41622

Решение первой начальной краевой задачи для уравнения теплопроводности по схеме Кранка-Николсона

Лабораторная работа

Физика

Задача: Используя метод простых итераций метод Чебышева и метод наискорейшего спуска найти по схеме КранкаНиколсона приближенное решение задачи: 1 2...

Русский

2013-10-24

102.29 KB

21 чел.

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

Уфимский государственный авиационный технический университет

Лабораторная работа №6

по дисциплине «Численные методы»

На тему: «Решение первой начальной краевой задачи для уравнения теплопроводности по схеме Кранка-Николсона»

Выполнил:

студент группы ПМ-335

Ямилев И.М.

Проверил:

Голичев И.И.

Уфа

2012

Отчёт по лабораторной работе № 6.

 

Задача:

Используя метод простых итераций, метод Чебышева и метод наискорейшего спуска найти по схеме Кранка-Николсона приближенное решение задачи:

                                                                              (1)

                                                                                                  (2)

                                                                                                     (3)

Пусть , где (n- номер варианта). Найти , при которых является точным решением задачи (1) – (3). При найденных и  найти приближенное решение задачи (1) – (3), используя схему Кранка-Николсона и перечисленные выше методы решения стационарных задач.

Теория:

Сведем задачу к разностной задаче, используя схему Кранка-Николсона и разностное приближение оператора Лапласа.

                                        ,                                      (4)

                                                        ,                                                      (5)

                                                     ,                                                      (6)

где

Из (4) получим, что обозначая получим операторное уравнение где Таким образом, решение задачи (4) – (6) сводится к последовательному решению операторных уравнений

                                                                                                 (7)

на временной сетке (по временным слоям). Для собственных значений оператора получаем оценки

                                        

                          (8)

                                     

Решение уравнения (7) при фиксированном (на временном слое ) будем искать итерационными методами

                                                                                           (9)

полагая где – последняя итерация на предыдущем временном слое.

  1.  Алгоритм метода простых итераций

В итерационном процессе (9) полагаем . Учитывая (8), получаем

                                   .                                                  (10)

Итерационный процесс (9) принимает вид:

                                                         (11)

                                                                               

Полагая получим .

  1.  Алгоритм метода Чебышева

В итерационном процессе (9) вычисляется по формуле

                                                                 (12)

где вычисляется по формуле (10), а

                                                    (13)

Здесь N фиксированный параметр, например можно положить N=10. По формуле

                                                           (14)

и находим Далее повторяем итерационный процесс (14), полагая . Процесс продолжаем до совпадения первых четырех знаков в последних итерациях.


  1.  Алгоритм метода скорейшего спуска

Итерационный процесс  осуществляется по формуле (14), где параметры вычисляются по формуле

В новых обозначениях (14) можно записать в виде:


Результаты:

Необходимо решить задачу:

Искомая функция

Полученные функции f и g:

.

Требуется вычислить значение приближенной функции  во всех точках в момент времени . Шаг по времени Точность приближения – .

Метод простых итераций дал ответ с заданной точностью после 6 итераций, метод Чебышева – после 15, метод скорейшего спуска – после 6.

Точка

Точное значение функции

Простые итерации

Метод Чебышева

Метод скорейшего спуска

Значение после 5 итераций

Значение после 6 итераций

Значение после 10 итераций

Значение после 15 итераций

Значение после 5 итераций

Значение после 6 итераций

(0.1, 0.1)

0.028272

0.027528

0.027616

0.028207

0.028276

0.02721

0.027294

(0.1, 0.2)

0.050261

0.054254

0.054431

0.055564

0.055689

0.053613

0.053794

(0.1, 0.3)

0.065967

0.078479

0.078736

0.08029

0.080451

0.077561

0.077832

(0.1, 0.4)

0.075391

0.098598

0.0989

0.1007

0.10086

0.097507

0.097832

(0.1, 0.5)

0.078533

0.11272

0.11302

0.11486

0.11501

0.11158

0.11191

(0.1, 0.6)

0.075391

0.11858

0.11886

0.12057

0.12069

0.1175

0.11782

(0.1, 0.7)

0.065967

0.11366

0.11391

0.11535

0.11545

0.11271

0.113

(0.1, 0.8)

0.050261

0.095178

0.095385

0.096453

0.09652

0.094422

0.094671

(0.1, 0.9)

0.028272

0.059582

0.059701

0.06028

0.060315

0.059135

0.059294

(0.2, 0.1)

0.055547

0.051741

0.051891

0.052958

0.053069

0.051169

0.051309

(0.2, 0.2)

0.09875

0.1019

0.10221

0.10425

0.10445

0.10075

0.10106

(0.2, 0.3)

0.12961

0.14721

0.14765

0.15044

0.15069

0.14557

0.14602

(0.2, 0.4)

0.14813

0.18459

0.1851

0.1883

0.18856

0.18265

0.18319

(0.2, 0.5)

0.1543

0.21042

0.21092

0.21415

0.21438

0.20843

0.20897

(0.2, 0.6)

0.14813

0.22039

0.22083

0.2238

0.22397

0.21854

0.21902

(0.2, 0.7)

0.12961

0.20972

0.21011

0.21259

0.21272

0.20814

0.20856

(0.2, 0.8)

0.09875

0.17346

0.17377

0.1756

0.17569

0.17221

0.17257

(0.2, 0.9)

0.055547

0.10613

0.10632

0.10731

0.10735

0.1054

0.10563

(0.3, 0.1)

0.080573

0.073158

0.073337

0.07469

0.074805

0.072411

0.072582

(0.3, 0.2)

0.14324

0.14409

0.14446

0.14704

0.14724

0.14259

0.14297

(0.3, 0.3)

0.188

0.20814

0.20867

0.21217

0.21242

0.206

0.20656

(0.3, 0.4)

0.21486

0.26093

0.26152

0.2655

0.26573

0.25844

0.25909

(0.3, 0.5)

0.22381

0.29729

0.29783

0.30178

0.30197

0.29477

0.29539

(0.3, 0.6)

0.21486

0.31102

0.31146

0.31502

0.31515

0.30875

0.30926

(0.3, 0.7)

0.188

0.2953

0.29566

0.29861

0.29869

0.29341

0.29382

(0.3, 0.8)

0.14324

0.24319

0.24347

0.24565

0.24569

0.24173

0.24208

(0.3, 0.9)

0.080573

0.14762

0.1478

0.14897

0.149

0.14676

0.147

(0.4, 0.1)

0.10177

0.091289

0.091461

0.092896

0.092986

0.090455

0.090633

(0.4, 0.2)

0.18092

0.17993

0.18028

0.18301

0.18316

0.17824

0.17864

(0.4, 0.3)

0.23746

0.26014

0.26064

0.26433

0.2645

0.25776

0.25835

(0.4, 0.4)

0.27138

0.32652

0.32705

0.33118

0.33131

0.32377

0.32443

(0.4, 0.5)

0.28269

0.37254

0.37299

0.37702

0.3771

0.36985

0.37043

(0.4, 0.6)

0.27138

0.39038

0.39068

0.39425

0.39428

0.38803

0.38845

(0.4, 0.7)

0.23746

0.37127

0.37148

0.37442

0.37441

0.36938

0.36967

(0.4, 0.8)

0.18092

0.30621

0.30638

0.30856

0.30856

0.30475

0.30501

(0.4, 0.9)

0.10177

0.18607

0.18619

0.18739

0.18739

0.1852

0.1854

(0.5, 0.1)

0.11716

0.10487

0.105

0.10636

0.10642

0.10406

0.10421

(0.5, 0.2)

0.20828

0.20694

0.20722

0.20981

0.20991

0.2053

0.20565

(0.5, 0.3)

0.27337

0.29976

0.30015

0.30363

0.30373

0.29744

0.29795

(0.5, 0.4)

0.31242

0.37717

0.37755

0.38143

0.38149

0.37456

0.3751

(0.5, 0.5)

0.32544

0.43172

0.43197

0.43573

0.43574

0.42923

0.42964

(0.5, 0.6)

0.31242

0.45423

0.45431

0.45764

0.45762

0.45216

0.45237

(0.5, 0.7)

0.27337

0.43418

0.4342

0.43699

0.43698

0.43255

0.43264

(0.5, 0.8)

0.20828

0.36036

0.36043

0.36257

0.36257

0.35908

0.35921

(0.5, 0.9)

0.11716

0.22071

0.22079

0.222

0.22202

0.21989

0.22004

(0.6, 0.1)

0.1243

0.11186

0.11195

0.11318

0.11322

0.11118

0.11127

(0.6, 0.2)

0.22098

0.22113

0.22132

0.22367

0.22375

0.21972

0.21996

(0.6, 0.3)

0.29003

0.32118

0.32145

0.32464

0.32472

0.3192

0.31955

(0.6, 0.4)

0.33147

0.40563

0.40589

0.40946

0.40953

0.40342

0.40377

(0.6, 0.5)

0.34528

0.46658

0.4667

0.47024

0.47029

0.46456

0.46474

(0.6, 0.6)

0.33147

0.49407

0.49407

0.49733

0.49739

0.49243

0.49242

(0.6, 0.7)

0.29003

0.47629

0.4763

0.47921

0.47928

0.47498

0.47492

(0.6, 0.8)

0.22098

0.39981

0.39991

0.40227

0.40237

0.39862

0.3987

(0.6, 0.9)

0.1243

0.24852

0.24868

0.25005

0.25011

0.2477

0.24787

(0.7, 0.1)

0.1202

0.10947

0.10955

0.11064

0.11069

0.10891

0.10897

(0.7, 0.2)

0.21369

0.21692

0.21712

0.21922

0.21932

0.21574

0.21593

(0.7, 0.3)

0.28047

0.31624

0.31654

0.31945

0.31958

0.31453

0.31484

(0.7, 0.4)

0.32053

0.40143

0.40174

0.40512

0.40526

0.39949

0.39981

(0.7, 0.5)

0.33389

0.46487

0.46512

0.46864

0.46882

0.46302

0.46324

(0.7, 0.6)

0.32053

0.49675

0.49698

0.50045

0.50066

0.49515

0.49526

(0.7, 0.7)

0.28047

0.48489

0.48518

0.48848

0.48873

0.48336

0.48353

(0.7, 0.8)

0.21369

0.41408

0.41453

0.4173

0.41752

0.41256

0.41295

(0.7, 0.9)

0.1202

0.26359

0.26391

0.26557

0.26572

0.26245

0.26285

(0.8, 0.1)

0.10121

0.094129

0.094239

0.095136

0.095191

0.093618

0.093724

(0.8, 0.2)

0.17993

0.18715

0.1874

0.18915

0.18926

0.18606

0.18633

(0.8, 0.3)

0.23616

0.27419

0.27458

0.27707

0.27722

0.27257

0.27303

(0.8, 0.4)

0.2699

0.35037

0.35085

0.35384

0.35404

0.34842

0.34897

(0.8, 0.5)

0.28115

0.40936

0.40988

0.41315

0.4134

0.40732

0.4079

(0.8, 0.6)

0.2699

0.44279

0.44336

0.44676

0.44706

0.44072

0.44133

(0.8, 0.7)

0.23616

0.43968

0.44041

0.44375

0.44406

0.43754

0.4383

(0.8, 0.8)

0.17993

0.38499

0.3857

0.38857

0.38886

0.38277

0.3837

(0.8, 0.9)

0.10121

0.25411

0.25467

0.25637

0.25653

0.2526

0.25332

(0.9, 0.1)

0.06292

0.060768

0.060862

0.061397

0.061435

0.060401

0.060516

(0.9, 0.2)

0.11186

0.12139

0.1216

0.12266

0.12273

0.12061

0.12088

(0.9, 0.3)

0.14681

0.17903

0.17936

0.18088

0.18099

0.17785

0.17829

(0.9, 0.4)

0.16779

0.23074

0.23115

0.23302

0.23317

0.22926

0.22983

(0.9, 0.5)

0.17478

0.27262

0.2731

0.27521

0.27539

0.27096

0.27162

(0.9, 0.6)

0.16779

0.29945

0.30002

0.30225

0.30247

0.29768

0.29842

(0.9, 0.7)

0.14681

0.30409

0.30471

0.30695

0.30718

0.30216

0.30303

(0.9, 0.8)

0.11186

0.2755

0.27618

0.27808

0.27828

0.27365

0.27457

(0.9, 0.9)

0.06292

0.19245

0.19285

0.19399

0.19412

0.19117

0.19182


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

70031. Построение и уравнивание маршрутной и блочной фототриангуляции по методу связок 117.5 KB
  При построении сети фототриангуляции методом связок для каждого изображения точки (определяемой и опорной), измеренного на снимке составляются уравнения коллинеарности...
70032. Система конкурентного права. Правовая природа отношений, складывающихся в сфере конкуренции 21.5 KB
  Конкурентное право как отрасль законодательства характеризуется конкретным предметом правового регулирования который по экономическому содержанию распадается на две группы отношений: отношения связанные с конкуренцией; 2 отношения в сфере монополий.
70034. Оптимальное распределение потоков мощности в замкнутых контурах электрической сети 62.65 KB
  Параметры режима Z делятся на независимые Y и зависимые X. Число уравнений установившегося режима 2n равно числу зависимых параметров режима Х комплексных напряжений в узлах. Общее число параметров режима Z m входящих в уравнение больше 2n числа этих уравнений.
70035. Софісти 39 KB
  Увагу софістів перенесено із Космосу природи на проблеми людини суспільства знання. Сократ як і дехто з софістів досліджував проблему людини розглядаючи її як істоту моральну. Сократ стверджував що природа вищий у порівнянні з людиною світ непізнанна а пізнати можна...
70038. Предметы маркетингового анализа 101.82 KB
  Маркетинговый анализ является составным элементом и определенным этапом маркетингового исследования. Цели маркетингового анализа вытекают из целей маркетингового исследования принципы которого в свою очередь распространяются на теорию и практику маркетингового анализа.
70039. История создания гражданской обороны, ее предназначение и основные задачи по защите населения 23.32 KB
  Деятельность гражданской обороны направлена как на защиту от современных средств нападения противника так и на проведение спасательных и неотложных аварийно-восстановительных работ на объектах и в очагах поражения при чрезвычайных ситуациях мирного и военного времени.