41617

Приближённое решение задачи Коши методами Эйлера и Рунге-Кутта

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Решить на отрезке с шагом задачу Коши для системы второго порядка = Требуется использовать: метод Эйлера метод Рунге-Кутта Теория: 1 Метод Эйлера Пусть требуется найти приближённое решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальному условию. Чаще всего 1 Этот метод относится к группе одношаговых методов в которых для расчёта точки...

Русский

2013-10-24

97.24 KB

24 чел.

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

Уфимский государственный авиационный технический университет

Лабораторная работа №4

по дисциплине «Численные методы»

На тему: «Приближённое решение задачи Коши методами Эйлера

и Рунге-Кутта»

Выполнил:

студент группы ПМ-335

Ямилев И.М.

Проверил:

Голичев И.И.

Уфа

2012

Отчёт по лабораторной работе № 4.

 

Задача:

1. Решить на отрезке с шагом задачу Коши для системы второго порядка

=

Требуется использовать:

  1.  метод Эйлера
  2.  метод Рунге-Кутта

Теория:

1) Метод Эйлера

Пусть требуется найти приближённое решение дифференциального уравнения  , удовлетворяющее начальному условию . Численное решение задачи состоит в построении таблицы приближённых значений решения уравнения в точках . Чаще всего

                                                                                             (1)

Этот метод относится к группе одношаговых методов, в которых для расчёта точки требуется информация только о последней вычисленной точке . Метод допускает простую геометрическую интерпретацию (рис. 3). Предположим, что известна точка , определяется уравнением , а так как и , то . Для оценки погрешности метода на одном шаге сетки разложим точное решение в ряд Тейлора в окрестности узла :

                       .      (2)

Сравнение формулы (1) с разложением (2) показывает, что они согласуются до членов первого порядка по , а погрешность формулы (1) равна . Если расчётные формулы численного метода согласуются с порядком метода. Таким образом, метод Эйлера – метод первого порядка.

Метод Эйлера легко обобщается на случай нормальных систем дифференциальных уравнений. Пусть требуется найти решение системы дифференциальных уравнений

удовлетворяющее начальным условиям . Или в векторной форме:

, ,

.

Приближённые значения точного решения в точках вычисляются по формулам

,

,

2) Метод Рунге-Кутта

Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Численное решение задачи состоит в построении таблицы приближённых значений решения уравнения в точках . Точки – узлы сетки. Используем систему равноотстоящих узлов. Величина – шаг сетки .

Методом РунгеКутта в литературе обычно называют одношаговый метод четвёртого порядка, относящийся к широкому классу методов типа РунгеКутта. В этом методе величины вычисляют по следующим формулам:

                                                           (1)

Погрешность метода на одном шаге сетки равна , но поскольку на практике оценить величину обычно трудно, при оценке погрешности используют правило Рунге. Для этого проводят вычисления сначала с шагом , а затем – с шагом , то справедлива оценка

.

При реализации метода на ЭВМ обычно на каждом шаге делают двойной пересчёт. Если полученные значения отличаются в пределах допустимой погрешности, то шаг удваивают. В противном случае берут половинный шаг.

Метод РунгеКутта легко переносится на нормальные системы дифференциальных уравнений вида

 ,

которые для краткости удобно записывать в векторной форме:

.

Для получения расчётных формул методом Рунге-Кутта достаточно в формулах (1) заменить и , коэффициенты – на .


Результаты:

По заданию необходимо решить на отрезке с шагом задачу Коши для системы второго порядка

=

1) Для метода Эйлера получены следующие приближенные значения в точках:

x

y1

y2

0.1

0.033

0.329934

0.2

0.065993

0.326502

0.3

0.098644

0.319707

0.4

0.130614

0.309587

0.5

0.161573

0.296216

0.6

0.191195

0.279703

0.7

0.219165

0.260192

0.8

0.245184

0.237859

0.9

0.26897

0.212913

1.0

0.290261

0.18559

1.1

0.30882

0.156155

1.2

0.324436

0.124899

1.3

0.336925

0.09213

1.4

0.346139

0.05818

1.5

0.351956

0.233913

1.6

0.354296

-0.011879

1.7

0.353108

-0.047268

1.8

0.348381

-0.082409

1.9

0.34014

-0.116934

2.0

0.328447

-0.15048

2.1

0.313399

-0.182693

2.2

0.295129

-0.213229

2.3

0.273806

-0.241761

2.4

0.24963

-0.267981

2.5

0.222832

-0.291604

2.6

0.193672

-0.312371

2.7

0.162435

-0.330051

2.8

0.12943

-0.344447

2.9

0.094985

-0.355392

3.0

0.059446

-0.362758


2) Для метода Рунге-Кутта получены следующие приближенные значения в точках:

с шагом итераций h:

Номер итерации

x

y1

y2

1

0.1

0.0329439

0.328318

2

0.2

0.0655521

0.323292

3

0.3

0.0974924

0.314973

4

0.4

0.12844

0.30345

5

0.5

0.15808

0.288846

6

0.6

0.186111

0.271314

7

0.7

0.212251

0.251039

8

0.8

0.236235

0.228236

9

0.9

0.257822

0.203146

10

1

0.276796

0.176033

11

1.1

0.29297

0.147181

12

1.2

0.306185

0.116895

13

1.3

0.316312

0.085491

14

1.4

0.323257

0.0532988

15

1.5

0.326957

0.0206542

16

1.6

0.327384

-0.0121028

17

1.7

0.324544

-0.044632

18

1.8

0.318476

-0.0765968

19

1.9

0.309254

-0.107667

20

2

0.296983

-0.137525

21

2.1

0.2818

-0.165865

22

2.2

0.26387

-0.192399

23

2.3

0.243389

-0.21686

24

2.4

0.220576

-0.239004

25

2.5

0.195673

-0.258613

26

2.6

0.168944

-0.275494

27

2.7

0.14067

-0.289488

28

2.8

0.111147

-0.300464

29

2.9

0.0806816

-0.308325

30

3

0.0495883

-0.313008

с шагом итераций h/2:

Номер итерации

x

y1

y2

1

0.05

0.016493

0.329579

2

0.1

0.0329439

0.328318

3

0.15

0.0493109

0.326221

4

0.2

0.0655521

0.323292

5

0.25

0.0816263

0.319539

6

0.3

0.0974925

0.314973

7

0.35

0.11311

0.309605

8

0.4

0.12844

0.30345

9

0.45

0.143442

0.296524

10

0.5

0.15808

0.288846

11

0.55

0.172315

0.280435

12

0.6

0.186111

0.271313

13

0.65

0.199435

0.261506

14

0.7

0.212251

0.251039

15

0.75

0.224528

0.239939

16

0.8

0.236235

0.228236

17

0.85

0.247342

0.215961

18

0.9

0.257822

0.203146

19

0.95

0.267648

0.189825

20

1

0.276797

0.176032

21

1.05

0.285244

0.161805

22

1.1

0.292971

0.147181

23

1.15

0.299956

0.132197

24

1.2

0.306185

0.116894

25

1.25

0.311641

0.101312

26

1.3

0.316312

0.0854907

27

1.35

0.320187

0.0694722

28

1.4

0.323257

0.0532984

29

1.45

0.325515

0.0370114

30

1.5

0.326957

0.0206538

31

1.55

0.32758

0.00426801

32

1.6

0.327384

-0.0121032

33

1.65

0.32637

-0.0284175

34

1.7

0.324544

-0.0446325

35

1.75

0.32191

-0.0607062

36

1.8

0.318476

-0.0765972

37

1.85

0.314254

-0.0922645

38

1.9

0.309254

-0.107668

39

1.95

0.303492

-0.122768

40

2

0.296983

-0.137526

41

2.05

0.289746

-0.151904

42

2.1

0.2818

-0.165865

43

2.15

0.273167

-0.179375

44

2.2

0.26387

-0.192399

45

2.25

0.253935

-0.204905

46

2.3

0.243389

-0.216861

47

2.35

0.232259

-0.228237

48

2.4

0.220575

-0.239005

49

2.45

0.208369

-0.249138

50

2.5

0.195672

-0.258613

51

2.55

0.182519

-0.267405

52

2.6

0.168944

-0.275494

53

2.65

0.154982

-0.282861

54

2.7

0.14067

-0.289488

55

2.75

0.126045

-0.29536

56

2.8

0.111147

-0.300464

57

2.85

0.0960121

-0.304789

58

2.9

0.0806809

-0.308325

59

2.95

0.0651928

-0.311067

60

3

0.0495876

-0.313008


Вывод:

Из полученных результатов видно, что метод Ньютона нахождения нуля функции на заданном промежутке сходится быстрее метода простых итераций, однако требует дополнительные условия сходимости и аналитические расчеты и оценки.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36582. Простые операторы управления вводом-выводом в текстовом режиме 32 KB
  Кроме ввода и вывода потока символов более удобный пользовательский интерфейс может быть обеспечен при использовании вводавывода в текстовом режиме экрана. В Турбо Паскале имеются средства управления вводом с клавиатуры управления курсором вывода на экран управления цветом фона экрана и выводимых символов яркостью символов и ряд других функций в том числе управления звуковым генератором. Установка цвета фона цвета символов и очистка экрана. Модуль CRT допускает использовать в текстовом режиме экрана 16 цветов задаваемых стандартными...
36583. Оператор присваивания 28.5 KB
  Левая часть это переменная любого типа правая часть выражение совместимое по типу с переменной левой части. При выполнении этого оператора вычисляется значение выражения правой части и это значение становится значением переменной левой части. Совместимость левой и правой частей присваивания по типу означает либо равенство типов либо случаи когда тип выражения правой части автоматически преобразуется к типу левой части. Эти случаи автоматического преобразования типов для известных нам стандартных типов исчерпываются следующими:  Тип...
36584. Стандартные типы данных, операции, выражения 48.5 KB
  Целые числа типа integer это числа диапазона 32768 . Константы типа integer обычные целые числа возможно со знаком. Синтаксическое определение целых чисел имеет вид: целое число ::= [ ] { цифра } В отличие от целых чисел вещественные числа типа rel представляются в памяти компьютера приближенно. Константы типа rel числа возможно с дробной частью отделяемой от целой части точкой.
36585. Структура программ на Паскале 36 KB
  Любая программа на Турбо Паскале имеет одну и ту же общую структуру: [ progrm имя программы ; ] [ раздел описаний ] begin раздел операторов end. Эта структура состоит из заголовка программы необязательного раздела описаний который может в особых случаях отсутствовать и раздела операторов содержащего хотя бы один оператор. Имя программы идентификатор выбираемый программистом. В разделе описаний должны быть описаны все нестандартные имена используемые далее в разделе операторов этой программы.
36586. Автоматизация турфирм 31 KB
  Комплексная автоматизация турфирмы позволяет: Автоматизировать оперативный и бухгалтерский учет в турфирмах Автоматизировать оперативную работу с клиентами Формировать турпакет из услуг поставщиков рассчитывать прайслисты и подготавливать электронный и бумажный каталоги цен. Автоматизация туристической деятельности естественным образом приводит к оптимизации бизнеспроцессов. Автоматизация рабочего места в тур. Автоматизация рабочих мест пользователей позволяет: формировать турпакет из услуг поставщиков рассчитывать прайслисты...
36587. Система бронирования Amadeus 37 KB
  В настоящее время mdeus ведущая компьютерная система бронирования в Европе. системы бронирования System One она активно продвигается и на американский рынок. Партнером mdeus является немецкая система бронирования туруслуг Strt и любой пользователь mdeus автоматически является также пользователем Strt.
36588. Реляционная модель данных 46.5 KB
  Любую таблицу упрощенно можно описать следующим образом: НАЗВАНИЕ ТАБЛИЦЫ Поле1 Поле2 Поле3ПолеN Например: СТУДЕНТЫНомер_зачетки ФИО Факультет. Располагаются столбцы в таблице в порядке следования их имен принятом при создании таблицы. В каждой таблице должен быть столбец или совокупность столбцов значение которого однозначно идентифицирует каждую запись таблицы. Этот столбец или совокупность столбцов называется первичным ключом primry key PK таблицы.
36589. Основы проектирования баз данных 93.5 KB
  Основные этапы проектирования баз данных 1 Концептуальное инфологическое проектирование Концептуальное инфологическое проектирование построение семантической смысловой модели предметной области то есть информационной модели наиболее высокого уровня абстракции. Такая модель создаётся без ориентации на какуюлибо конкретную СУБД и модель данных. Кроме того в этом контексте равноправно могут использоваться слова модель базы данных и модель предметной области поскольку такая модель является как образом реальности так и образом...
36590. Язык SQL 499.5 KB
  На раннем этапе развития систем управления базами данных(СУБД) в условиях низких технических характеристик ЭВМ основное внимание разработчиков СУБД было направлено на проблемы размещения информации в базе и обмена данными между дисковой памятью и оперативной памятью, поскольку это в первую очередь определяло эффективность функционирования СУБД