42209

АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ НУЛЕЙ И ПОЛЮСОВ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ НА ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА

Лабораторная работа

Физика

Изучить связь характера переходной характеристики динамических свойств системы с размещением на комплексной плоскости нулей и полюсов. Корни характеристического полинома системы полюса системы 6.2 где комплексная переменная определяют характер переходной функции системы с установившимся значением а следовательно и такие динамические показатели как время переходного процесса и перерегулирование . Полиномы Баттерворта для различного порядка системы n полином Баттерворта 1 2 3 4 5 6 6.

Русский

2013-10-27

1.64 MB

49 чел.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6

АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ НУЛЕЙ И ПОЛЮСОВ

ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ НА ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА

Цель работы. Изучить связь характера переходной характеристики, динамических свойств системы с размещением на комплексной плоскости нулей и полюсов.

Методические рекомендации. До начала работы  студенты должны получить от преподавателя вариант задания. К занятию допускаются студенты, выполнившие требуемые расчеты и составившие схемы моделирования исследуемых систем. Лабораторная работа рассчитана на 2 часа.

Теоретические сведения. Рассмотрим динамическую систему, которая описывается дифференциальным уравнением n-го порядка

,      (6.1)

где  - выходная переменная ,  - входная переменная,  - постоянные параметры. Здесь  - k-ая производная функции  по времени .   Корни  () характеристического полинома системы (полюса системы)

,       (6.2)

где - комплексная переменная, определяют характер переходной функции  системы с установившимся значением , а следовательно, и такие динамические показатели, как время переходного процесса  и перерегулирование .

Используя понятие среднегеометрического корня 

характеристический полином (6.2) можно представить в виде

,      (6.3)

в котором коэффициенты  определяются выражением

.

Среднегеометрический корень  может служить мерой быстроты протекания переходных процессов. Если в уравнении (6.3) увеличить , например, в 10 раз, то переходный процесс, оставаясь подобным самому себе, будет протекать в 10 раз быстрее. В связи с этим можно рассматривать полином (6.3) при  как некоторый нормированный характеристический полином, которому соответствует нормированная переходная функция  и нормированное время переходного процесса . Если качество переходного процесса с точки зрения перерегулирования является приемлемым, то требуемое время переходного процесса  может быть обеспечено соответствующим выбором величины .

Для обеспечения требуемого значения перерегулирования необходимо задаться определенным распределением корней характеристического полинома, например, распределением Баттерворта или биномиальным распределением Ньютона.

Распределением  Баттерворта называется такое размещение на комплексной плоскости 2n комплексных чисел , при котором они располагаются в вершинах правильного 2n-угольника (см. рис. 6.1). При этом все числа имеют знакоопределенную вещественную часть () и равные модули  . Значения таких комплексных чисел для заданного n однозначно определяется значением  и находятся из выражения

=, ,

причём n чисел  имеют строго отрицательную вещественную часть, т.е. лежат в левой полуплоскости.

Рис. 6.1. Распределение Баттерворта для различных значений порядка  

 Полиномом Баттерворта называется алгебраический полином n-го порядка , n корней которого совпадают с n комплексными числами, подчиняющимися распределению Баттерворта и имеют отрицательную вещественную часть. Полином определяется формулой

==,   (6.4)

где , а его коэффициенты находятся по формуле: . Полиномы 1-6 -го порядка приведены в табл. 6.1.

При биномиальном распределении Ньютона  комплексных чисел  принимаются равными и вещественными, т.е. . Биномиальный полином Ньютона  n-го порядка задается в общем виде выражением

Таблица 6.1.

Полиномы Баттерворта для различного порядка системы

n

полином Баттерворта

1

2

3

4

5

6

,    (6.5)

где -биномиальные коэффициенты. Полиномы 1-6-го порядков приведены в табл. 6.2.

Таблица 6.2

Биномиальные полиномы для различного порядка системы

n

Биномиальный полином

1

2

3

4

5

6

Переходные характеристики системы (6.1) порядка  с характеристическим полиномом вида (6.4), построенные в нормированном виде (,  ), приведены на рис. 6.2, а с характеристическим полиномом (6.5) на рис.6.3. Динамические системы с рассмотренными характеристическими полиномами асимптотически устойчивы, что обусловлено выбором корней характеристического полинома и обладают высокими динамическими показателями. Перерегулирование для системы (6.1) с полиномом Баттерворта ограничено:

,

а с биномиальным распределением обеспечивается получение монотонного переходного процесса ().

Метод стандартных переходных функций используется для определения коэффициентов системы (6.1) по заданным показателям . При этом требование монотонности переходного процесса однозначно определяет выбор в качестве характеристического полинома биномиального полинома (6.5), а до-

Рис 6.2 Нормированные переходные характеристики системы с

характеристическим полиномом Баттерворта

Рис 6.3 Нормированные переходные характеристики системы с

биноминальным характеристическим полиномом

пущение перерегулирования не большего 15% - выбор полинома Баттерворта (6.4). Кроме того, при распределении корней характеристического полинома по Баттерворту, в сравнении с биномиальным распределением, требуемое время переходного процесса можно обеспечить при меньших по абсолютной величине значениях коэффициентов характеристического полинома.

Коэффициенты системы  () находятся  по заданному значению времени переходного процесса  следующим образом:

по нормированным переходным функциям (рис.6.2, 6.3) определяется значение  ;

среднегеометрический корень  определяется по значениям  и , для чего используется  формула ;

коэффициенты  искомого полинома определяются выражением , где значения   находятся по таблице 6.1 или 6.2, в зависимости от выбранного типа распределения корней характеристического уравнения.

Коэффициент  определяется  по заданной величине статического коэффициента k выражением .

В некоторых случаях, возникает задача оценки быстродействия системы без построения ее переходной характеристики. Для этого может использоваться понятие степени устойчивости. Под степенью устойчивости  понимается абсолютное значение вещественной части ближайшего к мнимой оси корня. Предполагая, что переходный процесс можно считать закончившимся тогда, когда затухнет составляющая, определяемая ближайшим к мнимой оси корнем, получим приближенную зависимость между степенью устойчивости и временем переходного процесса

        (6.6)

Формула (6.6) имеет приемлемую точность, когда абсолютное значение вещественной части ближайшего к мнимой оси корня не менее чем на порядок меньше абсолютных значений вещественных частей остальных корней.

В отличии от рассмотренной выше системы вида (6.1) характер переходного процесса в системе вида

   (6.7)

определяется не только корнями характеристического полинома, т.е. полюсами системы, но и корнями полинома

,

которые называются нулями системы. При заданном полиноме  выбором коэффициентов полинома  можно, к примеру, уменьшить время переходного процесса, или обеспечить инвариантность системы к некоторым типам входных сигналов.

 Порядок выполнения работы

По заданным в табл. 6.3 значениям постоянных  определите параметры системы (6.1) с характеристическим полиномом Баттерворта и биномиальным полиномом. Для каждого случая рассчитайте корни характеристического полинома (6.2) и оцените время переходного процесса по формуле (6.6). Составьте схему моделирования системы и постройте переходные характеристики, соответствующие двум типам распределения корней характеристического уравнения.

Для каждого набора параметров , приведенных в табл. 6.4 и 6.5, постройте переходные характеристики системы (6.7) с коэффициентами  и коэффициентом b, рассчитанными в п.1 для биномиального распределения корней характеристического уравнения.  

Для набора параметров  и внешнего воздействия , приведенных в табл. 6.6, постройте реакцию системы (6.7) с нулевыми начальными условиями и коэффициентами , рассчитанными в п.1 для биномиального распределения корней характеристического уравнения. На экран монитора выводить графики .

Содержание отчета

Математическая модель динамических систем (6.1), (6.7) и соответствующие им схемы моделирования.

Коэффициенты и корни характеристического уравнения системы, рассчитанные по заданным показателям для двух типов распределения корней. Оценка времени переходного процесса.

Результаты вычислительных экспериментов (графики пяти переходных функций и график реакции системы на заданное входное воздействие).

Выводы.

Вопросы к защите лабораторной работы

Определите установившиеся значение переходной функции системы, описанной дифференциальным уравнением  

.

У системы 3-го порядка характеристический полином совпадает с полиномом Баттерворта при единичном радиусе распределения. Укажите на комплексной плоскости корни характеристического уравнения системы.

Используя нормированные переходные характеристики, укажите время переходного процесса в системе (6.1) с характеристическим биномиальным полином при  и .

Определите время переходного процесса в системе

.

Определите время переходного процесса в системе

Определите установившуюся реакцию системы  

на внешнее воздействие .

Таблица 6.3

Вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

3

3

3

4

4

4

5

5

5

6

6

6

3

1

2.5

1.5

4

2

5

4

6

7

8

6

0.5

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

0.5

2.5

5

3.5

Таблица 6.4

Вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

0.5

1.25

1.5

2.5

1.75

2

2.25

3

2

2.5

2.75

1.5

Таблица 6.5

Вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

2

2

0.5

0.5

1

0.25

0.1

0.2

0.1

0.2

0.3

0.1

0.5

1.5

1

0.25

1.25

0.5

0.2

0.1

0.5

0.1

0.1

0.2

0.25

1

1

1.25

0.25

0.75

0.5

0.2

0.2

0.2

0.3

0.4

-

-

-

2

2.5

3

0.3

0.5

0.25

0.3

0.2

0.5

-

-

-

-

-

-

3.5

4

0.25

0.5

0.3

0.2

-

-

-

-

-

-

-

-

-

2

2.5

3

Таблица 6.6

Вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1

1

0.25

2.25

8

4.5

1

1

0.25

2.25

8

4.5

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0.25

1

1

2

0.5

0.5

0.25

1

1

2

0.5

0.5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30768. Основные монтажные процессы 14.75 KB
  1 подготовка элемента к монтажу 2 строповка – крепление к крюку крана 3 подъём перемещение установка в проектное положение 4временное закрепление 5выверка 6окончательное закрепление Подготовка конструкции к монтажу: проверка состояния нанесение осевых рисок на конструкцию и на место установки обустройство конструкции монтажной оснасткой закрепление расчалок распорок навесных лестниц оттяжек монтажное усиление конструкции укрупнительная сборка на земле сооружается блок из отдельных конструктивных элементов уменьшает...
30769. Укрупнительная сборка конструкции. Классификация монтажа по степени укрупнения 14.69 KB
  Укрупнительную сборку конструкций выполняют: на заводеизготовителе когда разделение элементов на блоки вызвано условиями изготовления в целях лучшего использования оборудования или повышения производительности труда; на строительной площадке если целесообразно собрать монтажный блок из нескольких элементов до подъема и полнее использовать грузоподъемность монтажного механизма. Сборке подлежат: стальные фермы больших пролетов поступающие на монтаж в виде двух полуферм; железобетонные и стальные колонны разделенные по высоте на несколько...
30770. Приспособления для выверки и временного закрепления конструкций 14.96 KB
  Приспособления для выверки и временного закрепления конструкций. При монтаже стальных и железобетонных конструкций используют приспособления позволяющие временно удерживать установленный на место элемент и регулировать его положение при выверке и приведении в проектное положение. Одиночные приспособления предназначены для удержания одного элемента групповые одного элемента или нескольких. Расчалки гибкие из канатов монтажные приспособления работающие только на растяжение.
30771. Основные способы строповки конструкций при монтаже. Грузозахватные приспособления 14.25 KB
  Основные способы строповки конструкций при монтаже. Строповка конструкций. Строповкой называют захват конструкций канатом стропом подвешенным к крюку монтажного крана для подъема и установки их в проектное положение. Конструкции стропуют в местах указанных в проекте и обеспечивают подачу конструкций к месту установки в положении соответствующем проекту.
30772. Приспособления для рабочего места и безопасного ведения работ на высоте 15.33 KB
  Приспособления для рабочего места и безопасного ведения работ на высоте. К работам на высоте относятся работы при выполнении которых работник находится на расстоянии менее 2 м от неогражденных перепадов по высоте 13 м и более. Рабочие места и проходы к ним зона А расположенные на перекрытиях покрытиях на высоте более 13 м и на расстоянии менее 2 м от границы перепада по высоте должны быть ограждены предохранительными или страховочными защитными ограждениями а при расстоянии более 2м сигнальными ограждениями соответствующими...
30773. Монтаж конструкций со склада и с транспортных средств 16.96 KB
  Монтаж конструкций со склада и с транспортных средств. Метод монтажа в зависимости от организации подачи элементов на монтаж: А со склада Б с колёс Основным условием доставки конструкций транспортными средствами является комплектная и ритмичная их подача в заданной технологической последовательности строго по часовому расписанному по минутам графику непосредственно к месту установки. Монтаж конструкций с транспортных средств по сравнению с предварительной разгрузкой является наиболее экономичным так как сокращаются затраты на...
30774. Классификация методов монтажа в зависимости от последовательности установки элементов 14.82 KB
  Классификация методов монтажа в зависимости от последовательности установки элементов. При раздельном методе одноименные конструкции монтируют или демонтируют самостоятельными потоками совмещенными во времени. Данный метод монтажа и демонтажа рекомендуется при реконструкции пролетов значительной протяженности небольшой внутренней стесненности обеспечивающей развертывание потока при свободном проходе монтажного крана и главное независимости СМР по реконструкции от основной деятельности предприятия. Комплексный метод связан с...
30775. Классификация методов монтажа по степени ограничения свободы перемещения в пространстве 14.68 KB
  По степени ограничения свободы перемещения элементов: А свободный Б ограничено свободный В принудительный оснастка позволяет перемещаться только в 1 необходимом направлении Свободный монтаж при котором монтируемый элемент без какихлибо ограничений устанавливают в проектное положение при его свободном перемещении. Ограниченносвободный монтаж характеризуется тем что монтируемая конструкция устанавливается в направляющие упоры фиксаторы и другие приспособления частично ограничивающие свободу перемещения конструкции но приводящие к...
30776. Выбор самоходного стрелового крана 19.06 KB
  hо – превышение монтажного горизонта над уровнем стоянки крана hз – запас по высоте для обеспечения безопасности монтажа hэл – высота монтируемого элемента hстр – высота строповки м вылет стрелы А=сlе где расстояние от оси вращения крана до оси крепления стрелы; горизонтальная проекция стрелы длина стрелы L находится по теореме пифагора мы знаем два катета. Зная необходимые характеристики которыми должен обладать кран – поднять необходимую тяжесть с некоторой длинной стрелы. Определяем фактические грузоподьёмность длину...