42081

Основные понятия комбинаторики

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

В появившемся диалоговом окне Мастер функции шаг 1 из 2 слева в поле Категория указаны виды функции. В поле Функции выбираем функцию ФАКТР . В рабочее поле Число вводим с клавиатуры число переставляемых объектов в примере 26. В появившемся диалоговом окне Мастер функции шаг 1 из 2 слева в поле Категория указаны виды функции.

Русский

2013-10-27

2.58 MB

86 чел.

Министерство образования и науки Украины

Национальный технический университет Украины

«Киевский Политехнический Институт»

Факультет социологии и права

Лабораторная работа №1

по теории вероятности

на тему:

«Основные понятия комбинаторики»

Выполнил

Студент 2-го курса

Группы АМ-74

Балашов Дмитрий Валерьевич

Проверила

Бахтина Галина Петровна

Киев 2008

Цель работы

Ознакомится с основными понятиями комбинаторики и способами их решения в программе Microsoft Excel.

Теоретические сведения:

Комбинаторика (Комбинаторный анализ) — раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисление элементов) и отношения на них (например, частичного порядка). Комбинаторика связана со многими другими областями математики - алгеброй, геометрией, теорией вероятности, и имеет широкий спектр применения, например в информатике и статистической физике.

Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд "Рассуждения о комбинаторном искусстве".

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КОМБИНАТОРИКИ

1. Перестановки

Перестановкой n элементов множества называется их комбинация, отличающаяся только порядком расположения.

В комбинаторике принято следующее обозначение: если в множестве имеется n элементов, Pn – число перестановок элементов этого множества.

Как вычислить число перестановок? Рассмотрим конкретные множества:

  •  n = 0: P0 = 1 – по определению;
  •  n = 1: P1 = 1;
  •  n = 2: например, есть множество {1, 2}, возможны числа 12 и 21, значит P2 = 2;
  •  n = 3: сколько различных трехзначных чисел можно составить из множества {1, 2, 3}? Начнем с тех, которые начинаются с 1: 123, 132, затем с 2: 213, 231, и с 3: 312, 321. Всего получается 6 чисел. Это значит, что P3 = 6.

Можно предположить, что

                                                           Pn = n × Pn-1                                                         (1.1)

И это действительно так. Доказывается, например, методом математической индукции.

Формула (1.1) называется рекуррентной, так как позволяет вычислять значение очередной величины через предыдущее.

Применяя формулу (1.1) для множества n элементов последовательно, начиная с первого, получим:

Pn = n × (n-1) × (n-2) × … × 3 × 2 × 1 = 1 × 2 × 3 × … × n;

Pn = n! = 1 × 2 × 3 × … × n.

Формула числа перестановок в множестве из n элементов.

Для нахождения числа перестановок в Microsoft Excel используется специальная функция – ФАКТР. Рассмотрим пример нахождения числа перестановок на компьютере.

ПРИМЕР:

P26 = 26

РЕШЕНИЕ:

  1.  Устанавливаем табличный курсор в свободную ячейку, например  в А1. Здесь должно оказаться значение числа перестановок.

  1.  Для получения значения перестановок воспользуемся специальной функцией: нажимаем на панели инструментов кнопку Вставить функцию (fx).

3. 1. В появившемся диалоговом окне Мастер функции – шаг 1 из 2 слева в поле Категория указаны виды функции. Выбираем Математические. 

3. 2. В поле Функции выбираем функцию ФАКТР . Нажимаем кнопочку «ОК».

  1.  Появляется диалоговое окно ФАКТР.

 

В рабочее поле Число вводим с клавиатуры число переставляемых объектов (в примере – 26).

Нажимаем на кнопочку «ОК».

  1.  В ячейке А1 появляется искомое число перестановок – 4,03291E+26

2. Сочетание

Рассмотрим пример. Какие наборы можно составить из различного количества предметов, если всего их 4 – Шампанское, Печенье, Конфеты, Апельсины?

Были составлены наборы из 1 предмета, из 2, из 3, из 4, на основе исходных 4 предметов. Иначе можно сказать: были составлены подмножества из 1, 2, 3, 4 предметов, из 4 элементов данного множества. Такие подмножества называются сочетаниями.

По 1 предмету

По 2 предмета

По 3 предмета

По 4 предмета

Ш

Ш, А

Ш, А, П

Ш, А, П, К

А

Ш, К

Ш, А, К

П

Ш, П

П, К, А

К

К, П

П, К, Ш

К, А

П, А

Всего 4

Всего 6

Всего 4

Всего 1

Сочетаниями называются конечные подмножества, составленные из элементов данного множества. Если во множестве элементов – n, а в подмножестве m, то общее количество всех сочетаний обозначается и читается как число сочетаний из n элементов по m.

Очевидно, что n m. Приведем формулу для вычисления числа сочетаний:

 

Для нахождения числа сочетаний в Microsoft Excel используется специальная функция – ЧИСЛКОМБ.

В функции ЧИСЛКОМБ (число; число_выбранных) должны быть заданы следующие параметры:

  •  число – это число объектов n;
  •  число_выбранных – это число объектов в каждой комбинации m.

Рассмотрим пример нахождения числа сочетаний на компьютере.

ПРИМЕР:

РЕШЕНИЕ:

  1.  Устанавливаем табличный курсор в свободную ячейку, например  в А1. Здесь должно оказаться значение числа перестановок

.

  1.  Для получения значения числа сочетаний воспользуемся специальной функцией: нажимаем на панели инструментов кнопку Вставить функцию (fx).

3. 1. В появившемся диалоговом окне Мастер функции – шаг 1 из 2 слева в поле Категория указаны виды функции. Выбираем Математические. 

3. 2. Справа в поле Функции выбираем функцию ЧИСЛКОМБ . Нажимаем кнопочку «ОК».

4. Появляется диалоговое окно ЧИСЛКОМБ.

В рабочее поле Число вводим с клавиатуры число объектов n (в примере – 36). В рабочее поле Число_выбранных вводим с клавиатуры число объектов, которые необходимо выбрать, m (в примере – 2). Нажимаем на кнопочку «ОК».

= 630

3. Размещение

Допустим, что есть ткань трех цветов: Красная, Синяя, Белая. Какие сочетания по 2 цветам можно составить? Следующее:

{К; С}, {С; Б}, {К; Б}

А сколько различных двухцветных флагов можно составить?

К

С

С

Б

К

Б

С

К

Б

К

Б

К

В данном случае подмножеств, состоящих из элементов «красная» и «синяя»,  два, поскольку каждое из них представляет свою расцветку флага:

Красная

Синяя

Синяя

Красная

Чем отличаются эти подмножества от сочетаний? Тем, что во втором случае важен порядок расположения элементов. Такие подмножества называются размещениями.

Размещениями называются конечные упорядоченные подмножества из элементов данного множества. Общее количество размещений обозначается как:   и читается: число размещений из n по m (nm).

Приведем формулы для вычисления числа размещений:

Рассмотрим оба способа нахождения числа размещений на компьютере с помощью программы Microsoft Excel.

ПРИМЕР:

РЕШЕНИЕ (способ №1):

  1.  Устанавливаем табличный курсор в свободную ячейку, например А1

  1.  Находим число сочетаний. Нажимаем на панели инструментов кнопку Вставить функцию (fx).

  1.  1. В появившемся диалоговом окне Мастер функции – шаг 1 из 2 слева в поле Категория указаны виды функции. Выбираем Математические.

3. 2. В поле Функции выбираем функцию ЧИСЛКОМБ . Нажимаем кнопочку «ОК».

4. Появляется диалоговое окно ЧИСЛКОМБ.

5. В рабочее поле Число вводим с клавиатуры число объектов n (в примере – 21). В рабочее поле Число_выбранных вводим с клавиатуры число объектов, которые необходимо выбрать, m (в примере – 2). Нажимаем на кнопочку «ОК».

  1.  Указателем мыши щелкаем в Строке формул после последней скобки формулы =ЧИСЛКОМБ(21;2) и вводим с клавиатуры знак умножения - *. Для получения значения m! Дописываем после знака умножения (*) функцию ФАКТР(2) и нажимаем кнопочку Enter. В ячейке А1 получим желаемый результат  

= 420

РЕШЕНИЕ (способ №2):

  1.  Устанавливаем табличный курсор в свободную ячейку, например А2.

  1.  Для получения значения числа размещения воспользуемся специальной функцией ПЕРЕСТнажимаем на панели инструментов кнопку Вставить функцию (fx)

  1.  1. В появившемся диалоговом окне Мастер функции – шаг 1 из 2 слева в поле Категория указаны виды функций. Выбираем Статистические.

3. 2. Справа в поле Функция выбираем функцию ПЕРЕСТ. Нажимаем на кнопку «ОК»

    4. Появляется диалоговое окно ПЕРЕСТ.

В рабочее поле Число вводим с клавиатуры число объектов n (в примере – 21). В рабочее поле Число_выбранных вводим с клавиатуры число объектов, которые необходимо выбрать, m(в примере – 2).

= 420

ВЫВОД:

В ходе лабораторной работы мы ознакомились с основными  понятиями комбинаторики (такими как: перестановки, сочетания и размещение) и научились вычислять их в программе Microsoft Excel.

Так же привели пример решения каждого из этих способов.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74588. Медико-тактическая характеристика очагов поражения ядерным оружием 1.42 MB
  Оно будет возникать как в момент ядерного взрыва так и на следе радиационного облака. Характеристика поражающих факторов ядерного взрыва. Все эти формы проявления энергии получили название поражающих факторов ядерного взрыва. Воздушная ударная волна начинает действовать на объект через несколько секунд после взрыва в зависимости от его удаления от центра эпицентра и длится от долей до нескольких секунд.
74589. Медико- тактическая характеристика очагов поражения при авариях на атомных энергетических установках 70 KB
  Доза внутреннего облучения в таких условиях составит 10 бэр а сумма сочетанного облучения 20 бэр. Следовательно эффективная годовая доза при средней мощности гаммаизлучения равной 5 мР ч составит 10 бэр при средней мощности дозы равной 03 мР ч 05 бэр в год. Допустимая доза облучения для населения за первый год после аварии была установлена в 10 бэр а в последующем 05 бэр в год. При угрозе получения дозы 75 бэр и выше эвакуация организуется немедленно.
74590. Отравляющие и сильнодействующие ядовитые вещества кожно-нарывного действия. Клиника, диагностика и лечение 99 KB
  Клиника поражения и особенности её проявления при различных путях поступления в организм. Эти ОВ являются клеточными органическими ядами вызывают язвенно-некротические поражения тех органов и систем с которыми имеют контакт и кроме того оказывают общерезорбтивное действие на организм. В связи с этим они на большие сроки выводят личный состав из строя затрудняется лечение поражения ими так как отсутствует за исключением унитиола при поражении люизитом антидотная терапия. Местное действие проявляется в развитии воспалительного и...
74591. Современное состояние и перспективы развития токсикологии отравляющих и сильнодействующих ядовитых веществ 114.5 KB
  Значительная часть американских химических боевых средств размещена и за пределами национальной территории: в Южной части Тихого океана (атолл Джонсоне) и в Германии. Общий объём ОВ, находящихся только на территории Германии
74592. Отравляющие и сильнодействующие ядовитые вещества нервно-паралитического действия. Клиника, диагностика и лечение 126 KB
  Это объясняется следующими свойствами ФОВ: а высокой токсичностью в десятки раз и сотни превышающая токсичность старых ОВ ультраяды один вдох смертелен при концентрации 01 мг л. На тактическое использование ФОВ существенное влияние оказывают их физико-химические и токсические свойства. После возникновения клинической картины отравления смертельный исход наступает обычно быстрее чем при поражении другими ФОВ. Способы доставки ФОВ: авиабомбы артиллерийские химические снаряды мины фугасы специальные распылители...
74593. Отравляющие и сильнодействующие ядовитые вещества общеядовитого действия. Клиника 29.97 KB
  Физикохимические и токсические свойства синильной кислоты цианидов оксида углерода нитробензола серо водорода акрилнитрила динитроортокрезола и др. Некоторые органические соедине ния синильной кислоты употребляются в сельском хозяйстве в добывающей промышленности могут встречаться поражения людей этими соединениями. снарядами снаряженными смесью синильной кислоты и треххлористого мышьяка. синильной кислоты и хлорциана опасность синильной кислоты в полевых условиях оказалась не существенной изза низкой устойчивости ее паров в...
74594. Отравляющие и сильнодействующие ядовитые вещества удушающего действия. Клиника. Диагностика и лечение 35.16 KB
  Для клинической картины интоксикации этими ОВ типично развитие острого отека легких который и является основной причиной гибели пораженных. Газобаллонные пуски хлора предпринятые немецкими милитаристами 22 апреля 1915 года вызвали массовое поражение токсическим отеком легких. Военному врачу нужно быть готовым к оказанию помощи больным с токсическим отеком легких и в мирное время. ОВ удушающего действия фосген и дифосген вызывают развитие токсического отека легких без выраженных резорбтивных признаков.
74595. Отравляющие вещества раздражающего действия 23.47 KB
  Изучить патологию клинику и лечение поражений ОВ раздражающего действия. Рассмотреть медицинские средства профилактики оказания помощи и лечение поражений ОВ раздражающего действия. Бадюгина Материальное обеспечение: Таблицы по ОВ раздражающего действия.
74596. Отравляющие и сильнодействующие ядовитые вещества психотомиметического действия. Клиника, диагностика и лечение 71.5 KB
  Изучить патологию, клинику и лечение поражений ОВ психотомиметического действия. Изучить медицинские средства профилактики, оказания помощи и лечение поражений ОВ психотомиметического действия.