41900

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Цель работы: научиться решать системы линейных алгебраических уравнений СЛАУ методом простых итераций МПИ и методом Зейделя с помощью ЭВМ. Изучить метод простых итераций и метод Зейделя для решения СЛАУ. Сравнить скорости сходимости метода простых итераций и метода Зейделя. Построить рабочие формулы МПИ и метода Зейделя для численного решения системы.

Русский

2013-10-26

244.14 KB

28 чел.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5.

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Вариант №5.

Выполнил:

Студент группы 24275

Кожевников Е.И.

Проверил:

Доцент

Горбунов Д.В.

Цель работы: научиться решать системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом простых итераций (МПИ) и методом Зейделя с помощью ЭВМ.

Содержание работы:

1. Изучить метод простых итераций и метод Зейделя для решения СЛАУ.

2. На конкретном примере усвоить порядок решения СЛАУ с помощью ЭВМ указанными методами.

3. Составить программу и с ее помощью решить СЛАУ с точностью . Сравнить скорости сходимости метода простых итераций и метода Зейделя.

Задание.

1. Аналитически решить СЛАУ вида:

2. Построить рабочие формулы МПИ и метода Зейделя для численного решения системы.

3. Составить программу на любом языке программирования, реализующую построенные итерационные процессы.

Решение.

 

Аналитический метод.

Аналитическим решением системы являются значения:

Метод простых итераций. 

Из системы видно, что модули диагональных коэффициентов в каждом уравнении отличны от нуля и больше суммы модулей всех остальных коэффициентов, не считая столбца свободных членов.

Разделив каждое уравнение системы на соответствующий диагональный коэффициент, сформируем столбец в левой части и перенесем остальные слагаемые в правую часть и получим рабочие формулы МПИ вида:

 

где k=0,1,2…

 

Начальное приближение обычно выбирают равным столбцу свободных членов преобразованной системы . Процесс заканчивается при одновременном выполнении трех условий:

, , .

В этом случае значения являются приближенными значениями решения СЛАУ.

Метод Зейделя. Более быструю скорость сходимости имеет метод Зейделя, в котором найденное -е приближение сразу же используется для получения -го приближения последующих координат (Рис.1).

Рис.1

Рабочие формулы метода Зейделя запишутся так:

где k=0,1,2…

 

Условия выхода итерационного процесса и выбор начального приближения аналогичны МПИ.

Блок-схема метода простых итераций и метода Зейделя приведена на рисунке 2.

Рис.1 Схема МПИ и метода Зейделя.

Тексты программ:

  1. МПИ:

Program P5;

uses Crt;

var n:integer;

     x0,x,xn,y0,y,yn,z0,z,zn,eps,rx,ry,rz:real;

begin

clrscr;

n:=0; x0:=1; x:=x0; y0:=-0.6; y:=y0; z0:=0.2; z:=z0; eps:=0.001;

writeln ('  n   x(i)   x(i-1)  RAZ(x)   y(i)   y(i-1)  RAZ(y)   z(i)   z(i-1)  RAZ(z)');

repeat

 xn:=1-(1/6)*y+(5/12)*z;

 rx:=x;

 yn:=-0.6+0.6*x+0.1*z;

 ry:=y;

 zn:=0.2-0.2*x+0.2*y;

 rz:=z;

 writeln (n:3, x:8:4, xn:8:4, (xn-x):8:4, y:8:4, yn:8:4, (yn-y):8:4, z:8:4, zn:8:4, (zn-y):8:4);

 x:=xn;

 y:=yn;

 z:=zn;

 n:=n+1;

until (abs(x-rx)<=eps) and (abs(y-ry)<=eps) and (abs(z-rz)<=eps);

readln;

end.

  1. Метод Зейделя:

Program P5; {Zeydel}

uses Crt;

var n:integer;

     x0,x,xn,y0,y,yn,z0,z,zn,eps,rx,ry,rz:real;

begin

clrscr;

n:=0; x0:=1; x:=x0; y0:=-0.6; y:=y0; z0:=0.2; z:=z0; eps:=0.001;

writeln ('  n   x(i)   x(i-1)  RAZ(x)   y(i)   y(i-1)  RAZ(y)   z(i)   z(i-1)  RAZ(z)');

repeat

 xn:=1-(1/6)*y+(5/12)*z;

 rx:=x;

 yn:=-0.6+0.6*xn+0.1*z;

 ry:=y;

 zn:=0.2-0.2*xn+0.2*yn;

 rz:=z;

 writeln (n:3, x:8:4, xn:8:4, (xn-x):8:4, y:8:4, yn:8:4, (yn-y):8:4, z:8:4, zn:8:4, (zn-y):8:4);

 x:=xn;

 y:=yn;

 z:=zn;

 n:=n+1;

until (abs(x-rx)<=eps) and (abs(y-ry)<=eps) and (abs(z-rz)<=eps);

readln;

end.


Результаты отработки программы:

  1.  Рис.2 – программы, работающей по методу простых итераций;
  2.  Рис.3 – программы, работающей по методу Ньютона.

Рис.2. Ответ: х(10)≈0.9999, y(10)≈-0.0002, z(10)≈0.0002.

Рис.2. Ответ: х(5)≈1.0001, y(5)≈0.0000, z(5)≈-0.0000.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

17997. ОСНОВЫ ИНФОРМАЦИОННОЙ КУЛЬТУРЫ 163 KB
  ТЕМА 1. ОСНОВЫ ИНФОРМАЦИОННОЙ КУЛЬТУРЫ Информатизация общества Бурное развитие компьютерной техники и информационных технологий послужило толчком к развитию общества построенного на использовании различной информации и получившего название информационно...
17998. НАДЕЖНОСТЬ И ДИАГНОСТИКА 1.25 MB
  Конспект лекций по дисциплине НАДЕЖНОСТЬ И ДИАГНОСТИКА Лекция № 1. Основные понятия К любому техническому объекту в течение всего срока службы предъявляются определенные технические требования зафиксированные в соответствующих документах. Желательно...
17999. Культорология. Лекции 152.5 KB
  Культорология ПРЕДМЕТ КУЛЬТУРОЛОГИИ 1. Понятие и сущность культуры. Понятие культура латинского происхождения и использовалось вначале для определения процесса обработки земли. То есть как воздействие человека на природу. Впоследствии этим термином определяло...
18000. Административные избирательные технологии и борьба с ними 1.04 MB
  Андрей Бузин Административные избирательные технологии и борьба с ними Книга посвящена анализу использования административного ресурса на российских выборах и мерам борьбы с этим явлением. Основное внимание уделено способам противодействия административным и...
18001. Афера на выборах 757.5 KB
  Смирнов В. М. Афера на выборах Абсолютно за каждой российской избирательной кампанией тянется длинный шлейф подтасовок судебных процессов и скандалов после которых в честность проходящих в России выборов не верят даже дети. О представительности же то есть выра
18002. ЖЕНЩИНА И СОЦИАЛИЗМ 3.68 MB
  А. БЕБЕЛЬ ЖЕНЩИНА И СОЦИАЛИЗМ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ПОЛИТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ СОДЕРЖАНИЕ От издательства Предисловие Предисловие автора к двадцать пятому изданию Предисловие автора к тридцать четвертому изданию Предисловие автора к пятид
18003. Азбука валютного дилинга 2.27 MB
  Азбука валютного дилинга 1. Введение Если до недавнего времени для советского человека существовал практически единственный вариант использования капитала хранить деньги в сберкассе то сегодня в России становятся все более доступными для широких слоев населения н...
18004. БАНКОВСКАЯ СТАТИСТИКА 764.5 KB
  Е.В. Глухова БАНКОВСКАЯ СТАТИСТИКА Учебное пособие ВВЕДЕНИЕ Учебное пособие разработано в соответствии с программой дисциплины Банковская статистика для студентов специальностей 060400 Финансы и кредит 061700 Статистика 351400 Прикладная информатика в эк...
18005. Банковские автоматизированные системы 334.5 KB
  Автоматизированная банковская система - совокупность средств, выполняющих в банке операции с вкладами, кредитами и платежами. Банковская система характеризуется разнообразием и большими объемами информации. В своей работе она опирается на систему электронных платежей и использование электронных документов