41620

Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона методом Чебышева

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Разностную задачу 5 будем решать явным итерационным методом с чебышевским набором параметров который выражается следующей формулой: 10 где заданное число итераций . 11 Результаты: В вычислениях использовался следующий алгоритм: Задаём количество итераций полагаем тогда шаг сетки =01. Полученный ответ с точностью до...

Русский

2013-10-24

103.07 KB

33 чел.

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

Уфимский государственный авиационный технический университет

Лабораторная работа №5

по дисциплине «Численные методы»

На тему: «Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона

методом Чебышева»

Выполнил:

студент группы ПМ-335

Ямилев И.М.

Проверил:

Голичев И.И.

Уфа

2012

Отчёт по лабораторной работе № 5.

 

Задача:

Явным методом Чебышева требуется найти приближённое решение уравнения

                                                                                  (1)

в квадрате с краевыми условиями

                                                           ,                                                        (2)

где – граница квадрата .

Выбираем функцию, удовлетворяющую краевым условиям (2)

.

Вычислим

.

Возьмём по определению в качестве правой части уравнения (1)

,

тогда нам известно точное решение задачи (1), (2).

Теория:

От задачи (1), (2) перейдём к разностной. Вводим на плоскости прямоугольную сетку с шагом по направлению и по направлению . Получим , . Обозначим .

Обозначим через множество внутренних узлов сетки, то есть

,

а через – множество граничных узлов, то есть

.

Пусть далее

Рассмотрим конечномерное пространство функции , заданных на сетке . Здесь и будем обозначать . Обозначим

.

Тогда разностный оператор Лапласа записывается в виде

                                               .                                        (3)

Разностное выражение (3) называется пятиточечным разностным шаблоном, так как содержит значения функции в пяти точках сетки, а именно в точках . Указанное множество точек называется шаблоном разностного оператора Лапласа.

Заменим исходную задачу разностной задачей. При этом будем считать, что , тогда . Разностная аппроксимация задачи (1), (2), принимает вид

                                               ,                                        (4)

или более подробно

                               ,                       (5)

.

Обозначим через пространство функций , заданных на и равных нулю на границе со скалярным произведением

                                                   .                                      (6)

В пространстве определим оператор

                                                .                                       (7)

Тогда уравнение (5) можно записать в операторной форме

                                                               ,                                               (8)

где – функция, заданная на сетке и . Сеточные функции и будем рассматривать как вектора – мерного пространства с координатами .

Наименьшее  и наибольшее собственные значения оператора равны

,

                 (9)

.

Разностную задачу (5) будем решать явным итерационным методом с чебышевским набором параметров, который выражается следующей формулой:

                                                   ,                                   (10)

где , -заданное число итераций,

             .         (11)


Результаты:

В вычислениях использовался следующий алгоритм:

  1.  Задаём количество итераций , полагаем , тогда шаг сетки =0,1.
  2.  По формулам (9), (11) вычисляем , .
  3.  Вычисляем и по формулам (11).
  4.  Полагая , последовательно применяя формулу (10), находим .
  5.  Пункт 4 повторяем, полагая
  6.  Итерационный процесс продолжаем до совпадения первых четырех знаков в последних итерациях по циклам.

Полученный ответ с точностью до четвертой цифры получен после 50 итераций:

Точка

Точное значение функции

Значение после 40 итераций

Значение после 50 итераций

(0.1, 0.1)

0.0081

0.0080999

0.0081

(0.1, 0.2)

0.0144

0.0144

0.0144

(0.1, 0.3)

0.0189

0.0189

0.0189

(0.1, 0.4)

0.0216

0.0216

0.0216

(0.1, 0.5)

0.0225

0.0225

0.0225

(0.1, 0.6)

0.0216

0.0216

0.0216

(0.1, 0.7)

0.0189

0.0189

0.0189

(0.1, 0.8)

0.0144

0.0144

0.0144

(0.1, 0.9)

0.0081

0.0080999

0.0081

(0.2, 0.1)

0.0144

0.0144

0.0144

(0.2, 0.2)

0.0256

0.0256

0.0256

(0.2, 0.3)

0.0336

0.033599

0.0336

(0.2, 0.4)

0.0384

0.038399

0.0384

(0.2, 0.5)

0.04

0.039999

0.04

(0.2, 0.6)

0.0384

0.038399

0.0384

(0.2, 0.7)

0.0336

0.033599

0.0336

(0.2, 0.8)

0.0256

0.0256

0.0256

(0.2, 0.9)

0.0144

0.0144

0.0144

(0.3, 0.1)

0.0189

0.0189

0.0189

(0.3, 0.2)

0.0336

0.033599

0.0336

(0.3, 0.3)

0.0441

0.044099

0.0441

(0.3, 0.4)

0.0504

0.050399

0.0504

(0.3, 0.5)

0.0525

0.052499

0.0525

(0.3, 0.6)

0.0504

0.050399

0.0504

(0.3, 0.7)

0.0441

0.044099

0.0441

(0.3, 0.8)

0.0336

0.033599

0.0336

(0.3, 0.9)

0.0189

0.0189

0.0189

(0.4, 0.1)

0.0216

0.0216

0.0216

(0.4, 0.2)

0.0384

0.038399

0.0384

(0.4, 0.3)

0.0504

0.050399

0.0504

(0.4, 0.4)

0.0576

0.057599

0.0576

(0.4, 0.5)

0.06

0.059999

0.06

(0.4, 0.6)

0.0576

0.057599

0.0576

(0.4, 0.7)

0.0504

0.050399

0.0504

(0.4, 0.8)

0.0384

0.038399

0.0384

(0.4, 0.9)

0.0216

0.0216

0.0216

(0.5, 0.1)

0.0225

0.0225

0.0225

(0.5, 0.2)

0.04

0.039999

0.04

(0.5, 0.3)

0.0525

0.052499

0.0525

(0.5, 0.4)

0.06

0.059999

0.06

(0.5, 0.5)

0.0625

0.062499

0.0625

(0.5, 0.6)

0.06

0.059999

0.06

(0.5, 0.7)

0.0525

0.052499

0.0525

(0.5, 0.8)

0.04

0.039999

0.04

(0.5, 0.9)

0.0225

0.0225

0.0225

(0.6, 0.1)

0.0216

0.0216

0.0216

(0.6, 0.2)

0.0384

0.038399

0.0384

(0.6, 0.3)

0.0504

0.050399

0.0504

(0.6, 0.4)

0.0576

0.057599

0.0576

(0.6, 0.5)

0.06

0.059999

0.06

(0.6, 0.6)

0.0576

0.057599

0.0576

(0.6, 0.7)

0.0504

0.050399

0.0504

(0.6, 0.8)

0.0384

0.038399

0.0384

(0.6, 0.9)

0.0216

0.0216

0.0216

(0.7, 0.1)

0.0189

0.0189

0.0189

(0.7, 0.2)

0.0336

0.033599

0.0336

(0.7, 0.3)

0.0441

0.044099

0.0441

(0.7, 0.4)

0.0504

0.050399

0.0504

(0.7, 0.5)

0.0525

0.052499

0.0525

(0.7, 0.6)

0.0504

0.050399

0.0504

(0.7, 0.7)

0.0441

0.044099

0.0441

(0.7, 0.8)

0.0336

0.033599

0.0336

(0.7, 0.9)

0.0189

0.0189

0.0189

(0.8, 0.1)

0.0144

0.0144

0.0144

(0.8, 0.2)

0.0256

0.0256

0.0256

(0.8, 0.3)

0.0336

0.033599

0.0336

(0.8, 0.4)

0.0384

0.038399

0.0384

(0.8, 0.5)

0.04

0.039999

0.04

(0.8, 0.6)

0.0384

0.038399

0.0384

(0.8, 0.7)

0.0336

0.033599

0.0336

(0.8, 0.8)

0.0256

0.0256

0.0256

(0.8, 0.9)

0.0144

0.0144

0.0144

(0.9, 0.1)

0.0081

0.0080999

0.0081

(0.9, 0.2)

0.0144

0.0144

0.0144

(0.9, 0.3)

0.0189

0.0189

0.0189

(0.9, 0.4)

0.0216

0.0216

0.0216

(0.9, 0.5)

0.0225

0.0225

0.0225

(0.9, 0.6)

0.0216

0.0216

0.0216

(0.9, 0.7)

0.0189

0.0189

0.0189

(0.9, 0.8)

0.0144

0.0144

0.0144

(0.9, 0.9)

0.0081

0.0080999

0.0081


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

16162. Квалификация контрабанды. Учебное пособие 565 KB
  Основная часть работы посвящена уголовно-правовому анализу состава контрабанды. Дается характеристика квалифицированных видов контрабанды, затрагиваются некоторые вопросы разграничения контрабанды и смежных составов преступлений
16163. Синтетические наркотики, вопросы расследования преступлений. Учебное пособие 3.36 MB
  Сергей Александрович Розанов Синтетические наркотики: вопросы расследования преступлений Серия Закон и практика В. Усманов Г. Михайлова В. Земских А. Михайлов Н. Биржаков Е. Трофимова Н. Солнцева С. Шевякова Главный редактор Заведующий редакцией Выпуска...
16164. Ответственность за должностные преступления в зарубежных странах. Учебное пособие 346.5 KB
  ОТВЕТСТВЕННОСТЬ ЗА ДОЛЖНОСТНЫЕ ПРЕСТУПЛЕНИЯ в зарубежных странах Москва Юридическая литература 1994 67 080 Работа подготовлена коллективом сотрудников Института законодательства и сравнительного правоведения при Правительстве Российской Федерации: п...
16165. Задержание лица, подозреваемого в совершении преступления. Учебное пособие 134.5 KB
  В пособии в форме тематической лекции, прочитанной в УрЮИ МВД России, рассматриваются понятие, цели, условия, основания, мотивы и процессуальный порядок производства задержания лица, подозреваемого в совершении преступления, а также основания освобождения лица от подозрения. Проводится разграничение фактического, административного, уголовно-процессуального задержания и заключения под стражу
16166. Криминалистика, тактика, организация и методика расследования преступлений. Учебное пособие 884.5 KB
  Учебник предназначен для слушателей факультета заочного обучения. В нем рассмотрены темы курса криминалистики по тактике, организации и методике расследования преступлений в соответствии с рабочей программой по криминалистике для Волгоградского юридического института России
16167. Расследование хищений чужого имущества. Учебное пособие 676 KB
  В учебном пособии рассмотрены общие положения методики расследования хищений чужого имущества, а также частные методики расследования хищений автотранспорта, предметов, имеющих особую ценность, серийных квартирных краж, хищений, совершаемых группами несовершеннолетних
16168. Уголовное право России. Учебное пособие 2.65 MB
  Г.М. Миньковский A.A. Магомедов В.П. Ревин УГОЛОВНОЕ ПРАВО РОССИИ Под общей редакцией заслуженного деятеля науки РФ доктора юридических наук профессора РЕВИНА В.П. УЧЕБНИК Общая и Особенная части. Рекомендуется к изданию редакционноиздательским советом Академии у
16170. Практика назначения наказания. Учебное пособие 500 KB
  С.А. Разумов ПРАКТИКА НАЗНАЧЕНИЯ НАКАЗАНИЯ Учебнопрактическое пособие Москва Институт международного права и экономики имени А.С. Грибоедова 2001 Разумов С.А. Р17 Практика назначения наказания: Учебнопра...