42196

Обробка результатів прямих багаторазових вимірювань

Лабораторная работа

Физика

Вивчення методів і набуття практичних навиків в обробці результатів багаторазових вимірювань які містять випадкові похибки. Програма роботи Під час роботи студенти вимірюють активні опори за допомогою універсального цифрового вимірювача Ф 480 так щоб досягти при цьому одержання найбільш точних результатів шляхом визначення і виключення систематичних і випадкових похибок вимірювань параметра з рівноточними значеннями відліку. З цією метою використовується методика багатократного вимірювання однієї і тієї ж величини з...

Украинкский

2013-10-27

263.5 KB

22 чел.

Лабораторна робота № 3

Обробка результатів

прямих багаторазових вимірювань

3. 1 Мета роботи

Вивчення методів і набуття практичних навиків в обробці результатів багаторазових вимірювань, які  містять випадкові похибки.

3. 2 Програма роботи

Під час роботи студенти вимірюють активні опори за допомогою універсального цифрового вимірювача Ф 480 так, щоб досягти при цьому одержання найбільш точних результатів, шляхом визначення і виключення систематичних і випадкових похибок вимірювань параметра з рівноточними значеннями відліку.

З цією метою використовується методика багатократного вимірювання однієї і тієї ж величини з подальшою обробкою результатів вимірювань у відповідності з рекомендаціями ДСТУ 8.207-76.

3. 3 Основні  теоретичні  положення

        Всі невизначеності за методом оцінки поділяються на дві категорії: А та В.

        До категорії типу А відносяться складові, які оцінюються шляхом застосування статистичних методів.

        До категорії типу В відносяться складові, які оцінюються іншими способами.

       За способом вираження розрізняють стандартну, сумарну, розширену, і відносну невизначеності.

        Мета обробки результатів вимірювань з багаторазовими спостереженнями полягає в зменшенні невизначеності результату вимірювань. При обробці багаторазових вимірювань розв’язують дві задачі.

        По-перше, визначають деякі наближені значення y вимірювальної величини Y, які називаються оцінкою і найкращим чином (з точки зору її ефективності), відповідають одержаним результатам.

        По-друге, визначають (по типу А) експериментальну стандартну невизначеність результатів окремих спостережень yk (k=1,2,..,n) і результату вимірювань y.

        Математичну обробку результатів прямих рівноточних вимірювань здійснюють в наступному порядку :

1.Виключити з числа результатів спостережень результати, які містять грубі похибки (промахи).

2.Виключити відомі систематичні похибки з результатів спостережень.

3.Обчислити середнє арифметичне виправлених результатів спостережень, яке приймається як результат вимірювання:

                                  (3.1)

4.Обчислити експериментальне стандартне відхилення результату спостереження

                             (3.2)

5.Обчислити експериментальне стандартне відхилення результату вимірювання (середнього арифметичного)

              (3.3)

6.Оцінити складові сумарної стандартної невизначеності по типу В невиключених залишків систематичної похибки результату вимірювання (аналогічно тому, як це робилося для прямих вимірювань з одноразовим спостереженнями).

7. Обчислити сумарну невизначеність типу В результату вимірювання

                              (3.4)

8.Обчислити сумарну невизначеність результату вимірювання

                           (3.5)

9.Визначити розширену невизначеність результатів вимірювання як

                                       (3.6)

де k – коефіцієнт охвату для нормального закону розподілу з рівнем довіри p.

10.Записати результат вимірювання у вигляді

                       p

чи                                                 p.                 (3.7)

      Грубими називаються похибки , які явно перевищують по своєму значенню похибки , що допускаються умовами проведення експерименту . Якщо в результаті вимірювань оператор виявляє , що результат одного із спостережень різко відрізняється від інших , то він може відкинути цей результат і провести повторні вимірювання . Але таке відкидання результатів може привести до спотворення характеристик розсіювання . І тому додаткові вимірювання краще проводити не взамін сумнівним , а як додаткові до них .

      Особливо важливо усувати грубі похибки в процесі обробки наявного матеріалу . Це здійснюється за допомогою статистичних методів (гіпотез) .

      Перш за все знаходять середнє арифметичне і середнє квадратичне відхилення результатів спостережень згідно формул (3.1) і (3.2) . При заданій довірливій ймовірності  α  знаходять то найбільше значення  υα , яке випадкова величина υ може прийняти . Після цього знаходимо значення , які приймає наша випадкова величина за формулами :

                    або        ,                       (3.8)

де  Ymax  i  Ymin — відповідно найбільший і найменший із результатів вимірювання ;  — середнє арифметичне значення (згідно формули 3.1);  σ — середнє квадратичне відхилення .

      Якщо υ  виявляється більшим за υα , то  вважають , що результат вимірювання вміщує грубу похибку .

        Перевірка на нормальність у випадку , коли кількість спостережень має незначну величину , здійснюється таким чином :

  1.  Результати спостережень групують в так званий “варіаційний ряд”  ( y(1) ; y(2) ; . . . ; y(n) )  так , щоб                   y(1)y(2) . . . y(n)  
  2.  Визначають статистичну функцію розподілу за формулою        де   k=1 , 2 , … , n .
  3.  Знаходять змінну  zk  за формулою                         (3.9)                      
  4.  В координатах  z - y  наносять точки   zk , yk .  При нормальному  законі  розподілу   вони повинні розташуватися вздовж однієї прямої лінії . Якщо ж ми отримуємо криву лінію , то експериментальні дані не підлягають закону нормального розподілу .

      Існують наступні функції розподілу похибок : інтегральна і диференційна .

Інтегральна  функція розподілу має такі властивості :

  •  симетричний розподіл результатів спостережень відносно істинного значення             вимірюваної величини ;

     —  графік часто має точку перегину в точці , яка відповідає істинному значенню ;

  •  безперервність . 

Диференційна функція розподілу (густина розподілу імовірностей) має такі властивості :

  •  графік частіше всього має дзвіноподібну форму з максимумом при істинному значенні ;
  •  площа завжди між графіком і віссю абсцис рівна  одиниці ;
  •  симетричність ;
  •  імовірність появи одинакових за величиною , але різних за знаком похибок є одинакова ;

        Існують наступні види розподілу результатів спостережень [3, с.30-32] і випадкових похибок (підпорядковуються диференційній функції розподілу) :

  1.  рівномірний ;
  2.  нормальний (розподіл Гауса) ;
  3.  розподіл Лапласа (використовується , коли точнісні характеристики наперед невідомі або нестабільні в часі) .

Найбільш поширеним при обробці результатів багаторазових вимірювань є закон нормального розподілу [3, с.103] , який характеризується функцією

                                        (3.10)

де f(y) - густина розподілу похибок вимірювання ; σ - середньоквадратичне відхилення випадкової величини (СКВ) від середнього арифметичного значення вибірки ; —середнє арифметичне значення .

       Математичне очікування М(y) є середнє значення випадкової величини і визначається з виразу      

                                             (3.11)

де рі – ймовірність виникнення і-тої події.

        На рисунку 3.1 наведений графік функції нормального розподілу густини імовірності випадкових похибок. Як відомо , по мірі збільшення СКВ імовірність появи великих похибок зростає , а малих зменшується , тобто збільшується розсіювання результатів . При точних вимірюваннях СКВ є менше ніж при неточних , а отже графік буде мати більш гострішу форму (див. рисунок 3.1). Отже при точних вимірюваннях імовірність появи малих похибок є більша ніж при неточних , а великих похибок — менша (видно з графіка на рисунку 3.1). При графічному зображенні функції нормального розподілу густини імовірності похибки, площа, яка обмежена кривою і віссю абсцис, дорівнює 1. При   імовірність складає Р =0.95 , а при    імовірність P3δ=0.9973. Точність вимірювання буде тим  більша, чим менше розсіяні результати окремих спостережень .

      Згідно ГОСТ 8.014-72 передбачено ряд форм представлення результату вимірювань :

  1.  Запис “220В, =0.1В; рівн.” означає , що виміряна напруга рівна 220В , причому випадкова похибка розподілена за нормальним законом із середнім квадратичним відхиленням 0.1В .
  2.  Запис “1.018564В; ΔС від 0 до 5·10-6В; Рд=0.95 ”  означає , що виміряна напруга рівна 1.018564В з можливою систематичною похибкою від 0 до 5 мкВ з імовірністю 0,95 .
  3.  Запис “1001.2±0.1пф; Рд=0.95; норм.” означає , що виміряна ємність рівна 1001.2 пф, з імовірністю 0.95 і розприділена за нормальним законом , тобто ємність лежить всередині інтервалу від 1001.1 до 1001.3 пф. При цьому похибка розприділена за нормальним законом .

          Рисунок 3.1 – Розподіл густини імовірності випадкових похибок          

Приклад знаходження невизначеності

Здійснюється вимірювання з багаторазовими спостереженнями частоти синусоїдного сигналу за допомогою електронно-розрахункового  частотоміру Ч3-63. Покази частотоміру f   становлять, кГц:

151348, 151342, 151344, 151346, 151348, 151349, 151345. 151351, 151343, 151344, 151359, 151350, 151347, 151348, 151346, 151352, 151345, 151349, 151347, 151346.

Необхідно оцінити невизначеність вимірювання частоти.

  1.  Складаємо специфікацію вимірювання:

а) аналіз умов вимірювання:

- вимірювання відбувається в лабораторних умовах при температурі навколишнього повітря +25°С;

б) аналіз схеми вимірювання:

- час рахунку приладу – 10 мс;

- час, який пройшов після установки дійсного значення частоти опорного генератора частотоміру – 3 місяці.

в) аналіз технічних характеристик приладу:

- робочі умови застосування приладу: температура навколишнього повітря від -30 до +50°С;

- відносна похибка вимірювання частоти синусоїдних сигналів δf в межах значень, розрахованих по формулі

                                                           (3.12)

де δ0 – відносна похибка по частоті внутрішнього опорного генератора, яка рівна  після само нагріву впродовж 2 годин ±1,5·10-7 за 30 днів і ±5·10-7 за 12 місяців після встановлення дійсного значення частоти;

- похибка квантування;

       - вимірювана частота, Гц;

- час рахунку, с.

  •  температурний коефіцієнт частоти опорного генератора не більше ±1·10-9 на 1°С;
  1.  Відкинемо з результатів вимірювання грубі похибки і промахи.

Для цього розрахуємо

  •  середнє арифметичне одержаних результатів

   кГц;

- стандартне відхилення результатів від середнього арифметичного

  кГц;

  •  інтервал невизначеності, який відповідає рівню довіри 0,9973 в припущенні нормального закону розподілу результату спостережень

  кГц;

  •  границі цього інтервалу для результатів спостережень

fмін=151336,12 кГц;      fмакс=151358,78 кГц.

              Найбільший результат спостереження 151359 кГц за межі розрахованого інтервалу, тому усувається з числа результатів спостережень як обтяжий грубою похибкою (чи промахом).

  1.  Оскільки систематичні похибки невідомі, ми їх не виключаємо.
  2.  Обчислимо середнє арифметичне виправлених результатів спостережень, яке приймається як результат вимірювання:

кГц;

  1.  Обчислимо експериментальне стандартне відхилення результату спостереження

кГц

  1.  Обчислимо експериментальне стандартне відхилення результату вимірювання (середнього арифметичного)

  Гц

  1.  Оцінимо складові сумарної стандартної невизначеності  по типу В ui(Y) невиключених залишків систематичної похибки результату вимірювання.
  2.  Невизначеність частоти внутрішнього опорного генератора частотоміру вичислюються через вираження для основної відносної похибки δf в припущенні про рівно вірогідним розподілі похибки всередині границь.

Границі абсолютної похибки δ0 не перевищують ±5·10-7.

Границі абсолютної похибки будуть в цьому випадку рівні

Δ0=f·δ0=±5·10-7·151346840=±76 Гц.

Стандартна невизначеність частоти опорного генератора u1, в припущенні про рівноймовірному розподілі похибки всередині границь, буде рівна

Гц.

  1.  Невизначеність квантування u2 визначається з границь похибки квантування

Гц

по формулі

Гц.

  1.  Невизначеність u3, обумовлена змінами частоти опорного генератора при зміні температури навколишнього середовища до 20°С (температура калі бровки частотоміру tk) до 25°С (температура навколишнього середовища в момент вимірювання tвим), обчислена про рівно ймовірний розподіл всередині границь, буде рівна

Гц

  1.  Обчислимо сумарну невизначеність типу В результату

            Гц.

При обчисленні сумарної невизначеності типу В                        складовою  знехтували. Складову   можна зменшити до меншої величини, збільшивши час рахунку.

  1.  Обчислимо сумарну невизначеність результату вимірювання

Гц

  1.  Згідно рівня довіри p=0.95, з врахуванням припущення про нормальність закону розподілу результату вимірювання, знаходимо розширену невизначеність

Гц,

Де k=2 – коецієнт обхвату.

  1.  Записуємо результат вимірювання у вигляді

f=151346,8±1,2 кГц, р=0,95

чи 151345,6 кГц≤ f151348,0 кГц, р=0,95.

Опис лабораторної установки

Лабораторний стенд складається з  універсального цифрового вимірювача Ф480, магазина опорів МСР-63, магазина ємностей типу Р5025, набір активних опорів R1 і R2 та ємностей С1 і С2 .

Рисунок 3.2 – Схема лабораторної установки

3. 4 Порядок виконання роботи

Вимірювання опорів.

3.4.1 Визначити систематичну похибку вимірювача Ф480 шляхом порівняння результатів багатократних вимірювань двох взірцевих опорів R01 і R02 .

Для цього встановити на магазині опорів МСР-63 опори R01 і R02. Після цього підєднують магазин МСР-63 до вимірювача Ф480 і здіснюють від 10 до 20 вимірювань кожного опору. Методика вимірювання за допомогою приладу Ф480 викладена в додатку А.

Визначити середнє значення отриманих вимірювань і знайти систематичні похибки  І  з формули за допомогою метода порівняння з мірою :

                                                                        (3.13)

де - середнє значення отриманих значень; ; - дійсне значення.      Результати вимірювань і розрахунків занести в таблицю 3.1.


Таблиця 3.1 – Визначення систематичної похибки вимірювача типу Ф480 при вимірюванні опорів

Дійсне значення опору, взяте з магазину опорів МСР-63, кОм

Виміряні значення опору приладом Ф480,

кОм

Систематичні похибки,  КОм

R01

R02

Ri1

Ri2

і

і

1

2

20

3.4.2 Побудувати  і визначити характер систематичної похибки.

3.4.3 Виміряти опори R1  або R2 (за вказівкою викладача) в “ручному режимі” з допомогою приладу Ф480. При вимірюванні опору здійснити 25 спостережень.

3.4.4 Користуючись попереднім графіком  визначити значення систематичної похибки для кожного з 25 спостережень і виключити її з результатів вимірювань                      (3.14)

             3.4.5 Розрахувати середнє арифметичне значення виправлених результатів вимірювань  і визначити випадкові відхилення  результатів вимірювання з виразу

                              (3.15)

Одержані дані занести в таблицю 3.2.

Таблиця 3.2 Виключення систематичної похибки вимірювача типу Ф480 при вимірюванні опорів

Виміряні значення опору Ri, кОм

Систематична похибка

, кОм

Виправлені вимірювання

Rнi , кОм

Випадкові відхилення результатів вимірювання Ui, кОм

1

2

25

3.4.6 Визначити розсіювання результатів спостережень  відносно середньоарифметичного значення .

3.4.7 Побудувати гістограму ( згідно методики) і порівняти з теоретичним законом розподілу похибки

3.4.8 Визначити наявність грубих помилок, задаючись довірливою імовірністю Р=0, 95 і розрахувати довірливу границю випадкової похибки . Перевірити , що експериментальні дані підлягають нормальному закону розподілу .

3.5 Обробка результатів. Основні формули для обчислень

Методика обробки результатів багаторазових вимірювань складається за таким алгоритмом:

3.5.1 Визначають систематичну похибку за формулою (3.13).

3.5.2 Виключають відомі  систематичні похибки із результатів вимірювань за допомогою метода порівняння з мірою

                                                                (3.16)

де   yі    – виправлене значення і-го вимірювання;

   - систематична похибка і-го вимірювання;

      - виміряне значення і-го спостереження.

3.5.3  Розраховують середнє арифметичне значення виправлених результатів спостережень за допомогою формули (3.1).

3.5.4 Визначають розсіювання результатів спостережень відносно середньоарифметичного значення за формулою (3.2).

3.5.5  Визначають СКВ результату вимірювання згідно виразу (3.3).

3.5.6 Задаються довірливою ймовірністю  в залежності від точності вимірювання і визначають наявність грубих помилок (промахів). Вимірювання, які виходять за межі допустимих значень виключають із загальної групи (зг. методу , поданого в теор.част.).

3.5.7 Визначають довірливу межу випадкової похибки   з формули :

                                                                              (3.17)

        де  t  визначають із таблиці Стьюдента , а    визначають  за формулою  (3.3).

        Звідси довірливий інтервал буде рівним   .

3.5.8 Будують гістограму . Для цього весь діапазон розсіювання результатів вимірювання величини RX розбивається на ряд інтервалів . Кількість інтервалів визначається для  n=(20…40)  і=(46) .

Крок розбиття визначають з виразу :

                                                         (3.18)

Визначають кількість вимірювань NK із загальної вибірки , які попали в k-тий інтервал . Визначають частоту попадання результатів спостережень в k-тий інтервал з виразу :

                                                                                   (3.19)

Густина розподілу результатів вимірювання буде

                                               (3.20)

Результати розрахунків зводять в таблицю 3.5.

Таблиця 3.3 – Результати обчислень обробки даних прямих рівноточних вимірювань 

Кількість інтервалів             і

Початкове і кінцеве значення k-го інтервалу

Кількість вимірю-вань в     k-му інтервалі , Nk 

Частота попадання результатів спостере-жень в      k-тий інтервал , Рі

Густиа розпо-ділу резуль-татів вимі-рюваня , і

Ri

Ri+1

1

2

3

4

5

6

      Для побудови гістограми по горизонтальній осі відкладають діапазон вимірюваної величини RY , а по вертикальній — густину розподілу результатів вимірювання . Масштаб по осям гістограми повинен бути таким , щоб відношення її висоти до основи було 5:8 . По виду гістограми проводять порівняння з теоретичною кривою розподілу .

      Обробку результатів багаторазових вимірювань виконати на ПЕОМ.

3.5.9 У висновку  результат  вимірювання  повинен  бути записаний в одній із трьох вищенаведених форм .

3.6 Контрольні запитання для підготовки лабораторної роботи

3.6.1 На які категорії поділяються невизначеності за методом оцінки?

3.6.2На які категорії поділяються невизначеності за способом їх вираження?

3.6.3 Яким шляхом оцінюються складові, які відносяться до категорії А та В?

3.6.4 В чому полягає мета обробки результатів вимірювань з багаторазовими спостереженнями?

3.6.5 За якою формулою обчислюється середнє арифметичне виправлених результатів спостережень?

3.6.6 Як визначається експериментальне стандартне відхилення результату спостереження.

3.6.7 Що таке грубі похибки?

3.6.8 Які існують функції розподілу похибок?

3.6.9 Чим характеризуються інтегральна та диференціальна функції розподілу?

3.6.10 Як здійснюється перевірка на нормальність у випадку, коли кількість спостережень має незначну величину.

PAGE  30


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

27684. Понятие убийства. Убийство без отягчающих и смягчающих обстоятельств. Отличие этого преступления от причинения смерти по неосторожности (ст.109УК). Постановление Пленума Верховного Суда РФ от 27 января 1999 г. №1 «О судебной практике по делам об убийстве» 25 KB
  Отличие этого преступления от причинения смерти по неосторожности ст. Убийство то есть умышленное причинение смерти другому человеку. Объективная сторона убийства причинение смерти. Субъективная сторона характеризуется психическим отношением субъекта к своим действиям бездействию и последствиям наступившей смерти потерпевшего.
27688. Понятие уголовного права. Предмет и метод уголовно-правового регулирования. Система уголовного права. Соотношение уголовного права с иными отраслями права 38.5 KB
  Понятие уголовного права. Система уголовного права. Соотношение уголовного права с иными отраслями права. Понятие уголовного права как отрасли права.
27690. Понятие, основания и виды освобождения от уголовной ответственности. Специальные виды освобождения от уголовной ответственности, предусмотренные Особенной частью уголовного права 29 KB
  Специальные виды освобождения от уголовной ответственности предусмотренные Особенной частью уголовного права. Освобождение от уголовной ответственности означает отказ от осуждения лица в форме вынесения обвинительного приговора но не отказ вообще от государственного порицания преступления и виновного в его совершении. При освобождении от уголовной ответственности подлежат отмене все меры уголовнопроцессуального принуждения.
27692. Понятие, признаки и значение системы наказаний. Основные и дополнительные наказания. Штраф, порядок и условия его применения 32 KB
  Основные и дополнительные наказания. Из приведенного определения системы наказаний вытекают три главных положения: ее образует предусмотренный уголовным законом исчерпывающий перечень видов наказаний; суд в правоприменительной деятельности обязан придерживаться только этого перечня и не может применять иные наказания; систему образует перечень наказаний классифицируемых в зависимости от степени их тяжести. Виды уголовного наказания расположены в определенном порядке по принципу от менее строгого к более строгому. Принципы на которых...