41899

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД НЬЮТОНА

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Цель работы: научиться решать системы нелинейных уравнений СНУ методом простых итераций МПИ и методом Ньютона с помощью ЭВМ. Изучить МПИ и метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений. На конкретном примере усвоить порядок решения систем нелинейных уравнений МПИ и методом Ньютона с помощью ЭВМ. Построить рабочие формулы МПИ и метода Ньютона для численного решения системы при начальном приближении: .

Русский

2013-10-26

213.45 KB

82 чел.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3-4.

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Вариант №5.

Выполнил:

Студент группы 24275

Кожевников Е.И.

Проверил:

Доцент

Горбунов Д.В.

Цель работы: научиться решать системы нелинейных уравнений (СНУ) методом простых итераций (МПИ) и методом Ньютона с помощью ЭВМ.

Содержание работы:

1. Изучить МПИ и метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений.

2. На конкретном примере усвоить порядок решения систем нелинейных уравнений МПИ и методом Ньютона с помощью ЭВМ.

3. Составить программу и с ее помощью решить систему уравнений с точностью .

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Задание.

1. Аналитически решить СНУ:  

2. Построить рабочие формулы МПИ и метода Ньютона для численного решения системы при начальном приближении: .

3. Составить программу на любом языке программирования, реализующую построенный итерационный процесс.

Решение.

Аналитический метод.

Аналитическим решением СНУ являются точки и .

Метод простых итераций (МПИ).

Для построения рабочих формул МПИ для численного решения системы необходимо вначале привести ее к виду:

 

Для этого умножим первое уравнение системы на неизвестную постоянную , второе - на , затем сложим их и добавим в обе части уравнения . Получим первое уравнение преобразуемой системы:

 

где . Далее, умножим первое уравнение системы на неизвестную постоянную , второе - на , затем сложим их и добавим в обе части уравнения . Тогда второе уравнение преобразуемой системы будет иметь вид:

 

где .

Неизвестные постоянные определим из достаточных условий сходимости итерационного процесса:

и .

Запишем эти условия более подробно:

Полагая равными нулю выражения под знаком модуля, получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) 4 порядка с 4 неизвестными :

Для решения системы необходимо вычислить частные производные :

.

Тогда СЛАУ запишется так:

Заметим, что если частные производные мало изменяются в окрестности начального приближения, то:

.

Тогда СЛАУ запишется так:

Решением этой системы являются точки ,,, . Тогда рабочие формулы МПИ для решения СНУ примут вид:

Для реализации на ЭВМ рабочие формулы можно переписать так:

Итерационный процесс можно начать, задав начальное приближение x0=-2, y0=-4. Процесс заканчивается при одновременном выполнении двух условий: и . В этом случае значения и являются приближенным значением одного из решений СНУ.

Метод Ньютона.

Для построения рабочих формул метода Ньютона в виде

 

 

где , необходимо:

  1. Найти матрицу частных производных:

2. Найти определитель этой матрицы:

  1. Определить обратную матрицу:

Проведя преобразования:

Получаем рабочую формулу метода Ньютона для реализации на ЭВМ:


Блок-схема
МПИ и метода Ньютона для решения СНУ приведена на рисунке 1.

Рис.1 Схемы МПИ и метода Ньютона.


Тексты программ:

  1.  МПИ:

Program P3_4; {Iterations}

uses Crt;

var n: integer;

     x0,x,xn,y0,y,yn,eps,zx,zy:real;

begin

 clrscr;

 n:=0; x0:=-2; x:=x0; y0:=-4; y:=y0; eps:=0.001;

 writeln ('  n    x(i)   x(i+1)  x(i+1)-x(i) y(i)    y(i+1) y(i+1)-y(i)       ');

 repeat

   xn:=x-(x-y+2)+(1/2)*(x*y-3);

   zx:=x;

   yn:=y+(2/3)*(x-y+2)+(1/6)*(x*y-3);

   zy:=y;

   writeln (n:3, x:9:5, xn:9:5, (xn-x):9:5, y:9:5, yn:9:5, (yn-y):9:5);

   x:=xn;

   y:=yn;

   n:=n+1;

 until (abs(x-zx)<=eps) and (abs(y-zy)<=eps);

 readln;

end.

  1.  Метод Ньютона:

Program P3_4; {Nyuton}

uses Crt;

var n: integer;

     x0,x,xn,y0,y,yn,eps,zx,zy:real;

begin

 clrscr;

 n:=0; x0:=-2; x:=x0; y0:=-4; y:=y0; eps:=0.001;

 writeln ('  n    x(i)   x(i+1)  x(i+1)-x(i) y(i)    y(i+1) y(i+1)-y(i)       ');

 repeat

 xn:=x-(1/(x+y))*(x*x-x*y+2*x+x-y+2);

 zx:=x;

 yn:=y-(1/(x+y))*(x*y*(-y)-3*(-y)+x*y-3);

 zy:=y;

 writeln (n:3, x:9:5, xn:9:5, abs(xn-x):9:5, y:9:5, yn:9:5, abs(yn-y):9:5);

 x:=xn;

 y:=yn;

 n:=n+1;

until (abs(x-zx)<=eps) and (abs(y-zy)<=eps);

readln;

end.

Результаты отработки программы:

  1.  Рис.2 – программы, работающей по методу простых итераций;
  2.  Рис.3 – программы, работающей по методу Ньютона.

Рис.2 Ответ: х(16)≈-3.00023, у(16)≈-1.00001

Рис.3 Ответ: х(8)≈-3.00000, у(8)≈-1.00000


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20666. Характерные черты эпохи Возрождения 77.5 KB
  Разум в силу своей конечности и определённости пропорцией не является истиной и не способен её постигать настоль точно чтобы утверждать о её исчерпанности. Отсутствие пропорциональности которую мы способны зафиксировать только в конечных вещах является причиной нашего незнания. Конечность нашего ума является источником диспропорции между разумом и бесконечностью в которую он включён и которую стремиться познать. На общем онтологическом уровне индивид связывает все вещи и поэтому является микрокосмом любой вещи.
20667. Учение о субстанции в философии Бенедикта Спинозы и Готфильда Лейбница 51 KB
  Таким образом для Спинозы субстанция является causa sui причиной самой себя. Движение по мнению Спинозы относится лишь к миру модусов и не является атрибутом субстанции по той причине что для его осуществления необходима внешняя причина воздействие связи которая может существовать только в природе порождаемой. По его мнению абсолютно свободен лишь Бог так как является вселенским порядком и субстанцией вбирает в себя и определяет все природные причинноследственные связи необходимость. И так как в мире вещей господствует...
20668. Английский материализм и эмпиризм 17-18 века 64.5 KB
  Согласно Гоббсу каждый из нас стремиться рассуждать о какихнибудь вещах поэтому желание философствовать это врождённое состояние человека свойственное ему от природы. Гоббс таким образом показывает прямую зависимость мышления человека от материального мира и его эмпирического восприятия. Философия природы занимается естественными телами в том числе и изучением тела человека. Данный тип философии направлена на трактовку умственных и нравственных способностей человека этика и определение обязанностей гражданина политика.
20669. Философия французского просвещения. Характерные черты эпохи Просвещения 58 KB
  Главным положением данной эпохи становится указание на первостепенное значение разума рассудка для деятельности человека что например было запечатлено в таких высказываниях как Имей мужество пользоваться своим умом или Дерзай быть мудрым Sapere ande. Вера в человеческий разум выразилась в убеждении о решающей роли естественнонаучных знаний; в стремлении освободиться от предрассудков слепой религиозности невежества неопределённых метафизических догм неподдающихся научной проверке; в пересмотре интеллектуальных ценностей...
20670. Критическая философия Иммануила Канта. Философская система Г.В.Ф. Гегеля 58 KB
  Основы метафизики которая понимается Кантом как наука о принципах чистого разума. Само чувственное познание интуитивно поскольку непосредственно общается с объектом без посредничества разума рассудка. после двенадцати лет философских исследований работы Критика чистого разума. Наиболее значимыми произведениями этого этапа становятся также Критика практического разума и Критика способности суждения.
20671. Философская антропология Л. Фейербаха 40.5 KB
  Согласно его рассуждениям следует отвергнуть гегелевский абсолютный идеализм так как он упразднил конкретного действительного человека. В основу критики идеалистического понимания проблемы отношения Бога и человека Фейербах ставит тезис о том что теология – это антропология. Поэтому неприемлем так же и теизм по той причине что не Бог творит человека а человек создает идею Бога. Её истинность кроется в том что она является только формой запечатления отношения человека к собственной сущности.
20672. Философский пессимизм Артура Шопенгауэра 46 KB
  Основные работы: Мир как воля и представление 1818 г. Прежде всего Шопенгауэр считал неприемлемой и губительной для философии гегелевскую систему миропонимания и в работе Мир как воля и представление в основу своих размышлений он поставил положения учения Иммануила Канта. В произведении Мир как воля и представление Шопенгауэр отталкивается от кантовских рассуждений о вещах в себе и мире феноменов поэтому краеугольной идеей данного произведения становится утверждение – мир есть мое представление. Говоря о мире как воле...
20673. Экзистенциональная философия С. Кьеркегора 47 KB
  Кьеркегора. Сёрен Кьеркегор 18131855 датский философ его творчество относят к первым этапам зарождения западного экзистенциализма. он закончил теологический факультет Копенгагенского университета Кьеркегор в первую очередь стремится в своей философии исследовать вопросы о Боге религии вере отношении личности и Бога единичного бытия человека к Всевышнему. В 40х годах 19го столетия Кьеркегор прослушал лекции Шеллинга от которого перенял неприязнь к философской системе Гегеля.
20674. Философские идеи Карла Маркса и Фридриха Энгельса 63 KB
  Карл Маркс 1818 –1883 и Фридрих Энгельс 1820–1895 немецкие философы родоначальники диалектического и исторического материализма. Например Марксу принадлежат: Критика гегелевской философии права 1843. Капитал 1867 1885 1894 Энгельс редактировал второй и третий тома Капитала после смерти Маркса.