42030

Интегрирование функции одной переменной. Интегрирование функции многих переменных

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Таким способом интеграл с параметром не вычислить. Для получения явного аналитического результата вычислений следует сделать какие-либо предположения о значении параметров, то есть наложить на них ограничения. Это можно сделать при помощи команды assume

Русский

2013-10-27

264.5 KB

9 чел.

PAGE  1

Лабораторная работа  №2

  1.  Двумерные графики.
  2.  Дифференцирование.
  3.  Интегрирование функции одной переменной.
  4.  Интегрирование функции многих переменных.
  5.  Действия с матрицами.

§1. Двумерные графики

Команда plot и ее параметры.

Для построения графиков функции f(x) одной переменной (в интервале  по оси Ох и в интервале  по оси Оу) используется команда plot(f(x), x=a..b, y=c..d, parameters), где parameters – параметры управления изображением. Если их не указывать, то будут использованы установки по умолчанию. Настройка изображения также может осуществляться с панели инструментов.

Основные параметры команды plot:

1) title=”text”, где text-заголовок рисунка (текст можно оставлять без кавычек, если он содержит только латинские буквы без пробелов).

2) coords=polar – установка полярных координат (по умолчанию установлены декартовы).

3) axes – установка типа координатных осей: axes=NORMAL – обычные оси; axes=BOXED – график в рамке со шкалой; axes=FRAME – оси с центром в левом нижнем углу рисунка; axes=NONE – без осей.

4) scaling – установка масштаба рисунка: scaling=CONSTRAINED – одинаковый масштаб по осям; scaling=UNCONSTRAINED – график масштабируется по размерам окна.

5) style=LINE(POINT) – вывод линиями (или точками).

6) numpoints=n – число вычисляемых точек графика (по умолчанию n=49).

7) сolor – установка цвета линии: английское название цвета, например, yellow – желтый и т.д.

8) xtickmarks=nx и ytickmarks=ny – число меток по оси Оx и оси Оy, соответственно.

9) thickness=n, где n=1,2,3… - толщина линии (по умолчанию n=1).

10) linestyle=n – тип линии: непрерывная, пунктирная и т.д. (n=1 – непрерывная, установлено по умолчанию).

11) symbol=s тип символа, которым помечают точки: BOX, CROSS, CIRCLE, POINT, DIAMOND.

12) font=[f,style,size] установка типа шрифта для вывода текста: f задает название шрифтов: TIMES, COURIER, HELVETICA, SYMBOL; style задает стиль шрифта: BOLD, ITALIC, UNDERLINE; size размер шрифта в pt.

13) labels=[tx,ty] – надписи по осям координат: tx – по оси Оx и ty – по оси Оy.

14) discont=true – указание для построения бесконечных разрывов.

С помощью команды plot можно строить помимо графиков функций y=f(x), заданной явно, также графики функций, заданных параметрически y=y(t), x=x(t), если записать команду plot([y=y(t), x=x(t), t=a..b], parameters).

Задание 1.

  1.  Построить график  жирной линией в интервале от -4 до 4. Наберите:

> plot(sin(x)/x, x=-4*Pi..4*Pi, labels=[x,y],

labelfont=[TIMES,ITALIC,12], thickness=2);

  1.  Построить график разрывной функции .

> plot(x/(x^2-1),x=-3..3,y=-3..3,color=magenta);

Замечание: на рисунке автоматически появляются вертикальные асимптоты.

  1.  Построить график параметрической кривой , ,  в рамке. Наберите:

> plot([sin(2*t),cos(3*t),t=0..2*Pi], axes=BOXED, color=blue);

  1.  Построить в полярных координатах график кардиоиды  с названием. Наберите:

> plot(1+cos(x), x=0..2*Pi, title="Cardioida", coords=polar, color=coral, thickness=2);

  1.  Построить два графика на одном рисунке: график функции  и касательную к нему . Наберите:

> plot([ln(3*x-1), 3*x/2-ln(2)], x=0..6,

scaling=CONSTRAINED, color=[violet,gold],

linestyle=[1,2], thickness=[3,2]);

§2. Дифференцирование

Вычисление производных.

Для вычисления производных в Maple имеются две команды:

  1.  прямого исполнения – diff(f,x), где f – функция, которую следует продифференцировать, x – имя переменной, по которой производится дифференцирование.
  2.  отложенного исполнения – Diff(f,x), где параметры команды такие же, как и в предыдущей. Действие этой команды сводится к аналитической записи производной в виде . После выполнения дифференцирования, полученное выражение желательно упростить. Для этого следует использовать команды simplify factor или expand, в зависимости от того, в каком виде вам нужен результат.

Пример:

> Diff(sin(x^2),x)=diff(sin(x^2),x);

Для вычисления производных старших порядков следует указать в параметрах x$n, где n – порядок производной; например:

> Diff(cos(2*x)^2,x$4)=diff(cos(2*x)^2,x$4);

Полученное выражение можно упростить двумя способами:

> simplify(%);

> combine(%);

Большинство задач дифференциального исчисления функций многих переменных решается в Maple теми же командами, что и для функций одной переменной, только с указанием дополнительных параметров.

Частные производные.

Для вычисления частных производных функции f(x1,…, xm) используется уже хорошо известная вам команда diff. В этом случае эта команда имеет такой формат: diff(f,x1$n1,x2$n2,…, xm$nm), где x1,…, xm – переменные, по которым производится дифференцирование, а после знака $ указаны соответствующие порядки дифференцирования. Например, частная производная  записывается в виде: diff(f,x,y).

Задание 2.

1. Найти  и  функции .

> f:=arctan(x/y):

>D iff(f,x)=simplify(diff(f,x));

> Diff(f,y)=simplify(diff(f,y));

.

2. Найти все частные производные 2-го порядка функции .

> restart; f:=(x-y)/(x+y):

> Diff(f,x$2)=simplify(diff(f,x$2));

> Diff(f,y$2)=simplify(diff(f,y$2));

> Diff(f,x,y)=diff(f,x,y);

.

                        §3 Интегрирование функции одной переменной.

Аналитическое и численное интегрирование.

Неопределенный интеграл  вычисляется с помощью 2-х команд:

  1.  прямого исполнения – int(f, x), где f – подынтегральная функция, x – переменная интегрирования;
  2.  отложенного исполнения – Int(f, x) – где параметры команды такие же, как и в команде прямого исполнения int. Команда Int выдает на экран интеграл в аналитическом виде математической формулы.

Для вычисления определенного интеграла  в командах int и  Int добавляются пределы интегрирования, например,

> Int((1+cos(x))^2, x=0..Pi)=

int((1+cos(x))^2, x=0..Pi);

Если в команде интегрирования добавить опцию continuous: int(f, x, continuous), то Maple будет игнорировать любые возможные разрывы подынтегральной функции в диапазоне интегрирования. Это позволяет вычислять несобственные интегралы от неограниченных функций. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования вычисляются, если в параметрах команды int указывать, например, x=0..+infinity.

Численное интегрирование выполняется командой evalf(int(f, x=x1..x2), e), где e – точность вычислений (число знаков после запятой).

Интегралы, зависящие от параметра. Ограничения для параметров.

Если требуется вычислить интеграл, зависящий от параметра, то его значение может зависеть от знака этого параметра или каких-либо других ограничений. Рассмотрим в качестве примера интеграл , который, как известно из математического анализа, сходится при а>0 и расходится при а<0. Если вычислить его сразу, то получится:

> Int(exp(-a*x),x=0..+infinity)=

int(exp(-a*x),x=0..+infinity);

Definite integration: Can't determine if the integral is convergent.

Need to know the sign of --> a

Will now try indefinite integration and then take limits.

.

Таким способом интеграл с параметром не вычислить. Для получения явного аналитического результата вычислений следует сделать какие-либо предположения о значении параметров, то есть наложить на них ограничения. Это можно сделать при помощи команды assume(expr1), где expr1 – неравенство. Дополнительные ограничения вводятся с помощью команды additionally(expr2), где expr2 – другое неравенство, ограничивающее значение параметра с другой стороны.

После наложения ограничений на параметр Maple добавляет к его имени символ (~), например параметр a, на который были наложены некоторые ограничения, в сроке вывода будет иметь вид: a~.

Описание наложенных ограничений параметра a можно вызвать командой about(a). Пример: наложить ограничения на параметр a такие, что a>-1, a3:

> assume(a>-1); additionally(a<=3);

> about(a);

Originally a, renamed a~:

 is assumed to be: RealRange(Open(-1),3)

Вернемся к вычислению интеграла с параметром , которое следует производить в таком порядке:

> assume(a>0);

> Int(exp(-a*x),x=0..+infinity)=

int(exp(-a*x),x=0..+infinity);

Задание 3.

  1.  Найти неопределенные интегралы: а) ;

б) .

> Int(cos(x)*cos(2*x)*cos(3*x),x)=

int(cos(x)*cos(2*x)*cos(3*x), x);

> Int((3*x^4+4)/(x^2*(x^2+1)^3),x)=

int((3*x^4+4)/(x^2*(x^2+1)^3),x);

  1.  Найти определенный интеграл , при условии a>0, b>0.

> assume (a>0); assume (b>0);

> Int(sin(x)*cos(x)/(a^2*cos(x)^2+b^2*sin(x)^2),

x=0..Pi/2)=int(sin(x)*cos(x)/(a^2*cos(x)^2+b^2*

sin(x)^2),x=0..Pi/2);

  1.  Найти несобственный интеграл , при a>-1

> restart; assume(a>-1);

> Int((1-exp(-a*x^2))/(x*exp(x^2)),

x=0..+infinity)=int((1-exp(-a*x^2))/(x*exp(x^2)),

x=0..+infinity);

§4 Интегральное исчисление функций многих переменных

В Maple имеются две специальные команды для вычисления двойных и тройных интегралов, содержащиеся в библиотеке student.

Для вычисления двойных интегралов  используется команда Doubleint(f(x, y), D), где D – область интегрирования, записываемая в одном из следующих форматов:

  •  x=х1..х2, y=y1..y2, где числа х1, х2, y1, y2 задают прямоугольную область интегрирования;
  •  x=f1(y)..f2(y), y=y1..y2, где f1(y), f2(y)  линии, ограничивающие область интегрирования слева и справа на интервале от y1 до y2; 
  •  x=х1..х2, y=g1(x)..g2(x) , где g1(y), g2(y)  линии, ограничивающие область интегрирования снизу и сверху на интервале от х1 до х2.

Для вычисления тройных интегралов  используется команда Tripleint(f(x, y, z),x, y, z, V), где V – область интегрирования.

Обе эти команды являются командами отложенного действия. Чтобы получить значение интеграла, следует использовать команду value(%).

Повторные интегралы можно вычислять с помощью повторения команды int, например, повторный интеграл  вычисляется командой

> int(int(x^2*y^3, x=0..1), y=0..2);

Задание 4.

  1.  Вычислить повторный интеграл

> Int(Int(y^3/(x^2+y^2),x=0..y),y=2..4)=

int(int(y^3/(x^2+y^2), x=0..y),y=2..4);

  1.  Вычислить двойной интеграл  по области, ограниченной линиями .

Замечание: сначала следует описать область интегрирования D в виде неравенств:

> restart: with(student):

> J:=Doubleint(sin(x+2*y), x=y..Pi/2-y, y=0..Pi/2);

> J:=value(%);

3. Вычислить тройной интеграл  .

Замечание: следует помнить, что порядок интегрирования определяется последовательностью пределов, поэтому сначала  указываются пределы, содержащие функции.

> J:=Tripleint(4+z, y=x^2..1,x=-1..1, z=0..2);

> J:=value(%);

§5. Действия с матрицами

Основная часть команд для решения задач линейной алгебры содержится в библиотеке linalg. Поэтому перед решением задач с матрицами и векторами следует загрузить эту библиотеку командой with(linalg).

Определение матрицы.

Для определения матрицы в Maple можно использовать команду matrix(n, m, [[a11,a12,…,a1n], [a21,a22,…,a2m],…, [an1,an2,…,anm]]), где n  число строк, m – число столбцов в матрице. Эти числа задавать необязательно, а достаточно перечислить элементы матрицы построчно в квадратных скобках через запятую. Например:

> A:=matrix([[1,2,3],[-3,-2,-1]]);

Арифметические операции с матрицами.

Сложение двух матриц одинаковой размерности осуществляется теми же командами, что и сложение векторов: evalm(A+B) или matadd(A,B). Произведение двух матриц может быть найдено с помощью двух команд:

  1.  evalm(A&*B); 
  2.  multiply(A,B).

В качестве второго аргумента в командах, вычисляющих произведение, можно указывать вектор, например:

> A:=matrix([[1,0],[0,-1]]);

> B:=matrix([[-5,1], [7,4]]);

 

> v:=vector([2,4]);

> multiply(A,v);

> multiply(A,B);

> matadd(A,B);

Команда evalm позволяет также прибавлять к матрице число и умножать матрицу на число. Например:

> С:=matrix([[1,1],[2,3]]):

> evalm(2+3*С);

Определители, миноры и алгебраические дополнения. Ранг и след матрицы.

Определитель матрицы А вычисляется командой det(A). Команда minor(A,i,j) возвращает матрицу, полученную из исходной матрицы А вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца. Минор Mij элемента aij матрицы А можно вычислить командой det(minor(A,i,j)). Ранг матрицы А вычисляется командой rank(A). След матрицы А, равный сумме ее диагональных элементов, вычисляется командой trace(A).

> K:=matrix([[4,0,5],[0,1,-6],[3,0,4]]);

> det(K);

1

> minor(K,3,2);

> det(%);

-24

> trace(K);

9

Обратная и транспонированная матрицы.

Обратную матрицу А1 , такую что А1А=АА1=Е, где Е  единичная матрица, можно вычислить двумя способами:

  1.  evalm(1/A);
  2.  inverse(A).

Транспонирование матрицы А – это изменение местами строк и столбцов. Полученная в результате этого матрица называется транспонированной и обозначается А'. Транспонированную матрицу А' можно вычислить командой transpose(A). 

Например, используя заданную в предыдущем пункте матрицу K, найдем ей обратную и транспонированную:

> inverse(K);

> multiply(K,%);

> transpose(K);

Задание 5.

  1.  Даны матрицы: , , . Найти: (AB)C , detA, detB, detC, det[(AB)C]. Наберите:

> restart;

 with(linalg):  A:=matrix([[4,3],[7,5]]):

> B:=matrix([[-28,93],[38,-126]]):

> C:=matrix([[7,3],[2,1]]):

> F:=evalm(A&*B&*C);

> Det(A)=det(A); Det(B)=det(B); Det(C)=det(C);

Det(F)=det(F);

Det(A)=1

Det(B)=6

Det(C)=1

Det(F)=6

  1.  Дана матрица , найти: det A,  А',  ,  det(M22). Наберите:

> A:=matrix ([[2,5,7],[6,3,4],[5,-2,-3]]);

> Det(A)=det(A);

Det(A)=1

> transpose(A);

> inverse(A);

> det(minor(A,2,2));

41

Контрольные задания.

  1.  Построить на отдельных рисунках графики функций Бесселя первого рода Jn(x) для различных ее номеров n в интервале –20<x<20. Функции Бесселя вызываются командой BesselJ(n,x), где n – номер функции Бесселя, x – независимая переменная. Построить первые 6 функций Бесселя для n=0,1,2,3,4,5,6. Как они выглядят и чем отличаются друг от друга? Сделать подписи осей курсивом.
  2.  Построить график функции  в полярных координатах при 0<<4. Используйте цвет линии под названием magenta, установите толщину линии 3.
  3.  Построить график функции

  1.  Найти .
  2.  Найти все частные производные 2 – ого порядка функции

.

  1.  Вычислить неопределенный интеграл .
  2.  Вычислить несобственный интеграл  при a>0 b>0 для случаев: 1) a>b, 2) a=b,  3)a<b.
  3.  Вычислить тройной интеграл:

.

9.        Даны матрицы  и . Найти: AB, BA, detA, detB.

  1.  Дана матрица: . Найти: detA, А-1, M32, A'.

Контрольные вопросы.

  1.  С помощью каких команд строятся графики на плоскости ? Какие аргументы имеют эти команды? Что такое команды прямого и отложенного исполнения? Опишите их действия.
  2.  Какие команды производят аналитическое и численное интегрирование? Опишите их параметры.
  3.  С помощью каких команд вводятся ограничения на параметры для вычисления интегралов, зависящих от параметров?
  4.  Для чего предназначен пакет student?
  5.  Какой пакет следует загрузить перед решением задач линейной алгебры в Maple? Какими двумя командами можно вычислить произведение двух матриц (или матрицы на вектор)?
  6.  Какие команды используются для нахождения определителя, минора, алгебраического дополнения, следа матрицы?
  7.  Какая матрица называется обратной и какими способами она вычисляется в Maple?


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83627. Условия и требования норм проектирования по выбору трансформаторов тока (встроенные или отдельно стоящие, 10% погрешность, чувствительность продольной дифференциальной защиты) 39.83 KB
  Трансформаторы тока предназначены для понижения первичного тока до стандартной величины и для отделения цепей измерения и защиты от первичных цепей высокого напряжения. Основные номинальные параметры трансформаторов тока: Номинальное напряжение линейное Uном кВ Номинальный первичный ток I1ном А Номинальный вторичный ток I2ном А 1 или 5 Номинальная вторичная нагрузка с коэффициентом мощности cosφ2=0.8 ВА Номинальный класс точности для измерений Номинальный класс точности для защиты Коэффициент трансформации...
83628. Требования нормами технологического проектирования и САНПИНом к городским подстанциям и электрическим сетям 32.97 KB
  Нормами технологического проектирования к городским ПС и электрическим сетям рассматриваются и регламентируются следующие разделы: 1 Общие положения общие указания обьем и состав проектной документации 2 Расчетные электрические нагрузки расчетные электрические нагрузки жилых зданий электрические нагрузки общественных зданий и промышленных предприятий электрические нагрузки распределительных линий до 1 кВ электрические нагрузки сетей 106 кВ и ЦП укрупненные показатели расхода электроэнергии коммунальнобытовых потребителей 3...
83629. Очерёдность выполнения чертежей «План и разрезы подстанции и плана фундаментов» и что отражено на этих чертежах 28.85 KB
  В рабочие чертежи включают: 1 общие данные по рабочим чертежам; 2 принципиальную схему главных цепей; 3 принципиальные полные схемы релейной защиты управления измерения сигнализации и т.; 4 планы расположения электрооборудования ошиновки и прокладки сетей заземления; 5 планы прокладки электрических сетей; 6 схемы таблицы подключения; 7 кабельный журнал; 8 рабочую документацию задания МЭЗ; 9 эскизные чертежи общего вида НКУ. На схеме указывают: 1 номинальное напряжение сборных шин; 2 типы номинальные токи и сопротивление...
83630. Перечислить основные виды спецификаций и что отражает экспликация на чертеже 30.3 KB
  Описание спецификации дается в ГОСТ 2. Над основной надписью помещаются графы спецификации. В основной надписи спецификации указывают наименование сборочной единицы масштаб ее изображения. Спецификации первого типа чаще используются в конструкторскотехнологических подразделениях а второго на сборочных участках и при работе по заказам.
83631. Перечислить мероприятия предотвращающие электромагнитную наводку на кабели в ОРУ и устройства в ЗРУ 29.45 KB
  Должны выполняться мероприятия исключающие электростатические и электромагнитные наводки на металлических элементах расположенных в помещениях аккумуляторных батарей а также заносы туда высоких потенциалов. Для защиты от электростатической индукции на указанных элементах достаточно надежно присоединить к общему заземляющему устройству электростанций и подстанций гладкие трубы в помещениях аккумуляторных батарей предназначенные для отопления и выдержать расстояния от токоведущих шин до частей здания и других заземленных элементов не менее...
83632. Назначение кабельного журнала и что отражено на листах кабельного журнала 30.27 KB
  В кабельном журнале описывается маркировка каждого кабеля откуда и куда он идет его марка длина кабельной линии и его назначение. Назначение: Всю необходимую информацию о кабелях можно представить непосредственно на схемах: можно указать марку длину способ прокладки кабеля. Однако при построении достаточно большой системы во избежание перегруженности чертежей удобнее вынести эти данные в отдельную таблицу оставив на схемах лишь присвоенные кабелям обозначения. Во время монтажа в кабельный журнал заносятся следующие сведения: номер...
83633. Выполнение чертежей оперативной блокировки на ПС. Что должно быть отражено на чертеже. Какие виды блокировки коммутационных оборудований используются на ПС 30.11 KB
  Основные требования к оперативной блокировке: Блокзамки блокировки должны запирать приводы разъединителей только в крайних положениях включено и отключено; они не должны запирать привод разъединителя в промежуточном положении; Оперативная блокировка не должна давать ложное разрешение на операции с разъединителями при исчезновении напряжения оперативного тока или неисправностях самой оперативной блокировки. Механическая блокировка – это блокировка непосредственного действия которая может быть выполнена на близко...
83634. Нелинейные магнитные цепи при постоянных потоках 161 KB
  Для концентрации магнитного поля и придания ему желаемой конфигурации отдельные части электротехнических устройств выполняются из ферромагнитных материалов. Векторные величины характеризующие магнитное поле Наименование Обозначение Единицы измерения Определение Вектор магнитной индукции Тл тесла Векторная величина характеризующая силовое действие магнитного поля на ток по закону Ампера Вектор намагниченности А м Магнитный момент единицы объема вещества Вектор напряженности магнитного поля А м где Гн м магнитная постоянная Основные...
83635. Общая характеристика задач и методов расчета магнитных цепей 128 KB
  При этом для наглядности можно составить эквивалентную электрическую схему замещения исходной магнитной цепи с использованием которой выполняется расчет. При расчете магнитных цепей на практике встречаются две типичные задачи: задача определения величины намагничивающей силы НС необходимой для создания заданного магнитного потока заданной магнитной индукции на каком либо участке магнитопровода задача синтеза или ldquo;прямаяldquo; задача; задача нахождения потоков магнитных индукций на отдельных участках цепи по заданным...