41898

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Метод Ньютона. В качестве начального приближения здесь выбирается правый или левый конец отрезка в зависимости от того в котором выполняется достаточное условие сходимости метода Ньютона вида: Условие выполняется на обоих концах отрезка следовательно в качестве начального приближения разрешено выбрать любой из них. Рабочая формула метода Ньютона для данного уравнения запишется так: Условия выхода итерационного процесса аналогичны условиям метода простых итераций: и . Модифицированный метод Ньютона.

Русский

2013-10-26

251.24 KB

25 чел.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1-2.

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Вариант №5.

Выполнил:

Студент группы 24275

Кожевников Е.И.

Проверил:

Доцент

Горбунов Д.В.

Задание.

Доказать графическим и аналитическим методами существование единственного корня нелинейного уравнения на отрезке .

Решение:

Графический метод.

Из графика функции на Рис.1 видно, что функция пересекает ось в одной точке, являющейся приближенным значением корня нелинейного уравнения. Но так как данная функция имеет сложный аналитический вид, то преобразуем уравнение к виду и построим два графика и , имеющих более простой аналитический вид (Рис.2). Абсцисса точки пересечения графиков является приближенным значением корня.

Рис.1 График функции

Рис.2 Графики функций и ,

Аналитический метод.

Функция непрерывна на отрезке , имеет на концах отрезка разные знаки (), а производная функции не меняет знак на отрезке (). Следовательно, нелинейное уравнение имеет на указанном отрезке единственный корень.

Метод простых итераций.

Построим функцию . Константа выбирается из достаточного условия сходимости:

Если производная , то значение выбирается из интервала , если производная , то – из интервала .

Так как для рассматриваемого примера всюду положительна на отрезке , то придавая переменной различные значения из интервала и выбирая наименьший интервал , получим .

Выбираем произвольное значение из этого интервала.

Пусть . Тогда рабочая формула метода простых итераций будет иметь вид:

 

Начнем итерационный процесс, задав начальное приближение х0 равное минимальному значению х в заданном интервале , т.е. х0=-1,1. Итерационный процесс заканчивается при одновременном выполнении двух условий:

и . , где ε=0,001, δ=0,01.

В этом случае значение является приближенным значением корня нелинейного уравнения на отрезке .

Метод Ньютона.

В качестве начального приближения здесь выбирается правый или левый конец отрезка, в зависимости от того, в котором выполняется достаточное условие сходимости метода Ньютона вида:

 

 

Условие выполняется на обоих концах отрезка, следовательно, в качестве начального приближения разрешено выбрать любой из них. Выбираем наименьший: . Рабочая формула метода Ньютона для данного уравнения запишется так:

Условия выхода итерационного процесса аналогичны условиям метода простых итераций:

и . , где ε=0,001, δ=0,01.

Модифицированный метод Ньютона.

Начальное приближение выбирается аналогично методу Ньютона, т.е. . Рабочая формула модифицированного метода Ньютона для данного примера запишется так:

 

Условия выхода итерационного процесса аналогичны условиям метода простых итераций:

и . , где ε=0,001, δ=0,01.

Блок-схема метода простых итераций, метода Ньютона и модифицированного метода Ньютона приведена на рисунке 3.

Рис.3 Схема итерационных методов.

Тексты программ:

  1. Метод простых итераций:

Program P1_2;

uses Crt;

var n: integer;

x0,x,eps,z,d,y,c:real;

begin

 clrscr;

 n:=0; x0:=-1.1; c:=-0.1; x:=x0; eps:=0.001; d:=0.01;

 writeln ('  n     xi      xi+1   xi+1-xi  f(xi+1)   ');

 repeat

   {Метод простых итераций}

    y:=x+c*(exp(x)-2*exp(ln(abs(x-1))*2));                  

    writeln (n:3, x:9:5, y:9:5, abs(y-x):9:5, abs(exp(y)-2*(y-1)*(y-1)):9:5);

    z:=x;

    x:=y;

    n:=n+1;

  until (abs(x-z)<=eps) and (abs(exp(x)-2*(x-1)*(x-1))<=d);

readln;

end.

  1. Метод Ньютона:

Program P1_2_N;

uses Crt;

var n: integer;

x0,x,eps,z,d,y,c:real;

begin

 clrscr;

 n:=0; x0:=-1.1; c:=-0.1; x:=x0; eps:=0.001; d:=0.01;

 writeln ('  n     xi      xi+1   xi+1-xi  f(xi+1)   ');

 repeat

   {Метод Ньютона}

    y:=x-(exp(x)-2*(x-1)*(x-1))/(exp(x)-4*(x-1));

    writeln (n:3, x:9:5, y:9:5, abs(y-x):9:5, abs(exp(y)-2*(y-1)*(y-1)):9:5);

    z:=x;

    x:=y;

    n:=n+1;

  until (abs(x-z)<=eps) and (abs(exp(x)-2*(x-1)*(x-1))<=d);

readln;

end.

  1. Модифицированный метод Ньютона:

Program P1_2_NM;

uses Crt;

var n: integer;

x0,x,eps,z,d,y,c:real;

begin

 clrscr;

 n:=0; x0:=-1.1; c:=-0.1; x:=x0; eps:=0.001; d:=0.01;

 writeln ('  n     xi      xi+1   xi+1-xi  f(xi+1)   ');

 repeat

   {Метод Ньютона Модифицированный}

    y:=x-(exp(x)-2*(x-1)*(x-1))/(exp(x0)-4*(x0-1));

    writeln (n:3, x:9:5, y:9:5, abs(y-x):9:5, abs(exp(y)-2*(y-1)*(y-1)):9:5);

    z:=x;

    x:=y;

    n:=n+1;

  until (abs(x-z)<=eps) and (abs(exp(x)-2*(x-1)*(x-1))<=d);

readln;

end.

Результаты отработки программы:

Рис.4 – программы, работающей по методу простых итераций;

Рис.5 – программы, работающей по методу Ньютона;

Рис.6 – программы, работающей по модифицированному методу Ньютона.

Рис.4 Ответ – х(11)≈0,21219

Рис.5 Ответ – х(4)≈0,21331

Рис.6 Ответ – х(10)≈0,21279


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

4182. Генрих Белль. Жизнь и творчество 135.5 KB
  Генрих Бёлль родился в 1917 году в Кёльне и был восьмым ребенком в семье. Его отец, Виктор Бёлль, потомственный столяр-краснодеревщик, а предки со стороны матери - рейнские крестьяне и пивовары. Начало его жизненного пути схоже с судьба...
4183. Общая характеристика институционализма 96.5 KB
  Введение Термин институционализм происходит от слова институт или институция, под которым понимается определенный обычай, порядок, принятый в обществе, а также закрепление обычаев в виде закона или учреждени...
4184. Основные факторы инфляции в России 97 KB
  Основные факторы инфляции в России. Характер и сочетание факторов, в том числе сугубо специфических, определяющих ход событий в экономике и денежной сфере страны, дают основание полагать, что отечественный тип инфляции уникален и отличается от класс...
4185. Інфляція в Україні та шляхи її усунення 146 KB
  В умовах пікових темпів інфляції доцільною є рестрикційна політика – політика стримування. Її характерні риси: скорочення витрат бюджету та позичкового процента, стримування експорту і грошової емісії, підвищення податкових ставок. У кінцевому результаті, зазначені заходи дають скорочення сукупного попиту.
4186. Властивості напівпровідникових кристалів 724.5 KB
  Явища переносу в напівпровідниках Кінетичне рівняння Больцмана В рівноважних умовах розподіл електронів ідеальної кристалічної гратки по енергіях описується (§ 2.1) функцією ФерміДірака f(E) (чи МаксвеллаБольцмана для невиродженого електронного газу...
4187. Україна козацькаконспект. Довідник з історії України для студентів всіх спеціальностей УДУВГП 241.5 KB
  Вступ Козацький період в історії України (ХVІ – ХVІІІ ст.) надзвичайно важливий для розуміння складних державотворчих і націєтворчих процесів, що відбувалися на наших землях протягом багатьох століть, і які, на жаль, залишаються незавершеними щ...
4188. Корреспонденция – жанр-гибрид 65.5 KB
  Корреспонденция – жанр-гибрид Создание журналистского произведения всегда обусловлено рядом взаимозависимых процессов, к которым можно отнести поиск и рождение темы будущей публикации, формирование и разработку замысла конкретного произведения...
4189. Теория длинных волн Н.Д. Кондратьева 127.5 KB
  Введение. Я выбрала курсовую работу по теме: Теория длинных волн Н.Д. Кондратьева. Эта тема меня заинтересовала тем, что во-первых, спады и подъемы в экономической жизни любой страны всегда наблюдались и наблюдаются в наши дни. Мне захотелось самой...
4190. Предмет исследования экономической теории и ее функции 43.73 KB
  Введение Первым поводом к изучению экономической теории является то, что эта теория дело с такими проблемами, которые касаются нас всех без исключения: какие виды работ нужно выполнять Как они оплачиваются сколько товаров можно купить на доллар за...