41900

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Цель работы: научиться решать системы линейных алгебраических уравнений СЛАУ методом простых итераций МПИ и методом Зейделя с помощью ЭВМ. Изучить метод простых итераций и метод Зейделя для решения СЛАУ. Сравнить скорости сходимости метода простых итераций и метода Зейделя. Построить рабочие формулы МПИ и метода Зейделя для численного решения системы.

Русский

2013-10-26

244.14 KB

32 чел.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5.

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Вариант №5.

Выполнил:

Студент группы 24275

Кожевников Е.И.

Проверил:

Доцент

Горбунов Д.В.

Цель работы: научиться решать системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом простых итераций (МПИ) и методом Зейделя с помощью ЭВМ.

Содержание работы:

1. Изучить метод простых итераций и метод Зейделя для решения СЛАУ.

2. На конкретном примере усвоить порядок решения СЛАУ с помощью ЭВМ указанными методами.

3. Составить программу и с ее помощью решить СЛАУ с точностью . Сравнить скорости сходимости метода простых итераций и метода Зейделя.

Задание.

1. Аналитически решить СЛАУ вида:

2. Построить рабочие формулы МПИ и метода Зейделя для численного решения системы.

3. Составить программу на любом языке программирования, реализующую построенные итерационные процессы.

Решение.

 

Аналитический метод.

Аналитическим решением системы являются значения:

Метод простых итераций. 

Из системы видно, что модули диагональных коэффициентов в каждом уравнении отличны от нуля и больше суммы модулей всех остальных коэффициентов, не считая столбца свободных членов.

Разделив каждое уравнение системы на соответствующий диагональный коэффициент, сформируем столбец в левой части и перенесем остальные слагаемые в правую часть и получим рабочие формулы МПИ вида:

 

где k=0,1,2…

 

Начальное приближение обычно выбирают равным столбцу свободных членов преобразованной системы . Процесс заканчивается при одновременном выполнении трех условий:

, , .

В этом случае значения являются приближенными значениями решения СЛАУ.

Метод Зейделя. Более быструю скорость сходимости имеет метод Зейделя, в котором найденное -е приближение сразу же используется для получения -го приближения последующих координат (Рис.1).

Рис.1

Рабочие формулы метода Зейделя запишутся так:

где k=0,1,2…

 

Условия выхода итерационного процесса и выбор начального приближения аналогичны МПИ.

Блок-схема метода простых итераций и метода Зейделя приведена на рисунке 2.

Рис.1 Схема МПИ и метода Зейделя.

Тексты программ:

  1. МПИ:

Program P5;

uses Crt;

var n:integer;

     x0,x,xn,y0,y,yn,z0,z,zn,eps,rx,ry,rz:real;

begin

clrscr;

n:=0; x0:=1; x:=x0; y0:=-0.6; y:=y0; z0:=0.2; z:=z0; eps:=0.001;

writeln ('  n   x(i)   x(i-1)  RAZ(x)   y(i)   y(i-1)  RAZ(y)   z(i)   z(i-1)  RAZ(z)');

repeat

 xn:=1-(1/6)*y+(5/12)*z;

 rx:=x;

 yn:=-0.6+0.6*x+0.1*z;

 ry:=y;

 zn:=0.2-0.2*x+0.2*y;

 rz:=z;

 writeln (n:3, x:8:4, xn:8:4, (xn-x):8:4, y:8:4, yn:8:4, (yn-y):8:4, z:8:4, zn:8:4, (zn-y):8:4);

 x:=xn;

 y:=yn;

 z:=zn;

 n:=n+1;

until (abs(x-rx)<=eps) and (abs(y-ry)<=eps) and (abs(z-rz)<=eps);

readln;

end.

  1. Метод Зейделя:

Program P5; {Zeydel}

uses Crt;

var n:integer;

     x0,x,xn,y0,y,yn,z0,z,zn,eps,rx,ry,rz:real;

begin

clrscr;

n:=0; x0:=1; x:=x0; y0:=-0.6; y:=y0; z0:=0.2; z:=z0; eps:=0.001;

writeln ('  n   x(i)   x(i-1)  RAZ(x)   y(i)   y(i-1)  RAZ(y)   z(i)   z(i-1)  RAZ(z)');

repeat

 xn:=1-(1/6)*y+(5/12)*z;

 rx:=x;

 yn:=-0.6+0.6*xn+0.1*z;

 ry:=y;

 zn:=0.2-0.2*xn+0.2*yn;

 rz:=z;

 writeln (n:3, x:8:4, xn:8:4, (xn-x):8:4, y:8:4, yn:8:4, (yn-y):8:4, z:8:4, zn:8:4, (zn-y):8:4);

 x:=xn;

 y:=yn;

 z:=zn;

 n:=n+1;

until (abs(x-rx)<=eps) and (abs(y-ry)<=eps) and (abs(z-rz)<=eps);

readln;

end.


Результаты отработки программы:

  1.  Рис.2 – программы, работающей по методу простых итераций;
  2.  Рис.3 – программы, работающей по методу Ньютона.

Рис.2. Ответ: х(10)≈0.9999, y(10)≈-0.0002, z(10)≈0.0002.

Рис.2. Ответ: х(5)≈1.0001, y(5)≈0.0000, z(5)≈-0.0000.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

40234. Сущность и виды инвестиций 27.5 KB
  Инвестиции в различных видах и формах настолько глубоко проникли в нашу повседневную жизнь что многие люди даже не связанные напрямую с инвестированием имеют общее понятие о том что представляет собой инвестирование. Остановимся на таком определении инвестиций: Инвестиции это вложение капитала в любой его форме имущество деньги ценные бумаги ит. В экономике инвестиции подразделяются по объектам вложения капитала на финансовые и реальные. Реальные инвестиции подразумевают вложение средств в операционную деятельность предприятия и быт...
40235. Подходы к оценке инвестиционных проектов 21.5 KB
  Отличие между этими двумя классами состоит в учете фактора стоимости денег во времени. Сложные динамические показатели основаны на технике сложного процента и учитывают метод начисления а также фактор стоимости денег во времени.
40236. Финансовые инвестиции виды, определение 28.5 KB
  Финансовые инвестиции представляют собой финансовые вложения в ценные бумаги такие как акции облигации векселя депозиты банков и другие финансовые инструменты которые позволяют извлекать прибыль или доход от финансовых вложений. Основная цель финансовых инвестиций получение прибыли. Размер дохода может быть различным но нужно помнить что как правило чем выше доходность финансовых инвестиций тем выше финансовые риски. Одним из основных видов финансовых инвестиций являются вложения в ценные бумаги.
40237. Подходы к определению эффективности финансовых вложений 28 KB
  Подходы к определению эффективности финансовых вложений. Хачатуровым были выпущены различные отраслевые методики и инструкции по оценке эффективности капитальных вложений. Эффективность капитальных вложений оценивалась на основе коэффициента эффективности рассчитываемого как отношение среднегодовой суммы прибыли к объему капитальных вложений и срока окупаемости показателя обратного коэффициенту окупаемости. Использование для расчетов показателей базирующихся на одинаковых исходных данных объем прибыли и объем капитальных вложений вело...
40238. Аудит 36.5 KB
  Слово аудит происходит от латинского слова udio что значит слушатель или слушающий . По аналогии со специальными врачебными инструментами используемыми для определения физического здоровья пациента с помощью аудита устанавливается экономическое здоровье организаций банков корпораций и т. Аудиторская деятельность аудит представляет собой предпринимательскую деятельность аудиторов аудиторских фирм по осуществлению вневедомственных проверок бухгалтерской финансовой отчетности документов бухгалтерского учета налоговых деклараций и...
40239. Понятие и формирование учетной политики 33 KB
  Под учетной политикой организации понимается принятая ею совокупность способов введения бухучета первичного наблюдения стоимостного измерения текущей группировки и итогового обобщения фактов хоз. деятельности погашения стоимости активов организации документооборота инвентаризации способы применения счетов бухучета системы регистров бухучета обработки информации и иные соответствующие способы и приемы. вступил в действие первый вариант стандарта по бухгалтерскому учету Учетная политика организации ПБУ 1 95. № 60н и содержит...
40240. Понятие об экономической эффективности и проблемы ее повышения в сельском хозяйстве 36 KB
  Прибыль убыток полученные от применения удобрений эффективность руб. Экономическую эффективность сельскохозяйственного производства характеризуют валовой и чистый доход прибыль уровень рентабельности окупаемость затрат. Прибыль как экономическая категория характеризует финансовый результат предпринимательской деятельности предприятия. Различают валовую прибыль прибыль от реализации продукции и услуг чистую прибыль.
40241. Понятие ошибок и недобросовестных действий аудитора 32 KB
  Ошибка непреднамеренное искажение в финансовой бухгалтерской отчетности в том числе неотражение какоголибо числового показателя или нераскрытие какойлибо информации. В настоящем федеральном правиле стандарте аудиторской деятельности рассматриваются только недобросовестные действия являющиеся причиной существенных искажений финансовой бухгалтерской отчетности. Различают два типа преднамеренных искажений возникающих в результате недобросовестных действий рассматриваемых в ходе аудита: искажения возникающие в процессе...
40242. Понятие производительности труда, показатели, факторы и пути повышения 31.5 KB
  Производительность труда это способность конкретного труда работников производить определенное количество продукции или выполнять определенный объем работ в единицу рабочего времени. Чем больше производится продукции в единицу рабочего времени или чем меньше затрачивается времени на производство единицы продукции тем выше производительность труда. Уровень производительности труда трудоотдача рассчитывают делением количества соответствующего вида продукции сельского хозяйства в натуральном или денежном выражении или объема...