41669

Теорія множин

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Об'єкти що складають множини називаються елементами і позначаються малими буквами латинського алфавіту. алфавіту А B C B А Букви російського алфавіту АВ С А А В SCI код А B C А В А C Цілі числа 0. алфавіту C B C B Букви російського алфавіту B C B C SCI код C B B C Цілі числа 0. алфавіту C B C B Букви російського алфавіту А В Δ C А C SCI код А В C B Δ А Цілі числа 0.

Русский

2013-10-24

224.99 KB

2 чел.

Лабораторна робота №1

Тема: «Теорія множин».

Мета: вивчити основні аксіоми, закони і теореми теорії множин, навчитися  застосовувати їх на практиці.   

Завдання: 

  1.  написати програму, яка буде виконувати будь-які операції над множинами (блок схеми основних операцій над множинами наведено на рисунках 1-6);
  2.  скласти алгоритм і написати програму, що буде обчислювати функцію  множин (згідно свого варіанта, приведеного в таблиці 1);
  3.  виконати спрощення заданої формули та порівняти результати.

Теоретичні основи:

Множина – усяка сукупність визначених елементів, які можуть бути зв'язаними між собою за допомогою деякої властивості.

Множини позначаються великими латинськими буквами. Об'єкти, що складають множини, називаються елементами і позначаються малими буквами латинського алфавіту.

Кінцева множина – це така множина, кількість елементів якої може бути виражена кінцевим числом, причому не важливо, чи можемо ми порахувати це число в даний момент.

Нескінченна множина - це така множина, що не є кінцевою.

Множина може задаватися у кілька способів.

Кінцеву множину можливо задати переліком її елементів.

Нескінченну множину можливо задати вказівкою характерної властивості.

Приклад

A={x: x*x-1=0}

B={x1,x2,x3,x4}

Основні аксіоми теорії множин:

  1.  Аксіома існування – завжди існує хоча б одна множина;
  2.  Аксіома еквівалентності – якщо множини А та  В складаються з тих самих елементів;
  3.  Аксіома об'єднання – для двох довільних множин А та В існує множина С, елементами якої є кожен елемент, що утримується в одній з цих двох множин або в обох одночасно; 
  4.  Аксіома перетинання – для двох довільних множин А та В існує множина С, елементами якої є кожен елемент, що одночасно належить і множині А і множині В;
  5.  Аксіома про універсальну множину – для довільної групи множин
    Ai-тих завжди існує множина I, для якої виконується співвідношення  Ai
    I
  6.  Аксіома про порожню множину – завжди існує множина, якій не належить жоден елемент.

Виходячи з основних аксіом, визначені додаткові операції над множинами:

  1.  Доповнення множини – для довільної множини М існує доповнення до універсальної множини  і позначається це доповнення М :

М М=I

M M=Ǿ

  1.  Різниця між множинами – для довільної множини А и В існує множина С , яка включає такі елементи першої множини, які не співпадають з елементами  другої множини:

С=А\В=А В

С=В\А=В А

  1.  Симетрична різниця між множинами –

С=АΔВ= А\В   В\А

Основні закони операцій перетинання й об'єднання

  1.  Закон комутатівності-

А В=В А; А В=В А

  1.  Закон асоціативності

                      (А В) С=А (B С)

                      (А В) C=А (B С)

  1.  Закони дистрибутивності:

 1-ий – В) C=(А C) (BC)

 2-ий -   В) C=(А C) (B C)

  1.  Закони де Моргана.

А В= А В                     А В= А В

Приклади  деяких операцій над множинами.

Довести тотожності.

  1.  А\(B C)=(А\B) (А\C)

В) C)=А\(B C)- доведено

  1.  А\(А\B)=А В

     А\(А В)=А В)=А В)=А А А В=А В-доведено

3.   А В=А (B\А)

     А А)=А В А А=А В I=А В-доведено

Вимоги до програмного забезпечення:

  1.  Модульна структура програми;
  2.  Уведення даних із клавіатури і з зовнішнього файлу;
  3.  Перевірка  коректності введених даних;
  4.  Меню.

Зміст звіту:

  1.  Титульний лист;
  2.  Мета, індивідуальне завдання;
  3.  Блок-схема алгоритму;
  4.  Роздруківка тексту програми;
  5.  Роздруківка результатів виконання програми;
  6.  Аналіз результатів.

Контрольні питання.

  1.  Що така множина?
  2.  Аксіоматична побудова теорії множин.
  3.  Діаграми Ейлера.
  4.  Основні закони теорії множин.
  5.  Функції від множин. Форми представлення.
  6.  Методи мінімізації функції від множин.


Доповнення множини

procedure  DOPOLN(D:string; var R:string)

D-   множина

R - результат операції

Y- універсальна множина

Початок

R:=’ ’

j

1  length(Y)

Кінець

f:=0

i

1 length(D)

Y[j]:=D[i]

_

+

f:=1  

_

f=0

+

R:=R+Y[j]  

Рисунок 1.  Блок-схема операції доповнення множини до універсальної


Об'єднання двох множин

Procedure JOIN (A, B: string; var C: string)

i

1  Length(A)

С:=’ ’

f:=0

j

1    length(C)

f:=1  

Початок

A[i]:=C[j]

C:=C+A[i]  

f=0

+

_

+

_

2

A, B -множини

С - результат операції об'єднання

F - ознака  присутності елемента множини у множині С

 

Рисунок 2.  Блок- схема  операції об'єднання двох множин

2

i

1  Length(B)

Кінець

f:=0

j

1 length(C)

B[i]:=c[j]

_

+

f:=1  

_

+

f=0

C:=C+B[i]  

Продовження рисунка 2. Блок- схема операції об'єднання двох множин

Перетинання двох множин

Procedure PERESECH (A, B: string; var C: string)

A, B - множини

С - результат операції перетинання

Fl - ознака  присутності елемента множини у множині С

F- ознака співпадіння елементів множин А та В

Початок

С:=’ ’

i

1  Length(A)

f:=0

Кінець

j

1    length(B)

f:=0  

A[i]:=B[j]

f:=1  

_

+

_

Fl=0

i

1     length(C)

A[i]:=C[j]

_

Fl=0

+

+

C:=C+A[i]  

Fl:=1  

Рисунок 3.  Блок- схема операції перетинання  двох множин

Різниця двох множин                                         Симетрична різниця двох множин  множин

Procedure RAZNOST  procedure SYMRAZNOST

(A, B: string, var C:string)      (A, B: string, var C:string)

С:=’ ’

Початок

Кінець

RAZNOST

RAZNOST

JOIN

С:=’ ’

Початок

Кінець

DOPOLN

PERESECH

 

A, B -  множини

С - результат операцій

Рисунок 4. Блок- схема операцій різниці та симетричної різниці двох множин


Таблиця 1 Варіанти завдань до лабораторної роботи


в-ту

Спосіб завдання універсальної множини

Математичний  вираз

  1.  

ASCI код

В) C\(А C)

  1.  

Цілі числа 0...255

В)\(CB\А)

  1.  

Букви англ. алфавіту

А\B (C\B\А)

  1.  

Букви російського алфавіту

АВ С А\(А В)

  1.  

ASCI код

А (B\C)\(А В)\(А C)

  1.  

Цілі числа 0...255

А В\C (B\I)

  1.  

Букви англ. алфавіту

C B (A C) B

  1.  

Букви російського алфавіту

AB\C A B C

  1.  

ASCI код

C B\B (C\A)

  1.  

Цілі числа 0...255

B\C\A(C B A)

  1.  

Букви англ. алфавіту

C B A\(A C B)

  1.  

Букви російського алфавіту

В) Δ C\(А C)

  1.  

ASCI код

В)\(C B Δ А)

  1.  

Цілі числа 0...255

А\B (C\B\А)

  1.  

Букви англ. алфавіту

А В Δ C А\(А В)

  1.  

Букви російського алфавіту

С А В\А (А\C)

  1.  

ASCI код

А Δ (B\C)\(А В)\(А C)

  1.  

Цілі числа 0...255

А В\C (B\I)

  1.  

Букви англ. алфавіту

C B (A C) B

  1.  

Букви російського алфавіту

A B Δ C A B C

  1.  

ASCI код

C B\B (C\A)

  1.  

Цілі числа 0...255

B\C\A(C Δ B A)

  1.  

Букви англ. алфавіту

C B A\(A C Δ B)

  1.  

Букви російського алфавіту

В) C\(А C)

  1.  

ASCI код

А\B (C\B\А)

  1.  

Цілі числа 0...255

А В С А\(А В)

  1.  

Букви англ. алфавіту

С А В\А (А\C)

  1.  

Букви російського алфавіту

А(B\C)\(А Δ В)\(А C)

  1.  

ASCI код

АВ\C (B\I)

  1.  

Цілі числа 0...255

CB (A C) B

  1.  

Букви англ. алфавіту

A B\C A B C

  1.  

Букви російського алфавіту

CB\B Δ (C\A)

  1.  

ASCI код

B\C\A(C B A)

  1.  

Цілі числа 0...255

CB A Δ (A C B)

  1.  

Букви англ. алфавіту

В) C\(А C)

  1.  

Букви російського алфавіту

В)\(C B\А)

  1.  

ASCI код

А\B Δ (C\B\А)

  1.  

Цілі числа 0...255

АВ С А\(А В)

  1.  

Букви англ. алфавіту

СА В\А (А\C)

  1.  

Букви російського алфавіту

А(B\C)\(А Δ В)\(А C)

  1.  

ASCI код

АВ\C (B\I)

  1.  

Цілі числа 0...255

CB (A C) B

  1.  

Букви англ. алфавіту

AB\C A B C

  1.  

Букви російського алфавіту

CB\B (C\A)

  1.  

ASCI код

B\C\A(C B A)

  1.  

Цілі числа 0...255

CB A\(A Δ C B)

  1.  

Букви англ. алфавіту

В) C\(А C)

  1.  

Букви російського алфавіту

В)\(C B\А)

  1.  

ASCI код

А\B (C\B\А)

  1.  

Цілі числа 0...255

АВ Δ C А\(А В)

  1.  

Букви англ. алфавіту

СА В\А (А\C)

  1.  

Букви російського алфавіту

А(B\C)\(А В)\(А C)

  1.  

ASCI код

А Δ B\C (B\I)

  1.  

Цілі числа 0...255

CB (A C) B

  1.  

Букви англ. алфавіту

AB\C Δ A B C

  1.  

Букви російського алфавіту

C B\B (C\A)

  1.  

ASCI код

B\C\A(C B A)

  1.  

Цілі числа 0...255

C B A\(A C B)

  1.  

Букви англ. алфавіту

В) C\(А C)

  1.  

Букви російського алфавіту

В) \(C B\А)

  1.  

ASCI код

А\B Δ (C\B\А)

  1.  

Цілі числа 0...255

А В  С А\(А В)

  1.  

Букви англ. алфавіту

С А  В Δ А (А\C)

  1.  

Букви російського алфавіту

А(B\C)\(А В)\(А C)

  1.  

ASCI код

АВ\ C ( B \I)

  1.  

Цілі числа 0...255

CΔB (A Δ C) B

  1.  

Букви англ. алфавіту

AB \C A B C

  1.  

Букви російського алфавіту

CB\ B (C\A)

  1.  

ASCI код

B\C\A( C B A)

  1.  

Цілі числа 0...255

C B A\(A C B)

  1.  

Букви англ. алфавіту

В) C\(А C)

  1.  

Букви російського алфавіту

(А Δ ВC) B\А)

  1.  

ASCI код

А\B (C\B\А)

  1.  

Цілі числа 0...255

А В С А\(А В)

  1.  

Букви англ. алфавіту

C Δ А В\А (А\C)

  1.  

Букви російського алфавіту

А (B\C)\(А В)\(А C)

  1.  

ASCI код

АВ\C (B\I)

  1.  

Цілі числа 0...255

CB (A C) B

  1.  

Букви англ. алфавіту

AB\C A B C

  1.  

Букви російського алфавіту

А(B\C)\(А Δ В)\(А C)

  1.  

ASCI код

АВ\C (B\I)

  1.  

Цілі числа 0...255

CB (A C) B

  1.  

Букви англ. алфавіту

AB\C A B C

  1.  

Букви російського алфавіту

C B\B Δ (C\A)

  1.  

ASCI код

B\C\A(C B A)

  1.  

Цілі числа 0...255

C B A Δ (A C B)

  1.  

Букви англ. алфавіту

В) C\(А C)

  1.  

Букви російського алфавіту

В)\(C B\А)

  1.  

ASCI код

А\B Δ (C\B\А)

  1.  

Цілі числа 0...255

А В С А\(А В)

  1.  

Букви англ. алфавіту

СА В\А (А\C)

  1.  

Букви російського алфавіту

А (B\C)\(А Δ В)\(А C)

  1.  

ASCI код

А В\C (B\I)

  1.  

Цілі числа 0...255

А (B\C)\(А Δ В)\(А C)

  1.  

Букви англ. алфавіту

А В\C (B\I)

  1.  

Букви російського алфавіту

C B (A C) B

  1.  

ASCI код

A B\C A B C

  1.  

Цілі числа 0…255

C B\B Δ (C\A)

- перетинання                             \  - різниця

Δ – симетрична різниця                - об'єднання

A - заперечення множини А


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33929. Методы прогнозирования разновидность математических методов прогнозирования, позволяющих построить динамические ряды на перспективу 12.01 KB
  Методы прогнозирования разновидность математических методов прогнозирования позволяющих построить динамические ряды на перспективу. Статистические методы прогнозирования охватывают разработку изучение и применение современных математикостатистических методов прогнозирования на основе объективных данных в том числе непараметрических методов наименьших квадратов с оцениванием точности прогноза адаптивных методов методов авторегрессии и других; развитие теории и практики вероятностностатистического моделирования экспертных методов...
33930. Индексы 13.21 KB
  За базу сравнения могут приниматься плановые показатели если необходимо использовать индексы как показатели выполнения плана По степени охвата элементов явления индексы делят на индивидуальные и общие сводные. Индивидуальные индексы i это индексы которые характеризуют изменение только одного элемента совокупности. Если индексы охватывают только часть явления то их называют групповыми. В зависимости от способа изучения общие индексы могут быть построены или как агрегатные от лат.
33931. Индивидуальные индексы 11.05 KB
  Индивидуальные индексы характеризуют изменения отдельных единиц элементов статистической совокупности.Для определения индекса надо произвести сопоставление не менее двух величин отражающих изменения индексируемого показателя признака. Например при изучении изменения физического объема продукции в качестве индексируемой величины выступают данные об объеме количестве продукции в натуральных измерениях; при изучении изменения цен индексируемой величиной является цена единицы товара и т.
33932. Агрегатные индексы 18.04 KB
  Агрегатные индексы Агрегатный индекс общий индекс полученный путем сопоставления итогов выражающих величину сложного явления в отчетном и базисном периодах при помощи соизмерителей. Веса среднего арифметического и среднего гармонического индексов должны определяться исходя из соблюдения условия этого тождества. При исчислении среднего арифметического индекса объема продукции должно выполняться следующее условие: iFf=q1p0q0p0 В векторной символике средний арифметический индекс объема будет иметь вид: Jq=ip0q0p0q0=HqP0Q0 где Нq вектор...
33933. Индексы Пааше, Ласпейреса, Фишера. Их практическое применение 36.76 KB
  Этот индекс был построен по среднеарифметической формуле без применения какойлибо системы взвешивания. В XIX веке при построении индексов цен в основном по агрегатной или соответствующей ей среднеарифметической формуле статистики начинают использовать систему взвешивания. Более широкое практическое применение находят две другие их формы: в формуле Ласпейреса – средняя арифметическая форма в формуле Пааше – средняя гармоническая которые отражены в табл. Она устанавливает изменение цен при предположении что количества товаров неизменны...
33934. Средние индексы 11.06 KB
  Средние экономические показатели статистические показатели определяемые как средние за несколько лет по ряду экономических объектов или по всей совокупности производителей и потребителей. Следует иметь в виду что средние объемы производства доходы и расходы населения средняя заработная плата определяются как средневзвешенные по всем производственным объектам лицам и семьям работникам потребителям.
33935. Понятие статистической связи, ее виды и формы 14.3 KB
  При функциональной связи определенному значению факторного признака соответствует определенное же значение результативного признака. При статистической связи каждому значению факторного признака Х соответствует множество значений результативного признака Y причем не известно заранее какое именно. Корреляционной является статистическая связь между признаками при которой изменение значений независимой переменной Х приводит к закономерному изменению математического ожидания случайной величины Y....
33936. Методы выявления корреляционной связи. Корреляционно-регрессионный анализ 12.84 KB
  Основные статистические методы выявления наличия корреляционной связи: Сопоставление параллельных рядов – метод когда ряд значений факторного признака х построенный в порядке возрастания сопоставляют с рядом соответствующих значений результативного признака у и таким образом прослеживают их взаимосвязь. Графический метод позволяет выявить наличие связи между двумя признаками с помощью поля корреляции. Установив наличие связи между признаками переходят к корреляционнорегрессионному анализу.
33937. Парная регрессия на основе метода наименьших квадратов 19.28 KB
  Для определения параметров уравнения парной регрессии используем метод наименьших квадратов. При применении этого метода для нахождения функции которая бы наилучшим образом соответствовала эмпирическим данным считается что сумма квадратов отклонений эмпирических точек от теоретической линии регрессии должна быть величиной минимальной. Критерий метода наименьших квадратов: ...