41899

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД НЬЮТОНА

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Цель работы: научиться решать системы нелинейных уравнений СНУ методом простых итераций МПИ и методом Ньютона с помощью ЭВМ. Изучить МПИ и метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений. На конкретном примере усвоить порядок решения систем нелинейных уравнений МПИ и методом Ньютона с помощью ЭВМ. Построить рабочие формулы МПИ и метода Ньютона для численного решения системы при начальном приближении: .

Русский

2013-10-26

213.45 KB

82 чел.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3-4.

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Вариант №5.

Выполнил:

Студент группы 24275

Кожевников Е.И.

Проверил:

Доцент

Горбунов Д.В.

Цель работы: научиться решать системы нелинейных уравнений (СНУ) методом простых итераций (МПИ) и методом Ньютона с помощью ЭВМ.

Содержание работы:

1. Изучить МПИ и метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений.

2. На конкретном примере усвоить порядок решения систем нелинейных уравнений МПИ и методом Ньютона с помощью ЭВМ.

3. Составить программу и с ее помощью решить систему уравнений с точностью .

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Задание.

1. Аналитически решить СНУ:  

2. Построить рабочие формулы МПИ и метода Ньютона для численного решения системы при начальном приближении: .

3. Составить программу на любом языке программирования, реализующую построенный итерационный процесс.

Решение.

Аналитический метод.

Аналитическим решением СНУ являются точки и .

Метод простых итераций (МПИ).

Для построения рабочих формул МПИ для численного решения системы необходимо вначале привести ее к виду:

 

Для этого умножим первое уравнение системы на неизвестную постоянную , второе - на , затем сложим их и добавим в обе части уравнения . Получим первое уравнение преобразуемой системы:

 

где . Далее, умножим первое уравнение системы на неизвестную постоянную , второе - на , затем сложим их и добавим в обе части уравнения . Тогда второе уравнение преобразуемой системы будет иметь вид:

 

где .

Неизвестные постоянные определим из достаточных условий сходимости итерационного процесса:

и .

Запишем эти условия более подробно:

Полагая равными нулю выражения под знаком модуля, получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) 4 порядка с 4 неизвестными :

Для решения системы необходимо вычислить частные производные :

.

Тогда СЛАУ запишется так:

Заметим, что если частные производные мало изменяются в окрестности начального приближения, то:

.

Тогда СЛАУ запишется так:

Решением этой системы являются точки ,,, . Тогда рабочие формулы МПИ для решения СНУ примут вид:

Для реализации на ЭВМ рабочие формулы можно переписать так:

Итерационный процесс можно начать, задав начальное приближение x0=-2, y0=-4. Процесс заканчивается при одновременном выполнении двух условий: и . В этом случае значения и являются приближенным значением одного из решений СНУ.

Метод Ньютона.

Для построения рабочих формул метода Ньютона в виде

 

 

где , необходимо:

  1. Найти матрицу частных производных:

2. Найти определитель этой матрицы:

  1. Определить обратную матрицу:

Проведя преобразования:

Получаем рабочую формулу метода Ньютона для реализации на ЭВМ:


Блок-схема
МПИ и метода Ньютона для решения СНУ приведена на рисунке 1.

Рис.1 Схемы МПИ и метода Ньютона.


Тексты программ:

  1.  МПИ:

Program P3_4; {Iterations}

uses Crt;

var n: integer;

     x0,x,xn,y0,y,yn,eps,zx,zy:real;

begin

 clrscr;

 n:=0; x0:=-2; x:=x0; y0:=-4; y:=y0; eps:=0.001;

 writeln ('  n    x(i)   x(i+1)  x(i+1)-x(i) y(i)    y(i+1) y(i+1)-y(i)       ');

 repeat

   xn:=x-(x-y+2)+(1/2)*(x*y-3);

   zx:=x;

   yn:=y+(2/3)*(x-y+2)+(1/6)*(x*y-3);

   zy:=y;

   writeln (n:3, x:9:5, xn:9:5, (xn-x):9:5, y:9:5, yn:9:5, (yn-y):9:5);

   x:=xn;

   y:=yn;

   n:=n+1;

 until (abs(x-zx)<=eps) and (abs(y-zy)<=eps);

 readln;

end.

  1.  Метод Ньютона:

Program P3_4; {Nyuton}

uses Crt;

var n: integer;

     x0,x,xn,y0,y,yn,eps,zx,zy:real;

begin

 clrscr;

 n:=0; x0:=-2; x:=x0; y0:=-4; y:=y0; eps:=0.001;

 writeln ('  n    x(i)   x(i+1)  x(i+1)-x(i) y(i)    y(i+1) y(i+1)-y(i)       ');

 repeat

 xn:=x-(1/(x+y))*(x*x-x*y+2*x+x-y+2);

 zx:=x;

 yn:=y-(1/(x+y))*(x*y*(-y)-3*(-y)+x*y-3);

 zy:=y;

 writeln (n:3, x:9:5, xn:9:5, abs(xn-x):9:5, y:9:5, yn:9:5, abs(yn-y):9:5);

 x:=xn;

 y:=yn;

 n:=n+1;

until (abs(x-zx)<=eps) and (abs(y-zy)<=eps);

readln;

end.

Результаты отработки программы:

  1.  Рис.2 – программы, работающей по методу простых итераций;
  2.  Рис.3 – программы, работающей по методу Ньютона.

Рис.2 Ответ: х(16)≈-3.00023, у(16)≈-1.00001

Рис.3 Ответ: х(8)≈-3.00000, у(8)≈-1.00000


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

19476. Архітектура системи команд(АСК) 26 KB
  Архітектура системи командАСК Архітекту́ра систе́ми кома́нд електронної обчислювальної машини складова частина архітектури ЕОМ яка включає інформацію про: 1.набір машинних команд перелік та семантику операцій які здатна виконувати обчислювальна машина 2.дос
19477. Архітектура шин 28 KB
  Архітектура шин Компю́терна ши́на англ. computer bus служить для передачі даних між окремими функціональними блоками компютера і є сукупністю сигнальних ліній які мають певні електричні характеристики і протоколи передачі інформації. Шини можуть розрізнятися розрядніст...
19478. Загальна характеристика зп 25.5 KB
  Загальна характеристика зп ЗП поділяється на дві основні групи: зовнішню і внутрішню.Зовнішні ЗП призначені для тривалого зберігання великих масивів інформації з ємністю до гігабайта і більше та малою швидкодією. Зовнішня память містить в собі накопичувачі на магнітн...
19479. Що таке мультипроцесори 22.92 KB
  Що таке мультипроцесори Системи в яких комп'ютери використовують пам'ять спільно зазвичай називаються мультипроцесорами Мультипроцесори з використанням єдиної спільної пам'яті shared memory забезпечується однорідний доступ до пам'яті uniform memory access or UMA є основою дл...
19480. НГМД, НЖМД 27 KB
  НГМД НЖМД НГМД Цей пристрій використовує як носія інформації гнучкі магнітні диски дискети які можуть бути 5ти або 3х дюймовими. Дискета це магнітний диск начебто пластинки поміщений в конверт. В залежності від розміру дискети змінюється її ємність в байтах. Якщ...
19481. Основні характеристики ЗП 23.5 KB
  Основні характеристики ЗП 1Інформаційна ємність. Виміряється в кілобайтах мегабайтах гігабайтах і терабайтах. 2 Час доступу. Визначається як усереднений інтервал від видачі запиту на передачу блока даних до фактичного початку передачі. Дискові накопичувачі мають
19482. Паралельні компютерні архітектури 42.8 KB
  Паралельні комп'ютерні архітектури Швидкість роботи комп'ютерів стає все вище а й вимоги до них постійно зростають. Астрономи намагаються відтворити всю історію Всесвіту з моменту великого вибуху і до сьогоднішнього дня. Фармацевти хотіли б розробляти нові лікарськ
19483. Принцип організації системи BIOS 30.5 KB
  Принцип організації системи BIOS BIOS англ. Basic Input/Output System базова система введення/виведення є набором спеціальних підпрограм які використовуються комп'ютерами архітектури x86 для ініціалізації компонентів персональної платформи необхідних для її первинного завантаж...
19484. Принципи дії системи переривань 27 KB
  Принципи дії системи переривань Система переривань будьякого комп'ютера є його найважливішою частиною що дозволяє швидко реагувати на події обробка яких повинна виконаються негайно: сигнали від машинних таймерів натиснення клавіш клавіатури або миші збої пам'яті і ...