41899

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД НЬЮТОНА

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Цель работы: научиться решать системы нелинейных уравнений СНУ методом простых итераций МПИ и методом Ньютона с помощью ЭВМ. Изучить МПИ и метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений. На конкретном примере усвоить порядок решения систем нелинейных уравнений МПИ и методом Ньютона с помощью ЭВМ. Построить рабочие формулы МПИ и метода Ньютона для численного решения системы при начальном приближении: .

Русский

2013-10-26

213.45 KB

79 чел.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3-4.

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Вариант №5.

Выполнил:

Студент группы 24275

Кожевников Е.И.

Проверил:

Доцент

Горбунов Д.В.

Цель работы: научиться решать системы нелинейных уравнений (СНУ) методом простых итераций (МПИ) и методом Ньютона с помощью ЭВМ.

Содержание работы:

1. Изучить МПИ и метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений.

2. На конкретном примере усвоить порядок решения систем нелинейных уравнений МПИ и методом Ньютона с помощью ЭВМ.

3. Составить программу и с ее помощью решить систему уравнений с точностью .

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Задание.

1. Аналитически решить СНУ:  

2. Построить рабочие формулы МПИ и метода Ньютона для численного решения системы при начальном приближении: .

3. Составить программу на любом языке программирования, реализующую построенный итерационный процесс.

Решение.

Аналитический метод.

Аналитическим решением СНУ являются точки и .

Метод простых итераций (МПИ).

Для построения рабочих формул МПИ для численного решения системы необходимо вначале привести ее к виду:

 

Для этого умножим первое уравнение системы на неизвестную постоянную , второе - на , затем сложим их и добавим в обе части уравнения . Получим первое уравнение преобразуемой системы:

 

где . Далее, умножим первое уравнение системы на неизвестную постоянную , второе - на , затем сложим их и добавим в обе части уравнения . Тогда второе уравнение преобразуемой системы будет иметь вид:

 

где .

Неизвестные постоянные определим из достаточных условий сходимости итерационного процесса:

и .

Запишем эти условия более подробно:

Полагая равными нулю выражения под знаком модуля, получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) 4 порядка с 4 неизвестными :

Для решения системы необходимо вычислить частные производные :

.

Тогда СЛАУ запишется так:

Заметим, что если частные производные мало изменяются в окрестности начального приближения, то:

.

Тогда СЛАУ запишется так:

Решением этой системы являются точки ,,, . Тогда рабочие формулы МПИ для решения СНУ примут вид:

Для реализации на ЭВМ рабочие формулы можно переписать так:

Итерационный процесс можно начать, задав начальное приближение x0=-2, y0=-4. Процесс заканчивается при одновременном выполнении двух условий: и . В этом случае значения и являются приближенным значением одного из решений СНУ.

Метод Ньютона.

Для построения рабочих формул метода Ньютона в виде

 

 

где , необходимо:

  1. Найти матрицу частных производных:

2. Найти определитель этой матрицы:

  1. Определить обратную матрицу:

Проведя преобразования:

Получаем рабочую формулу метода Ньютона для реализации на ЭВМ:


Блок-схема
МПИ и метода Ньютона для решения СНУ приведена на рисунке 1.

Рис.1 Схемы МПИ и метода Ньютона.


Тексты программ:

  1.  МПИ:

Program P3_4; {Iterations}

uses Crt;

var n: integer;

     x0,x,xn,y0,y,yn,eps,zx,zy:real;

begin

 clrscr;

 n:=0; x0:=-2; x:=x0; y0:=-4; y:=y0; eps:=0.001;

 writeln ('  n    x(i)   x(i+1)  x(i+1)-x(i) y(i)    y(i+1) y(i+1)-y(i)       ');

 repeat

   xn:=x-(x-y+2)+(1/2)*(x*y-3);

   zx:=x;

   yn:=y+(2/3)*(x-y+2)+(1/6)*(x*y-3);

   zy:=y;

   writeln (n:3, x:9:5, xn:9:5, (xn-x):9:5, y:9:5, yn:9:5, (yn-y):9:5);

   x:=xn;

   y:=yn;

   n:=n+1;

 until (abs(x-zx)<=eps) and (abs(y-zy)<=eps);

 readln;

end.

  1.  Метод Ньютона:

Program P3_4; {Nyuton}

uses Crt;

var n: integer;

     x0,x,xn,y0,y,yn,eps,zx,zy:real;

begin

 clrscr;

 n:=0; x0:=-2; x:=x0; y0:=-4; y:=y0; eps:=0.001;

 writeln ('  n    x(i)   x(i+1)  x(i+1)-x(i) y(i)    y(i+1) y(i+1)-y(i)       ');

 repeat

 xn:=x-(1/(x+y))*(x*x-x*y+2*x+x-y+2);

 zx:=x;

 yn:=y-(1/(x+y))*(x*y*(-y)-3*(-y)+x*y-3);

 zy:=y;

 writeln (n:3, x:9:5, xn:9:5, abs(xn-x):9:5, y:9:5, yn:9:5, abs(yn-y):9:5);

 x:=xn;

 y:=yn;

 n:=n+1;

until (abs(x-zx)<=eps) and (abs(y-zy)<=eps);

readln;

end.

Результаты отработки программы:

  1.  Рис.2 – программы, работающей по методу простых итераций;
  2.  Рис.3 – программы, работающей по методу Ньютона.

Рис.2 Ответ: х(16)≈-3.00023, у(16)≈-1.00001

Рис.3 Ответ: х(8)≈-3.00000, у(8)≈-1.00000


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

48401. Професійне спілкування. Вимоги до професійного спілкування 367.5 KB
  Професійне спілкування сприймається як усний мовний контакт між людьми, що зв’язані інтересами справи і мають повноваження для встановлення ділових контактів, вирішення ділових проблем і здійснення конкретних підходів до їх вирішення. Тобто ділова розмова – це «дракон із чотирма головами»
48402. Основи промислової електроніки і МПТ 7.77 MB
  Курс лекцій написаний для студентів спеціальності “Монтаж і експлуатація електроустаткування підприємств і цивільних споруд” денної форми навчання. Обсяг кожної лекції розрахований на два академічні години. Кожну лекцію можна вивчати незалежно від попередньої. Лекції містять ретельно підібраний матеріал, мають велику кількість ілюстрацій, електричних і логічних схем. Дано параметри напівпровідникових приладів і мікросхем, їх позначення.
48403. Необхідність, сутність і функції фінансів 48.11 KB
  Юридичні особи діяльність яких пов’язана з наданням професійних послуг на ринку цінних паперів до них відносяться підприємства що спеціалізуються на здійсненні посередницької діяльності по випуску та розміщенню цінних паперів виконуючи операції на фондовому ринку за дорученням своїх клієнтів. Фінанси підприємства. Суб’єктами господарювання є: Господарські організації – це юридичні особи створені відповідно до цивільного кодексу України державні комунальні та інші підприємства створенні відповідно до господарського кодексу України а також...
48404. Предмет фінансової науки. Фінансові категорії 1.04 MB
  Тут зосереджувалася основна маса доходів у бюджеті централізувалося більше 50 валового внутрішнього продукту і до 75 національного доходу а без асигнувань з бюджету практично неможливим було функціонування значної частини підприємств установ соціальнокультурної сфери будівництво житла існування житловокомунального Господарства тощо. Значення державного бюджету обумовлено не лише обсягом коштів зосереджених у ньому а й найбільш розвиненою системою взаємозв’язків з усіма іншими ланками та сферами. до Європейської хартії про місцеве...
48405. СТАТЬ І СЕКСУАЛЬНІСТЬ: ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГІНИЙ ПОГЛЯД 584 KB
  Статева соціалізація особистості оволодіння підростаючим поколінням нормами поведінки з представниками протилежної статі підготовка молоді до інтимних стосунків створення сімї та виховання дітей залишалась у тіні. Відсутність системи статевої просвіти серед дітей та юнацтва нестача висококваліфікованих педагогів з питань сексології психології статі брак наукової та науковопопулярної літератури з питань статі шлюбу та сімї негативно позначаються на засвоєнні учнями норм поведінки та самовизначенні особистості у складних питаннях...
48406. Функціонування Internet: організація, структура, методи 335.69 KB
  Еталонна модель ISOOSI Сучасні мережі побудовані за багаторівневим принципом. Для роботи мереж необхідна множина різноманітних протоколів: наприклад таких що керують фізичним зв'язком встановленням зв'язку по мережі доступом до різноманітних ресурсів і т. Він відповідає за правильну передачу даних пакетів на ділянках між безпосередньо пов'язаними елементами мережі. Цей рівень користується можливостями наданими йому рівнем 2 для забезпечення зв'язку двох будьяких точок у мережі.
48407. Теоретичні та методологічні засади комунікації і комунікаційних процесів 467.76 KB
  Теоретичні та методологічні засади комунікації і комунікаційних процесів Теорія комунікації як наукова дисципліна Основні визначення теорії комунікації. Предмет теорії комунікації. Закони теорії комунікації.
48408. Міжнародна економіка 30.64 KB
  Тема Агенти відкритої економіки беруть участь в міжнародному обміні товарів і послуг переміщенні грошей капіталу і робочої сили між країнами. Мезорівень охоплює економічні зв’язки між регіонами галузями міжгалузевими комплексами окремих країн. Світовий ринок – це сфера стійких товарногрошових відносин між країнами які базуються на міжнародному поділі праці та інших факторів виробництва. Світове господарство – це сукупність взаємодіючих національних економік всіх країн світу пов’язаних між собою мобільними факторами виробництва.
48409. Основи мотиваційних процесів 42.13 KB
  Маніпулювання – приховане спонукання іншої людини, прийняття рішень, до переживання певних станів, і виконання необхідних для ініціатора цілей. Стимулювання – предявлення зовнішнього фактору, з метою посилення і прийняття мисленнєвих, емоційних і поведінкових реакцій.