41622

Решение первой начальной краевой задачи для уравнения теплопроводности по схеме Кранка-Николсона

Лабораторная работа

Физика

Задача: Используя метод простых итераций метод Чебышева и метод наискорейшего спуска найти по схеме КранкаНиколсона приближенное решение задачи: 1 2...

Русский

2013-10-24

102.29 KB

21 чел.

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

Уфимский государственный авиационный технический университет

Лабораторная работа №6

по дисциплине «Численные методы»

На тему: «Решение первой начальной краевой задачи для уравнения теплопроводности по схеме Кранка-Николсона»

Выполнил:

студент группы ПМ-335

Ямилев И.М.

Проверил:

Голичев И.И.

Уфа

2012

Отчёт по лабораторной работе № 6.

 

Задача:

Используя метод простых итераций, метод Чебышева и метод наискорейшего спуска найти по схеме Кранка-Николсона приближенное решение задачи:

                                                                              (1)

                                                                                                  (2)

                                                                                                     (3)

Пусть , где (n- номер варианта). Найти , при которых является точным решением задачи (1) – (3). При найденных и  найти приближенное решение задачи (1) – (3), используя схему Кранка-Николсона и перечисленные выше методы решения стационарных задач.

Теория:

Сведем задачу к разностной задаче, используя схему Кранка-Николсона и разностное приближение оператора Лапласа.

                                        ,                                      (4)

                                                        ,                                                      (5)

                                                     ,                                                      (6)

где

Из (4) получим, что обозначая получим операторное уравнение где Таким образом, решение задачи (4) – (6) сводится к последовательному решению операторных уравнений

                                                                                                 (7)

на временной сетке (по временным слоям). Для собственных значений оператора получаем оценки

                                        

                          (8)

                                     

Решение уравнения (7) при фиксированном (на временном слое ) будем искать итерационными методами

                                                                                           (9)

полагая где – последняя итерация на предыдущем временном слое.

  1.  Алгоритм метода простых итераций

В итерационном процессе (9) полагаем . Учитывая (8), получаем

                                   .                                                  (10)

Итерационный процесс (9) принимает вид:

                                                         (11)

                                                                               

Полагая получим .

  1.  Алгоритм метода Чебышева

В итерационном процессе (9) вычисляется по формуле

                                                                 (12)

где вычисляется по формуле (10), а

                                                    (13)

Здесь N фиксированный параметр, например можно положить N=10. По формуле

                                                           (14)

и находим Далее повторяем итерационный процесс (14), полагая . Процесс продолжаем до совпадения первых четырех знаков в последних итерациях.


  1.  Алгоритм метода скорейшего спуска

Итерационный процесс  осуществляется по формуле (14), где параметры вычисляются по формуле

В новых обозначениях (14) можно записать в виде:


Результаты:

Необходимо решить задачу:

Искомая функция

Полученные функции f и g:

.

Требуется вычислить значение приближенной функции  во всех точках в момент времени . Шаг по времени Точность приближения – .

Метод простых итераций дал ответ с заданной точностью после 6 итераций, метод Чебышева – после 15, метод скорейшего спуска – после 6.

Точка

Точное значение функции

Простые итерации

Метод Чебышева

Метод скорейшего спуска

Значение после 5 итераций

Значение после 6 итераций

Значение после 10 итераций

Значение после 15 итераций

Значение после 5 итераций

Значение после 6 итераций

(0.1, 0.1)

0.028272

0.027528

0.027616

0.028207

0.028276

0.02721

0.027294

(0.1, 0.2)

0.050261

0.054254

0.054431

0.055564

0.055689

0.053613

0.053794

(0.1, 0.3)

0.065967

0.078479

0.078736

0.08029

0.080451

0.077561

0.077832

(0.1, 0.4)

0.075391

0.098598

0.0989

0.1007

0.10086

0.097507

0.097832

(0.1, 0.5)

0.078533

0.11272

0.11302

0.11486

0.11501

0.11158

0.11191

(0.1, 0.6)

0.075391

0.11858

0.11886

0.12057

0.12069

0.1175

0.11782

(0.1, 0.7)

0.065967

0.11366

0.11391

0.11535

0.11545

0.11271

0.113

(0.1, 0.8)

0.050261

0.095178

0.095385

0.096453

0.09652

0.094422

0.094671

(0.1, 0.9)

0.028272

0.059582

0.059701

0.06028

0.060315

0.059135

0.059294

(0.2, 0.1)

0.055547

0.051741

0.051891

0.052958

0.053069

0.051169

0.051309

(0.2, 0.2)

0.09875

0.1019

0.10221

0.10425

0.10445

0.10075

0.10106

(0.2, 0.3)

0.12961

0.14721

0.14765

0.15044

0.15069

0.14557

0.14602

(0.2, 0.4)

0.14813

0.18459

0.1851

0.1883

0.18856

0.18265

0.18319

(0.2, 0.5)

0.1543

0.21042

0.21092

0.21415

0.21438

0.20843

0.20897

(0.2, 0.6)

0.14813

0.22039

0.22083

0.2238

0.22397

0.21854

0.21902

(0.2, 0.7)

0.12961

0.20972

0.21011

0.21259

0.21272

0.20814

0.20856

(0.2, 0.8)

0.09875

0.17346

0.17377

0.1756

0.17569

0.17221

0.17257

(0.2, 0.9)

0.055547

0.10613

0.10632

0.10731

0.10735

0.1054

0.10563

(0.3, 0.1)

0.080573

0.073158

0.073337

0.07469

0.074805

0.072411

0.072582

(0.3, 0.2)

0.14324

0.14409

0.14446

0.14704

0.14724

0.14259

0.14297

(0.3, 0.3)

0.188

0.20814

0.20867

0.21217

0.21242

0.206

0.20656

(0.3, 0.4)

0.21486

0.26093

0.26152

0.2655

0.26573

0.25844

0.25909

(0.3, 0.5)

0.22381

0.29729

0.29783

0.30178

0.30197

0.29477

0.29539

(0.3, 0.6)

0.21486

0.31102

0.31146

0.31502

0.31515

0.30875

0.30926

(0.3, 0.7)

0.188

0.2953

0.29566

0.29861

0.29869

0.29341

0.29382

(0.3, 0.8)

0.14324

0.24319

0.24347

0.24565

0.24569

0.24173

0.24208

(0.3, 0.9)

0.080573

0.14762

0.1478

0.14897

0.149

0.14676

0.147

(0.4, 0.1)

0.10177

0.091289

0.091461

0.092896

0.092986

0.090455

0.090633

(0.4, 0.2)

0.18092

0.17993

0.18028

0.18301

0.18316

0.17824

0.17864

(0.4, 0.3)

0.23746

0.26014

0.26064

0.26433

0.2645

0.25776

0.25835

(0.4, 0.4)

0.27138

0.32652

0.32705

0.33118

0.33131

0.32377

0.32443

(0.4, 0.5)

0.28269

0.37254

0.37299

0.37702

0.3771

0.36985

0.37043

(0.4, 0.6)

0.27138

0.39038

0.39068

0.39425

0.39428

0.38803

0.38845

(0.4, 0.7)

0.23746

0.37127

0.37148

0.37442

0.37441

0.36938

0.36967

(0.4, 0.8)

0.18092

0.30621

0.30638

0.30856

0.30856

0.30475

0.30501

(0.4, 0.9)

0.10177

0.18607

0.18619

0.18739

0.18739

0.1852

0.1854

(0.5, 0.1)

0.11716

0.10487

0.105

0.10636

0.10642

0.10406

0.10421

(0.5, 0.2)

0.20828

0.20694

0.20722

0.20981

0.20991

0.2053

0.20565

(0.5, 0.3)

0.27337

0.29976

0.30015

0.30363

0.30373

0.29744

0.29795

(0.5, 0.4)

0.31242

0.37717

0.37755

0.38143

0.38149

0.37456

0.3751

(0.5, 0.5)

0.32544

0.43172

0.43197

0.43573

0.43574

0.42923

0.42964

(0.5, 0.6)

0.31242

0.45423

0.45431

0.45764

0.45762

0.45216

0.45237

(0.5, 0.7)

0.27337

0.43418

0.4342

0.43699

0.43698

0.43255

0.43264

(0.5, 0.8)

0.20828

0.36036

0.36043

0.36257

0.36257

0.35908

0.35921

(0.5, 0.9)

0.11716

0.22071

0.22079

0.222

0.22202

0.21989

0.22004

(0.6, 0.1)

0.1243

0.11186

0.11195

0.11318

0.11322

0.11118

0.11127

(0.6, 0.2)

0.22098

0.22113

0.22132

0.22367

0.22375

0.21972

0.21996

(0.6, 0.3)

0.29003

0.32118

0.32145

0.32464

0.32472

0.3192

0.31955

(0.6, 0.4)

0.33147

0.40563

0.40589

0.40946

0.40953

0.40342

0.40377

(0.6, 0.5)

0.34528

0.46658

0.4667

0.47024

0.47029

0.46456

0.46474

(0.6, 0.6)

0.33147

0.49407

0.49407

0.49733

0.49739

0.49243

0.49242

(0.6, 0.7)

0.29003

0.47629

0.4763

0.47921

0.47928

0.47498

0.47492

(0.6, 0.8)

0.22098

0.39981

0.39991

0.40227

0.40237

0.39862

0.3987

(0.6, 0.9)

0.1243

0.24852

0.24868

0.25005

0.25011

0.2477

0.24787

(0.7, 0.1)

0.1202

0.10947

0.10955

0.11064

0.11069

0.10891

0.10897

(0.7, 0.2)

0.21369

0.21692

0.21712

0.21922

0.21932

0.21574

0.21593

(0.7, 0.3)

0.28047

0.31624

0.31654

0.31945

0.31958

0.31453

0.31484

(0.7, 0.4)

0.32053

0.40143

0.40174

0.40512

0.40526

0.39949

0.39981

(0.7, 0.5)

0.33389

0.46487

0.46512

0.46864

0.46882

0.46302

0.46324

(0.7, 0.6)

0.32053

0.49675

0.49698

0.50045

0.50066

0.49515

0.49526

(0.7, 0.7)

0.28047

0.48489

0.48518

0.48848

0.48873

0.48336

0.48353

(0.7, 0.8)

0.21369

0.41408

0.41453

0.4173

0.41752

0.41256

0.41295

(0.7, 0.9)

0.1202

0.26359

0.26391

0.26557

0.26572

0.26245

0.26285

(0.8, 0.1)

0.10121

0.094129

0.094239

0.095136

0.095191

0.093618

0.093724

(0.8, 0.2)

0.17993

0.18715

0.1874

0.18915

0.18926

0.18606

0.18633

(0.8, 0.3)

0.23616

0.27419

0.27458

0.27707

0.27722

0.27257

0.27303

(0.8, 0.4)

0.2699

0.35037

0.35085

0.35384

0.35404

0.34842

0.34897

(0.8, 0.5)

0.28115

0.40936

0.40988

0.41315

0.4134

0.40732

0.4079

(0.8, 0.6)

0.2699

0.44279

0.44336

0.44676

0.44706

0.44072

0.44133

(0.8, 0.7)

0.23616

0.43968

0.44041

0.44375

0.44406

0.43754

0.4383

(0.8, 0.8)

0.17993

0.38499

0.3857

0.38857

0.38886

0.38277

0.3837

(0.8, 0.9)

0.10121

0.25411

0.25467

0.25637

0.25653

0.2526

0.25332

(0.9, 0.1)

0.06292

0.060768

0.060862

0.061397

0.061435

0.060401

0.060516

(0.9, 0.2)

0.11186

0.12139

0.1216

0.12266

0.12273

0.12061

0.12088

(0.9, 0.3)

0.14681

0.17903

0.17936

0.18088

0.18099

0.17785

0.17829

(0.9, 0.4)

0.16779

0.23074

0.23115

0.23302

0.23317

0.22926

0.22983

(0.9, 0.5)

0.17478

0.27262

0.2731

0.27521

0.27539

0.27096

0.27162

(0.9, 0.6)

0.16779

0.29945

0.30002

0.30225

0.30247

0.29768

0.29842

(0.9, 0.7)

0.14681

0.30409

0.30471

0.30695

0.30718

0.30216

0.30303

(0.9, 0.8)

0.11186

0.2755

0.27618

0.27808

0.27828

0.27365

0.27457

(0.9, 0.9)

0.06292

0.19245

0.19285

0.19399

0.19412

0.19117

0.19182


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

16403. Пример расчета эффективности неравномерных капиталовложений с по-мощью функций ЧПС, ВНДОХ и Подбор параметра 112 KB
  Финансовые функции Excel. Пример расчета эффективности неравномерных капиталовложений с помощью функций ЧПС ВНДОХ и Подбор параметра. Рассмотрим следующую задачу. Вас просят дать в долг 10000 руб. и обещают вернуть через год 2000 руб. через два года 4000 руб через три год
16404. Пример расчета эффективности неравномерных капиталовложений с по-мощью функций НПЗ, ВНДОХ и Подбор параметра 111 KB
  Финансовые функции Excel. Пример расчета эффективности неравномерных капиталовложений с помощью функций НПЗ ВНДОХ и Подбор параметра. Рассмотрим следующую задачу. Вас просят дать в долг 10000 руб. и обещают вернуть через год 2000 руб. через два года 4000 руб через три год
16405. Финансовые функции Excel ПЛПРОЦ, ОСНПЛАТ 71 KB
  Финансовые функции Excel ПЛПРОЦ ОСНПЛАТ. Рассмотрим пример вычисоения основных платежей платы по процентамобщей ежегодной платы и остатка долга на примере ссуды 100000руб. на срок 5 лет при годовой ставке 2 представленной на рисунке: Ежегодная плата вычисляется в ячей
16406. Финансовые функции Excel ПРОЦПЛАТ, ОСПЛТ 72.5 KB
  Финансовые функции Excel ПРОЦПЛАТ ОСПЛТ. Рассмотрим пример вычисления основных платежей платы по процентам общей ежегодной платы и остатка долга на примере ссуды 100000руб. на срок 5 лет при годовой ставке 2 представленной на рисунке: Ежегодная плата вычисляется в ячей...
16408. Финансовые функции Excel. Пример расчета эффективности капиталовложений с помощью функции ПС 145.5 KB
  Финансовые функции Excel. Пример расчета эффективности капиталовложений с помощью функции ПС. Рассмотрим следующую задачу. Вас просят дать в долг 10000 руб. и обещают возвращать по 2000руб. в течении 6 лет. Будет ли выгодна эта сделка при годовой ставке 7 В приведенно на рисунке...
16409. Финансовые функции Excel. Пример расчета эффективности капиталовложений с помощью функции ПЗ 144.5 KB
  Финансовые функции Excel. Пример расчета эффективности капиталовложений с помощью функции ПЗ. Рассмотрим следующую задачу. Вас просят дать в долг 10000 руб. и обещают возвращать по 2000руб. в течении 6 лет. Будет ли выгодна эта сделка при годовой ставке 7 В приведенно на рисунке...
16410. Практическое задание: использование функции вертикального просмотра (ВПР) 65.5 KB
  Практическое задание: использование функции вертикального просмотра ВПР Функция ВПР ищет значение в крайнем левом столбце справочной таблицы и возвращает значение в той же строке из указанного столбца таблицы. Синтаксическая форма ВПРискомое_значение;таблица;...
16411. ФУНКЦИИ EXCEL. ВВОД ФУНКЦИЙ В РАБОЧЕМ ЛИСТЕ EXCEL 133.75 KB
  Лекция 1. ФУНКЦИИ EXCEL Функции Excel это специальные заранее созданные формулы которые позволяют легко и быстро выполнять сложные вычисления. Их можно сравнить со специальными клавишами на калькуляторах предназначенных для вычисления квадратных корней логарифмов и про...