42188

ИССЛЕДОВАНИЕ АПЕРИОДИЧЕСКОГО И КОЛЕБАТЕЛЬНОГО РАЗРЯДОВ КОНДЕНСАТОРА

Лабораторная работа

Физика

Исследование процесса разряда конденсатора на активное сопротивление. Определение влияния на разряд конденсатора значения активного сопротивления. Опытное определение величины емкости конденсатора по осциллограмме. Исследование колебательного разряда конденсатора.

Русский

2013-10-27

325.5 KB

36 чел.

PAGE  15

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №12. ИССЛЕДОВАНИЕ

АПЕРИОДИЧЕСКОГО И КОЛЕБАТЕЛЬНОГО

РАЗРЯДОВ КОНДЕНСАТОРА

Цель работы:

  1.  Исследование процесса разряда конденсатора на активное сопротивление. Определение влияния на разряд конденсатора значения активного сопротивления. Опытное определение величины емкости конденсатора по осциллограмме.
  2.  Исследование колебательного разряда конденсатора. Сравнение величин, полученных из опыта с расчетными.
  3.  Определение критического сопротивления.

Общие теоретические сведения

В электрических цепях различают установившиеся (стационарные) и неустановившиеся (нестационарные или переходные) процессы. Переходные процессы могут возникнуть в электрических цепях в результате включения или отключения этих цепей. Так например, при включении цепи с конденсатором C и активным сопротивлением r0 на постоянное напряжение (положение переключателя П в положение 1 на рис.12.1) или разряде предварительно заряженного конденсатора С на активное сопротивление R (положение переключателя П в положение 2 на рис.12.1) в цепи возникают переходные процессы.

Рис.12.1. Электрическая схема заряда и разряда конденсатора на активную нагрузку.

В результате этих процессов конденсатор С постепенно заряжается или разряжается, т. е. заряд q и напряжение uC на его выводах с течением времени t постепенно возрастают или уменьшаются и по цепи протекает ток в соответствии с выражением:

.    (12.1)

При разряде заряженного конденсатора на активное сопротивление R (положение переключателя П в положение 2 на рис.12.1) уравнение переходного процесса, составленное по второму закону Кирхгофа, запишется:

.    (12.2)

Подставив значение тока из формулы (12.1) в уравнение (12.2), получим дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами, описывающее изменение напряжения на конденсаторе в процессе его разряда на активное сопротивление:

.     (12.3)

Таким образом, задача о нахождении напряжения на конденсаторе в переходном режиме в линейной электрической цепи с сосредоточенными параметрами сводится к решению линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Решение дифференциальное уравнения (12.3) известным из математики классическим методом имеет вид:

,   (12.4)

где:    - установившееся значение напряжения на конденсаторе при  (частное решение дифференциального уравнения (12.3) с правой частью);

- свободная составляющая напряжения на конденсаторе (общее решение дифференциального уравнения (12.3) без правой части);

- корень характеристического уравнения RCp+1=0, полученного путем алгебраизации дифференциального уравнения (12.3) без правой части.

t = RC  - постоянная времени цепи RC, измеряется в секундах и характеризует скорость уменьшения экспоненты;

С  - емкость конденсатора, Ф;

R  - величина активного сопротивления, Ом;

 uС(0)  - напряжение на конденсаторе в момент коммутации (t = 0),

- постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий (НУ). Начальные условия переходного процесса – это значения напряжений на конденсаторах С и токов в индуктивностях L, которые согласно законам коммутации не могут изменяться скачком. Следовательно, для конденсатора НУ будут равны: t=0, uC=uC(0).

Рис.12.2. Переходный процесс при разряде конденсатора С на активное сопротивление R.

Изменение напряжения на конденсаторе в процессе его разряда на активное сопротивление R в соответствии с формулой (12.4) показано на рис.12.2.

Ток, протекающий через конденсатор, определим, применяя формулу (12.1):

.  (12.5)

Знак «минус» в формуле (12.5) показывает, что ток идет в направлении, противоположном показанному на рис.12.1, т.е. в направлении, противоположном напряжению на конденсаторе. Это значит, что идет процесс разряда конденсатора и он теряет заряд.

Скорость уменьшения напряжения на конденсаторе определяется постоянной времени . Чем больше значения R и C, тем медленнее уменьшается напряжение. Зная напряжение на конденсаторе uC(0 при t=0  и uc(tp)  через известный промежуток времени  tp,   можно при известном  сопротивлении R  определить  емкость С  конденсатора из соотношения:

.     (12.6)

Преобразуем выражение (12.6):

.      (12.7)

Логарифмируя выражение (12.7), получим

.     (12.8)

Следовательно,

.     (12.9)

Значение     и   tР  определяются  в  лабораторной работе по осциллограмме (рис. 12.2).

Рис.12.3. Электрическая схема заряда конденсатора и разряда его на активно-индуктивную нагрузку.

При разряде конденсатора С на активно-индуктивную нагрузку R, L (переключатель П на рис.12.3 находится в положении 2) уравнение переходного процесса, составленное по второму закону Кирхгофа, запишется:

.   (12.10)

Дифференцируя уравнение (12.10)и разделив все члены этого уравнения на L, получим:

   (12.11)

Как видно, переходный процесс при разряде конденсатора на активно-индуктивную нагрузку описывается дифференциальным уравнением второго порядка, так как в схеме имеются два накопителя энергии: конденсатор и катушка индуктивности. Полное решение дифференциального уравнения (12.11) имеет вид:

.  (12..12)

Здесь:    - установившееся значение напряжения на конденсаторе при  (частное решение дифференциального уравнения (12.11)); оно как и ранее равно нулю;

- свободная составляющая напряжения на конденсаторе (общее решение дифференциального уравнения (12.11));

А1 и А2  - постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий;

р1 и р2 – корни характеристического уравнения.

Характеристическое уравнение дифференциального уравнения (12.11) имеет вид:

.     (12.13)

Корни характеристического уравнения (12.13) равны:

,  (12.14)

      .             (12.15)

Здесь:    - коэффициент затухания, с-1;

 - резонансная угловая частота цепи, с-1.

Характер переходного процесса зависит от соотношения между  и , т. е. от величин параметров R,L и C. Очевидно, что возможны три случая.

1. Если  > 1/LC   или   r > ,   то  р1 и р2 – отрицательные вещественные числа, причем  и в этом случае процесс носит апериодический характер.

2. Предельный случай апериодического разряда возможен при соотношении:

 r=  = Rкр.    (12.16)

Сопротивление Rкр называется критическим. В этом случае .

3. Если  r < ,   то выражение под корнем отрицательное и корни характеристического уравнения – комплексные сопряженные:

,     (12.17)

.     (12.18)

Здесь     -  угловая частота собственных или свободных колебаний контура. Переходный процесс в этом случае носит колебательный характер (рис.12.4). Период собственных колебаний контура :

.      (12.19)

Рис.12.4. Переходный процесс при разряде конденсатора на активно-индуктивное сопротивление  r,L.

Рассмотрим, как найти постоянные интегрирования А1 и А2, входящие в уравнение (12.12). Для нахождения двух неизвестных величин необходимо иметь два уравнения.  В качестве первого уравнения используем уравнение (12.12) для напряжения на конденсаторе, а в качестве второго – уравнение для тока в конденсаторе. Ток в конденсаторе найдем, применяя соотношение (12.1):

.    (12.20)

На основании законов коммутации сформулируем начальные условия (НУ):t=0, uC= uC(0), i=0. Подставив НУ в уравнения (12.12) и (12.20) и, учитывая, что , получим:

,      (12.21)

.      (12.22)

В матричной форме:

.     (12.23)

Решая систему (12.23), определим постоянные интегрирования А1 и А2:

, .    (12.24)

При вещественных неравных корнях напряжение на конденсаторе будет изменяться по закону:

. (12.25)

Как видно из формулы (12.25), напряжение на конденсаторе есть разность двух экспонент.

Если корни характеристического уравнения будут равные

, то числитель и знаменатель выражения (12.25) обращаются в ноль и получается неопределенность вида . Раскроем эту неопределенность по правилу Лопиталя:

,

или, учитывая, что  , получим:

.    (12.26)

При комплексных корнях постоянные времени будут выражаться следующим образом:

и .  (12.27)

Подставим значения постоянных интегрирования из уравнений (12.27) в уравнение (12.12) и после преобразования будем иметь:

. (12.28)

Применяя формулы Эйлера:   и , получим:

.  (12.29)

Через время  Т1, когда   и , а , напряжение на конденсаторе будет равно

,     (12.30)

или

.      (12.31)

Коэффициент  называют декрементом колебаний, а  - логарифмическим декрементом колебаний. Логарифмируя выражение (12.31), получим:

.       (12.32)

Следовательно:

.      (12.33)

Зная  uC(0),  uC1)   и   Т1   из осциллограммы (рис.12.4) можно, пользуясь формулой (12.33) определить  d   и сравнить с расчетной величиной.

.

Отметим, что если  и , то колебания не затухают. Период незатухающих колебаний выражается формулой Томсона: .

Порядок выполнения работы

Схема для исследования приведена на рис.12.5. Контакты поляризованного реле П периодически переключают конденсатор C с заряда (положение 1) на разряд (положение 2) с частотой 50Гц. Время цикла «заряд-разряд» составляет с. Параметры элементов в схеме задаются компьютером в соответствии с шифром студента.

Рис.12.5. Вид активного окна лабораторной работы №12. Схема для исследования переходных процессов при разряде конденсатора на активную нагрузку.

  1.   Исследовать разряд конденсатора С на активное сопротивление R. Для этого установить выключатель В1 в положение «выкл» (контакты выключателя разомкнуты),а выключатели В2, В3 и В4  в положение «вкл» (контакты выключателей замкнуты). Значение сопротивления резистора R  можно узнать, если подвести указатель мыши к движку или к светлой части регулируемого резистора R. Если указатель мыши находится долго на изображении резистора, то индикация величины сопротивления через некоторое время исчезает. Для того, чтобы величина сопротивления высветилась снова, нужно отвести движок в сторону  и снова установить его на изображение резистора.
  2.  Подать напряжение на схему включением сетевого выключателя В и наблюдать на экране виртуального осциллографа процесс разряда конденсатора на активное сопротивление (рис.12.5). Измерить и записать в табл.12.1 для двух значений сопротивления R – максимального и среднего (устанавливается движком потенциометра) следующие параметры:

а) время   разряда конденсатора,  

б) напряжения  и  в начале и в конце разряда.

Для измерения напряжения и времени можно пользоваться  указателем мыши, подводя его к нужной точке осциллограммы и щелкнув левой кнопкой.

3. Вычислить емкость конденсатора С по формуле (12.9).

4. Наблюдать на осциллографе влияние величины активного сопротивления  R на процесс разряда конденсатора.

Таблица 12.1.

Задано

Измерено

Вычислено

    R

   T 

   tР

  uC(0)

 uC(tP)

    C

  Ом

   с

   с

    В

   В

   мкФ

0,02

  1.  Исследовать колебательный разряд конденсатора. Для этого установить выключатели В3 и В4 в положение «выкл» (контакты выключателей разомкнуты), а  выключатели В1 и В2 в положение «вкл» (контакты выключателей замкнуты). При этом в разрядную цепь вводится индуктивность L и изменяется величина активного сопротивления. Она становится равной r. Наблюдая процесс разряда конденсатора на осциллографе (рис.12.6), определить и записать в табл.12.2: .

    а) рассчитать коэффициент затухания  по формуле (12.33),

б) собственную угловую частоту

.

в) резонансную угловую частоту  по формуле: .

г) индуктивность катушки L по формуле  (Величина емкости С  конденсатора определена ранее в п.4);

д) величину активного сопротивления r по формуле .

Данные  свести в табл. 12.2.

  1.  

Рис.12.6. Вид активного окна лабораторной работы №12. Схема для исследования переходных процессов при разряде конденсатора на активно-индуктивную нагрузку.

  1.  Определить критическое сопротивление Rкр колебательного контура. Для этого разомкнуть выключатель В2 и замкнуть выключатель В4. Выключатель В3 остается разомкнутыми, а В1 – замкнутым. Увеличивая величину  rК,  наблюдать процесс разряда конденсатора. Заметить, при каком значении  rК=Rкр  колебательный разряд переходит в апериодический. Для плавного изменения величины сопротивления rК следует пользоваться клавишами управления курсором «влево» () и «вправо» ().При переходе от апериодического разряда к колебательному  меняется знак дискриминанта в уравнениях (12.14) и (12.15). Для более точного определения критического сопротивления Rкр смена знака дискриминанта указывается в активном окне справа. Величину критического Rкр сопротивления записать в табл. 12.2.

Таблица 12.2

                      Измерено

                      Вычислено

С      

T1

uC(0)

uC(T1)

RКР

ω1

ω0

L

r

мкФ

с

В

В

Ом

с-1

с-1

с-1

Гн

Ом

  1.  По известным параметрам схемы рассчитать:

a) резонансную угловую частоту

,

б) собственную угловую частоту колебаний

,

в) критическое сопротивление

.

Результаты расчета сравнить с данными, полученными  в  табл. 12.2.

8. Результаты расчетов (табл.12.1 и табл.12.2) занести для проверки в таблицу 12.3 в компьютере (вызвав ее из меню);

Таблица 12.3

С

L

r

RКР

мкФ

мГн

с-1

с-1 

с-1

Ом

Ом

  1.  Сделать заключение по работе.

Контрольные вопросы

  1.  Написать уравнение напряжения на конденсаторе при разряде его на активное сопротивление.
  2.  Что такое постоянная времени  t ? Чему она равна для цепи RC?
  3.  Начертить кривые напряжения и тока при разряде конденсатора для цепи RC.
  4.  Как  изменяются  кривые  разряда  и  заряда  конденсатора  при  изменении R  и  C ?
  5.  Написать дифференциальное уравнение напряжения и тока при разряде конденсатора на активное сопротивление и индуктивность.
  6.  Записать общий вид решения дифференциального уравнения при апериодическом и колебательном разрядах.
  7.  Как  выражается  через  параметры  R, L, C  частота  колебаний  на  конденсаторе ?
  8.  При каком значении  r  частота колебаний напряжения на конденсаторе достигает наибольшего значения ?
  9.  Что такое критическое сопротивление  RKР  и как оно выражается через параметры схемы  L  и  C . Из какого условия получается это выражение ?
  10.  Какой вид имеет разряд конденсатора при  r =RKР ?
  11.  Что такое коэффициент затухания  d ? Как определить его по осциллограмме ?
  12.  Каковы условия апериодического и колебательного разрядов конденсатора ?


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47277. Устройство рулевого управления Зил 5301 76.44 KB
  Для надежности соединений деталей рулевого привода пробки наконечников продольной рулевой тяги автомобиль ЗИЛ5301 и гайки крепления поворотных рычагов и шаровых пальцев зашплинтованы.Все шарнирные соединения рулевого привода для уменьшения износа деталей смазываются через масленки и имеют защитные приспособления от попадания грязи и вытекания смазки. При повороте колёс или наезде на препятствие детали рулевого привода перемещаются друг относительно друга как в вертикальной так и в горизонтальной плоскостях.
47279. Структура тормозного управления автомобиля и требования, предъявляемые к нему 446.74 KB
  Каждая из этих систем включает в себя тормозные механизмы обеспечивающие создание сопротивления движению автомобиля и тормозной привод необходимый для управления тормозными механизмами. К тормозной системе автомобиля предъявляются высокие требования. Стояночная тормозная система выполняет также функцию аварийной тормозной системы в случае выхода из строя рабочей тормозной системы. Каждая тормозная система состоит из тормозных механизмов которые обеспечивают затормаживание колес или вал трансмиссий и тормозного привода приводящего в...
47280. Разработка сети электроснабжения нового района города и коттеджного поселка 5.19 MB
  Построение вариантов схемы сети 380 В города и коттеджного поселка. Техникоэкономическое сравнение и выбор оптимального варианта схемы городской сети 380 В. Построение конкурентно способных вариантов схемы сети 10 кВ с учетом коттеджного поселка и выбор электрооборудования.
47282. Классификация и общая характеристика учреждений, предоставляющих социальные услуги 235 KB
  Предоставление социальных услуг без обеспечения проживания это предоставление услуг социального характера консультаций материальной помощи помощи беженцам и аналогичных услуг отдельным лицам и семьям на дому или в других местах. К учреждениям оказывающим социальные услуги без обеспечения проживания относятся комплексные центры социального обслуживания центры социального обслуживания семьи и детей центры социального обслуживания лиц без определенного места жительства и т. В центрах социального обслуживания населения и в отделах...
47283. Управление дебиторской задолженностью открытого акционерного общества «Коммунальные системы БАМа» 680.5 KB
  Сущность дебиторской задолженности Факторы влияющие на уровень дебиторской задолженности. Пути снижения дебиторской задолженности. Управление дебиторской задолженностью на примере ОАО Коммунальные Системы БАМа. Анализ дебиторской задолженности предприятия в целом.
47284. Цех подготовки фабрики газетной бумаги в г. Шклове 2.47 MB
  Определение крановых нагрузок В данном дипломном проекте выполнен расчет одной подкрановой балки расположенной по оси 1 расчётной рамы разрез 11 в пролете 14 которая идентична подкрановой балке по оси 4. Вариант 1 2 крана Используя правило Винклера устанавливаем два груза на балке и находим положение равнодействующей R относительно опоры А: мм Расстояние от критического груза до равнодействующей: С = 24 3 = 06 м По теореме Винклера устанавливаем колёса крана на балке таким образом чтобы расстояние от левой опоры до...