41977

Численное дифференцирование и интегрирование

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Вычислить интеграл по формуле прямоугольников используя для оценки точности двойной просчет при n1= 8 и n2=10. По формуле левых прямоугольников получим I1=h0126.72062243; По формуле правых прямоугольников находим I2=h 6.15576821; Работа 3 Задание: 1 Вычислить интеграл по формуле трапеций с тремя десятичными знаками.

Русский

2013-10-26

1.37 MB

37 чел.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ДВНЗ «КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

імені В. Гетьмана»

КАФEДРА ІHФОРМАТИКИ

                                          

                                    

                                  

                                    

                      

          

Лабоpатоpна pобота №3,4

з дисципліни “Чисельні методи в інформатиці"

на тему: «Численное дифференцирование и интегрирование»

                

                                   

Виконав

Студент 2 куpсу

факультету ІСІТ                                                                                        

2 гpупи

Маштабєй В.С.

Пеpевіpив

Ігнатенко В.М.

Київ 2011

Работа 1

Задание: с помощью интерполяционных формул Ньютона, Гаусса, Стирлинга    и Бесселя найти значение первой и второй производных при данных значениях аргумента для функции, заданной таблично. 

Найти значения первой и второй производной данной функции при х1=3.65; х2=3.87; х3=3; х4=3,04; n=25. Составим диагональную таблицу конечных разностей данной функции.

x

y(x)

∆yi

2yi

3yi

4yi

2.400

3.526

0.256

-0.093

0.028

0.000

2.600

3.782

0.163

-0.065

0.028

-0.001

2.800

3.945

0.098

-0.037

0.027

-0.001

3.000

4.043

0.061

-0.010

0.026

0.000

3.200

4.104

0.051

0.016

0.026

-0.001

3.400

4.155

0.067

0.042

0.025

0.000

3.600

4.222

0.109

0.067

0.025

-0.001

3.800

4.331

0.176

0.092

0.024

0.000

4.000

4.507

0.268

0.116

0.024

-

4.200

4.775

0.384

0.140

-

-

4.400

5.159

0.524

-

-

-

4.600

5.683

-

-

-

-

Выбор полинома осуществляется исходя из требования получения

минимальной величины погрешности интерполяции и определяется величиной t.

  1.  Положим х0=3.6; тогда t=(x-x0)/h=(3.65-3.6)/0.2= 0.25

Если t=(x-x0)/h ≤ 0.25, то используем формулы

Получающимися из формулы Бесселя.

Находим

Y`(3.6)≈ 0.475573;

Y``(3.6) ≈1.20625;

  1.  Положим х0=3,8, тогда t =(x-x0)/h=(3.87-3.8)/0.2= 0.35

Таким образом получаем, что 0,25 ≤ |t| ≤ 0,75. В этом случае используем формулы

Получающимися из формулы Бесселя.

Находим

Y`(3,8) ≈ 0.816573;

Y``(3.8) ≈ 1.893750;

  1.  Положим х0=3.0, тогда t =(x-x0)/h=(3,0-3,0)/0,2=0. Воспользуемся для вычислений формулами

Получающимися из первой интерполяционной формулы Ньютона.

Находим

Y`(3,0)≈ 0.373333;

Y``(3,0) ≈-0.9;

  1.  Положим х0=3,04, тогда t =(x-x0)/h=(3,04-3,0)/0,2= 0.2

Если t=(x-x0)/h ≤ 0.25, то используем формулы

Получающимися из формулы Бесселя.

Находим

Y`(3,04)≈ 0.436408;

Y``(3,04) ≈ 1.127;

Работа 2

Задание: 1) Вычислить интеграл по формулам левых и правых прямоугольников при n=10, оценивая сравнения полученных результатов.

2) Вычислить интеграл по формуле прямоугольников, используя для оценки точности двойной просчет при n1= 8 и n2=10.

1) Для вычисления по формулам левых и правых прямоугольников при n=10 разобьем отрезок интегрирования на 10 частей с шагом h=(b-a)/n=(2.2-1)/10=0.12

Составим таблицу значений подынтегральной функции в точках деления отрезка:

0

1

2.800000

1.673320

1.449138

3.049138

0.548785

1

1.12

3.003520

1.733067

1.509967

3.109967

0.557262

2

1.24

3.230080

1.797242

1.568439

3.168439

0.567233

3

1.36

3.479680

1.865390

1.624808

3.224808

0.578450

4

1.48

3.752320

1.937091

1.679286

3.279286

0.590705

5

1.6

4.048000

2.011964

1.732051

3.332051

0.603822

6

1.72

4.366720

2.089670

1.783255

3.383255

0.617651

7

1.84

4.708480

2.169903

1.833030

3.433030

0.632066

8

1.96

5.073280

2.252394

1.881489

3.481489

0.646963

9

2.08

5.461120

2.336904

1.928730

3.528730

0.662251

10

2.2

5.872000

2.423221

1.974842

3.574842

0.677854

6.005187;

6.134256;

Найдем приближенные значения интеграла. По формуле левых прямоугольников получим

I1=h*0,12*6.005187=0.72062243;

По формуле правых прямоугольников находим

I2=h* 6.134256= 0.73611076;

Эти результаты отличаются уже в сотых долях. За окончательное значение примем полусумму найденных значений, округлив результат до тысячных:

I=( I1+ I2)/2= 0.72836659;

2) Для решения воспользуемся формулой средних прямоугольников

Вычисления выполним дважды при n1= 8 и n2=10 и соответственно при h1=(b-a)/n1=(1-0.6)/8=0,05 и h2=(b-a)/n2=(1-0.6)/10=0,04. Результаты вычислений приведены в таблицах.

0

0.6

0.625000

0.963558

2.124836011

0.283421

1

0.65

0.675000

0.975723

2.103845316

0.313052

2

0.7

0.725000

0.985450

2.082221207

0.343120

3

0.75

0.775000

0.992713

2.059983146

0.373475

4

0.8

0.825000

0.997495

2.037151144

0.403963

5

0.85

0.875000

0.999784

2.013745749

0.434420

6

0.9

0.925000

0.999574

1.989788025

0.464675

7

0.95

0.975000

0.996865

1.965299531

0.494552

 

 

 

 

              

3.110679

Таблица 2

0

0.6

0.620000

0.963558185

2.124836011

0.281154

1

0.64

0.660000

0.973484542

2.108094741

0.304777

2

0.68

0.700000

0.98185353

2.090945627

0.328702

3

0.72

0.740000

0.988651763

2.073398549

0.352852

4

0.76

0.780000

0.993868363

2.055463611

0.37715

5

0.8

0.820000

0.997494987

2.037151144

0.401515

6

0.84

0.860000

0.999525831

2.018471696

0.425863

7

0.88

0.900000

0.999957646

1.999436025

0.450108

8

0.92

0.940000

0.998789743

1.980055096

0.47416

9

0.96

0.980000

0.99602399

1.960340071

0.497926

 

 

 

 

                     

3.894205

I1=h1*0,05*3.110679=0.15553393;

I2=h2*0,04*3.894205=0.15576821;

Значения различаются в тысячных долях, но второе значение точнее второго, потому принимаем I≈0.15576821;

Работа 3

Задание: 1) Вычислить интеграл по формуле трапеций с тремя десятичными знаками.

2) Вычислить интеграл по формуле Симпсона при n=8; оценить погрешность результатов, составив таблицу конечных разностей.

1)  Для достижения заданной степени точности необходимо определить значение n так, чтобы

((b-a)3/12n2)*M2< 0.0005

Здесь а=0,6; b=1,4; M2maxf``(x)│, где f(x)=   

Находим

f`(x)=, f ``(x)=

max[0.6;1.4] f``(x)│< ≈ 1482.489

Положим M2 =1483, тогда неравенство примет вид ((1,4-0,6)3*1483)/12n2 <0.0005, откуда

n2 >63,27, т.е. n>8, возьмем n=10.

Вычисление интеграла производим по формуле

 

Где h=(b-a)/n=(1,4-0,6)/10=0,08, yi=y(xi)=1/; xi=0.6+ih (i=0,1,2,…,10)

Таблица 1

0

0.6

0.36

3.82

1.954482029

0.511645

 

1

0.68

0.4624

5.0488

2.246953493

 

0.445047

2

0.76

0.5776

6.4312

2.535981072

 

0.394325

3

0.84

0.7056

7.9672

2.822622894

 

0.35428

4

0.92

0.8464

9.6568

3.107539219

 

0.321798

5

1

1

11.5

3.391164992

 

0.294884

6

1.08

1.1664

13.4968

3.673799124

 

0.272198

7

1.16

1.3456

15.6472

3.955654181

 

0.252803

8

1.24

1.5376

17.9512

4.236885649

 

0.236022

9

1.32

1.7424

20.4088

4.517609988

 

0.221356

10

1.4

1.96

23.02

4.797916214

0.208424

 

 

 

 

 

 

0.720068

2.792713

Таким образом

I=0,08(0,720068/2 +2,792713)=0,25222

2) Согласно условию n=8, поэтому h=(b-a)/n=(2,8-1,2)/8=0,2. Вычислительная формула имеет вид

Где yi =y(xi)=

xi=1.2+ih (i=0,1…,8)

Вычисление значений функции, а также сложение значений функции, имеющих одинаковые коэффициенты в формуле, производим в табл.2.

Таблица 2

0

1.2

2.44

0.38739

1.4

1.742857

 

 

1

1.4

2.96

0.471292

1.8

 

1.644444444

 

2

1.6

3.56

0.55145

2.2

 

 

1.618181818

3

1.8

4.24

0.627366

2.6

 

1.630769231

 

4

2

5

0.69897

3

 

 

1.666666667

5

2.2

5.84

0.766413

3.4

 

1.717647059

 

6

2.4

6.76

0.829947

3.8

 

 

1.778947368

7

2.6

7.76

0.889862

4.2

 

1.847619048

 

8

2.8

8.84

0.946452

4.6

1.921739

 

 

 

 

 

 

 

3.664596

6.840479782

5.063795853

Следовательно

I=0,02/3*(3.664596+4*6.840479782+2*5.063795853)= 2.7436071≈ 2.7436

Для оценки точности полученного результата составим таблицу конечных разностей функций до разностей четвертого порядка (табл.3).

i

yi

∆ yi

∆2 yi

∆3 yi

∆4 yi

0

1.742857

-0.098413

0.07215

-0.033299891

0.01776

1

1.644444

-0.026263

0.03885

-0.015540016

0.007313

2

1.618182

0.0125874

0.02331

-0.008227067

0.003464

3

1.630769

0.0358974

0.015083

-0.004763039

0.001814

4

1.666667

0.0509804

0.01032

-0.002948546

0.001025

5

1.717647

0.0613003

0.007371

-0.001923099

 

6

1.778947

0.0686717

0.005448

 

 

7

1.847619

0.07412

 

 

 

8

1.921739

 

 

 

 

Так как max│ ∆4yi│= 0,01776, то остаточный член формулы

Rост<≈≈0.000157867;


Работа 4

Задание: Найти приближенное значение интеграла по формуле «трех восьмых», используя для контроля точности вычислений двойной просчет при n1= 9 и n2= 12.

Воспользуемся формулой «трех восьмых», выражающей данный интеграл через суммы значений подынтегральной функции.

  1.  n1= 9; h=(2,9-1,1)/9= 0,2

Запишем вычисления в таблице

i

xi

1+0,4x^2

sqrt(1.1x^2+1.2)

0.7+sqrt(1.1x^2+1.2)

y0,9

y1,2,4,5,7,8

y3,6

0

1.1

1.484

1.590911688

2.290911688

0.647777

 

 

1

1.3

1.676

1.748999714

2.448999714

 

0.684361

 

2

1.5

1.9

1.917028951

2.617028951

 

0.726014

 

3

1.7

2.156

2.092606031

2.792606031

 

 

0.772039

4

1.9

2.444

2.273983289

2.973983289

 

0.821793

 

5

2.1

2.764

2.459878046

3.159878046

 

0.874717

 

6

2.3

3.116

2.64933954

3.34933954

 

 

0.930333

7

2.5

3.5

2.841654448

3.541654448

 

0.988239

 

8

2.7

3.916

3.036280619

3.736280619

 

1.048101

 

9

2.9

4.364

3.232800643

3.932800643

1.109642

 

 

 

 

 

 

 

1.757419

5.143226

1.702371

I1=((3*0.2)/8)()= 4.118367796;

2) n1= 9; h=(2,56-0,4)/12= 0,18

Составим таблицу

i

xi

1+0,4x^2

sqrt(1.1x^2+1.2)

0.7+sqrt(1.1x^2+1.2)

y0,12

y1,2,4,5,7,8,10,11,8

y3,6,9

0

1.1

1.484

1.590911688

2.290911688

0.647777

 

 

1

1.25

1.625

1.708434956

2.408434956

 

0.674712014

 

2

1.4

1.784

1.831938864

2.531938864

 

0.704598371

 

3

1.55

1.961

1.960293345

2.660293345

 

 

0.737137

4

1.7

2.156

2.092606031

2.792606031

 

0.772038725

 

5

1.85

2.369

2.228171896

2.928171896

 

0.809037203

 

6

2

2.6

2.366431913

3.066431913

 

 

0.847891

7

2.15

2.849

2.506940366

3.206940366

 

0.888385712

 

8

2.3

3.116

2.64933954

3.34933954

 

0.930332671

 

9

2.45

3.401

2.793340294

3.493340294

 

0.973567

10

2.6

3.704

2.938707199

3.638707199

 

1.017943956

 

11

2.75

4.025

3.085247154

3.785247154

 

1.063338756

 

12

2.9

4.364

3.232800643

3.932800643

1.109642

 

 

 

 

 

 

 

1.757419

6.860387408

2.558595

I2=(3*0,24/8)*(= 4.118365513;

Полученные результаты совпадают полностью, поэтому принимаем

I ≈4.118367796;


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24450. Система М/М/1 218 KB
  По способу передачи информации: параллельные последовательные и параллельнопоследовательные. По режиму передачи информации: симплексный режим передача только в одном направлении; дуплексный режим двусторонняя одновременная передача; полудуплексный режим двусторонняя передача но в разные моменты времени. Параллельные интерфейсы обеспечивают высокую пропускную способность которая измеряется количеством битов информации в единицу времени обычно в секунду. Тип передаваемой информации указывается сообщается приемному устройству...
24451. Система М/М/с. 108.5 KB
  Поток поступления заявок простейший. Время обслуживания заявок удовлетворяет Пуассоновскому закону. Вычислим другие показатели: Среднее число заявок находящихся в системе Среднее число заявок находящихся в очереди Не стационарный режим Рассмотри систему дифференциальных уравнений которые у нас уже записанысистема мм1.
24452. Классификация систем массового обслуживания 135 KB
  Принято классифицировать системы набором букв и цифр: A B C k n A указывает на закон распределения времени между соседними поступившими заявками B указывает на за кон распределения времени обслуживания заявок C количество обслуживающих приборов k мощность источника заявок n объем буфера M на первом месте поток простейший M на втором месте экспоненциальное время обслуживания G на первом месте произвольный закон потока G на втором месте произвольное время обслуживания D на первом месте детерминированный поток D на...
24453. Структурная функция. Представление систем при помощи структурных функций 152.5 KB
  Схема обработки прерываний в реальном режиме работы процессора. Использование механизма прерываний позволяет обеспечить наиболее эффективное управление не только внешними устройствами но и программами. векторы прерываний МП дел.на 0переполние переход в режим трасировки векторы прерываний микроконтроллера клава гибк.
24454. Граф состояний систем и вычисление показателей надежности (невосстанавливаемые элементы) 237 KB
  2 1 4 3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.
24455. Граф состояний систем и вычисление показателей надежности (восстанавливаемые элементы) 143.5 KB
  интенсивность отказа интенсивность восстановления период восстановления начальные условия или Выполним преобразование Лапласа: Используем теорему о вычетах: это вероятность нахождения в первом состоянии вероятность готовности системы стационарный коэффициент готовности системы Вычисление показателей надежности и готовности системы Пусть имеется системы состоящая из элементов. Вероятность безотказной работы Для вычисления строим граф состояний системы. Из анализа функционирования системы записываем начальные условия. ...
24456. Характеристики моделей памяти для DOS- и Windows- программах. Начальная загрузка сегментных регистров в зависимости от модели памяти 4.44 MB
  Характеристики моделей памяти для DOS и Windows программах. Начальная загрузка сегментных регистров в зависимости от модели памяти. Модели памяти DOS: Модель памяти Tiny. Эта модель памяти используется при создании загрузочных модулей с расширением имени com.
24457. Химический состав почв 83 KB
  Почва является самой верхней частью коры выветривания литосферы и поэтому в общих чертах наследует ее химический состав. Однако, представляя собой одновременно продукт воздействия на литосферу живого вещества, почва в содержании ряда элементов приобретает существенные отличия.
24458. Метод обратных функций 69 KB
  Предположим что случайная величина определенная на интервале [a ; b] имеет плотность распределения . Зная можно вычислить функцию распределения. Теорема Случайная величина удовлетворяющая уравнению имеет плотность распределения . Замечание отсюда название Доказательство Так как функция распределения это строго возрастающая функция на интервале [a ; b] то она должна удовлетворять условию .