41820

Матричные операции. Применение стандартных функций Excel для работы с матрицами

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Ответьте на контрольные вопросы. Порядок выполнения: Поместим матрицу А и вектор b в блоки 2:C4 и E2:E4 соответственно рис. Выполните все приведенные ниже задания используя описанные способы и сравните с ответом Сложить матрицы Исходные матрицы Ответ Вычислить линейную комбинацию матриц Линейные комбинации Ответ 1 MN 2 2M2NP Вычислить определитель det матриц Исходные матрицы Ответ det=1 det=0 Вычислить обратную матрицу Исходные матрицы Ответ T1обр= 054918 0008197 0606557 0098361 0016393 0213115 011475 0147541...

Русский

2013-10-25

277.1 KB

31 чел.

Лабораторная работа

«Матричные операции»

Цели работы:

1) научиться применять стандартные функции Excel для работы с матрицами;

2) закрепить навыки самостоятельной учебной деятельности.

Задание:

  1.  Изучите п.1 «Учебный материал». Проделайте на рабочем листе линейные операции с матрицами (п.1.2), изменение табличной формулы (п.1.3), работу со стандартными функциями (п.1.4), решение систем уравнений (п.1.5).
  2.  Выполните задания, приведенные в п.2 (часть 1 и часть2).
  3.  Ответьте на контрольные вопросы.

  1.  Учебный материал

  1.  Понятие матрицы

Система mn чисел, расположенных в прямоугольную таблицу из m строк и n столбцов, называется матрицей. Обозначение:

Простейшие операции, которые можно проделывать с матрицами:

  1.  сложение (вычитание);
  2.  умножение на число;
  3.  перемножение;
  4.  транспонирование;
  5.  вычисление обратной матрицы;
  6.  вычисление определителя.

  1.  Линейные операции с матрицами

Линейные операции с матрицами рассмотрим на примере.

Пример. Найти разность матриц М и N.

,  

Порядок выполнения:

1) Введем матрицы M и N в ячейки A2:C3 и E2:G3, как показано на рис. 59.

Рис.59. Ввод исходных матриц в ячейки таблицы

2) Выделим диапазон ячеек I2:K3, в котором будет размещена новая матрица - результат вычитания, как показано на рис.60. В этом блоке активная ячейка I2.

Рис.60. Выделение диапазона ячеек для размещения результата вычитания матриц

3) Наберем знак равенства =.

4) Выделим мышью диапазон ячеек A2:C3 с первой матрицей М (в строке формул появится =A2:C3), затем нажмем знак вычитания , после чего выделим мышью диапазон ячеек E2:G3 со второй матрицей N. В строке формул появится формула, показанная на рис.61.

Рис.61. Введенная формула для нахождения разности двух матриц

5) Нажмем комбинацию клавиш <Ctrl+Shift+Enter> (а не Enter, как ранее при вводе формул), при этом в строке формул появится формула вида {=A2:C3-E2:G3} (табличная формула), а в ячейках таблицы I2:K3 – результат вычитания (рис.62). При этом фигурные скобки, окружающие табличную формулу, нельзя набирать вручную, иначе формула будет воспринята как текст.

Рис.62. Результат вычитания двух матриц

Аналогичным образом вычисляются любые другие линейные комбинации.

  1.  Изменение табличной формулы

При попытке очистить одну из ячеек, занятую созданной табличной формулой (выделив, например, ячейку I2, и нажав затем клавишу Del), появится сообщение «Нельзя изменять часть массива». Удалить блок можно только целиком.

Отредактировать введенную формулу можно следующим образом:

  1.  выделить блок с формулой (обычным способом или нажав комбинацию клавиш <Ctrl+/>;
  2.  нажать функциональную клавишу <F2>;
  3.  внести изменения в формулу;
  4.  нажать сочетание клавиш <Ctrl+Shift+Enter>.

Скорректируем введенную формулу, выполнив указанные выше шаги, изменив в ней знак вычитания на знак сложения. Результат будет, как показано на рис. 63.

Рис.63. Результат вычислений после внесения изменения в формулу

  1.  Стандартные функции для матричных операций

Стандартные функции Excel для работы с матрицами, относящиеся к категории Математические, следующие:

  1.  МУМНОЖ (массив1; массив2) – вычисление произведения двух массивов;
  2.  МОБР (массив) – вычисление обратной матрицы;
  3.  МОПРЕД (массив) – вычисление определителя матрицы.

Функция, относящаяся к категории Ссылки и массивы – ТРАНСП (массив) – транспонирование матрицы

Работу стандартных функций для работы с матрицами рассмотрим на примере.

Пример. Вычислить обратную матрицу для матрицы

Порядок выполнения:

  1.  Введем матрицу M в ячейки A2:C4 (рис. 6).
  2.  Выделим диапазон ячеек Е2:G4, в котором будет размещена новая матрица – обратная.
  3.  Вызовем Мастер функций. В категории Математические выберем функцию МОБР.
  4.  В открывшемся диалоговом окне выделим исходную матрицу (рис.64).

Рис.64. Работа с функцией МОБР

  1.  Нажмем комбинацию клавиш <Ctrl+Shift+Enter>, после чего в выделенных ячейках появится обратная матрица (рис.65).

Рис.65. Вычисленная обратная матрица

Подобным образом осуществляется работа с другими матричными функциями.

  1.   Решение систем уравнений с помощью матричных функций

Матричные функции позволяют решать систему линейных уравнений.

Пример. Решить систему уравнений по формуле .

Порядок выполнения:

  1.  Поместим матрицу А и вектор b в блоки A2:C4 и E2:E4 соответственно (рис.66).

Рис. 66. Помещение исходных данных в таблице для решения системы уравнения

  1.  Выделим ячейки таблицы, в которой будут помещены искомые коэффициенты x, y, z (рис.67).

Рис.67. Подготовленный диапазон ячеек для нахождения коэффициентов

  1.  Для нахождения коэффициентов по формуле необходимо будет воспользоваться функциями МУМНОЖ и МОБР, при этом функция МОБР будет вложена в функцию МУМНОЖ. Для этого в активной ячейке G2 вызовем вначале функцию МУМНОЖ (рис.68).

Рис. 68.  Вызов функции МУМНОЖ для нахождения коэффициентов уравнения

Затем в качестве первого аргумента в палитре функций выберем функцию МОБР, в качестве ее аргумента укажем диапазон ячеек A2:C4 с матрицей А (рис. 69).

Рис. 69.  Вызов вложенной функции МОБР

После этого, установив в строке формул курсор мыши на функцию МУМНОЖ, вернемся в окно этой функции и в качестве второго аргумента укажем диапазон ячеек E2:E4 с вектором b (рис.70).

Рис. 70.  Окно функции МУМНОЖ для ввода второго аргумента

  1.  Нажмем комбинацию клавиш <Ctrl+Shift+Enter>, после чего в выделенных ячейках появятся искомые коэффициенты (рис.71).

Рис. 71.  Найденное решение системы уравнений

  1.  Задания для выполнения лабораторной работы

Часть 1. Выполните все приведенные ниже задания, используя описанные способы, и сравните с ответом

  1.  Сложить матрицы

Исходные матрицы

Ответ

 

  1.  Вычислить линейную комбинацию матриц

Линейные комбинации

Ответ

1) M-N

2) 2M-2N+P

  1.  Вычислить определитель (det) матриц

Исходные матрицы

Ответ

det=1

det=0

  1.  Вычислить обратную матрицу

Исходные матрицы

Ответ

T1обр=

0,54918

0,008197

0,606557

0,098361

0,016393

0,213115

-0,11475

0,147541

-0,08197

T2обр=

0,261538

-0,03077

0,169231

0,292308

-0,44615

-0,04615

0,153846

-0,07692

-0,07692

  1.  Транспонировать матрицы

Исходные матрицы

Ответ

  1.  Дана матрица .

Вычислить матрицу

Ответ:

  1.  Дана матрица .

Вычислить матрицу

Ответ:

  1.  Дана матрица .

Вычислить матрицу  

Ответ:

  1.  Дана матрица .

Вычислить матрицу

Ответ:

Часть 2. Решить систему уравнений (в соответствии с выданным вариантом).

1.            Ответ: 0; 1; 3

2.              Ответ: 1,923077; 1,769231; 1,461538

3.                    Ответ: -1,5; -0,5; 7,5

4.              Ответ: 2,491803; 0,983607; 1,852459

5.     Ответ: -5,99687; -0,2662; 4,045992

6.   Ответ: -25,909; -0,9959; 23,97104

7.                     Ответ: 1; 1; 1

8.                     Ответ: решений нет

9.                       Ответ: -1; 1; 0

10.            Ответ:  -1,16667; 0,888889; 0,333333; 0,055556

11.                     Ответ: -2415; -26611; 79141

12.              Ответ: -0,78503; -0,78337; 0,957937

13. Ответ: -224,838; 2,149161; 43,70695; -178,812

14.           Ответ: 5,012048; -0,24867; -2,84634; 3,502785

15.           Ответ: -50,2749; -0,11628; 808,1882; -28,2868

Контрольные вопросы

  1.  Перечислите стандартные функции MS Excel для операций над матрицами и их аргументы.
  2.  К каким категориям стандартных функций они относятся?
  3.  Каким образом  завершается ввод формул для табличных форм?
  4.  Как перемножить две матрицы? Три матрицы?
  5.  Расскажите алгоритм решения систем уравнения с использованием матричных функций MS Excel.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28549. Режим CBC 39 KB
  Дешифрование в режиме СВС Для получения первого блока зашифрованного сообщения используется инициализационный вектор IV для которого выполняется операция XOR с первым блоком незашифрованного сообщения. В режиме CBC при зашифровании каждая итерация алгоритма зависит от результата предыдущей итерации поэтому зашифрование сообщения не поддаётся расспараллеливанию. Однако расшифрование когда весь шифротекст уже получен можно выполнять параллельно и независимо для всех блоков сообщения см. Это дает значительный выигрыш во времени при...
28550. Режим CFB 66.5 KB
  Как и в режиме CBC здесь используется операция XOR для предыдущего блока зашифрованного текста и следующего блока незашифрованного текста. Таким образом любой блок зашифрованного текста является функцией от всего предыдущего незашифрованного текста. Для левых J битов выхода алгоритма выполняется операция XOR с первыми J битами незашифрованного текста Р1 для получения первого блока зашифрованного текста С1. При дешифровании используется аналогичная схема за исключением того что для блока получаемого зашифрованного текста выполняется...
28551. Режим шифрования с обратной связью по выходу (OFB) 52.55 KB
  Разница заключается в том что выход алгоритма в режиме OFB подается обратно в регистр тогда как в режиме CFB в регистр подается результат применения операции XOR к незашифрованному блоку и результату алгоритма см. Шифрование в режиме OFB Основное преимущество режима OFB состоит в том что если при передаче произошла ошибка то она не распространяется на следующие зашифрованные блоки и тем самым сохраняется возможность дешифрования последующих блоков. Дешифрование в режиме OFB Недостаток режима OFB заключается в том что он более уязвим к...
28552. Симметричные методы шифрования DES 63.46 KB
  Функция перестановки одна и та же для каждого раунда но подключи Ki для каждого раунда получаются разные вследствие повторяющегося сдвига битов ключа. Последовательность преобразований отдельного раунда Теперь рассмотрим последовательность преобразований используемую на каждом раунде. Создание подключей Ключ для отдельного раунда Ki состоит из 48 битов. На каждом раунде Ci и Di независимо циклически сдвигаются влево на 1 или 2 бита в зависимости от номера раунда.
28553. Примеры современных шифров проблема последнего блока DES 26.44 KB
  Альтернативой DES можно считать тройной DES IDEA а также алгоритм Rijndael принятый в качестве нового стандарта на алгоритмы симметричного шифрования. Также без ответа пока остается вопрос возможен ли криптоанализ с использованием существующих характеристик алгоритма DES. Алгоритм тройной DES В настоящее время основным недостатком DES считается маленькая длина ключа поэтому уже давно начали разрабатываться различные альтернативы этому алгоритму шифрования.
28554. Распределение ключей. Использование базовых ключей 13.15 KB
  Он заключается в доставке абоненту сети связи не полного комплекта ключей для связи со всеми другими абонентами а некоторой универсальной заготовки уникальной для каждого абонента по которой он может вычислить необходимый ему ключ. Пусть в сети связи действуют N абонентов занумеруем их от 0 до N1 и поставим каждому абоненту уникальный открытый идентификатор Yi из некоторого множества Y открытый в смысле общеизвестный. Генерация ключей для абонентов сети связи заключается в выработке N секретных ключей Xi из некоторого множества X....
28555. Использование маркантов или производных ключей 15.1 KB
  Заключается в использовании для шифрования не непосредственно ключей хранимых у абонентов а некоторых производных ключей из них получаемых. Заключается в использовании вместо ключа K двоичного вектора S полученного побитным суммированием K и случайного двоичного вектора M называемого маркантом при этом маркант передается в открытом виде отправителем получателю. Действительно использование одного и того же ключа но разных маркантов не снижает стойкости шифра. Однако этот метод обладает одним недостатком восстановление одного...
28557. Несимметричные системы шифрования и их построение 23.7 KB
  Эти системы характеризуются тем что для шифрования и для расшифрования используются разные ключи связанные между собой некоторой зависимостью. Один из ключей например ключ шифрования может быть сделан общедоступным и в этом случае проблема получения общего секретного ключа для связи отпадает. Поскольку в большинстве случаев один ключ из пары делается общедоступным такие системы получили также название криптосистем с открытым ключом. Первый ключ не является секретным и может быть опубликован для использования всеми пользователями...