41899

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД НЬЮТОНА

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Цель работы: научиться решать системы нелинейных уравнений СНУ методом простых итераций МПИ и методом Ньютона с помощью ЭВМ. Изучить МПИ и метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений. На конкретном примере усвоить порядок решения систем нелинейных уравнений МПИ и методом Ньютона с помощью ЭВМ. Построить рабочие формулы МПИ и метода Ньютона для численного решения системы при начальном приближении: .

Русский

2013-10-26

213.45 KB

85 чел.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3-4.

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Вариант №5.

Выполнил:

Студент группы 24275

Кожевников Е.И.

Проверил:

Доцент

Горбунов Д.В.

Цель работы: научиться решать системы нелинейных уравнений (СНУ) методом простых итераций (МПИ) и методом Ньютона с помощью ЭВМ.

Содержание работы:

1. Изучить МПИ и метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений.

2. На конкретном примере усвоить порядок решения систем нелинейных уравнений МПИ и методом Ньютона с помощью ЭВМ.

3. Составить программу и с ее помощью решить систему уравнений с точностью .

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Задание.

1. Аналитически решить СНУ:  

2. Построить рабочие формулы МПИ и метода Ньютона для численного решения системы при начальном приближении: .

3. Составить программу на любом языке программирования, реализующую построенный итерационный процесс.

Решение.

Аналитический метод.

Аналитическим решением СНУ являются точки и .

Метод простых итераций (МПИ).

Для построения рабочих формул МПИ для численного решения системы необходимо вначале привести ее к виду:

 

Для этого умножим первое уравнение системы на неизвестную постоянную , второе - на , затем сложим их и добавим в обе части уравнения . Получим первое уравнение преобразуемой системы:

 

где . Далее, умножим первое уравнение системы на неизвестную постоянную , второе - на , затем сложим их и добавим в обе части уравнения . Тогда второе уравнение преобразуемой системы будет иметь вид:

 

где .

Неизвестные постоянные определим из достаточных условий сходимости итерационного процесса:

и .

Запишем эти условия более подробно:

Полагая равными нулю выражения под знаком модуля, получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) 4 порядка с 4 неизвестными :

Для решения системы необходимо вычислить частные производные :

.

Тогда СЛАУ запишется так:

Заметим, что если частные производные мало изменяются в окрестности начального приближения, то:

.

Тогда СЛАУ запишется так:

Решением этой системы являются точки ,,, . Тогда рабочие формулы МПИ для решения СНУ примут вид:

Для реализации на ЭВМ рабочие формулы можно переписать так:

Итерационный процесс можно начать, задав начальное приближение x0=-2, y0=-4. Процесс заканчивается при одновременном выполнении двух условий: и . В этом случае значения и являются приближенным значением одного из решений СНУ.

Метод Ньютона.

Для построения рабочих формул метода Ньютона в виде

 

 

где , необходимо:

  1. Найти матрицу частных производных:

2. Найти определитель этой матрицы:

  1. Определить обратную матрицу:

Проведя преобразования:

Получаем рабочую формулу метода Ньютона для реализации на ЭВМ:


Блок-схема
МПИ и метода Ньютона для решения СНУ приведена на рисунке 1.

Рис.1 Схемы МПИ и метода Ньютона.


Тексты программ:

  1.  МПИ:

Program P3_4; {Iterations}

uses Crt;

var n: integer;

     x0,x,xn,y0,y,yn,eps,zx,zy:real;

begin

 clrscr;

 n:=0; x0:=-2; x:=x0; y0:=-4; y:=y0; eps:=0.001;

 writeln ('  n    x(i)   x(i+1)  x(i+1)-x(i) y(i)    y(i+1) y(i+1)-y(i)       ');

 repeat

   xn:=x-(x-y+2)+(1/2)*(x*y-3);

   zx:=x;

   yn:=y+(2/3)*(x-y+2)+(1/6)*(x*y-3);

   zy:=y;

   writeln (n:3, x:9:5, xn:9:5, (xn-x):9:5, y:9:5, yn:9:5, (yn-y):9:5);

   x:=xn;

   y:=yn;

   n:=n+1;

 until (abs(x-zx)<=eps) and (abs(y-zy)<=eps);

 readln;

end.

  1.  Метод Ньютона:

Program P3_4; {Nyuton}

uses Crt;

var n: integer;

     x0,x,xn,y0,y,yn,eps,zx,zy:real;

begin

 clrscr;

 n:=0; x0:=-2; x:=x0; y0:=-4; y:=y0; eps:=0.001;

 writeln ('  n    x(i)   x(i+1)  x(i+1)-x(i) y(i)    y(i+1) y(i+1)-y(i)       ');

 repeat

 xn:=x-(1/(x+y))*(x*x-x*y+2*x+x-y+2);

 zx:=x;

 yn:=y-(1/(x+y))*(x*y*(-y)-3*(-y)+x*y-3);

 zy:=y;

 writeln (n:3, x:9:5, xn:9:5, abs(xn-x):9:5, y:9:5, yn:9:5, abs(yn-y):9:5);

 x:=xn;

 y:=yn;

 n:=n+1;

until (abs(x-zx)<=eps) and (abs(y-zy)<=eps);

readln;

end.

Результаты отработки программы:

  1.  Рис.2 – программы, работающей по методу простых итераций;
  2.  Рис.3 – программы, работающей по методу Ньютона.

Рис.2 Ответ: х(16)≈-3.00023, у(16)≈-1.00001

Рис.3 Ответ: х(8)≈-3.00000, у(8)≈-1.00000


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

56283. Пам’ятай святий день святкувати. Конспект уроку з християнської етики у 8 класі 813.5 KB
  Робота з підручником. Як Ісус Христос пропонував святкувати суботу Робота над текстом з Нового Завіту. Робота в групах. Самостійна робота.
56284. Позакласний захід «На Зелені Свята» 45 KB
  Бабуся з онуками прикрашають хату: скрізь ставлять квіти в горнятках і глечиках притрушують підлогу зеленою травичкою серед якої запашний полин мята любисток чебрець.
56285. Здоров’я дитини – багатство родини (родинне свято для учнів 3-4 класів та їх батьків) 81.5 KB
  Мета: активно запроваджувати й пропагувати здоровий спосіб життя шляхом дотримання правил особистої гігієни поповнюючи свої знання про лікувальні властивості деяких рослин вміст вітамінів в продуктах харчування необхідність щоденної ранкової гімнастики...
56286. Мово моя українська, батьківська, материнська. Родинне свято 142 KB
  Мета. Показати барвистість, красу рідної мови,її мелодійність. Розвивати навички виразного та інтонаційного мовлення, увагу, мислення, пізнавальний інтерес до мови своїх батьків. Виховувати любов до рідної мови, краю, де ти народився, шанобливе ставлення до усної народної творчості свого народу, його традицій.
56287. Прощавай, початкова школа! 64.5 KB
  За час навчання вивчено 33 літери українського алфавіту. Вивчили багато правил українського правопису, навчилися читати, писати, розв’язувати задачі, приклади, складати твори.
56288. Сценарій свята: «А вже весна, а вже красна…» 50 KB
  Мета: ознайомити дітей з давніми народними традиціями формувати в дітей уявлення про усну народну творчість розвивати бажання вивчати усну народну творчість виховувати любов до природи до матері.
56289. National Symbols of Ukraine 102.5 KB
  As every independent country in the world Ukraine has its own national symbols: a national anthem “Ukraine Hasn’t Died Yet”, a state flag and a national emblem – trident.
56290. Розвивальні функції уроків узагальнення та систематизації знань школярі 343 KB
  Суттєві зміни у змісті стосуються діяльності спрямованої на застосування знань зокрема діяльності творчого характеру створення умов за яких учень стає субєктом навчального процесу який зорієнтований на розвиток особистості на оволодіння ним мисленнєвих операцій самостійного відкриття невідомого.
56291. Сценарій позакласного заходу. Вечір відпочинку «Честь имеем представиться… или… Разрешите с вами познакомиться» 42 KB
  Коллектив нашого взвода желает всем присутствующим здесь очаровательным гостьям, чтобы они всегда оставались такими же красивими и улыбающимися.