42205

КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Лабораторная работа

Физика

Математическая модель одной и той же линейной динамической системы может быть представлена в различных формах: в форме скалярного дифференциального уравнения -го порядка (модель вход-выход) или в форме системы из дифференциальных уравнений 1-го порядка (модель вход-состояние-выход). Следовательно, между различными формами представления математических моделей существует определенная взаимосвязь, т.е. модель вход-состояние-выход может быть преобразована к модели вход-выход и наоборот.

Русский

2013-10-27

181.26 KB

86 чел.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2

КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Цель работы. Ознакомление с методами взаимного перехода между моделями вход-выход и вход-состояние-выход, а также с каноническими формами представления моделей вход-состояние-выход.

Методические рекомендации. До начала работы студенты должны получить от преподавателя вариант задания. К занятию допускаются студенты, получившие аналитические выражения для математических моделей в соответствии с пунктами 1.1, 2.1 и 3.1 порядка выполнения работы. Лабораторная работа рассчитана на 2 часа.

Теоретические сведения. Математическая модель одной и той же линейной динамической системы может быть представлена в различных формах: в форме скалярного дифференциального уравнения -го порядка (модель вход-выход) или в форме системы из дифференциальных уравнений 1-го порядка (модель вход-состояние-выход). Следовательно, между различными формами представления математических моделей существует определенная взаимосвязь, т.е. модель вход-состояние-выход может быть преобразована к модели вход-выход и наоборот. При этом модели будут эквивалентными в том смысле, что они определяют одно и то же преобразование входного сигнала в выходной .

Модель вход-выход динамической системы описывается уравнением (подробнее — см.  лабораторную работу № 1)

, (2.1)

где y и u — выходная и входная переменные, соответственно. При , модель вход-состояние-выход имеет вид

       (2.2)

Причем координаты вектора состояния x и коэффициенты матриц A, B и C зависят от выбора базиса в пространстве состояний. Преобразование вектора состояния, связанное с заменой базиса, задается выражениями

,       (2.3)

где —вектор состояния в "новом" базисе, М — неособая матрица преобразования координат. Преобразование (2.3) обеспечивает переход от модели (2.2) к подобной модели

       (2.4)

Матрицы подобных моделей связаны соотношениями:

.

Если известно, что модели (2.2) и (2.4) являются различными формами описания одной и тойже динамической системы, то матрица преобразования координат может быть найдена из выражения

,

где матрица управляемости модели (2.2), —матрица управляемости модели (2.4).

Переход от модели вход-состояние-выход (2.2) к модели вход-выход (2.1) является однозначным и определяется соотношением

,

где
— передаточная функция системы. Очевидно, что по известной передаточной функции может быть легко записано дифференциальное уравнение (2.1).

Переход от модели вход-выход (2.1) к модели вход-состояние-выход (2.2) является неоднозначным, что связано с возможностью достаточно произвольного назначения вектора состояния. На практике наиболее часто используются следующие две, так называемые, канонические формы представления моделей вход-состояние-выход: каноническая наблюдаемая форма и каноническая управляемая форма. Удобство канонических форм состоит в возможности непосредственного определения параметров матриц А, B и C  на основе коэффициентов и дифференциального уравнения (2.1) без каких-либо дополнительных вычислений. Кроме того, использование канонических форм позволяет упростить решение целого ряда прикладных задач анализа и синтеза систем управления.

Переход от модели вход-выход к модели вход-состояние-выход удобнее всего совершать через схему моделирования. При этом в качестве переменных состояния выбираются выходы интеграторов, а уравнения состояния записываются в соответствии со структурой схемы моделирования.

Метод построения схемы моделирования в канонической наблюдаемой форме соответствует методу, рассмотренному в лабораторной работе № 1. При этом, в случае дифференциального уравнения -го порядка, схема моделирования принимает вид, приведенный на рис.2.1. Нумеруя координаты вектора состояния в указанной на рисунке последовательности, легко получить следующие выражения для матриц системы вход-состояние-выход

.

Рис.2.1. Схема моделирования в канонической наблюдаемой форме

При этом требуемые начальные условия координат вектора состояния могут быть определены из системы алгебраических уравнений

.    (2.5)

В системе (2.5) слагаемые с начальными значениями входного сигнала и его производных отсутствуют, так как для начальных условий слева имеем (см. лабораторную работу №1).

Для построения схемы моделирования в канонической управляемой форме, введем вспомогательную переменную , являющуюся решением дифференциального уравнения

.

Следовательно

.      (2.6)

Уравнение (2.6) позволяет определить структуру обратных связей схемы моделирования (см. рис.2.2). Для формирования прямых связей заметим, что в силу свойств линейных систем

.

Нумеруя координаты вектора состояния в указанной на рисунке последовательности, можно получить следующие выражения для матриц системы вход-состояние-выход

Рис.2.2. Схема моделирования в канонической управляемой форме

.

Требуемые начальные условия координат вектора состояния рассчитываются из системы алгебраических уравнений (2.5).

Порядок выполнения работы.

  1.   Переход от модели вход-выход к модели вход-состояние-выход.

1.1. В соответствии с вариантом задания (см. табл.1.1), построить математические модели вход-состояние-выход в канонической управляемой и канонической наблюдаемой формах. Определить передаточную функцию системы.

1.2. Используя блоки "Transfer Fcn" и "State-Space" пакета SIMULINK, осуществить моделирование моделей вход-выход, вход-состояние-выход в канонической управляемой форме и вход-состояние-выход в канонической наблюдаемой форме при ступенчатом единичном входном воздействии и нулевых начальных условиях. Схема моделирования иллюстрируется рис.2.3, где блок с именем "Transfer Fcn" задает модель вход-выход в форме передаточной функции, блок "State-Space"— модель вход-состояние-выход в канонической управляемой форме, а блок "State-Space1"— модель вход-состояние-выход в канонической наблюдаемой форме.

  1.   Переход от модели вход-состояние-выход к модели вход-выход.

2.1. В соответствии с вариантом задания (см. табл.2.1), осуществить расчет передаточной функции системы, а также канонических моделей вход-состояние-выход.

2.2. Используя блоки "Transfer Fcn" и "State-Space" пакета SIMULINK, осуществить моделирование исходной модели и полученных моделей вход-выход, вход-состояние-выход в канонической управляемой форме и вход-состояние-выход в канонической наблюдаемой форме, при ступенчатом единичном входном воздействии и нулевых начальных условиях.

2.3. Рассчитать матрицы преобразования исходной модели к каноническим формам.

  1.   Замена базиса в пространстве состояний.

3.1. В соответствии с вариантом матрицы преобразования координат (см. табл.2.2), построить модель, подобную модели из п.2.1.

  1.  Используя блоки "State-Space", осуществить моделирование исходной и преобразованной систем при ступенчатом единичном входном воздействии и нулевых начальных условиях. На экран вывести выходные переменные двух систем.

Рис. 2.3 Схема эксперимента

Содержание отчета.

1. Аналитический вывод математических моделей канонических форм, подобных систем и матриц преобразования координат.

  1.  Результаты моделирования.
  2.  Выводы.

Вопросы к защите лабораторной работы.

1. В каком смысле понимается эквивалентность подобных математических моделей вход-состояние-выход?

2. Выведете в общем виде матрицу преобразования координат для перехода от канонической управляемой формы к канонической наблюдаемой форме модели второго порядка.

3. Чем вызвана неоднозначность перехода от модели вход-выход к модели вход-состояние-выход?

4. Используя схему моделирования, приведенную на рис.2.2, составьте модель вход-состояние-выход, отличную от канонической управляемой формы.

Таблица 2.1

Варианты значений матриц A, B и C   

Номер варианта

n

А

B

CT

Номер варианта

n

A

B

CT    

1

2

7

2

2

2

8

2

3

2

9

2

4

2

10

2

5

2

11

2

6

2

12

2

Таблица 2.2

Варианты элементов матрицы преобразования координат  

Вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

2

1

0,5

2

4

5

2

2

2,5

-1

1

5

1

5

0

0

0

0

3

8

2

0

2

0

0

0

6

5

-2

6

0

0

0

0

0

5

4

2

2

0,5

0,5

2

5

2

4

-1

2

1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

58352. Підсумковий урок з вивчення орфографії у 5-му класі 55 KB
  Повторити, узагальнити і закріпити знання учнів, здобуті під час Вивчення тем з розділу мови – орфографія. Удосконалювати правописні навички школярів, закріплювати тісний звязок теоретичних знань з практичним їх втіленням.
58354. Полет на планету МИФ 49 KB
  Цели: Обобщить и систематизировать знания и умения учащихся по теме: «Формулы. Площади. Объем». Выделить наиболее общие и существенные понятия, законы и закономерности, установить причинно-следственные связи и отношения между важнейшими процессами.
58355. Музика. Стилі музики 568.5 KB
  The Beatles in the 1960s mixed rhythm and blues, rock and roll, and soul music. The new style was “beat” music. Groups used drums, bass and two guitars with vocal lead and harmony.