42287

КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ

Лабораторная работа

Физика

Исследование зависимости частоты колебаний струны от силы натяжения длины и линейной плотности материала струны. Оборудование: Установка включающая в себя устройство для натяжения струны с динамометром измерительную линейку с подвижными порожками электрическую лампочку с держателем фотоэлемент низкочастотный усилитель осциллограф и универсальный счетчик; резиновый молоток; набор струн. Колебания струны как пример стоячей волны На практике стоячие волны возникают при отражении волн от преград: падающая на преграду волна и бегущая ей...

Русский

2013-10-28

6.2 MB

52 чел.

Лабораторная работа № 25

КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ

Цель работы:

Изучение колебательного движения струны. Исследование зависимости частоты колебаний струны от силы натяжения, длины и линейной плотности материала струны.

Оборудование:

Установка, включающая в себя устройство для натяжения струны с динамометром, измерительную линейку с подвижными порожками, электрическую лампочку с держателем, фотоэлемент, низкочастотный усилитель, осциллограф и универсальный счетчик; резиновый молоток; набор струн.

Продолжительность работы – 4 часа.

Теоретическая часть.

1. Упругие волны

Упругой волной называется процесс распространения возмущения в упругой среде, сопровождающийся переносом энергии. Особую роль в теории волн играют гармонические волны, в которых изменение состояния среды происходит по закону синуса или косинуса.

Волновой поверхностью называется геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе. В плоской волне волновые поверхности представляют собой множество параллельных друг другу плоскостей.

Рассмотрим гармоническую плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси x. Введём обозначение:  – отклонение от положения равновесия точки среды с координатой x в момент времени t. На Рис.1 показан график функции  для некоторого фиксированного момента t.

Рис.1 – Вид функции  для фиксированного момента t.

Длиной волны λ называется расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний:

,

где V – скорость распространения волны, а T – период колебаний. Как видно на Рис.1, длину волны можно также определить как расстояние между ближайшими точками среды, колеблющимися с разностью фаз 2π. Учитывая соотношение между периодом и частотой , получим:

 (1)

Пусть источник колебаний, находящийся в точке x=0 колеблется по закону , где a – амплитуда смещения; ω – циклическая частота. Тогда колебания в точке с координатой x будут запаздывать на время , необходимое для прохождения волны от источника до данной точки:

 

Учитывая соотношение (1), получим:

 

Величина  называется волновым числом. С учетом этого обозначения:

 (2)

Это выражение называется уравнением плоской волны. Если волна распространяется в направлении отрицательных значений оси x, то её уравнение примет вид:

 (3)

Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым уравнением. Для плоской гармонической волны, распространяющейся вдоль оси x, волновое уравнение имеет вид:

 (4)

В справедливости этого утверждения легко убедиться путём простой подстановки в волновое уравнение (4) уравнения плоской волны (2).

2. Стоячие волны

Стоячей волной называется колебательный процесс, возникающий в результате наложения двух встречных плоских волн с одинаковой частотой и амплитудой.

Пользуясь этим определением, выведем уравнение стоячей волны. Уравнения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси x в противоположных направлениях:

 

При наложении этих волн возникает колебательный процесс:

 

Преобразовав это выражение по формуле для суммы косинусов, получим:

 (5)

Это и есть уравнение стоячей волны. Сомножитель  описывает гармонические колебания. Однако, как видно из формулы (5), амплитуда этих колебаний зависит от координаты x по закону . На Рис.2 (а) приведен вид функции  стоячей волны для нескольких фиксированных последовательных моментов времени t. На Рис.2 (б) также показан вид аналогичной функции для обычной бегущей волны. Сравнив эти рисунки, можно заключить, что стоячая волна представляет собой особый вид колебательного движения и, несмотря на название, в строгом смысле слова волной не является, так как стоячая волна не переносит энергию в пространстве.

Рис. 2 – Вид функции  стоячей (а) и бегущей (б) волн для нескольких фиксированных последовательных моментов времени t.

Точки, в которых амплитуда колебаний стоячей волны обращается в ноль, называются узлами. В узлах точки среды колебаний не совершают (см. Рис. 2, а). Координаты узлов должны удовлетворять условию:

  (6)

Точки, в которых амплитуда колебаний максимальна (см. Рис. 2, а) называются пучностями. Соответственно, координаты пучностей удовлетворяют условию:

  (7)

3. Колебания струны как пример стоячей волны

На практике стоячие волны возникают при отражении волн от преград: падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отражённая волна, налагаясь друг на друга, дают стоячую волну.

Ещё одним примером стоячих волн являются колебания закреплённой с обоих концов натянутой струны. Концы струны колебаться не могут, а значит, в этих точках стоячая волна должна иметь узлы. Следовательно, возбуждаться могут только такие колебания, длина волны которых позволяет реализовать это условие. Другими словами, половина длины волны должна укладываться на длине струны целое число раз, как это показано на Рис. 3. Пронумеруем эти колебания, начиная с самой большой длины волны, и запишем соотношение между длиной струны и длиной волны колебания с номером n (см. Рис. 3). В общем виде это соотношение имеет вид:

 или   (8)

Длинам волн (8) соответствуют частоты:

 

где Vфазовая скорость волны – скорость, с которой колебания распространяются вдоль струны. Эти частоты называют собственными частотами. Гармонические колебания с собственными частотамиэто собственные (нормальные) колебания или гармоники. Частота ν, соответствующая n=1 называется основной частотой:

 (9)

Рис. 3 – Собственные колебания струны

Фазовая скорость волны постоянна во времени и определяется плотностью ρ материала струны и силой её натяжения F (см. Приложение):

 (10)

Подставим в выражение для основной частоты (9):

 (11)

Экспериментальная проверка этого соотношения и является основным содержанием данной лабораторной работы.

Описание установки

Внешний вид и схема установки показаны на Рис. 4.

Струна (1) натягивается между колком (2), регулирующим силу натяжения, и измеряющим её пружинным динамометром (3). Струна опирается на два подвижных треугольных порожка (4). Её длина регулируется перемещением этих порожков по измерительной линейке (5). Струна располагается между лампочкой (6) и фотоэлементом со щелевой апертурой (7).

Колебания струны возбуждаются легким ударом резинового молоточка. В результате освещенность фотоэлемента и генерируемый им сигнал изменяются с той же частотой, с которой колеблется струна. Сигнал от фотоэлемента через усилитель (8) поступает на осциллограф (9) и универсальный счётчик (10), измеряющий частоту сигнала.

а)

б)

Рис. 4 – Внешний вид (а) и схема (б) установки для измерения частоты колебаний струны

Экспериментальная часть

Упражнение 1. Измерение зависимости частоты колебаний струны от силы натяжения.

  1.  Прежде чем натягивать струну, необходимо произвести установку нуля динамометра. Если струна уже натянута, вращая колок, сбросьте натяжение до его полного отсутствия. Ослабив фиксирующий винт на боковой поверхности цилиндрического корпуса динамометра, добейтесь, чтобы край корпуса совпадал с нулевым делением шкалы динамометра. Закрепите фиксирующий винт.
  2.  Для экспериментальной проверки соотношения (17) между частотой колебаний струны и силой натяжения используется константановая проволока с диаметром поперечного сечения d=0,4 мм (проволока №1). Установите её между крючком динамометра и крюком с нитью, закреплённой на колке. Струна при этом должна лежать на треугольных порожках. Медленно вращая колок, установите силу натяжения струны F=10 Н.
  3.  Перемещая порожки вдоль линейки, установите длину струны l=50 см. Здесь и далее под длиной струны будем понимать расстояние между верхними углами порожков. Его можно измерять как по положению порожков на линейке (поз. 5 Рис. 4), так и непосредственно с помощью металлической линейки.

Устанавливать порожки рекомендуется таким образом, чтобы лампочка и фотоэлемент находились точно посередине струны.

  1.  Включите осциллограф. Регулировку «VOLTS/DIV» соответствующего канала установите в положение «1» (см. Рис. 5). Регулировку «TIME/DIV» установите в положение «2 ms».
  2.  Включите усилитель (выключатель находится на задней панели прибора). Установите регулировку «Amplification» в положение «102» (см. Рис. 6). Кнопка «AC/DC» должна быть отжата, что соответствует переменному входному сигналу. Регулировку амплитуды установите в среднее положение.
  3.  Включите универсальный счетчик (выключатель находится на задней панели прибора). С помощью кнопки «Mode» переведите его в режим «Analog» (см. Рис. 7). С помощью кнопки «Function» установите режим измерения частоты «Freq». Кнопкой «Set» установите режим «Digits». Нажмите кнопку «Start». Загорится лампочка над этой кнопкой, свидетельствующая о том, что счетчик готов к измерению частоты.

Рис. 5 – Внешний вид экрана осциллографа.

Рис. 6 – Внешний вид лицевой панели усилителя.

Рис. 7 – Внешний вид лицевой панели универсального счетчика.

  1.  Непосредственно перед измерением частоты, необходимо убедиться, что:
  •  Длина струны соответствует нужной величине (порожки могут немного сместиться при изменении натяжения струны);
  •  Натяжение соответствует нужной величине (натяжение может измениться при передвижении порожков);
  •  Тень от струны совпадает с прорезью щели фотоприемника. Для этого нужно либо посмотреть на фотоприемник снизу, либо использовать зеркало.

Данные проверки необходимо повторять перед каждым последующим измерением.

  1.  Возбудите колебания струны лёгким ударом резинового молоточка. Счетчик начинает измерение частоты не сразу, а после затухания высоких гармоник. Этот процесс можно контролировать с помощью осциллографа: на его экране в момент измерения должны наблюдаться колебания, близкие к синусоидальным (см. Рис. 5).
  2.  Повторите измерения, постепенно увеличивая силу натяжения до F=40 Н, с шагом 5 Н.

Не пытайтесь установить силу натяжения константановой струны с диаметром 0,4 мм больше 40 Н! Это может привести к её разрыву.

Результаты измерений занесите в таблицу:

Таблица 1.

F, Н

ν, Гц

ν2, Гц2

, Гц2

  1.  Заполните остальные клетки Таблицы 1. Погрешность измерения частоты принять равной , а погрешность измерения силы натяжения – . Постройте график зависимости квадрата частоты от силы натяжения . Согласно (11) эта зависимость линейна:

  (12)

Определите по графику угловой коэффициент прямой. Используя эту величину, рассчитайте линейную плотность проволоки ρл и её погрешность.

  1.  Линейная и объёмная плотности связаны соотношением:

,  (13)

где S и d – соответственно площадь и диаметр поперечного сечения проволоки. Используя эту формулу, определите объёмную плотность константана ρ и погрешность этой величины. Погрешность измерения длины струны принять равной , а погрешность измерения диаметра струны – .

Упражнение 2. Измерение зависимости частоты колебаний струны от её длины.

  1.  Для экспериментальной проверки соотношения (11) между частотой колебаний струны и её длиной, как и в первом упражнении, используется константановая проволока с диаметром поперечного сечения d=0,4 мм (проволока №1).
  2.  Установите длину струны l=30 см и силу натяжения струны F=30 Н.
  3.  Измерьте частоту колебаний струны.
  4.  Постепенно увеличивая длину струны до l=60 см с шагом 5 см, измерьте зависимость частоты колебаний струны от её длины. Результаты занесите в таблицу:

Таблица 2.

l, см

ν, Гц

, мс

, мс

  1.  Заполнив остальные клетки Таблицы 2, постройте график зависимости периода колебаний струны от её длины . Согласно (17) эта зависимость должна быть линейной:

  (14)

Определите по графику угловой коэффициент прямой. Используя эту величину, рассчитайте линейную плотность проволоки, объёмную плотность константана и погрешности этих величин.

Упражнение 3. Измерение зависимости частоты колебаний струны от линейной плотности материала.

  1.  Данные о проволоках, используемых для экспериментальной проверки соотношения (11) между частотой колебаний струны и линейной плотностью материала, приведены в Таблице 3.

Таблица 3.

Материал

Диаметр поперечного сечения d, мм

Объёмная плотность ρ, г/см3

Линейная плотность ρл, г/м

2

Тантал

0,3

7,1

0,471±0,002

3

Константан

0,3

8,8

0,620±0,002

4

Никель

0,3

8,9

0,647±0,002

5

Медь

0,4

8,9

1,110±0,002

6

Медь

0,5

8,9

1,794±0,003

Эти проволоки не выдерживают больших натяжений. Поэтому не пытайтесь установить силу натяжения более 20 Н!

  1.  Установив попеременно для каждой струны длину l=50 см и силу натяжения струны F=20 Н, измерьте частоты их колебаний. Результаты занесите в таблицу.
  2.  Нанесите экспериментальные точки на теоретический график зависимости частоты колебаний струны от линейной плотности, построенный в ходе выполнения расчетного задания. Сделайте вывод.

Подготовка к работе.

1. Физические понятия, величины, законы, знание которых необходимо для успешного выполнения работы:

  •  гармонические колебания, амплитуда, фаза, частота;
  •  волны в упругой среде;
  •  скорость волны, частота, длина волны;
  •  уравнение плоской волны;
  •  волновое уравнение;
  •  стоячие волны, узлы и пучности;
  •  колебания струны, гармоники;

2. Выведите формулу (11)

3. Расчетное задание. Пользуясь формулой (11), для струны длиной l=50 см, натянутой с силой F=20 Н, постройте на миллиметровой бумаге график зависимости частоты колебаний от линейной плотности  в диапазоне ρл от 0 до 2 г/м с шагом 0,2 г/м.

4. Сформулируйте основную цель работы и порядок ее выполнения.

Приложение 1. Вывод формулы для скорости волны в струне.

На Рис. 1-1 схематически показана натянутая струна. Выделим малый её фрагмент  и запишем для него второй закон Ньютона:

 

где  и  – силы, действующие на левый и правый концы струны соответственно.

Рис. 1-1 – К выводу волнового уравнения колебаний струны.

В проекциях на вертикальную ось ξ:

 

При малых смещениях , а тангенс угла наклона кривой в свою очередь равен производной функции: . Таким образом, .

Массу, приходящуюся на единицу длины струны, принято называть линейной плотностью . Тогда массу фрагмента можно выразить через его длину: . При малых колебаниях длину фрагмента струны можно принять равной его проекции на ось X: . В результате получим:

 

Пренебрегая изменением силы F вдоль шнура, получим:

 

 

Это не что иное, как волновое уравнение, описывающее распространение волны со скоростью

 

Литература

1. Иродов И.Е. Волновые процессы. Основные законы.– М.: БИНОМ. Лаборатория базовых знаний, 2004, §§1.1 – 1.6.

2. Савельев И.В. Курс общей физики. Волны. Оптика – М.: АстрельАСТ, 2003; §§1.1, 1.4, 1.5, 1.7, 1.8.

PAGE  5


EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

dx

α2

EMBED Equation.3    EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3    EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3   

 

α1

2

1

X

ξ

1

3

2

4

5

6

7

8

9

10

ξ

λ=VT

x

6

4

4

3

2

1

7

260.5 Hz

10

Счетчик

8

Усилитель

9

Осциллограф

б) Бегущая волна

а) Стоячая волна

5

ξ

X

X

ξ

X

Пучности

Узлы


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83337. Фонетико-фонематическое недоразвитие речи 17.03 KB
  Фонематический слух являясь частью физиологического слуха направлен на соотнесение и сопоставление слышимых звуков с их эталонами которые хранятся в памяти человека упорядочение в решетке фонем. Каждый человек имеет индивидуальные особенности произношения звуков: один говорит тихо другой громко...
83338. Макросередовище маркетингу 25.99 KB
  Виділяють принаймні шість факторів які в певний спосіб позитивно або негативно можуть впливати на управління системою маркетингу: демографічні економічні природні науково-технічні політичні фактори та фактори культурного оточення.
83339. Порядок захисту права на комерційну таємницю 63.5 KB
  Комерційною таємницею можуть бути відомості технічного організаційного комерційного виробничого та іншого характеру за винятком тих які відповідно до закону не можуть бути внесені до комерційної таємниці. Важливим для забезпечення комерційної таємниці є забезпечення дії нормативно-правових актів...
83340. Secretary’s work 19.74 KB
  Professional receptionist (квалифицированный секретарь) is an irreplaceable assistant (помощник руководителя) to the head and face of the company. Secretary’s job is a good school of life and a great launching pad (стартовая площадка) to start a career.
83341. Підсумковий урок з теми «Числівник» 59.5 KB
  Мета: Систематизувати та узагальнити знання про числівник як частину мови, вправляти учнів в доцільному та правильному вживанні числівників у мовленні; розвивати вміння аналізувати, порівнювати, зіставляти, узагальнювати, роботи висновки; розвивати мовлення, логічне мислення...
83342. Закріплення вивченого про числівник, його роль у мовленні. Вживання числівників у загадках 39.5 KB
  Закріпити знання учнів з теми Числівник; з’ясувати роль числівників у мовленні; вживання числівників у загадках. Як називається це речення прислів’я Поясніть як ви його розумієте Чи є числівники в нашому девізі Назвіть їх.
83343. Вживання прикметників для всебічної характеристики предметів 57.5 KB
  Закріплювати знання учнів про відмінювання прикметників, удосконалювати вміння визначати рід, число, відмінок прикметників у реченнях, добирати синоніми та антоніми до них. Розвивати вміння вживати прикметники в мовленні ля повнішого розкриття думки, характеристики предметів...
83344. Відмінювання іменників. Орудний відмінок іменників жіночого роду 552.5 KB
  Формувати вміння вживати в усному і писемному мовленні іменників жіночого роду з нульовим закінченням в Орудному відмінку; розвивати зв’язне мовлення, увагу, пізнавальну самостійність; виховувати ретельне ставлення до вивчення української мови, любов до рідного краю, бережливе ставлення до свого здоров’я.
83345. Підсумковий урок по темі «Речення» 38.5 KB
  Що таке речення Які бувають речення за метою висловлювання Які бувають речення за емоційним забарвленням Що таке граматична основа речення На що вказує підмет На які питання відповідає Що виражає присудок На які питання відповідає Які ще члени речення ви знаєте На які питання...