42315

ИССЛЕДОВАНИЕ РЕЗОНАНСНЫХ ЯВЛЕНИЙ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

Лабораторная работа

Физика

Падение напряжения на конденсаторе . Для тока в катушке имеем: сдвиг фаз между током в контуре и напряжением на конденсаторе составляет π 2 ток опережает по фазе напряжения на конденсаторе на π 2 рис. Для напряжения закон изменения имеет вид: При колебаниях происходит периодический переход электрической энергии конденсатора в магнитную энергию катушки . Для определения напряжения на конденсаторе разделим 1 на С имеем Чтобы найти закон изменения силы тока продифференцируем 1 по времени: Обозначим...

Русский

2013-10-29

735.5 KB

20 чел.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ВМ 7

ИССЛЕДОВАНИЕ РЕЗОНАНСНЫХ ЯВЛЕНИЙ

В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

ТРЕБОВАНИЯ ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ

  1.  Убедитесь в присоединении заземляющих проводов к корпусам осциллографа, генератора.
  2.  Включать приборы только с разрешения преподавателя.
  3.  Не производить никаких переключений на лицевой панели осциллографа и генератора, кроме тех, что указаны в настоящем руководстве.
  4.  При обнаружении признаков неисправности (искрение, запах дыма) отключить приборы от сети и известить преподавателя.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: наблюдение резонанса в цепи переменного тока, установление критериев его возникновения в параллельном и последовательном контурах.

ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ: блок исследуемых колебательных контуров с переключателем; звуковой генератор и осциллограф.

  1.  КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ  СВЕДЕНИЯ

1.1. Свободные колебания в контуре

Рис.1

Идеальный колебательный контур, состоящий из индуктивности L и ёмкости С, представляет собой линейный гармонический осциллятор, обладающий одной степенью свободы (рис. 1). Состояние такого контура в любой момент времени может быть однозначно описано единственным параметром – зарядом q на конденсаторе. Если сопротивление контура равно нулю, R =0, то при замыкании индуктивности на предварительно заряженный конденсатор с зарядом  в контуре возникают гармонические колебания.

Падение напряжения на конденсаторе .  При замыкании цепи в индуктивности возникает ЭДС индукции   где ток , поэтому .

Согласно второму правилу Кирхгофа  то есть , или    

Рис. 2

Это уравнение является уравнением свободных гармонических колебаний, при условии  Его решение , где  – заряд конденсатора в момент времени t=0.

Для тока в катушке имеем:

-сдвиг фаз между током в контуре и напряжением на конденсаторе составляет π/2, ток опережает по фазе напряжения на конденсаторе на π/2 (рис.1.5.2).

        Для напряжения закон изменения имеет вид:

При колебаниях происходит периодический переход электрической энергии конденсатора  в магнитную энергию катушки . При этом полная электромагнитная энергия сохраняется.

1.2.  Свободные затухающие колебания в контуре

Рис. 3

 Всякий реальный контур обладает активным сопротивлением. Электромагнитная энергия в контуре постепенно расходуется в этом сопротивлении на нагревание проводника, вследствие чего колебания затухают. По второму правилу Кирхгофа для цепи на рисунке 3 имеем:

Разделим это уравнение на L и подставим  ,   

Учитывая, что , и обозначив , получаем  

- дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

         При , т.е. при , решение этого уравнения имеет вид

,                                             (1)

где . Подставив  и , получаем     Таким образом, частота затухающих колебаний  меньше собственной частоты .

        Для определения напряжения на конденсаторе разделим (1) на С, имеем

Чтобы найти закон изменения силы тока, продифференцируем (1) по времени:

Обозначим  тогда  

Рис. 4

        Так как  то  - при наличии в контуре активного сопротивления сила тока опережает по фазе напряжение на конденсаторе более чем на

         График функции   представлен на рис.4.

         Логарифмический декремент затухания  Он определяется параметрами контура R, L, C и является характеристикой этого контура.

Если затухание невелико , то  и                     

Добротность контура в случае слабого затухания

При слабом затухании добротность контура пропорциональна отношению энергии, запасённой в контуре в данный момент, к убыли  этой энергии за один период. Действительно, амплитуда силы тока в контуре убывает по закону . Энергия W, запасённая в контуре, пропорциональна квадрату амплитуды силы тока, следовательно W убывает по закону . Относительное уменьшение за период равно:

При незначительном затухании λ<<1 можно считать  ≈1-2λ. Тогда добротность .

        При   частота становится комплексным числом, и происходит апериодический процесс разрядки конденсатора. Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим,

1.3.  Вынужденные электрические колебания.

Резонанс в последовательном контуре

 Чтобы вызвать вынужденные колебания, нужно оказывать на систему внешнее периодически изменяющееся воздействие. В случае электрических колебаний это можно осуществить, если включить последовательно с элементами контура переменную ЭДС  или подать на контур переменное напряжение    (рис.5).

Рис. 5

 Цепь, в которой последовательно с  ЭДС включены сопротивление R, индуктивность L и конденсатор С, называется последовательным колебательным контуром. Рассмотрим процессы в этом контуре.

По второму правилу Кирхгофа

или  . Разделив на L,  получаем уравнение вынужденных колебаний

                                     (2)

Частное решение этого уравнения

                                              (3)

где   Подставим  и :

Общее решение получится, если к частному решению (3) прибавить общее решение однородного дифференциального уравнения, которое было получено в предыдущем параграфе. Оно содержит множитель , который очень быстро убывает, и при прошествии достаточно большого времени   им можно пренебречь. Таким образом, установившиеся  вынужденные электромагнитные колебания в контуре описываются уравнением (3).

         Силу тока в контуре при установившихся колебаниях найдем, продифференцировав (3) по времени:

где  - сдвиг фаз между током и приложенным напряжением. Тогда

Из этого выражения следует, что ток отстает по фазе от напряжения  ()при . И опережает напряжение () при . Для силы тока можно записать

.                                           (4)

Представим соотношение (2) в виде:. Произведение  - падение напряжения на активном сопротивлении;  - падение напряжения на конденсаторе;    – напряжение на индуктивности; тогда можно записать

.                                             (5)

Таким образом, сумма напряжений на отдельных участках контура равна в каждый момент времени напряжению, приложенному извне.

        Согласно (4)    - напряжение на активном сопротивлении совпадает по фазе с током в контуре.

        Для напряжения на конденсаторе, подставив (3), имеем  – напряжение на ёмкости отстаёт от силы тока на π/2.

        Напряжение на индуктивности

,

где , – напряжение на индуктивности опережает ток на π/2.

 Фазовые соотношения можно представить наглядно с помощью векторной диаграммы. Действительно, гармонические колебания можно задать с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебаний , а направление вектора образует с некоторой осью угол, равный начальной фазе колебаний. Возьмём в качестве прямой, от которой отсчитывается начальная фаза, ось токов (рис. 6).

Рис. 6

           совпадает по фазе с током,  – отстаёт на π/2),  – опережает на π/2. Векторы , ,  в сумме дают , причём U определяется выражением (5).

При определенной частоте внешнего воздействия в контуре наступает резонанс. Резонансная частота для напряжения на конденсаторе  и для заряда q равна:

 Резонансные кривые для  имеют вид, представленный на рис.7. Все резонансные частоты . При ω→0  резонансные кривые сходятся в одной точке  – это напряжение на конденсаторе при подключении его к источнику постоянного напряжения . Максимум при резонансе тем острее и выше, чем меньше затухание β=R/2L, то есть чем меньше R и больше L.  Ход  резонансной кривой аналогичен резонансной кривой при механических колебаниях.

Рис. 7

Резонансные кривые для тока приведены на рис. 8.

Амплитуда силы тока имеет максимальные значения, когда  , то есть резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой колебаний контура:

Рис. 8

При ω→0 сила тока уменьшается до нуля, так как при постоянном напряжении установившийся ток в цепи с конденсатором течь не может.

При малом затухании () резонансную частоту для напряжения можно считать равной . Тогда отношение амплитуды напряжения на конденсаторе при резонансе к амплитуде внешнего напряжения равно:

– то есть добротность контура показывает, во сколько раз напряжение на конденсаторе может превышать приложенное напряжение.

Итак, при резонансе причём   поэтому  

–  амплитуды напряжений на ёмкости и индуктивности равны между собой, но противоположны по фазе. Поэтому напряжения на ёмкости и индуктивности компенсируют друг друга, и цепь ведёт себя как цепь только с активным сопротивлением. Вся энергия, приложенная к контуру идёт, на Ленц-Джоулево тепло. Ток в цепи достигает максимального значения. Это резонанс напряжений – индуктивного  и емкостного .

1.4.Резонанс в параллельном контуре

Рассмотрим колебательный контур, в котором индуктивность L и ёмкость С соединены параллельно (рис. 9).

Рис. 9

Будем считать активное сопротивление близким к нулю, R ≈ 0. Для амплитуд напряжений на индуктивности и ёмкости имеем:

По второму правилу Кирхгофа  токи  и  в каждый момент времени находятся в противофазе, поэтому

Ток в неразветвлённой цепи равен ,  или

.

При 1/ωL=ωC ток I=0. Условие резонанса токов  – частота колебаний равна собственной:

1.5.Переменный ток

Установившиеся вынужденные колебания можно рассматривать как протекание в цепи, обладающей ёмкостью, индуктивностью и активным сопротивлением, переменного тока, который обусловлен переменным напряжением:

.

Ток изменяется по закону амплитуда тока

 

Ток отстаёт от напряжения по фазе на угол :    . Если <0, ток опережает напряжение.

Полное электрическое сопротивление(импеданс) равно

 ,

где R- активное сопротивление,  -реактивное индуктивное сопротивление,   - реактивное емкостное сопротивление.

Ток на индуктивности отстаёт от напряжения на π/2, а ток на емкости опережает напряжение на π/2.  Выражение   представляет собой реактивное сопротивление или реактанс.

С учётом сказанного  Таким образом, если значения сопротивлений R и X отложить вдоль катетов треугольника, то длина гипотенузы будет численно равна Z (рис.10).

Рис. 10

Мощность, выделяемая в цепи переменного тока , равна    

Из тригонометрии  . Тогда     Среднее значение  обозначим р. Среднее значение , тогда

.

Однако  тогда   (рис.11).

Рис. 11

Такую же мощность развивает постоянный ток силой  Это значение силы тока называется эффективным или действующим.

Аналогично  действующее значение напряжения.

Тогда средняя мощность ; величина  называется коэффициентом мощности. Чем меньше , тем ближе  к 1, тем больше мощность.

ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ 

Схема установки представлена на рис.12, а ее внешний вид – на рис.13.

Экспериментальная установка состоит из звукового генератора - 1 (ЗГ), служащего внешним источником ЭДС, катушки индуктивности , двух конденсаторов С1, С2, активного сопротивления  и  трехпозиционного переключателя - 4 (П) с монтированных в одном корпусе - 3 и электронного осциллографа – 2 (ЭО) (см. рис.13).

При правом крайнем положении переключателя П (рис.12)замкнут контакт К1 и

Рис. 12. Схема экспериментальной установки

разомкнуты контакты К2 и К3, а конденсатор С1, индуктивность , и активное сопротивление  образуют последовательный контур.

В левом крайнем положении переключателя контакт К1 разомкнут, а контакты К2 и К3 замкнуты. Тогда конденсатор С2, катушка  и сопротивление  образуют параллельный контур.

Элементы С1, С2, , ,  и переключатель смонтированы в одном блоке (корпусе), на вход которого подается сигнал со звукового генератора.

Напряжение выхода , снимаемое с зажимов контуров регистрируется электронным осциллографом. Когда контакты К1, К2 и К3 разомкнуть на ЭО поступает сигнал непосредственно со ЗГ. Роль активного сопротивления играют соединительные провода.

Рис. 13.

  1.  ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
  2.  Включить звуковой генератор и электронный осциллограф в сеть.
  3.  Поставить переключатель П в положение, соответствующее последовательному соединению , , и С1. Вращая ручку 5 регулятора частоты звукового генератора (см. рис.13), фиксировать изменение амплитуды напряжения, снимаемого с зажимов контура. Резонансу соответствует минимальная амплитуда напряжения на осциллографе.
  4.  Построить график зависимости амплитуды напряжения от частоты звукового генератора . Отметить резонансную частоту .
  5.  Перевести переключатель П в положение, при котором , , и С2 образуют параллельный контур. Вращая ручку регулятора частоты звукового генератора, фиксировать изменение амплитуды напряжения. Резонансу соответствует максимум напряжения на экране осциллографа.

    Построить график зависимости амплитуды напряжения от частоты генератора . Отметить резонансную частоту .

В обоих случаях менять частоту от 4103 до 20103 Гц.

  1.  По формуле  рассчитать значение емкостей С1 и С2, если известно, что индуктивность катушки  Гн.

При расчетах помнить, что частота  и линейная частота , считываемая со шкалы звукового генератора, связаны соотношением .

Данные эксперимента записать в таблицу 1.

Таблица 1

Данные эксперимента

№ п/п

Последовательный контур

Параллельный контур

(Гц)

(рад/с)

(В)

С1 (Ф)

(Гц)

(рад/с)

(В)

С2 (Ф)

1.

2.

3.

ПРИМЕЧАНИЕ: Для измерения переменного напряжения, подаваемого с контура на осциллограф, необходимо:

  1.  Поставить переключатель «/ дел» в положение 1 В/дел.
  2.  Измерить на сетке число делений между крайними точками размаха амплитуды вертикального  отклонения, разделить его на 2.
  3.  Умножить расстояние, измеренное выше, на показание переключателя «/ дел».

НАПРИМЕР: размах вертикального отклонения амплитуды составляет 5,2 делений; переключатель «/ дел» установлен в положение 1 В/дел. Тогда напряжение вертикального отклонения будет составлять: 5,2 дел. 1 В/дел. = 5,2 В.

5. ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ ОТЧЕТА

Отчет по лабораторной работе должен содержать формулировку цели работы, перечень приборов и оборудования и их характеристики, схему экспериментальной установки, расчетную формулу. Основные результаты работы заносятся в таблицу, в которой должно быть представлено не менее 6-10 результатов (по 3-5 на каждый вариант включения контура).  В отчете привести формулу расчета погрешности и определение ее величины.  Отчет закончить выводами.

6. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Расскажите о свободных гармонических колебаниях в контуре.

2. Получите уравнение затухающих колебаний в контуре. Найдите законы изменения тока и напряжения.

3. Определите фазовые соотношения между током и напряжением в случае затухающих колебаний.

4. Чем определяется добротность контура?

5. Расскажите о вынужденных колебаниях в  последовательном контуре. Как определить напряжение на индуктивности, емкости и активном сопротивлении?

6. Основываясь на векторной диаграмме, расскажите о резонансе в последовательном контуре.

7. Постройте резонансные кривые для тока и напряжения в последовательном контуре. Объясните их.

8. Нарисуйте векторную диаграмму для параллельного контура.  Объясните резонанс в параллельном контуре.

9. Что такое импеданс? Получите выражение для него в случае последовательного и параллельного контура.

10. Получите выражение для мощности переменного тока.

11. Что такое действующее (эффективное) значение тока, напряжения?

12. С каких элементов контура снимается напряжение в исследуемой установке в случае последовательного контура? Почему при резонансе оно минимально?

13. С каких элементов контура снимается напряжение в исследуемой установке в случае параллельного контура? Почему при резонансе оно максимально?

7. ЛИТЕРАТУРА

1 Савельев И.В. Курс общей физики .В 3-х т. [Текст] : Учебное пособие / И. В. Савельев. – Изд.5-е,стереотип. – СПб.: Изд-во “Лань”, 2006. – Т. 2. – 486 с; §88 – 92, с. 258 – 273. – (Электричество и магнетизм. Волны. Оптика).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

61216. Інформатика – наука ХХ століття. Поняття інформації і повідомлення. Інформація та інформаційні процеси. Носії інформації. Кодування. Інформаційні процеси 154 KB
  Мета: засвоєння та узагальнення окремих фактів до формування в учнів понять категорій систем на ocнoві життєвого досвіду загальні основи термінології предмету Інформатика спеціалізаціі технологія властивості...