41620

Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона методом Чебышева

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Разностную задачу 5 будем решать явным итерационным методом с чебышевским набором параметров который выражается следующей формулой: 10 где заданное число итераций . 11 Результаты: В вычислениях использовался следующий алгоритм: Задаём количество итераций полагаем тогда шаг сетки =01. Полученный ответ с точностью до...

Русский

2013-10-24

103.07 KB

48 чел.

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

Уфимский государственный авиационный технический университет

Лабораторная работа №5

по дисциплине «Численные методы»

На тему: «Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона

методом Чебышева»

Выполнил:

студент группы ПМ-335

Ямилев И.М.

Проверил:

Голичев И.И.

Уфа

2012

Отчёт по лабораторной работе № 5.

 

Задача:

Явным методом Чебышева требуется найти приближённое решение уравнения

                                                                                  (1)

в квадрате с краевыми условиями

                                                           ,                                                        (2)

где – граница квадрата .

Выбираем функцию, удовлетворяющую краевым условиям (2)

.

Вычислим

.

Возьмём по определению в качестве правой части уравнения (1)

,

тогда нам известно точное решение задачи (1), (2).

Теория:

От задачи (1), (2) перейдём к разностной. Вводим на плоскости прямоугольную сетку с шагом по направлению и по направлению . Получим , . Обозначим .

Обозначим через множество внутренних узлов сетки, то есть

,

а через – множество граничных узлов, то есть

.

Пусть далее

Рассмотрим конечномерное пространство функции , заданных на сетке . Здесь и будем обозначать . Обозначим

.

Тогда разностный оператор Лапласа записывается в виде

                                               .                                        (3)

Разностное выражение (3) называется пятиточечным разностным шаблоном, так как содержит значения функции в пяти точках сетки, а именно в точках . Указанное множество точек называется шаблоном разностного оператора Лапласа.

Заменим исходную задачу разностной задачей. При этом будем считать, что , тогда . Разностная аппроксимация задачи (1), (2), принимает вид

                                               ,                                        (4)

или более подробно

                               ,                       (5)

.

Обозначим через пространство функций , заданных на и равных нулю на границе со скалярным произведением

                                                   .                                      (6)

В пространстве определим оператор

                                                .                                       (7)

Тогда уравнение (5) можно записать в операторной форме

                                                               ,                                               (8)

где – функция, заданная на сетке и . Сеточные функции и будем рассматривать как вектора – мерного пространства с координатами .

Наименьшее  и наибольшее собственные значения оператора равны

,

                 (9)

.

Разностную задачу (5) будем решать явным итерационным методом с чебышевским набором параметров, который выражается следующей формулой:

                                                   ,                                   (10)

где , -заданное число итераций,

             .         (11)


Результаты:

В вычислениях использовался следующий алгоритм:

  1.  Задаём количество итераций , полагаем , тогда шаг сетки =0,1.
  2.  По формулам (9), (11) вычисляем , .
  3.  Вычисляем и по формулам (11).
  4.  Полагая , последовательно применяя формулу (10), находим .
  5.  Пункт 4 повторяем, полагая
  6.  Итерационный процесс продолжаем до совпадения первых четырех знаков в последних итерациях по циклам.

Полученный ответ с точностью до четвертой цифры получен после 50 итераций:

Точка

Точное значение функции

Значение после 40 итераций

Значение после 50 итераций

(0.1, 0.1)

0.0081

0.0080999

0.0081

(0.1, 0.2)

0.0144

0.0144

0.0144

(0.1, 0.3)

0.0189

0.0189

0.0189

(0.1, 0.4)

0.0216

0.0216

0.0216

(0.1, 0.5)

0.0225

0.0225

0.0225

(0.1, 0.6)

0.0216

0.0216

0.0216

(0.1, 0.7)

0.0189

0.0189

0.0189

(0.1, 0.8)

0.0144

0.0144

0.0144

(0.1, 0.9)

0.0081

0.0080999

0.0081

(0.2, 0.1)

0.0144

0.0144

0.0144

(0.2, 0.2)

0.0256

0.0256

0.0256

(0.2, 0.3)

0.0336

0.033599

0.0336

(0.2, 0.4)

0.0384

0.038399

0.0384

(0.2, 0.5)

0.04

0.039999

0.04

(0.2, 0.6)

0.0384

0.038399

0.0384

(0.2, 0.7)

0.0336

0.033599

0.0336

(0.2, 0.8)

0.0256

0.0256

0.0256

(0.2, 0.9)

0.0144

0.0144

0.0144

(0.3, 0.1)

0.0189

0.0189

0.0189

(0.3, 0.2)

0.0336

0.033599

0.0336

(0.3, 0.3)

0.0441

0.044099

0.0441

(0.3, 0.4)

0.0504

0.050399

0.0504

(0.3, 0.5)

0.0525

0.052499

0.0525

(0.3, 0.6)

0.0504

0.050399

0.0504

(0.3, 0.7)

0.0441

0.044099

0.0441

(0.3, 0.8)

0.0336

0.033599

0.0336

(0.3, 0.9)

0.0189

0.0189

0.0189

(0.4, 0.1)

0.0216

0.0216

0.0216

(0.4, 0.2)

0.0384

0.038399

0.0384

(0.4, 0.3)

0.0504

0.050399

0.0504

(0.4, 0.4)

0.0576

0.057599

0.0576

(0.4, 0.5)

0.06

0.059999

0.06

(0.4, 0.6)

0.0576

0.057599

0.0576

(0.4, 0.7)

0.0504

0.050399

0.0504

(0.4, 0.8)

0.0384

0.038399

0.0384

(0.4, 0.9)

0.0216

0.0216

0.0216

(0.5, 0.1)

0.0225

0.0225

0.0225

(0.5, 0.2)

0.04

0.039999

0.04

(0.5, 0.3)

0.0525

0.052499

0.0525

(0.5, 0.4)

0.06

0.059999

0.06

(0.5, 0.5)

0.0625

0.062499

0.0625

(0.5, 0.6)

0.06

0.059999

0.06

(0.5, 0.7)

0.0525

0.052499

0.0525

(0.5, 0.8)

0.04

0.039999

0.04

(0.5, 0.9)

0.0225

0.0225

0.0225

(0.6, 0.1)

0.0216

0.0216

0.0216

(0.6, 0.2)

0.0384

0.038399

0.0384

(0.6, 0.3)

0.0504

0.050399

0.0504

(0.6, 0.4)

0.0576

0.057599

0.0576

(0.6, 0.5)

0.06

0.059999

0.06

(0.6, 0.6)

0.0576

0.057599

0.0576

(0.6, 0.7)

0.0504

0.050399

0.0504

(0.6, 0.8)

0.0384

0.038399

0.0384

(0.6, 0.9)

0.0216

0.0216

0.0216

(0.7, 0.1)

0.0189

0.0189

0.0189

(0.7, 0.2)

0.0336

0.033599

0.0336

(0.7, 0.3)

0.0441

0.044099

0.0441

(0.7, 0.4)

0.0504

0.050399

0.0504

(0.7, 0.5)

0.0525

0.052499

0.0525

(0.7, 0.6)

0.0504

0.050399

0.0504

(0.7, 0.7)

0.0441

0.044099

0.0441

(0.7, 0.8)

0.0336

0.033599

0.0336

(0.7, 0.9)

0.0189

0.0189

0.0189

(0.8, 0.1)

0.0144

0.0144

0.0144

(0.8, 0.2)

0.0256

0.0256

0.0256

(0.8, 0.3)

0.0336

0.033599

0.0336

(0.8, 0.4)

0.0384

0.038399

0.0384

(0.8, 0.5)

0.04

0.039999

0.04

(0.8, 0.6)

0.0384

0.038399

0.0384

(0.8, 0.7)

0.0336

0.033599

0.0336

(0.8, 0.8)

0.0256

0.0256

0.0256

(0.8, 0.9)

0.0144

0.0144

0.0144

(0.9, 0.1)

0.0081

0.0080999

0.0081

(0.9, 0.2)

0.0144

0.0144

0.0144

(0.9, 0.3)

0.0189

0.0189

0.0189

(0.9, 0.4)

0.0216

0.0216

0.0216

(0.9, 0.5)

0.0225

0.0225

0.0225

(0.9, 0.6)

0.0216

0.0216

0.0216

(0.9, 0.7)

0.0189

0.0189

0.0189

(0.9, 0.8)

0.0144

0.0144

0.0144

(0.9, 0.9)

0.0081

0.0080999

0.0081


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

85953. Юридические лица по праву Европейского Союза 179.5 KB
  Цель: Анализ юридических лиц по Европейскому праву и формирование системы научных знаний о свободах перемещения компаний в Европейском Союзе - правовом институте, который в настоящее время стремительно развивается и в ближайшем будущем несомненно изменит облик корпоративного права европейских стран.
85954. Планирование маркетинга в процессе организации деловой игры 574 KB
  В начале игры показатель количество целей экспонирования товаров торговых точек равен 3 у всех фирм в каждом канале распространения товаров. Каждая фирма имеет по 20 торговых представителей которые поровну распределены между двумя каналами распространения продукции. Перемещение продавца с одного канала на другой не считается увольнением или приёмом на новую работу так как при этом не меняется общее количество продавцов. Оптовые цены за предшествующий период равны 95 в обоих каналах распространения товаров.
85955. Cчетчик обратного отсчета 247.5 KB
  Ввод необходимо осуществлять с помощью стандартной шестнадцатикнопочной терминальной клавиатуры. Переход в режим установки времени необходимо осуществлять нажатием клавиши 0. Выход из режима установки времени должен происходить автоматически по окончании ввода значений всех регистров.
85956. Разработка рекламной кампании на предприятии (на примере ОАО «Приморский кондитер») 485 KB
  Рекламная кампания – это несколько рекламных мероприятий, объединенных одной целью (целями), охватывающих определенный период времени и распределенных во времени так, чтобы одно рекламное мероприятие дополняло другое. Цель данной курсовой: осуществить разработку рекламной кампании для продвижения...
85957. Содержание и техника составления отчета о движении денежных средств 453 KB
  Отчет о движении денежных средств дополняет балансовый отчет и отчет о прибылях и убытках. Балансовый отчет отражает финансовое положение компании на определенный момент времени (конец учетного периода), а отчет о движении денежных средств поясняет изменения, произошедшие с одним из компонентов финансовой...
85958. Разработка программного приложения в среде программирования Delphi для анализа функций двух переменных 1.39 MB
  Для построения синтаксического анализатора были рассмотрены основные принципы работы трансляторов формальные грамматики и языки взаимодействие синтаксического и лексического анализаторов однозначная грамматика для арифметических выражений синтаксический анализ вычисление значения арифметического выражения...
85959. Стили совладания со стрессом у футболистов старшего школьного возраста 76.75 KB
  Многие эксперименты ее подтверждают. Например, испытуемых просили оценить предъявлявшиеся им анекдоты и карикатуры. При этом требовалось держать во рту карандаш. Но одни испытуемые должны были удерживать его зубами, невольно изображая подобие улыбки, а другие — губами, отчего лицо принимало хмуро-напряженное выражение.
85960. Анализ импорта материалов в промышленности (на материалах ОАО «Брестский завод бытовой химии») 297 KB
  Актуальность избранной темы исследования объясняется вышеназванными факторами. Предметом исследования в данной работе являются операции по импорту материалов. Объект исследования – предприятие химической промышленности ОАО «Брестский завод бытовой химии». Цель работы – проанализировать операции по импорту материалов.
85961. Вивчення механізму впливу чинників внутрішнього і зовнішнього середовища; дослідження їх впливу на діяльність організації в умовах вибраної стратегії; оцінка стану організації 59 KB
  Особливістю організації виробництва є те що елементна база та деякі потові модулі виготовляються та складаються на дочірніх підприємствах у Львівській та Закарпатській областях. Зміст роботи Оцінка впливу факторів внутрішнього середовища організації. Оцінка впливу факторів зовнішнього середовища організації прямої дії.