41617

Приближённое решение задачи Коши методами Эйлера и Рунге-Кутта

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Решить на отрезке с шагом задачу Коши для системы второго порядка = Требуется использовать: метод Эйлера метод Рунге-Кутта Теория: 1 Метод Эйлера Пусть требуется найти приближённое решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальному условию. Чаще всего 1 Этот метод относится к группе одношаговых методов в которых для расчёта точки...

Русский

2013-10-24

97.24 KB

24 чел.

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

Уфимский государственный авиационный технический университет

Лабораторная работа №4

по дисциплине «Численные методы»

На тему: «Приближённое решение задачи Коши методами Эйлера

и Рунге-Кутта»

Выполнил:

студент группы ПМ-335

Ямилев И.М.

Проверил:

Голичев И.И.

Уфа

2012

Отчёт по лабораторной работе № 4.

 

Задача:

1. Решить на отрезке с шагом задачу Коши для системы второго порядка

=

Требуется использовать:

  1.  метод Эйлера
  2.  метод Рунге-Кутта

Теория:

1) Метод Эйлера

Пусть требуется найти приближённое решение дифференциального уравнения  , удовлетворяющее начальному условию . Численное решение задачи состоит в построении таблицы приближённых значений решения уравнения в точках . Чаще всего

                                                                                             (1)

Этот метод относится к группе одношаговых методов, в которых для расчёта точки требуется информация только о последней вычисленной точке . Метод допускает простую геометрическую интерпретацию (рис. 3). Предположим, что известна точка , определяется уравнением , а так как и , то . Для оценки погрешности метода на одном шаге сетки разложим точное решение в ряд Тейлора в окрестности узла :

                       .      (2)

Сравнение формулы (1) с разложением (2) показывает, что они согласуются до членов первого порядка по , а погрешность формулы (1) равна . Если расчётные формулы численного метода согласуются с порядком метода. Таким образом, метод Эйлера – метод первого порядка.

Метод Эйлера легко обобщается на случай нормальных систем дифференциальных уравнений. Пусть требуется найти решение системы дифференциальных уравнений

удовлетворяющее начальным условиям . Или в векторной форме:

, ,

.

Приближённые значения точного решения в точках вычисляются по формулам

,

,

2) Метод Рунге-Кутта

Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Численное решение задачи состоит в построении таблицы приближённых значений решения уравнения в точках . Точки – узлы сетки. Используем систему равноотстоящих узлов. Величина – шаг сетки .

Методом РунгеКутта в литературе обычно называют одношаговый метод четвёртого порядка, относящийся к широкому классу методов типа РунгеКутта. В этом методе величины вычисляют по следующим формулам:

                                                           (1)

Погрешность метода на одном шаге сетки равна , но поскольку на практике оценить величину обычно трудно, при оценке погрешности используют правило Рунге. Для этого проводят вычисления сначала с шагом , а затем – с шагом , то справедлива оценка

.

При реализации метода на ЭВМ обычно на каждом шаге делают двойной пересчёт. Если полученные значения отличаются в пределах допустимой погрешности, то шаг удваивают. В противном случае берут половинный шаг.

Метод РунгеКутта легко переносится на нормальные системы дифференциальных уравнений вида

 ,

которые для краткости удобно записывать в векторной форме:

.

Для получения расчётных формул методом Рунге-Кутта достаточно в формулах (1) заменить и , коэффициенты – на .


Результаты:

По заданию необходимо решить на отрезке с шагом задачу Коши для системы второго порядка

=

1) Для метода Эйлера получены следующие приближенные значения в точках:

x

y1

y2

0.1

0.033

0.329934

0.2

0.065993

0.326502

0.3

0.098644

0.319707

0.4

0.130614

0.309587

0.5

0.161573

0.296216

0.6

0.191195

0.279703

0.7

0.219165

0.260192

0.8

0.245184

0.237859

0.9

0.26897

0.212913

1.0

0.290261

0.18559

1.1

0.30882

0.156155

1.2

0.324436

0.124899

1.3

0.336925

0.09213

1.4

0.346139

0.05818

1.5

0.351956

0.233913

1.6

0.354296

-0.011879

1.7

0.353108

-0.047268

1.8

0.348381

-0.082409

1.9

0.34014

-0.116934

2.0

0.328447

-0.15048

2.1

0.313399

-0.182693

2.2

0.295129

-0.213229

2.3

0.273806

-0.241761

2.4

0.24963

-0.267981

2.5

0.222832

-0.291604

2.6

0.193672

-0.312371

2.7

0.162435

-0.330051

2.8

0.12943

-0.344447

2.9

0.094985

-0.355392

3.0

0.059446

-0.362758


2) Для метода Рунге-Кутта получены следующие приближенные значения в точках:

с шагом итераций h:

Номер итерации

x

y1

y2

1

0.1

0.0329439

0.328318

2

0.2

0.0655521

0.323292

3

0.3

0.0974924

0.314973

4

0.4

0.12844

0.30345

5

0.5

0.15808

0.288846

6

0.6

0.186111

0.271314

7

0.7

0.212251

0.251039

8

0.8

0.236235

0.228236

9

0.9

0.257822

0.203146

10

1

0.276796

0.176033

11

1.1

0.29297

0.147181

12

1.2

0.306185

0.116895

13

1.3

0.316312

0.085491

14

1.4

0.323257

0.0532988

15

1.5

0.326957

0.0206542

16

1.6

0.327384

-0.0121028

17

1.7

0.324544

-0.044632

18

1.8

0.318476

-0.0765968

19

1.9

0.309254

-0.107667

20

2

0.296983

-0.137525

21

2.1

0.2818

-0.165865

22

2.2

0.26387

-0.192399

23

2.3

0.243389

-0.21686

24

2.4

0.220576

-0.239004

25

2.5

0.195673

-0.258613

26

2.6

0.168944

-0.275494

27

2.7

0.14067

-0.289488

28

2.8

0.111147

-0.300464

29

2.9

0.0806816

-0.308325

30

3

0.0495883

-0.313008

с шагом итераций h/2:

Номер итерации

x

y1

y2

1

0.05

0.016493

0.329579

2

0.1

0.0329439

0.328318

3

0.15

0.0493109

0.326221

4

0.2

0.0655521

0.323292

5

0.25

0.0816263

0.319539

6

0.3

0.0974925

0.314973

7

0.35

0.11311

0.309605

8

0.4

0.12844

0.30345

9

0.45

0.143442

0.296524

10

0.5

0.15808

0.288846

11

0.55

0.172315

0.280435

12

0.6

0.186111

0.271313

13

0.65

0.199435

0.261506

14

0.7

0.212251

0.251039

15

0.75

0.224528

0.239939

16

0.8

0.236235

0.228236

17

0.85

0.247342

0.215961

18

0.9

0.257822

0.203146

19

0.95

0.267648

0.189825

20

1

0.276797

0.176032

21

1.05

0.285244

0.161805

22

1.1

0.292971

0.147181

23

1.15

0.299956

0.132197

24

1.2

0.306185

0.116894

25

1.25

0.311641

0.101312

26

1.3

0.316312

0.0854907

27

1.35

0.320187

0.0694722

28

1.4

0.323257

0.0532984

29

1.45

0.325515

0.0370114

30

1.5

0.326957

0.0206538

31

1.55

0.32758

0.00426801

32

1.6

0.327384

-0.0121032

33

1.65

0.32637

-0.0284175

34

1.7

0.324544

-0.0446325

35

1.75

0.32191

-0.0607062

36

1.8

0.318476

-0.0765972

37

1.85

0.314254

-0.0922645

38

1.9

0.309254

-0.107668

39

1.95

0.303492

-0.122768

40

2

0.296983

-0.137526

41

2.05

0.289746

-0.151904

42

2.1

0.2818

-0.165865

43

2.15

0.273167

-0.179375

44

2.2

0.26387

-0.192399

45

2.25

0.253935

-0.204905

46

2.3

0.243389

-0.216861

47

2.35

0.232259

-0.228237

48

2.4

0.220575

-0.239005

49

2.45

0.208369

-0.249138

50

2.5

0.195672

-0.258613

51

2.55

0.182519

-0.267405

52

2.6

0.168944

-0.275494

53

2.65

0.154982

-0.282861

54

2.7

0.14067

-0.289488

55

2.75

0.126045

-0.29536

56

2.8

0.111147

-0.300464

57

2.85

0.0960121

-0.304789

58

2.9

0.0806809

-0.308325

59

2.95

0.0651928

-0.311067

60

3

0.0495876

-0.313008


Вывод:

Из полученных результатов видно, что метод Ньютона нахождения нуля функции на заданном промежутке сходится быстрее метода простых итераций, однако требует дополнительные условия сходимости и аналитические расчеты и оценки.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54061. Ліс. Дерева. Кущі. Ягоди. Розвиток зв’язного мовлення 40 KB
  Мета: Збагачувати словник дітей на основі знань, уявлень про довкілля. Учити перераховувати якості, властивості предметів, намагатись давати їм характеристику, формувати вміння найбільш точно застосовувати слова, що підходять до конкретної ситуації або опису.
54062. Пригоди веселих кошенят 44.5 KB
  Під музичний супровід діти разом із логопедом заходять до музичної зали. Логопед: Доброго ранку доброго дня Хай плещуть долоньки Хай тупають ніжки Хай ротик співає Та сяють усмішки. Піпіпі куди це я потрапила Логопед.
54063. Логопсихокорекція у роботі з дітьми з порушеннями мовлення 67.5 KB
  Ігри і вправи на розвиток емоційної сфери Казка-гра : Про рибака та рибку Логопед читає уривок з казки О. Гра із шишками напруження та розслаблення мязів рук. Гра з бджілкою напруження та розслаблення мязів ніг. Ведмедиця кличе золоту бджілку погратися з ведмежатами.
54064. Програма логопедичної роботи з дітьми старшого дошкільного віку із ЗНМ III-го рівня 65.5 KB
  Учити виділяти назви предметів дій ознак розуміти узагальнювальне значення слів. Учити дітей перетворювати дієслова наказового способу 2ї особи однини в дієслова дійсного способу 3ї особи однини і множинного числа теперішнього часу спи спить сплять спали спала. Учити дітей використовувати в самостійній мові присвійні займенники мій моя моє у поєднанні з іменниками чоловічого і жіночого роду деяких форм словозміни шляхом практичного оволодіння іменниками єдиного і множинного числа дієсловами єдиного і множинного числа...
54065. Конспект логопедичного заняття: «Хто де живе?» 45.5 KB
  Виховання доброзичливості бажання бути справедливим; Корекційно навчальна: Формувати у дітей навички зв’язного мовлення: учити складати розповідь за малюнком за запитанням оцінювати розповіді товаришів; управляти в уживанні іменників – назв приміщень певного призначення складати речення з прийменниками в по у біля поруч; учити давати відповідь на запитання використовуючи прислівники; Хід заняття 1 Організаційний момент Створення емоційного позитивного настрою на занятті Хто де живе Логопед кидає дітям м’яч і починає...
54066. Конспект логопедичного заняття: Зелене царство 82 KB
  Бесіда Рослини поруч з нами Уточнення та розширення словника по темі Логопед. Який світ навколо нас Логопед допомагає дітям дібрати та повторити словаознаки: світ великий красивий багатий яскравий. Логопед.
54067. Интегрированное занятие для детей старшей логопедической группы « А мы идем, шагаем по Земле» 51 KB
  Дерево трава цветок и птица Не всегда умеют защититься Если будут уничтожены они На планете мы останемся одни Приглашаю всех вас в гости Спит девочка. Лучик танцует и нежно будит девочку ДЕВОЧКА: просыпаясь и потягиваясь Доброе утро Какое оно прекрасное Лучику Ой Кто ты ЛУЧИК: Я – Лучик Солнца золотой Пришел к тебе с небес...
54068. Дидактичні матеріали до логопедичних занять з теми «Диференціація свистячих і шиплячих». Розрізнення дж-дз 125 KB
  Насупилось небо, плаче хмаринка. А поле сміється щасливо і дзвінко, бо сльози хмаринки несуть урожай. Як сльози ці звуться? Ану відгадай.
54069. Дифференциация звуков с – з. Развитие речи по лексической теме «Зима» 63 KB
  Картинки с изображениями Дети катаются на лыжах Дети катаются на санках Дети катаются на коньках Дети лепят снеговика. Дети повторяют движения за логопедом. Дети по очереди прикасаются к большому пальцу остальными пальчиками в ритме стихотворения. Дети лепят снеговика.