42212

Система математических расчётов Mathcad

Книга

Информатика, кибернетика и программирование

Методические указания предназначены для самостоятельного освоения работы с современным математическим пакетом Mathcad, входящим в программу курса. Предлагаемое пособие позволит не только освоить основные операции пакета Mathcad, но и познакомит с основными методами математического анализа.

Русский

2014-12-11

508 KB

8 чел.

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра прикладной математики

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к лабораторным работам по дисциплине:

«Алгоритмизация и программирование»

Система математических расчётов

Mathcad

Казань

2008

Составитель: И.Н.Гатауллин

УДК 621.313

Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Алгоритмизация и программирование». Система математических расчётов Mathcad. /Казанский государственный архитектурно-строительный университет; Сост.: И.Н.Гатауллин. - Казань, 2008. 31 с.

Данные методические указания предназначены для студентов 3 курса по специальности 291100: «Мосты и транспортные тоннели» дневной формы обучения и используются при выполнении лабораторных и расчётно-графических работ по дисциплине «Алгоритмизация и программирование». Методические указания предназначены для самостоятельного освоения работы с современным математическим пакетом Mathcad, входящим в программу курса. Предлагаемое пособие позволит не только освоить основные операции пакета Mathcad, но и познакомит с основными методами математического анализа. Его можно рассматривать как вводный курс перед изучением методов оптимизации и статистической обработки данных.

Табл. 8, библиогр. назв. 3

Рецензент - Р.Б.Салимов, доктор физ.-мат. наук, профессор

© Казанский государственный

архитектурно - строительный

университет, 2008 г.

1. Система математических расчётов Mathcad.

1.1. Общие сведения.

Mathcad является математическим редактором, позволяющим проводить разнообразные научные и инженерные расчёты, начиная от элементарной арифметики и заканчивая сложными реализациями численных методов. Благодаря простоте применения, наглядности математических действий, обширной библиотеке встроенных функций и численных методов, возможности символьных вычислений, а также превосходному аппарату представления результатов, Mathcad стал наиболее популярным математическим приложением. Он очень прост в использовании, из-за отсутствия необходимости сначала писать программу, реализующую те или иные математические расчёты, а потом запускать её на исполнение. Вместо этого достаточно просто вводить математические выражения с помощью встроенного редактора формул и получать результат. Создатели Mathcad сделали всё возможное, чтобы пользователь, не обладающий специальными знаниями в программировании, мог в полной мере приобщиться к достижениям современной вычислительной науки и компьютерных технологий.

В соответствии с проблемами реальной жизни, математикам приходится решать одну или несколько из следующих задач:

1) ввод на компьютере разнообразных математических выражений (для дальнейших расчётов или создания документов, презентаций, Web - страниц);

2) проведение математических расчётов;

3) подготовка графиков с результатами расчётов;

4) ввод исходных данных и вывод результатов в текстовые файлы или файлы с базами данных в других форматах;

5) подготовка отчётов работы в виде печатных документов;

6) подготовка Web – страниц и публикаций результатов в Интернете;

7) получение различной справочной информации из области математики.

В состав Mathcad входят несколько интегрированных между собой компонентов – это мощный текстовый редактор для ввода и редактирования, как текста, так и формул, вычислительный процессор – для проведения расчётов согласно введенным формулам, и символьный процессор, являющийся, по сути, системой искусственного интеллекта.

1.2. Запуск программы.

После того как Mathcad установлен на компьютере и запущен на исполнение, появляется основное окно приложения (см. рис. 1.1). Оно имеет ту же структуру, что и большинство приложений Windows. Сверху вниз располагаются:

  1.  заголовок окна;
  2.  строка меню;
  3.  панели инструментов (стандартная и форматирования);
  4.  рабочий лист;
  5.  в самой нижней части окна находится строка состояния.

Рис. 1.1. Окно интерфейса системы Mathcad.

1.3. Интерфейс пользователя.

Составными частями интерфейса пользователя являются:

  1.  верхнее меню, или строка меню (menu bar);
  2.  панели инструментов (toolbars) Standard (Стандартная) и Formatting (Форматирование);
  3.  панель инструментов Math (Математика) и доступные через нее дополнительные математические панели инструментов;
  4.  рабочая область (worksheet);
  5.  строка состояния (status line, или status bar);
  6.  всплывающие, или контекстные, меню (pop-up menus, или context menus);
  7.  диалоговые окна, или диалоги (dialogs).

Большинство команд можно выполнить как с помощью меню (верхнего или контекстного), так и панелей инструментов или клавиатуры.

Программирование.

Возвращаемые значения.

Присваивание начальных значений переменным.

Пример определения максимальной координаты вектора и её позиции.

Цикл по элементам вектора (не следует забывать, что элементы вектора отсчитываются от 0).

Присваивание большего значения и сохранение его координаты. Операторную скобку создаём кнопкой Add Line.

Определим теперь вектор:

Действительно, максимальное значение 9, имеет номер 5.

Метод Рунге-Кутта. На его основе могут быть построены разностные схемы разного порядка точности. Наиболее употребительной является следующая схема четвертого порядка:

yi+1 = yi + (k0 + 2k1 + 2k2 + k3) /6.                                                         (6.11)

где

          k0 = h f(xi, yi),              

          k1 = h f(xi+h/2, yi+ k0 /2),

          k2 = h f(xi+h/2, yi+ k1 /2),                                                          (6.12)

          k3= h f(xi+h, yi+ k2).

Таким образом, метод Рунге-Кутта требует на каждом шаге четырехкратного вычисления правой части уравнения. Однако это окупается повышенной точностью, что дает возможность проводить счет с относительно большим шагом.

Пример: Решить задачу Коши методом Рунге-Кутта для дифференциального уравнения

y=x2+y,   y(0)= 1   на отрезке 0,0.3 с шагом 0.1.

Решение: По формулам (6.12) вычислим значения k0 , k1, k2, k3

    

    k0=h f(x0,y0)=0,1·(02+1)=0,1   

         

    k1=h f(x0+h/2, y0+k0 /2)=0,1· ((0+0,1/2)2+1+0,1/2)=0,10525

    k2=h f(x0+h/2,y0+k1 /2)=0,1· ((0+0,1/2)2+1+0,10525/2)=0,105513

    k3= h f(x0+h, y0+ k2)=0,1· ((0+0,1)2+1+0,105513)= 0,111551

Используя формулу (6.11), находим значение y1  в точке x1=0.1

y1=y0+(k0+2k1+2k2+k3)/6=

       =1+(0,1+2·0,10525+2·0,105513+0,111551)/6=1,105513

Аналогично вычисляются последующие значения функции в узловых точках

k0=h f(x1,y1)=0,1· (0,12+1,105513)=0,111551

k1=h f(x1+h/2,y1+k0/2)=0,1· ((0,1+0,1/2)2+1,105513+0,111551/2)=0,118379

k2=h f(x1+h/2,y1+k1/2)=0,1· ((0,1+0,1/2)2+1,105513+0,118379/2)=0,11872

k3= h f(x1+h,y1k2)=0,1· ((0,1+0,1)2+1,105513+0,11872)=0,126423

y2=y1+(k0+2k1+2k2+k3)/6=

       =1,105513+(0,111551+2·0,118379+2·0,11872+0,126423)/6=1,224208

k0=h f(x2,y2)=0,1· (0,22+1,224208)=0,126421

k1=h f(x2+h/2, y2+k0 /2)=0,1· ((0,2+0,1/2)2+1,224208+0,126421/2)=0,134992

k2=h f(x2+h/2,y2+k1 /2)=0,1· ((0,2+0,1/2)2+1,224208+0,134992/2)=0,13542

k3=h f(x2+h,y2+k2)=0,1· ((0,2+0,1)2+1,224208+0,13542)=0,144963

y3=y2+(k0+2k1+2k2+k3)/6=

       =1,224208+(0,126421+2·0,134992+2·0,13542+0,144963)/6=1,359576

Сеточную функцию записываем в виде таблицы

      x      0         0.1               0.2              0.3

      y      1     1,105513   1,224208    1,359576

Численное решение дифференциальных уравнений.

1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Решение задачи Коши.

Пусть задано дифференциальное уравнение

При начальном условии

Численное решение осуществляется при помощи встроенной функции rkfixed(y,x1,x2,n,D), 

которая использует метод Рунге-Кутта 4-го порядка.  

y - вектор начальных условий, в данном случае вектор из одного элемента.

x1,x2 - границы интервала для поиска решения.

n - количество точек на интервале.

D(x,y) - вектор-функция первых производных, в данном случае вектор из одного элемента.

Решим наше уравнение:

Решение уравнения на интервале (0, 0.3).

Матрица Z имеет 2 столбца и 4 строк.

Первый столбец содержит х переменную,

второй - y.

Начальное условие

Правая часть уравнения

2. Определить изменение целого индекса и построить таблицу значений функции в

виде вектор-столбца. В частности, для предыдущей задачи:

Переменная с индексом

вводится так:

x[i  получается

Это важно знать!

В Mathcad принято, что

индекс массива отсчиты-

вается от 0.

Начальный индекс

определяется

системной переменной

ORIGIN=0.

Доступ к элементам массива происходит по индексу, например:

Выбор способа построения функции, вообще говоря, не столь

важен, однако при вычислении значения функции как элемента

массива упрощается процедура обращения к его отдельным

значениям.

Для двумерного массива обращение строится так:  M[i,j

а получается

Двумерный массив соответствует значению функции двух переменных, например:

Определим двумерную матрицу:

и построим поверхность.

В качестве единственного аргумента графика

указываем имя матрицы М

Линейная интерполяция

Кубическая сплайн-интерполяция

Экстраполяция при помощи функции предсказания

Литература

  1.  С.В.Симонович и др. Информатика. Базовый курс. Санкт-Петербург: Издательский дом Питер. 2002, - 640 с.
  2.  А.В.Могилев, Н.И.Пак, Е.К.Хеннер. Информатика. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательский центр «Академия», 2004, - 848 с.

М.Д.Князева. Программирование на Visual Basic 6. Учеб. Пособие.   –М.: КУДИЦ-ОБРАЗ, 2006. - 176с.

И.К.Сафронов. Visual Basic в задачах и примерах. Санкт-Петербург: БХВ-Петербург, 2007, - 400 с.

Д.А.Шевякова, А.М.Степанов, Р.Г.Карпов. Самоучитель Visual Basic 2005 /Под общ. Ред. А.Ф.Тихонова. Санкт-Петербург: БХВ-Петербург, 2007, - 576 с.

6. Методические указания по дисциплине «Алгоритмизация и программирование». Алгоритмизация и визуальное программирование. /Казанский государственный архитектурно-строительный университет; Сост.: И.Н.Гатауллин. - Казань, 2008. 27 с.

7. Методические указания по курсу "Информатика" для самостоятельной работы студентов всех специальностей. Основы визуального программирования. /Казанский государственный архитектурно-строительный университет; Сост.: И.Н.Гатауллин, Ф.Г.Габбасов. - Казань, 2008. 54 с.


РЕЦЕНЗИЯ

на методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Алгоритмизация и программирование». Компьютерная графика и визуальное программирование  Гатауллина И.Н.

Данные методические указания предназначены для студентов 3 курса по специальности 291100: «Мосты и транспортные тоннели» дневной формы обучения и используются при выполнении лабораторных и расчётно-графических работ по дисциплине «Алгоритмизация и программирование» на языке Visual Basic.

Методические указания позволяют выполнять студентам дневной формы обучения лабораторные и расчётно-графические работы самостоятельно.

Считаю, что данные методические указания могут быть опубликованы.

Доктор физ.-мат. наук,

Профессор, зав. кафедрой   ВМ    ______________Р.Б.Салимов


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74845. Публицистика петровского времени. Юности честное зерцало 14.87 KB
  Зерцало было издано в соответствии с духом петровских реформ когда основу всей книгопечатной продукции составляли разного рода руководства и наставления. Вторая часть это собственно зерцало то есть правила поведения для младых отроков и девушек дворянского сословия.
74846. Екатерина II. «Всякая всячина». Н.И. Новиков, его литературные труды и сатирические журналы. Сатира на лица и на пороки 16.52 KB
  Новиков его литературные труды и сатирические журналы. Предполагают что свои материалы в журнал посылали Фонвизин князь Щербатов и даже Новиков. Новикова. В Трутне под подписью Правдолюбов Новиков упрекает Екатерину.
74847. Классицизм как литературное направление. А.Д. Кантемир, В.К. Тредьяковский, М.В. Ломоносов 15.87 KB
  Сын астраханского священника он подобно Ломоносову охваченный жаждой знаний ушел из родительского дома учился в Славяно-греколатинской академии а затем за границей в Сорбонне. Одновременно с Ломоносовым был удостоен звания профессора Академии наук. Как поэта его при жизни затмили Сумароков и Ломоносов.
74848. Творчество Д.И. Фонвизина. «Недоросль» 14.62 KB
  Фонвизина Недоросль создателя подлинно самобытной национальной комедии который заложил внутри этой системы основы критического реализма. В комедии сочетаются яркие и правдивые сцены из жизни поместного дворянства и страстная проповедь просветительских идей об обязанностях правительства прямого честного гражданина. Хотя в основе сюжета лежит любовный конфликт стремление героев жениться на богатой наследнице все же основной конфликт комедии намного глубже. Другая проблема комедии истинное и ложное воспитание.
74849. А.Н. Радищев. Путешествие из Петербурга в Москву 14.28 KB
  Наиболее известное произведение Александра Радищева. Опубликовано в Российской империи в мае 1790 года. Работа печаталась без указания автора в домашней типографии Радищева. Роман представляет собой собрание разрозненных фрагментов, связанных между собой названиями городов и деревень, мимо которых следует путешественник. Автор рисует картины современной ему России, уделяя основное внимание положению крепостных крестьян...
74850. Просветительство и сентиментализм конца ХVIII века. Н.М. Карамзин. Его проза и поэзия 14.72 KB
  Сентиментализм Карамзина оказал большое влияние на развитие русской литературы. Поэзия Карамзина развившаяся в русле европейского сентиментализма кардинально отличалась от традиционной поэзии его времени воспитанной на одах Ломоносова и Державина...
74851. И.А. Крылов – баснописец. Традиции сатирической литературы XVIII века. Своеобразие авторской позиции, проблема народности басен 15.46 KB
  Крылов баснописец. Сюжеты ряда басен Крылова восходят к басням Лафонтена который в свою очередь заимствовал их у Эзопа Федра и Бабрия хотя немало и оригинальных сюжетов. Многие выражения из басен Крылова стали крылатыми. Жанр басни под пером Крылова заметно изменился.
74852. Основные течения в романтизме. Элегический романтизм В.А. Жуковского и К.Н. Батюшкова 15.87 KB
  Романтики выдвигали принцип творчества, основанного на вдохновении, утверждали приоритет гения в искусстве. В романтическом искусстве больше всего ценилась свободная поэтическая индивидуальность. Романтизм – сложное историко-литературное явление: Жуковский понимал романтизм иначе, чем Рылеев. Отрицая жизнь в тех формах, в которых она существовала, романтики либо уходили в себя, творили в себе свой «антимир», мир мечты и поэзии (романтизм Жуковского);
74853. Заговоры (виды, композиция, особенности языка) 60.35 KB
  Мифологическая школа –Заговор первоначально молитвы, обращенные к божествам. С мифами их сближает отождествление природного и человеческого, обращение к мифологическим персонажам (природным стихиям, космическим объектам, мифическим существам). Заговоры испытали значительное влияние христианства: как обряда (крестное знамение, молитва), так и книжности (например, часто упоминаются христианские святые).