41977

Численное дифференцирование и интегрирование

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Вычислить интеграл по формуле прямоугольников используя для оценки точности двойной просчет при n1= 8 и n2=10. По формуле левых прямоугольников получим I1=h0126.72062243; По формуле правых прямоугольников находим I2=h 6.15576821; Работа 3 Задание: 1 Вычислить интеграл по формуле трапеций с тремя десятичными знаками.

Русский

2013-10-26

1.37 MB

42 чел.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ДВНЗ «КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

імені В. Гетьмана»

КАФEДРА ІHФОРМАТИКИ

                                          

                                    

                                  

                                    

                      

          

Лабоpатоpна pобота №3,4

з дисципліни “Чисельні методи в інформатиці"

на тему: «Численное дифференцирование и интегрирование»

                

                                   

Виконав

Студент 2 куpсу

факультету ІСІТ                                                                                        

2 гpупи

Маштабєй В.С.

Пеpевіpив

Ігнатенко В.М.

Київ 2011

Работа 1

Задание: с помощью интерполяционных формул Ньютона, Гаусса, Стирлинга    и Бесселя найти значение первой и второй производных при данных значениях аргумента для функции, заданной таблично. 

Найти значения первой и второй производной данной функции при х1=3.65; х2=3.87; х3=3; х4=3,04; n=25. Составим диагональную таблицу конечных разностей данной функции.

x

y(x)

∆yi

2yi

3yi

4yi

2.400

3.526

0.256

-0.093

0.028

0.000

2.600

3.782

0.163

-0.065

0.028

-0.001

2.800

3.945

0.098

-0.037

0.027

-0.001

3.000

4.043

0.061

-0.010

0.026

0.000

3.200

4.104

0.051

0.016

0.026

-0.001

3.400

4.155

0.067

0.042

0.025

0.000

3.600

4.222

0.109

0.067

0.025

-0.001

3.800

4.331

0.176

0.092

0.024

0.000

4.000

4.507

0.268

0.116

0.024

-

4.200

4.775

0.384

0.140

-

-

4.400

5.159

0.524

-

-

-

4.600

5.683

-

-

-

-

Выбор полинома осуществляется исходя из требования получения

минимальной величины погрешности интерполяции и определяется величиной t.

  1.  Положим х0=3.6; тогда t=(x-x0)/h=(3.65-3.6)/0.2= 0.25

Если t=(x-x0)/h ≤ 0.25, то используем формулы

Получающимися из формулы Бесселя.

Находим

Y`(3.6)≈ 0.475573;

Y``(3.6) ≈1.20625;

  1.  Положим х0=3,8, тогда t =(x-x0)/h=(3.87-3.8)/0.2= 0.35

Таким образом получаем, что 0,25 ≤ |t| ≤ 0,75. В этом случае используем формулы

Получающимися из формулы Бесселя.

Находим

Y`(3,8) ≈ 0.816573;

Y``(3.8) ≈ 1.893750;

  1.  Положим х0=3.0, тогда t =(x-x0)/h=(3,0-3,0)/0,2=0. Воспользуемся для вычислений формулами

Получающимися из первой интерполяционной формулы Ньютона.

Находим

Y`(3,0)≈ 0.373333;

Y``(3,0) ≈-0.9;

  1.  Положим х0=3,04, тогда t =(x-x0)/h=(3,04-3,0)/0,2= 0.2

Если t=(x-x0)/h ≤ 0.25, то используем формулы

Получающимися из формулы Бесселя.

Находим

Y`(3,04)≈ 0.436408;

Y``(3,04) ≈ 1.127;

Работа 2

Задание: 1) Вычислить интеграл по формулам левых и правых прямоугольников при n=10, оценивая сравнения полученных результатов.

2) Вычислить интеграл по формуле прямоугольников, используя для оценки точности двойной просчет при n1= 8 и n2=10.

1) Для вычисления по формулам левых и правых прямоугольников при n=10 разобьем отрезок интегрирования на 10 частей с шагом h=(b-a)/n=(2.2-1)/10=0.12

Составим таблицу значений подынтегральной функции в точках деления отрезка:

0

1

2.800000

1.673320

1.449138

3.049138

0.548785

1

1.12

3.003520

1.733067

1.509967

3.109967

0.557262

2

1.24

3.230080

1.797242

1.568439

3.168439

0.567233

3

1.36

3.479680

1.865390

1.624808

3.224808

0.578450

4

1.48

3.752320

1.937091

1.679286

3.279286

0.590705

5

1.6

4.048000

2.011964

1.732051

3.332051

0.603822

6

1.72

4.366720

2.089670

1.783255

3.383255

0.617651

7

1.84

4.708480

2.169903

1.833030

3.433030

0.632066

8

1.96

5.073280

2.252394

1.881489

3.481489

0.646963

9

2.08

5.461120

2.336904

1.928730

3.528730

0.662251

10

2.2

5.872000

2.423221

1.974842

3.574842

0.677854

6.005187;

6.134256;

Найдем приближенные значения интеграла. По формуле левых прямоугольников получим

I1=h*0,12*6.005187=0.72062243;

По формуле правых прямоугольников находим

I2=h* 6.134256= 0.73611076;

Эти результаты отличаются уже в сотых долях. За окончательное значение примем полусумму найденных значений, округлив результат до тысячных:

I=( I1+ I2)/2= 0.72836659;

2) Для решения воспользуемся формулой средних прямоугольников

Вычисления выполним дважды при n1= 8 и n2=10 и соответственно при h1=(b-a)/n1=(1-0.6)/8=0,05 и h2=(b-a)/n2=(1-0.6)/10=0,04. Результаты вычислений приведены в таблицах.

0

0.6

0.625000

0.963558

2.124836011

0.283421

1

0.65

0.675000

0.975723

2.103845316

0.313052

2

0.7

0.725000

0.985450

2.082221207

0.343120

3

0.75

0.775000

0.992713

2.059983146

0.373475

4

0.8

0.825000

0.997495

2.037151144

0.403963

5

0.85

0.875000

0.999784

2.013745749

0.434420

6

0.9

0.925000

0.999574

1.989788025

0.464675

7

0.95

0.975000

0.996865

1.965299531

0.494552

 

 

 

 

              

3.110679

Таблица 2

0

0.6

0.620000

0.963558185

2.124836011

0.281154

1

0.64

0.660000

0.973484542

2.108094741

0.304777

2

0.68

0.700000

0.98185353

2.090945627

0.328702

3

0.72

0.740000

0.988651763

2.073398549

0.352852

4

0.76

0.780000

0.993868363

2.055463611

0.37715

5

0.8

0.820000

0.997494987

2.037151144

0.401515

6

0.84

0.860000

0.999525831

2.018471696

0.425863

7

0.88

0.900000

0.999957646

1.999436025

0.450108

8

0.92

0.940000

0.998789743

1.980055096

0.47416

9

0.96

0.980000

0.99602399

1.960340071

0.497926

 

 

 

 

                     

3.894205

I1=h1*0,05*3.110679=0.15553393;

I2=h2*0,04*3.894205=0.15576821;

Значения различаются в тысячных долях, но второе значение точнее второго, потому принимаем I≈0.15576821;

Работа 3

Задание: 1) Вычислить интеграл по формуле трапеций с тремя десятичными знаками.

2) Вычислить интеграл по формуле Симпсона при n=8; оценить погрешность результатов, составив таблицу конечных разностей.

1)  Для достижения заданной степени точности необходимо определить значение n так, чтобы

((b-a)3/12n2)*M2< 0.0005

Здесь а=0,6; b=1,4; M2maxf``(x)│, где f(x)=   

Находим

f`(x)=, f ``(x)=

max[0.6;1.4] f``(x)│< ≈ 1482.489

Положим M2 =1483, тогда неравенство примет вид ((1,4-0,6)3*1483)/12n2 <0.0005, откуда

n2 >63,27, т.е. n>8, возьмем n=10.

Вычисление интеграла производим по формуле

 

Где h=(b-a)/n=(1,4-0,6)/10=0,08, yi=y(xi)=1/; xi=0.6+ih (i=0,1,2,…,10)

Таблица 1

0

0.6

0.36

3.82

1.954482029

0.511645

 

1

0.68

0.4624

5.0488

2.246953493

 

0.445047

2

0.76

0.5776

6.4312

2.535981072

 

0.394325

3

0.84

0.7056

7.9672

2.822622894

 

0.35428

4

0.92

0.8464

9.6568

3.107539219

 

0.321798

5

1

1

11.5

3.391164992

 

0.294884

6

1.08

1.1664

13.4968

3.673799124

 

0.272198

7

1.16

1.3456

15.6472

3.955654181

 

0.252803

8

1.24

1.5376

17.9512

4.236885649

 

0.236022

9

1.32

1.7424

20.4088

4.517609988

 

0.221356

10

1.4

1.96

23.02

4.797916214

0.208424

 

 

 

 

 

 

0.720068

2.792713

Таким образом

I=0,08(0,720068/2 +2,792713)=0,25222

2) Согласно условию n=8, поэтому h=(b-a)/n=(2,8-1,2)/8=0,2. Вычислительная формула имеет вид

Где yi =y(xi)=

xi=1.2+ih (i=0,1…,8)

Вычисление значений функции, а также сложение значений функции, имеющих одинаковые коэффициенты в формуле, производим в табл.2.

Таблица 2

0

1.2

2.44

0.38739

1.4

1.742857

 

 

1

1.4

2.96

0.471292

1.8

 

1.644444444

 

2

1.6

3.56

0.55145

2.2

 

 

1.618181818

3

1.8

4.24

0.627366

2.6

 

1.630769231

 

4

2

5

0.69897

3

 

 

1.666666667

5

2.2

5.84

0.766413

3.4

 

1.717647059

 

6

2.4

6.76

0.829947

3.8

 

 

1.778947368

7

2.6

7.76

0.889862

4.2

 

1.847619048

 

8

2.8

8.84

0.946452

4.6

1.921739

 

 

 

 

 

 

 

3.664596

6.840479782

5.063795853

Следовательно

I=0,02/3*(3.664596+4*6.840479782+2*5.063795853)= 2.7436071≈ 2.7436

Для оценки точности полученного результата составим таблицу конечных разностей функций до разностей четвертого порядка (табл.3).

i

yi

∆ yi

∆2 yi

∆3 yi

∆4 yi

0

1.742857

-0.098413

0.07215

-0.033299891

0.01776

1

1.644444

-0.026263

0.03885

-0.015540016

0.007313

2

1.618182

0.0125874

0.02331

-0.008227067

0.003464

3

1.630769

0.0358974

0.015083

-0.004763039

0.001814

4

1.666667

0.0509804

0.01032

-0.002948546

0.001025

5

1.717647

0.0613003

0.007371

-0.001923099

 

6

1.778947

0.0686717

0.005448

 

 

7

1.847619

0.07412

 

 

 

8

1.921739

 

 

 

 

Так как max│ ∆4yi│= 0,01776, то остаточный член формулы

Rост<≈≈0.000157867;


Работа 4

Задание: Найти приближенное значение интеграла по формуле «трех восьмых», используя для контроля точности вычислений двойной просчет при n1= 9 и n2= 12.

Воспользуемся формулой «трех восьмых», выражающей данный интеграл через суммы значений подынтегральной функции.

  1.  n1= 9; h=(2,9-1,1)/9= 0,2

Запишем вычисления в таблице

i

xi

1+0,4x^2

sqrt(1.1x^2+1.2)

0.7+sqrt(1.1x^2+1.2)

y0,9

y1,2,4,5,7,8

y3,6

0

1.1

1.484

1.590911688

2.290911688

0.647777

 

 

1

1.3

1.676

1.748999714

2.448999714

 

0.684361

 

2

1.5

1.9

1.917028951

2.617028951

 

0.726014

 

3

1.7

2.156

2.092606031

2.792606031

 

 

0.772039

4

1.9

2.444

2.273983289

2.973983289

 

0.821793

 

5

2.1

2.764

2.459878046

3.159878046

 

0.874717

 

6

2.3

3.116

2.64933954

3.34933954

 

 

0.930333

7

2.5

3.5

2.841654448

3.541654448

 

0.988239

 

8

2.7

3.916

3.036280619

3.736280619

 

1.048101

 

9

2.9

4.364

3.232800643

3.932800643

1.109642

 

 

 

 

 

 

 

1.757419

5.143226

1.702371

I1=((3*0.2)/8)()= 4.118367796;

2) n1= 9; h=(2,56-0,4)/12= 0,18

Составим таблицу

i

xi

1+0,4x^2

sqrt(1.1x^2+1.2)

0.7+sqrt(1.1x^2+1.2)

y0,12

y1,2,4,5,7,8,10,11,8

y3,6,9

0

1.1

1.484

1.590911688

2.290911688

0.647777

 

 

1

1.25

1.625

1.708434956

2.408434956

 

0.674712014

 

2

1.4

1.784

1.831938864

2.531938864

 

0.704598371

 

3

1.55

1.961

1.960293345

2.660293345

 

 

0.737137

4

1.7

2.156

2.092606031

2.792606031

 

0.772038725

 

5

1.85

2.369

2.228171896

2.928171896

 

0.809037203

 

6

2

2.6

2.366431913

3.066431913

 

 

0.847891

7

2.15

2.849

2.506940366

3.206940366

 

0.888385712

 

8

2.3

3.116

2.64933954

3.34933954

 

0.930332671

 

9

2.45

3.401

2.793340294

3.493340294

 

0.973567

10

2.6

3.704

2.938707199

3.638707199

 

1.017943956

 

11

2.75

4.025

3.085247154

3.785247154

 

1.063338756

 

12

2.9

4.364

3.232800643

3.932800643

1.109642

 

 

 

 

 

 

 

1.757419

6.860387408

2.558595

I2=(3*0,24/8)*(= 4.118365513;

Полученные результаты совпадают полностью, поэтому принимаем

I ≈4.118367796;


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34711. Отраслевое и рыночное предложение ресурсов 24.43 KB
  Объем предложения труда зависит от: цены на труд т. Кривая индивидуального предложения труда имеет вид загибающейся кривой то есть при определенном уровне ставки зарплаты она меняет свой положительный наклон на отрицательный. Тогда кривая предложения труда имеет положительный наклон. Тогда кривая индивидуального предложения труда имеет отрицательный наклон.
34712. Капитал: понятие, формы, виды. Инвестирование капитала 17.11 KB
  Инвестирование капитала. Различают две основные формы капитала: физический реальный капитал запас производственных ресурсов участвующих в производстве благ. Виды физического капитала: 1 здания и сооружения 2 станки машины оборудование 3 сырье материалы топливо энергия Для приобретения элементов физического капитала необходим денежный капитал денежные средства для приобретения элементов физического капитала человеческий капитал капитал в виде умственных способностей приобретенных в процессе образования или посредством...
34713. Роль денег в рыночной экономике. Виды денег и их свойства 17.6 KB
  В рыночной экономике деньги выполняют ряд функций. Вовторых деньги являются средством измерения стоимости товаров и услуг. В третьих деньги служат в качестве средства образования и накопления сбережений. Вчетвертых деньги являются средством платежа то есть при помощи денег можно уплатить налоги выплатить пенсии и пособия заплатить за товар или услугу сделать вклад в банк.
34714. Валовой внутренний продукт. Методы исчисления ВВП 17.16 KB
  Методы исчисления ВВП. Чтобы ответить на вопрос как идут дела в экономике страны ежегодно вычисляется показатель валового внутреннего продукта ВВП. Прежде чем сформулировать понятие ВВП определим что такое конечный продукт. Валовой внутренний продукт ВВП это общая стоимость или сумма рыночных цен всех конечных товаров и услуг произведенных в данной стране в течение года.
34715. Валовой национальный продукт. Чистый национальный продукт и национальный доход 14.63 KB
  Однако существует еще один показатель валовой национальный продукт ВНП. Выясним что представляет собой ВНП и чем он отличается от ВВП. Когда мы будем исчислять ВНП России то наоборот включим в общую сумму доходы созданные за пределами России. долларов созданы иностранным капиталом на территории нашей страны а значит включаются в ВВП России а в ВНП нет.
34716. Государственный бюджет. Номинальный и реальный валовой внутренний продукт 17.59 KB
  Валовой внутренний продукт ВВП это общая стоимость или сумма рыночных цен всех конечных товаров и услуг произведенных в данной стране в течение года. Показатель номинального ВВП зависит и от количества производимых в стране товаров и услуг и от уровня цен на них. Следовательно если ВВП произведенный в разные годы выражать в ценах того года в который он производился то в одном году его объем будет выражен в одних ценах в другом году в других. Поэтому номинальный ВВП не может служить для оценки роста или сокращения реального...
34717. Теория Маслоу. Виды благ. Факторы производства. Безграничность потребностей и ограниченность ресурсов 32.36 KB
  Он выделял пять групп потребностей: физиологические потребности в пище воде одежде жилье отдыхе воспроизведении рода; потребности в безопасности защита от преступников и внешних врагов защита от нищеты и помощь при болезнях комфорт постоянство условий жизни; социальные потребности в любви дружбе общении с людьми; потребности в уважении со стороны других людей и самоуважении достижение успеха служебный рост; потребности в самореализации реализация своих целей способностей развитие собственной личности. По...
34718. История развития метрологии в России 23.6 KB
  Метрология в древнем мире и в средние векаПотребность в измерениях возникла в незапамятные времена.Многие меры имели антропометрическое происхождение или были связаны с конкретной трудовой деятельностью человека.Древнее происхождение имеют и естественные меры. Первыми из них получившими повсеместное распространение стали меры времени.
34719. Античная система мер и весов 20.09 KB
  Первоначально видимо возникли меры длины. Меры длины палец 185 см 1 12 целого 246 см ладонь 739 см ступня 2962 см локоть 463 см двойной шаг 148 м день пути 28 725 м Меры площади югер 25233 м 10 000 квадратных футов 876 м арура 50 квадратных футов 438 м Меры объёма Котила античная единица измерения ёмкости равная 0275 литра. Хус античная единица измерения ёмкости равная 324 литра Меры объёма сыпучих тел медимн четверик 525 л модий четверик 874 л Меры объёма жидких тел метрет...