41899
ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД НЬЮТОНА
Лабораторная работа
Информатика, кибернетика и программирование
Цель работы: научиться решать системы нелинейных уравнений СНУ методом простых итераций МПИ и методом Ньютона с помощью ЭВМ. Изучить МПИ и метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений. На конкретном примере усвоить порядок решения систем нелинейных уравнений МПИ и методом Ньютона с помощью ЭВМ. Построить рабочие формулы МПИ и метода Ньютона для численного решения системы при начальном приближении: .
Русский
2013-10-26
213.45 KB
85 чел.
Вариант №5.
Выполнил: Студент группы 24275 Кожевников Е.И. |
Проверил: Доцент Горбунов Д.В. |
Цель работы: научиться решать системы нелинейных уравнений (СНУ) методом простых итераций (МПИ) и методом Ньютона с помощью ЭВМ.
Содержание работы:
1. Изучить МПИ и метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений.
2. На конкретном примере усвоить порядок решения систем нелинейных уравнений МПИ и методом Ньютона с помощью ЭВМ.
3. Составить программу и с ее помощью решить систему уравнений с точностью .
ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Задание.
1. Аналитически решить СНУ:
2. Построить рабочие формулы МПИ и метода Ньютона для численного решения системы при начальном приближении: .
3. Составить программу на любом языке программирования, реализующую построенный итерационный процесс.
Решение.
Аналитический метод.
Аналитическим решением СНУ являются точки и .
Метод простых итераций (МПИ).
Для построения рабочих формул МПИ для численного решения системы необходимо вначале привести ее к виду:
Для этого умножим первое уравнение системы на неизвестную постоянную , второе - на , затем сложим их и добавим в обе части уравнения . Получим первое уравнение преобразуемой системы:
где . Далее, умножим первое уравнение системы на неизвестную постоянную , второе - на , затем сложим их и добавим в обе части уравнения . Тогда второе уравнение преобразуемой системы будет иметь вид:
где .
Неизвестные постоянные определим из достаточных условий сходимости итерационного процесса:
и .
Запишем эти условия более подробно:
Полагая равными нулю выражения под знаком модуля, получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) 4 порядка с 4 неизвестными :
Для решения системы необходимо вычислить частные производные :
.
Тогда СЛАУ запишется так:
Заметим, что если частные производные мало изменяются в окрестности начального приближения, то:
.
Тогда СЛАУ запишется так:
Решением этой системы являются точки ,,, . Тогда рабочие формулы МПИ для решения СНУ примут вид:
Для реализации на ЭВМ рабочие формулы можно переписать так:
Итерационный процесс можно начать, задав начальное приближение x0=-2, y0=-4. Процесс заканчивается при одновременном выполнении двух условий: и . В этом случае значения и являются приближенным значением одного из решений СНУ.
Метод Ньютона.
Для построения рабочих формул метода Ньютона в виде
где , необходимо:
2. Найти определитель этой матрицы:
Проведя преобразования:
Получаем рабочую формулу метода Ньютона для реализации на ЭВМ:
Блок-схема МПИ и метода Ньютона для решения СНУ приведена на рисунке 1.
Рис.1 Схемы МПИ и метода Ньютона.
Тексты программ:
Program P3_4; {Iterations}
uses Crt;
var n: integer;
x0,x,xn,y0,y,yn,eps,zx,zy:real;
begin
clrscr;
n:=0; x0:=-2; x:=x0; y0:=-4; y:=y0; eps:=0.001;
writeln (' n x(i) x(i+1) x(i+1)-x(i) y(i) y(i+1) y(i+1)-y(i) ');
repeat
xn:=x-(x-y+2)+(1/2)*(x*y-3);
zx:=x;
yn:=y+(2/3)*(x-y+2)+(1/6)*(x*y-3);
zy:=y;
writeln (n:3, x:9:5, xn:9:5, (xn-x):9:5, y:9:5, yn:9:5, (yn-y):9:5);
x:=xn;
y:=yn;
n:=n+1;
until (abs(x-zx)<=eps) and (abs(y-zy)<=eps);
readln;
end.
Program P3_4; {Nyuton}
uses Crt;
var n: integer;
x0,x,xn,y0,y,yn,eps,zx,zy:real;
begin
clrscr;
n:=0; x0:=-2; x:=x0; y0:=-4; y:=y0; eps:=0.001;
writeln (' n x(i) x(i+1) x(i+1)-x(i) y(i) y(i+1) y(i+1)-y(i) ');
repeat
xn:=x-(1/(x+y))*(x*x-x*y+2*x+x-y+2);
zx:=x;
yn:=y-(1/(x+y))*(x*y*(-y)-3*(-y)+x*y-3);
zy:=y;
writeln (n:3, x:9:5, xn:9:5, abs(xn-x):9:5, y:9:5, yn:9:5, abs(yn-y):9:5);
x:=xn;
y:=yn;
n:=n+1;
until (abs(x-zx)<=eps) and (abs(y-zy)<=eps);
readln;
end.
Результаты отработки программы:
Рис.2 Ответ: х(16)≈-3.00023, у(16)≈-1.00001
Рис.3 Ответ: х(8)≈-3.00000, у(8)≈-1.00000
А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать | |||
79268. | Классификация производственных процессов | 53.5 KB | |
Ручные процессы – осуществляются рабочими без помощи механизмов. Машинно-ручные процессы – выполняются машинами или механизмами при непосредственном участии в них рабочих – вскрытие чугунной летки с помощью ВЧП | |||
79269. | Организационное проектирование системы управления персоналом | 12.21 KB | |
СУП является основой системы управления организацией т. Стратегический выбор руководства организации в отношении ее целей: Идеология управления; b Типы потребителей; c Типы рынков сбыта и территориальное размещение производства. В общем виде проект системы управления организации состоит | |||
79270. | Цели, функции, организационная структура системы управления персоналом | 229.37 KB | |
Традиционно в службы управления персоналом входят: отдел кадров отдел обучения отдел труда и заработной платы отдел социального развития и другие отделы социальной инфраструктуры отдел охраны труда и техники безопасности лаборатория социологии отдел охраны окружающей среды юридический отдел отдел организации труда производства и управления отдел научнотехнической информации патентнолицензионный отдел бюро рационализации и изобретательства. 1 Цели системы управления персоналом организации с точки зрения персонала Рис. 2 Цели... | |||
79271. | Анализ и описание работы и рабочего места | 13.44 KB | |
Анализ рабочего места представляет собой дифференцирование рабочего места с одной стороны через задачи деятельность которая на нем совершается а с другой через требования по отношению к образованию опыту и ответственности необходимым для успешного выполнения деятельности на этом месте. АРМ как правило состоит из двух частей: описание рабочего места перечисление видов деятельности задач трудовых условий средств оборудования и материалов которые используются на данном рабочем месте; спецификация рабочего места перечисление... | |||
79272. | Кадровое обеспечение системы управления персоналом | 30.16 KB | |
Под кадровым обеспечением системы управления персоналом понимается необходимый количественный и качественный состав работников кадровой службы организации. Работники службы управления персоналом должны: хорошо знать трудовое законодательство методические нормативные и другие материалы касающиеся работы с персоналом учета личного состава; основы педагогики социологии и психологии труда; передовой отечественный и зарубежный опыт в области управления персоналом; владеть современными методами оценки персонала профориентационной работы... | |||
79273. | Информационное и техническое обеспечение системы управления персоналом | 18.5 KB | |
Реализация кадровых задач напрямую зависит от качества и количества информации на основе которой будет принято то или иное решение. Информационное обеспечение включает в себя сбор анализ и хранение информации. Качество представленной информации зависит от критериев оценки информации т. Полпота информации заключается в том объеме который необходим и достаточен для принятия управленческого решения. | |||
79274. | Нормативно-методическое и правовое обеспечение системы управления персоналом | 16.07 KB | |
Нормативнометодическое обеспечение системы управления персоналом представляет собой обеспечение документами устанавливающими нормы управления правила и методы организации труда необходимыми для нормальной организации трудовых процессов ведения нормативного хозяйства системы управления. Нормативнометодические документы подразделяются на следующие группы: нормативносправочные определяют нормы времени управленческих действий задания на конкретный период времени инструкции вышестоящих организаций или органов власти;... | |||
79275. | Кадровая политика организации – основа формирования стратегии управления персоналом | 20.81 KB | |
Кадровая политика организации генеральное направление кадровой работы совокупность принципов методов форм организационного механизма по выработке целей и задач направленных на сохранение укрепление и развитие кадрового потенциала на создание квалифицированного и высокопроизводительного сплоченного коллектива способного своевременно реагировать на постоянно меняющиеся требования рынка с учетом стратегии развития организации. Назначение кадровой политики своевременно формулировать цели в соответствии со стратегией развития... | |||
79276. | Система стратегического управления персоналом организации | 23.23 KB | |
Система стратегического управления персоналом организации Кадровая политика предусматривает в первую очередь формирование стратегии управления персоналом организации. Цель стратегического управления персоналом обеспечить адекватное состоянию внешней и внутренней среды формирование человеческого капитала предприятия в расчете на долгосрочный период. Стратегическое управление персоналом направлено на решение следующих задач: 1 обеспечение организации необходимым трудовым потенциалом в соответствии со стратегией; 2 формирование внутренней... | |||