41622

Решение первой начальной краевой задачи для уравнения теплопроводности по схеме Кранка-Николсона

Лабораторная работа

Физика

Задача: Используя метод простых итераций метод Чебышева и метод наискорейшего спуска найти по схеме КранкаНиколсона приближенное решение задачи: 1 2...

Русский

2013-10-24

102.29 KB

21 чел.

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

Уфимский государственный авиационный технический университет

Лабораторная работа №6

по дисциплине «Численные методы»

На тему: «Решение первой начальной краевой задачи для уравнения теплопроводности по схеме Кранка-Николсона»

Выполнил:

студент группы ПМ-335

Ямилев И.М.

Проверил:

Голичев И.И.

Уфа

2012

Отчёт по лабораторной работе № 6.

 

Задача:

Используя метод простых итераций, метод Чебышева и метод наискорейшего спуска найти по схеме Кранка-Николсона приближенное решение задачи:

                                                                              (1)

                                                                                                  (2)

                                                                                                     (3)

Пусть , где (n- номер варианта). Найти , при которых является точным решением задачи (1) – (3). При найденных и  найти приближенное решение задачи (1) – (3), используя схему Кранка-Николсона и перечисленные выше методы решения стационарных задач.

Теория:

Сведем задачу к разностной задаче, используя схему Кранка-Николсона и разностное приближение оператора Лапласа.

                                        ,                                      (4)

                                                        ,                                                      (5)

                                                     ,                                                      (6)

где

Из (4) получим, что обозначая получим операторное уравнение где Таким образом, решение задачи (4) – (6) сводится к последовательному решению операторных уравнений

                                                                                                 (7)

на временной сетке (по временным слоям). Для собственных значений оператора получаем оценки

                                        

                          (8)

                                     

Решение уравнения (7) при фиксированном (на временном слое ) будем искать итерационными методами

                                                                                           (9)

полагая где – последняя итерация на предыдущем временном слое.

  1.  Алгоритм метода простых итераций

В итерационном процессе (9) полагаем . Учитывая (8), получаем

                                   .                                                  (10)

Итерационный процесс (9) принимает вид:

                                                         (11)

                                                                               

Полагая получим .

  1.  Алгоритм метода Чебышева

В итерационном процессе (9) вычисляется по формуле

                                                                 (12)

где вычисляется по формуле (10), а

                                                    (13)

Здесь N фиксированный параметр, например можно положить N=10. По формуле

                                                           (14)

и находим Далее повторяем итерационный процесс (14), полагая . Процесс продолжаем до совпадения первых четырех знаков в последних итерациях.


  1.  Алгоритм метода скорейшего спуска

Итерационный процесс  осуществляется по формуле (14), где параметры вычисляются по формуле

В новых обозначениях (14) можно записать в виде:


Результаты:

Необходимо решить задачу:

Искомая функция

Полученные функции f и g:

.

Требуется вычислить значение приближенной функции  во всех точках в момент времени . Шаг по времени Точность приближения – .

Метод простых итераций дал ответ с заданной точностью после 6 итераций, метод Чебышева – после 15, метод скорейшего спуска – после 6.

Точка

Точное значение функции

Простые итерации

Метод Чебышева

Метод скорейшего спуска

Значение после 5 итераций

Значение после 6 итераций

Значение после 10 итераций

Значение после 15 итераций

Значение после 5 итераций

Значение после 6 итераций

(0.1, 0.1)

0.028272

0.027528

0.027616

0.028207

0.028276

0.02721

0.027294

(0.1, 0.2)

0.050261

0.054254

0.054431

0.055564

0.055689

0.053613

0.053794

(0.1, 0.3)

0.065967

0.078479

0.078736

0.08029

0.080451

0.077561

0.077832

(0.1, 0.4)

0.075391

0.098598

0.0989

0.1007

0.10086

0.097507

0.097832

(0.1, 0.5)

0.078533

0.11272

0.11302

0.11486

0.11501

0.11158

0.11191

(0.1, 0.6)

0.075391

0.11858

0.11886

0.12057

0.12069

0.1175

0.11782

(0.1, 0.7)

0.065967

0.11366

0.11391

0.11535

0.11545

0.11271

0.113

(0.1, 0.8)

0.050261

0.095178

0.095385

0.096453

0.09652

0.094422

0.094671

(0.1, 0.9)

0.028272

0.059582

0.059701

0.06028

0.060315

0.059135

0.059294

(0.2, 0.1)

0.055547

0.051741

0.051891

0.052958

0.053069

0.051169

0.051309

(0.2, 0.2)

0.09875

0.1019

0.10221

0.10425

0.10445

0.10075

0.10106

(0.2, 0.3)

0.12961

0.14721

0.14765

0.15044

0.15069

0.14557

0.14602

(0.2, 0.4)

0.14813

0.18459

0.1851

0.1883

0.18856

0.18265

0.18319

(0.2, 0.5)

0.1543

0.21042

0.21092

0.21415

0.21438

0.20843

0.20897

(0.2, 0.6)

0.14813

0.22039

0.22083

0.2238

0.22397

0.21854

0.21902

(0.2, 0.7)

0.12961

0.20972

0.21011

0.21259

0.21272

0.20814

0.20856

(0.2, 0.8)

0.09875

0.17346

0.17377

0.1756

0.17569

0.17221

0.17257

(0.2, 0.9)

0.055547

0.10613

0.10632

0.10731

0.10735

0.1054

0.10563

(0.3, 0.1)

0.080573

0.073158

0.073337

0.07469

0.074805

0.072411

0.072582

(0.3, 0.2)

0.14324

0.14409

0.14446

0.14704

0.14724

0.14259

0.14297

(0.3, 0.3)

0.188

0.20814

0.20867

0.21217

0.21242

0.206

0.20656

(0.3, 0.4)

0.21486

0.26093

0.26152

0.2655

0.26573

0.25844

0.25909

(0.3, 0.5)

0.22381

0.29729

0.29783

0.30178

0.30197

0.29477

0.29539

(0.3, 0.6)

0.21486

0.31102

0.31146

0.31502

0.31515

0.30875

0.30926

(0.3, 0.7)

0.188

0.2953

0.29566

0.29861

0.29869

0.29341

0.29382

(0.3, 0.8)

0.14324

0.24319

0.24347

0.24565

0.24569

0.24173

0.24208

(0.3, 0.9)

0.080573

0.14762

0.1478

0.14897

0.149

0.14676

0.147

(0.4, 0.1)

0.10177

0.091289

0.091461

0.092896

0.092986

0.090455

0.090633

(0.4, 0.2)

0.18092

0.17993

0.18028

0.18301

0.18316

0.17824

0.17864

(0.4, 0.3)

0.23746

0.26014

0.26064

0.26433

0.2645

0.25776

0.25835

(0.4, 0.4)

0.27138

0.32652

0.32705

0.33118

0.33131

0.32377

0.32443

(0.4, 0.5)

0.28269

0.37254

0.37299

0.37702

0.3771

0.36985

0.37043

(0.4, 0.6)

0.27138

0.39038

0.39068

0.39425

0.39428

0.38803

0.38845

(0.4, 0.7)

0.23746

0.37127

0.37148

0.37442

0.37441

0.36938

0.36967

(0.4, 0.8)

0.18092

0.30621

0.30638

0.30856

0.30856

0.30475

0.30501

(0.4, 0.9)

0.10177

0.18607

0.18619

0.18739

0.18739

0.1852

0.1854

(0.5, 0.1)

0.11716

0.10487

0.105

0.10636

0.10642

0.10406

0.10421

(0.5, 0.2)

0.20828

0.20694

0.20722

0.20981

0.20991

0.2053

0.20565

(0.5, 0.3)

0.27337

0.29976

0.30015

0.30363

0.30373

0.29744

0.29795

(0.5, 0.4)

0.31242

0.37717

0.37755

0.38143

0.38149

0.37456

0.3751

(0.5, 0.5)

0.32544

0.43172

0.43197

0.43573

0.43574

0.42923

0.42964

(0.5, 0.6)

0.31242

0.45423

0.45431

0.45764

0.45762

0.45216

0.45237

(0.5, 0.7)

0.27337

0.43418

0.4342

0.43699

0.43698

0.43255

0.43264

(0.5, 0.8)

0.20828

0.36036

0.36043

0.36257

0.36257

0.35908

0.35921

(0.5, 0.9)

0.11716

0.22071

0.22079

0.222

0.22202

0.21989

0.22004

(0.6, 0.1)

0.1243

0.11186

0.11195

0.11318

0.11322

0.11118

0.11127

(0.6, 0.2)

0.22098

0.22113

0.22132

0.22367

0.22375

0.21972

0.21996

(0.6, 0.3)

0.29003

0.32118

0.32145

0.32464

0.32472

0.3192

0.31955

(0.6, 0.4)

0.33147

0.40563

0.40589

0.40946

0.40953

0.40342

0.40377

(0.6, 0.5)

0.34528

0.46658

0.4667

0.47024

0.47029

0.46456

0.46474

(0.6, 0.6)

0.33147

0.49407

0.49407

0.49733

0.49739

0.49243

0.49242

(0.6, 0.7)

0.29003

0.47629

0.4763

0.47921

0.47928

0.47498

0.47492

(0.6, 0.8)

0.22098

0.39981

0.39991

0.40227

0.40237

0.39862

0.3987

(0.6, 0.9)

0.1243

0.24852

0.24868

0.25005

0.25011

0.2477

0.24787

(0.7, 0.1)

0.1202

0.10947

0.10955

0.11064

0.11069

0.10891

0.10897

(0.7, 0.2)

0.21369

0.21692

0.21712

0.21922

0.21932

0.21574

0.21593

(0.7, 0.3)

0.28047

0.31624

0.31654

0.31945

0.31958

0.31453

0.31484

(0.7, 0.4)

0.32053

0.40143

0.40174

0.40512

0.40526

0.39949

0.39981

(0.7, 0.5)

0.33389

0.46487

0.46512

0.46864

0.46882

0.46302

0.46324

(0.7, 0.6)

0.32053

0.49675

0.49698

0.50045

0.50066

0.49515

0.49526

(0.7, 0.7)

0.28047

0.48489

0.48518

0.48848

0.48873

0.48336

0.48353

(0.7, 0.8)

0.21369

0.41408

0.41453

0.4173

0.41752

0.41256

0.41295

(0.7, 0.9)

0.1202

0.26359

0.26391

0.26557

0.26572

0.26245

0.26285

(0.8, 0.1)

0.10121

0.094129

0.094239

0.095136

0.095191

0.093618

0.093724

(0.8, 0.2)

0.17993

0.18715

0.1874

0.18915

0.18926

0.18606

0.18633

(0.8, 0.3)

0.23616

0.27419

0.27458

0.27707

0.27722

0.27257

0.27303

(0.8, 0.4)

0.2699

0.35037

0.35085

0.35384

0.35404

0.34842

0.34897

(0.8, 0.5)

0.28115

0.40936

0.40988

0.41315

0.4134

0.40732

0.4079

(0.8, 0.6)

0.2699

0.44279

0.44336

0.44676

0.44706

0.44072

0.44133

(0.8, 0.7)

0.23616

0.43968

0.44041

0.44375

0.44406

0.43754

0.4383

(0.8, 0.8)

0.17993

0.38499

0.3857

0.38857

0.38886

0.38277

0.3837

(0.8, 0.9)

0.10121

0.25411

0.25467

0.25637

0.25653

0.2526

0.25332

(0.9, 0.1)

0.06292

0.060768

0.060862

0.061397

0.061435

0.060401

0.060516

(0.9, 0.2)

0.11186

0.12139

0.1216

0.12266

0.12273

0.12061

0.12088

(0.9, 0.3)

0.14681

0.17903

0.17936

0.18088

0.18099

0.17785

0.17829

(0.9, 0.4)

0.16779

0.23074

0.23115

0.23302

0.23317

0.22926

0.22983

(0.9, 0.5)

0.17478

0.27262

0.2731

0.27521

0.27539

0.27096

0.27162

(0.9, 0.6)

0.16779

0.29945

0.30002

0.30225

0.30247

0.29768

0.29842

(0.9, 0.7)

0.14681

0.30409

0.30471

0.30695

0.30718

0.30216

0.30303

(0.9, 0.8)

0.11186

0.2755

0.27618

0.27808

0.27828

0.27365

0.27457

(0.9, 0.9)

0.06292

0.19245

0.19285

0.19399

0.19412

0.19117

0.19182


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75436. Давач Хола. Застосування індуктивних безконтактних вимикачів 376 KB
  Зараз знайдені матеріали, які мають досить великий коефіцієнт Холла. Давач Хола можна також використати як пристрій для підрахування кількості обертів. Давачі Холла, що їх виготовляє компанія Honeywell поділяються на лінійні та цифрові.
75437. Безконтактний ємнісний давач 283.5 KB
  В індуктивних генераторних ВПБ перетворювачем є індуктивність. У ємнісних ВПБ перетворювачем є конденсатор коливального контуру. Як і для інших типів генераторних перетворювачів основним параметром ємнісних ВПБ є максимальна відстань впливу. Через властивої ємнісний ВПБ чутливості до запилености зазору вони не знайшли такого широкого застосування як індуктивні але окремими підприємствами ведеться серійне виробництво цих вимикачів.
75438. Переваги та недоліки ємнісних давачів 263 KB
  При цьому можливий монтаж і обслуговування ВБЄ зовні резервуарів і бункерів. Можливе застосування штирових ВБЄ для контролю протікання рідини в трубах. ВБЄ застосовується також для підрахунку чи позиціонуванні різноманітних об’єктів неметалевих матеріалів.
75439. Оптичні давачі. Безконтактний фотоелектричний давач 2.23 MB
  Фотодавачі складаються з джерела випромінювання фотоприймача перетворювача сигналу і підсилювача сигналу. У порівнянні з іншими типами давачів фотодавачі мають ряд переваг. Діапазон дії фотодавачів істотно перевершує індуктивні ємнісні магнітні й ультразвукові.
75440. Інфекційні захворювання 99.5 KB
  Сприйнятливість до інфекційних захворювань залежить від безлічі факторів: від віку перенесених і супутніх захворювань харчування вакцинації. За останні десятиліття в лікуванні інфекційних захворювань було зроблено величезний крок вперед. В останні роки були відкриті збудники раніше невідомих інфекційних захворювань з якими людина стикнувся в результаті зміни навколишнього середовища і міграції населення. Адже навіть просто вимиті вчасно руки після відвідин убиральні або по приходу з вулиці можуть врятувати вас від ряду кишковоінфекційних...
75441. Організація медичного захисту особового складу 219.5 KB
  Методика проведення: Штучне дихання: Потерпілого положити на тверду поверхню на спину. Однією рукою підтримують голову потерпілого в запрокинутому положенні стиснувши пальцями ніздрі другою підтримують наполовину відкритим його рот. Роблять вдих щільно прикладають рот через хустку бинт до рота потерпілого і вдувають повітря.
75442. Захист населення від надзвичайних ситуацій природного характеру. Радіаційна, хімічна і біологічна небезпека. Завдання та особливості дій підрозділів міліції 108.5 KB
  Захист населення від надзвичайних ситуацій природного характеру. Захист населення від надзвичайних ситуацій природного характеру. Засоби колективного захисту населення. Література: Закон України Про захист населення і територій від надзвичайних ситуацій техногенного та природного характеру.
75443. Єдина державна система запобігання і реагування на надзвичайні ситуації техногенного та природного характеру. Організаційна структура цивільної оборони МВС України 294 KB
  Основні завдання і рішення начальника функціональної підсистеми ОГП на проведення необхідних заходів. Основні завдання і рішення начальника функціональної підсистеми ОГП на проведення необхідних заходів. Відповідно до постанов Кабінету Міністрів України...
75444. Основні поняття про надзвичайні ситуації та оповіщення. Дії особового складу за сигналами ЦО. Небезпечні чинники виробничих аварій, їх вплив на екологічну безпеку та безпеку життя та здоров’я людей 123.5 KB
  Надзвичайний стан це особливий правовий режим який може тимчасово вводитися в Україні чи в окремих її місцевостях при виникненні надзвичайних ситуацій техногенного або природного характеру не нижче загальнодержавного рівня що призвели чи можуть призвести до людських і матеріальних втрат створюють загрозу життю і здоров’ю громадян або при спробі захоплення державної влади чи зміни конституційного ладу України шляхом насильства і передбачає надання відповідним органам державної влади військовому командуванню та органам місцевого...