42212

Система математических расчётов Mathcad

Книга

Информатика, кибернетика и программирование

Методические указания предназначены для самостоятельного освоения работы с современным математическим пакетом Mathcad, входящим в программу курса. Предлагаемое пособие позволит не только освоить основные операции пакета Mathcad, но и познакомит с основными методами математического анализа.

Русский

2014-12-11

508 KB

8 чел.

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра прикладной математики

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к лабораторным работам по дисциплине:

«Алгоритмизация и программирование»

Система математических расчётов

Mathcad

Казань

2008

Составитель: И.Н.Гатауллин

УДК 621.313

Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Алгоритмизация и программирование». Система математических расчётов Mathcad. /Казанский государственный архитектурно-строительный университет; Сост.: И.Н.Гатауллин. - Казань, 2008. 31 с.

Данные методические указания предназначены для студентов 3 курса по специальности 291100: «Мосты и транспортные тоннели» дневной формы обучения и используются при выполнении лабораторных и расчётно-графических работ по дисциплине «Алгоритмизация и программирование». Методические указания предназначены для самостоятельного освоения работы с современным математическим пакетом Mathcad, входящим в программу курса. Предлагаемое пособие позволит не только освоить основные операции пакета Mathcad, но и познакомит с основными методами математического анализа. Его можно рассматривать как вводный курс перед изучением методов оптимизации и статистической обработки данных.

Табл. 8, библиогр. назв. 3

Рецензент - Р.Б.Салимов, доктор физ.-мат. наук, профессор

© Казанский государственный

архитектурно - строительный

университет, 2008 г.

1. Система математических расчётов Mathcad.

1.1. Общие сведения.

Mathcad является математическим редактором, позволяющим проводить разнообразные научные и инженерные расчёты, начиная от элементарной арифметики и заканчивая сложными реализациями численных методов. Благодаря простоте применения, наглядности математических действий, обширной библиотеке встроенных функций и численных методов, возможности символьных вычислений, а также превосходному аппарату представления результатов, Mathcad стал наиболее популярным математическим приложением. Он очень прост в использовании, из-за отсутствия необходимости сначала писать программу, реализующую те или иные математические расчёты, а потом запускать её на исполнение. Вместо этого достаточно просто вводить математические выражения с помощью встроенного редактора формул и получать результат. Создатели Mathcad сделали всё возможное, чтобы пользователь, не обладающий специальными знаниями в программировании, мог в полной мере приобщиться к достижениям современной вычислительной науки и компьютерных технологий.

В соответствии с проблемами реальной жизни, математикам приходится решать одну или несколько из следующих задач:

1) ввод на компьютере разнообразных математических выражений (для дальнейших расчётов или создания документов, презентаций, Web - страниц);

2) проведение математических расчётов;

3) подготовка графиков с результатами расчётов;

4) ввод исходных данных и вывод результатов в текстовые файлы или файлы с базами данных в других форматах;

5) подготовка отчётов работы в виде печатных документов;

6) подготовка Web – страниц и публикаций результатов в Интернете;

7) получение различной справочной информации из области математики.

В состав Mathcad входят несколько интегрированных между собой компонентов – это мощный текстовый редактор для ввода и редактирования, как текста, так и формул, вычислительный процессор – для проведения расчётов согласно введенным формулам, и символьный процессор, являющийся, по сути, системой искусственного интеллекта.

1.2. Запуск программы.

После того как Mathcad установлен на компьютере и запущен на исполнение, появляется основное окно приложения (см. рис. 1.1). Оно имеет ту же структуру, что и большинство приложений Windows. Сверху вниз располагаются:

  1.  заголовок окна;
  2.  строка меню;
  3.  панели инструментов (стандартная и форматирования);
  4.  рабочий лист;
  5.  в самой нижней части окна находится строка состояния.

Рис. 1.1. Окно интерфейса системы Mathcad.

1.3. Интерфейс пользователя.

Составными частями интерфейса пользователя являются:

  1.  верхнее меню, или строка меню (menu bar);
  2.  панели инструментов (toolbars) Standard (Стандартная) и Formatting (Форматирование);
  3.  панель инструментов Math (Математика) и доступные через нее дополнительные математические панели инструментов;
  4.  рабочая область (worksheet);
  5.  строка состояния (status line, или status bar);
  6.  всплывающие, или контекстные, меню (pop-up menus, или context menus);
  7.  диалоговые окна, или диалоги (dialogs).

Большинство команд можно выполнить как с помощью меню (верхнего или контекстного), так и панелей инструментов или клавиатуры.

Программирование.

Возвращаемые значения.

Присваивание начальных значений переменным.

Пример определения максимальной координаты вектора и её позиции.

Цикл по элементам вектора (не следует забывать, что элементы вектора отсчитываются от 0).

Присваивание большего значения и сохранение его координаты. Операторную скобку создаём кнопкой Add Line.

Определим теперь вектор:

Действительно, максимальное значение 9, имеет номер 5.

Метод Рунге-Кутта. На его основе могут быть построены разностные схемы разного порядка точности. Наиболее употребительной является следующая схема четвертого порядка:

yi+1 = yi + (k0 + 2k1 + 2k2 + k3) /6.                                                         (6.11)

где

          k0 = h f(xi, yi),              

          k1 = h f(xi+h/2, yi+ k0 /2),

          k2 = h f(xi+h/2, yi+ k1 /2),                                                          (6.12)

          k3= h f(xi+h, yi+ k2).

Таким образом, метод Рунге-Кутта требует на каждом шаге четырехкратного вычисления правой части уравнения. Однако это окупается повышенной точностью, что дает возможность проводить счет с относительно большим шагом.

Пример: Решить задачу Коши методом Рунге-Кутта для дифференциального уравнения

y=x2+y,   y(0)= 1   на отрезке 0,0.3 с шагом 0.1.

Решение: По формулам (6.12) вычислим значения k0 , k1, k2, k3

    

    k0=h f(x0,y0)=0,1·(02+1)=0,1   

         

    k1=h f(x0+h/2, y0+k0 /2)=0,1· ((0+0,1/2)2+1+0,1/2)=0,10525

    k2=h f(x0+h/2,y0+k1 /2)=0,1· ((0+0,1/2)2+1+0,10525/2)=0,105513

    k3= h f(x0+h, y0+ k2)=0,1· ((0+0,1)2+1+0,105513)= 0,111551

Используя формулу (6.11), находим значение y1  в точке x1=0.1

y1=y0+(k0+2k1+2k2+k3)/6=

       =1+(0,1+2·0,10525+2·0,105513+0,111551)/6=1,105513

Аналогично вычисляются последующие значения функции в узловых точках

k0=h f(x1,y1)=0,1· (0,12+1,105513)=0,111551

k1=h f(x1+h/2,y1+k0/2)=0,1· ((0,1+0,1/2)2+1,105513+0,111551/2)=0,118379

k2=h f(x1+h/2,y1+k1/2)=0,1· ((0,1+0,1/2)2+1,105513+0,118379/2)=0,11872

k3= h f(x1+h,y1k2)=0,1· ((0,1+0,1)2+1,105513+0,11872)=0,126423

y2=y1+(k0+2k1+2k2+k3)/6=

       =1,105513+(0,111551+2·0,118379+2·0,11872+0,126423)/6=1,224208

k0=h f(x2,y2)=0,1· (0,22+1,224208)=0,126421

k1=h f(x2+h/2, y2+k0 /2)=0,1· ((0,2+0,1/2)2+1,224208+0,126421/2)=0,134992

k2=h f(x2+h/2,y2+k1 /2)=0,1· ((0,2+0,1/2)2+1,224208+0,134992/2)=0,13542

k3=h f(x2+h,y2+k2)=0,1· ((0,2+0,1)2+1,224208+0,13542)=0,144963

y3=y2+(k0+2k1+2k2+k3)/6=

       =1,224208+(0,126421+2·0,134992+2·0,13542+0,144963)/6=1,359576

Сеточную функцию записываем в виде таблицы

      x      0         0.1               0.2              0.3

      y      1     1,105513   1,224208    1,359576

Численное решение дифференциальных уравнений.

1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Решение задачи Коши.

Пусть задано дифференциальное уравнение

При начальном условии

Численное решение осуществляется при помощи встроенной функции rkfixed(y,x1,x2,n,D), 

которая использует метод Рунге-Кутта 4-го порядка.  

y - вектор начальных условий, в данном случае вектор из одного элемента.

x1,x2 - границы интервала для поиска решения.

n - количество точек на интервале.

D(x,y) - вектор-функция первых производных, в данном случае вектор из одного элемента.

Решим наше уравнение:

Решение уравнения на интервале (0, 0.3).

Матрица Z имеет 2 столбца и 4 строк.

Первый столбец содержит х переменную,

второй - y.

Начальное условие

Правая часть уравнения

2. Определить изменение целого индекса и построить таблицу значений функции в

виде вектор-столбца. В частности, для предыдущей задачи:

Переменная с индексом

вводится так:

x[i  получается

Это важно знать!

В Mathcad принято, что

индекс массива отсчиты-

вается от 0.

Начальный индекс

определяется

системной переменной

ORIGIN=0.

Доступ к элементам массива происходит по индексу, например:

Выбор способа построения функции, вообще говоря, не столь

важен, однако при вычислении значения функции как элемента

массива упрощается процедура обращения к его отдельным

значениям.

Для двумерного массива обращение строится так:  M[i,j

а получается

Двумерный массив соответствует значению функции двух переменных, например:

Определим двумерную матрицу:

и построим поверхность.

В качестве единственного аргумента графика

указываем имя матрицы М

Линейная интерполяция

Кубическая сплайн-интерполяция

Экстраполяция при помощи функции предсказания

Литература

  1.  С.В.Симонович и др. Информатика. Базовый курс. Санкт-Петербург: Издательский дом Питер. 2002, - 640 с.
  2.  А.В.Могилев, Н.И.Пак, Е.К.Хеннер. Информатика. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательский центр «Академия», 2004, - 848 с.

М.Д.Князева. Программирование на Visual Basic 6. Учеб. Пособие.   –М.: КУДИЦ-ОБРАЗ, 2006. - 176с.

И.К.Сафронов. Visual Basic в задачах и примерах. Санкт-Петербург: БХВ-Петербург, 2007, - 400 с.

Д.А.Шевякова, А.М.Степанов, Р.Г.Карпов. Самоучитель Visual Basic 2005 /Под общ. Ред. А.Ф.Тихонова. Санкт-Петербург: БХВ-Петербург, 2007, - 576 с.

6. Методические указания по дисциплине «Алгоритмизация и программирование». Алгоритмизация и визуальное программирование. /Казанский государственный архитектурно-строительный университет; Сост.: И.Н.Гатауллин. - Казань, 2008. 27 с.

7. Методические указания по курсу "Информатика" для самостоятельной работы студентов всех специальностей. Основы визуального программирования. /Казанский государственный архитектурно-строительный университет; Сост.: И.Н.Гатауллин, Ф.Г.Габбасов. - Казань, 2008. 54 с.


РЕЦЕНЗИЯ

на методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Алгоритмизация и программирование». Компьютерная графика и визуальное программирование  Гатауллина И.Н.

Данные методические указания предназначены для студентов 3 курса по специальности 291100: «Мосты и транспортные тоннели» дневной формы обучения и используются при выполнении лабораторных и расчётно-графических работ по дисциплине «Алгоритмизация и программирование» на языке Visual Basic.

Методические указания позволяют выполнять студентам дневной формы обучения лабораторные и расчётно-графические работы самостоятельно.

Считаю, что данные методические указания могут быть опубликованы.

Доктор физ.-мат. наук,

Профессор, зав. кафедрой   ВМ    ______________Р.Б.Салимов


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

6572. Генетика популяций. Понятие о популяции и чистых линиях. Эффективность отбора в чистых линиях и популяциях 47.82 KB
  Генетика популяций Понятие о популяции и чистых линиях. Эффективность отбора в чистых линиях и популяциях. Популяция - это группа организмов одного вида, свободно скрещивающихся друг с другом, имеющая определённый ареал обитания и изолированная...
6573. Иммлуногенетика. Группы крови человека и животных 34.01 KB
  Иммлуногенетика Группы крови человека и животных. В пределах вида особи различаются не только по морфологическим признакам, но и по ряду биохимических, которые могут быть выявлены иммуногенетически в виде системы антигенов. Антигены - это вещества б...
6574. Наследование количественных признаков 46.79 KB
  Наследование количественных признаков Все признаки у животных разделяются на две группы - качественные и количественные. К качественным признакам относятся: масть животных, пол, тип конституции, устойчивость к заболеваниям и другие....
6575. Генетические основы иммунитета. Понятие об иммунитете и иммунной системе организма 35.33 KB
  Генетические основы иммунитета Понятие об иммунитете и иммунной системе организма. Мы живем в потенциально враждебном мире, наполненном огромным множеством инфекционных агентов, которые имеют различные размеры форму, строение и раз...
6576. Наследственные аномалии и болезни с наследственной предрасположенностью. Селекция животных на устойчивость к заболеваниям 33.59 KB
  Наследственные аномалии и болезни с наследственной предрасположенностью. Селекция животных на устойчивость к заболеваниям Генетические аномалии у сельскохозяйственных животных. В результате мутаций у животных и человека возникают различные наследств...
6577. Генетика крупного рогатого скота, свиней, овец и птицы 42.86 KB
  Генетика крупного рогатого скота, свиней, овец и птицы Генетика крупного рогатого скота. Скотоводство представляет в нашей стране главную отрасль животноводства. Дальнейшее его развитие связано с увеличением генетического потенциала, возможности кот...
6578. Дидактические материалы к конструированию и анализу урока 191.5 KB
  Дидактические материалы к конструированию и анализу урока Требования к современному уроку 1. Точное и творческое выполнение программно-методических требований к уроку грамотное определение типа урока, его места в разделе, курсе, системе внутрикурсо...
6579. Философия, ее смысл и функции 30.78 KB
  Философия, ее смысл и функции. Истоки философии и её смысл. Философское мировоззрение. Методы философии Структура и функции философии. Термин философия означает буквально любовь к мудрости. Его впервые употребил Пифагор по отнош...
6580. Философия древней Индии и Китая 30.03 KB
  Философия древней Индии и Китая. Философия Древней Индии Философия Древнего Китая Основой многих философских систем Древней Индии явилась ведическая литература и связанная с ним древняя религия брахманизм (по имени Верховного Бога - Бра...