42208

СВОБОДНОЕ И ВЫНУЖДЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Лабораторная работа

Физика

Свободная составляющая описывает движение системы при отсутствии воздействия на систему со стороны окружающей среды автономной системы и обусловлено ее состоянием в начальный момент времени. Вынужденная составляющая представляет собой реакцию системы на входное воздействие и не зависит от ее начального состояния.1 где входное воздействие выход системы параметры системы. Переменные состояния рассматриваемой системы могут быть определены как .

Русский

2013-10-27

1.3 MB

34 чел.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5

СВОБОДНОЕ И ВЫНУЖДЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ

ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Цель работы. Исследование динамических свойств линейных систем второго порядка.

Методические рекомендации. До начала работы студенты должны получить от преподавателя вариант задания. К занятию допускаются студенты, выполнившие требуемые расчеты и заполнившие табл.5.2. Лабораторная работа рассчитана на 2 часа.

Теоретические сведения. При исследовании движений линейных динамических систем принято различать свободную и вынужденную составляющие. Свободная составляющая описывает движение системы при отсутствии воздействия на систему со стороны окружающей среды (автономной системы) и обусловлено ее состоянием в начальный момент времени. Вынужденная составляющая представляет собой реакцию системы на входное воздействие и не зависит от ее начального состояния.

Рассмотрим систему второго порядка

      (5.1)

где  - входное воздействие,  — выход системы,  - параметры системы. Переменные состояния рассматриваемой системы могут быть определены как , . Тогда система уравнений вход-состояние-выход принимает вид:

      (5.2)

с начальными условиями , . Структурная схема, соответствующая уравнениям (5.2) приведена на рис. 5.1.

Примером такой системы является тело массой  (рис. 5.2), которое подвешено на пружине и может совершать вертикальные движения. При условии, что сила трения пропорциональна скорости движения тела, а сила, с которой действует пружина на тело, пропорциональна его смещению  относительно положения равновесия, движение такой системы описывается дифференциальным уравнением:

,

где  — коэффициент трения, — коэффициент жесткости пружины,  — внешняя сила, приложенная к телу. Полагая , , , получим уравнение (5.1).

Движение рассматриваемой динамической системы описывается решением  дифференциального уравнения (5.1) и содержит две составляющие

,

где  и  — соответственно свободная и вынужденная составляющая движения. Свободная составляющая  находится как частное решение однородного дифференциального уравнения

(5.3)

с начальными условиями . Вынужденная составляющая  находится как частное решение неоднородного дифференциального уравнения (5.1) при нулевых начальных условиях . Таким образом, исследование рассматриваемых процессов сводится к изучению свойств решений дифференциальных уравнений (5.1) и (5.3).

Для интегрирования дифференциального уравнения (5.3) надо найти корни характеристического уравнения

.        (5.4)

Если корни  характеристического уравнения вещественны и различны, то решение дифференциального уравнения (5.3) есть

,        (5.5)

где постоянные  определяются по начальным условиям. Если , то

      (5.6)

Когда корни характеристического уравнения (5.4) комплексные , решение дифференциального уравнения (5.3)

,         (5.7)

где постоянные  определяются по начальным условиям.

При  корни характеристического уравнения (5.3) чисто мнимые  и выражение (5.7) будет иметь вид

.        (5.8)

Соотнося приведенные выше формулы для свободной составляющей движения с параметрами  механической системы (рис. 5.2), можно сделать следующий вывод. При увеличении коэффициента трения  и фиксированном значении коэффициента жесткости пружины  характер свободной составляющей изменяется от гармонического незатухающего (5.8) (при ) до колебательного затухающего (5.7) (при ). При дальнейшем увеличении коэффициента трения характер свободной составляющей принимает монотонный затухающий характер (5.4).

Рассмотрим на примере поиск свободной составляющей системы с параметрами   и начальными условиями . В этом случае корни характеристического уравнения: . Свободную составляющую ищем в виде (5.5) и, следовательно, при  имеем: , . Таким образом,  и .

Для исследования свободного движения динамических систем часто оказывается удобным изобразить его на плоскости в Декартовой прямоугольной системе координат . Координаты  и  в этом случае называют фазовыми координатами, а плоскость  - фазовой плоскостью. В каждом частном случае движения системы (5.3) при  состояние системы изображается на фазовой плоскости точкой с фиксированными координатами ,. При изменении времени  изображающая точка перемещается по фазовой плоскости, прочерчивая на ней линию, называемую фазовой траекторией. Совокупность фазовых траекторий системы (5.3) образует фазовый портрет.

Вынужденная составляющая движения системы есть решение неоднородного уравнения (5.1) при нулевых начальных условиях. Установившейся реакцией на заданное воздействие  называют, такую функцию , что

Для некоторых видов воздействий, т.е. некоторых функций , удается указать очень простые способы вычисления установившейся реакции системы при условии, что действительная часть каждого корня характеристического уравнения (5.3) отрицательна, т.е.  (). Так реакция системы на воздействие

,

где - любое неотрицательное целое число, есть

,

а на воздействие

есть

.

Неизвестные постоянные  (), участвующие в определении установившейся реакции, определяются из условия обращения уравнения (5.1) в тождество при подстановке в него соответствующего воздействия и реакции. Проиллюстрируем сказанное на примере. Пусть требуется определить установившуюся реакцию системы с параметрами , ,  на воздействие . В этом случае, корни характеристического уравнения: . Установившуюся реакцию ищем в виде . После подстановки функций ,  в уравнение (5.1) и группировки подобных членов, получим

.

Для выполнения последнего равенства необходимо, чтобы постоянные  удовлетворяли системе линейных уравнений

Решая эту систему, найдем . Таким образом, установившаяся реакция системы будет иметь вид

.

Порядок выполнения работы

Для каждого из вариантов (Табл. 5.1) задано по шесть наборов значений корней  характеристического уравнения (5.4) и начальных условий . Вычислить коэффициенты  и найти аналитическое выражение для свободной составляющей . Результаты вычислений занести в табл. 5.2. Осуществить моделирование свободного движения системы при  с соответствующими заданной функции  параметрами ,  и начальными условиями , . На экран монитора выводить графики , .

Для 2-го, 3-го и 4-го набора значений корней  и начальных условий  (Табл. 5.1) экспериментально построить фазовые траектории автономной системы. На экран монитора выводить зависимости

Для каждого входного воздействия  осуществить моделирование вынужденного движения системы при  с начальными условиями  и . Параметры системы и входные воздействия приведены в Табл. 5.3. На экран монитора выводить графики ,.

Содержание отчета

Математическая модель исследуемой динамической системы и соответствующая ей схема моделирования.

Результаты расчетов (Табл. 5.2).

Результаты вычислительных экспериментов (шесть графиков свободного движения, три графика фазовых траекторий и три графика вынужденного движения системы).

Выводы.

Вопросы к защите лабораторной работы

Как связаны знаки вещественных частей корней характеристического уравнения и коэффициентов ?

Какими должны быть корни характеристического уравнения, чтобы свободная составляющая движения системы с течением времени стремилась к нулю ?

Какими должны быть корни характеристического уравнения, чтобы свободная составляющая движения системы подчинялась гармоническому закону ?

Определите корни характеристического уравнения, если свободная составляющая движения системы равна .

Определите установившуюся реакцию системы  если .


Таблица 5.1

Варианты начальных условий и корней характеристического уравнения

Номер эксперимента

1

2

3

4

5

6

Начальные условия

1

0

1

0

1

0

0.05

0

0.05

0

0

0.1

Вариант

Корни характеристического уравнения

1

-1

-1

-0.5+j3

-0.5-j3

j3

-j3

0.5+j3

0.5-j3

1

1

-0.1

0.1

2

-1

-1.5

-0.6+j4

-0.6-j4

j4

-j4

0.6+j4

0.6-j4

1

1.5

-0.2

0.2

3

-1

-2

-0.7+j5

-0.7-j5

j5

-j5

0.7+j5

0.7-j5

1

2

-0.3

0.3

4

-2

-1.5

-0.8+j6

-0.8-j6

j6

-j6

0.8+j6

0.8-j6

2

1.5

-0.4

0.4

5

-2

-2

-0.9+j7

-0.9-j7

j7

-j7

0.9+j7

0.9-j7

2

2

-0.5

0.5

6

-2.5

-2.5

-1+j8

-1-j8

j8

-j8

1+j8

1-j8

2.5

2.5

-0.6

0.6

7

-3

-1

-1.1+j9

-1.1-j9

j9

-j9

1.1+j9

1.1-j9

3

1

-0.7

0.7

8

-3

-1.5

-1.2+j10

-1.2-j10

j10

-j10

1.2+j10

1.2-j10

3

1.5

-0.8

0.8

9

-3

-2

-1.3+j11

-1.3-j11

j11

-j11

1.3+j11

1.3-j11

3

2

-0.9

0.9

10

-3

-3

-1.4+j12

-1.4-j12

j12

-j12

1.4+j12

1.4-j12

3

3

-1

1

11

-4

-3

-1.6+j13

-1.6-j13

j13

-j13

1.6+j13

1.6-j13

4

3

-1.2

1.2

12

-4

-4

-1.7+j14

-1.7-j14

j14

-j14

1.7+j14

1.7-j14

4

4

-1.3

1.3


Таблица 5.2

Результаты вычислений

Корни

Параметры системы

Начальные условия

Свободная

составляющая

1

6

Таблица 5.3

Варианты параметров системы и входного воздействия

Вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

a0

4

1

4

4

3

1

4

1

4

4

3

1

a1

2

2

3

4

3

3

2

2

3

4

3

3

b

1

1

1

1

2

2

2

2

3

3

3

3

g1(t)

1

1.5

2

2.5

2

2.5

1

1.5

2

2.5

1

1.5

g2(t)

0.5t

0.4t

0.8t

0.6t

0.8t

0.6t

0.5t

0.4t

0.8t

0.6t

0.5t

0.4t

g3(t)

sin(2t)

cos(2t)

sin(3t)

cos(t)

sin(3t)

cos(t)

sin(2t)

cos(2t)

sin(3t)

cos(t)

sin(2t)

cos(2t)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

59361. Сценарій. Загадки про тварин і пори року 220 KB
  Вгадайте хто вона Бабуся чепурна Зима 8. Хто наткав полотна аж від лісудо вікна І сміється задається: От така ширина Зима 10. Відгадали хто вона Ця красуня чарівна Весна 13. Всі його люблять всі його чекають А кожен хто подивиться той одразу скривиться.
59362. CЦЕНАРІЙ «СВЯТО СВЯТОГО ВАЛЕНТИНА» 76.5 KB
  Святково прибрана зала. На сцені – слова “У чарах кохання”. На великому плакаті зображено розкішне дерево, але без листя. В залі на стелі розвішені зорі та сердечка. Лунає музика. На сцену виходять ведучі.
59363. З чого починається Батьківщина 44.5 KB
  Що таке Батьківщини Під віконцем калина Тиха казка бабусі Ніжна пісня матусі Дужі руки у тата. Під вікнами мальви в саду материнка Оспівані щедро в піснях. Тут мамина пісня лунає і нині Й підхопили поля і гаї її вечорами по всій Україні...
59364. Квіткове королівство 51 KB
  Жив він з єдиною дочкоюпринцесою яка бавилась зі своїми друзямиквіточками й слухала поради доброї Феї. У глибині сцени трон на якому спить король і принцеса. Принцеса. Король із принцесою йдуть на авансцену.
59365. Сценарій. Вечір зустрічі з випускниками 59 KB
  Ми сьогодні вас зібрали Працьовитих знатних славних Щоб згадати юність свою Щоб зустріти друзів давніх Прийміть вітання наші щирі Хай доля ваша розквіта Нехай в здоровї щасті мирі Рясні красуються літа. Нехай любов незгасно світить Хай сонце радісно сія Нині...
59366. Сценарій. Мужність і біль Чорнобиля 44.5 KB
  Не залишили пости Мужньо стояли на герці Памятник їм вознести Треба у кожному серці. Вічна память їм низький уклін усім покійним від усього людства. Лейтенанти хлопці непохитні Молоде вогняне покоління Ви як память у тривожнім світі...
59367. Сценарій: “Математична зоряна година” 37.5 KB
  Скільки кг має 1 ц Площа квадрата дорівнює. Скільки це людей На уроці фізкультури учні стали в один ряд на відстані 1 м один від одного. скільки було учнів Підземна частина рослини і розвязок рівняння. Скільки років машиністові Як правильно сказати 75 буде 13 чи дорівнює 13 Мотоцикліст їхав у селище.
59368. Сценарій позакласного заходу “У пошуках Синього Птаха” 103.5 KB
  Лежіть Мати Сира Земля оповита темрявою, подолана чарами богині зла Мари Всюдисущої та безгосподарністю людини недбалої. Засмічено Матір-Землю хімікатами, радіонуклідами, завис над нею Домоклів Меч Чорнобиля.
59369. Казочка про яйце, Лисичку та хороброго Бровка 30 KB
  Ой яке ж воно гарненьке Накриває Яйце сіном Я до подруг побіжу Новину їм розкажу. Яйце в гнізді ворушиться і піднімає голову потім виходить на середину зали. Яйце співає €œпісню Яйця Я Яєчко невеличке Маю кругле біле личко Я сьогодні народилось У гніздечку опинилось каже...