41620

Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона методом Чебышева

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Разностную задачу 5 будем решать явным итерационным методом с чебышевским набором параметров который выражается следующей формулой: 10 где заданное число итераций . 11 Результаты: В вычислениях использовался следующий алгоритм: Задаём количество итераций полагаем тогда шаг сетки =01. Полученный ответ с точностью до...

Русский

2013-10-24

103.07 KB

41 чел.

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

Уфимский государственный авиационный технический университет

Лабораторная работа №5

по дисциплине «Численные методы»

На тему: «Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона

методом Чебышева»

Выполнил:

студент группы ПМ-335

Ямилев И.М.

Проверил:

Голичев И.И.

Уфа

2012

Отчёт по лабораторной работе № 5.

 

Задача:

Явным методом Чебышева требуется найти приближённое решение уравнения

                                                                                  (1)

в квадрате с краевыми условиями

                                                           ,                                                        (2)

где – граница квадрата .

Выбираем функцию, удовлетворяющую краевым условиям (2)

.

Вычислим

.

Возьмём по определению в качестве правой части уравнения (1)

,

тогда нам известно точное решение задачи (1), (2).

Теория:

От задачи (1), (2) перейдём к разностной. Вводим на плоскости прямоугольную сетку с шагом по направлению и по направлению . Получим , . Обозначим .

Обозначим через множество внутренних узлов сетки, то есть

,

а через – множество граничных узлов, то есть

.

Пусть далее

Рассмотрим конечномерное пространство функции , заданных на сетке . Здесь и будем обозначать . Обозначим

.

Тогда разностный оператор Лапласа записывается в виде

                                               .                                        (3)

Разностное выражение (3) называется пятиточечным разностным шаблоном, так как содержит значения функции в пяти точках сетки, а именно в точках . Указанное множество точек называется шаблоном разностного оператора Лапласа.

Заменим исходную задачу разностной задачей. При этом будем считать, что , тогда . Разностная аппроксимация задачи (1), (2), принимает вид

                                               ,                                        (4)

или более подробно

                               ,                       (5)

.

Обозначим через пространство функций , заданных на и равных нулю на границе со скалярным произведением

                                                   .                                      (6)

В пространстве определим оператор

                                                .                                       (7)

Тогда уравнение (5) можно записать в операторной форме

                                                               ,                                               (8)

где – функция, заданная на сетке и . Сеточные функции и будем рассматривать как вектора – мерного пространства с координатами .

Наименьшее  и наибольшее собственные значения оператора равны

,

                 (9)

.

Разностную задачу (5) будем решать явным итерационным методом с чебышевским набором параметров, который выражается следующей формулой:

                                                   ,                                   (10)

где , -заданное число итераций,

             .         (11)


Результаты:

В вычислениях использовался следующий алгоритм:

  1.  Задаём количество итераций , полагаем , тогда шаг сетки =0,1.
  2.  По формулам (9), (11) вычисляем , .
  3.  Вычисляем и по формулам (11).
  4.  Полагая , последовательно применяя формулу (10), находим .
  5.  Пункт 4 повторяем, полагая
  6.  Итерационный процесс продолжаем до совпадения первых четырех знаков в последних итерациях по циклам.

Полученный ответ с точностью до четвертой цифры получен после 50 итераций:

Точка

Точное значение функции

Значение после 40 итераций

Значение после 50 итераций

(0.1, 0.1)

0.0081

0.0080999

0.0081

(0.1, 0.2)

0.0144

0.0144

0.0144

(0.1, 0.3)

0.0189

0.0189

0.0189

(0.1, 0.4)

0.0216

0.0216

0.0216

(0.1, 0.5)

0.0225

0.0225

0.0225

(0.1, 0.6)

0.0216

0.0216

0.0216

(0.1, 0.7)

0.0189

0.0189

0.0189

(0.1, 0.8)

0.0144

0.0144

0.0144

(0.1, 0.9)

0.0081

0.0080999

0.0081

(0.2, 0.1)

0.0144

0.0144

0.0144

(0.2, 0.2)

0.0256

0.0256

0.0256

(0.2, 0.3)

0.0336

0.033599

0.0336

(0.2, 0.4)

0.0384

0.038399

0.0384

(0.2, 0.5)

0.04

0.039999

0.04

(0.2, 0.6)

0.0384

0.038399

0.0384

(0.2, 0.7)

0.0336

0.033599

0.0336

(0.2, 0.8)

0.0256

0.0256

0.0256

(0.2, 0.9)

0.0144

0.0144

0.0144

(0.3, 0.1)

0.0189

0.0189

0.0189

(0.3, 0.2)

0.0336

0.033599

0.0336

(0.3, 0.3)

0.0441

0.044099

0.0441

(0.3, 0.4)

0.0504

0.050399

0.0504

(0.3, 0.5)

0.0525

0.052499

0.0525

(0.3, 0.6)

0.0504

0.050399

0.0504

(0.3, 0.7)

0.0441

0.044099

0.0441

(0.3, 0.8)

0.0336

0.033599

0.0336

(0.3, 0.9)

0.0189

0.0189

0.0189

(0.4, 0.1)

0.0216

0.0216

0.0216

(0.4, 0.2)

0.0384

0.038399

0.0384

(0.4, 0.3)

0.0504

0.050399

0.0504

(0.4, 0.4)

0.0576

0.057599

0.0576

(0.4, 0.5)

0.06

0.059999

0.06

(0.4, 0.6)

0.0576

0.057599

0.0576

(0.4, 0.7)

0.0504

0.050399

0.0504

(0.4, 0.8)

0.0384

0.038399

0.0384

(0.4, 0.9)

0.0216

0.0216

0.0216

(0.5, 0.1)

0.0225

0.0225

0.0225

(0.5, 0.2)

0.04

0.039999

0.04

(0.5, 0.3)

0.0525

0.052499

0.0525

(0.5, 0.4)

0.06

0.059999

0.06

(0.5, 0.5)

0.0625

0.062499

0.0625

(0.5, 0.6)

0.06

0.059999

0.06

(0.5, 0.7)

0.0525

0.052499

0.0525

(0.5, 0.8)

0.04

0.039999

0.04

(0.5, 0.9)

0.0225

0.0225

0.0225

(0.6, 0.1)

0.0216

0.0216

0.0216

(0.6, 0.2)

0.0384

0.038399

0.0384

(0.6, 0.3)

0.0504

0.050399

0.0504

(0.6, 0.4)

0.0576

0.057599

0.0576

(0.6, 0.5)

0.06

0.059999

0.06

(0.6, 0.6)

0.0576

0.057599

0.0576

(0.6, 0.7)

0.0504

0.050399

0.0504

(0.6, 0.8)

0.0384

0.038399

0.0384

(0.6, 0.9)

0.0216

0.0216

0.0216

(0.7, 0.1)

0.0189

0.0189

0.0189

(0.7, 0.2)

0.0336

0.033599

0.0336

(0.7, 0.3)

0.0441

0.044099

0.0441

(0.7, 0.4)

0.0504

0.050399

0.0504

(0.7, 0.5)

0.0525

0.052499

0.0525

(0.7, 0.6)

0.0504

0.050399

0.0504

(0.7, 0.7)

0.0441

0.044099

0.0441

(0.7, 0.8)

0.0336

0.033599

0.0336

(0.7, 0.9)

0.0189

0.0189

0.0189

(0.8, 0.1)

0.0144

0.0144

0.0144

(0.8, 0.2)

0.0256

0.0256

0.0256

(0.8, 0.3)

0.0336

0.033599

0.0336

(0.8, 0.4)

0.0384

0.038399

0.0384

(0.8, 0.5)

0.04

0.039999

0.04

(0.8, 0.6)

0.0384

0.038399

0.0384

(0.8, 0.7)

0.0336

0.033599

0.0336

(0.8, 0.8)

0.0256

0.0256

0.0256

(0.8, 0.9)

0.0144

0.0144

0.0144

(0.9, 0.1)

0.0081

0.0080999

0.0081

(0.9, 0.2)

0.0144

0.0144

0.0144

(0.9, 0.3)

0.0189

0.0189

0.0189

(0.9, 0.4)

0.0216

0.0216

0.0216

(0.9, 0.5)

0.0225

0.0225

0.0225

(0.9, 0.6)

0.0216

0.0216

0.0216

(0.9, 0.7)

0.0189

0.0189

0.0189

(0.9, 0.8)

0.0144

0.0144

0.0144

(0.9, 0.9)

0.0081

0.0080999

0.0081


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23856. Николай Михайлович Карамзин 34.5 KB
  В 1789 году в журнале Детское чтение появилась первая оригинальная повесть Карамзина Евгений и Юлия. К середине 1790х Карамзин становится признанным главой русского сентиментализма открывавшего новую страницу в русской литературе. В 180203 годах Карамзин издавал журнал Вестник Европы в котором преобладали литература и политика.
23857. Что нужно автору 14.11 KB
  Когда ты хочешь писать портрет свой то посмотрись прежде в верное зеркало: может ли быть лицо твое предметом искусства которое должно заниматься одним изящным изображать красоту гармонию и распространять в области чувствительного приятные впечатления Если творческая натура произвела тебя в час небрежения или в минуту раздора своего с красотою: то будь благоразумен не безобразь художниковой кисти оставь свое намерение. Ты берешься за перо и хочешь быть автором: спроси же у самого себя наедине без свидетелей искренно: каков...
23858. Оды 16.41 KB
  Первая ода Ломоносова На взятие Хотина 1739 посвящена победе над турками. Полная мифология российской истории разворачивается в одах посвящённых императрице Елисавете Петровне. Хотя по временам Он насылает на неё Свой гневно затем переменяет его на милость: Я в гневе Россам был ТворецНо ныне паки им Отец Ода 1742 г. Бог как и в прежних одахсокрушает злобу разрушая умыслы врагов России там же и в других местах.
23859. Повесть о Горе и Злочастии, как Горе-Злочастие довело молодца во иноческий чин 13.93 KB
  Молодец же пытается жить своим умом а объясняет автор это желание тем что молодец был в то время се мал и глуп не в полном разуме и несовершенен разумом.Хозяевам нравится что молодец ведёт себя по писанному учениюто есть так как и учили его родители.Но молодец кручинится а после признаётся при всех в том что ослушался родителей и спрашивает совета как жить на чужой стороне. Молодец слушается ГореЗлочастие пропивает все деньги и только после этого спохватывается и пытается избавиться от своего спутника ГоряЗлочастия.
23860. Повесть о Петре и Февронии Муромских 15.5 KB
  Змий рассказал княгине что смерть его будет от Петрова плеча от Агрикова меча. У князя был брат по имени Петр. Однажды Петр пришел к брату.
23861. Повесть о разорении Рязани Батыем 14.34 KB
  Через два года после перенесения иконы Николы Чудотворца на Русь приходит безбожный царь Батый. Батый посылает послов к рязанскому князю Юрию Ингоревичу предлагая следующие условия: рязанский князь сразу же отдаст по десятой части всего земли людей богатств. Безбожный царь Батый был льстив и немилостив.Узнав от одного предателя рязанского вельможи что у самого Федора Юрьевича есть красавица жена Батый обращается к нему с такимпредложением.
23862. Сказание о Дракуле воеводе 16.23 KB
  который за свою жестокость имел прозвище ЦепешСажатель на кол и Дракула Дракон. Был на Мунгьянской земле область Румынии восточная часть Валахиивоевода христианин греческой веры имя его повалашски Дракулаа понашему Дьявол. Дракула спросил их почему так поступили такое бесчестье ему нанесли. Дракула воздал послу тому пышные почести показал ему своё богатство сказав что не только готов платить дань царюно со всем воинством готов пойти к нему на службу.
23863. Слово о походе Игоревом, Игоря, сына Святославова, внука Ольгова 17.03 KB
  В самом начале Игорева похода случилось затмение солнца но князь пренебрег этим дурным знамением: все превозмогла жажда искусить Дона Великого.И начали князья про малое говорить: Это великое и сами на себя крамолу ковать. Великая печаль настала по всей русской земле: Игорькнязь погубил то чего добился отец его Святослав Ольгович пленивший половецкого хана Кобяка. А киевский князь Святослав видел смутный сон: одевали его черным покрывалом на кровати тисовой черпали синее вино с горем смешанноесыпали пустыми колчанами крупный...
23864. Специфика древнерусской литературы (ДРЛ) и этапы развития. 11-17 века 34.5 KB
  Время перехода от средневекового типа литературы к новому. Характеризуется появлением новых жанров и нового понимания задач литературы. Условия возникновения письменной литературы: письменность крещение Руси.