42282

ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

Лабораторная работа

Физика

Изучение динамики вращательного движения твердого тела. Исследование зависимости угла поворота твердого тела от времени, экспериментальная проверка основного уравнения динамики вращательного движения, определение момента инерции твердого тела как коэффициента пропорциональности в основном уравнении

Русский

2013-10-28

981 KB

29 чел.

Лабораторная работа № 19

ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО

ДВИЖЕНИЯ ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

Цель работы:

Изучение динамики вращательного движения твердого тела. Исследование зависимости угла поворота твердого тела от времени, экспериментальная проверка основного уравнения динамики вращательного движения,  определение момента инерции твердого тела как коэффициента пропорциональности в основном уравнении.

Оборудование:

Установка, включающая исследуемый диск с закрепленными на нем шкивами, грузы известной массы, датчик угла поворота (световой барьер), электронный блок управления Cobra 3, турбокомпрессор, компьютер.

Продолжительность работы – 4 часа.

Теоретическая часть

1.  Рассмотрим диск, который может вращаться вокруг неподвижной оси Z. Положение диска определяется углом, который составляет радиальная прямая, связанная с диском (например, нарисованная на диске), с осью X, неподвижной относительно лабораторной системы отсчета (рис. 1).

Рис. 1. Положение диска характеризуется угловой координатой

Вращение диска характеризуется угловой скоростью , и угловым ускорением .  Аналогичным образом можно ввести угловую координату, угловую скорость и угловое ускорение для произвольного твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

2. Угловое ускорение диска зависит не только от величины и направления действующей на него силы, но и от положения точки, к которой эта сила приложена.  «Вращательное действие» силы характеризуется моментом силы относительно оси, который равен  произведению модуля силы на плечо силы  - так называется кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси вращения:  (рис. 2, заметим, что , где  - вектор момента силы относительно точки О, лежащей на оси вращения, а вектор  проведен от О к точке приложения силы).

Рис. 2. Момент силы относительно оси

3. Из законов Ньютона следует, что угловое ускорение пропорционально моменту силы:. Эту пропорциональность можно выразить уравнением

,                                                                         (1)

где  - момент инерции твердого тела (диска) относительно оси вращения. Уравнение (1) называется основным уравнением динамики вращательного движения, оно справедливо не только для диска, но и для тела произвольной формы, вращающегося вокруг неподвижной оси.

4. Момент инерции  определяет инерционные свойства твердого тела при вращении и зависит от распределения массы в объеме этого тела. По определению момент инерции тела относительно оси равен

,                                                                   (2)

где  - элементарная («точечная») масса, на которые мысленно разбивается тело,  - расстояние от этой массы до оси вращения (рис.3).

Рис.3. К определению момента инерции

Рис. 4. Момент инерции кольца

Рис. 5. Момент инерции цилиндра

                          

 

Если твердое тело представляет собой  тонкое кольцо радиуса R и массы m, то момент инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр равен (рис. 4).

.

При вычислении момента инерции однородного цилиндра (или диска) относительно оси,  совпадающей с его осью симметрии, следует учесть, что величины  в выражении   не равны радиусу диска R, а изменяются для разных элементарных масс  от 0 до R. После вычисления этой суммы (интегрирования) получим для момента инерции цилиндра , где  - масса цилиндра.

5. В данной лабораторной работе момент инерции твердого тела определяется экспериментально. Полученное значение I сравнивается с рассчитанным по формуле . Твердое тело представляет собой алюминиевый диск, на котором закреплены три шкива, предназначенные для наматывания нити. Диск соединен через блок легкой нитью с грузом массы m, который, опускаясь под действием силы тяжести, приводит диск во вращение. Схема установки изображена на рис. 6.

Диск вращается под действием момента силы натяжения нити , равного ,  где  – радиус шкива.

Рис. 6. Схема экспериментальной установки

Если пренебречь массой нити, массой блока и трением в его оси, то , где F и T -  силы натяжения нити, действующие соответственно на шкив и груз. Пренебрегая также трением в оси диска, запишем уравнение (1) в виде:

                                                        ,                                                                  (3)

где  I – момент диска с закрепленными на нем шкивами.

Воспользуемся также вторым законом Ньютона для поступательного движения груза:

                                                            .                                                                (4)

Если нить нерастяжима, то ускорение поступательного движения груза a и угловое ускорение диска  связаны соотношением:

                                                              .                                                                     (5)

Исключая величины  T  и a из системы уравнений (3) - (5), получим:

                                                       .                                                            (6)

При  из формулы (6) следует:

                                                               (7)

Из этой формулы следует, что  угловое ускорение пропорционально массе груза.  Формула (7) и проверяется в данной лабораторной работе экспериментально:

  •  при разных массах m измеряется угловое ускорение,
  •  строится график зависимости  от ,  
  •  проверяется линейность этого графика,
  •  по угловому коэффициенту определяется момент инерции диска I,
  •  полученное значение I сравнивается с рассчитанным по формуле .

6. Чтобы определить угловое ускорение  для каждого значения m измеряется зависимость угла поворота диска  от времени. При вращении диска с постоянным угловым ускорением из уравнения  следует , где  - угловая скорость при . А из уравнения  следует . Считая, что при  диск не вращался и угол , получим

.

Согласно этому уравнению график зависимости  от  должен быть линейным с угловым коэффициентом . По угловому коэффициенту определяется угловое ускорение  диска при каждом значении .

Описание установки

Фотография экспериментальной установки приведена на рисунке 7. Исследуемый диск 1 закреплен в штативе 2 с регулируемыми ножками 3, которые позволяют установить диск строго горизонтально.

На диске закреплены три шкива разного диаметра (рис 8), на один из которых в зависимости от индивидуального задания наматывается 15-20 оборотов шелковой нити 5. Далее нить протягивается через измерительное колесико 6 светового барьера 7, который предназначен для измерения угла поворота колесика. Световой барьер с помощью держателя 8 устанавливается таким образом, чтобы нить располагалась горизонтально.

Конец шелковой нити прикрепляется к держателю 9 массой 10 г, на котором можно размещать дополнительные перегрузки 10. Необходимо настроить установку так, чтобы держатель с перегрузками висели вертикально и могли опускаться свободно.

На диске имеется ограничительный выступ 11. Когда нажата и зафиксирована винтом 14 кнопка 13 пускового механизма, выступ 11 упирается в стержень пускового механизма и диск вращаться не может.

Рис. 7. Общий вид экспериментальной установки.

Рис. 8. Диск с тремя шкивами (1D, 2D, 3D) и уровнем (4).

Для уменьшения  трения при вращении диска по гофрированной трубе 15 подается под давлением воздух, нагнетаемый турбокомпрессором (на рисунке 7 – не изображен). Для этого следует включить турбокомпрессор (переключатель поставить в положение 1) и увеличить поток воздуха, вращая регулятор компрессора по часовой стрелке до цифры 5. При этом диск «всплывает», оказывается на воздушной подушке. Чтобы диск пришел в движение, надо отпустить спусковой механизм 12, отвернув винт 14.

Световой барьер 7 устроен таким образом, что внутри него в одном «колене» расположен светодиод, излучающий электромагнитные волны в непрерывном режиме, а в другом «колене» – фотодатчик (приемник излучения). По периметру измерительного колесика 6 располагаются на одинаковых расстояниях друг от друга отверстия, через которые излучение светодиода попадает на фотодатчик. При вращении колесика 6 фотодатчик будет фиксировать попадающие на него импульсы излучения, преобразуя их в электрические импульсы. По числу этих импульсов определяется угол поворота измерительного колесика и затем рассчитывается угол поворота диска.

Электрический сигнал с фотодатчика светового барьера 7 по проводам 17 передается на электронный блок Cobra 3 16, который фиксирует число полученных импульсов и одновременно с высокой точностью измеряет время.  Экспериментальные результаты с этого блока передаются на компьютер, где обрабатываются специальной программой, которая, в частности, строит графики зависимостей от времени угла поворота диска, угловой скорости, углового ускорения и других величин.

Экспериментальная часть.

Методика измерения зависимости

1. Проверьте соответствие экспериментального стенда рисунку 7.

2. Установите исследуемый диск 1 горизонтально (поворачивая ножки 3, добейтесь того, чтобы пузырек воздуха в уровне 4 располагался посередине).

3. Зафиксируйте диск в стартовом положении, при этом стержень спускового механизма 12 должен быть выше выступа 11 диска примерно на 1 мм; для этого нажмите на кнопку 13 и закрутите винт 14.

4. Намотайте нить на шкив, сделав 15-20 оборотов вокруг него. Номер шкива выберите в соответствии с индивидуальным заданием. Шкивы имеют следующие диаметры (рис. 8):

1D – 30 мм,      2D – 60 мм,         3D – 90 мм.

5. Протяните нить через измерительное колесико 6 светового барьера 7, при этом нить должна быть горизонтальна. Высота светового барьера регулируется крепежным устройством 8.

6. Прикрепите к нити держатель 9 с перегрузками 10.

7. Включите в сеть прибор Cobra 3.

8. . Включите компьютер и запустите программу «Measure», нажмите кнопку «Student», в меню                         «Прибор» выберите «Кобра3 Перемещение/Вращение».

9. Занесите параметры эксперимента в диалоговое окно на экране компьютера  (Приложение-1).

10.Включите турбогенератор, поставив переключатель на задней панели прибора в положение 1. Увеличьте подачу воздуха по гофрированной трубе, поворачивая ручку регулятора турбокомпрессора до положения  5 (до тех пор, пока диск не «всплывет»).

11. Отпустите спусковой механизм 12, открутив винт 14, при этом, диск 1, колесико 6 и груз 10 приходят в движение.

12. Закончите эксперимент щелчком мыши до того, как держатель 9 коснется пола. После завершения эксперимента зависимость угла поворота от времени появится на экране компьютера (рис.9).

План эксперимента и обработка  его результатов

  1.  Измерьте зависимость . Массу m держателя с перегрузками следует выбрать в соответствии с индивидуальным заданием. На экран компьютера (рис. 9) будет выведен график зависимости угла поворота  (в радианах) от времени  (в секундах). В соответствии с теоретической зависимостью  график должен иметь вид параболы.

Рис. 9. График зависимости угла поворота  от времени.

  1.  В верхней строке панели инструментов на экране монитора «нажмите» кнопку «Таблица» (рис. 9). Таблица  от  будет выведена на экран. Перепишите ее в лабораторный журнал в сокращенном виде, задавая шаг по времени в 1 секунду.
  2.  На миллиметровой бумаге постройте график зависимости  от . Если трение в условиях нашего эксперимента достаточно мало, то угловое ускорение будет постоянным и .  Следовательно, график   от  должен быть линейным с угловым коэффициентом .
  3.  Рассчитайте и нанесите на график поля погрешностей. Погрешность измерения угла поворота измерительного колесика примерно равна ,  где   – число отверстий в измерительном колесике светового барьера. Учитывая, что углы поворота шкива радиуса  и измерительного колесика радиуса  связаны соотношением , получим для погрешности угла :

                                                                                                                                 (8)

     Относительная погрешность измерения времени мала и ее можно не учитывать.

  1.  Определите по графику угловое ускорение  и его погрешность.
  2.  Определите величину углового ускорения «в автоматическом режиме» при помощи компьютерной программы (см. Приложение-2).

  1.  Повторите эксперименты при различных массах m (5 значений в диапазоне 10-90 г), определяя каждый раз угловое ускорение  при помощи компьютера. Для каждого значения m измерения повторите три раза для оценки погрешности величины  . Результаты занесите в таблицу, указывая для каждого значения m величины , , ,  и
  2.   Постройте график зависимости  от m на миллиметровой бумаге. В соответствии с формулой (7) этот график должен быть линейным. Определите угловой коэффициент   графика, рассчитайте момент инерции I диска, его  относительную  и абсолютную   погрешности. Учтите, что погрешность Δm для  данной установки не превышает 0,5 г. Погрешность  соответствует глубине лунки для нити в шкиве на поворотном диске (≈0,5 мм).

      7.  Сравните полученный результат   для момента инерции диска с теоретическим расчетом в домашнем задании.

      8.  Сформулируйте выводы по работе.

 

                                                   Индивидуальные задания

№ бригады

1 и 7

2 и 8

3 и 9

4 и 10

5 и 11

6 и 12

№ диска

1D

2D

1D

2D

1D

2D

Радиус шкива , мм

15

30

15

30

15

30

Масса m, г (для 1-го пункта плана)

30

40

40

50

50

30

                                                  Подготовка к работе.

1. Физические понятия.

  •  поступательное движение;
  •  вращательное движение;
  •  момент силы относительно точки, относительно оси;
  •  угловая скорость; угловое ускорение;
  •  момент инерции; физический смысл момента инерции твердого тела;
  •  основное уравнение динамики вращательного движения;
  •  теорема Штейнера.

2. Выведите формулу для расчета момента инерции сплошного диска радиуса R и массы M.

3. Расчетное задание.

  •  Рассчитайте момент инерции  алюминиевого диска диаметром  350 мм и толщиной     3,5 мм.
  •  Для этого алюминиевого диска по формуле (7) рассчитайте зависимость  от . Радиус шкива r выберите из таблицы индивидуальных заданий. Постройте график зависимости   от  в диапазоне  значений от 0 до 100 г.

4. Сформулируйте цель работы и порядок ее выполнения.

Примечание. Пункты 2, 3  выполните письменно при подготовке к лабораторной работе.

Литература

1. Иродов И.Е. Механика. Основные законы.– М.: Лаборатория базовых знаний, 2003, §§1.2, 5.1, 5.4.

2. Савельев И.В. Курс общей физики.– М.: АстрельАСТ, 2005; §§1.5, 5.3, 5.4, 5.5.

Приложение-1

В диалоговом окне компьютера для ввода параметров выполните следующие установки:

                         

Рис. 1-1.  Диалоговое окно с установленными параметрами измерений.

В окошке «Диаметр оси» установлен диаметр шкива, на который намотана нить. Внимание! Из-за особенностей работы программы в это окошко необходимо записывать радиус шкива. Если установлен первый шкив с диаметром 30 мм, то записываем – 15 мм.

После нажатия кнопки далее на экране появится окно управления процессом измерения. Измерения начинаются автоматически после начала движения диска светового барьера. Окончание измерений  производится вручную по щелчку мыши в поле нужного окошка. После этого все измеренные результаты отображаются на экране компьютера.

Приложение-2

Выберите на панели инструментов символ  («изменение каналов») (рис. 9). После щелчка мыши в поле этого символа на экране появится диалоговое окно (рис. 2-1).

Рис. 2-1. Диалоговое окно для изменения каналов.

  •  В левой верхней части рисунка в окошках под надписью исходный канал выберите время (t).
  •  В окошке с названием операция с помощью клавиатуры наберите t*t.
  •  Отметьте мышью окошки  в новое измерение, как Х-канал.
  •  В окошке название наберите текст время в квадрате, в окошке символ – ,
  •  в окошке    единица- .
  •  Нажмите кнопку рассчитать и на экране появится график  (рис.2-2).
  •  Визуально определите область графика, где точки достаточно хорошо «ложатся» на прямую.
  •  В верхней строке панели инструментов найдите кнопку регрессия (линеаризация).  
  •  При нажатии на    нее на    экране появляется прямая с двумя яркими точками.
  •  Прямую можно перемещать «зацепив» точки курсором мыши, удерживая нажатой левую кнопку. Расположите прямую так, чтобы на выбранном вами участке графика, точки группировались равномерно вокруг прямой. Обычно следует исключить начальный участок графика.
  •  На экране высвечивается уравнение прямой (рис. 2-2). Угловой коэффициент соответствует половине углового ускорения.
  •  Сравните эту величину с данными, полученными «вручную» при выполнении п.3.

Рис. 2-2. График зависимости  от  и его линеаризация.

PAGE  10

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

Груз

Шкивы

Таблица

Изменение каналов

Регрессия (линеаризация)

Уравнение прямой

Блок (измерительное колесико)

иск со  шкивами

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

35569. Матанализ Конспект лекций 20.29 MB
  Свойства бесконечно малой последовательности. Теорема. Сумма бесконечно малой есть бесконечно малое. Теорема Произведение бесконечно малого есть бесконечно малое. Теорема о представление последовательности имеющий конечный предел. Теоремы о пределах числовых последовательностей. Теорема о пределе суммы/ Теорема о произведение пределов///
35571. Физика. Конспект лекций 1.43 MB
  Статическое электромагнитное поле электростатика Общие свойства электростатического поля Потенциал разумная выборка Поля создаваемые распределениями зарядов с хорошей симметрией Центральная сферическая симметрия. Поле создаваемое равномерно заряженной плоскостью. Поле создаваемое произвольным распределением заряда.
35572. Описание микропроцессора MC68HC908GP32 56 KB
  МК содержат на кристалле резидентное ПЗУ программ режим адресации внешней памяти у большинства моделей отсутствует. Интеграция на кристалле МК трех типов памяти: памяти программ maskROM FLASH оперативной памяти данных статическое ОЗУ и энергонезависимой памяти данных ЕЕPROM которая программируется и стирается в рабочем режиме МК под управлением программы пользователя без подключения дополнительных источников питания. В первой группе следует выделить команду пересылки данных между двумя ячейками памяти минуя регистры центрального...
35573. Транспортная и автомобильная система. ВВЕДЕНИЕ В СПЕЦИАЛЬНОСТЬ 3.42 MB
  В учебном пособии содержатся краткие сведения по обязательным дисциплинам формирующим профессиональные навыки у специалистов в области сервиса автомобильного транспорта: типаж подвижного состава эксплуатационные материалы единая транспортная система и автомобильные перевозки техническая эксплуатация и ремонт автомобилей предприятия автомобильного сервиса и системы фирменного обслуживания.2] Общая компоновка автомобилей [4.3] Типаж автомобилей [4.13] Производственнотехническая база автосервиса [5] Автомобильные эксплуатационные материалы...
35574. ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ТЯГИ 3.27 MB
  Построить электромеханические характеристики на ободе колеса VI FI I для всех схем соединений двигателей и всех степеней ослабления поля используя нагрузочные характеристики характеристики магнитных и механических потерь характеристику потерь мощности в механической передаче. Режим пуска нанести на электромеханические характеристики двигателя VI на ободе колеса. Построить тяговые характеристики поезда FV для всех режимов включения двигателей. Нанести на эти характеристики ограничения по сцеплению максимальной скорости и...
35576. Проектирование и эксплуатация газо- и водоочистки 1.88 MB
  Более того десульфурацию проводили вдувая каустическую соду в контур охлаждающей воды рис. В процессе Эрфайн можно выделить три основные стадии: охлаждения отделения пыли и обработки воды. Крупные частицы фракцией 10мкм удаляются в результате вспрыскивания распыленной циркуляционной воды в противоток отходящему газу посредством форсунок работающих на одном виде жидкости. На стадии обработки воды взвешенные твердые частицы и тяжелые металлы удаляют из сбросовых стоков данного процесса в установке обработки воды в три этапа: отделяют...
35577. АНТИПРИГОЖИН. УПРАВЛЯЕМЫЙ ХАОС 1.69 MB
  Вместо физического времени в ней использовался обратимый эрзац. Человек будучи вне времени становится богоподобным или намного ближе к квазибожественному состоянию.Ньютон же считал что вмешательство бога требуется в каждый момент времени отсюда эпигенез и гениальное предвидение И. Это вернуло прежний интерес к конструктивной роли времени.