41617

Приближённое решение задачи Коши методами Эйлера и Рунге-Кутта

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Решить на отрезке с шагом задачу Коши для системы второго порядка = Требуется использовать: метод Эйлера метод Рунге-Кутта Теория: 1 Метод Эйлера Пусть требуется найти приближённое решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальному условию. Чаще всего 1 Этот метод относится к группе одношаговых методов в которых для расчёта точки...

Русский

2013-10-24

97.24 KB

24 чел.

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

Уфимский государственный авиационный технический университет

Лабораторная работа №4

по дисциплине «Численные методы»

На тему: «Приближённое решение задачи Коши методами Эйлера

и Рунге-Кутта»

Выполнил:

студент группы ПМ-335

Ямилев И.М.

Проверил:

Голичев И.И.

Уфа

2012

Отчёт по лабораторной работе № 4.

 

Задача:

1. Решить на отрезке с шагом задачу Коши для системы второго порядка

=

Требуется использовать:

  1.  метод Эйлера
  2.  метод Рунге-Кутта

Теория:

1) Метод Эйлера

Пусть требуется найти приближённое решение дифференциального уравнения  , удовлетворяющее начальному условию . Численное решение задачи состоит в построении таблицы приближённых значений решения уравнения в точках . Чаще всего

                                                                                             (1)

Этот метод относится к группе одношаговых методов, в которых для расчёта точки требуется информация только о последней вычисленной точке . Метод допускает простую геометрическую интерпретацию (рис. 3). Предположим, что известна точка , определяется уравнением , а так как и , то . Для оценки погрешности метода на одном шаге сетки разложим точное решение в ряд Тейлора в окрестности узла :

                       .      (2)

Сравнение формулы (1) с разложением (2) показывает, что они согласуются до членов первого порядка по , а погрешность формулы (1) равна . Если расчётные формулы численного метода согласуются с порядком метода. Таким образом, метод Эйлера – метод первого порядка.

Метод Эйлера легко обобщается на случай нормальных систем дифференциальных уравнений. Пусть требуется найти решение системы дифференциальных уравнений

удовлетворяющее начальным условиям . Или в векторной форме:

, ,

.

Приближённые значения точного решения в точках вычисляются по формулам

,

,

2) Метод Рунге-Кутта

Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Численное решение задачи состоит в построении таблицы приближённых значений решения уравнения в точках . Точки – узлы сетки. Используем систему равноотстоящих узлов. Величина – шаг сетки .

Методом РунгеКутта в литературе обычно называют одношаговый метод четвёртого порядка, относящийся к широкому классу методов типа РунгеКутта. В этом методе величины вычисляют по следующим формулам:

                                                           (1)

Погрешность метода на одном шаге сетки равна , но поскольку на практике оценить величину обычно трудно, при оценке погрешности используют правило Рунге. Для этого проводят вычисления сначала с шагом , а затем – с шагом , то справедлива оценка

.

При реализации метода на ЭВМ обычно на каждом шаге делают двойной пересчёт. Если полученные значения отличаются в пределах допустимой погрешности, то шаг удваивают. В противном случае берут половинный шаг.

Метод РунгеКутта легко переносится на нормальные системы дифференциальных уравнений вида

 ,

которые для краткости удобно записывать в векторной форме:

.

Для получения расчётных формул методом Рунге-Кутта достаточно в формулах (1) заменить и , коэффициенты – на .


Результаты:

По заданию необходимо решить на отрезке с шагом задачу Коши для системы второго порядка

=

1) Для метода Эйлера получены следующие приближенные значения в точках:

x

y1

y2

0.1

0.033

0.329934

0.2

0.065993

0.326502

0.3

0.098644

0.319707

0.4

0.130614

0.309587

0.5

0.161573

0.296216

0.6

0.191195

0.279703

0.7

0.219165

0.260192

0.8

0.245184

0.237859

0.9

0.26897

0.212913

1.0

0.290261

0.18559

1.1

0.30882

0.156155

1.2

0.324436

0.124899

1.3

0.336925

0.09213

1.4

0.346139

0.05818

1.5

0.351956

0.233913

1.6

0.354296

-0.011879

1.7

0.353108

-0.047268

1.8

0.348381

-0.082409

1.9

0.34014

-0.116934

2.0

0.328447

-0.15048

2.1

0.313399

-0.182693

2.2

0.295129

-0.213229

2.3

0.273806

-0.241761

2.4

0.24963

-0.267981

2.5

0.222832

-0.291604

2.6

0.193672

-0.312371

2.7

0.162435

-0.330051

2.8

0.12943

-0.344447

2.9

0.094985

-0.355392

3.0

0.059446

-0.362758


2) Для метода Рунге-Кутта получены следующие приближенные значения в точках:

с шагом итераций h:

Номер итерации

x

y1

y2

1

0.1

0.0329439

0.328318

2

0.2

0.0655521

0.323292

3

0.3

0.0974924

0.314973

4

0.4

0.12844

0.30345

5

0.5

0.15808

0.288846

6

0.6

0.186111

0.271314

7

0.7

0.212251

0.251039

8

0.8

0.236235

0.228236

9

0.9

0.257822

0.203146

10

1

0.276796

0.176033

11

1.1

0.29297

0.147181

12

1.2

0.306185

0.116895

13

1.3

0.316312

0.085491

14

1.4

0.323257

0.0532988

15

1.5

0.326957

0.0206542

16

1.6

0.327384

-0.0121028

17

1.7

0.324544

-0.044632

18

1.8

0.318476

-0.0765968

19

1.9

0.309254

-0.107667

20

2

0.296983

-0.137525

21

2.1

0.2818

-0.165865

22

2.2

0.26387

-0.192399

23

2.3

0.243389

-0.21686

24

2.4

0.220576

-0.239004

25

2.5

0.195673

-0.258613

26

2.6

0.168944

-0.275494

27

2.7

0.14067

-0.289488

28

2.8

0.111147

-0.300464

29

2.9

0.0806816

-0.308325

30

3

0.0495883

-0.313008

с шагом итераций h/2:

Номер итерации

x

y1

y2

1

0.05

0.016493

0.329579

2

0.1

0.0329439

0.328318

3

0.15

0.0493109

0.326221

4

0.2

0.0655521

0.323292

5

0.25

0.0816263

0.319539

6

0.3

0.0974925

0.314973

7

0.35

0.11311

0.309605

8

0.4

0.12844

0.30345

9

0.45

0.143442

0.296524

10

0.5

0.15808

0.288846

11

0.55

0.172315

0.280435

12

0.6

0.186111

0.271313

13

0.65

0.199435

0.261506

14

0.7

0.212251

0.251039

15

0.75

0.224528

0.239939

16

0.8

0.236235

0.228236

17

0.85

0.247342

0.215961

18

0.9

0.257822

0.203146

19

0.95

0.267648

0.189825

20

1

0.276797

0.176032

21

1.05

0.285244

0.161805

22

1.1

0.292971

0.147181

23

1.15

0.299956

0.132197

24

1.2

0.306185

0.116894

25

1.25

0.311641

0.101312

26

1.3

0.316312

0.0854907

27

1.35

0.320187

0.0694722

28

1.4

0.323257

0.0532984

29

1.45

0.325515

0.0370114

30

1.5

0.326957

0.0206538

31

1.55

0.32758

0.00426801

32

1.6

0.327384

-0.0121032

33

1.65

0.32637

-0.0284175

34

1.7

0.324544

-0.0446325

35

1.75

0.32191

-0.0607062

36

1.8

0.318476

-0.0765972

37

1.85

0.314254

-0.0922645

38

1.9

0.309254

-0.107668

39

1.95

0.303492

-0.122768

40

2

0.296983

-0.137526

41

2.05

0.289746

-0.151904

42

2.1

0.2818

-0.165865

43

2.15

0.273167

-0.179375

44

2.2

0.26387

-0.192399

45

2.25

0.253935

-0.204905

46

2.3

0.243389

-0.216861

47

2.35

0.232259

-0.228237

48

2.4

0.220575

-0.239005

49

2.45

0.208369

-0.249138

50

2.5

0.195672

-0.258613

51

2.55

0.182519

-0.267405

52

2.6

0.168944

-0.275494

53

2.65

0.154982

-0.282861

54

2.7

0.14067

-0.289488

55

2.75

0.126045

-0.29536

56

2.8

0.111147

-0.300464

57

2.85

0.0960121

-0.304789

58

2.9

0.0806809

-0.308325

59

2.95

0.0651928

-0.311067

60

3

0.0495876

-0.313008


Вывод:

Из полученных результатов видно, что метод Ньютона нахождения нуля функции на заданном промежутке сходится быстрее метода простых итераций, однако требует дополнительные условия сходимости и аналитические расчеты и оценки.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

4748. Право интеллектуальной собственности. Авторское право 62 KB
  Право интеллектуальной собственности Авторское право Авторское право (lawofcopyright) представляет собой совокупность правовых норм, регулирующих порядок использования произведений литературы, науки и искусства. Авторское право историчес...
4749. Электронная торговля. Курс лекций 187.45 KB
  Глобальная сеть интернет Лекция 1. Глобальная сеть Интернет Основные понятия: сеть Интернет организации, поддерживающие порядок в сети структура сети Интернет протоколы сети домены система адресации всемирная паутина электронная почта...
4750. Развитие представлений учащихся о процессоре создания мультимедийных презентаций Power Point 185 KB
  Введение Компьютер – мощнейшее средство по созданию и распространению рекламы. Главное что от вас требуется, это придумать сценарий, построенный на использовании изображений, анимации, броского запоминающего текста. Иллюстрируя свой рассказ ани...
4751. Разработка автоматизированной информационной системы МРЭО ГАИ 3.01 MB
  При проектировании программного продукта, было принято решение разработать и автоматизировать работу сотрудников ГИБДД путем внедрения автоматизированной информационной системы. Разработанная автоматизированная информационная система эффективна и пр...
4752. Использование массивов при обработке больших объемов информации 979.28 KB
  Массивы Многие задачи, которые решаются с помощью компьютера, связаны с обработкой больших объемов информации, представляющей совокупность данных, объединенных единым математическим содержанием или связанных между собой по смыслу. Такие данные удобн...
4753. Массивы. Многомерные массивы в программировании. Преобразование двухмерных массивов 1.68 MB
  Массивы. Многомерные массивы Часто бывает необходимо представить таблицы данных в формате строк и столбцов. Для этого используют многомерные массивы. Доступ к элементам, например, двухмерного массива (матрицы) осуществляется с помощью двух индексов....
4754. Работа со строками в программировании 1.12 MB
  Работа со строками В реальных задачах часто встречаются объекты символьного типа – строки. Строка в Pascal трактуется как последовательность символов. В состав строки могут входить буквы латинского алфавита, кириллица, цифры, всевозможные знаки...
4755. Работа с файлами. Организация доступа к данным записанным в файл 1.15 MB
  Файлы Чтобы сохранять входные данные и результаты неограниченно долго и иметь возможность воспользоваться ими в любой момент используют файлы на магнитных носителях информации. По способу доступа к информации, записанной в файл, различают файлы прям...
4756. Проектирование и разработка типов на языке C# в соответствии со стандартами принятыми в спецификации CTS (Система общих типов) 343 KB
  Проектирование и разработка типов на языке C# в соответствии со стандартами принятыми в спецификации CTS (Система общих типов). Лекция. Введение. Общие сведения о системе общих типов (CTS). Типы значений и ссылочные типы. Встроенные типы. Определени...