Тогда, исходя из начального приближения , удовлетворяющего неравенству , можно построить последовательность

,

сходящуюся к единственному на решению уравнения .

Метод Ньютона допускает простую геометрическую интерпретацию. Если через точку с координатами провести касательную, то абсцисса точки пересечения этой касательной с осью и есть очередное приближение корня уравнения .

Для оценки погрешности приближения корня можно воспользоваться неравенством

,

где – наибольшее значение модуля второй производной на отрезке ; – наименьшее значение модуля первой производной на отрезке . Таким образом, если , то . Последнее соотношение означает, что при хорошем начальном приближении корня после каждой итерации число верных десятичных знаков в очередном приближении удваивается, т.е. процесс сходится очень быстро. Значит, если необходимо найти корень с точностью , то итерационный процесс можно прекращать, когда

.

Опишем один шаг итераций. Если на -м шаге очередное приближение не удовлетворяет условию окончания процесса, то вычисляем величины , и следующее приближение корня . При выполнении условия

величину принимаем за приближённое значение корня , вычисленное с точностью .

Метод Ньютона эффективен, если известно хорошее начальное приближение для корня и в окрестности корня график функции имеет большую крутизну. В том случае процесс быстро сходится. Если же численное значение производной вблизи корня мало, то процесс вычисления корня может оказаться очень долгим.

Результаты:

По заданию необходимо найти корни функции

1) В точке  функция , а в точке  функция . В точке  функция , а в точке  функция . Таким образом, мы локализовали первый корень на промежутке [0.01; 0.2], а другой – на [0.8; 1.5].

Далее получаем функции  и :

Из приведенных выражений для  и  видно, что они удовлетворяют условиям теоремы. Для  на отрезке [0.01; 0.2] верна оценка:

Для  на отрезке [0.8; 1.5] верна оценка:

Для обоих методов выбираем точность .

За начальное приближение берется    

Для метода простых итераций получены результаты для 2 корней:

№ итерации

Приближенные значения корня

1

0.05352

2

0.03236

3

0.03009

4

0.02985

5

0.02983

№ итерации

Приближенные значения корня

1

0.98707

2

1.04824

3

1.06573

4

1.07055

5

1.07186

6

1.07222

7

1.07232

Посчитаем погрешности полученных результатов, приняв за  и  точные решения.

На промежутке [0.01; 0.2] , следовательно

На промежутке [0.8; 1.5]  , следовательно


2) Аналитически получаем, что на отрезках  [0.01; 0.2] и [0.8; 1.5] функция f удовлетворяет условиям сходимости Ньютона.

В точке  функция , а в точке   функция , следовательно, выполнено:

Производные  и  сохраняют знак на этом промежутке. Точка  удовлетворяет условию

и, следовательно, может быть взята в качестве начального приближения.

В точке  функция , а в точке   функция     , следовательно, выполнено:

Производные  и  сохраняют знак на этом промежутке. Точка  удовлетворяет условию

и, следовательно, может быть взята в качестве начального приближения.

Получаем значения минимумов и максимумов производных на этих отрезках:

Для метода Ньютона получены результаты:

№ итерации

Приближенные значения корня

1

0.02061

2

0.02811

3

0.02977

4

0.02982

№ итерации

Приближенные значения корня

1

1.09059

2

1.07241

3

1.07235


Вывод:

Из полученных результатов видно, что метод Ньютона нахождения нуля функции на заданном промежутке сходится быстрее метода простых итераций, однако требует дополнительные условия сходимости и аналитические расчеты и оценки.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76926. Преломляющие среды глазного яблока: роговица, жидкость камер глаза, хрусталик, стекловидное тело 181.53 KB
  Стекловидное тело находится в стекловидной камере. Объем его у взрослого - 4 мл. По составу - это гелеобразная среда с наличием в остове особых белков: витрозина и муцина, с которыми связана гиалуроновая кислота, что обеспечивает вязкость и упругость тела
76927. Сосудистая оболочка глаза, ее части. Механизм аккомодации 180.92 KB
  Ресничное тело средний отдел сосудистой оболочки расположен в виде кругового валика соответственно месту перехода роговицы в склеру сзади от радужки с которой срастается наружным ресничным краем. В центре радужка имеет зрачок ограниченный зрачковым краем сосудистой оболочки а противоположный ему край называется ресничным. В сосудистой оболочке находятся ресничные артерии: задние и передние; короткие и длинные. Из венозной сети сосудистой оболочки формируются вортикозные вены 46 проходящие через склеру и впадающие в...
76928. Сетчатая оболочка глаза. Проводящий путь зрительного анализатора 181.61 KB
  Внутренняя или сетчатая оболочка глаза плотно срастается с сосудистой по всей площади соприкосновения. Центральная ямка макулы сосредотачивает только колбочковые нейросенсорные клетки и в нее ldquo;упираетсяrdquo; оптическая ось глаза. Проводящий зрительный путь Рецепторное поле это сетчатая оболочка глаза с палочко и колбочковидными клетками содержащими светочувствительный пигмент родопсин йодопсин.
76929. Вспомогательный аппарат глазного яблока 179.9 KB
  Чувствительная иннервация осуществляется за счет глазничной ветви тройничного нерва при помощи: длинных ресничных ветвей из носоресничного нерва и подглазничного нерва от второй ветви пятой пары. Иннервация мышц происходит из глазодвигательного нерва: прямые мышцы верхняя нижняя медиальная нижняя косая подниматель верхнего века. Из отводящего нерва снабжается прямая латеральная мышца; из блокового верхняя косая; из лицевого нерва круговая мышца глаза. Их топография строение кровоснабжение иннервация.
76930. Органы вкуса и обоняния 180.85 KB
  Во вкусовых почках передних 2 3 третей языка обнаружен сладко чувствительный белок а в задней части – горько чувствительный. Вкусовые вещества адсорбируются микроворсинками вкусовых сенсорных эпителиоцитов и в них сталкиваются с рецепторными белками клетки что изменяет проницаемость мембран вкусовых эпителиоцитов и генерирует импульс. На боковых поверхностях вкусовых клеток замыкаются: в области передних 2 3 языка терминали барабанной струны промежуточного нерва – VII черепной пары; на задней 1 3 языка и слизистой неба и глотки ...
76931. Анатомия кожи и ее производных. Молочная железа: топография, строение, кровоснабжение, иннервация 191.33 KB
  В нем залегают корни волос потовые и сальные железы лимфоидные узелки иммунной системы. В сумку открывается проток сальной железы. Потовые glndule sudorifere это простые трубчатые железы в количестве 225 млн. По строению и функции потовые железы делятся на мерокриновые и апокриновые.
76932. Классификация желез внутренней секреции 181.69 KB
  Щитовидная и паращитовидные железы принадлежащие этой группе имеют энтодермальное происхождение и развиваются из эпителия глоточной части первичной кишки из закладки между 1й и 2й висцеральными дугами. В процессе развития формируется щитоязычный проток из дистальных отделов которого возникают доли и перешеек щитовидной железы после чего проток редуцируется. Паращитовидные железы развиваются из эпителия 34 висцеральных жаберных карманов глоточной кишки.
76933. Бранхиогенные железы 180.89 KB
  Внутри железы находятся дольки лежащие между фиброзными перегородками трабекулами. Размеры железы: поперечный 3060 мм продольный 50 мм высота перешейка 515 мм; масса железы 2530 г. Паращитовидные железы гландула паратиреоидеа верхние и нижние овальные тельца длиной 48 мм шириной 34 мм толщиной 23 мм.
76934. Неврогенные железы внутренней секреции: гипофиз, мозговое вещество надпочечника, и шишковидная железа – их строение, топография, функция, развитие 186.73 KB
  Эта энтодермальная структура растет в сторону головного мозга и его третьего желудочка проходя через формирующийся интраклиновидный синхондроз и его канал в полость черепа. Над гипофизом в нижней части промежуточного мозга располагается гипоталамус в составе зрительного перекреста зрительных трактов серого бугра с воронкой сосцевидных тел. Эпифиз входит в состав эпиталамической области промежуточного мозга и связан со зрительными буграми поводками и их треугольниками спайками. Он располагается в широкой борозде между верхними холмиками...