42030

Интегрирование функции одной переменной. Интегрирование функции многих переменных

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Таким способом интеграл с параметром не вычислить. Для получения явного аналитического результата вычислений следует сделать какие-либо предположения о значении параметров, то есть наложить на них ограничения. Это можно сделать при помощи команды assume

Русский

2013-10-27

264.5 KB

9 чел.

PAGE  1

Лабораторная работа  №2

  1.  Двумерные графики.
  2.  Дифференцирование.
  3.  Интегрирование функции одной переменной.
  4.  Интегрирование функции многих переменных.
  5.  Действия с матрицами.

§1. Двумерные графики

Команда plot и ее параметры.

Для построения графиков функции f(x) одной переменной (в интервале  по оси Ох и в интервале  по оси Оу) используется команда plot(f(x), x=a..b, y=c..d, parameters), где parameters – параметры управления изображением. Если их не указывать, то будут использованы установки по умолчанию. Настройка изображения также может осуществляться с панели инструментов.

Основные параметры команды plot:

1) title=”text”, где text-заголовок рисунка (текст можно оставлять без кавычек, если он содержит только латинские буквы без пробелов).

2) coords=polar – установка полярных координат (по умолчанию установлены декартовы).

3) axes – установка типа координатных осей: axes=NORMAL – обычные оси; axes=BOXED – график в рамке со шкалой; axes=FRAME – оси с центром в левом нижнем углу рисунка; axes=NONE – без осей.

4) scaling – установка масштаба рисунка: scaling=CONSTRAINED – одинаковый масштаб по осям; scaling=UNCONSTRAINED – график масштабируется по размерам окна.

5) style=LINE(POINT) – вывод линиями (или точками).

6) numpoints=n – число вычисляемых точек графика (по умолчанию n=49).

7) сolor – установка цвета линии: английское название цвета, например, yellow – желтый и т.д.

8) xtickmarks=nx и ytickmarks=ny – число меток по оси Оx и оси Оy, соответственно.

9) thickness=n, где n=1,2,3… - толщина линии (по умолчанию n=1).

10) linestyle=n – тип линии: непрерывная, пунктирная и т.д. (n=1 – непрерывная, установлено по умолчанию).

11) symbol=s тип символа, которым помечают точки: BOX, CROSS, CIRCLE, POINT, DIAMOND.

12) font=[f,style,size] установка типа шрифта для вывода текста: f задает название шрифтов: TIMES, COURIER, HELVETICA, SYMBOL; style задает стиль шрифта: BOLD, ITALIC, UNDERLINE; size размер шрифта в pt.

13) labels=[tx,ty] – надписи по осям координат: tx – по оси Оx и ty – по оси Оy.

14) discont=true – указание для построения бесконечных разрывов.

С помощью команды plot можно строить помимо графиков функций y=f(x), заданной явно, также графики функций, заданных параметрически y=y(t), x=x(t), если записать команду plot([y=y(t), x=x(t), t=a..b], parameters).

Задание 1.

  1.  Построить график  жирной линией в интервале от -4 до 4. Наберите:

> plot(sin(x)/x, x=-4*Pi..4*Pi, labels=[x,y],

labelfont=[TIMES,ITALIC,12], thickness=2);

  1.  Построить график разрывной функции .

> plot(x/(x^2-1),x=-3..3,y=-3..3,color=magenta);

Замечание: на рисунке автоматически появляются вертикальные асимптоты.

  1.  Построить график параметрической кривой , ,  в рамке. Наберите:

> plot([sin(2*t),cos(3*t),t=0..2*Pi], axes=BOXED, color=blue);

  1.  Построить в полярных координатах график кардиоиды  с названием. Наберите:

> plot(1+cos(x), x=0..2*Pi, title="Cardioida", coords=polar, color=coral, thickness=2);

  1.  Построить два графика на одном рисунке: график функции  и касательную к нему . Наберите:

> plot([ln(3*x-1), 3*x/2-ln(2)], x=0..6,

scaling=CONSTRAINED, color=[violet,gold],

linestyle=[1,2], thickness=[3,2]);

§2. Дифференцирование

Вычисление производных.

Для вычисления производных в Maple имеются две команды:

  1.  прямого исполнения – diff(f,x), где f – функция, которую следует продифференцировать, x – имя переменной, по которой производится дифференцирование.
  2.  отложенного исполнения – Diff(f,x), где параметры команды такие же, как и в предыдущей. Действие этой команды сводится к аналитической записи производной в виде . После выполнения дифференцирования, полученное выражение желательно упростить. Для этого следует использовать команды simplify factor или expand, в зависимости от того, в каком виде вам нужен результат.

Пример:

> Diff(sin(x^2),x)=diff(sin(x^2),x);

Для вычисления производных старших порядков следует указать в параметрах x$n, где n – порядок производной; например:

> Diff(cos(2*x)^2,x$4)=diff(cos(2*x)^2,x$4);

Полученное выражение можно упростить двумя способами:

> simplify(%);

> combine(%);

Большинство задач дифференциального исчисления функций многих переменных решается в Maple теми же командами, что и для функций одной переменной, только с указанием дополнительных параметров.

Частные производные.

Для вычисления частных производных функции f(x1,…, xm) используется уже хорошо известная вам команда diff. В этом случае эта команда имеет такой формат: diff(f,x1$n1,x2$n2,…, xm$nm), где x1,…, xm – переменные, по которым производится дифференцирование, а после знака $ указаны соответствующие порядки дифференцирования. Например, частная производная  записывается в виде: diff(f,x,y).

Задание 2.

1. Найти  и  функции .

> f:=arctan(x/y):

>D iff(f,x)=simplify(diff(f,x));

> Diff(f,y)=simplify(diff(f,y));

.

2. Найти все частные производные 2-го порядка функции .

> restart; f:=(x-y)/(x+y):

> Diff(f,x$2)=simplify(diff(f,x$2));

> Diff(f,y$2)=simplify(diff(f,y$2));

> Diff(f,x,y)=diff(f,x,y);

.

                        §3 Интегрирование функции одной переменной.

Аналитическое и численное интегрирование.

Неопределенный интеграл  вычисляется с помощью 2-х команд:

  1.  прямого исполнения – int(f, x), где f – подынтегральная функция, x – переменная интегрирования;
  2.  отложенного исполнения – Int(f, x) – где параметры команды такие же, как и в команде прямого исполнения int. Команда Int выдает на экран интеграл в аналитическом виде математической формулы.

Для вычисления определенного интеграла  в командах int и  Int добавляются пределы интегрирования, например,

> Int((1+cos(x))^2, x=0..Pi)=

int((1+cos(x))^2, x=0..Pi);

Если в команде интегрирования добавить опцию continuous: int(f, x, continuous), то Maple будет игнорировать любые возможные разрывы подынтегральной функции в диапазоне интегрирования. Это позволяет вычислять несобственные интегралы от неограниченных функций. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования вычисляются, если в параметрах команды int указывать, например, x=0..+infinity.

Численное интегрирование выполняется командой evalf(int(f, x=x1..x2), e), где e – точность вычислений (число знаков после запятой).

Интегралы, зависящие от параметра. Ограничения для параметров.

Если требуется вычислить интеграл, зависящий от параметра, то его значение может зависеть от знака этого параметра или каких-либо других ограничений. Рассмотрим в качестве примера интеграл , который, как известно из математического анализа, сходится при а>0 и расходится при а<0. Если вычислить его сразу, то получится:

> Int(exp(-a*x),x=0..+infinity)=

int(exp(-a*x),x=0..+infinity);

Definite integration: Can't determine if the integral is convergent.

Need to know the sign of --> a

Will now try indefinite integration and then take limits.

.

Таким способом интеграл с параметром не вычислить. Для получения явного аналитического результата вычислений следует сделать какие-либо предположения о значении параметров, то есть наложить на них ограничения. Это можно сделать при помощи команды assume(expr1), где expr1 – неравенство. Дополнительные ограничения вводятся с помощью команды additionally(expr2), где expr2 – другое неравенство, ограничивающее значение параметра с другой стороны.

После наложения ограничений на параметр Maple добавляет к его имени символ (~), например параметр a, на который были наложены некоторые ограничения, в сроке вывода будет иметь вид: a~.

Описание наложенных ограничений параметра a можно вызвать командой about(a). Пример: наложить ограничения на параметр a такие, что a>-1, a3:

> assume(a>-1); additionally(a<=3);

> about(a);

Originally a, renamed a~:

 is assumed to be: RealRange(Open(-1),3)

Вернемся к вычислению интеграла с параметром , которое следует производить в таком порядке:

> assume(a>0);

> Int(exp(-a*x),x=0..+infinity)=

int(exp(-a*x),x=0..+infinity);

Задание 3.

  1.  Найти неопределенные интегралы: а) ;

б) .

> Int(cos(x)*cos(2*x)*cos(3*x),x)=

int(cos(x)*cos(2*x)*cos(3*x), x);

> Int((3*x^4+4)/(x^2*(x^2+1)^3),x)=

int((3*x^4+4)/(x^2*(x^2+1)^3),x);

  1.  Найти определенный интеграл , при условии a>0, b>0.

> assume (a>0); assume (b>0);

> Int(sin(x)*cos(x)/(a^2*cos(x)^2+b^2*sin(x)^2),

x=0..Pi/2)=int(sin(x)*cos(x)/(a^2*cos(x)^2+b^2*

sin(x)^2),x=0..Pi/2);

  1.  Найти несобственный интеграл , при a>-1

> restart; assume(a>-1);

> Int((1-exp(-a*x^2))/(x*exp(x^2)),

x=0..+infinity)=int((1-exp(-a*x^2))/(x*exp(x^2)),

x=0..+infinity);

§4 Интегральное исчисление функций многих переменных

В Maple имеются две специальные команды для вычисления двойных и тройных интегралов, содержащиеся в библиотеке student.

Для вычисления двойных интегралов  используется команда Doubleint(f(x, y), D), где D – область интегрирования, записываемая в одном из следующих форматов:

  •  x=х1..х2, y=y1..y2, где числа х1, х2, y1, y2 задают прямоугольную область интегрирования;
  •  x=f1(y)..f2(y), y=y1..y2, где f1(y), f2(y)  линии, ограничивающие область интегрирования слева и справа на интервале от y1 до y2; 
  •  x=х1..х2, y=g1(x)..g2(x) , где g1(y), g2(y)  линии, ограничивающие область интегрирования снизу и сверху на интервале от х1 до х2.

Для вычисления тройных интегралов  используется команда Tripleint(f(x, y, z),x, y, z, V), где V – область интегрирования.

Обе эти команды являются командами отложенного действия. Чтобы получить значение интеграла, следует использовать команду value(%).

Повторные интегралы можно вычислять с помощью повторения команды int, например, повторный интеграл  вычисляется командой

> int(int(x^2*y^3, x=0..1), y=0..2);

Задание 4.

  1.  Вычислить повторный интеграл

> Int(Int(y^3/(x^2+y^2),x=0..y),y=2..4)=

int(int(y^3/(x^2+y^2), x=0..y),y=2..4);

  1.  Вычислить двойной интеграл  по области, ограниченной линиями .

Замечание: сначала следует описать область интегрирования D в виде неравенств:

> restart: with(student):

> J:=Doubleint(sin(x+2*y), x=y..Pi/2-y, y=0..Pi/2);

> J:=value(%);

3. Вычислить тройной интеграл  .

Замечание: следует помнить, что порядок интегрирования определяется последовательностью пределов, поэтому сначала  указываются пределы, содержащие функции.

> J:=Tripleint(4+z, y=x^2..1,x=-1..1, z=0..2);

> J:=value(%);

§5. Действия с матрицами

Основная часть команд для решения задач линейной алгебры содержится в библиотеке linalg. Поэтому перед решением задач с матрицами и векторами следует загрузить эту библиотеку командой with(linalg).

Определение матрицы.

Для определения матрицы в Maple можно использовать команду matrix(n, m, [[a11,a12,…,a1n], [a21,a22,…,a2m],…, [an1,an2,…,anm]]), где n  число строк, m – число столбцов в матрице. Эти числа задавать необязательно, а достаточно перечислить элементы матрицы построчно в квадратных скобках через запятую. Например:

> A:=matrix([[1,2,3],[-3,-2,-1]]);

Арифметические операции с матрицами.

Сложение двух матриц одинаковой размерности осуществляется теми же командами, что и сложение векторов: evalm(A+B) или matadd(A,B). Произведение двух матриц может быть найдено с помощью двух команд:

  1.  evalm(A&*B); 
  2.  multiply(A,B).

В качестве второго аргумента в командах, вычисляющих произведение, можно указывать вектор, например:

> A:=matrix([[1,0],[0,-1]]);

> B:=matrix([[-5,1], [7,4]]);

 

> v:=vector([2,4]);

> multiply(A,v);

> multiply(A,B);

> matadd(A,B);

Команда evalm позволяет также прибавлять к матрице число и умножать матрицу на число. Например:

> С:=matrix([[1,1],[2,3]]):

> evalm(2+3*С);

Определители, миноры и алгебраические дополнения. Ранг и след матрицы.

Определитель матрицы А вычисляется командой det(A). Команда minor(A,i,j) возвращает матрицу, полученную из исходной матрицы А вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца. Минор Mij элемента aij матрицы А можно вычислить командой det(minor(A,i,j)). Ранг матрицы А вычисляется командой rank(A). След матрицы А, равный сумме ее диагональных элементов, вычисляется командой trace(A).

> K:=matrix([[4,0,5],[0,1,-6],[3,0,4]]);

> det(K);

1

> minor(K,3,2);

> det(%);

-24

> trace(K);

9

Обратная и транспонированная матрицы.

Обратную матрицу А1 , такую что А1А=АА1=Е, где Е  единичная матрица, можно вычислить двумя способами:

  1.  evalm(1/A);
  2.  inverse(A).

Транспонирование матрицы А – это изменение местами строк и столбцов. Полученная в результате этого матрица называется транспонированной и обозначается А'. Транспонированную матрицу А' можно вычислить командой transpose(A). 

Например, используя заданную в предыдущем пункте матрицу K, найдем ей обратную и транспонированную:

> inverse(K);

> multiply(K,%);

> transpose(K);

Задание 5.

  1.  Даны матрицы: , , . Найти: (AB)C , detA, detB, detC, det[(AB)C]. Наберите:

> restart;

 with(linalg):  A:=matrix([[4,3],[7,5]]):

> B:=matrix([[-28,93],[38,-126]]):

> C:=matrix([[7,3],[2,1]]):

> F:=evalm(A&*B&*C);

> Det(A)=det(A); Det(B)=det(B); Det(C)=det(C);

Det(F)=det(F);

Det(A)=1

Det(B)=6

Det(C)=1

Det(F)=6

  1.  Дана матрица , найти: det A,  А',  ,  det(M22). Наберите:

> A:=matrix ([[2,5,7],[6,3,4],[5,-2,-3]]);

> Det(A)=det(A);

Det(A)=1

> transpose(A);

> inverse(A);

> det(minor(A,2,2));

41

Контрольные задания.

  1.  Построить на отдельных рисунках графики функций Бесселя первого рода Jn(x) для различных ее номеров n в интервале –20<x<20. Функции Бесселя вызываются командой BesselJ(n,x), где n – номер функции Бесселя, x – независимая переменная. Построить первые 6 функций Бесселя для n=0,1,2,3,4,5,6. Как они выглядят и чем отличаются друг от друга? Сделать подписи осей курсивом.
  2.  Построить график функции  в полярных координатах при 0<<4. Используйте цвет линии под названием magenta, установите толщину линии 3.
  3.  Построить график функции

  1.  Найти .
  2.  Найти все частные производные 2 – ого порядка функции

.

  1.  Вычислить неопределенный интеграл .
  2.  Вычислить несобственный интеграл  при a>0 b>0 для случаев: 1) a>b, 2) a=b,  3)a<b.
  3.  Вычислить тройной интеграл:

.

9.        Даны матрицы  и . Найти: AB, BA, detA, detB.

  1.  Дана матрица: . Найти: detA, А-1, M32, A'.

Контрольные вопросы.

  1.  С помощью каких команд строятся графики на плоскости ? Какие аргументы имеют эти команды? Что такое команды прямого и отложенного исполнения? Опишите их действия.
  2.  Какие команды производят аналитическое и численное интегрирование? Опишите их параметры.
  3.  С помощью каких команд вводятся ограничения на параметры для вычисления интегралов, зависящих от параметров?
  4.  Для чего предназначен пакет student?
  5.  Какой пакет следует загрузить перед решением задач линейной алгебры в Maple? Какими двумя командами можно вычислить произведение двух матриц (или матрицы на вектор)?
  6.  Какие команды используются для нахождения определителя, минора, алгебраического дополнения, следа матрицы?
  7.  Какая матрица называется обратной и какими способами она вычисляется в Maple?


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

50280. ОПЕРЕДЕЛЕНИЕ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ НАПРЯЖЕННОСТИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ МЕТОДОМ ТАНГЕНС-ГАЛЬВАНОМЕТРА 130.5 KB
  Тангенс-гальванометр - это прибор состоящий из короткой по длине катушки индуктивности радиуса R и подвижной магнитной стрелки вертикальная ось которой закреплена в геометрическом центре катушки рис. 4 Магнитное поле созданное током протекающим по виткам катушки тангенс-гальванометра направлено вдоль оси катушки и перпендикулярно плоскостям витков с током. 2 Величина напряженности магнитного поля в центре N круговых токов короткой катушки индуктивности может быть найдена по закону Био-Савара-Лапласа 3 где I ...
50281. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УДЕЛЬНОГО ЗАРЯДА ЭЛЕКТРОНА 160 KB
  Величина удельного заряда может быть измерена различными методами. В данной работе используется «метод магнетрона», в котором используется отклонение магнитным полем электрона, движущегося ускоренно под действием электрического поля, перпендикулярного магнитному. На заряженную частицу, движущуюся со скоростью v в однородном (одинаковом во всех точках пространства) магнитном поле с индукцией В, действует сила Лоренца...
50282. Интерфейс программного комплекса Electronics Workbench 2.28 MB
  Интерфейс пользователя состоит из полоски выпадающего меню панели инструментов и рабочей области. Полоса выпадающего меню состоит из следующих компонент: 1. File меню работы с файлами 2. Edit меню редактирования 3.
50284. Создание и обработка баз данных о занятиях и преподавателях 553.5 KB
  Анализ задания на разработку базы данных. Формы для редактирования табличных данных. Microsoft ccess это система управления базами данных СУБД.
50286. Запуск и остановка Apache 246 KB
  Вы должны запустить аpаche как суперпользователь. pche после запуска будет порождать дочерние процессы использующие UID и GID указанные в директивах User и Group. Для перезапуска pche выполните команду service httpd restrt или etc rc.
50287. Средства и способы радиационной и химической разведки в очагах массового поражения (ОМП) и чрезвычайных ситуаций (ЧС) 54.5 KB
  При 5060 качаниях насоса через индикаторную трубку проходит 182 л воздуха. В качестве примера можно имитировать определение в воздухе ОВ с любой из трубок например с тремя зелеными кольцами: специальным ножом имеющимся в торце насоса надрезать трубку с обеих сторон и обломить концы; найти в торце насоса углубление со штырем в центре и насадив трубку на штырь вскрыть ампулу внутри нее; вставить трубку в насос и сделать 10 15 качаний; вынуть трубку и сравнить окраску наполнителя с эталоном имеющимся на кассете. В качестве...
50288. Заповнення багатокутників 69 KB
  Однією із унікальних характеристик растрового пристрою є можливість представлення суцільних областей. Генерацію суцільних областей із простих описів ребер або вершин називають растровою розгорткою суцільних областей, заповненням багатокутників або заповненням контурів. Для цього використовують кілька методів, які можна поділити на дві категорії: растрова розгортка та заповнення із затравкою.