42029

Структура окна Maple. Арифметические операции, числа, константы и стандартные функции. Элементарные преобразования математических выражений. Функции в Maple. Операции оценивания. Решение уравнений и систем

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Структура окна Mple. Функции в Mple. Структура окна Mple Mple  это пакет для аналитических вычислений на компьютере содержащий более двух тысяч команд которые позволяют решать задачи алгебры геометрии математического анализа дифференциальных уравнений статистики математической физики. Для того чтобы запустить Mple необходимо в Главном меню Windows выбрать в группе Программы название данного приложения: Mple.

Русский

2013-10-27

317 KB

32 чел.

PAGE  5

Лабораторная работа № 1.

Структура окна Maple. Арифметические операции, числа, константы и стандартные функции. Элементарные преобразования математических выражений. Функции в Maple. Операции оценивания. Решение уравнений и систем.

§1. Структура окна Maple

Maple  это пакет для аналитических вычислений на компьютере, содержащий более двух тысяч команд, которые позволяют решать задачи алгебры, геометрии, математического анализа, дифференциальных уравнений, статистики, математической физики.

Для того, чтобы запустить Maple, необходимо в Главном меню Windows выбрать в группе Программы название данного приложения: Maple.

Maple представляет собой типичное окно Windows, которое состоит из Строки названия, Основного меню, Панели инструментов, Рабочего поля и Строки состояния, а также Линейки и Полос прокрутки.

Вид фрагмента окна Maple 6, содержащего Строку названия, Основное меню, Панель инструментов:

Пункты Основного меню:

File (Файл) содержит стандартный набор команд для работы с файлами, например: сохранить файл, открыть файл, создать новый файл и т.д.

Edit (Правка) содержит стандартный набор команд для редактирования текста, например: копирование, удаление выделенного текста в буфер обмена, отмена команды и т.д.

View (Вид) – содержит стандартный набор команд, управляющих структурой окна Maple.

Insert (Вставка) – служит для вставки полей разных типов: математических текстовых строк, графических двух и трехмерных изображений.

Format (Формат) – содержит команды оформления документа, например: установка типа, размера и стиля шрифта.

Options (Параметры) – служит для установки различных параметров ввода и вывода информации на экран, принтер, например, таких как качество печати.

Windows (Окно) – служит для перехода из одного рабочего листа в другой.

Help (Справка) – содержит подробную справочную информацию о Maple.

Работа в Maple проходит в режиме сессии – пользователь вводит предложения (команды, выражения, процедуры), которые воспринимаются условно и обрабатываются Maple. Рабочее поле разделяется на три части:

  1.  область ввода - состоит из командных строк. Каждая командная строка начинается с символа >;
  2.  область вывода - содержит результаты обработки введенных команд в виде аналитических выражений, графических объектов или сообщений об ошибке;
  3.  область текстовых комментариев - содержит любую текстовую информацию, которая может пояснить выполняемые процедуры. Текстовые строки не воспринимаются Maple и никак не обрабатываются.

Для того, чтобы переключить командную строку в текстовую, следует на Панели инструментов нажать мышью на кнопку

Обратное переключение текстовой строки в командную осуществляется нажатием на Панели инструментов на кнопку

Задание 1.

  1.  Запустите Maple.
  2.  После запуска Maple первая строка оказывается командной. Переведите ее в текстовую. Наберите в этой строке: «Лабораторная работа №1» и название темы. Перейдите на следующую строку, нажав Enter.
  3.  В новой строке наберите «Выполнил студент » и свою фамилию. Нажмите Enter.
  4.  На следующей строке наберите «Задание №1».
  5.  Сохраните свой файл на дискете. Для этого в меню Fail выберите пункт Save и наберите имя вашего файла в виде: Фамилия_1, где указывается ваша фамилия и 1 – номер лабораторной работы.
  6.  После этого в следующей строке наберите текст: «Файл с заданиями лабораторной работы №1 сохранен под именем: Фамилия_N».

В дальнейшем выполнение каждой лабораторной работы должно оформляться таким способом. В начале каждой лабораторной работы следует набирать текст: «Лабораторная работа N», N – номер темы. Выполнение каждого задания следует начинать с текстового комментария: «Задание N». Для правильности вычислений перед выполнением каждого пункта задания следует выполнять команду restart. Перед выполнением контрольных заданий следует набирать в текстовом режиме «Контрольные задания». После окончания выполнения работы необходимо сохранить файл со всеми выполненными заданиями на диск. Имя вашего файла набирается в виде: Фамилия_N, где указывается ваша фамилия и N – номер темы.

§2. Арифметические операции.

Целые и рациональные числа, константы в Maple

Математические константы и арифметические операции.

Основные математические константы:

Pi – число ; I – мнимая единица i; infinity – бесконечность; Gamma – константа Эйлера; true, false – логические константы, обозначающие истинность и ложность высказывания.

Знаки арифметических операций:

+ - сложение; - вычитание;

* - умножение; / - деление;

^ - возведение в степень;  ! – факториал.

Знаки сравнения: <, >, >=,<=, <>, =.

 

Комплексные, целые и рациональные числа.

Числа в Maple бывают действительные (real) и комплексные (compleх). Комплексное число записывается в алгебраической форме  z=x+iy, и в командной строке такая запись должна выглядеть так:

> z:=x+I*y;

Вещественные числа разделяются на целые и рациональные. Целые числа (integer) выражаются цифрами в десятичной записи. Рациональные числа могут быть представлены в 3-х видах:

  1.  рациональной дроби с использованием оператора деления, например:  28/70;
  2.  с плавающей запятой (float), например:  2.3;
  3.  в показательной форме, например:  1,602*10^(-19) означает 1,60210-19.

Для того, чтобы получить рациональное число не в точной форме, а в виде приближенного значения (числа с плавающей запятой), следует дописывать к целой части числа  .0. Пример:

> 75/4;

> 75/4.0;

18.75000000

В Maple можно записать буквы греческого алфавита в полиграфическом виде. Для этого в командной строке набирается название греческой буквы. Например, буква  получится, если набрать alpha,

- beta ,  - epsilon,  - eta, - theta,  - lambda,  -xi,  - chi.

 Заглавные греческие буквы можно записать, если набирать название греческой буквы с заглавной, например, чтобы получить , следует набрать Omega. Греческие буквы также можно набирать с помощью специального меню.

 

Задание 2.

  1.  Перейдите в текстовый режим и наберите «Задание №2». После не забудьте перейти в режим командной строки.
  2.  Вычислите значение . Для этого в командной строке наберите:

> (sqrt(6+2*sqrt(5))-sqrt(6-2*sqrt(5)))/sqrt(3);

и нажмите Enter. В результате получится точное значение .

  1.  Наберите формулы  и . Для этого в командной строке наберите:

> omega=theta/t; abs(f(x)-delta)<epsilon;

нажмите Enter.

§3. Синтаксис команд. Стандартные функции

Синтаксис команд.

Стандартная команда Maple состоит из имени команды и ее параметров, указанных в круглых скобках: command(p1, p2, …). В конце каждой команды должен быть знак (;) или (:). Разделитель (;) означает, что в области вывода после выполнения этой команды будет сразу виден результат. Разделитель (:) используется для отмены вывода, то есть когда команда выполняется, но ее результат на экран не выводится.

Символ процента (%) служит для вызова предыдущей команды. Этот символ играет роль краткосрочной замены предыдущей команды с целью сокращения записи. Пример использования (%):

> a+b;

a+b

> %+c;

a+b+c.

Для присвоения переменной заданного значения используется знак присвоить (:=).

Когда программа Maple запускается, она не имеет ни одной команды, полностью загруженной в память. Большая часть команд имеют указатели их нахождения, и при вызове они загружаются автоматически. Другие команды находятся в стандартной библиотеке и перед выполнением обязательно должны быть вызваны командой readlib(command), где command – имя вызываемой команды. Остальная часть процедур Maple содержится в специальных библиотеках подпрограмм, называемых пакетами. Пакеты необходимо подгружать при каждом запуске файла с командами из этих библиотек. Имеется два способа вызова команды из пакета:

  1.  можно загрузить весь пакет командой with(package) где package – имя пакета;
  2.  вызов какой-нибудь одной команды command из любого пакета package можно осуществить, если набрать команду в специальном формате:

> package[command](options);

где вначале записывается название пакета package, из которого надо вызвать команду, а затем в квадратных скобках набирается имя самой команды command, и после чего в круглых скобках следуют параметры options данной команды.

К библиотекам подпрограмм Maple относятся, например, следующие пакеты: linalg – содержит операции линейной алгебры; statsдля решения задач статистической обработки массивов данных; student – содержит команды, позволяющие провести поэтапное решение задачи в аналитическом виде с промежуточными вычислениями.

Стандартные функции.

Стандартные функции Maple

Математическая запись

Запись в Maple

exp(x)

ln(x)

log10(x)

log[a](x)

sqrt(x)

abs(x)

sin(x)

cos(x)

tan(x)

cot(x)

sec(x)

csc(x)

arcsin(x)

arccos(x)

arctan(x)

arccot(x)

sinh(x)

cosh(x)

tanh(x)

coth(x)

- функция Дирака

Dirac(x)

- функция Хевиссайда

Нeaviside(х)

Maple содержит огромное количество специальных функций, таких, как Бесселевы функции, Эйлеровы бета- и гамма – функции, интеграл ошибок, эллиптические интегралы, различные ортогональные полиномы.

С помощью функции exp(x) определяется число е=2.718281828… посредством записи exp(1).

Тождественные преобразования выражений.

Раскрытие скобок выражения eq осуществляется командой expand(eq). Пример:

> eq:=(x+1)*(x-1)*(x^2-x+1)*(x^2+x+1);

> expand(eq);

Разложение многочлена на множители осуществляется командой factor(eq).

Пример:

> p:=x^5-x^4-7*x^3+x^2+6*x;

> factor(p);

Команда expand может иметь дополнительный параметр, позволяющий при раскрытии скобок оставлять определенное выражение без изменений. Например, пусть требуется каждое слагаемое выражения  умножить на выражение (x+a). Тогда в командной строке следует написать:

> expand((x+a)*(ln(x)+exp(x)-y^2), (x+a));

Дробь можно привести к нормальному виду с помощью команды normal(eq). Например:

> f:=(a^4-b^4)/((a^2+b^2)*a*b);

> normal(f);

Упрощение выражений осуществляется командой simplify(eq).

Пример:

> eq:=(cos(x)-sin(x))*(cos(x)+sin(x)):

> simplify(eq);

Приведение подобных членов в выражении осуществляется командой collect(exp,var), где exp – выражение, var – имя переменной, относительно которой следует собирать подобные. В команде simplify в качестве параметров можно указать, какие выражения преобразовывать. Например, при указании simplify(eq,trig) будет производиться упрощение при использовании большого числа тригонометрических соотношений. Стандартные параметры имеют названия: power – для степенных преобразований; radical или sqrt – для преобразования корней; exp – преобразование экспонент; ln – преобразование логарифмов. Использование параметров намного увеличивает эффективность команды simplify.

Объединить показатели степенных функций или понизить степень тригонометрических функций можно при помощи команды combine(eq,param), где eq – выражение, param – параметры, указывающие, какой тип функций преобразовать, например, trig – для тригонометрических, power – для степенных. Пример:

> combine(4*sin(x)^3, trig);

Для упрощения выражений, содержащих не только квадратные корни, но и корни других степеней, лучше использовать команду radnormal(eq). Пример:

> sqrt(3+sqrt(3)+(10+6*sqrt(3))^(1/3))=

radnormal(sqrt(3+sqrt(3)+(10+6*sqrt(3))^(1/3)));

С помощью команды convert(exp, param), где exp – выражение, которое будет преобразовано в указанный тип param. В частности, можно преобразовать выражение, содержащее sinx и cosx, в выражение, содержащее только tgx, если указать в качестве параметра tan, или, наоборот, tgx, ctgx можно перевести в sinx и сosx, если в параметрах указать sincos.

Вообще, команда convert имеет более широкое назначение. Она осуществляет преобразование выражения одного типа в другой. Например: convert(list, vector) – преобразование некоторого списка list в вектор с теми же элементами; convert(expr, string) – преобразование математического выражения в его текстовую запись. Для вызова подробной информации о назначении параметров команды convert следует обратиться к справочной системе, набрав convert[termin].

Если вы забыли параметры какой-либо команды, то можно воспользоваться справочной системой Maple. Для вызова справки по конкретной команде, следует выделить набранное имя этой команды и нажать клавишу F1. Если команда набрана правильно, то появится описание этой команды (в большинстве версий Maple помощь на английском языке).

Задание 3.

  1.  Перейдите в текстовый режим и наберите «Задание №3». После не забудьте перейти в режим командной строки. Перед выполнением каждого пункта этого задания обязательно набирайте команду обновления restart;
  2.  Разложить полином на множители . Для этого наберите в командной строке:

> factor(x^3+4*x^2+2*x-4);

После нажатия клавиши Enter должно получиться .

  1.  Упростить выражение . Наберите:

> eq:=(1+sin(2*x)+cos(2*x))/(1+sin(2*x)-cos(2*x)):

> convert(eq, tan):

> eq=normal(%);

.

  1.  Упростить выражение . Для этого наберите:

> eq:=3*(sin(x)^4+cos(x)^4)-2*(sin(x)^6+cos(x)^6):

> eq=combine(eq, trig);

§4. Способы задания функций. Замена переменных

     В Maple имеется несколько способов представления функции.

Способ 1. Определение функции с помощью оператора присваивания (:=): какому-то выражению присваивается имя, например:

> f:=sin(x)+cos(x);

Если задать конкретное значение переменной х, то получится значение функции f для этого х. Например, если продолжить предыдущий пример и вычислить значение f при , то следует записать:

> x:=Pi/4;

> f;

После выполнения этих команд переменная х имеет заданное значение .

Чтобы насовсем не присваивать переменной конкретного значения, удобнее использовать команду подстановки subs({x1=a1, x2=a2,…, },f), где в фигурных скобках указываются переменные хi и их новые значения аi (i=1,2,…), которые следует  подставить в функцию f . Например:

> f:=x*exp(-t);

> subs({x=2,t=1},f);

Все вычисления в Maple по умолчанию производятся символьно, то есть результат будет содержать в явном виде иррациональные константы, такие как,  и другие. Чтобы получить приближенное значение в виде числа с плавающей запятой, следует использовать команду evalf(expr,t), где expr – выражение, t – точность, выраженная в числах после запятой. Например, в продолжение предыдущего примера, вычислим полученное значение функции приближенно:

> evalf(%);

.7357588824

Здесь использован символ (%) для вызова предыдущей команды.

Способ 2. Определение функции с помощью функционального оператора, который ставит в соответствие набору  переменных (x1,x2,…) одно или несколько выражений (f1,f2,…). Например, определение функции двух переменных с помощью функционального оператора выглядит следующим образом:

> f:=(x,y)->sin(x+y);

Обращение к этой функции осуществляется наиболее привычным в математике способом, когда в скобках вместо аргументов функции указываются конкретные значения переменных. В продолжение предыдущего примера вычисляется значение функции:

> f(Pi/2,0);

1

Способ 3. С помощью команды unapply(expr,x1,x2,…), где expr – выражение, x1,x2,… – набор переменных, от которых оно зависит, можно преобразовать выражение expr в функциональный оператор. Например:

> f:=unapply(x^2+y^2,x,y);

  •  f(-7,5);                                        

                                                                         74

В Maple имеется возможность определения неэлементарных функций вида

посредством команды

> piecewise(cond_1,f1, cond_2, f2, …).

Например, функция

записывается следующим образом:

> f:=piecewise(x<0, 0, 0<=x and x<1, x, x>=1, sin(x));

Задание 4.

Не забудьте, что выполнение всех последующих заданий должно начинаться с текстовой строки, содержащей «Задание №», где № – номер задания. Также помните, что для правильности вычислений перед выполнением каждого пункта задания следует выполнять команду restart. Перед выполнением контрольных заданий следует набирать в текстовом режиме «Контрольные задания». Эти правила оформления относятся ко всем лабораторным работам.

  1.  Определите функцию  и перейдите в ней к полярным координатам , . Упростите полученное выражение. Для этого наберите:

> f:=sqrt(1-x^2-y^2);

> f:=subs({x=rho*cos(phi),y=rho*sin(phi)},f);

> f:=simplify(%);

  1.  Определите функцию  и прибавьте к ней х. Для этого наберите:

> f:=piecewise(x<-1, x, -1<=x and x<1, -x^2, x>=1, -x);

> %+x: simplify(%);

§5. Решение уравнений

Решение обыкновенных уравнений.

Для решения уравнений в Maple существует универсальная команда solve(eq,x), где eq – уравнение, x – переменная, относительно которой уравнение надо разрешить. В результате выполнения этой команды в строке вывода появится выражение, которое является решением данного уравнения. Например:

> solve(a*x+b=c,x);

Если уравнение имеет несколько решений, которые вам понадобятся для дальнейших расчетов, то команде solve следует присвоить какое-нибудь имя name. Обращение к какому-либо k–ому решению данного уравнения производится указанием его имени с номером решения k в квадратных скобках: name[k]. Например:

> x:=solve(x^2-a=0,x);

> x[1];

> x[2];

> x[1]+x[2];

0

Решение систем уравнений.

Системы уравнений решаются с помощью такой же команды solve({eq1,eq2,…},{x1,x2,…}), только теперь в параметрах команды следует указывать в первых фигурных скобках через запятую уравнения, а во вторых фигурных скобках перечисляются через запятую переменные, относительно которых требуется решить систему. Если вам будет необходимо для дальнейших вычислений использовать полученные решения уравнений, то команде solve следует присвоить какое-нибудь имя name. Затем выполняется присвоения команда assign(name). После этого над решениями можно будет производить математические операции. Например:

> s:=solve({a*x-y=1,5*x+a*y=1},{x,y});

s:={ }

> assign(s); simplify(x-y); 

Численное решение уравнений.

Для численного решения уравнений, в тех случаях, когда трансцендентные уравнения не имеют аналитических решений, используется специальная команда fsolve(eq,x), параметры которой такие же, как и команды solve. Например:

> x:=fsolve(cos(x)=x,x);

x:=.7390851332

Задание 5.

  1.  Найти все решения системы уравнений

Наберите:

> eq:={x^2-y^2=1,x^2+x*y=2};

> _EnvExplicit:=true:

> s:=solve(eq,{x,y});

,

Теперь найдите сумму двух наборов решений. Наберите:

> x1:=subs(s[1],x): y1:=subs(s[1],y):

x2:=subs(s[2],x): y2:=subs(s[2],y):

> x1+x2; y1+y2;

Чему равны эти суммы решений?

  1.  Численно решите уравнение . Наберите:

> x=fsolve(x^2=cos(x),x);

x=.8241323123

  1.  Найдите функцию f(x), удовлетворяющую уравнению . Наберите:

> F:=solve(f(x)^2-2*f(x)=x,f);

F:= proc(x) RootOf(_Z^22*_Zx) end

> f:=convert(F(x), radical);

     

  1.   Выполните все контрольные задания. Перед их выполнением не забудьте набрать в текстовом режиме «Контрольные задания». Результаты выполнения заданий покажите преподавателю.
  2.  Сохраните файл со всеми выполненными заданиями на диск.
  3.  Ответьте на все контрольные вопросы.

Контрольные задания.

  1.  Вычислить точное и приближенное значения выражения: .
  2.  Записать формулы: ; .
  3.  Разложить на множители полином .
  4.  Упростить выражение .

5. Записать функцию  в виде функционального оператора и вычислите ее значения при x=1, y=0 и при , .

  1.  Записать функцию  с помощью оператора присваивания и вычислите ее значение при x=a, y=1/a, используя команду подстановки subs.
  2.  Записать функцию

                                  Найти ее значение в точке   x = 0,456

  1.  Найти все точные решения системы  в аналитическом виде.

Контрольные вопросы.

  1.  Что такое Maple и для чего он предназначен?
  2.  Опишите основные элементы окна Maple.
  3.  На какие условные части делится рабочее поле Maple и что в этих частях отображается?
  4.  Как перевести командную строку в текстовую и наоборот?
  5.  В каком режиме проходит сеанс работы в Maple?
  6.  Перечислите пункты основного меню Maple и их назначение.
  7.  Какое стандартное расширение присваивается файлу рабочего листа Maple?
  8.  Как представляются в Maple основные математические константы?
  9.  Как получить приближенное значение рационального числа?
  10.  Какими разделительными знаками заканчиваются команды в Maple и чем они отличаются?
  11.  Какой командой осуществляется вызов библиотеки подпрограмм?
  12.  Объясните назначение команд factor, expand, normal, simplify, combine, convert.
  13.  Опишите способы задания функций в Maple.
  14.  Какие операции оценивания производятся в Maple с действительными выражениями?
  15.  Для чего предназначена команда evalf?
  16.  С помощью каких команд можно найти вещественную и мнимую части комплексного выражения, а также его модуль и аргумент, и комплексно сопряженное ему число? Какую роль выполняет команда evalc?
  17.  Для чего предназначена команда solve?


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80242. Прийняття управлінських рішень. Методи творчого пошуку альтернатив 6.79 MB
  Прийняття управлінських рішень. Основи теорії прийняття рішень. Процес прийняття рішень. Основи теорії прийняття рішень У науковій літературі зустрічається як розширене так і вузьке розуміння процесу прийняття рішень в управлінні.
80243. Методи обґрунтування управлінських рішень 5.47 MB
  Методи обґрунтування управлінських рішень. Відповідно до цього способу всі методи обґрунтування управлінських рішень поділяються на кількісні та якісні. Кількісні методи або методи дослідження операцій застосовують коли фактори що впливають на вибір рішення можна кількісно визначити та оцінити. Якісні методи використовують тоді коли фактори що визначають прийняття рішення не можна кількісно охарактеризувати або вони взагалі не піддаються кількісному вимірюванню.
80244. Рынок и его инфраструктура 94.5 KB
  Рынок и его инфраструктура План 1. Сущность функции и структура рынка Объединенное понятие рынок как место массовой куплипродажи товаров лишь частичного отражает содержание которое вкладывается в понятие рынок экономической науки и хозяйственной практикой. Рынок в широком смысле объединяет в себе несколько понятий. Вовторых рынок есть вся совокупность процессов торговли актов куплипродажи который характеризуется такими признаками как вид продаваемых товаров объем продаж способ торговли уровень цен.
80245. Основы саморегулирования рыночной экономики 134 KB
  Объективные факторы: экономические: базовый уровень развития производства; объём реальных потребностей и уровень их удовлетворения; средний уровень денежных доходов населения; рыночные цены; уровень цен товаровзаменителейи взаимодополняемых товаров; принципы распределения доходов; условия предоставления кредитов качество товара. Он отражает причинноследственную связь между изменением цены и изменением величины спроса. Рост цены при прочих неизменных условиях вызывает снижение спроса что способствует разрешению противоречия...
80246. Экономическая роль государства в рыночной экономике 74.5 KB
  Необходимость и сущность государственного регулирования рыночной экономики. Формы государственного регулирования рыночной экономики. Необходимость и сущность государственного регулирования рыночной экономики. Государственное регулирование экономики сложилось не сразу.
80247. Доходы и их распределение. Заработная плата 81.5 KB
  Марксистская теория исходит из того что новая стоимость товара созданная трудом наемных работников проходя через сферу обращения в ходе конкурентной борьбы распределяется и перераспределяется принимая различные формы: заработной платы наемных работников; прибыль капиталистов; процентов ссудных капиталистов банкиров; ренты владельцев земли и других природных факторов объектов добывающей промышленности и строительства. Объективное распределение доходов зависит от того что вновь созданная стоимость слагается из необходимого продукта...
80248. ОСОБЕННОСТИ ФОРМИРОВАНИЯ ЦЕН В ЗАВИСИМОСТИ ОТ МОДЕЛИ РЫНКА 55.5 KB
  Рынок совершенной конкуренции: характерные черты и механизм ценообразования. Особенности рынка несовершенной конкуренции. Механизм рыночных цен позволяет стимулировать рациональное использование ограниченных и редких ресурсов добиваться эффективного хозяйствования решать триаду экономических проблем: что как и для кого производить На решение этих проблем направлен и механизм конкуренции. Монополия вырастая из конкуренции на определенном этапе своего развития уничтожает конкуренцию но рыночная конкуренция как известно неотъемлемый...
80249. Особенности предпринимательства в агропромышленном комплексе 65.5 KB
  Аграрные отношения это составная часть экономических отношений которые складываются в сельском хозяйстве в связи с владением и использованием земли как главного средства производства в сельскохозяйственной отросли. Это обусловлено использованием в производстве земли как специфического искусственно невоспроизводимого средства производства различающегося по плодородию места расположению. Эти свойства наоборот даже могут улучшаться что приведет к росту ценности земли. Тесная зависимость земли от природноклиматических условий сезонный...
80250. ДЕНЕЖНОЕ ОБРАЩЕНИЕ. ФИНАНСОВАЯ СИСТЕМА И ФИСКАЛЬНАЯ ПОЛИТИКА 78 KB
  Особенности рынка денег. Особенности рынка денег. Сущность денег состоит в том что они: обладают всеобщей обмениваемостью; представляют собой кристаллизацию меновой стоимости; являются воплощением всеобщего рабочего времени. С развитием общества изменялись функции и виды денег.