42286

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА И ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ШТЕЙНЕРА

Лабораторная работа

Физика

Теоретическая часть Момент инерции это величина зависящая от распределения масс в теле и являющаяся мерой инертности тела при вращательном движении. Момент инерции тела относительно оси вращения определяется выражением 1 где элементарные точечные массы на...

Русский

2013-10-28

1.78 MB

53 чел.

Лабораторная работа № 23

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ  ТВЕРДОГО ТЕЛА 

И ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ШТЕЙНЕРА

Цель работы:

Экспериментальное определение моментов инерции различных твердых тел с помощью измерения периода крутильных колебаний, и проверка теоремы Штейнера.

Оборудование:

Штатив со спиральной пружиной и приспособлением для крепления исследуемых тел, регистратор движения, электронный блок управления Cobra 3, набор тел различной формы, компьютер.

Продолжительность работы – 4 часа.

Теоретическая часть

  Момент инерции - это величина, зависящая от распределения масс в теле и являющаяся мерой инертности тела при вращательном движении.  Момент инерции тела относительно оси вращения определяется выражением

                                                                                                                                         (1)

где- элементарные («точечные») массы, на которые мысленно разбивается тело, - расстояния от этих масс до оси вращения (рис.1)

Рис.1. К определению момента инерции (ось перпендикулярна плоскости чертежа)

          Если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление момента инерции сводится к вычислению интеграла

                                                          ,                                (2)

где и - масса и объем элемента тела, находящегося на расстоянии  от интересующей нас оси; - плотность тела. Интегрирование должно производиться по всему объему тела.

Аналитическое вычисление таких интегралов возможно только в простейших случаях тел правильной геометрической формы. Если твердое тело представляет собой  тонкое кольцо радиуса R и массы m, то момент инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр равен (рис. 2).

                               .                                      (3)

При вычислении момента инерции однородного цилиндра (или диска) относительно оси,  совпадающей с его осью симметрии (рис.3), следует учесть, что величины  в выражении   не равны радиусу диска R, а изменяются для разных элементарных масс  от 0 до R. После вычисления этой суммы (интегрирования) получим для момента инерции цилиндра

                                                                                                              (4)

где  - масса цилиндра.

  

  

Рис. 2. Момент инерции кольца

Рис. 3. Момент инерции цилиндра

Рис.4 Момент инерции шара

           Вычисление по формуле (2) момента инерции  шара массы m и радиуса R относительно оси, проходящей через центр шара (рис.4), дает результат:

                                                                         .                                                                     (5)

          Другим типовым элементом конструкции твердых тел является стержень. Стержень массы m , имеющий длину L , изображен на рис.5.

Рис.5 Схематическое изображение стержня

      

          Момент инерции стержня, вычисленный относительно оси Z, проходящей через его центр масс, равен:

                                                                                                                                            (6)

   Если определен момент инерции относительно некоторой оси Z, проходящей через центр масс тела, то, оказывается, можно легко вычислить момент инерции относительно любой другой оси, параллельной оси Z. Правила этого расчета сформулированы в теореме Штейнера.     

  Согласно этой теоремы, момент инерции тела  относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной данной оси, и произведения массы тела т на квадрат расстояния между осями :

                                                                                                                                            (7)

С помощью формул  (3) – (6) можно рассчитать именно величины Iс предметов различной формы. Если интересует, например, момент инерции стержня относительно оси Z1 , проходящей через один из его торцов ( рис.5 ), то, в соответствии с (7):

                                                                                                        (8) Для тел неправильной формы интегралы (2) могут быть найдены численными методами.

        Экспериментально определить момент инерции можно, например, с использованием механического устройства, создающего крутильные колебания исследуемого тела. В данной работе крутильные колебания создаются с помощью спиральной пружины. Один конец этой пружины жестко связан с основанием штатива, другой прикреплен к вертикальному валу, ось которого совпадает с осью вращения тела. Вал может вращаться относительно основания без трения. В верхнем торце вала имеется приспособление для крепления исследуемого тела.

         При повороте тела на угол φ пружина закручивается, и возникает момент сил M,  который в широких пределах пропорционален углу закручивания:

                                                                                                                                              (9)

где f – постоянная для данной пружины величина, называемая ее модулем кручения.       

         Если исследуемое тело повернуть на  некоторый угол, а затем отпустить, в системе возникнут крутильные колебания, которые можно описать с помощью основного уравнения динамики вращательного движения:

                                                или                                                      (10)

           Уравнение (10) тождественно дифференциальному уравнению второго порядка вида:

                                                                                                                                      (11)

Если                                                                                                                                    (12)

Известно, что решением уравнения (11) является функция:

                                                                                                                          (13)

где      - амплитуда, а  - начальная фаза колебаний.

           Последнее утверждение легко проверить, подставив функцию (13) в уравнение (11).

           Таким образом, чтобы экспериментально определить момент инерции тела I , нужно измерить период колебаний  и знать модуль кручения f.  Как следует из (12):

                                                                                                                                             (14)

 

Описание установки

Фотография экспериментальной установки приведена на рис.6.                            

          

                      Рис.6 Внешний вид экспериментальной установки

         

 Установка содержит штатив с основанием 1 в виде треноги. Положение исследуемого тела в горизонтальной плоскости можно регулировать с помощью винтов 2. На основании 1 установлен держатель 3 спиральной пружины 4. Вал 5, к которому прикреплен один конец спиральной пружины, укреплен в держателе 3 с помощью подшипников ( на фотографии не видны). Другой конец пружины 4 жестко связан с держателем  3 и основанием 1. В верхней части вала 5 имеется приспособление 6 для крепления исследуемого тела 7. На рис.6 это тело - стержень с грузами 8 , которые могут быть установлены на различных расстояниях от оси вращения.

          В состав установки также входит регистратор движения 9, электронный блок управления  10 (Cobra 3 ) , набор тел различной формы и компьютер 11. Движение вала 5 передается шкиву 12 регистратора движения 9 с помощью нити 13. Один конец нити намотан на вал 5., а к другому прикреплен небольшой (2-4 г) груз 14. Натяжение нити необходимо, чтобы отсутствовало ее проскальзывание относительно шкива 12 в процессе крутильных колебаний. С целью исключения возможного проскальзывания рекомендуется также делать один дополнительный оборот нити вокруг шкива 12.

          При движении нити угол поворота шкива регистратора движения преобразуется в электрическое напряжение и через электронный блок 10 передается в компьютер. Программа автоматически рассчитывает угол поворота φ исследуемого тела, если задать диаметры вала 5 и шкива 12 регистратора движения.

           Программное обеспечение позволяет вывести на экран монитора график слабо затухающих крутильных колебаний и с  высокой точностью измерить период этих колебаний. Предусмотрены различные способы обработки экспериментальной информации. Детально эти возможности программы  рассмотрены в Приложениях.

        

 Экспериментальная часть.

Упражнение 1. Измерение моментов инерции тел различной формы.

  1.  Выберите тела в соответствии с индивидуальным заданием.
  2.  Измерьте необходимые для расчета момента инерции геометрические размеры тел.
  3.  Воспользовавшись формулами , рассчитайте теоретические значения моментов инерции  и погрешности этих величин . При расчете погрешностей считайте, что погрешность массы .
  4.  Закрепите тело №1 на штативе.
  5.  Измерьте период крутильных колебаний T  по методике, изложенной в Приложении 1.
  6.  Определите экспериментальное значение момента инерции , воспользовавшись формулой (14). При расчете считайте, что для данной установки модуль кручения спиральной пружины .
  7.  Рассчитайте погрешность момента инерции . Погрешность измерения времени  с помощью используемого оборудования составляет .
  8.  Повторите пункты  упражнения 2 для тела №2.
  9.  Сделайте вывод по результатам упражнения 1.

Упражнение 2. Экспериментальная проверка теоремы Штейнера.

  1.  Закрепите на штативе металлический диск с отверстиями вдоль диаметра. Центр диска должен совпадать с осью вала 5.
  2.  Согласно методике, изложенной в Приложении 1, измерьте величину момента инерции  относительно оси, проходящей через центр масс диска, и определите погрешность .
  3.  Закрепите диск на штативе так, чтобы с осью вала 5 совпадало соседнее с центром диска отверстие.  Измерьте значение I. Определите погрешность этой величины .
  4.  Смещая центр диска относительно оси вращения на расстояние а, измерьте величины моментов инерции I для каждого варианта крепления диска. Рассчитайте погрешности моментов инерции.
  5.  Постройте график зависимости  на миллиметровой бумаге или воспользуйтесь Приложением 2. На этот график нанесите также зависимость, рассчитанную при выполнении п. 3 раздела «Подготовка к работе»
  6.  Определите значение углового коэффициента  графика  и сравните его с массой диска. В пределах погрешности должно выполняться соотношение , где - масса металлического диска.
  7.  Сделайте вывод по результатам упражнения 3.

Индивидуальные задания

№ бригады

1 и 7

2 и 8

3 и 9

4 и 10

5 и 11

6 и 12

тело №1

шар

цилиндр из пенопласта

полый металлический цилиндр

стержень без грузов

диск из пенопласта

шар

масса тела №1, г

731

345

358

133

306

731

тело № 2

цилиндр из пенопласта

шар

стержень без грузов

диск из пенопласта

шар

стержень без грузов

масса тела №2, г

345

731

133

306

731

133

Подготовка к работе.

1. Физические понятия.

  •  поступательное движение;
  •  вращательное движение;
  •  момент силы относительно точки, относительно оси;
  •  угловая скорость; угловое ускорение;
  •  момент инерции; физический смысл момента инерции твердого тела;
  •  моменты инерции тел правильной геометрической формы;
  •  основное уравнение динамики вращательного движения;
  •  теорема Штейнера;
  •  крутильные колебания, модуль кручения

2. Выведите формулу для расчета момента инерции сплошного диска радиуса R и массы m.

3. Расчетное задание.

  •  Рассчитайте и постройте график зависимости момента инерции диска радиуса  и массы  от , где a – расстояние от центра диска до оси вращения. Величину a варьируйте в пределах от 0 до 15 см.

4. Сформулируйте цель работы и порядок ее выполнения.

Примечание. Пункты 2, 3  выполните письменно при подготовке к лабораторной работе.

Литература

1. Иродов И.Е. Механика. Основные законы.– М.: Лаборатория базовых знаний, 2003, §§1.2, 5.1, 5.4.

2. Савельев И.В. Курс общей физики.– М.: АстрельАСТ, 2005; §§1.5, 5.3, 5.4, 5.5.

                                              Приложение 1

Определение момента инерции тела по периоду крутильных колебаний

  1.  После запуска программы “Measure” в меню «Прибор» выберите пункт «Кобра 3 Перемещение/Вращение».  Можно также воспользоваться символом «Красный круг» в меню инструментов (новое измерение). В результате на экране монитора появится окно настройки процесса измерений (рис.1-1).
  2.  В появившемся диалоговом окне установите показанные на рис.1-1 установки.

                 

                                                Рис. 1-1. Окно настройки измерений

Внимание! Из-за особенностей работы программы в окошке «Диаметр оси» необходимо записывать радиус вала 5, на который наматывается нить. Эта величина равна 10 мм.

  1.  В окне на рис. 1-1 нажмите кнопку «Далее». Появится окно запуска и контроля измерений ( рис.1-2).

                     

                       Рис. 1-2.  Окно запуска и контроля измерений                               

  1.  Отклоните исследуемое тело на угол  от положения равновесия и отпустите его. Выбор величины начального угла в указанном диапазоне является важным. При малых углах колебаний может возникнуть дополнительная погрешность, связанная с влиянием силы тяжести на период колебаний. Эта зависимость проявляется, если колебания тела происходят не совсем в горизонтальной плоскости. При больших амплитудах колебаний действие силы тяжести за период усредняется и, в результате, компенсируется. По истечению 2-3 секунд нажмите кнопку «Начать измерение» в окне на рис.1-2. Время измерений выберите равным 10-20 периодам колебаний. Заканчивают измерение нажатием кнопки «Закончить измерение» в окне на рис.1-2. После этого на экране появится график затухающих колебаний (рис.1-3).

             Рис. 1-3. Типовой график затухающих колебаний.

  1.  Для повышения точности измерения периода колебаний T  воспользуйтесь инструментом «Лупа» (кнопка 1 на рис.1-3). С помощью этого инструмента выделите характерный участок графика, исключив начальный и конечный участки. С помощью инструмента «Обзор» (кнопка 2 на рис.1-3) установите точки «1» и «2» на максимумы 1-го и 10-го колебаний. Проконтролируйте, чтобы амплитуда 10-го колебания была не менее . По таблице (позиция 3 на рис.1-3 ) определите период колебаний.
  2.  Рассчитайте момент инерции I, воспользовавшись формулой (14).

                                               Приложение 2

Построение графика зависимости I(a2) на компьютере

  1.  В меню «Измерение» выберите «Ввести данные вручную». Появится окно «Создать новое измерение». Нажмите кнопку «Далее» в этом окне. Появится таблица, представленная на рис.2-1. Наберите с помощью клавиатуры настройки, показанные на рисунке. Нажмите кнопку «Далее».

                        

                           Рис.2-1. Создание таблицы для ручного ввода информации.       

  1.  В появившейся таблице наберите численные значения результатов эксперимента. Нажми  те кнопку «Да». Появится окно с графиками зависимостей величин, заданных в каналах измерений от номера измерений “n”.
  2.  В меню «Измерение» выберите «Управление каналами». Появится окно, показанное на рис. 2-2.  Выделите надпись «Расстояние в квадрате» и с помощью стрелок управления переместите надпись в окно «Адресат/Ось X». Выделите надпись «Момент инерции» и переместите ее в окно «Адресат/Ось Y». Нажмите кнопку «Да». Появится график зависимости .

        

                                                  Рис.2-2. Управление каналами

8

PAGE  9

2

EMBED Equation.3  

4

3

2

1

5

6

7

8

10

9

11

12

13

1

3

14

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

a

m,  L

Z1

EMBED Equation.3  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24529. Принципы организации программного обеспечения ввода-вывода 70.42 KB
  Принципы организации программного обеспечения вводавывода.2 Организация программного обеспечения вводавывода. Программное обеспечение вводавывода состоит из нескольких иерархических уровней. Иерархическая структура программного обеспечения позволяет учесть все особенности каждого конкретного устройства вводавывода и при этом обеспечить единое логическое представление и унифицированный интерфейс для устройств всех типов.
24530. Физическая организация файловой системы. Структура жесткого диска 108.27 KB
  Логическая организация файла. Пользователи дают файлам символьные имена при этом учитываются ограничения ОС на используемые символы и на длину имени. Например в файловой системе NTFS имя файла может содержать до 255 символов не считая завершающего нулевого символа. Чтобы приложения могли обращаться к файлам в соответствии с принятыми ранее соглашениями файловая система должна уметь предоставлять эквивалентные короткие имена псевдонимы файлам имеющим длинные имена.
24531. Физическая организация файловой системы. Структура жесткого диска 33.35 KB
  Структура жесткого диска. Файл очень часто разбросан кусочками по всему диску причем это разбиение никак не связано с логической структурой файла например его отдельная логическая запись может быть расположена в несмежных секторах диска. Рассмотрим физическую структуру жесткого диска и физическую организацию файла т. Структура жесткого диска.
24532. Физическая организация и адресация файла. Права доступа к файлу 109.92 KB
  Физическая организация и адресация файла.Физическая организация и адресация файла. Важным компонентом физической организации файловой системы является физическая организация файла то есть способ размещения файла на диске. Основными критериями эффективности физической организации файлов являются: скорость доступа к данным; объем адресной информации файла; степень фрагментации дискового пространства; максимально возможный размер файла.
24533. Общая модель файловой системы 28.03 KB
  Общая модель файловой системы Задачей символьного уровня является определение по символьному имени файла его уникального имени. В других файловых системах в которых один и тот же файл может иметь несколько символьных имен на данном уровне просматривается цепочка каталогов для определения уникального имени файла. В файловой системе UNIX например уникальным именем является номер индексного дескриптора файла inode. На следующем базовом уровне по уникальному имени файла определяются его характеристики: права доступа адрес размер и другие.
24534. Современные архитектуры файловых систем 22.75 KB
  На верхнем уровне располагается так называемый переключатель файловых систем который обеспечивает интерфейс между запросами приложения и конкретной файловой системой к которой обращается это приложение. Архитектура современной файловой системы Каждый компонент уровня файловых систем выполнен в виде драйвера соответствующей файловой системы и поддерживает определенную организацию файловой системы. Переключатель является единственным модулем который может обращаться к драйверу файловой системы. Драйвер файловой системы может быть написан в...
24535. Физические организации файловой системы FAT 68.16 KB
  Физические организации файловой системы FAT.6 Физическая организация файловой системы FAT. Как уже отмечалось аббревиатура FAT file allocation table расшифровывается как таблица размещения файлов. Файловая система FAT поддерживает всего два типа файлов: обычный файл и каталог.
24536. Физические организации файловой системы NTFS 42.33 KB
  Физические организации файловой системы NTFS. Физические организации файловой системы NTFS. Аббревиатура NTFS означает New Technology File System новая технология файловой системы. NTFS содержит ряд значительных усовершенствований существенно отличающих ее от других файловых систем.
24537. Системы программирования: состав систем программирования. Этапы разработки ПО 124.23 KB
  Современные системы программирования как правило представляют собой интегрированную среду разработки integrated development environment IDE к компонентам которой относятся следующие программные средства: текстовый редактор editor предназначенный для создания текстов исходной программы на языке высокого уровня ЯВУ или ассемблере макроассемблере; компилятор compiler составитель предназначенный для трансляции перевода исходного текста входной программы в эквивалентную ей выходную программу объектный код на языке нижнего...