41900

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Цель работы: научиться решать системы линейных алгебраических уравнений СЛАУ методом простых итераций МПИ и методом Зейделя с помощью ЭВМ. Изучить метод простых итераций и метод Зейделя для решения СЛАУ. Сравнить скорости сходимости метода простых итераций и метода Зейделя. Построить рабочие формулы МПИ и метода Зейделя для численного решения системы.

Русский

2013-10-26

244.14 KB

36 чел.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5.

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Вариант №5.

Выполнил:

Студент группы 24275

Кожевников Е.И.

Проверил:

Доцент

Горбунов Д.В.

Цель работы: научиться решать системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом простых итераций (МПИ) и методом Зейделя с помощью ЭВМ.

Содержание работы:

1. Изучить метод простых итераций и метод Зейделя для решения СЛАУ.

2. На конкретном примере усвоить порядок решения СЛАУ с помощью ЭВМ указанными методами.

3. Составить программу и с ее помощью решить СЛАУ с точностью . Сравнить скорости сходимости метода простых итераций и метода Зейделя.

Задание.

1. Аналитически решить СЛАУ вида:

2. Построить рабочие формулы МПИ и метода Зейделя для численного решения системы.

3. Составить программу на любом языке программирования, реализующую построенные итерационные процессы.

Решение.

 

Аналитический метод.

Аналитическим решением системы являются значения:

Метод простых итераций. 

Из системы видно, что модули диагональных коэффициентов в каждом уравнении отличны от нуля и больше суммы модулей всех остальных коэффициентов, не считая столбца свободных членов.

Разделив каждое уравнение системы на соответствующий диагональный коэффициент, сформируем столбец в левой части и перенесем остальные слагаемые в правую часть и получим рабочие формулы МПИ вида:

 

где k=0,1,2…

 

Начальное приближение обычно выбирают равным столбцу свободных членов преобразованной системы . Процесс заканчивается при одновременном выполнении трех условий:

, , .

В этом случае значения являются приближенными значениями решения СЛАУ.

Метод Зейделя. Более быструю скорость сходимости имеет метод Зейделя, в котором найденное -е приближение сразу же используется для получения -го приближения последующих координат (Рис.1).

Рис.1

Рабочие формулы метода Зейделя запишутся так:

где k=0,1,2…

 

Условия выхода итерационного процесса и выбор начального приближения аналогичны МПИ.

Блок-схема метода простых итераций и метода Зейделя приведена на рисунке 2.

Рис.1 Схема МПИ и метода Зейделя.

Тексты программ:

  1. МПИ:

Program P5;

uses Crt;

var n:integer;

     x0,x,xn,y0,y,yn,z0,z,zn,eps,rx,ry,rz:real;

begin

clrscr;

n:=0; x0:=1; x:=x0; y0:=-0.6; y:=y0; z0:=0.2; z:=z0; eps:=0.001;

writeln ('  n   x(i)   x(i-1)  RAZ(x)   y(i)   y(i-1)  RAZ(y)   z(i)   z(i-1)  RAZ(z)');

repeat

 xn:=1-(1/6)*y+(5/12)*z;

 rx:=x;

 yn:=-0.6+0.6*x+0.1*z;

 ry:=y;

 zn:=0.2-0.2*x+0.2*y;

 rz:=z;

 writeln (n:3, x:8:4, xn:8:4, (xn-x):8:4, y:8:4, yn:8:4, (yn-y):8:4, z:8:4, zn:8:4, (zn-y):8:4);

 x:=xn;

 y:=yn;

 z:=zn;

 n:=n+1;

until (abs(x-rx)<=eps) and (abs(y-ry)<=eps) and (abs(z-rz)<=eps);

readln;

end.

  1. Метод Зейделя:

Program P5; {Zeydel}

uses Crt;

var n:integer;

     x0,x,xn,y0,y,yn,z0,z,zn,eps,rx,ry,rz:real;

begin

clrscr;

n:=0; x0:=1; x:=x0; y0:=-0.6; y:=y0; z0:=0.2; z:=z0; eps:=0.001;

writeln ('  n   x(i)   x(i-1)  RAZ(x)   y(i)   y(i-1)  RAZ(y)   z(i)   z(i-1)  RAZ(z)');

repeat

 xn:=1-(1/6)*y+(5/12)*z;

 rx:=x;

 yn:=-0.6+0.6*xn+0.1*z;

 ry:=y;

 zn:=0.2-0.2*xn+0.2*yn;

 rz:=z;

 writeln (n:3, x:8:4, xn:8:4, (xn-x):8:4, y:8:4, yn:8:4, (yn-y):8:4, z:8:4, zn:8:4, (zn-y):8:4);

 x:=xn;

 y:=yn;

 z:=zn;

 n:=n+1;

until (abs(x-rx)<=eps) and (abs(y-ry)<=eps) and (abs(z-rz)<=eps);

readln;

end.


Результаты отработки программы:

  1.  Рис.2 – программы, работающей по методу простых итераций;
  2.  Рис.3 – программы, работающей по методу Ньютона.

Рис.2. Ответ: х(10)≈0.9999, y(10)≈-0.0002, z(10)≈0.0002.

Рис.2. Ответ: х(5)≈1.0001, y(5)≈0.0000, z(5)≈-0.0000.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

3525. Коррозия металлов 48 KB
  Коррозия металлов. Цели. 1.Познакомиться с процессом коррозии с водородной деполяризацией. 2. Познакомиться с процессом коррозии с кислородной деполяризацией. 3. Рассчитать термодинамическую вероятность процессов коррозии с водородной и с кислородно...
3526. Типы сварочных работ. Типы сварок 71.5 KB
  Сваркой называют технологический процесс получения механически неразъемных соединений, характеризующихся непрерывностью структур – непрерывной структурной связью. Это технологический процесс, с помощью которого изготавливаются все основные конс...
3527. История экономических учений 86 KB
  Введение Своего высшего развития классическая буржуазная политическая экономия достигла в трудах британских ученых Адама Смита и Давида Рикардо, поскольку Великобритания была в тот период самой передовой в экономическом отношении страной. Она облада...
3528. Исследование движения тел в диссипативой средде 57.5 KB
  Исследование движения тел в диссипативой средде Цель работы Исследование процессов рассеяния энергии в диссипативной системе на примере измерения скорости движения тела в жидкой среде, определение основных характеристик диссипативной системы. ПРИБОР...
3529. Исследование свободных колебаний пружинного маятника 36 KB
  Исследование свободных колебаний пружинного маятника Цель работы: исследование свободных колебаний пружинного маятника. МЕТОД ИЗМЕРЕНИЙ: прямые измерения числа колебаний за определенный промежуток времени, а также измерение амплитуды колебания позво...
3530. Права граждан Европейского Союза 116 KB
  Первые договоры о создании Европейских Сообществ, подписанные в 1951 и 1957 гг., означали старт интеграции в экономической сфере шести стран Европы – Франции, Германии, Италии, Нидерландов, Бельгии и Люксембурга. Данные договоры содержали и часть вопросов социальной защиты, однако они в большей степени носили декларативный характер. Явный приоритет среди социальных прав отдавался праву на труд.
3531. Математический маятник 52.48 KB
  Математический маятник. Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на нерастяжимой невесомой нити, совершающая колебательное движение в одной вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Составляющая веса, перпендикуля...
3532. Определение постоянной Планка 57 KB
  Определение постоянной Планка. Задача: проградуировать монохроматор по излучению ртутной лампы, построить график, из которого найти длину волны, соответствующую границе спектра поглощения. Приборы и принадлежности: универсальный монохроматор, ртутна...
3533. Исследования внешнего фотоэффекта на вакуумном фотоэлементе 49 KB
  Исследования внешнего фотоэффекта на вакуумном фотоэлементе. 1.Цель работы. Экспериментальная проверка основных законов внешнего фотоэффекта, определения постоянной Планка. 1. Указания по организации самостоятельной работы. Внешний фотоэффект принадлежит ...