41977

Численное дифференцирование и интегрирование

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Вычислить интеграл по формуле прямоугольников используя для оценки точности двойной просчет при n1= 8 и n2=10. По формуле левых прямоугольников получим I1=h0126.72062243; По формуле правых прямоугольников находим I2=h 6.15576821; Работа 3 Задание: 1 Вычислить интеграл по формуле трапеций с тремя десятичными знаками.

Русский

2013-10-26

1.37 MB

40 чел.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ДВНЗ «КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

імені В. Гетьмана»

КАФEДРА ІHФОРМАТИКИ

                                          

                                    

                                  

                                    

                      

          

Лабоpатоpна pобота №3,4

з дисципліни “Чисельні методи в інформатиці"

на тему: «Численное дифференцирование и интегрирование»

                

                                   

Виконав

Студент 2 куpсу

факультету ІСІТ                                                                                        

2 гpупи

Маштабєй В.С.

Пеpевіpив

Ігнатенко В.М.

Київ 2011

Работа 1

Задание: с помощью интерполяционных формул Ньютона, Гаусса, Стирлинга    и Бесселя найти значение первой и второй производных при данных значениях аргумента для функции, заданной таблично. 

Найти значения первой и второй производной данной функции при х1=3.65; х2=3.87; х3=3; х4=3,04; n=25. Составим диагональную таблицу конечных разностей данной функции.

x

y(x)

∆yi

2yi

3yi

4yi

2.400

3.526

0.256

-0.093

0.028

0.000

2.600

3.782

0.163

-0.065

0.028

-0.001

2.800

3.945

0.098

-0.037

0.027

-0.001

3.000

4.043

0.061

-0.010

0.026

0.000

3.200

4.104

0.051

0.016

0.026

-0.001

3.400

4.155

0.067

0.042

0.025

0.000

3.600

4.222

0.109

0.067

0.025

-0.001

3.800

4.331

0.176

0.092

0.024

0.000

4.000

4.507

0.268

0.116

0.024

-

4.200

4.775

0.384

0.140

-

-

4.400

5.159

0.524

-

-

-

4.600

5.683

-

-

-

-

Выбор полинома осуществляется исходя из требования получения

минимальной величины погрешности интерполяции и определяется величиной t.

  1.  Положим х0=3.6; тогда t=(x-x0)/h=(3.65-3.6)/0.2= 0.25

Если t=(x-x0)/h ≤ 0.25, то используем формулы

Получающимися из формулы Бесселя.

Находим

Y`(3.6)≈ 0.475573;

Y``(3.6) ≈1.20625;

  1.  Положим х0=3,8, тогда t =(x-x0)/h=(3.87-3.8)/0.2= 0.35

Таким образом получаем, что 0,25 ≤ |t| ≤ 0,75. В этом случае используем формулы

Получающимися из формулы Бесселя.

Находим

Y`(3,8) ≈ 0.816573;

Y``(3.8) ≈ 1.893750;

  1.  Положим х0=3.0, тогда t =(x-x0)/h=(3,0-3,0)/0,2=0. Воспользуемся для вычислений формулами

Получающимися из первой интерполяционной формулы Ньютона.

Находим

Y`(3,0)≈ 0.373333;

Y``(3,0) ≈-0.9;

  1.  Положим х0=3,04, тогда t =(x-x0)/h=(3,04-3,0)/0,2= 0.2

Если t=(x-x0)/h ≤ 0.25, то используем формулы

Получающимися из формулы Бесселя.

Находим

Y`(3,04)≈ 0.436408;

Y``(3,04) ≈ 1.127;

Работа 2

Задание: 1) Вычислить интеграл по формулам левых и правых прямоугольников при n=10, оценивая сравнения полученных результатов.

2) Вычислить интеграл по формуле прямоугольников, используя для оценки точности двойной просчет при n1= 8 и n2=10.

1) Для вычисления по формулам левых и правых прямоугольников при n=10 разобьем отрезок интегрирования на 10 частей с шагом h=(b-a)/n=(2.2-1)/10=0.12

Составим таблицу значений подынтегральной функции в точках деления отрезка:

0

1

2.800000

1.673320

1.449138

3.049138

0.548785

1

1.12

3.003520

1.733067

1.509967

3.109967

0.557262

2

1.24

3.230080

1.797242

1.568439

3.168439

0.567233

3

1.36

3.479680

1.865390

1.624808

3.224808

0.578450

4

1.48

3.752320

1.937091

1.679286

3.279286

0.590705

5

1.6

4.048000

2.011964

1.732051

3.332051

0.603822

6

1.72

4.366720

2.089670

1.783255

3.383255

0.617651

7

1.84

4.708480

2.169903

1.833030

3.433030

0.632066

8

1.96

5.073280

2.252394

1.881489

3.481489

0.646963

9

2.08

5.461120

2.336904

1.928730

3.528730

0.662251

10

2.2

5.872000

2.423221

1.974842

3.574842

0.677854

6.005187;

6.134256;

Найдем приближенные значения интеграла. По формуле левых прямоугольников получим

I1=h*0,12*6.005187=0.72062243;

По формуле правых прямоугольников находим

I2=h* 6.134256= 0.73611076;

Эти результаты отличаются уже в сотых долях. За окончательное значение примем полусумму найденных значений, округлив результат до тысячных:

I=( I1+ I2)/2= 0.72836659;

2) Для решения воспользуемся формулой средних прямоугольников

Вычисления выполним дважды при n1= 8 и n2=10 и соответственно при h1=(b-a)/n1=(1-0.6)/8=0,05 и h2=(b-a)/n2=(1-0.6)/10=0,04. Результаты вычислений приведены в таблицах.

0

0.6

0.625000

0.963558

2.124836011

0.283421

1

0.65

0.675000

0.975723

2.103845316

0.313052

2

0.7

0.725000

0.985450

2.082221207

0.343120

3

0.75

0.775000

0.992713

2.059983146

0.373475

4

0.8

0.825000

0.997495

2.037151144

0.403963

5

0.85

0.875000

0.999784

2.013745749

0.434420

6

0.9

0.925000

0.999574

1.989788025

0.464675

7

0.95

0.975000

0.996865

1.965299531

0.494552

 

 

 

 

              

3.110679

Таблица 2

0

0.6

0.620000

0.963558185

2.124836011

0.281154

1

0.64

0.660000

0.973484542

2.108094741

0.304777

2

0.68

0.700000

0.98185353

2.090945627

0.328702

3

0.72

0.740000

0.988651763

2.073398549

0.352852

4

0.76

0.780000

0.993868363

2.055463611

0.37715

5

0.8

0.820000

0.997494987

2.037151144

0.401515

6

0.84

0.860000

0.999525831

2.018471696

0.425863

7

0.88

0.900000

0.999957646

1.999436025

0.450108

8

0.92

0.940000

0.998789743

1.980055096

0.47416

9

0.96

0.980000

0.99602399

1.960340071

0.497926

 

 

 

 

                     

3.894205

I1=h1*0,05*3.110679=0.15553393;

I2=h2*0,04*3.894205=0.15576821;

Значения различаются в тысячных долях, но второе значение точнее второго, потому принимаем I≈0.15576821;

Работа 3

Задание: 1) Вычислить интеграл по формуле трапеций с тремя десятичными знаками.

2) Вычислить интеграл по формуле Симпсона при n=8; оценить погрешность результатов, составив таблицу конечных разностей.

1)  Для достижения заданной степени точности необходимо определить значение n так, чтобы

((b-a)3/12n2)*M2< 0.0005

Здесь а=0,6; b=1,4; M2maxf``(x)│, где f(x)=   

Находим

f`(x)=, f ``(x)=

max[0.6;1.4] f``(x)│< ≈ 1482.489

Положим M2 =1483, тогда неравенство примет вид ((1,4-0,6)3*1483)/12n2 <0.0005, откуда

n2 >63,27, т.е. n>8, возьмем n=10.

Вычисление интеграла производим по формуле

 

Где h=(b-a)/n=(1,4-0,6)/10=0,08, yi=y(xi)=1/; xi=0.6+ih (i=0,1,2,…,10)

Таблица 1

0

0.6

0.36

3.82

1.954482029

0.511645

 

1

0.68

0.4624

5.0488

2.246953493

 

0.445047

2

0.76

0.5776

6.4312

2.535981072

 

0.394325

3

0.84

0.7056

7.9672

2.822622894

 

0.35428

4

0.92

0.8464

9.6568

3.107539219

 

0.321798

5

1

1

11.5

3.391164992

 

0.294884

6

1.08

1.1664

13.4968

3.673799124

 

0.272198

7

1.16

1.3456

15.6472

3.955654181

 

0.252803

8

1.24

1.5376

17.9512

4.236885649

 

0.236022

9

1.32

1.7424

20.4088

4.517609988

 

0.221356

10

1.4

1.96

23.02

4.797916214

0.208424

 

 

 

 

 

 

0.720068

2.792713

Таким образом

I=0,08(0,720068/2 +2,792713)=0,25222

2) Согласно условию n=8, поэтому h=(b-a)/n=(2,8-1,2)/8=0,2. Вычислительная формула имеет вид

Где yi =y(xi)=

xi=1.2+ih (i=0,1…,8)

Вычисление значений функции, а также сложение значений функции, имеющих одинаковые коэффициенты в формуле, производим в табл.2.

Таблица 2

0

1.2

2.44

0.38739

1.4

1.742857

 

 

1

1.4

2.96

0.471292

1.8

 

1.644444444

 

2

1.6

3.56

0.55145

2.2

 

 

1.618181818

3

1.8

4.24

0.627366

2.6

 

1.630769231

 

4

2

5

0.69897

3

 

 

1.666666667

5

2.2

5.84

0.766413

3.4

 

1.717647059

 

6

2.4

6.76

0.829947

3.8

 

 

1.778947368

7

2.6

7.76

0.889862

4.2

 

1.847619048

 

8

2.8

8.84

0.946452

4.6

1.921739

 

 

 

 

 

 

 

3.664596

6.840479782

5.063795853

Следовательно

I=0,02/3*(3.664596+4*6.840479782+2*5.063795853)= 2.7436071≈ 2.7436

Для оценки точности полученного результата составим таблицу конечных разностей функций до разностей четвертого порядка (табл.3).

i

yi

∆ yi

∆2 yi

∆3 yi

∆4 yi

0

1.742857

-0.098413

0.07215

-0.033299891

0.01776

1

1.644444

-0.026263

0.03885

-0.015540016

0.007313

2

1.618182

0.0125874

0.02331

-0.008227067

0.003464

3

1.630769

0.0358974

0.015083

-0.004763039

0.001814

4

1.666667

0.0509804

0.01032

-0.002948546

0.001025

5

1.717647

0.0613003

0.007371

-0.001923099

 

6

1.778947

0.0686717

0.005448

 

 

7

1.847619

0.07412

 

 

 

8

1.921739

 

 

 

 

Так как max│ ∆4yi│= 0,01776, то остаточный член формулы

Rост<≈≈0.000157867;


Работа 4

Задание: Найти приближенное значение интеграла по формуле «трех восьмых», используя для контроля точности вычислений двойной просчет при n1= 9 и n2= 12.

Воспользуемся формулой «трех восьмых», выражающей данный интеграл через суммы значений подынтегральной функции.

  1.  n1= 9; h=(2,9-1,1)/9= 0,2

Запишем вычисления в таблице

i

xi

1+0,4x^2

sqrt(1.1x^2+1.2)

0.7+sqrt(1.1x^2+1.2)

y0,9

y1,2,4,5,7,8

y3,6

0

1.1

1.484

1.590911688

2.290911688

0.647777

 

 

1

1.3

1.676

1.748999714

2.448999714

 

0.684361

 

2

1.5

1.9

1.917028951

2.617028951

 

0.726014

 

3

1.7

2.156

2.092606031

2.792606031

 

 

0.772039

4

1.9

2.444

2.273983289

2.973983289

 

0.821793

 

5

2.1

2.764

2.459878046

3.159878046

 

0.874717

 

6

2.3

3.116

2.64933954

3.34933954

 

 

0.930333

7

2.5

3.5

2.841654448

3.541654448

 

0.988239

 

8

2.7

3.916

3.036280619

3.736280619

 

1.048101

 

9

2.9

4.364

3.232800643

3.932800643

1.109642

 

 

 

 

 

 

 

1.757419

5.143226

1.702371

I1=((3*0.2)/8)()= 4.118367796;

2) n1= 9; h=(2,56-0,4)/12= 0,18

Составим таблицу

i

xi

1+0,4x^2

sqrt(1.1x^2+1.2)

0.7+sqrt(1.1x^2+1.2)

y0,12

y1,2,4,5,7,8,10,11,8

y3,6,9

0

1.1

1.484

1.590911688

2.290911688

0.647777

 

 

1

1.25

1.625

1.708434956

2.408434956

 

0.674712014

 

2

1.4

1.784

1.831938864

2.531938864

 

0.704598371

 

3

1.55

1.961

1.960293345

2.660293345

 

 

0.737137

4

1.7

2.156

2.092606031

2.792606031

 

0.772038725

 

5

1.85

2.369

2.228171896

2.928171896

 

0.809037203

 

6

2

2.6

2.366431913

3.066431913

 

 

0.847891

7

2.15

2.849

2.506940366

3.206940366

 

0.888385712

 

8

2.3

3.116

2.64933954

3.34933954

 

0.930332671

 

9

2.45

3.401

2.793340294

3.493340294

 

0.973567

10

2.6

3.704

2.938707199

3.638707199

 

1.017943956

 

11

2.75

4.025

3.085247154

3.785247154

 

1.063338756

 

12

2.9

4.364

3.232800643

3.932800643

1.109642

 

 

 

 

 

 

 

1.757419

6.860387408

2.558595

I2=(3*0,24/8)*(= 4.118365513;

Полученные результаты совпадают полностью, поэтому принимаем

I ≈4.118367796;


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

64520. ОБМЕН ВЕЩЕСТВ И ЭНЕРГИИ В КЛЕТКЕ 253.64 KB
  Энергетический обмен диссимиляция катаболизм совокупность реакций расщепления органических соединений сопровождающихся выделением энергии. Питание процесс потребления энергии и веществ.
64521. Основные этапы становления дипломатических школ 32.5 KB
  В Средневековье не мог существовать институт светского суверенитета дипломатия не имела в своем распоряжении постоянного дипломатического представительства послы в этой системе направлялись к другому правителю по конкретному случаю. Начался бурный расцвет светского права.
64522. Предмет и основные понятия информатики 15.4 KB
  Информатика это комплексная техническая наука которая систематизирует приемы создания сохранения воспроизведения обработки и передачи данных средствами вычислительной техники а также принципы функционирования этих средств и методы управления ними.
64524. Предмет и содержание дисциплины «Охраны труда» 30 KB
  В соответствии с ТК РБ охрана труда это система обеспечения безопасности жизни и здоровья работников в процессе трудовой деятельности включающая правовые социально-экономические организационно-технические гигиенических и лечебно-профилактические мероприятия и средства.
64526. Российское многонациональное государство – империя особого типа 18.86 KB
  Но для того чтобы понять чем Российская империя отличалась от других империй необходимо понять что такое империя западного тип и что такое империи вообще Итак: империя конгломерат народов образующих политическую экономическую и культурную систему где ведущая роль...
64527. Онтологическая проблема 30.9 KB
  Откуда возникло живое из неживого Откуда возникло сознание из чего Очень часто эту проблему интерпретируют как психофизиологическую. Как сознание можно вывести из физиологии Физиология некий автомат. И вдруг у этого автомата появляется сознание.
64528. Теория и методика обучения праву 61 KB
  Цель: состоит в предметном ознакомлении студентов с теоретическими и методологическими основами а также с практическими формами и приемами различных методик правового обучения. Задачи: освоение теоретических основ обучения праву различных категорий населения прежде...