41977

Численное дифференцирование и интегрирование

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Вычислить интеграл по формуле прямоугольников используя для оценки точности двойной просчет при n1= 8 и n2=10. По формуле левых прямоугольников получим I1=h0126.72062243; По формуле правых прямоугольников находим I2=h 6.15576821; Работа 3 Задание: 1 Вычислить интеграл по формуле трапеций с тремя десятичными знаками.

Русский

2013-10-26

1.37 MB

38 чел.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ДВНЗ «КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

імені В. Гетьмана»

КАФEДРА ІHФОРМАТИКИ

                                          

                                    

                                  

                                    

                      

          

Лабоpатоpна pобота №3,4

з дисципліни “Чисельні методи в інформатиці"

на тему: «Численное дифференцирование и интегрирование»

                

                                   

Виконав

Студент 2 куpсу

факультету ІСІТ                                                                                        

2 гpупи

Маштабєй В.С.

Пеpевіpив

Ігнатенко В.М.

Київ 2011

Работа 1

Задание: с помощью интерполяционных формул Ньютона, Гаусса, Стирлинга    и Бесселя найти значение первой и второй производных при данных значениях аргумента для функции, заданной таблично. 

Найти значения первой и второй производной данной функции при х1=3.65; х2=3.87; х3=3; х4=3,04; n=25. Составим диагональную таблицу конечных разностей данной функции.

x

y(x)

∆yi

2yi

3yi

4yi

2.400

3.526

0.256

-0.093

0.028

0.000

2.600

3.782

0.163

-0.065

0.028

-0.001

2.800

3.945

0.098

-0.037

0.027

-0.001

3.000

4.043

0.061

-0.010

0.026

0.000

3.200

4.104

0.051

0.016

0.026

-0.001

3.400

4.155

0.067

0.042

0.025

0.000

3.600

4.222

0.109

0.067

0.025

-0.001

3.800

4.331

0.176

0.092

0.024

0.000

4.000

4.507

0.268

0.116

0.024

-

4.200

4.775

0.384

0.140

-

-

4.400

5.159

0.524

-

-

-

4.600

5.683

-

-

-

-

Выбор полинома осуществляется исходя из требования получения

минимальной величины погрешности интерполяции и определяется величиной t.

  1.  Положим х0=3.6; тогда t=(x-x0)/h=(3.65-3.6)/0.2= 0.25

Если t=(x-x0)/h ≤ 0.25, то используем формулы

Получающимися из формулы Бесселя.

Находим

Y`(3.6)≈ 0.475573;

Y``(3.6) ≈1.20625;

  1.  Положим х0=3,8, тогда t =(x-x0)/h=(3.87-3.8)/0.2= 0.35

Таким образом получаем, что 0,25 ≤ |t| ≤ 0,75. В этом случае используем формулы

Получающимися из формулы Бесселя.

Находим

Y`(3,8) ≈ 0.816573;

Y``(3.8) ≈ 1.893750;

  1.  Положим х0=3.0, тогда t =(x-x0)/h=(3,0-3,0)/0,2=0. Воспользуемся для вычислений формулами

Получающимися из первой интерполяционной формулы Ньютона.

Находим

Y`(3,0)≈ 0.373333;

Y``(3,0) ≈-0.9;

  1.  Положим х0=3,04, тогда t =(x-x0)/h=(3,04-3,0)/0,2= 0.2

Если t=(x-x0)/h ≤ 0.25, то используем формулы

Получающимися из формулы Бесселя.

Находим

Y`(3,04)≈ 0.436408;

Y``(3,04) ≈ 1.127;

Работа 2

Задание: 1) Вычислить интеграл по формулам левых и правых прямоугольников при n=10, оценивая сравнения полученных результатов.

2) Вычислить интеграл по формуле прямоугольников, используя для оценки точности двойной просчет при n1= 8 и n2=10.

1) Для вычисления по формулам левых и правых прямоугольников при n=10 разобьем отрезок интегрирования на 10 частей с шагом h=(b-a)/n=(2.2-1)/10=0.12

Составим таблицу значений подынтегральной функции в точках деления отрезка:

0

1

2.800000

1.673320

1.449138

3.049138

0.548785

1

1.12

3.003520

1.733067

1.509967

3.109967

0.557262

2

1.24

3.230080

1.797242

1.568439

3.168439

0.567233

3

1.36

3.479680

1.865390

1.624808

3.224808

0.578450

4

1.48

3.752320

1.937091

1.679286

3.279286

0.590705

5

1.6

4.048000

2.011964

1.732051

3.332051

0.603822

6

1.72

4.366720

2.089670

1.783255

3.383255

0.617651

7

1.84

4.708480

2.169903

1.833030

3.433030

0.632066

8

1.96

5.073280

2.252394

1.881489

3.481489

0.646963

9

2.08

5.461120

2.336904

1.928730

3.528730

0.662251

10

2.2

5.872000

2.423221

1.974842

3.574842

0.677854

6.005187;

6.134256;

Найдем приближенные значения интеграла. По формуле левых прямоугольников получим

I1=h*0,12*6.005187=0.72062243;

По формуле правых прямоугольников находим

I2=h* 6.134256= 0.73611076;

Эти результаты отличаются уже в сотых долях. За окончательное значение примем полусумму найденных значений, округлив результат до тысячных:

I=( I1+ I2)/2= 0.72836659;

2) Для решения воспользуемся формулой средних прямоугольников

Вычисления выполним дважды при n1= 8 и n2=10 и соответственно при h1=(b-a)/n1=(1-0.6)/8=0,05 и h2=(b-a)/n2=(1-0.6)/10=0,04. Результаты вычислений приведены в таблицах.

0

0.6

0.625000

0.963558

2.124836011

0.283421

1

0.65

0.675000

0.975723

2.103845316

0.313052

2

0.7

0.725000

0.985450

2.082221207

0.343120

3

0.75

0.775000

0.992713

2.059983146

0.373475

4

0.8

0.825000

0.997495

2.037151144

0.403963

5

0.85

0.875000

0.999784

2.013745749

0.434420

6

0.9

0.925000

0.999574

1.989788025

0.464675

7

0.95

0.975000

0.996865

1.965299531

0.494552

 

 

 

 

              

3.110679

Таблица 2

0

0.6

0.620000

0.963558185

2.124836011

0.281154

1

0.64

0.660000

0.973484542

2.108094741

0.304777

2

0.68

0.700000

0.98185353

2.090945627

0.328702

3

0.72

0.740000

0.988651763

2.073398549

0.352852

4

0.76

0.780000

0.993868363

2.055463611

0.37715

5

0.8

0.820000

0.997494987

2.037151144

0.401515

6

0.84

0.860000

0.999525831

2.018471696

0.425863

7

0.88

0.900000

0.999957646

1.999436025

0.450108

8

0.92

0.940000

0.998789743

1.980055096

0.47416

9

0.96

0.980000

0.99602399

1.960340071

0.497926

 

 

 

 

                     

3.894205

I1=h1*0,05*3.110679=0.15553393;

I2=h2*0,04*3.894205=0.15576821;

Значения различаются в тысячных долях, но второе значение точнее второго, потому принимаем I≈0.15576821;

Работа 3

Задание: 1) Вычислить интеграл по формуле трапеций с тремя десятичными знаками.

2) Вычислить интеграл по формуле Симпсона при n=8; оценить погрешность результатов, составив таблицу конечных разностей.

1)  Для достижения заданной степени точности необходимо определить значение n так, чтобы

((b-a)3/12n2)*M2< 0.0005

Здесь а=0,6; b=1,4; M2maxf``(x)│, где f(x)=   

Находим

f`(x)=, f ``(x)=

max[0.6;1.4] f``(x)│< ≈ 1482.489

Положим M2 =1483, тогда неравенство примет вид ((1,4-0,6)3*1483)/12n2 <0.0005, откуда

n2 >63,27, т.е. n>8, возьмем n=10.

Вычисление интеграла производим по формуле

 

Где h=(b-a)/n=(1,4-0,6)/10=0,08, yi=y(xi)=1/; xi=0.6+ih (i=0,1,2,…,10)

Таблица 1

0

0.6

0.36

3.82

1.954482029

0.511645

 

1

0.68

0.4624

5.0488

2.246953493

 

0.445047

2

0.76

0.5776

6.4312

2.535981072

 

0.394325

3

0.84

0.7056

7.9672

2.822622894

 

0.35428

4

0.92

0.8464

9.6568

3.107539219

 

0.321798

5

1

1

11.5

3.391164992

 

0.294884

6

1.08

1.1664

13.4968

3.673799124

 

0.272198

7

1.16

1.3456

15.6472

3.955654181

 

0.252803

8

1.24

1.5376

17.9512

4.236885649

 

0.236022

9

1.32

1.7424

20.4088

4.517609988

 

0.221356

10

1.4

1.96

23.02

4.797916214

0.208424

 

 

 

 

 

 

0.720068

2.792713

Таким образом

I=0,08(0,720068/2 +2,792713)=0,25222

2) Согласно условию n=8, поэтому h=(b-a)/n=(2,8-1,2)/8=0,2. Вычислительная формула имеет вид

Где yi =y(xi)=

xi=1.2+ih (i=0,1…,8)

Вычисление значений функции, а также сложение значений функции, имеющих одинаковые коэффициенты в формуле, производим в табл.2.

Таблица 2

0

1.2

2.44

0.38739

1.4

1.742857

 

 

1

1.4

2.96

0.471292

1.8

 

1.644444444

 

2

1.6

3.56

0.55145

2.2

 

 

1.618181818

3

1.8

4.24

0.627366

2.6

 

1.630769231

 

4

2

5

0.69897

3

 

 

1.666666667

5

2.2

5.84

0.766413

3.4

 

1.717647059

 

6

2.4

6.76

0.829947

3.8

 

 

1.778947368

7

2.6

7.76

0.889862

4.2

 

1.847619048

 

8

2.8

8.84

0.946452

4.6

1.921739

 

 

 

 

 

 

 

3.664596

6.840479782

5.063795853

Следовательно

I=0,02/3*(3.664596+4*6.840479782+2*5.063795853)= 2.7436071≈ 2.7436

Для оценки точности полученного результата составим таблицу конечных разностей функций до разностей четвертого порядка (табл.3).

i

yi

∆ yi

∆2 yi

∆3 yi

∆4 yi

0

1.742857

-0.098413

0.07215

-0.033299891

0.01776

1

1.644444

-0.026263

0.03885

-0.015540016

0.007313

2

1.618182

0.0125874

0.02331

-0.008227067

0.003464

3

1.630769

0.0358974

0.015083

-0.004763039

0.001814

4

1.666667

0.0509804

0.01032

-0.002948546

0.001025

5

1.717647

0.0613003

0.007371

-0.001923099

 

6

1.778947

0.0686717

0.005448

 

 

7

1.847619

0.07412

 

 

 

8

1.921739

 

 

 

 

Так как max│ ∆4yi│= 0,01776, то остаточный член формулы

Rост<≈≈0.000157867;


Работа 4

Задание: Найти приближенное значение интеграла по формуле «трех восьмых», используя для контроля точности вычислений двойной просчет при n1= 9 и n2= 12.

Воспользуемся формулой «трех восьмых», выражающей данный интеграл через суммы значений подынтегральной функции.

  1.  n1= 9; h=(2,9-1,1)/9= 0,2

Запишем вычисления в таблице

i

xi

1+0,4x^2

sqrt(1.1x^2+1.2)

0.7+sqrt(1.1x^2+1.2)

y0,9

y1,2,4,5,7,8

y3,6

0

1.1

1.484

1.590911688

2.290911688

0.647777

 

 

1

1.3

1.676

1.748999714

2.448999714

 

0.684361

 

2

1.5

1.9

1.917028951

2.617028951

 

0.726014

 

3

1.7

2.156

2.092606031

2.792606031

 

 

0.772039

4

1.9

2.444

2.273983289

2.973983289

 

0.821793

 

5

2.1

2.764

2.459878046

3.159878046

 

0.874717

 

6

2.3

3.116

2.64933954

3.34933954

 

 

0.930333

7

2.5

3.5

2.841654448

3.541654448

 

0.988239

 

8

2.7

3.916

3.036280619

3.736280619

 

1.048101

 

9

2.9

4.364

3.232800643

3.932800643

1.109642

 

 

 

 

 

 

 

1.757419

5.143226

1.702371

I1=((3*0.2)/8)()= 4.118367796;

2) n1= 9; h=(2,56-0,4)/12= 0,18

Составим таблицу

i

xi

1+0,4x^2

sqrt(1.1x^2+1.2)

0.7+sqrt(1.1x^2+1.2)

y0,12

y1,2,4,5,7,8,10,11,8

y3,6,9

0

1.1

1.484

1.590911688

2.290911688

0.647777

 

 

1

1.25

1.625

1.708434956

2.408434956

 

0.674712014

 

2

1.4

1.784

1.831938864

2.531938864

 

0.704598371

 

3

1.55

1.961

1.960293345

2.660293345

 

 

0.737137

4

1.7

2.156

2.092606031

2.792606031

 

0.772038725

 

5

1.85

2.369

2.228171896

2.928171896

 

0.809037203

 

6

2

2.6

2.366431913

3.066431913

 

 

0.847891

7

2.15

2.849

2.506940366

3.206940366

 

0.888385712

 

8

2.3

3.116

2.64933954

3.34933954

 

0.930332671

 

9

2.45

3.401

2.793340294

3.493340294

 

0.973567

10

2.6

3.704

2.938707199

3.638707199

 

1.017943956

 

11

2.75

4.025

3.085247154

3.785247154

 

1.063338756

 

12

2.9

4.364

3.232800643

3.932800643

1.109642

 

 

 

 

 

 

 

1.757419

6.860387408

2.558595

I2=(3*0,24/8)*(= 4.118365513;

Полученные результаты совпадают полностью, поэтому принимаем

I ≈4.118367796;


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

4127. Дослідження роботи служб SMTP та POP3 18.25 KB
  Дослідження роботи служб SMTP та POP3 Мета роботи:Ознайомитись з призначенням протоколів SMTP та POP3та поглибити навички у відправленні електронної пошти Хід роботи, Протокол SMTP SMTP (англ. Simple Mail Transfer Protocol - простий проток...
4128. Технологии беспроводных сетей. Канальный уровень протоколов IEEE 802.11 776.5 KB
  Технологии беспроводных сетей. Канальный уровень протоколов IEEE 802.11 Цель работы: познакомится с протоколами и технологиями передачи данных в беспроводных сетях на канальном уровне, получить навыки выбора оборудования для построения беспроводной ...
4129. Работа с одномерными и двумерными массивами 376.5 KB
  Работа с одномерными и двумерными массивами Цель работы: Изучение возможностей разработки приложений и получение практических навыков решения типовых задач с использованием одномерных и двумерных массивов. Порядок выполнения работ Запустить пр...
4130. Дослідження кореляційної та автокореляційної функції прийнятого сигналу 206.5 KB
  Дослідження кореляційної та автокореляційної функції прийнятого сигналу Мета роботи: 1) дослідити основні характеристики кореляційної функції 2) побудувати графіки функцій формування відео- та радіоімпульсу 3) побудувати графіки адитивної суміші д...
4131. Изучение алгоритма цифровой сверки 98 KB
  Изучение алгоритма цифровой сверки Целью работы является изучение алгоритмов цифровой свертки изучение функций MatLab, позволяющих автоматизировать процесс вычисления цифровой свертки получение навыков расчета низкочастотных фильтров с использо...
4132. Визначення концентрації вільних носіїв заряду в напівпровіднику 112.5 KB
  Визначення концентрації вільних носіїв заряду в напівпровіднику Мета роботи. Визначити питому електропровідність та концентрацію вільних носіїв заряду в напівпровідниковому монокристалі з електронною провідністю. Теоретичні відомості. В напівпров...
4133. Вивчення вільних затухаючих коливань математичного маятника 138.5 KB
  Вивчення вільних затухаючих коливань математичного маятника Мета роботи. Вивчити затухаючі коливання математичного маятника i визначити характеристики затухаючих коливань (період затухаючих коливань, логарифмічний декремент затухання, коефіцієнт зат...
4134. Типи зображень по глибині кольору 532 KB
  Типи зображень по глибині кольору Установка глибини кольору необхідна на початку роботи із зображенням і визначає його тип і кількість можливих відтінків тони (кольори). Розглянемо можливості перенесення кольорів і поняття глибини кольору, використо...
4135. Спусковое регенеративное устройство триггер 502 KB
  Триггеры Триггер — это спусковое регенеративное устройство с двумя или более устойчивыми состояниями, переключаемыми в соответствии с сигналом, поступающим на информационные входы. Существует большое количество разновидностей триггеров, к...