41899

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД НЬЮТОНА

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Цель работы: научиться решать системы нелинейных уравнений СНУ методом простых итераций МПИ и методом Ньютона с помощью ЭВМ. Изучить МПИ и метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений. На конкретном примере усвоить порядок решения систем нелинейных уравнений МПИ и методом Ньютона с помощью ЭВМ. Построить рабочие формулы МПИ и метода Ньютона для численного решения системы при начальном приближении: .

Русский

2013-10-26

213.45 KB

79 чел.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3-4.

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Вариант №5.

Выполнил:

Студент группы 24275

Кожевников Е.И.

Проверил:

Доцент

Горбунов Д.В.

Цель работы: научиться решать системы нелинейных уравнений (СНУ) методом простых итераций (МПИ) и методом Ньютона с помощью ЭВМ.

Содержание работы:

1. Изучить МПИ и метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений.

2. На конкретном примере усвоить порядок решения систем нелинейных уравнений МПИ и методом Ньютона с помощью ЭВМ.

3. Составить программу и с ее помощью решить систему уравнений с точностью .

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Задание.

1. Аналитически решить СНУ:  

2. Построить рабочие формулы МПИ и метода Ньютона для численного решения системы при начальном приближении: .

3. Составить программу на любом языке программирования, реализующую построенный итерационный процесс.

Решение.

Аналитический метод.

Аналитическим решением СНУ являются точки и .

Метод простых итераций (МПИ).

Для построения рабочих формул МПИ для численного решения системы необходимо вначале привести ее к виду:

 

Для этого умножим первое уравнение системы на неизвестную постоянную , второе - на , затем сложим их и добавим в обе части уравнения . Получим первое уравнение преобразуемой системы:

 

где . Далее, умножим первое уравнение системы на неизвестную постоянную , второе - на , затем сложим их и добавим в обе части уравнения . Тогда второе уравнение преобразуемой системы будет иметь вид:

 

где .

Неизвестные постоянные определим из достаточных условий сходимости итерационного процесса:

и .

Запишем эти условия более подробно:

Полагая равными нулю выражения под знаком модуля, получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) 4 порядка с 4 неизвестными :

Для решения системы необходимо вычислить частные производные :

.

Тогда СЛАУ запишется так:

Заметим, что если частные производные мало изменяются в окрестности начального приближения, то:

.

Тогда СЛАУ запишется так:

Решением этой системы являются точки ,,, . Тогда рабочие формулы МПИ для решения СНУ примут вид:

Для реализации на ЭВМ рабочие формулы можно переписать так:

Итерационный процесс можно начать, задав начальное приближение x0=-2, y0=-4. Процесс заканчивается при одновременном выполнении двух условий: и . В этом случае значения и являются приближенным значением одного из решений СНУ.

Метод Ньютона.

Для построения рабочих формул метода Ньютона в виде

 

 

где , необходимо:

  1. Найти матрицу частных производных:

2. Найти определитель этой матрицы:

  1. Определить обратную матрицу:

Проведя преобразования:

Получаем рабочую формулу метода Ньютона для реализации на ЭВМ:


Блок-схема
МПИ и метода Ньютона для решения СНУ приведена на рисунке 1.

Рис.1 Схемы МПИ и метода Ньютона.


Тексты программ:

  1.  МПИ:

Program P3_4; {Iterations}

uses Crt;

var n: integer;

     x0,x,xn,y0,y,yn,eps,zx,zy:real;

begin

 clrscr;

 n:=0; x0:=-2; x:=x0; y0:=-4; y:=y0; eps:=0.001;

 writeln ('  n    x(i)   x(i+1)  x(i+1)-x(i) y(i)    y(i+1) y(i+1)-y(i)       ');

 repeat

   xn:=x-(x-y+2)+(1/2)*(x*y-3);

   zx:=x;

   yn:=y+(2/3)*(x-y+2)+(1/6)*(x*y-3);

   zy:=y;

   writeln (n:3, x:9:5, xn:9:5, (xn-x):9:5, y:9:5, yn:9:5, (yn-y):9:5);

   x:=xn;

   y:=yn;

   n:=n+1;

 until (abs(x-zx)<=eps) and (abs(y-zy)<=eps);

 readln;

end.

  1.  Метод Ньютона:

Program P3_4; {Nyuton}

uses Crt;

var n: integer;

     x0,x,xn,y0,y,yn,eps,zx,zy:real;

begin

 clrscr;

 n:=0; x0:=-2; x:=x0; y0:=-4; y:=y0; eps:=0.001;

 writeln ('  n    x(i)   x(i+1)  x(i+1)-x(i) y(i)    y(i+1) y(i+1)-y(i)       ');

 repeat

 xn:=x-(1/(x+y))*(x*x-x*y+2*x+x-y+2);

 zx:=x;

 yn:=y-(1/(x+y))*(x*y*(-y)-3*(-y)+x*y-3);

 zy:=y;

 writeln (n:3, x:9:5, xn:9:5, abs(xn-x):9:5, y:9:5, yn:9:5, abs(yn-y):9:5);

 x:=xn;

 y:=yn;

 n:=n+1;

until (abs(x-zx)<=eps) and (abs(y-zy)<=eps);

readln;

end.

Результаты отработки программы:

  1.  Рис.2 – программы, работающей по методу простых итераций;
  2.  Рис.3 – программы, работающей по методу Ньютона.

Рис.2 Ответ: х(16)≈-3.00023, у(16)≈-1.00001

Рис.3 Ответ: х(8)≈-3.00000, у(8)≈-1.00000


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81528. Роль гормонов в системе регуляции метаболизма. Клетки-мишени и клеточные рецепторы гормонов 106.94 KB
  Клеткимишени и клеточные рецепторы гормонов Роль гормонов в регуляции обмена веществ и функций. Физиологический эффект гормона определяется разными факторами например концентрацией гормона которая определяется скоростью инактивации в результате распада гормонов протекающего в основном в печени и скоростью выведения гормонов и его метаболитов из организма его сродством к белкампереносчикам стероидные и тиреоидные гормоны транспортируются по кровеносному руслу В комплексе с белками количеством и типом рецепторов на поверхности...
81529. Механизмы передачи гормональных сигналов в клетки 98.08 KB
  По механизму действия гормоны можно разделить на 2 группы. К первой группе относят гормоны взаимодействующие с мембранными рецепторами пептидные гормоны адреналин а также гормоны местного действия цитокины эйкозаноиды. Вторая группа включает гормоны взаимодействующие с внутриклеточными рецепторами.
81531. Строение, синтез и метаболизм иодтиронинов. Влияние на обмен веществ. Изменение метаболизма при гипо- и гипертиреозе. Причины и проявление эндемического зоба 160.08 KB
  Биосинтез йодтиронинов. Из цистерн ЭР Тиреоглобулин поступает в аппарат Гольджи включается в состав секреторных гранул и секретируется во внеклеточный коллоид где происходит йодирование остатков тирозина и образование йодтиронинов. Йодирование тиреоглобулина и образование йодтиронинов осуществляется в несколько этапов Транспорт йода в клетки щитовидной железы. Образование йодтиронинов.
81532. Регуляция энергетического метаболизма, роль инсулина и контринсулярных гормонов в обеспечении гомеостаза 107.55 KB
  Абсорбтивный период характеризуется временным повышением концентрации глюкозы аминокислот и жиров в плазме крови. Изменения метаболизма в печени в абсорбтивном периоде После приёма пищи печень становится главным потребителем глюкозы поступающей из пищеварительного тракта. Почти 60 из каждых 100 г глюкозы транспортируемой портальной системой задерживается в печени. Увеличение потребления печенью глюкозы не результат ускорения её транспорта в клетки транспорт глюкозы в клетки печени не стимулируется инсулином а следствие ускорения...
81533. Изменения метаболизма при сахарном диабете. Патогенез основных симптомов сахарного диабета 115.42 KB
  При недостаточности содержания инсулинавозникает заболевание которое носит название сахарный диабет: повышается концентрация глюкозы в крови гипергликемия появляется глюкоза в моче глюкозурия и уменьшается содержание гликогена в печени. При введении инсулина больным диабетом происходит коррекция метаболических сдвигов: нормализуется проницаемость мембранмышечных клеток для глюкозы восстанавливается соотношение между гликолизом и глюконеогенезом. В связи с этим при инсулярной недостаточности и сохранении или даже повышении...
81534. Патогенез поздних осложнений сахарного диабета (макро- и микроангиопатии, нефропатия, ретинопатия, катаракта). Диабетическая кома 108.17 KB
  Диабетическая кома. Диабетическая ретинопатия поражение сетчатки глаза в виде микроаневризм точечных и пятнистых кровоизлияний твёрдых экссудатов отёка образования новых сосудов. Диабетическая микро и макроангиопатия нарушение проницаемости сосудов повышение их ломкости склонность к тромбозам и развитию атеросклероза возникает рано поражаются преимущественно мелкие сосуды. Диабетическая полинейропатия чаще всего в виде двусторонней периферической нейропатии по типу перчаток и чулок начинающаяся в нижних частях конечностей.
81535. Регуляция водно-солевого обмена. Строение и функции альдостерона и вазопрессина 199.48 KB
  Основные гормоны участвующие в тонкой регуляции водносолевого баланса и действующие на дистальные извитые канальцы и собирательные трубочки почек: антидиуретический гормон АДГ альдостерон и предсердный натриуретический фактор ПНФ. Антидиуретический гормон Антидиуретический гормон АДГ или вазопрессин пептид с молекулярной массой около 1100 Д содержащий 9 аминокислот соединённых одним дисульфидным мостиком. АДГ синтезируется в нейронах гипоталамуса в виде предшественника препрогормона который поступает в аппарат Гольджи и...
81536. Система ренин-ангиотензин-альдостерон. Биохимические механизмы возникновения почечной гипертонии, отеков, дегидратации 105.02 KB
  Главным механизмом регуляции синтеза и секреции альдостерона служит система ренинангиотензин. Субстратом для ренина служит ангиотензиноген. Ангиотензиноген α2глобулин содержащий более чем 400 аминокислотных остатков.