41898

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Метод Ньютона. В качестве начального приближения здесь выбирается правый или левый конец отрезка в зависимости от того в котором выполняется достаточное условие сходимости метода Ньютона вида: Условие выполняется на обоих концах отрезка следовательно в качестве начального приближения разрешено выбрать любой из них. Рабочая формула метода Ньютона для данного уравнения запишется так: Условия выхода итерационного процесса аналогичны условиям метода простых итераций: и . Модифицированный метод Ньютона.

Русский

2013-10-26

251.24 KB

26 чел.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1-2.

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Вариант №5.

Выполнил:

Студент группы 24275

Кожевников Е.И.

Проверил:

Доцент

Горбунов Д.В.

Задание.

Доказать графическим и аналитическим методами существование единственного корня нелинейного уравнения на отрезке .

Решение:

Графический метод.

Из графика функции на Рис.1 видно, что функция пересекает ось в одной точке, являющейся приближенным значением корня нелинейного уравнения. Но так как данная функция имеет сложный аналитический вид, то преобразуем уравнение к виду и построим два графика и , имеющих более простой аналитический вид (Рис.2). Абсцисса точки пересечения графиков является приближенным значением корня.

Рис.1 График функции

Рис.2 Графики функций и ,

Аналитический метод.

Функция непрерывна на отрезке , имеет на концах отрезка разные знаки (), а производная функции не меняет знак на отрезке (). Следовательно, нелинейное уравнение имеет на указанном отрезке единственный корень.

Метод простых итераций.

Построим функцию . Константа выбирается из достаточного условия сходимости:

Если производная , то значение выбирается из интервала , если производная , то – из интервала .

Так как для рассматриваемого примера всюду положительна на отрезке , то придавая переменной различные значения из интервала и выбирая наименьший интервал , получим .

Выбираем произвольное значение из этого интервала.

Пусть . Тогда рабочая формула метода простых итераций будет иметь вид:

 

Начнем итерационный процесс, задав начальное приближение х0 равное минимальному значению х в заданном интервале , т.е. х0=-1,1. Итерационный процесс заканчивается при одновременном выполнении двух условий:

и . , где ε=0,001, δ=0,01.

В этом случае значение является приближенным значением корня нелинейного уравнения на отрезке .

Метод Ньютона.

В качестве начального приближения здесь выбирается правый или левый конец отрезка, в зависимости от того, в котором выполняется достаточное условие сходимости метода Ньютона вида:

 

 

Условие выполняется на обоих концах отрезка, следовательно, в качестве начального приближения разрешено выбрать любой из них. Выбираем наименьший: . Рабочая формула метода Ньютона для данного уравнения запишется так:

Условия выхода итерационного процесса аналогичны условиям метода простых итераций:

и . , где ε=0,001, δ=0,01.

Модифицированный метод Ньютона.

Начальное приближение выбирается аналогично методу Ньютона, т.е. . Рабочая формула модифицированного метода Ньютона для данного примера запишется так:

 

Условия выхода итерационного процесса аналогичны условиям метода простых итераций:

и . , где ε=0,001, δ=0,01.

Блок-схема метода простых итераций, метода Ньютона и модифицированного метода Ньютона приведена на рисунке 3.

Рис.3 Схема итерационных методов.

Тексты программ:

  1. Метод простых итераций:

Program P1_2;

uses Crt;

var n: integer;

x0,x,eps,z,d,y,c:real;

begin

 clrscr;

 n:=0; x0:=-1.1; c:=-0.1; x:=x0; eps:=0.001; d:=0.01;

 writeln ('  n     xi      xi+1   xi+1-xi  f(xi+1)   ');

 repeat

   {Метод простых итераций}

    y:=x+c*(exp(x)-2*exp(ln(abs(x-1))*2));                  

    writeln (n:3, x:9:5, y:9:5, abs(y-x):9:5, abs(exp(y)-2*(y-1)*(y-1)):9:5);

    z:=x;

    x:=y;

    n:=n+1;

  until (abs(x-z)<=eps) and (abs(exp(x)-2*(x-1)*(x-1))<=d);

readln;

end.

  1. Метод Ньютона:

Program P1_2_N;

uses Crt;

var n: integer;

x0,x,eps,z,d,y,c:real;

begin

 clrscr;

 n:=0; x0:=-1.1; c:=-0.1; x:=x0; eps:=0.001; d:=0.01;

 writeln ('  n     xi      xi+1   xi+1-xi  f(xi+1)   ');

 repeat

   {Метод Ньютона}

    y:=x-(exp(x)-2*(x-1)*(x-1))/(exp(x)-4*(x-1));

    writeln (n:3, x:9:5, y:9:5, abs(y-x):9:5, abs(exp(y)-2*(y-1)*(y-1)):9:5);

    z:=x;

    x:=y;

    n:=n+1;

  until (abs(x-z)<=eps) and (abs(exp(x)-2*(x-1)*(x-1))<=d);

readln;

end.

  1. Модифицированный метод Ньютона:

Program P1_2_NM;

uses Crt;

var n: integer;

x0,x,eps,z,d,y,c:real;

begin

 clrscr;

 n:=0; x0:=-1.1; c:=-0.1; x:=x0; eps:=0.001; d:=0.01;

 writeln ('  n     xi      xi+1   xi+1-xi  f(xi+1)   ');

 repeat

   {Метод Ньютона Модифицированный}

    y:=x-(exp(x)-2*(x-1)*(x-1))/(exp(x0)-4*(x0-1));

    writeln (n:3, x:9:5, y:9:5, abs(y-x):9:5, abs(exp(y)-2*(y-1)*(y-1)):9:5);

    z:=x;

    x:=y;

    n:=n+1;

  until (abs(x-z)<=eps) and (abs(exp(x)-2*(x-1)*(x-1))<=d);

readln;

end.

Результаты отработки программы:

Рис.4 – программы, работающей по методу простых итераций;

Рис.5 – программы, работающей по методу Ньютона;

Рис.6 – программы, работающей по модифицированному методу Ньютона.

Рис.4 Ответ – х(11)≈0,21219

Рис.5 Ответ – х(4)≈0,21331

Рис.6 Ответ – х(10)≈0,21279


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47686. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ. РУССКИЙ ЯЗЫК И КУЛЬТУРА РЕЧИ 5.2 MB
  Предметом культуры речи как учебной дисциплины являются нормы литературного языка виды общения его принципы и правила этические нормы общения функциональные стили речи основы искусства речи а также трудности применения речевых норм и проблемы современного состояния речевой культуры общества. Повышение культуры разговорной речи обучение речевым средствам установления и поддержания доброжелательных личных отношений. Главной целью курса культуры речи является формирование образцовой языковой личности высокообразованного специалиста...
47687. Методичні рекомендації. Соціальна інформатика 330 KB
  Під прийняттям рішень розуміють особливий процес людської діяльності направлений на вибір найкращого варіанта дій. Процес прийняття рішень складається з трьох етапів: пошук інформації пошук і знаходження альтернатив та вибір найкращої альтернативи. Другий етап повязаний із визначенням того що можна а що не можна робити в даній ситуації тобто з визначенням варіантів рішень альтернатив.
47688. Методичні вказівки. Контрольно-вимірювальна техніка 3.06 MB
  Дослідження мостових схем постійного струму і вимірювання опору. Лабораторна робота № 3 Дослідження мостових схем постійного струму і вимірювання опору Мета роботи: ознайомитись з методами виміру опорів задопомогою мостів постійного струму. Загальні положення Мостами називають прилади зрівняючого перетворення призначені для вимірювання параметрів електричних кіл омічного та активних опорів індуктивності взаємної індуктивності ємкості и т. Мостами постійного струму називаються прилади...
47689. Обеспечение производства материальными ресурсами 148.5 KB
  План материальнотехнического обеспечения предприятия предусматривает: определение общей потребности в материальных ресурсах; определение объема запасов материалов; расчет ожидаемых остатков материалов на конец года; установление объема завоза материальных ресурсов. j= Обеспечение производства всей номенклатурой материальных ресурсов в значительной степени зависит от величины и комплектности производственных запасов па складах предприятий и объединений. На предприятиях и в объединениях уменьшение запасов сокращает расходы на их содержание...
47691. ОХРАНА ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ 1017 KB
  Таким объектом в зависимости от темы дипломного проекта может быть как предприятие в целом так и отдельное производство или технологический процесс. Коэффициент использования характеризует степень использования сырья и материалов в производстве продукции работы и определяется отношением количества полученной товарной продукции к количеству материалов затраченных на производство этой продукции....
47692. Методические указания. Бухгалтерский финансовый учет 263 KB
  Методические указания к выполнению курсовых работ по дисциплине Бухгалтерский финансовый учет Специальность 080109 ОМСК 2007 Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
47693. Методические указания. Информатика и компьютерная техника 155.5 KB
  Порядок выполнения курсовой работы Примерный график выполнения работы Оформление курсовой работы Целью курсовой работы является закрепление и углубление знаний полученных студентами в курсе Информатика и КТ развитие навыков при выборе представления исходных данных использовании объектно-ориентированного подхода при написании программ на языке Visul Bsic тестировании и отладки программы оформлении документации на программную разработку.