41899

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД НЬЮТОНА

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Цель работы: научиться решать системы нелинейных уравнений СНУ методом простых итераций МПИ и методом Ньютона с помощью ЭВМ. Изучить МПИ и метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений. На конкретном примере усвоить порядок решения систем нелинейных уравнений МПИ и методом Ньютона с помощью ЭВМ. Построить рабочие формулы МПИ и метода Ньютона для численного решения системы при начальном приближении: .

Русский

2013-10-26

213.45 KB

81 чел.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3-4.

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Вариант №5.

Выполнил:

Студент группы 24275

Кожевников Е.И.

Проверил:

Доцент

Горбунов Д.В.

Цель работы: научиться решать системы нелинейных уравнений (СНУ) методом простых итераций (МПИ) и методом Ньютона с помощью ЭВМ.

Содержание работы:

1. Изучить МПИ и метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений.

2. На конкретном примере усвоить порядок решения систем нелинейных уравнений МПИ и методом Ньютона с помощью ЭВМ.

3. Составить программу и с ее помощью решить систему уравнений с точностью .

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Задание.

1. Аналитически решить СНУ:  

2. Построить рабочие формулы МПИ и метода Ньютона для численного решения системы при начальном приближении: .

3. Составить программу на любом языке программирования, реализующую построенный итерационный процесс.

Решение.

Аналитический метод.

Аналитическим решением СНУ являются точки и .

Метод простых итераций (МПИ).

Для построения рабочих формул МПИ для численного решения системы необходимо вначале привести ее к виду:

 

Для этого умножим первое уравнение системы на неизвестную постоянную , второе - на , затем сложим их и добавим в обе части уравнения . Получим первое уравнение преобразуемой системы:

 

где . Далее, умножим первое уравнение системы на неизвестную постоянную , второе - на , затем сложим их и добавим в обе части уравнения . Тогда второе уравнение преобразуемой системы будет иметь вид:

 

где .

Неизвестные постоянные определим из достаточных условий сходимости итерационного процесса:

и .

Запишем эти условия более подробно:

Полагая равными нулю выражения под знаком модуля, получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) 4 порядка с 4 неизвестными :

Для решения системы необходимо вычислить частные производные :

.

Тогда СЛАУ запишется так:

Заметим, что если частные производные мало изменяются в окрестности начального приближения, то:

.

Тогда СЛАУ запишется так:

Решением этой системы являются точки ,,, . Тогда рабочие формулы МПИ для решения СНУ примут вид:

Для реализации на ЭВМ рабочие формулы можно переписать так:

Итерационный процесс можно начать, задав начальное приближение x0=-2, y0=-4. Процесс заканчивается при одновременном выполнении двух условий: и . В этом случае значения и являются приближенным значением одного из решений СНУ.

Метод Ньютона.

Для построения рабочих формул метода Ньютона в виде

 

 

где , необходимо:

  1. Найти матрицу частных производных:

2. Найти определитель этой матрицы:

  1. Определить обратную матрицу:

Проведя преобразования:

Получаем рабочую формулу метода Ньютона для реализации на ЭВМ:


Блок-схема
МПИ и метода Ньютона для решения СНУ приведена на рисунке 1.

Рис.1 Схемы МПИ и метода Ньютона.


Тексты программ:

  1.  МПИ:

Program P3_4; {Iterations}

uses Crt;

var n: integer;

     x0,x,xn,y0,y,yn,eps,zx,zy:real;

begin

 clrscr;

 n:=0; x0:=-2; x:=x0; y0:=-4; y:=y0; eps:=0.001;

 writeln ('  n    x(i)   x(i+1)  x(i+1)-x(i) y(i)    y(i+1) y(i+1)-y(i)       ');

 repeat

   xn:=x-(x-y+2)+(1/2)*(x*y-3);

   zx:=x;

   yn:=y+(2/3)*(x-y+2)+(1/6)*(x*y-3);

   zy:=y;

   writeln (n:3, x:9:5, xn:9:5, (xn-x):9:5, y:9:5, yn:9:5, (yn-y):9:5);

   x:=xn;

   y:=yn;

   n:=n+1;

 until (abs(x-zx)<=eps) and (abs(y-zy)<=eps);

 readln;

end.

  1.  Метод Ньютона:

Program P3_4; {Nyuton}

uses Crt;

var n: integer;

     x0,x,xn,y0,y,yn,eps,zx,zy:real;

begin

 clrscr;

 n:=0; x0:=-2; x:=x0; y0:=-4; y:=y0; eps:=0.001;

 writeln ('  n    x(i)   x(i+1)  x(i+1)-x(i) y(i)    y(i+1) y(i+1)-y(i)       ');

 repeat

 xn:=x-(1/(x+y))*(x*x-x*y+2*x+x-y+2);

 zx:=x;

 yn:=y-(1/(x+y))*(x*y*(-y)-3*(-y)+x*y-3);

 zy:=y;

 writeln (n:3, x:9:5, xn:9:5, abs(xn-x):9:5, y:9:5, yn:9:5, abs(yn-y):9:5);

 x:=xn;

 y:=yn;

 n:=n+1;

until (abs(x-zx)<=eps) and (abs(y-zy)<=eps);

readln;

end.

Результаты отработки программы:

  1.  Рис.2 – программы, работающей по методу простых итераций;
  2.  Рис.3 – программы, работающей по методу Ньютона.

Рис.2 Ответ: х(16)≈-3.00023, у(16)≈-1.00001

Рис.3 Ответ: х(8)≈-3.00000, у(8)≈-1.00000


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45160. Столыпинская модель ГУ. Реформа органов государственного управления 23.69 KB
  Об образовании из восточных частей Люблинской и Седлецкой губерний особой Холмской губернии с изъятием ее из управления варшавского генералгубернатора Столыпин и Государственная Дума это особый вопрос. К его чести Столыпин наверное единственный из министров царского правительства кто не боялся выступать в Думе с ответами по самым разным депутатским запросам. Между тем иногда аудитория была настроена к нему настолько враждебно что изза шума в зале Столыпин не мог начать выступление в течение 10 15 минут. Например выступая в Думе по...
45161. Кризис государственной власти и начало конца дворянской управленческой элиты 23.61 KB
  Кризис государственной власти и начало конца дворянской управленческой элиты Почему же относительно легко был сокрушен монархический строй в России Среди главных причин нужно назвать десакрализацию верховной власти потерю ею своего авторитета. В период кризиса власти негативную роль сыграло отсутствие у монарха качеств государственного лидера. Продвижение к власти осуществлялось по критерию личной преданности царю. Назреванию кризиса самодержавной власти способствовала мировая война кровавый воз которой Россия тянула с августа 1914 г.
45162. Двоевластие и его сущность. Кризисы Временного правительства: причины и последствия 16.38 KB
  Кризисы Временного правительства: причины и последствия 27 февраля был образован Петроградский совет рабочих депутатов в количестве 250 человек избравший свой исполнительный комитет. 1 марта между Исполнительным комитетом Совета и Временным комитетом Государственной Думы начались переговоры об образовании Временного правительства....
45163. Новая экономическая политика 30.19 KB
  Сущность НЭПа Сущность НЭПа была понятна не всем. При самом различном понимании НЭПа многие партийные деятели сходились в том что в конце гражданской войны в Советской России сохранилось два основных класса населения: рабочие и крестьяне а вначале 20 годов после ведения НЭПа появилась и новая буржуазия носительница реставраторских тенденций. Ленин понимал неизбежные противоречия опасности развития на пути НЭПа. Не отказываясь от конечной цели создания нерыночной системы экономики НЭПа большевики прибегли к использованию...
45164. Сталинская командно-административная система 23.45 KB
  В ЗОе годы совсем оформилась та административно командная система управления русским обществом которая тесновато связана с функционированием гос партии обладающей возможностями верховной власти в стране.Процесс преобразования коммунистической партии России в государственную партию начался в годы гражданской войны когда наряду с Советами призванными после Октября 1917 года осуществлять власть в центре и на местах стали создаваться в каждом уезде волости губернии и партийные комитеты. Опыт большевистской партии рассчитанный на...
45165. Влияние войны на политические настроения 28.1 KB
  Своими глазами увидели и смогли оценить тот мир о разложении и близкой гибели которого им говорили до войны. После окончания войны в сентябре 1945 г.Состоялись выборы в местные Советы Верховные Советы республик и Верховный Совет СССР в результате чего обновился депутатский корпус не менявшийся в годы войны.
45166. ГУ СССР периода стагнации(60-80гг 20 века) 16.14 KB
  ГУ СССР периода стагнации 60-80 гг 20 века Отставка с руководящих партийных и государственных постов Н. экономическая реформа разработка и реализация которой была связана с именем председателя Совета Министров СССР А. Тупик опасный ибо отрыв развитой экономики мира от экономики СССР неуклонно увеличивался. эта концепция была законодательно закреплена в новой Конституции СССР.
45167. Попытки реорганизации советской системы управления во второй половине 1980х гг 28.13 KB
  СССР пытался в одиночку выдержать гонку вооружений против США и НАТО. Андропов оставил пост председателя КГБ СССР сохранив фактический контроль за этой организацией и стал вторым секретарем ЦК КПСС официальным наследником Брежнева. было принято постановление ЦК КПСС и Совмина СССР провозгласившее курс на введение сухого закона. Удар по бюджету был столь значителен что он так и не был преодолен до последних дней существования СССР.
45168. Современная система государственного управления в России 26.07 KB
  Мирная преемственность власти это важнейший элемент политической стабильности о которой мы с вами мечтали к которой стремились которой добивались.Отставка правительства Примакова приход к власти премьер-министра Степашина углубил государственный кризис в стране и только утверждение в должности нового Президента России привело к укреплению государственных институтов власти всех уровней. Новая команда Президента поставила перед собой цель: выстроить четко работающую исполнительную вертикаль власти добиться правовой дисциплины и...