41900

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Цель работы: научиться решать системы линейных алгебраических уравнений СЛАУ методом простых итераций МПИ и методом Зейделя с помощью ЭВМ. Изучить метод простых итераций и метод Зейделя для решения СЛАУ. Сравнить скорости сходимости метода простых итераций и метода Зейделя. Построить рабочие формулы МПИ и метода Зейделя для численного решения системы.

Русский

2013-10-26

244.14 KB

31 чел.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5.

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Вариант №5.

Выполнил:

Студент группы 24275

Кожевников Е.И.

Проверил:

Доцент

Горбунов Д.В.

Цель работы: научиться решать системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом простых итераций (МПИ) и методом Зейделя с помощью ЭВМ.

Содержание работы:

1. Изучить метод простых итераций и метод Зейделя для решения СЛАУ.

2. На конкретном примере усвоить порядок решения СЛАУ с помощью ЭВМ указанными методами.

3. Составить программу и с ее помощью решить СЛАУ с точностью . Сравнить скорости сходимости метода простых итераций и метода Зейделя.

Задание.

1. Аналитически решить СЛАУ вида:

2. Построить рабочие формулы МПИ и метода Зейделя для численного решения системы.

3. Составить программу на любом языке программирования, реализующую построенные итерационные процессы.

Решение.

 

Аналитический метод.

Аналитическим решением системы являются значения:

Метод простых итераций. 

Из системы видно, что модули диагональных коэффициентов в каждом уравнении отличны от нуля и больше суммы модулей всех остальных коэффициентов, не считая столбца свободных членов.

Разделив каждое уравнение системы на соответствующий диагональный коэффициент, сформируем столбец в левой части и перенесем остальные слагаемые в правую часть и получим рабочие формулы МПИ вида:

 

где k=0,1,2…

 

Начальное приближение обычно выбирают равным столбцу свободных членов преобразованной системы . Процесс заканчивается при одновременном выполнении трех условий:

, , .

В этом случае значения являются приближенными значениями решения СЛАУ.

Метод Зейделя. Более быструю скорость сходимости имеет метод Зейделя, в котором найденное -е приближение сразу же используется для получения -го приближения последующих координат (Рис.1).

Рис.1

Рабочие формулы метода Зейделя запишутся так:

где k=0,1,2…

 

Условия выхода итерационного процесса и выбор начального приближения аналогичны МПИ.

Блок-схема метода простых итераций и метода Зейделя приведена на рисунке 2.

Рис.1 Схема МПИ и метода Зейделя.

Тексты программ:

  1. МПИ:

Program P5;

uses Crt;

var n:integer;

     x0,x,xn,y0,y,yn,z0,z,zn,eps,rx,ry,rz:real;

begin

clrscr;

n:=0; x0:=1; x:=x0; y0:=-0.6; y:=y0; z0:=0.2; z:=z0; eps:=0.001;

writeln ('  n   x(i)   x(i-1)  RAZ(x)   y(i)   y(i-1)  RAZ(y)   z(i)   z(i-1)  RAZ(z)');

repeat

 xn:=1-(1/6)*y+(5/12)*z;

 rx:=x;

 yn:=-0.6+0.6*x+0.1*z;

 ry:=y;

 zn:=0.2-0.2*x+0.2*y;

 rz:=z;

 writeln (n:3, x:8:4, xn:8:4, (xn-x):8:4, y:8:4, yn:8:4, (yn-y):8:4, z:8:4, zn:8:4, (zn-y):8:4);

 x:=xn;

 y:=yn;

 z:=zn;

 n:=n+1;

until (abs(x-rx)<=eps) and (abs(y-ry)<=eps) and (abs(z-rz)<=eps);

readln;

end.

  1. Метод Зейделя:

Program P5; {Zeydel}

uses Crt;

var n:integer;

     x0,x,xn,y0,y,yn,z0,z,zn,eps,rx,ry,rz:real;

begin

clrscr;

n:=0; x0:=1; x:=x0; y0:=-0.6; y:=y0; z0:=0.2; z:=z0; eps:=0.001;

writeln ('  n   x(i)   x(i-1)  RAZ(x)   y(i)   y(i-1)  RAZ(y)   z(i)   z(i-1)  RAZ(z)');

repeat

 xn:=1-(1/6)*y+(5/12)*z;

 rx:=x;

 yn:=-0.6+0.6*xn+0.1*z;

 ry:=y;

 zn:=0.2-0.2*xn+0.2*yn;

 rz:=z;

 writeln (n:3, x:8:4, xn:8:4, (xn-x):8:4, y:8:4, yn:8:4, (yn-y):8:4, z:8:4, zn:8:4, (zn-y):8:4);

 x:=xn;

 y:=yn;

 z:=zn;

 n:=n+1;

until (abs(x-rx)<=eps) and (abs(y-ry)<=eps) and (abs(z-rz)<=eps);

readln;

end.


Результаты отработки программы:

  1.  Рис.2 – программы, работающей по методу простых итераций;
  2.  Рис.3 – программы, работающей по методу Ньютона.

Рис.2. Ответ: х(10)≈0.9999, y(10)≈-0.0002, z(10)≈0.0002.

Рис.2. Ответ: х(5)≈1.0001, y(5)≈0.0000, z(5)≈-0.0000.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

64487. ЛЮБОМИР ВИНАР ЯК ДОСЛІДНИК УКРАЇНСЬКОЇ ІСТОРІЇ ТА ІСТОРІОГРАФІЇ 179.5 KB
  Винара що зумовлює актуальність даної теми адже науковий доробок вченого є важливим надбанням української історичної думки. Винара в дослідження проблем історії України та української історіографії.
64488. ВПЛИВ АТМОСФЕРНОГО ЗАБРУДНЕННЯ ГІРНИЧО-МЕТАЛУРГІЙНОГО КОМПЛЕКСУ НА ФОРМУВАННЯ ПСИХОФІЗІОЛОГІЧНОГО СТАТУСУ ДІТЕЙ 3-7-РІЧНОГО ВІКУ 248 KB
  У практиці епідеміологічних досліджень проведених серед дітей дошкільного і молодшого шкільного віку таким факторам як стать і вік приділяється недостатньо уваги; надаються неоднозначні дані щодо особливостей статевої вікової...
64489. ДЕРЖАВНЕ СТИМУЛЮВАННЯ ІННОВАЦІЙНОГО РОЗВИТКУ ХІМІЧНОЇ ГАЛУЗІ 227.5 KB
  Світова фінансова криза та її наслідки для економіки України з урахуванням існуючих структурних диспропорцій актуалізували потребу в детальному аналізі інноваційної складової стратегії соціально-економічного розвитку країни.
64490. Закономірності процесів оптимального повітряного охолодження плавильних реакторів скляного виробництва 1.22 MB
  Найбільш розповсюдженим способом охолодження стін варильного басейну є обдув повітрям. За рахунок охолодження реактор може проробити тривалий час навіть при невеликій залишковій товщині стінового огородження...
64491. ОЦІНКА НЕОДНОРІДНОСТІ УЩІЛЬНЕНИХ ҐРУНТІВ ШТУЧНИХ ОСНОВ 640 KB
  За цих умов геотехніка рекомендує влаштування штучних масивів з кращими будівельними властивостями ніж у природних ґрунтів. Певною проблемою при нормуванні властивостей ущільненого масиву також є невідповідність оптимальних параметрів ущільнення...
64492. БЕТОНИ НА ОСНОВІ КОМПОЗИЦІЙНИХ ЦЕМЕНТІВ, АКТИВОВАНИХ У ВИСОКОВОЛЬТНОМУ ЕЛЕКТРИЧНОМУ ПОЛІ 292.5 KB
  Важливим напрямком у вирішенні цих проблем є розробка композиційних цементів в тому числі багатокомпонентних що містять різні мінеральні добавки природного та техногенного походження.
64493. Одержання цирконійвмісних сполук з циркону Малишевського родовища 139 KB
  Україна є власником єдиного в Європі родовища високоякісної цирконієвмісної сировини циркону силікат цирконію. Промислові потужності базового підприємства з видобутку та переробки циркону Малишевського родовища Вільногірського гірничо-металургійного...
64494. ТРИВОЖНІСТЬ ЯК ЧИННИК ДЕЗАДАПТАЦІЇ ПРАКТИЧНИХ ПСИХОЛОГІВ-ПОЧАТКІВЦІВ 472 KB
  Важливим у цьому контексті є врегулювання тривожності яка може негативно впливати на успішність оволодіння професією на результативність і якість професійної діяльності зокрема психологапрактика що як представник допомагаючих професій мусить бути для клієнта еталоном психологічного здоровя.
64495. ВИСОКОВОЛЬТНІ ЕЛЕКТРОРОЗРЯДНІ СВЕРДЛОВИННІ КОМПЛЕКСИ З ПІДВИЩЕНИМИ ПИТОМИМИ ЕНЕРГЕТИЧНИМИ ПАРАМЕТРАМИ 1.49 MB
  Було показано що ефективність комплексів визначається сукупністю характеристик електророзрядних імпульсів і пристроїв перетворення параметрів електричної енергії. В зв‘язку з погіршенням умов спуску занурювальної установки електророзрядних комплексів в зону обробки виникла необхідність зменшення її довжини.