41900

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Цель работы: научиться решать системы линейных алгебраических уравнений СЛАУ методом простых итераций МПИ и методом Зейделя с помощью ЭВМ. Изучить метод простых итераций и метод Зейделя для решения СЛАУ. Сравнить скорости сходимости метода простых итераций и метода Зейделя. Построить рабочие формулы МПИ и метода Зейделя для численного решения системы.

Русский

2013-10-26

244.14 KB

31 чел.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5.

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Вариант №5.

Выполнил:

Студент группы 24275

Кожевников Е.И.

Проверил:

Доцент

Горбунов Д.В.

Цель работы: научиться решать системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом простых итераций (МПИ) и методом Зейделя с помощью ЭВМ.

Содержание работы:

1. Изучить метод простых итераций и метод Зейделя для решения СЛАУ.

2. На конкретном примере усвоить порядок решения СЛАУ с помощью ЭВМ указанными методами.

3. Составить программу и с ее помощью решить СЛАУ с точностью . Сравнить скорости сходимости метода простых итераций и метода Зейделя.

Задание.

1. Аналитически решить СЛАУ вида:

2. Построить рабочие формулы МПИ и метода Зейделя для численного решения системы.

3. Составить программу на любом языке программирования, реализующую построенные итерационные процессы.

Решение.

 

Аналитический метод.

Аналитическим решением системы являются значения:

Метод простых итераций. 

Из системы видно, что модули диагональных коэффициентов в каждом уравнении отличны от нуля и больше суммы модулей всех остальных коэффициентов, не считая столбца свободных членов.

Разделив каждое уравнение системы на соответствующий диагональный коэффициент, сформируем столбец в левой части и перенесем остальные слагаемые в правую часть и получим рабочие формулы МПИ вида:

 

где k=0,1,2…

 

Начальное приближение обычно выбирают равным столбцу свободных членов преобразованной системы . Процесс заканчивается при одновременном выполнении трех условий:

, , .

В этом случае значения являются приближенными значениями решения СЛАУ.

Метод Зейделя. Более быструю скорость сходимости имеет метод Зейделя, в котором найденное -е приближение сразу же используется для получения -го приближения последующих координат (Рис.1).

Рис.1

Рабочие формулы метода Зейделя запишутся так:

где k=0,1,2…

 

Условия выхода итерационного процесса и выбор начального приближения аналогичны МПИ.

Блок-схема метода простых итераций и метода Зейделя приведена на рисунке 2.

Рис.1 Схема МПИ и метода Зейделя.

Тексты программ:

  1. МПИ:

Program P5;

uses Crt;

var n:integer;

     x0,x,xn,y0,y,yn,z0,z,zn,eps,rx,ry,rz:real;

begin

clrscr;

n:=0; x0:=1; x:=x0; y0:=-0.6; y:=y0; z0:=0.2; z:=z0; eps:=0.001;

writeln ('  n   x(i)   x(i-1)  RAZ(x)   y(i)   y(i-1)  RAZ(y)   z(i)   z(i-1)  RAZ(z)');

repeat

 xn:=1-(1/6)*y+(5/12)*z;

 rx:=x;

 yn:=-0.6+0.6*x+0.1*z;

 ry:=y;

 zn:=0.2-0.2*x+0.2*y;

 rz:=z;

 writeln (n:3, x:8:4, xn:8:4, (xn-x):8:4, y:8:4, yn:8:4, (yn-y):8:4, z:8:4, zn:8:4, (zn-y):8:4);

 x:=xn;

 y:=yn;

 z:=zn;

 n:=n+1;

until (abs(x-rx)<=eps) and (abs(y-ry)<=eps) and (abs(z-rz)<=eps);

readln;

end.

  1. Метод Зейделя:

Program P5; {Zeydel}

uses Crt;

var n:integer;

     x0,x,xn,y0,y,yn,z0,z,zn,eps,rx,ry,rz:real;

begin

clrscr;

n:=0; x0:=1; x:=x0; y0:=-0.6; y:=y0; z0:=0.2; z:=z0; eps:=0.001;

writeln ('  n   x(i)   x(i-1)  RAZ(x)   y(i)   y(i-1)  RAZ(y)   z(i)   z(i-1)  RAZ(z)');

repeat

 xn:=1-(1/6)*y+(5/12)*z;

 rx:=x;

 yn:=-0.6+0.6*xn+0.1*z;

 ry:=y;

 zn:=0.2-0.2*xn+0.2*yn;

 rz:=z;

 writeln (n:3, x:8:4, xn:8:4, (xn-x):8:4, y:8:4, yn:8:4, (yn-y):8:4, z:8:4, zn:8:4, (zn-y):8:4);

 x:=xn;

 y:=yn;

 z:=zn;

 n:=n+1;

until (abs(x-rx)<=eps) and (abs(y-ry)<=eps) and (abs(z-rz)<=eps);

readln;

end.


Результаты отработки программы:

  1.  Рис.2 – программы, работающей по методу простых итераций;
  2.  Рис.3 – программы, работающей по методу Ньютона.

Рис.2. Ответ: х(10)≈0.9999, y(10)≈-0.0002, z(10)≈0.0002.

Рис.2. Ответ: х(5)≈1.0001, y(5)≈0.0000, z(5)≈-0.0000.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

13251. Розрахунок санітарно-захисної зони для джерела електромагнітного випромінювання 45 KB
  Лабораторна робота № Розрахунок санітарнозахисної зони для джерела електромагнітного випромінювання Теоретичні відомості Основними джерелами електромагнітних полів ЕМП є: атмосферна електрика радіовипромінювання електричне та магнітне поля Землі потуж
13252. Оцінка рівня радіаційного фону 56.5 KB
  Лабораторна робота № Тема: Оцінка рівня радіаційного фону Теоретична частина Випромінювання з високою енергією здатні віднімати електрони від атомів і приєднувати їх до інших атомів з утворенням пар позитивних і негативних іонів називається іонізуючим випромі
13253. Визначення концентрації оксиду вуглецю (СО) в атмосферному повітрі 142 KB
  Лабораторна робота № Тема: Визначення концентрації оксиду вуглецю СО в атмосферному повітрі Теоретична частина Автомобільний транспорт є однією з галузей що у значній мірі визначає розвиток промисловості і сільського господарства будьякої країни. Тому світов
13254. Оцінка збитків заподіяних атмосфері, при вивезенні твердих побутових відходів 36 KB
  Лабораторна робота № Побутові відходи Тема: Оцінка збитків заподіяних атмосфері при вивезенні твердих побутових відходів. Мета: Ознайомитись з проблемою твердих побутових відходів взагалі та проблемою вивезення твердих побутових відходів зокрема а також з метод...
13255. Визначення рівня шумового забруднення 70.5 KB
  Лабораторна робота № Тема: Визначення рівня шумового забруднення Теоретична частина Шум це одна з форм фізичного хвильового забруднення природного середовища. Під шумом розуміють усі неприємні та небажані звуки чи їхню сукупність які заважають нормально прац
13256. ІНФОРМАЦІЙНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ УЧАСНИКІВ ДОРОЖНЬОГО РУХУ 5.86 MB
  ІНФОРМАЦІЙНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ УЧАСНИКІВ ДОРОЖНЬОГО РУХУ МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до виконання лабораторних робіт для студентів базового напряму 6.070101 Транспортні технології спеціальностей 78.07010104 Організація і регулювання дорожнього руху та 78.07010102 Організація перев...
13257. Архітектура персонального компютера 54.97 KB
  Архітектура персонального компютера Вузловою компонентою ПК є центральний процесор ЦП. Він виконує обчислювальну роботу керує обміном даними між оперативною памяттю та пристроями вводувиводу. Продуктивність ЦП залежить від частоти яку задає йому тактовий генера
13258. Изучение погрешностей измерений 261.5 KB
  Лабораторная работа № 1 Изучение погрешностей измерений Цель работы: Изучить погрешности измерений. Оценить погрешности измерения физических величин. Ход работы. 1. Теоретическая часть. 1.1. Физические измерения. Измерением в физике называется сравнени
13259. Погрешности измерений. Цели математической обработки результатов эксперимента 107 KB
  Погрешности измерений Основой всего естествознания является наблюдение и эксперимент. Наблюдение - это систематическое целенаправленное восприятие того или иного объекта или явления без воздействия на изучаемый объект или явление. Наблюдение позволяет получит...