41617

Приближённое решение задачи Коши методами Эйлера и Рунге-Кутта

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Решить на отрезке с шагом задачу Коши для системы второго порядка = Требуется использовать: метод Эйлера метод Рунге-Кутта Теория: 1 Метод Эйлера Пусть требуется найти приближённое решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальному условию. Чаще всего 1 Этот метод относится к группе одношаговых методов в которых для расчёта точки...

Русский

2013-10-24

97.24 KB

25 чел.

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

Уфимский государственный авиационный технический университет

Лабораторная работа №4

по дисциплине «Численные методы»

На тему: «Приближённое решение задачи Коши методами Эйлера

и Рунге-Кутта»

Выполнил:

студент группы ПМ-335

Ямилев И.М.

Проверил:

Голичев И.И.

Уфа

2012

Отчёт по лабораторной работе № 4.

 

Задача:

1. Решить на отрезке с шагом задачу Коши для системы второго порядка

=

Требуется использовать:

  1.  метод Эйлера
  2.  метод Рунге-Кутта

Теория:

1) Метод Эйлера

Пусть требуется найти приближённое решение дифференциального уравнения  , удовлетворяющее начальному условию . Численное решение задачи состоит в построении таблицы приближённых значений решения уравнения в точках . Чаще всего

                                                                                             (1)

Этот метод относится к группе одношаговых методов, в которых для расчёта точки требуется информация только о последней вычисленной точке . Метод допускает простую геометрическую интерпретацию (рис. 3). Предположим, что известна точка , определяется уравнением , а так как и , то . Для оценки погрешности метода на одном шаге сетки разложим точное решение в ряд Тейлора в окрестности узла :

                       .      (2)

Сравнение формулы (1) с разложением (2) показывает, что они согласуются до членов первого порядка по , а погрешность формулы (1) равна . Если расчётные формулы численного метода согласуются с порядком метода. Таким образом, метод Эйлера – метод первого порядка.

Метод Эйлера легко обобщается на случай нормальных систем дифференциальных уравнений. Пусть требуется найти решение системы дифференциальных уравнений

удовлетворяющее начальным условиям . Или в векторной форме:

, ,

.

Приближённые значения точного решения в точках вычисляются по формулам

,

,

2) Метод Рунге-Кутта

Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Численное решение задачи состоит в построении таблицы приближённых значений решения уравнения в точках . Точки – узлы сетки. Используем систему равноотстоящих узлов. Величина – шаг сетки .

Методом РунгеКутта в литературе обычно называют одношаговый метод четвёртого порядка, относящийся к широкому классу методов типа РунгеКутта. В этом методе величины вычисляют по следующим формулам:

                                                           (1)

Погрешность метода на одном шаге сетки равна , но поскольку на практике оценить величину обычно трудно, при оценке погрешности используют правило Рунге. Для этого проводят вычисления сначала с шагом , а затем – с шагом , то справедлива оценка

.

При реализации метода на ЭВМ обычно на каждом шаге делают двойной пересчёт. Если полученные значения отличаются в пределах допустимой погрешности, то шаг удваивают. В противном случае берут половинный шаг.

Метод РунгеКутта легко переносится на нормальные системы дифференциальных уравнений вида

 ,

которые для краткости удобно записывать в векторной форме:

.

Для получения расчётных формул методом Рунге-Кутта достаточно в формулах (1) заменить и , коэффициенты – на .


Результаты:

По заданию необходимо решить на отрезке с шагом задачу Коши для системы второго порядка

=

1) Для метода Эйлера получены следующие приближенные значения в точках:

x

y1

y2

0.1

0.033

0.329934

0.2

0.065993

0.326502

0.3

0.098644

0.319707

0.4

0.130614

0.309587

0.5

0.161573

0.296216

0.6

0.191195

0.279703

0.7

0.219165

0.260192

0.8

0.245184

0.237859

0.9

0.26897

0.212913

1.0

0.290261

0.18559

1.1

0.30882

0.156155

1.2

0.324436

0.124899

1.3

0.336925

0.09213

1.4

0.346139

0.05818

1.5

0.351956

0.233913

1.6

0.354296

-0.011879

1.7

0.353108

-0.047268

1.8

0.348381

-0.082409

1.9

0.34014

-0.116934

2.0

0.328447

-0.15048

2.1

0.313399

-0.182693

2.2

0.295129

-0.213229

2.3

0.273806

-0.241761

2.4

0.24963

-0.267981

2.5

0.222832

-0.291604

2.6

0.193672

-0.312371

2.7

0.162435

-0.330051

2.8

0.12943

-0.344447

2.9

0.094985

-0.355392

3.0

0.059446

-0.362758


2) Для метода Рунге-Кутта получены следующие приближенные значения в точках:

с шагом итераций h:

Номер итерации

x

y1

y2

1

0.1

0.0329439

0.328318

2

0.2

0.0655521

0.323292

3

0.3

0.0974924

0.314973

4

0.4

0.12844

0.30345

5

0.5

0.15808

0.288846

6

0.6

0.186111

0.271314

7

0.7

0.212251

0.251039

8

0.8

0.236235

0.228236

9

0.9

0.257822

0.203146

10

1

0.276796

0.176033

11

1.1

0.29297

0.147181

12

1.2

0.306185

0.116895

13

1.3

0.316312

0.085491

14

1.4

0.323257

0.0532988

15

1.5

0.326957

0.0206542

16

1.6

0.327384

-0.0121028

17

1.7

0.324544

-0.044632

18

1.8

0.318476

-0.0765968

19

1.9

0.309254

-0.107667

20

2

0.296983

-0.137525

21

2.1

0.2818

-0.165865

22

2.2

0.26387

-0.192399

23

2.3

0.243389

-0.21686

24

2.4

0.220576

-0.239004

25

2.5

0.195673

-0.258613

26

2.6

0.168944

-0.275494

27

2.7

0.14067

-0.289488

28

2.8

0.111147

-0.300464

29

2.9

0.0806816

-0.308325

30

3

0.0495883

-0.313008

с шагом итераций h/2:

Номер итерации

x

y1

y2

1

0.05

0.016493

0.329579

2

0.1

0.0329439

0.328318

3

0.15

0.0493109

0.326221

4

0.2

0.0655521

0.323292

5

0.25

0.0816263

0.319539

6

0.3

0.0974925

0.314973

7

0.35

0.11311

0.309605

8

0.4

0.12844

0.30345

9

0.45

0.143442

0.296524

10

0.5

0.15808

0.288846

11

0.55

0.172315

0.280435

12

0.6

0.186111

0.271313

13

0.65

0.199435

0.261506

14

0.7

0.212251

0.251039

15

0.75

0.224528

0.239939

16

0.8

0.236235

0.228236

17

0.85

0.247342

0.215961

18

0.9

0.257822

0.203146

19

0.95

0.267648

0.189825

20

1

0.276797

0.176032

21

1.05

0.285244

0.161805

22

1.1

0.292971

0.147181

23

1.15

0.299956

0.132197

24

1.2

0.306185

0.116894

25

1.25

0.311641

0.101312

26

1.3

0.316312

0.0854907

27

1.35

0.320187

0.0694722

28

1.4

0.323257

0.0532984

29

1.45

0.325515

0.0370114

30

1.5

0.326957

0.0206538

31

1.55

0.32758

0.00426801

32

1.6

0.327384

-0.0121032

33

1.65

0.32637

-0.0284175

34

1.7

0.324544

-0.0446325

35

1.75

0.32191

-0.0607062

36

1.8

0.318476

-0.0765972

37

1.85

0.314254

-0.0922645

38

1.9

0.309254

-0.107668

39

1.95

0.303492

-0.122768

40

2

0.296983

-0.137526

41

2.05

0.289746

-0.151904

42

2.1

0.2818

-0.165865

43

2.15

0.273167

-0.179375

44

2.2

0.26387

-0.192399

45

2.25

0.253935

-0.204905

46

2.3

0.243389

-0.216861

47

2.35

0.232259

-0.228237

48

2.4

0.220575

-0.239005

49

2.45

0.208369

-0.249138

50

2.5

0.195672

-0.258613

51

2.55

0.182519

-0.267405

52

2.6

0.168944

-0.275494

53

2.65

0.154982

-0.282861

54

2.7

0.14067

-0.289488

55

2.75

0.126045

-0.29536

56

2.8

0.111147

-0.300464

57

2.85

0.0960121

-0.304789

58

2.9

0.0806809

-0.308325

59

2.95

0.0651928

-0.311067

60

3

0.0495876

-0.313008


Вывод:

Из полученных результатов видно, что метод Ньютона нахождения нуля функции на заданном промежутке сходится быстрее метода простых итераций, однако требует дополнительные условия сходимости и аналитические расчеты и оценки.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

73735. Спектральный анализ и синтез детерминированных сигналов 431.5 KB
  функций времени и спектрального разложения на синусоидальные и косинусоидальные составляющие это преобразования Фурье . Обобщенная спектральная теория исследует общие закономерности спектрального анализа для систем базисных функций и рассматривает особенности выбора базисных систем при решении задач передачи и обработки сигналов. Представление 1 называют разложением сигнала по системе базисных функций. К системе базисных функций предъявляют следующие требования : для любого сигнала ряд 1 должен сходиться; функции кt должны иметь...
73736. Историческое становление образа науки, Позитивизм и неопозитивизм 55.5 KB
  Предметом лекции являются учения где есть попытка построить целостный образ науки как самостоятельного явления культуры и особого вида познания. он выделяет в особый тип обобщенное и ориентированное на закономерность знания это первые признаки науки. Итак отличительные черты науки обобщение ориентация на причины и закономерности трансляция знаний и внеутилитарность; этот образ закрепился практически до Нового времени.
73738. Статически определимые стержневые системы 216 KB
  Примем ряд допущений в отношении расчетной схемы фермы: все шарниры являются идеальными отсутствуют силы трения; оси стержней проходят через геометрические центры шарниров; внешняя нагрузка приложена исключительно в узлах. В силу введенных допущений в стержнях фермы возникают только нормальные усилия. По характеру очертания внешнего контура...
73740. Социально-экономические и правовые основы государственного регулирования несостоятельности (банкротств) в России 33.19 KB
  Особое внимание в Уставе уделялось статусу торгового предприятия должника. Конечная цель данного правового института соразмерное удовлетворение требований кредиторов несостоятельного должника и освобождение последнего от долгов с предоставлением возможности снова приступить к коммерческой деятельности. Нормы дореволюционного конкурсного права характеризуются высокой степенью разработанности с точки зрения интересов как должника так и кредиторов. Несостоятельность банкротство признанная арбитражным судом неспособность должника в полном...
73742. Актуальные проблемы истории философии 185 KB
  Философия зародилась примерно 2500 лет назад в странах древнего мира — Индии, Китае, Египте. Совершенства и классических форм она достигла позднее, в Древней Греции и Риме.