41622

Решение первой начальной краевой задачи для уравнения теплопроводности по схеме Кранка-Николсона

Лабораторная работа

Физика

Задача: Используя метод простых итераций метод Чебышева и метод наискорейшего спуска найти по схеме КранкаНиколсона приближенное решение задачи: 1 2...

Русский

2013-10-24

102.29 KB

21 чел.

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

Уфимский государственный авиационный технический университет

Лабораторная работа №6

по дисциплине «Численные методы»

На тему: «Решение первой начальной краевой задачи для уравнения теплопроводности по схеме Кранка-Николсона»

Выполнил:

студент группы ПМ-335

Ямилев И.М.

Проверил:

Голичев И.И.

Уфа

2012

Отчёт по лабораторной работе № 6.

 

Задача:

Используя метод простых итераций, метод Чебышева и метод наискорейшего спуска найти по схеме Кранка-Николсона приближенное решение задачи:

                                                                              (1)

                                                                                                  (2)

                                                                                                     (3)

Пусть , где (n- номер варианта). Найти , при которых является точным решением задачи (1) – (3). При найденных и  найти приближенное решение задачи (1) – (3), используя схему Кранка-Николсона и перечисленные выше методы решения стационарных задач.

Теория:

Сведем задачу к разностной задаче, используя схему Кранка-Николсона и разностное приближение оператора Лапласа.

                                        ,                                      (4)

                                                        ,                                                      (5)

                                                     ,                                                      (6)

где

Из (4) получим, что обозначая получим операторное уравнение где Таким образом, решение задачи (4) – (6) сводится к последовательному решению операторных уравнений

                                                                                                 (7)

на временной сетке (по временным слоям). Для собственных значений оператора получаем оценки

                                        

                          (8)

                                     

Решение уравнения (7) при фиксированном (на временном слое ) будем искать итерационными методами

                                                                                           (9)

полагая где – последняя итерация на предыдущем временном слое.

  1.  Алгоритм метода простых итераций

В итерационном процессе (9) полагаем . Учитывая (8), получаем

                                   .                                                  (10)

Итерационный процесс (9) принимает вид:

                                                         (11)

                                                                               

Полагая получим .

  1.  Алгоритм метода Чебышева

В итерационном процессе (9) вычисляется по формуле

                                                                 (12)

где вычисляется по формуле (10), а

                                                    (13)

Здесь N фиксированный параметр, например можно положить N=10. По формуле

                                                           (14)

и находим Далее повторяем итерационный процесс (14), полагая . Процесс продолжаем до совпадения первых четырех знаков в последних итерациях.


  1.  Алгоритм метода скорейшего спуска

Итерационный процесс  осуществляется по формуле (14), где параметры вычисляются по формуле

В новых обозначениях (14) можно записать в виде:


Результаты:

Необходимо решить задачу:

Искомая функция

Полученные функции f и g:

.

Требуется вычислить значение приближенной функции  во всех точках в момент времени . Шаг по времени Точность приближения – .

Метод простых итераций дал ответ с заданной точностью после 6 итераций, метод Чебышева – после 15, метод скорейшего спуска – после 6.

Точка

Точное значение функции

Простые итерации

Метод Чебышева

Метод скорейшего спуска

Значение после 5 итераций

Значение после 6 итераций

Значение после 10 итераций

Значение после 15 итераций

Значение после 5 итераций

Значение после 6 итераций

(0.1, 0.1)

0.028272

0.027528

0.027616

0.028207

0.028276

0.02721

0.027294

(0.1, 0.2)

0.050261

0.054254

0.054431

0.055564

0.055689

0.053613

0.053794

(0.1, 0.3)

0.065967

0.078479

0.078736

0.08029

0.080451

0.077561

0.077832

(0.1, 0.4)

0.075391

0.098598

0.0989

0.1007

0.10086

0.097507

0.097832

(0.1, 0.5)

0.078533

0.11272

0.11302

0.11486

0.11501

0.11158

0.11191

(0.1, 0.6)

0.075391

0.11858

0.11886

0.12057

0.12069

0.1175

0.11782

(0.1, 0.7)

0.065967

0.11366

0.11391

0.11535

0.11545

0.11271

0.113

(0.1, 0.8)

0.050261

0.095178

0.095385

0.096453

0.09652

0.094422

0.094671

(0.1, 0.9)

0.028272

0.059582

0.059701

0.06028

0.060315

0.059135

0.059294

(0.2, 0.1)

0.055547

0.051741

0.051891

0.052958

0.053069

0.051169

0.051309

(0.2, 0.2)

0.09875

0.1019

0.10221

0.10425

0.10445

0.10075

0.10106

(0.2, 0.3)

0.12961

0.14721

0.14765

0.15044

0.15069

0.14557

0.14602

(0.2, 0.4)

0.14813

0.18459

0.1851

0.1883

0.18856

0.18265

0.18319

(0.2, 0.5)

0.1543

0.21042

0.21092

0.21415

0.21438

0.20843

0.20897

(0.2, 0.6)

0.14813

0.22039

0.22083

0.2238

0.22397

0.21854

0.21902

(0.2, 0.7)

0.12961

0.20972

0.21011

0.21259

0.21272

0.20814

0.20856

(0.2, 0.8)

0.09875

0.17346

0.17377

0.1756

0.17569

0.17221

0.17257

(0.2, 0.9)

0.055547

0.10613

0.10632

0.10731

0.10735

0.1054

0.10563

(0.3, 0.1)

0.080573

0.073158

0.073337

0.07469

0.074805

0.072411

0.072582

(0.3, 0.2)

0.14324

0.14409

0.14446

0.14704

0.14724

0.14259

0.14297

(0.3, 0.3)

0.188

0.20814

0.20867

0.21217

0.21242

0.206

0.20656

(0.3, 0.4)

0.21486

0.26093

0.26152

0.2655

0.26573

0.25844

0.25909

(0.3, 0.5)

0.22381

0.29729

0.29783

0.30178

0.30197

0.29477

0.29539

(0.3, 0.6)

0.21486

0.31102

0.31146

0.31502

0.31515

0.30875

0.30926

(0.3, 0.7)

0.188

0.2953

0.29566

0.29861

0.29869

0.29341

0.29382

(0.3, 0.8)

0.14324

0.24319

0.24347

0.24565

0.24569

0.24173

0.24208

(0.3, 0.9)

0.080573

0.14762

0.1478

0.14897

0.149

0.14676

0.147

(0.4, 0.1)

0.10177

0.091289

0.091461

0.092896

0.092986

0.090455

0.090633

(0.4, 0.2)

0.18092

0.17993

0.18028

0.18301

0.18316

0.17824

0.17864

(0.4, 0.3)

0.23746

0.26014

0.26064

0.26433

0.2645

0.25776

0.25835

(0.4, 0.4)

0.27138

0.32652

0.32705

0.33118

0.33131

0.32377

0.32443

(0.4, 0.5)

0.28269

0.37254

0.37299

0.37702

0.3771

0.36985

0.37043

(0.4, 0.6)

0.27138

0.39038

0.39068

0.39425

0.39428

0.38803

0.38845

(0.4, 0.7)

0.23746

0.37127

0.37148

0.37442

0.37441

0.36938

0.36967

(0.4, 0.8)

0.18092

0.30621

0.30638

0.30856

0.30856

0.30475

0.30501

(0.4, 0.9)

0.10177

0.18607

0.18619

0.18739

0.18739

0.1852

0.1854

(0.5, 0.1)

0.11716

0.10487

0.105

0.10636

0.10642

0.10406

0.10421

(0.5, 0.2)

0.20828

0.20694

0.20722

0.20981

0.20991

0.2053

0.20565

(0.5, 0.3)

0.27337

0.29976

0.30015

0.30363

0.30373

0.29744

0.29795

(0.5, 0.4)

0.31242

0.37717

0.37755

0.38143

0.38149

0.37456

0.3751

(0.5, 0.5)

0.32544

0.43172

0.43197

0.43573

0.43574

0.42923

0.42964

(0.5, 0.6)

0.31242

0.45423

0.45431

0.45764

0.45762

0.45216

0.45237

(0.5, 0.7)

0.27337

0.43418

0.4342

0.43699

0.43698

0.43255

0.43264

(0.5, 0.8)

0.20828

0.36036

0.36043

0.36257

0.36257

0.35908

0.35921

(0.5, 0.9)

0.11716

0.22071

0.22079

0.222

0.22202

0.21989

0.22004

(0.6, 0.1)

0.1243

0.11186

0.11195

0.11318

0.11322

0.11118

0.11127

(0.6, 0.2)

0.22098

0.22113

0.22132

0.22367

0.22375

0.21972

0.21996

(0.6, 0.3)

0.29003

0.32118

0.32145

0.32464

0.32472

0.3192

0.31955

(0.6, 0.4)

0.33147

0.40563

0.40589

0.40946

0.40953

0.40342

0.40377

(0.6, 0.5)

0.34528

0.46658

0.4667

0.47024

0.47029

0.46456

0.46474

(0.6, 0.6)

0.33147

0.49407

0.49407

0.49733

0.49739

0.49243

0.49242

(0.6, 0.7)

0.29003

0.47629

0.4763

0.47921

0.47928

0.47498

0.47492

(0.6, 0.8)

0.22098

0.39981

0.39991

0.40227

0.40237

0.39862

0.3987

(0.6, 0.9)

0.1243

0.24852

0.24868

0.25005

0.25011

0.2477

0.24787

(0.7, 0.1)

0.1202

0.10947

0.10955

0.11064

0.11069

0.10891

0.10897

(0.7, 0.2)

0.21369

0.21692

0.21712

0.21922

0.21932

0.21574

0.21593

(0.7, 0.3)

0.28047

0.31624

0.31654

0.31945

0.31958

0.31453

0.31484

(0.7, 0.4)

0.32053

0.40143

0.40174

0.40512

0.40526

0.39949

0.39981

(0.7, 0.5)

0.33389

0.46487

0.46512

0.46864

0.46882

0.46302

0.46324

(0.7, 0.6)

0.32053

0.49675

0.49698

0.50045

0.50066

0.49515

0.49526

(0.7, 0.7)

0.28047

0.48489

0.48518

0.48848

0.48873

0.48336

0.48353

(0.7, 0.8)

0.21369

0.41408

0.41453

0.4173

0.41752

0.41256

0.41295

(0.7, 0.9)

0.1202

0.26359

0.26391

0.26557

0.26572

0.26245

0.26285

(0.8, 0.1)

0.10121

0.094129

0.094239

0.095136

0.095191

0.093618

0.093724

(0.8, 0.2)

0.17993

0.18715

0.1874

0.18915

0.18926

0.18606

0.18633

(0.8, 0.3)

0.23616

0.27419

0.27458

0.27707

0.27722

0.27257

0.27303

(0.8, 0.4)

0.2699

0.35037

0.35085

0.35384

0.35404

0.34842

0.34897

(0.8, 0.5)

0.28115

0.40936

0.40988

0.41315

0.4134

0.40732

0.4079

(0.8, 0.6)

0.2699

0.44279

0.44336

0.44676

0.44706

0.44072

0.44133

(0.8, 0.7)

0.23616

0.43968

0.44041

0.44375

0.44406

0.43754

0.4383

(0.8, 0.8)

0.17993

0.38499

0.3857

0.38857

0.38886

0.38277

0.3837

(0.8, 0.9)

0.10121

0.25411

0.25467

0.25637

0.25653

0.2526

0.25332

(0.9, 0.1)

0.06292

0.060768

0.060862

0.061397

0.061435

0.060401

0.060516

(0.9, 0.2)

0.11186

0.12139

0.1216

0.12266

0.12273

0.12061

0.12088

(0.9, 0.3)

0.14681

0.17903

0.17936

0.18088

0.18099

0.17785

0.17829

(0.9, 0.4)

0.16779

0.23074

0.23115

0.23302

0.23317

0.22926

0.22983

(0.9, 0.5)

0.17478

0.27262

0.2731

0.27521

0.27539

0.27096

0.27162

(0.9, 0.6)

0.16779

0.29945

0.30002

0.30225

0.30247

0.29768

0.29842

(0.9, 0.7)

0.14681

0.30409

0.30471

0.30695

0.30718

0.30216

0.30303

(0.9, 0.8)

0.11186

0.2755

0.27618

0.27808

0.27828

0.27365

0.27457

(0.9, 0.9)

0.06292

0.19245

0.19285

0.19399

0.19412

0.19117

0.19182


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

11039. Сетевое оборудование стандарта Ethernet 2.38 MB
  Сетевое оборудование Выполняет функциинижних уровней OSI т.е. физического и канального. Все сетевое оборудование условно можно поделить на две группы: 1.Для построения локальных сетей 2.Для построения глобальных сетей Сетевое оборудование стандарта Ethernet. Ethe...
11040. Сетевые протоколы. Протокол TCP/IP 45 KB
  Сетевые протоколы. В данной теме рассматриваются протоколы сетевого и транспортного уровней модели OSI. На сетевом уровне требуется настроить адреса после чего узлы сети начинают видеть получать отклик друг друга. Транспортный уровень занимается коррекцией ошибо
11041. Аппараты распределительных устройств низкого и высокого напряжения 184 KB
  Переключатель – в отличии от рубильника имеет 2 системы неподвижных контактов и 3 коммутационных положения. В среднем положении контакты переключателю разомкнуты. В каждом положении происходит фиксация контактов.
11042. Мехатроника. Основные термины и определения 1.26 MB
  Введение. Основные термины и определения. Мехатроника это новое направление современной науки и техники которое стремительно развивается в последнее десятилетие во всем мире. Если наступивший век считается веком информатизации то для всех машин в самых различных сф
11043. Этапы развития мехатроники. Классификация мехатронных объектов 599.5 KB
  Этапы развития мехатроники. Классификация мехатронных объектов. Мехатроника является молодой областью науки и техники которая выделилась в самостоятельное направление совсем недавно. Об этом можно судить например по возрасту специальных периодических изданий: так ...
11044. Структура и принципы интеграции мехатронных модулей и машин 770 KB
  Структура и принципы интеграции мехатронных модулей и машин Структура мехатронных модулей Мехатронные модули по составу объединяемых устройств и элементов можно подразделить на три группы рис.3.1: модули движения; мехатронные модули движения; интеллек
11045. Мехатронные системы в машиностроительных технологиях 794.5 KB
  Мехатронные системы в машиностроительных технологиях. Автоматизация технологических процессов в производственной сфере проходит путем широкого внедрения мехатронных объектов. Аппаратурные вычислительные и программные возможности в настоящее время позволяют созд...
11046. Промышленные роботы. Основные определения и классификация 295.5 KB
  Промышленные роботы. Основные определения и классификация. Общие сведения о промышленных роботах Исторически мехатроника развивается в основном на базе робототехники. Однако мехатронный подход может быть реализован отнюдь не только в робото
11047. Манипуляторы робототехнических систем 219.5 KB
  Манипуляторы робототехнических систем 6.1. Манипулятор. Кинематические пары цепи и схемы. Базовым элементом робота является манипулятор механизм обладающий несколькими степенями подвижности который предназначен для перемещения и ориентации объектов ...