41620

Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона методом Чебышева

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Разностную задачу 5 будем решать явным итерационным методом с чебышевским набором параметров который выражается следующей формулой: 10 где заданное число итераций . 11 Результаты: В вычислениях использовался следующий алгоритм: Задаём количество итераций полагаем тогда шаг сетки =01. Полученный ответ с точностью до...

Русский

2013-10-24

103.07 KB

33 чел.

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

Уфимский государственный авиационный технический университет

Лабораторная работа №5

по дисциплине «Численные методы»

На тему: «Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона

методом Чебышева»

Выполнил:

студент группы ПМ-335

Ямилев И.М.

Проверил:

Голичев И.И.

Уфа

2012

Отчёт по лабораторной работе № 5.

 

Задача:

Явным методом Чебышева требуется найти приближённое решение уравнения

                                                                                  (1)

в квадрате с краевыми условиями

                                                           ,                                                        (2)

где – граница квадрата .

Выбираем функцию, удовлетворяющую краевым условиям (2)

.

Вычислим

.

Возьмём по определению в качестве правой части уравнения (1)

,

тогда нам известно точное решение задачи (1), (2).

Теория:

От задачи (1), (2) перейдём к разностной. Вводим на плоскости прямоугольную сетку с шагом по направлению и по направлению . Получим , . Обозначим .

Обозначим через множество внутренних узлов сетки, то есть

,

а через – множество граничных узлов, то есть

.

Пусть далее

Рассмотрим конечномерное пространство функции , заданных на сетке . Здесь и будем обозначать . Обозначим

.

Тогда разностный оператор Лапласа записывается в виде

                                               .                                        (3)

Разностное выражение (3) называется пятиточечным разностным шаблоном, так как содержит значения функции в пяти точках сетки, а именно в точках . Указанное множество точек называется шаблоном разностного оператора Лапласа.

Заменим исходную задачу разностной задачей. При этом будем считать, что , тогда . Разностная аппроксимация задачи (1), (2), принимает вид

                                               ,                                        (4)

или более подробно

                               ,                       (5)

.

Обозначим через пространство функций , заданных на и равных нулю на границе со скалярным произведением

                                                   .                                      (6)

В пространстве определим оператор

                                                .                                       (7)

Тогда уравнение (5) можно записать в операторной форме

                                                               ,                                               (8)

где – функция, заданная на сетке и . Сеточные функции и будем рассматривать как вектора – мерного пространства с координатами .

Наименьшее  и наибольшее собственные значения оператора равны

,

                 (9)

.

Разностную задачу (5) будем решать явным итерационным методом с чебышевским набором параметров, который выражается следующей формулой:

                                                   ,                                   (10)

где , -заданное число итераций,

             .         (11)


Результаты:

В вычислениях использовался следующий алгоритм:

  1.  Задаём количество итераций , полагаем , тогда шаг сетки =0,1.
  2.  По формулам (9), (11) вычисляем , .
  3.  Вычисляем и по формулам (11).
  4.  Полагая , последовательно применяя формулу (10), находим .
  5.  Пункт 4 повторяем, полагая
  6.  Итерационный процесс продолжаем до совпадения первых четырех знаков в последних итерациях по циклам.

Полученный ответ с точностью до четвертой цифры получен после 50 итераций:

Точка

Точное значение функции

Значение после 40 итераций

Значение после 50 итераций

(0.1, 0.1)

0.0081

0.0080999

0.0081

(0.1, 0.2)

0.0144

0.0144

0.0144

(0.1, 0.3)

0.0189

0.0189

0.0189

(0.1, 0.4)

0.0216

0.0216

0.0216

(0.1, 0.5)

0.0225

0.0225

0.0225

(0.1, 0.6)

0.0216

0.0216

0.0216

(0.1, 0.7)

0.0189

0.0189

0.0189

(0.1, 0.8)

0.0144

0.0144

0.0144

(0.1, 0.9)

0.0081

0.0080999

0.0081

(0.2, 0.1)

0.0144

0.0144

0.0144

(0.2, 0.2)

0.0256

0.0256

0.0256

(0.2, 0.3)

0.0336

0.033599

0.0336

(0.2, 0.4)

0.0384

0.038399

0.0384

(0.2, 0.5)

0.04

0.039999

0.04

(0.2, 0.6)

0.0384

0.038399

0.0384

(0.2, 0.7)

0.0336

0.033599

0.0336

(0.2, 0.8)

0.0256

0.0256

0.0256

(0.2, 0.9)

0.0144

0.0144

0.0144

(0.3, 0.1)

0.0189

0.0189

0.0189

(0.3, 0.2)

0.0336

0.033599

0.0336

(0.3, 0.3)

0.0441

0.044099

0.0441

(0.3, 0.4)

0.0504

0.050399

0.0504

(0.3, 0.5)

0.0525

0.052499

0.0525

(0.3, 0.6)

0.0504

0.050399

0.0504

(0.3, 0.7)

0.0441

0.044099

0.0441

(0.3, 0.8)

0.0336

0.033599

0.0336

(0.3, 0.9)

0.0189

0.0189

0.0189

(0.4, 0.1)

0.0216

0.0216

0.0216

(0.4, 0.2)

0.0384

0.038399

0.0384

(0.4, 0.3)

0.0504

0.050399

0.0504

(0.4, 0.4)

0.0576

0.057599

0.0576

(0.4, 0.5)

0.06

0.059999

0.06

(0.4, 0.6)

0.0576

0.057599

0.0576

(0.4, 0.7)

0.0504

0.050399

0.0504

(0.4, 0.8)

0.0384

0.038399

0.0384

(0.4, 0.9)

0.0216

0.0216

0.0216

(0.5, 0.1)

0.0225

0.0225

0.0225

(0.5, 0.2)

0.04

0.039999

0.04

(0.5, 0.3)

0.0525

0.052499

0.0525

(0.5, 0.4)

0.06

0.059999

0.06

(0.5, 0.5)

0.0625

0.062499

0.0625

(0.5, 0.6)

0.06

0.059999

0.06

(0.5, 0.7)

0.0525

0.052499

0.0525

(0.5, 0.8)

0.04

0.039999

0.04

(0.5, 0.9)

0.0225

0.0225

0.0225

(0.6, 0.1)

0.0216

0.0216

0.0216

(0.6, 0.2)

0.0384

0.038399

0.0384

(0.6, 0.3)

0.0504

0.050399

0.0504

(0.6, 0.4)

0.0576

0.057599

0.0576

(0.6, 0.5)

0.06

0.059999

0.06

(0.6, 0.6)

0.0576

0.057599

0.0576

(0.6, 0.7)

0.0504

0.050399

0.0504

(0.6, 0.8)

0.0384

0.038399

0.0384

(0.6, 0.9)

0.0216

0.0216

0.0216

(0.7, 0.1)

0.0189

0.0189

0.0189

(0.7, 0.2)

0.0336

0.033599

0.0336

(0.7, 0.3)

0.0441

0.044099

0.0441

(0.7, 0.4)

0.0504

0.050399

0.0504

(0.7, 0.5)

0.0525

0.052499

0.0525

(0.7, 0.6)

0.0504

0.050399

0.0504

(0.7, 0.7)

0.0441

0.044099

0.0441

(0.7, 0.8)

0.0336

0.033599

0.0336

(0.7, 0.9)

0.0189

0.0189

0.0189

(0.8, 0.1)

0.0144

0.0144

0.0144

(0.8, 0.2)

0.0256

0.0256

0.0256

(0.8, 0.3)

0.0336

0.033599

0.0336

(0.8, 0.4)

0.0384

0.038399

0.0384

(0.8, 0.5)

0.04

0.039999

0.04

(0.8, 0.6)

0.0384

0.038399

0.0384

(0.8, 0.7)

0.0336

0.033599

0.0336

(0.8, 0.8)

0.0256

0.0256

0.0256

(0.8, 0.9)

0.0144

0.0144

0.0144

(0.9, 0.1)

0.0081

0.0080999

0.0081

(0.9, 0.2)

0.0144

0.0144

0.0144

(0.9, 0.3)

0.0189

0.0189

0.0189

(0.9, 0.4)

0.0216

0.0216

0.0216

(0.9, 0.5)

0.0225

0.0225

0.0225

(0.9, 0.6)

0.0216

0.0216

0.0216

(0.9, 0.7)

0.0189

0.0189

0.0189

(0.9, 0.8)

0.0144

0.0144

0.0144

(0.9, 0.9)

0.0081

0.0080999

0.0081


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

12291. Измерение длины световой волны с помощью бипризмы Френеля. 166 KB
  Отчет по лабораторной работе №1. Измерение длины световой волны с помощью бипризмы Френеля. Цель работы: Измерение длины световой волны с помощью бипризмы Френеля. а бипризмы Френеля Sисточник монохроматический б рабочая установка: осветите
12292. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИНЫ СВЕТОВОЙ ВОЛНЫ С ПОМОЩЬЮ ПРОЗРАЧНОЙ ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЁТКИ 209 KB
  При прохождении света через любую из щелей происходит дифракция (в результате которой волны распространяются от щели по всем направлениях). Идущие от всех щелей волны собираются линзой О на экране Э и интерферируют (складываются).
12293. Банктік менеджментті жетілдіру жолдары 164.5 KB
  Кіріспе Менеджмент – ұйымдастыру және басқарудың оңтайлы жүйесі туралы ғылым. Менеджменттің мағынасы әр түрлі. Менеджмент сөзі тар мағынасында белгілі бір адамдар тобын ұйымдастыру мен басқаруға қатысты болса оны кең мағынасында банктің қызме
12294. Банктік карточкалар бойынша жүргізілетін операциялар есебі 319.5 KB
  Кіріспе. Зерттеу тақырыбының өзектілігі. Қазақстан Республикасының төлем системасының ұйымдастырылуы жетілдіріліп келеді. Төлем системасындағы есеп айырысу операциялары экономикадағы ақша массасы мен оның қозғалысын реттеуге және оған бақылау жасауға ықпал ет...
12295. Бастапқы құжаттарды ұйымдастыру 113.5 KB
  Кіріспе Бухгалтерлік құжат –шаруашылық операцияларын жүзеге асыруға арналған жазбаша өнім немесе осы операцияны іс жүзінде атқаруды растау .Құжаттардағы мәліметтер бухгалтерлік есепте ағымдағы шаруашылық операцияларын көрсетуге негіз болады. Сонымен қа...
12296. ДЕПОЗИТТІК ОПЕРАЦИЯЛАР 111.5 KB
  ДЕПОЗИТТІК ОПЕРАЦИЯЛАР 1. Депозиттік операциялар түрлері Банктер өзінің активті операцияларын жүргізу үшін пассивтi операцияларды өткізу нәтижесінде пайда болатын тартылған қаржыларды қолданады. Коммерциялық банктің пассивтi операциял...
12297. Еңбек нарығы 77.5 KB
  Еңбек нарығы Еңбек нарығында бірнеше ерекшеліктер болады. Осында құратын элементтерге жұмысшы күшін иемденетін адамдар жатады. Бұларға психофизиялогиялық әлуметтік мәдени діни саяси және т.б. адамдық қасиеттер тән болады. Осы ерекшеліктер адамдардың мүдделеріне мо...
12298. Кәсіпорын экономикасын талдау 71.5 KB
  ЖОСПАР Кіріспе 1. Еңбекақы төлеудің маңызытүрлері және оларды ұйымдастыру 2. Еңбекақыны жоспарлау және реттеу 3. Еңбекақы жүйелері және нышандары 4. Қорытынды Қолданылған әдебиет ...
12299. Есеп саясаты туралы түсінік және оған қойылатын талаптар 57 KB
  Есеп саясаты туралы түсінік және оған қойылатын талаптар Бухгалтерлік есеп принциптері бойынша кәсіпорынның есеп саясаты деп ұйымның бухгалтерлік есепті жүргізу әдістері мен тәсілдерінің жиынтығын яғни алғашқы бақылау құндық өлшеу ағымдағы топтау мен