41899

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД НЬЮТОНА

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Цель работы: научиться решать системы нелинейных уравнений СНУ методом простых итераций МПИ и методом Ньютона с помощью ЭВМ. Изучить МПИ и метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений. На конкретном примере усвоить порядок решения систем нелинейных уравнений МПИ и методом Ньютона с помощью ЭВМ. Построить рабочие формулы МПИ и метода Ньютона для численного решения системы при начальном приближении: .

Русский

2013-10-26

213.45 KB

85 чел.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3-4.

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Вариант №5.

Выполнил:

Студент группы 24275

Кожевников Е.И.

Проверил:

Доцент

Горбунов Д.В.

Цель работы: научиться решать системы нелинейных уравнений (СНУ) методом простых итераций (МПИ) и методом Ньютона с помощью ЭВМ.

Содержание работы:

1. Изучить МПИ и метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений.

2. На конкретном примере усвоить порядок решения систем нелинейных уравнений МПИ и методом Ньютона с помощью ЭВМ.

3. Составить программу и с ее помощью решить систему уравнений с точностью .

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Задание.

1. Аналитически решить СНУ:  

2. Построить рабочие формулы МПИ и метода Ньютона для численного решения системы при начальном приближении: .

3. Составить программу на любом языке программирования, реализующую построенный итерационный процесс.

Решение.

Аналитический метод.

Аналитическим решением СНУ являются точки и .

Метод простых итераций (МПИ).

Для построения рабочих формул МПИ для численного решения системы необходимо вначале привести ее к виду:

 

Для этого умножим первое уравнение системы на неизвестную постоянную , второе - на , затем сложим их и добавим в обе части уравнения . Получим первое уравнение преобразуемой системы:

 

где . Далее, умножим первое уравнение системы на неизвестную постоянную , второе - на , затем сложим их и добавим в обе части уравнения . Тогда второе уравнение преобразуемой системы будет иметь вид:

 

где .

Неизвестные постоянные определим из достаточных условий сходимости итерационного процесса:

и .

Запишем эти условия более подробно:

Полагая равными нулю выражения под знаком модуля, получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) 4 порядка с 4 неизвестными :

Для решения системы необходимо вычислить частные производные :

.

Тогда СЛАУ запишется так:

Заметим, что если частные производные мало изменяются в окрестности начального приближения, то:

.

Тогда СЛАУ запишется так:

Решением этой системы являются точки ,,, . Тогда рабочие формулы МПИ для решения СНУ примут вид:

Для реализации на ЭВМ рабочие формулы можно переписать так:

Итерационный процесс можно начать, задав начальное приближение x0=-2, y0=-4. Процесс заканчивается при одновременном выполнении двух условий: и . В этом случае значения и являются приближенным значением одного из решений СНУ.

Метод Ньютона.

Для построения рабочих формул метода Ньютона в виде

 

 

где , необходимо:

  1. Найти матрицу частных производных:

2. Найти определитель этой матрицы:

  1. Определить обратную матрицу:

Проведя преобразования:

Получаем рабочую формулу метода Ньютона для реализации на ЭВМ:


Блок-схема
МПИ и метода Ньютона для решения СНУ приведена на рисунке 1.

Рис.1 Схемы МПИ и метода Ньютона.


Тексты программ:

  1.  МПИ:

Program P3_4; {Iterations}

uses Crt;

var n: integer;

     x0,x,xn,y0,y,yn,eps,zx,zy:real;

begin

 clrscr;

 n:=0; x0:=-2; x:=x0; y0:=-4; y:=y0; eps:=0.001;

 writeln ('  n    x(i)   x(i+1)  x(i+1)-x(i) y(i)    y(i+1) y(i+1)-y(i)       ');

 repeat

   xn:=x-(x-y+2)+(1/2)*(x*y-3);

   zx:=x;

   yn:=y+(2/3)*(x-y+2)+(1/6)*(x*y-3);

   zy:=y;

   writeln (n:3, x:9:5, xn:9:5, (xn-x):9:5, y:9:5, yn:9:5, (yn-y):9:5);

   x:=xn;

   y:=yn;

   n:=n+1;

 until (abs(x-zx)<=eps) and (abs(y-zy)<=eps);

 readln;

end.

  1.  Метод Ньютона:

Program P3_4; {Nyuton}

uses Crt;

var n: integer;

     x0,x,xn,y0,y,yn,eps,zx,zy:real;

begin

 clrscr;

 n:=0; x0:=-2; x:=x0; y0:=-4; y:=y0; eps:=0.001;

 writeln ('  n    x(i)   x(i+1)  x(i+1)-x(i) y(i)    y(i+1) y(i+1)-y(i)       ');

 repeat

 xn:=x-(1/(x+y))*(x*x-x*y+2*x+x-y+2);

 zx:=x;

 yn:=y-(1/(x+y))*(x*y*(-y)-3*(-y)+x*y-3);

 zy:=y;

 writeln (n:3, x:9:5, xn:9:5, abs(xn-x):9:5, y:9:5, yn:9:5, abs(yn-y):9:5);

 x:=xn;

 y:=yn;

 n:=n+1;

until (abs(x-zx)<=eps) and (abs(y-zy)<=eps);

readln;

end.

Результаты отработки программы:

  1.  Рис.2 – программы, работающей по методу простых итераций;
  2.  Рис.3 – программы, работающей по методу Ньютона.

Рис.2 Ответ: х(16)≈-3.00023, у(16)≈-1.00001

Рис.3 Ответ: х(8)≈-3.00000, у(8)≈-1.00000


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79268. Классификация производственных процессов 53.5 KB
  Ручные процессы – осуществляются рабочими без помощи механизмов. Машинно-ручные процессы – выполняются машинами или механизмами при непосредственном участии в них рабочих – вскрытие чугунной летки с помощью ВЧП
79269. Организационное проектирование системы управления персоналом 12.21 KB
  СУП является основой системы управления организацией т. Стратегический выбор руководства организации в отношении ее целей: Идеология управления; b Типы потребителей; c Типы рынков сбыта и территориальное размещение производства. В общем виде проект системы управления организации состоит
79270. Цели, функции, организационная структура системы управления персоналом 229.37 KB
  Традиционно в службы управления персоналом входят: отдел кадров отдел обучения отдел труда и заработной платы отдел социального развития и другие отделы социальной инфраструктуры отдел охраны труда и техники безопасности лаборатория социологии отдел охраны окружающей среды юридический отдел отдел организации труда производства и управления отдел научнотехнической информации патентнолицензионный отдел бюро рационализации и изобретательства. 1 Цели системы управления персоналом организации с точки зрения персонала Рис. 2 Цели...
79271. Анализ и описание работы и рабочего места 13.44 KB
  Анализ рабочего места представляет собой дифференцирование рабочего места с одной стороны через задачи деятельность которая на нем совершается а с другой через требования по отношению к образованию опыту и ответственности необходимым для успешного выполнения деятельности на этом месте. АРМ как правило состоит из двух частей: описание рабочего места перечисление видов деятельности задач трудовых условий средств оборудования и материалов которые используются на данном рабочем месте; спецификация рабочего места перечисление...
79272. Кадровое обеспечение системы управления персоналом 30.16 KB
  Под кадровым обеспечением системы управления персоналом понимается необходимый количественный и качественный состав работников кадровой службы организации. Работники службы управления персоналом должны: хорошо знать трудовое законодательство методические нормативные и другие материалы касающиеся работы с персоналом учета личного состава; основы педагогики социологии и психологии труда; передовой отечественный и зарубежный опыт в области управления персоналом; владеть современными методами оценки персонала профориентационной работы...
79273. Информационное и техническое обеспечение системы управления персоналом 18.5 KB
  Реализация кадровых задач напрямую зависит от качества и количества информации на основе которой будет принято то или иное решение. Информационное обеспечение включает в себя сбор анализ и хранение информации. Качество представленной информации зависит от критериев оценки информации т. Полпота информации заключается в том объеме который необходим и достаточен для принятия управленческого решения.
79274. Нормативно-методическое и правовое обеспечение системы управления персоналом 16.07 KB
  Нормативнометодическое обеспечение системы управления персоналом представляет собой обеспечение документами устанавливающими нормы управления правила и методы организации труда необходимыми для нормальной организации трудовых процессов ведения нормативного хозяйства системы управления. Нормативнометодические документы подразделяются на следующие группы: нормативносправочные определяют нормы времени управленческих действий задания на конкретный период времени инструкции вышестоящих организаций или органов власти;...
79275. Кадровая политика организации – основа формирования стратегии управления персоналом 20.81 KB
  Кадровая политика организации генеральное направление кадровой работы совокупность принципов методов форм организационного механизма по выработке целей и задач направленных на сохранение укрепление и развитие кадрового потенциала на создание квалифицированного и высокопроизводительного сплоченного коллектива способного своевременно реагировать на постоянно меняющиеся требования рынка с учетом стратегии развития организации. Назначение кадровой политики своевременно формулировать цели в соответствии со стратегией развития...
79276. Система стратегического управления персоналом организации 23.23 KB
  Система стратегического управления персоналом организации Кадровая политика предусматривает в первую очередь формирование стратегии управления персоналом организации. Цель стратегического управления персоналом обеспечить адекватное состоянию внешней и внутренней среды формирование человеческого капитала предприятия в расчете на долгосрочный период. Стратегическое управление персоналом направлено на решение следующих задач: 1 обеспечение организации необходимым трудовым потенциалом в соответствии со стратегией; 2 формирование внутренней...