41620

Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона методом Чебышева

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Разностную задачу 5 будем решать явным итерационным методом с чебышевским набором параметров который выражается следующей формулой: 10 где заданное число итераций . 11 Результаты: В вычислениях использовался следующий алгоритм: Задаём количество итераций полагаем тогда шаг сетки =01. Полученный ответ с точностью до...

Русский

2013-10-24

103.07 KB

47 чел.

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

Уфимский государственный авиационный технический университет

Лабораторная работа №5

по дисциплине «Численные методы»

На тему: «Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона

методом Чебышева»

Выполнил:

студент группы ПМ-335

Ямилев И.М.

Проверил:

Голичев И.И.

Уфа

2012

Отчёт по лабораторной работе № 5.

 

Задача:

Явным методом Чебышева требуется найти приближённое решение уравнения

                                                                                  (1)

в квадрате с краевыми условиями

                                                           ,                                                        (2)

где – граница квадрата .

Выбираем функцию, удовлетворяющую краевым условиям (2)

.

Вычислим

.

Возьмём по определению в качестве правой части уравнения (1)

,

тогда нам известно точное решение задачи (1), (2).

Теория:

От задачи (1), (2) перейдём к разностной. Вводим на плоскости прямоугольную сетку с шагом по направлению и по направлению . Получим , . Обозначим .

Обозначим через множество внутренних узлов сетки, то есть

,

а через – множество граничных узлов, то есть

.

Пусть далее

Рассмотрим конечномерное пространство функции , заданных на сетке . Здесь и будем обозначать . Обозначим

.

Тогда разностный оператор Лапласа записывается в виде

                                               .                                        (3)

Разностное выражение (3) называется пятиточечным разностным шаблоном, так как содержит значения функции в пяти точках сетки, а именно в точках . Указанное множество точек называется шаблоном разностного оператора Лапласа.

Заменим исходную задачу разностной задачей. При этом будем считать, что , тогда . Разностная аппроксимация задачи (1), (2), принимает вид

                                               ,                                        (4)

или более подробно

                               ,                       (5)

.

Обозначим через пространство функций , заданных на и равных нулю на границе со скалярным произведением

                                                   .                                      (6)

В пространстве определим оператор

                                                .                                       (7)

Тогда уравнение (5) можно записать в операторной форме

                                                               ,                                               (8)

где – функция, заданная на сетке и . Сеточные функции и будем рассматривать как вектора – мерного пространства с координатами .

Наименьшее  и наибольшее собственные значения оператора равны

,

                 (9)

.

Разностную задачу (5) будем решать явным итерационным методом с чебышевским набором параметров, который выражается следующей формулой:

                                                   ,                                   (10)

где , -заданное число итераций,

             .         (11)


Результаты:

В вычислениях использовался следующий алгоритм:

  1.  Задаём количество итераций , полагаем , тогда шаг сетки =0,1.
  2.  По формулам (9), (11) вычисляем , .
  3.  Вычисляем и по формулам (11).
  4.  Полагая , последовательно применяя формулу (10), находим .
  5.  Пункт 4 повторяем, полагая
  6.  Итерационный процесс продолжаем до совпадения первых четырех знаков в последних итерациях по циклам.

Полученный ответ с точностью до четвертой цифры получен после 50 итераций:

Точка

Точное значение функции

Значение после 40 итераций

Значение после 50 итераций

(0.1, 0.1)

0.0081

0.0080999

0.0081

(0.1, 0.2)

0.0144

0.0144

0.0144

(0.1, 0.3)

0.0189

0.0189

0.0189

(0.1, 0.4)

0.0216

0.0216

0.0216

(0.1, 0.5)

0.0225

0.0225

0.0225

(0.1, 0.6)

0.0216

0.0216

0.0216

(0.1, 0.7)

0.0189

0.0189

0.0189

(0.1, 0.8)

0.0144

0.0144

0.0144

(0.1, 0.9)

0.0081

0.0080999

0.0081

(0.2, 0.1)

0.0144

0.0144

0.0144

(0.2, 0.2)

0.0256

0.0256

0.0256

(0.2, 0.3)

0.0336

0.033599

0.0336

(0.2, 0.4)

0.0384

0.038399

0.0384

(0.2, 0.5)

0.04

0.039999

0.04

(0.2, 0.6)

0.0384

0.038399

0.0384

(0.2, 0.7)

0.0336

0.033599

0.0336

(0.2, 0.8)

0.0256

0.0256

0.0256

(0.2, 0.9)

0.0144

0.0144

0.0144

(0.3, 0.1)

0.0189

0.0189

0.0189

(0.3, 0.2)

0.0336

0.033599

0.0336

(0.3, 0.3)

0.0441

0.044099

0.0441

(0.3, 0.4)

0.0504

0.050399

0.0504

(0.3, 0.5)

0.0525

0.052499

0.0525

(0.3, 0.6)

0.0504

0.050399

0.0504

(0.3, 0.7)

0.0441

0.044099

0.0441

(0.3, 0.8)

0.0336

0.033599

0.0336

(0.3, 0.9)

0.0189

0.0189

0.0189

(0.4, 0.1)

0.0216

0.0216

0.0216

(0.4, 0.2)

0.0384

0.038399

0.0384

(0.4, 0.3)

0.0504

0.050399

0.0504

(0.4, 0.4)

0.0576

0.057599

0.0576

(0.4, 0.5)

0.06

0.059999

0.06

(0.4, 0.6)

0.0576

0.057599

0.0576

(0.4, 0.7)

0.0504

0.050399

0.0504

(0.4, 0.8)

0.0384

0.038399

0.0384

(0.4, 0.9)

0.0216

0.0216

0.0216

(0.5, 0.1)

0.0225

0.0225

0.0225

(0.5, 0.2)

0.04

0.039999

0.04

(0.5, 0.3)

0.0525

0.052499

0.0525

(0.5, 0.4)

0.06

0.059999

0.06

(0.5, 0.5)

0.0625

0.062499

0.0625

(0.5, 0.6)

0.06

0.059999

0.06

(0.5, 0.7)

0.0525

0.052499

0.0525

(0.5, 0.8)

0.04

0.039999

0.04

(0.5, 0.9)

0.0225

0.0225

0.0225

(0.6, 0.1)

0.0216

0.0216

0.0216

(0.6, 0.2)

0.0384

0.038399

0.0384

(0.6, 0.3)

0.0504

0.050399

0.0504

(0.6, 0.4)

0.0576

0.057599

0.0576

(0.6, 0.5)

0.06

0.059999

0.06

(0.6, 0.6)

0.0576

0.057599

0.0576

(0.6, 0.7)

0.0504

0.050399

0.0504

(0.6, 0.8)

0.0384

0.038399

0.0384

(0.6, 0.9)

0.0216

0.0216

0.0216

(0.7, 0.1)

0.0189

0.0189

0.0189

(0.7, 0.2)

0.0336

0.033599

0.0336

(0.7, 0.3)

0.0441

0.044099

0.0441

(0.7, 0.4)

0.0504

0.050399

0.0504

(0.7, 0.5)

0.0525

0.052499

0.0525

(0.7, 0.6)

0.0504

0.050399

0.0504

(0.7, 0.7)

0.0441

0.044099

0.0441

(0.7, 0.8)

0.0336

0.033599

0.0336

(0.7, 0.9)

0.0189

0.0189

0.0189

(0.8, 0.1)

0.0144

0.0144

0.0144

(0.8, 0.2)

0.0256

0.0256

0.0256

(0.8, 0.3)

0.0336

0.033599

0.0336

(0.8, 0.4)

0.0384

0.038399

0.0384

(0.8, 0.5)

0.04

0.039999

0.04

(0.8, 0.6)

0.0384

0.038399

0.0384

(0.8, 0.7)

0.0336

0.033599

0.0336

(0.8, 0.8)

0.0256

0.0256

0.0256

(0.8, 0.9)

0.0144

0.0144

0.0144

(0.9, 0.1)

0.0081

0.0080999

0.0081

(0.9, 0.2)

0.0144

0.0144

0.0144

(0.9, 0.3)

0.0189

0.0189

0.0189

(0.9, 0.4)

0.0216

0.0216

0.0216

(0.9, 0.5)

0.0225

0.0225

0.0225

(0.9, 0.6)

0.0216

0.0216

0.0216

(0.9, 0.7)

0.0189

0.0189

0.0189

(0.9, 0.8)

0.0144

0.0144

0.0144

(0.9, 0.9)

0.0081

0.0080999

0.0081


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

59030. Лицар в іржавих обладунках. Роман Сервантеса Премудрий ідальго Дон Кіхот з Ламанчі 78 KB
  Можна спитати в учнів які лицарські романи знаходились в бібліотеці Дон Кіхота про це вони повинні були прочитати вдома у розділі VI першої частини. Назва роману Сервантеса та імя головного героя Коли взимку 1605 року у книжкових лавках Мадрида...
59031. Позакласна робота з математики. Логічні задачі 48 KB
  Завжди робіть таблицю, у ній ви зможете враховувати всі ймовірні варіанти. Уважно читайте кожне твердження. По-справжньому уважно. Звичайно кожне твердження містить щось таке, що дозволить вам спростувати хоча б один із варіантів.
59032. Матеріали до вивчення творів Ернеста Хемінгуея (1899-1961). Людина не для того створена, щоб терпіти поразки 40.5 KB
  Старий рибалка Сантьяго спіймав велику рибину але додому привіз тільки хребет бо рибу зїли акули. Чому хлопець пішов від Сантьяго Звелів тато. Який звичай був у Сантьяго Базікати в морі самим з собою. Яка єдина зброя є у Сантьяго Воля і розум.
59033. М. Метерлінк. Синій птах - лірична оповідь про пошуки щастя 38 KB
  Мета: проаналізувати філософські роздуми автора про велич навколишнього світу в якому живе людина про бажання пізнати таємниці речей і щастя постановку ним питань загальнолюдської моралі; донести учням гуманізм письменника...
59034. Мій рідний край у думах та піснях 60 KB
  Українська мова дуже багата на казки та пісні але найхарактернішими для творчості цього народу є дума епічна поема. І над чим він тяжко в пісні плаче Що він знає а не знаєм ми. Що ж можуть розповісти дослідникові Одещини українські народні пісні та думки Багато аби ми хотіли в ті пісні вслухатися або вчитатися.
59035. Містер початкових класів. Струнко дуть солдати 29.5 KB
  Привітання учасників 10 балів 2.Кожен отримує ту кількість балів скільки разів відіжметься 4. Найбільша кількість балів 5. Перший хто склав отримує 8 балів.
59036. Сценарій виховного заходу. Масляна 51 KB
  Весна Вбігають блазні. Допоможе нам у цьому Масляна. Ведуча: Масляна Масниця Колодій одне з календарно-побутових свят яке повязане із давнім народним звичаєм проводами зими і зустріччю весни. Пісня Масляна Муз.
59037. Матеріальна культура українців 53 KB
  На сьогоднішній урок дослідницькі групи готували повідомлення у вигляді тематичних виписок за темою Матеріальна культура українців. Робота дослідницьких груп Прошу представника першої групи Господарі доповісти.
59038. Мене війна веде все далі 52.5 KB
  Перший юнак. Другий юнак Сніги Не сніги а ріллі Наорані смертю за мить. Третій юнак І руки його обгорілі Не хочуть такого кінця І зуби аж сяють білі На спаленій масці лиця Бо то ж недомріяна мрія То ж вірність його комусь Напис на танку біліє: Жди я вернусь На фоні мелодії пісні...