41900

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Цель работы: научиться решать системы линейных алгебраических уравнений СЛАУ методом простых итераций МПИ и методом Зейделя с помощью ЭВМ. Изучить метод простых итераций и метод Зейделя для решения СЛАУ. Сравнить скорости сходимости метода простых итераций и метода Зейделя. Построить рабочие формулы МПИ и метода Зейделя для численного решения системы.

Русский

2013-10-26

244.14 KB

33 чел.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5.

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Вариант №5.

Выполнил:

Студент группы 24275

Кожевников Е.И.

Проверил:

Доцент

Горбунов Д.В.

Цель работы: научиться решать системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом простых итераций (МПИ) и методом Зейделя с помощью ЭВМ.

Содержание работы:

1. Изучить метод простых итераций и метод Зейделя для решения СЛАУ.

2. На конкретном примере усвоить порядок решения СЛАУ с помощью ЭВМ указанными методами.

3. Составить программу и с ее помощью решить СЛАУ с точностью . Сравнить скорости сходимости метода простых итераций и метода Зейделя.

Задание.

1. Аналитически решить СЛАУ вида:

2. Построить рабочие формулы МПИ и метода Зейделя для численного решения системы.

3. Составить программу на любом языке программирования, реализующую построенные итерационные процессы.

Решение.

 

Аналитический метод.

Аналитическим решением системы являются значения:

Метод простых итераций. 

Из системы видно, что модули диагональных коэффициентов в каждом уравнении отличны от нуля и больше суммы модулей всех остальных коэффициентов, не считая столбца свободных членов.

Разделив каждое уравнение системы на соответствующий диагональный коэффициент, сформируем столбец в левой части и перенесем остальные слагаемые в правую часть и получим рабочие формулы МПИ вида:

 

где k=0,1,2…

 

Начальное приближение обычно выбирают равным столбцу свободных членов преобразованной системы . Процесс заканчивается при одновременном выполнении трех условий:

, , .

В этом случае значения являются приближенными значениями решения СЛАУ.

Метод Зейделя. Более быструю скорость сходимости имеет метод Зейделя, в котором найденное -е приближение сразу же используется для получения -го приближения последующих координат (Рис.1).

Рис.1

Рабочие формулы метода Зейделя запишутся так:

где k=0,1,2…

 

Условия выхода итерационного процесса и выбор начального приближения аналогичны МПИ.

Блок-схема метода простых итераций и метода Зейделя приведена на рисунке 2.

Рис.1 Схема МПИ и метода Зейделя.

Тексты программ:

  1. МПИ:

Program P5;

uses Crt;

var n:integer;

     x0,x,xn,y0,y,yn,z0,z,zn,eps,rx,ry,rz:real;

begin

clrscr;

n:=0; x0:=1; x:=x0; y0:=-0.6; y:=y0; z0:=0.2; z:=z0; eps:=0.001;

writeln ('  n   x(i)   x(i-1)  RAZ(x)   y(i)   y(i-1)  RAZ(y)   z(i)   z(i-1)  RAZ(z)');

repeat

 xn:=1-(1/6)*y+(5/12)*z;

 rx:=x;

 yn:=-0.6+0.6*x+0.1*z;

 ry:=y;

 zn:=0.2-0.2*x+0.2*y;

 rz:=z;

 writeln (n:3, x:8:4, xn:8:4, (xn-x):8:4, y:8:4, yn:8:4, (yn-y):8:4, z:8:4, zn:8:4, (zn-y):8:4);

 x:=xn;

 y:=yn;

 z:=zn;

 n:=n+1;

until (abs(x-rx)<=eps) and (abs(y-ry)<=eps) and (abs(z-rz)<=eps);

readln;

end.

  1. Метод Зейделя:

Program P5; {Zeydel}

uses Crt;

var n:integer;

     x0,x,xn,y0,y,yn,z0,z,zn,eps,rx,ry,rz:real;

begin

clrscr;

n:=0; x0:=1; x:=x0; y0:=-0.6; y:=y0; z0:=0.2; z:=z0; eps:=0.001;

writeln ('  n   x(i)   x(i-1)  RAZ(x)   y(i)   y(i-1)  RAZ(y)   z(i)   z(i-1)  RAZ(z)');

repeat

 xn:=1-(1/6)*y+(5/12)*z;

 rx:=x;

 yn:=-0.6+0.6*xn+0.1*z;

 ry:=y;

 zn:=0.2-0.2*xn+0.2*yn;

 rz:=z;

 writeln (n:3, x:8:4, xn:8:4, (xn-x):8:4, y:8:4, yn:8:4, (yn-y):8:4, z:8:4, zn:8:4, (zn-y):8:4);

 x:=xn;

 y:=yn;

 z:=zn;

 n:=n+1;

until (abs(x-rx)<=eps) and (abs(y-ry)<=eps) and (abs(z-rz)<=eps);

readln;

end.


Результаты отработки программы:

  1.  Рис.2 – программы, работающей по методу простых итераций;
  2.  Рис.3 – программы, работающей по методу Ньютона.

Рис.2. Ответ: х(10)≈0.9999, y(10)≈-0.0002, z(10)≈0.0002.

Рис.2. Ответ: х(5)≈1.0001, y(5)≈0.0000, z(5)≈-0.0000.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68225. МЕТОДИ ВИЗНАЧЕННЯ ЧАСОВИХ ХАРАКТЕРИСТИК ТЕПЛОВИХ ПОЖЕЖНИХ СПОВІЩУВАЧІВ ПРИ АВТОНОМНИХ ВИПРОБУВАННЯХ 415.5 KB
  Технічні характеристики теплових пожежних сповіщувачів а також методи й алгоритми їх визначення регламентуються євростандартом EN54. Цей стандарт передбачає нормування лише однієї часової характеристики пожежного сповіщувача часу його спрацювання хоча для цієї мети використовується...
68226. УПРАВЛІННЯ ПРОЕКТАМИ РОЗВИТКУ ТЕРМІНАЛЬНИХ СИСТЕМ ДОСТАВКИ ВАНТАЖІВ АВТОМОБІЛЬНИМ ТРАНСПОРТОМ 1.55 MB
  Умовами підвищення результативності роботи організацій різної галузевої приналежності передбачається широке застосування методів стратегічного управління. В процесах стратегічного управління, розглядуваних за такі, що складаються з послідовності стадій формування...
68227. ВИХОВАННЯ ШАНОБЛИВОГО СТАВЛЕННЯ ДО МАТЕРІ У СТАРШИХ ДОШКІЛЬНИКІВ 147 KB
  Незважаючи на численність наукових напрацювань із проблеми морального виховання дитини залишаються недостатньо вивченими особливості й основні напрями діяльності дошкільних навчальних закладів щодо виховання в дітей старшого дошкільного віку шанобливого ставлення до матері як важливого складника...
68228. Діагностична значимість показників окисного стресу та нітроксидергічного дисбалансу в легеневих експіратах у новонароджених з дихальною недостатністю 356 KB
  Дихальні розлади в новонароджених є досить поширеними в практиці відділень інтенсивної терапії будьякого профілю представляють серйозну проблему та часто є причиною смерті хворих Шунько Є. Актуальність діагностики причин респіраторних розладів у новонароджених...
68229. ФОРМУВАННЯ ОПТИМАЛЬНОГО ВОДНО-СОЛЬОВОГО РЕЖИМУ ТЕМНО-КАШТАНОВИХ ҐРУНТІВ НА ФОНІ ВЕРТИКАЛЬНОГО ДРЕНАЖУ В УМОВАХ КРАСНОЗНАМ’ЯНСЬКОЇ ЗРОШУВАЛЬНОЇ СИСТЕМИ 10.63 MB
  Зрошення на фоні діючого дренажу на таких безстокових та слабодренованих територіях є обовязковою умовою для збереження родючості ґрунтів. Тому дослідження водносольового режиму темнокаштанових ґрунтів при вирощуванні пшениці озимої як основної культури сівозмін сухої Степової зони в різних...
68230. МЕХАНІЗМ ВАЛЮТНОГО РЕГУЛЮВАННЯ В УКРАЇНІ 2.95 MB
  В умовах посилення процесів глобалізації фінансових ринків відкритості економік та їх взаємозалежності що обумовлюють зростання нестабільності національних валют роль механізму валютного регулювання постійно зростає.
68231. ЕКОЛОГО-ЕКОНОМІЧНІ ЗАСАДИ УПРАВЛІННЯ ЗЕМЕЛЬНИМИ ВІДНОСИНАМИ 540 KB
  Управління земельними відносинами є одним з найважливіших завдань в економічному середовищі країни що обумовлене сучасною земельною реформою. Фактично в державі не розроблено методології управління земельними відносинами як базису просторового соціальноекономічного розвитку.
68232. Методи та засоби персоніфікації інформаційного наповнення у глобальній системі World Wide Web 1.67 MB
  Позиціонування ІН цей напрям охоплює дослідження повязані з визначенням формуванням та підвищенням ефективності позиції ІН вебсайтів окремих вебсторінок та дописів користувачів WWW І. Пояснюється це тим що вкрай необхідно поліпшити якість величезних обсягів користувацького інформаційного...
68233. ЗНАЧЕННЯ ЕРИТРОПОЕТИНУ В РОЗВИТКУ АНЕМІЧНОГО СИНДРОМУ ПРИ ГОСТРІЙ МІЄЛОЇДНІЙ ЛЕЙКЕМІЇ 224 KB
  У хворих на гостру мієлоїдну лейкемію (ГМЛ) анемія розвивається у патогенезі самого захворювання та прогресує в процесі цитостатичної терапії. Уже в дебюті захворювання анемічний синдром викликає численні патологічні ефекти, асоціюється з погіршенням якості життя, зниженням професійної...