41617

Приближённое решение задачи Коши методами Эйлера и Рунге-Кутта

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Решить на отрезке с шагом задачу Коши для системы второго порядка = Требуется использовать: метод Эйлера метод Рунге-Кутта Теория: 1 Метод Эйлера Пусть требуется найти приближённое решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальному условию. Чаще всего 1 Этот метод относится к группе одношаговых методов в которых для расчёта точки...

Русский

2013-10-24

97.24 KB

24 чел.

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

Уфимский государственный авиационный технический университет

Лабораторная работа №4

по дисциплине «Численные методы»

На тему: «Приближённое решение задачи Коши методами Эйлера

и Рунге-Кутта»

Выполнил:

студент группы ПМ-335

Ямилев И.М.

Проверил:

Голичев И.И.

Уфа

2012

Отчёт по лабораторной работе № 4.

 

Задача:

1. Решить на отрезке с шагом задачу Коши для системы второго порядка

=

Требуется использовать:

  1.  метод Эйлера
  2.  метод Рунге-Кутта

Теория:

1) Метод Эйлера

Пусть требуется найти приближённое решение дифференциального уравнения  , удовлетворяющее начальному условию . Численное решение задачи состоит в построении таблицы приближённых значений решения уравнения в точках . Чаще всего

                                                                                             (1)

Этот метод относится к группе одношаговых методов, в которых для расчёта точки требуется информация только о последней вычисленной точке . Метод допускает простую геометрическую интерпретацию (рис. 3). Предположим, что известна точка , определяется уравнением , а так как и , то . Для оценки погрешности метода на одном шаге сетки разложим точное решение в ряд Тейлора в окрестности узла :

                       .      (2)

Сравнение формулы (1) с разложением (2) показывает, что они согласуются до членов первого порядка по , а погрешность формулы (1) равна . Если расчётные формулы численного метода согласуются с порядком метода. Таким образом, метод Эйлера – метод первого порядка.

Метод Эйлера легко обобщается на случай нормальных систем дифференциальных уравнений. Пусть требуется найти решение системы дифференциальных уравнений

удовлетворяющее начальным условиям . Или в векторной форме:

, ,

.

Приближённые значения точного решения в точках вычисляются по формулам

,

,

2) Метод Рунге-Кутта

Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Численное решение задачи состоит в построении таблицы приближённых значений решения уравнения в точках . Точки – узлы сетки. Используем систему равноотстоящих узлов. Величина – шаг сетки .

Методом РунгеКутта в литературе обычно называют одношаговый метод четвёртого порядка, относящийся к широкому классу методов типа РунгеКутта. В этом методе величины вычисляют по следующим формулам:

                                                           (1)

Погрешность метода на одном шаге сетки равна , но поскольку на практике оценить величину обычно трудно, при оценке погрешности используют правило Рунге. Для этого проводят вычисления сначала с шагом , а затем – с шагом , то справедлива оценка

.

При реализации метода на ЭВМ обычно на каждом шаге делают двойной пересчёт. Если полученные значения отличаются в пределах допустимой погрешности, то шаг удваивают. В противном случае берут половинный шаг.

Метод РунгеКутта легко переносится на нормальные системы дифференциальных уравнений вида

 ,

которые для краткости удобно записывать в векторной форме:

.

Для получения расчётных формул методом Рунге-Кутта достаточно в формулах (1) заменить и , коэффициенты – на .


Результаты:

По заданию необходимо решить на отрезке с шагом задачу Коши для системы второго порядка

=

1) Для метода Эйлера получены следующие приближенные значения в точках:

x

y1

y2

0.1

0.033

0.329934

0.2

0.065993

0.326502

0.3

0.098644

0.319707

0.4

0.130614

0.309587

0.5

0.161573

0.296216

0.6

0.191195

0.279703

0.7

0.219165

0.260192

0.8

0.245184

0.237859

0.9

0.26897

0.212913

1.0

0.290261

0.18559

1.1

0.30882

0.156155

1.2

0.324436

0.124899

1.3

0.336925

0.09213

1.4

0.346139

0.05818

1.5

0.351956

0.233913

1.6

0.354296

-0.011879

1.7

0.353108

-0.047268

1.8

0.348381

-0.082409

1.9

0.34014

-0.116934

2.0

0.328447

-0.15048

2.1

0.313399

-0.182693

2.2

0.295129

-0.213229

2.3

0.273806

-0.241761

2.4

0.24963

-0.267981

2.5

0.222832

-0.291604

2.6

0.193672

-0.312371

2.7

0.162435

-0.330051

2.8

0.12943

-0.344447

2.9

0.094985

-0.355392

3.0

0.059446

-0.362758


2) Для метода Рунге-Кутта получены следующие приближенные значения в точках:

с шагом итераций h:

Номер итерации

x

y1

y2

1

0.1

0.0329439

0.328318

2

0.2

0.0655521

0.323292

3

0.3

0.0974924

0.314973

4

0.4

0.12844

0.30345

5

0.5

0.15808

0.288846

6

0.6

0.186111

0.271314

7

0.7

0.212251

0.251039

8

0.8

0.236235

0.228236

9

0.9

0.257822

0.203146

10

1

0.276796

0.176033

11

1.1

0.29297

0.147181

12

1.2

0.306185

0.116895

13

1.3

0.316312

0.085491

14

1.4

0.323257

0.0532988

15

1.5

0.326957

0.0206542

16

1.6

0.327384

-0.0121028

17

1.7

0.324544

-0.044632

18

1.8

0.318476

-0.0765968

19

1.9

0.309254

-0.107667

20

2

0.296983

-0.137525

21

2.1

0.2818

-0.165865

22

2.2

0.26387

-0.192399

23

2.3

0.243389

-0.21686

24

2.4

0.220576

-0.239004

25

2.5

0.195673

-0.258613

26

2.6

0.168944

-0.275494

27

2.7

0.14067

-0.289488

28

2.8

0.111147

-0.300464

29

2.9

0.0806816

-0.308325

30

3

0.0495883

-0.313008

с шагом итераций h/2:

Номер итерации

x

y1

y2

1

0.05

0.016493

0.329579

2

0.1

0.0329439

0.328318

3

0.15

0.0493109

0.326221

4

0.2

0.0655521

0.323292

5

0.25

0.0816263

0.319539

6

0.3

0.0974925

0.314973

7

0.35

0.11311

0.309605

8

0.4

0.12844

0.30345

9

0.45

0.143442

0.296524

10

0.5

0.15808

0.288846

11

0.55

0.172315

0.280435

12

0.6

0.186111

0.271313

13

0.65

0.199435

0.261506

14

0.7

0.212251

0.251039

15

0.75

0.224528

0.239939

16

0.8

0.236235

0.228236

17

0.85

0.247342

0.215961

18

0.9

0.257822

0.203146

19

0.95

0.267648

0.189825

20

1

0.276797

0.176032

21

1.05

0.285244

0.161805

22

1.1

0.292971

0.147181

23

1.15

0.299956

0.132197

24

1.2

0.306185

0.116894

25

1.25

0.311641

0.101312

26

1.3

0.316312

0.0854907

27

1.35

0.320187

0.0694722

28

1.4

0.323257

0.0532984

29

1.45

0.325515

0.0370114

30

1.5

0.326957

0.0206538

31

1.55

0.32758

0.00426801

32

1.6

0.327384

-0.0121032

33

1.65

0.32637

-0.0284175

34

1.7

0.324544

-0.0446325

35

1.75

0.32191

-0.0607062

36

1.8

0.318476

-0.0765972

37

1.85

0.314254

-0.0922645

38

1.9

0.309254

-0.107668

39

1.95

0.303492

-0.122768

40

2

0.296983

-0.137526

41

2.05

0.289746

-0.151904

42

2.1

0.2818

-0.165865

43

2.15

0.273167

-0.179375

44

2.2

0.26387

-0.192399

45

2.25

0.253935

-0.204905

46

2.3

0.243389

-0.216861

47

2.35

0.232259

-0.228237

48

2.4

0.220575

-0.239005

49

2.45

0.208369

-0.249138

50

2.5

0.195672

-0.258613

51

2.55

0.182519

-0.267405

52

2.6

0.168944

-0.275494

53

2.65

0.154982

-0.282861

54

2.7

0.14067

-0.289488

55

2.75

0.126045

-0.29536

56

2.8

0.111147

-0.300464

57

2.85

0.0960121

-0.304789

58

2.9

0.0806809

-0.308325

59

2.95

0.0651928

-0.311067

60

3

0.0495876

-0.313008


Вывод:

Из полученных результатов видно, что метод Ньютона нахождения нуля функции на заданном промежутке сходится быстрее метода простых итераций, однако требует дополнительные условия сходимости и аналитические расчеты и оценки.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46142. Математика Древнего Египта 237.31 KB
  Действие над натуральными числами и дробями. Красные числа. При записи числа иероглифы единицы десятка сотни и т. Кроме обозначений целых чисел египтяне имели также специальные обозначения для дробей вида и дроби ; дроби обозначались специальными иероглифами а основные дроби вида обозначались знаком числа n над которым ставился знак рот “частьâ€: .
46143. Позакласна робота з математики у молодших класах 464.02 KB
  В позакласній роботі з математики з молодшими учнями велике місце займають ігри. Це головним чином дидактичні ігри, тобто ігри, зміст яких допомагає розвитку окремих операцій на мислення або засвоєнню рахівних прийомів, навиків в швидкості рахунку та інше. Цілеспрямоване включення гри в той чи інший вид позакласної роботи підвищує інтерес дітей до цієї роботи, підсилює ефект самого вивчення
46144. ПРОГРАММИРОВАНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ 543 KB
  Другой пример алгоритма поиск минимального числа х в последовательности из n чисел 12 . Процесс продолжается до тех пор пока не будут просмотрены все n чисел. ниже диапазон представления чисел в машине. Для представления команд в виде чисел необходимо иметь две кодирующие таблицы.
46145. Компьютерные информационные технологии в финансовом менеджменте 50.45 KB
  Информатизация это интенсивный процесс производства получения и использования информации в целях управления предприятием бизнеспроцессом и другими структурами. ИТ процессы преобразования переработки и передачи информации для получения нужного результата. Это требует в условиях возрастающих объемах информации перехода к работе со знаниями интеллектуализация. База данных взаимосвязанная совокупность файлов обеспечивающая эффективность работы с большими объемами информации.
46146. Особенности развития личности одаренного ребенка и его проблемы социализации 299.57 KB
  Понятие и определение одаренности у детей Сложности психического развития одаренных детей. Особенность адаптации одаренных детей Реальный уровень способностей одаренных детей не понимается окружающими и нормальный для такого ребенка процесс развития рассматривается как аномальная неприспособленность к жизни в обществе.
46147. Бизнес-план. Компьютерный клуб «Chicago» 337.5 KB
  В случае стабильного получения запланированной прибыли уже через несколько лет он будет иметь возможность открыть свои филиалы в любом районом центре Актюбинской области. Как давно вы увлекаетесь компьютерными играми меньше года от 1 до 3 лет более 3х лет 11. Ваш возраст от 6 до 16 лет от 16 до 25 лет от 25 и старше В анкетировании приняло участи 50 человек. Результаты анкетирования 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 нет от 3 до 5 высокий уровень до 2 часов с 14 до 19 от 10 до 30 минут просто поиграть ction развлечение меньше...
46148. Учебник «Гидрология и гидротехнические сооружения» 2.96 MB
  Последние десятилетия характеризуются интенсивным развитием промышленности и сельского хозяйства ростом городов и населенных пунктов что повлекло за собой резкое увеличение потребления воды с ее забором из различных поверхностных природных источников: морей рек водохранилищ и озер а также из подземных источников. 16 км3 воды в 20 .25 раза больше воды требуется атомной электростанции. км3 воды.
46150. Первые математические теории в Древней Греции 212.45 KB
  В это время ученые пришли к мысли к которой возвращались затем не раз что математика является универсальным языком для выражения законов природы что все есть число. Проходит немного времени и начинается исследование законов самой логики что находит блестящее завершение в системе Аристотеля. В этой школе впервые была высказана гипотеза что земля имеет форму цилиндра и весит посередине вселенной Анаксиманур. Ионийцы...