42285

ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СВЯЗАННЫХ МАЯТНИКОВ

Лабораторная работа

Физика

Измерение собственных частот колебаний и частоты биений экспериментальная проверка соотношения между этими частотами. Теоретическая часть Биения Гармоническими колебаниями называются колебания которые описываются формулой 1 где координата колеблющейся точки амплитуда колебаний циклическая частота период колебаний начальная фаза. Амплитуда колебаний и начальная фаза определяются начальными условиями:...

Русский

2013-10-28

1.67 MB

95 чел.


Лабораторная работа № 22

ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СВЯЗАННЫХ МАЯТНИКОВ

Цель работы:

Исследование колебаний системы двух связанных маятников. Измерение собственных частот колебаний и частоты биений, экспериментальная проверка соотношения между этими частотами. Исследование зависимости частоты биений от параметров, определяющих связь маятников в системе.

Оборудование:

Два физических маятника, соединенные пружиной и оснащенные датчиками угла поворота, источник питания, электронный блок управления Cobra 3, компьютер.

Продолжительность работы – 4 часа.

Теоретическая часть

Биения

Гармоническими колебаниями называются колебания, которые описываются формулой

,                                                     (1)

где  - координата колеблющейся точки,  -  амплитуда колебаний,  - циклическая частота,  - период колебаний,  - начальная фаза. Гармонические колебания совершает, например, маятник при малых амплитудах. Формула (1) является решением дифференциального уравнения

,                                                    (2)

в чем нетрудно убедиться, вычислив вторую производную от функции  и подставив ее в дифференциальное уравнение (2). Амплитуда колебаний и начальная фаза определяются начальными условиями: координатой и скоростью материальной точки в начальный момент времени.

Некоторые физические задачи сводятся к сложению колебаний. Если суммируются колебания с одинаковыми частотами, то результирующие колебания происходят с той же частотой, а их амплитуда и начальная фаза могут быть найдены, например, с помощью метода векторных диаграмм.

При сложении колебаний с разными частотами возникает сложный, в общем случае, непериодический процесс. Если частоты  и складываемых колебаний близки по величине (, где ), то результирующие колебания имеют характер биений – так называют колебания с пульсирующей амплитудой (рис.1).

В качестве примера найдем сумму двух колебаний с одинаковыми амплитудами, начальными фазами, равными нулю, и близкими частотами:

.               (3)

Полученное выражение представим в виде

,

где  и . Величину   можно назвать медленно изменяющейся амплитудой. На рис. 1  приведен рассчитанный по формуле (3) график при , 10 с-1,  с-1. Периодом биений  называют минимальное время, за которое амплитуда колебаний периодически достигает своего минимального (или максимального) значения. Период изменения функции  равен , а период биений, как видно из рис. 1, в два раза меньше: .

Рис. 1. График биений, рассчитанный по формуле (3) при , ,  (сплошная кривая). Штриховая кривая рассчитана по формуле

Определяя частоту биений формулой , получим

,                                                              (4)

где , .

Колебания в системе с двумя степенями свободы

Число степеней свободы равно минимальному числу независимых переменных (обобщённых координат , ), необходимых для полного описания движения механической системы. На рис. 2 показаны колебательные системы с двумя степенями свободы. В качестве обобщенных координат  и  могут фигурировать различные величины, характеризующие положение системы. Например, для случая, изображенного на рис. 2а, в качестве обобщенных координат  удобно использовать деформации пружин ( - деформация первой пружины,  - деформация второй), а для систем на рис. 2б и 2в – углы отклонения от положения равновесия: , .

Рис.2.  Колебательные системы с двумя степенями свободы

Далее ограничимся рассмотрением системы, изображенной на рис. 2б, предполагая, что маятники совершают колебания в одной плоскости, и каждый представляет собой шар массы , закрепленный на легком стержне длины , причем  значительно больше радиуса шара (то есть маятники считаются математическими). Расстояние от точки крепления пружины на стержне до его оси вращения обозначим .

Основной вывод, вытекающий из теоретического анализа такой системы (см. Приложение-1) состоит в том, что она характеризуются не одной, а двумя собственными частотами

,          ,                                    (5)

где g-ускорение свободного падения, k-коэффициент жесткости пружины.

           При малых амплитудах колебательный процесс представляет собой сумму гармонических колебаний с этими собственными частотами:

,                                 (6)

,                                 (7)

Формулы (6), (7) описывают колебания маятников при произвольных начальных условиях, которым соответствуют конкретные значения величин . Рассмотрим три важных специальных случая.

1) Синфазные колебания. Если , то  и формулы (6), (7) описывают синфазные колебания маятников с частотой . В этом случае длина пружины при колебании маятников не изменяется, поэтому пружина не оказывает влияния на колебательный процесс и частота синфазных колебаний совпадает с собственной частотой уединенного маятника.

2) Противофазные колебания. Если , то формулы (6), (7) описывают противофазные гармонические колебания маятников с частотой . При этом в любой момент времени углы отклонения маятников отличаются лишь знаком:  . Сила упругости, возникающая при деформации пружины, одинаковым образом ускоряет возвращение каждого из маятников к положению равновесия. Поэтому соответствующая частота колебаний  больше, чем .

3) Биения. При  и  получим

,      .                      (8)

Если собственные частоты близки , то формулы (8) описывают биения. При  из (8) следует

,        ,       ,        .

Это означает, что рассматриваемый режим колебаний можно возбудить, если в начальный момент времени оба маятника отпустить без начальной скорости: первый из положения, смещенного от равновесного положения на угол , а второй из положения равновесия.

Для определения частоты биений воспользуемся формулами (5):

и приближенным соотношением . Из этих выражений найдем   и

.                                                           (9)

Если варьировать начальные условия (углы отклонения маятников и их начальные скорости при ), то можно реализовать различные виды колебаний, частными случаями которых являются три рассмотренных выше;  в общем случае происходят колебания с пульсирующей амплитудой.

Описание установки

Установка содержит два маятника, соединенные легкой пружиной (рис. 2б). На оси вращения каждого маятника закреплен датчик угла поворота, подключенный к блоку питания. Информационный сигнал с выхода датчика, пропорциональный углу отклонения маятника от положения равновесия, поступает на входы устройства преобразования «Cobra 3», и после преобразования в цифровую форму поступает в компьютер для обработки.

Датчик угла поворота выполнен на основе резистивного моста (рис.3). Ползунок реостата связан со стержнем маятника. При повороте стержня изменяется соотношение сопротивлений резисторов и, следовательно, напряжение , измеряемое вольтметром. Это напряжение пропорционально углу  отклонения маятника. Ручная регулировка второго реостата  (верхнего на рис.3) необходима для установки нулевого напряжения в положении равновесия маятника.

Рис. 3. Схема резистивного датчика угла поворота.

Каждый из маятников представляет собой стержень, к которому прикреплен груз в виде диска. Масса груза  кг, его диаметр d = 80 мм. Расстояние от центра масс маятника до точки подвеса  может изменяться в небольших пределах ( см) вращением узла крепления гири к стержню. При необходимости такой регулировки пригласите преподавателя или инженера.

Экспериментальная часть.

Подготовка к работе:

1. Установите заданное расстояние  между точкой крепления пружины к маятнику и осью вращения в соответствии с индивидуальным заданием.

2. Включите блок питания, компьютер и запустите программу «measure».

Внимание! Перед включением приборов в сеть пригласите преподавателя или инженера для проверки схемы.

Упражнение 1. Измерение собственных частот колебаний связанных маятников.

1. Следуя инструкциям (Приложение-2), измерьте периоды синфазных и противофазных колебаний.

2. Рассчитайте собственные частоты (частоты синфазных и противофазных колебаний) и их погрешности: ,    .

 

Упражнение 2. Изучение колебаний маятников в режиме «биений».

1. Задайте режим колебаний, соответствующий наиболее выраженным биениям: один маятник удерживайте в положении равновесия, а второй отклоните на угол , и затем маятники одновременно отпустите.

2. После установления стабильного колебательного процесса запустите программу измерений и записывайте колебания в течение 2…3 минут. При этом на экране монитора будут отображаться графики зависимостей и , каждый из которых имеет форму биений. Графики биений маятников «сдвинуты» по времени, так что в моменты, когда амплитуда колебаний одного маятника максимальна, амплитуда другого минимальна, и наоборот. При этом происходит периодическая (с периодом  ) «перекачка» энергии колебаний от одного маятника к другому. Графики сохраните в памяти компьютера.

3. Определите по графикам период биений  (см. рис.1) и его погрешность. Для повышения точности используйте инструменты «Обзор» и «Лупа» (см. Приложение-2).

4. Рассчитайте частоту биений  и ее погрешность, сравните полученный результат с величиной , рассчитанной по результатам измерений частот противофазных и синфазных колебаний.

5. Рассчитайте и постройте графики зависимостей от времени  и  (см. Приложение-3). Согласно формулам (6) и (7) в обоих случаях должны получиться гармонические колебания:  колеблется с собственной частотой , а  - с частотой  (такие обобщенные координаты, колеблющиеся с собственными частотами, называют нормальными).

Полученные результаты сведите в таблицу:

Частота синфазных колебаний

Гц

Частота противофазных колебаний

Гц

Частота биений (расчет)

Гц

Частота биений (эксперимент)

Гц

Частота колебаний величины

Гц

Частота колебаний величины

Гц

Упражнение 3. Исследование зависимости частоты биений от положения пружины, «связывающей» маятники.

Измените расстояние  (рис. 2б) в  раза, и измерьте соответствующее значение частоты биений . Покажите, что в согласии с формулой (9)  .

Упражнение 4 (дополнительное, выполняется по согласованию с преподавателем). Фурье-анализ биений.

           В высшей математике доказывается,  что любое периодическое движение может быть представлено в виде суммы гармонических колебаний с различными частотами и амплитудами. Определение частот и амплитуд гармонических колебаний, на которые раскладывается данный периодический процесс, называют Фурье-анализом. В высшей математике выводятся формулы, при помощи которых Фурье-анализ может быть выполнен. Программное обеспечение данной лабораторной работы позволяют провести Фурье-анализ биений.

          Выведите на экран график биений одного из маятников из упражнения 2 и, следуя инструкциям (Приложении-3), покажите, что биения представляют собой сумму гармонических колебаний с собственными частотами  и .

Сформулируйте выводы по работе.  

                                                   Индивидуальные задания

№ бригады

1 и 7

2 и 8

3 и 9

4 и 10

5 и 11

6 и 12

Расстояние , см

30

40

50

50

60

70

                                                  Подготовка к работе.

1. Физические понятия, знание которых необходимо для успешного выполнения работы:

  •  гармонические колебания; амплитуда, фаза, начальная фаза, период, частота, циклическая частота, дифференциальное уравнение гармонических колебаний;
  •  сложение гармонических колебаний, биения;
  •  математический и физический маятники, собственная частота колебаний;
  •  колебания связанной системы.

2. Приведите в конспекте подробный вывод формул (5) – (7)

3. Расчетное задание.

  •  По формулам (7), (8)  рассчитайте зависимости  и  в режиме биений. Величину , выберите в соответствии с индивидуальным заданием. При расчетах примите: m=1 кг, l=1 м, k=3 Н/м. Постройте графики  и , используя любую доступную компьютерную программу построения графиков (например,  http://www.yotx.ru/default.aspx). График вклейте в конспект.

Примечание. Пункты 2, 3  выполните письменно при подготовке к лабораторной работе.

Литература

1. Иродов И.Е. Механика. Основные законы.– М.: Лаборатория базовых знаний, 2003, §§5.4, 6.1, 6.2, 6.3, 6.4.

2. Савельев И.В. Курс общей физики. Механика– М.: АстрельАСТ, 2005; §§5.3, 5.4, 8.1, 8.5, 8.6, 8.7, 8.9, 8.11.

3. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т.2 ,Москва.: Лань, 2004; Глава 24, 2.

Приложение-1

Вывод формул (5)-(9)

При малых углах отклонения маятников от вертикали (, , рис. 2б) ось пружины при колебаниях остается практически горизонтальной (рис.1-1.). В этом случае суммарный момент сил тяжести  и упругости относительно оси вращения 1-го маятника равен

,

где  - проекция силы  на ось ,  - деформация пружины. Момент сил, действующих на второй маятник, относительно его оси вращения равен

,

где , . При малых углах отклонения маятников от вертикали , , поэтому

,    .

Рис. 1-1. Связанные маятники

Полученные выражения для моментов сил подставим в уравнения динамики вращательного движения маятников:

,      ,

где - момент инерции каждого маятника относительно оси вращения. После сокращения получим

,                                                (П1)

где введены обозначения: , . Заметим, что величина  равна собственной частоте уединенного (несвязанного) маятника, а величина зависит от параметров маятника и пружины, ее называют коэффициентом связи системы.

Складывая уравнения системы (П1), получим , где . Общее решение этого уравнения имеет вид

.                                         (П2)

Вычитая из второго уравнения системы (П1) первое, получим , где , . Общее решение этого уравнения имеет вид

.                                      (П3)

Из уравнений (П2), (П3) найдем

,

,

где   ,         .


Приложение-2

Измерение собственных частот колебаний связанных маятников.

1. В меню «Прибор» компьютерной программы выберите «Универсальный измеритель».

2. В появившемся   диалоговом окне наберите показанные на рис.2-1 установки.

3. Дважды отмечая мышкой окошки «Аналоговый дисплей» и « Диаграмма», активируйте на экране окна, изображенные на рис.2-2. Эти окна предназначены  для установки максимального угла отклонения маятника от вертикали на аналоговом приборе и для выбора каналов, отображаемых на диаграмме.

Рис.2-1. Диалоговое окно «Универсальный измеритель»

Рис.2-2. Окна настройки пределов измерения угла

Рис.2-3. Окно для отображения зависимостей  в процессе измерения

Рис.2-4. Инструменты «Лупа» и «Обзор» для измерения периода колебаний

4. Конкретные значения параметров, устанавливаемых на рис.2-2, удобно выбрать, нажав кнопку «Далее» в окне на рис.2-1 и наблюдая отображение колебаний в появившемся на экране окне (рис.2-3). Предварительно нужно отклонить маятники на небольшие углы, отпустить их и  нажать кнопку «Начать измерение» в правом нижнем углу окна на рис.2-3. Окончание процесса измерений выполняют нажатием клавиши «закончить измерение» в соответствующем окне на рис.2-3.

5. Когда маятники находятся в положении равновесия, приборы, изображенные на рис. 2-3, должны показывать нулевое напряжение - добейтесь этого с помощью ручек регулировки, расположенных на датчиках угла поворота.

6. Для измерения частот синфазных колебаний маятников отклоните их на одинаковые углы (контролируются приборами на рис. 2-3) в одну сторону от вертикали и одновременно отпустите. Измерения начинайте примерно через 30 с после начала колебаний, когда колебательный процесс установится. Запись колебаний должна происходить не менее двух-трех минут. После завершения измерений на экране отображаются графики колебаний. Выбирая входы 1 или 2, путем нажатия на кнопки U1 или U2, можно наблюдать на экране монитора графики колебаний каждого маятника в отдельности или сразу оба графика. Для одинаковых маятников и одинаковых начальных условий кривые  и  должны практически совпадать. Если это не так, обратитесь к инженеру или преподавателю.

7. Определите по графикам период синфазных колебаний , пользуясь для повышения точности инструментами «Обзор» и «Лупа» (рис.2-4).  Оцените погрешность измерения . При необходимости проконсультируйтесь по этому вопросу с преподавателем или инженером.

8. Аналогичным образом определите период  противофазных колебаний, отклоняя маятники на равные углы в противоположные стороны от положения равновесия.

9. Рассчитайте собственные частоты (частоты синфазных и противофазных колебаний) и их погрешности: ,    .


Приложение-3

Фурье-анализ биений

          1. Выведите на экран график биений одного из маятников из упражнения 2.

2. Откройте окно «Изменение каналов», воспользовавшись  инструментом «Формула» (На рис. 2-4 -  ).

3. Заполните диалоговое окно так, как показано на рис.3-1.

4. Нажмите кнопку «Рассчитать»,  в результате на графике «биений» в 1000 раз уменьшится масштаб по оси времени (это необходимо, если учесть ожидаемые порядки собственных частот).

                       

                    Рис.3-1. Окно для изменения масштаба по оси времени

5. Нажмите на панели инструментов кнопку f (Анализ Фурье).

6. В появившемся окне нажмите кнопку «Рассчитать».

7. Примените инструмент «Лупа» к графику на экране, «растянув» начальный участок этого графика. В результате получите зависимость как на рис.3-2.

              

            Рис.9. Пример Фурье – анализа спектра биений связанных маятников

8. С помощью инструмента «Обзор» определите абциссы пиков этого графика  и  . Они должны совпадать с частотами синфазных  и противофазных  колебаний.

PAGE  11

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

упа

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

Формула

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

Обзор

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

10837. Найважливіші винаходи людства. Телефон 47 KB
  Урок 22 Тема: Наука і культура Підтема: Найважливіші винаходи людства. Телефон. Мета: Практикувати учнів у читанні науковопопулярного тексту пошуковому читанні. Систематизувати граматичний матеріал щодо способів вираження майбутнього часу в англійській мові. Об
10838. Винаходи та винахідники. Перевірити рівень мовленнєвої компетенції за темою 74.5 KB
  Тема: Наука і культура Підтема: Винаходи та винахідники. Мета: Перевірити рівень мовленнєвої компетенції за темою. Провести тематичну атестацію. Обладнання: тест НО1. ХІД УРОКУ І. ПІДГОТОВКА ДО СПРИЙНЯТТЯ ІНШОМОВНОГО МОВЛЕННЯ Aim Повідомлення теми та мети уро...
10839. Мистецтво. Життя суспільства 52.5 KB
  УРОК 24 Тема: Життя суспільства Підтема: Мистецтво. Мета: Розвивати вміння вживати лексику теми в усних висловлюваннях. Проконтролювати розуміння та обговорити текст домашнього читання. Практикувати учнів у вживанні розділових питань у порівнянні з іншими питаннями...
10840. Відвідання музею 58 KB
  УРОК 25 Тема: Життя суспільства Підтема: Відвідання музею. Мета: Практикувати учнів у діалогічному мовленні. Вчити свідомому логічному оформленню висловлювання. Узагальнити у вправах граматичний матеріал Present Tenses. Обладнання: підручник таблиця Present Tenses HO1. ПІ...
10841. Шедеври живопису 51 KB
  УРОК 26 Тема: Життя суспільства Підтема: Шедеври живопису. Мета: Практикувати учнів в аудіюванні тексту. Сприяти розвиткові пізнавальних інтересів учнів розширенню їхнього світогляду формуванню смаку. Обладнання: підручник репродукція Mona Lisa Giaconda HO1 текст дл...
10842. Корисна інформація для подорожуючого 54 KB
  УРОК 27 Тема: Життя суспільства Підтема: Корисна інформація для подорожуючого. Мета: Практикувати учнів в усних діалогічних висловлюваннях. Вчити отримувати та користуватися необхідною для подорожуючого інформацією. Вчити реагувати на репліки співрозмовника висл...
10843. Урок. У готелі. Займенник some та його похідні 51.5 KB
  Тема. Життя суспільства УРОК 28 Підтема: У готелі. Мета: Практикувати учнів у вживанні фраз необхідних у ситуаціях спілкування. Узагальнити граматичний матеріал: Займенник some та його похідні. Обладнання: підручник граматична таблиця Займенник some та його похід...
10844. Новий рік. Різдво 44.5 KB
  Тема: КУЛЬТУРА. ДОЗВІЛЛЯ Підтема: Новий рік. Різдво. Мета: Виховувати повагу до народних традицій. Обладнання: підручник текст для аудіювання Christmas in Ukraine HO текст для читання New Year in England and Scotland HO2. ХІД УРОКУ I.ПІДГОТОВКА ДО СПРИЙНЯТТЯ ІНШОМОВНОГО МОВЛЕННЯ ...
10845. Чекаючи на Різдво. Життя суспільства 38.5 KB
  Урок 29 Тема: Життя суспільства Підтема: Чекаючи на Різдво. Мета: Навчати непідготовленому висловлюванню за темою уроку. Проконтролювати та обговорити тексти домашнього читання. Націлювати учнів на виконання тесту тематичної атестації.Обладнання: підручник. ХІД У...