41898

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Метод Ньютона. В качестве начального приближения здесь выбирается правый или левый конец отрезка в зависимости от того в котором выполняется достаточное условие сходимости метода Ньютона вида: Условие выполняется на обоих концах отрезка следовательно в качестве начального приближения разрешено выбрать любой из них. Рабочая формула метода Ньютона для данного уравнения запишется так: Условия выхода итерационного процесса аналогичны условиям метода простых итераций: и . Модифицированный метод Ньютона.

Русский

2013-10-26

251.24 KB

26 чел.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1-2.

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Вариант №5.

Выполнил:

Студент группы 24275

Кожевников Е.И.

Проверил:

Доцент

Горбунов Д.В.

Задание.

Доказать графическим и аналитическим методами существование единственного корня нелинейного уравнения на отрезке .

Решение:

Графический метод.

Из графика функции на Рис.1 видно, что функция пересекает ось в одной точке, являющейся приближенным значением корня нелинейного уравнения. Но так как данная функция имеет сложный аналитический вид, то преобразуем уравнение к виду и построим два графика и , имеющих более простой аналитический вид (Рис.2). Абсцисса точки пересечения графиков является приближенным значением корня.

Рис.1 График функции

Рис.2 Графики функций и ,

Аналитический метод.

Функция непрерывна на отрезке , имеет на концах отрезка разные знаки (), а производная функции не меняет знак на отрезке (). Следовательно, нелинейное уравнение имеет на указанном отрезке единственный корень.

Метод простых итераций.

Построим функцию . Константа выбирается из достаточного условия сходимости:

Если производная , то значение выбирается из интервала , если производная , то – из интервала .

Так как для рассматриваемого примера всюду положительна на отрезке , то придавая переменной различные значения из интервала и выбирая наименьший интервал , получим .

Выбираем произвольное значение из этого интервала.

Пусть . Тогда рабочая формула метода простых итераций будет иметь вид:

 

Начнем итерационный процесс, задав начальное приближение х0 равное минимальному значению х в заданном интервале , т.е. х0=-1,1. Итерационный процесс заканчивается при одновременном выполнении двух условий:

и . , где ε=0,001, δ=0,01.

В этом случае значение является приближенным значением корня нелинейного уравнения на отрезке .

Метод Ньютона.

В качестве начального приближения здесь выбирается правый или левый конец отрезка, в зависимости от того, в котором выполняется достаточное условие сходимости метода Ньютона вида:

 

 

Условие выполняется на обоих концах отрезка, следовательно, в качестве начального приближения разрешено выбрать любой из них. Выбираем наименьший: . Рабочая формула метода Ньютона для данного уравнения запишется так:

Условия выхода итерационного процесса аналогичны условиям метода простых итераций:

и . , где ε=0,001, δ=0,01.

Модифицированный метод Ньютона.

Начальное приближение выбирается аналогично методу Ньютона, т.е. . Рабочая формула модифицированного метода Ньютона для данного примера запишется так:

 

Условия выхода итерационного процесса аналогичны условиям метода простых итераций:

и . , где ε=0,001, δ=0,01.

Блок-схема метода простых итераций, метода Ньютона и модифицированного метода Ньютона приведена на рисунке 3.

Рис.3 Схема итерационных методов.

Тексты программ:

  1. Метод простых итераций:

Program P1_2;

uses Crt;

var n: integer;

x0,x,eps,z,d,y,c:real;

begin

 clrscr;

 n:=0; x0:=-1.1; c:=-0.1; x:=x0; eps:=0.001; d:=0.01;

 writeln ('  n     xi      xi+1   xi+1-xi  f(xi+1)   ');

 repeat

   {Метод простых итераций}

    y:=x+c*(exp(x)-2*exp(ln(abs(x-1))*2));                  

    writeln (n:3, x:9:5, y:9:5, abs(y-x):9:5, abs(exp(y)-2*(y-1)*(y-1)):9:5);

    z:=x;

    x:=y;

    n:=n+1;

  until (abs(x-z)<=eps) and (abs(exp(x)-2*(x-1)*(x-1))<=d);

readln;

end.

  1. Метод Ньютона:

Program P1_2_N;

uses Crt;

var n: integer;

x0,x,eps,z,d,y,c:real;

begin

 clrscr;

 n:=0; x0:=-1.1; c:=-0.1; x:=x0; eps:=0.001; d:=0.01;

 writeln ('  n     xi      xi+1   xi+1-xi  f(xi+1)   ');

 repeat

   {Метод Ньютона}

    y:=x-(exp(x)-2*(x-1)*(x-1))/(exp(x)-4*(x-1));

    writeln (n:3, x:9:5, y:9:5, abs(y-x):9:5, abs(exp(y)-2*(y-1)*(y-1)):9:5);

    z:=x;

    x:=y;

    n:=n+1;

  until (abs(x-z)<=eps) and (abs(exp(x)-2*(x-1)*(x-1))<=d);

readln;

end.

  1. Модифицированный метод Ньютона:

Program P1_2_NM;

uses Crt;

var n: integer;

x0,x,eps,z,d,y,c:real;

begin

 clrscr;

 n:=0; x0:=-1.1; c:=-0.1; x:=x0; eps:=0.001; d:=0.01;

 writeln ('  n     xi      xi+1   xi+1-xi  f(xi+1)   ');

 repeat

   {Метод Ньютона Модифицированный}

    y:=x-(exp(x)-2*(x-1)*(x-1))/(exp(x0)-4*(x0-1));

    writeln (n:3, x:9:5, y:9:5, abs(y-x):9:5, abs(exp(y)-2*(y-1)*(y-1)):9:5);

    z:=x;

    x:=y;

    n:=n+1;

  until (abs(x-z)<=eps) and (abs(exp(x)-2*(x-1)*(x-1))<=d);

readln;

end.

Результаты отработки программы:

Рис.4 – программы, работающей по методу простых итераций;

Рис.5 – программы, работающей по методу Ньютона;

Рис.6 – программы, работающей по модифицированному методу Ньютона.

Рис.4 Ответ – х(11)≈0,21219

Рис.5 Ответ – х(4)≈0,21331

Рис.6 Ответ – х(10)≈0,21279


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

826. Договор подряда и его разновидности 202 KB
  Общие положения о договоре подряда. Подряд на выполнение проектных и изыскательских работ. Подрядные работы для государственных нужд. Конфиденциальность информации по договору подряда. Договор бытового подряда. Сторонами договора строительного подряда являются заказчик и подрядчик.
827. Построение графика производства геодезических работ и его оптимизация 193.5 KB
  Выполнить расчет по аналитической (цифровой) части графика, построить график производства работ, оптимизировать график, построить диаграмму потребности в трудовых ресурсах.
828. Исследование одиночных усилительных каскадов 156 KB
  Основные характеристики усилительных каскадов на биполярных транзисторах в диапазоне частот до десятков килогерц, включенных по схеме общий эмиттер (ОЭ), общая база (ОБ) и общий коллектор (ОК).
829. Участок по переработки ПЭТФ литьем под давлением 462.5 KB
  Описание изделия, его назначение и условия эксплуатации. Анализ производственного процесса на предприятии и рекомендации по его совершенствованию. Описание основных стадий производственного процесса. Расчет материального баланса на калькуляционную единицу. Выбор основного технологического оборудования.
830. Технология озвучивания и монтаж рекламного ролика ИЭиУ СПбГУКиТ в условиях формата изображения 35 мм 199.5 KB
  Экспликация рекламного ролика института экономики и управления СПбГУКиТ. Описание технологии изображения 35-мм (традиционный вариант). Выбор оборудования, обзор возможностей и технических характеристик выбранного оборудования. Программа Nuendo 2.0.
831. Проектирование водопровода и канализации жилого здания 195 KB
  Проектирование системы холодного водоснабжения. Гидравлический расчёт системы холодного водоснабжения. Определение требуемого напора на вводе, подбор насоса. Гидравлический расчёт внутриквартальной хозяйственно-бытовой канализации. Конструирование внутридомовой канализационной сети. Гидравлический расчёт внутриквартальной ливневой канализации.
832. Особенности понятия материя 219.5 KB
  Бытие, как предельно общая абстракция. Формы движения материи. Их качественная специфика и взаимосвязь. Реляционная и субстанциальная концепции пространства и времени. • Качественное многообразие форм пространства-времени в неживой природе. Реляционная и субстанцианальная концепции пространства и времени.
833. Централизованное специализированное предприятие для текущего ремонта автомобилей 363 KB
  План организации рельефа, подсчёт красных и чёрных точек. Объемно-планировочное решение здания. Отделка фасада. Внутренняя отделка помещений. Санитарно-техническое и инженерное оборудование. Колонны каркаса и фахверка.
834. Визначення основних параметрів та режимів роботи валкової жатки 3.57 MB
  Характеристика умов роботи валкової жатки. Існуючі технології схеми валкових жаток. Висота встановлення осі мотовила над різальним апаратом. Винос мотовила відносно різального апарата.