42365

Двумерные графики. Дифференцирование. Интегрирование функции одной переменной. Интегрирование функции многих переменных. Действия с матрицами

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Построить на отдельных рисунках графики функций Бесселя первого рода Jn(x) для различных ее номеров n в интервале. Функции Бесселя вызываются командой BesselJ(n,x), где n – номер функции Бесселя, x – независимая переменная. Построить первые 6 функций Бесселя для. Как они выглядят и чем отличаются друг от друга Сделать подписи осей курсивом

Русский

2014-09-23

218 KB

13 чел.

ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
«МЭИ» в г. Смоленске

Кафедра высшей математики

Отчет

по лабораторной работе №2

Тема: «Двумерные графики. Дифференцирование.Интегрирование функции одной переменной .Интегрирование функции многих переменных .Действия с матрицами.

по курсу: «Дискретная математика»

                                                                       Студентка:                             Скобелева М.С.

           Группа:                                                ПИЭ-11

                                                                              Преподаватель:                        Мазалов М.Я

Смоленск, 2012

Выполнила: Скобелева М.С.

Группа: ПИЭ-11

Контрольные задания.

  1.  Построить на отдельных рисунках графики функций Бесселя первого рода Jn(x) для различных ее номеров n в интервале –20<x<20. Функции Бесселя вызываются командой BesselJ(n,x), где n – номер функции Бесселя, x – независимая переменная. Построить первые 6 функций Бесселя для n=0,1,2,3,4,5,6. Как они выглядят и чем отличаются друг от друга? Сделать подписи осей курсивом.
  2.  > restart
  3.  > plot([J(0,x)],x=-20...20,y=-1...1,color=[red]);plot([BesselJ(0,x)],x=-20...20,y=-1...1,color=[red]);

  1.  
  2.  >
  3.  > plot([J(1,x)],x=-20...20,y=-1...1,color=[red]);plot([BesselJ(1,x)],x=-20...20,y=-1...1,color=[red]),labelfont=[TIMES,ITALIC,12;
  4.  
  5.  >
  6.  > plot([J(2,x)],x=-20...20,y=-1...1,color=[red]);plot([BesselJ(2,x)],x=-20...20,y=-1...1,color=[red]);
  7.  
  8.  >
  9.  > plot([J(3,x)],x=-20...20,y=-1...1,color=[red]);plot([BesselJ(3,x)],x=-20...20,y=-1...1,color=[red]);
  10.  
  11.  >
  12.  > plot([J(4,x)],x=-20...20,y=-1...1,color=[red]);plot([BesselJ(4,x)],x=-20...20,y=-1...1,color=[red]);

  1.  
  2.  >
  3.  > plot([J(5,x)],x=-20...20,y=-1...1,color=[red]);plot([BesselJ(5,x)],x=-20...20,y=-1...1,color=[red]);
  4.  
  5.  
  6.  >
  7.  > plot(([J(6,x)],x=-20...20,y=-1...1,color=[red]));plot([BesselJ(6,x)],x=-20...20,y=-1...1,color=[red]);
  8.  

2.Построить график функции  в полярных координатах при 0<<4. Используйте цвет линии под названием magenta, установите толщину линии 3.

> restart

> plot(cos(x/3)*cos(x/3)*cos(x/3),x=0..4*Pi,color=magenta,thickness=3);

3. Построить график функции

> restart;

f(x):=piecewise(x<=0,0,  x<Pi ,sin(x),pi<x,0);

> plot(f(x), x=-1..20,y=-1..1);

4. Найти

> Diff(ln(x),x$5)=diff(ln(x),x$5);

5. Найти все частные производные 2 – ого порядка функции

.

> restert; f:=arctan*(x+y)/(1-x*y):

> Diff(f,x$2)=simplify(diff(f,x$2));

> Diff(f,x,y)=diff(f,x,y);

6. Вычислить неопределенный интеграл .

> Int((x^3-6)/(x^4+6*x^2+8),x)=int((x^3-6)/(x^4+6*x^2+8),x);

7. Вычислить несобственный интеграл  при a>0 b>0 для случаев: 1) a>b, 2) a=b,  3)a<b.

> restart; assume(a>0,b<0);

> Int(((sin(a*x)*cos(b*x))/x),x=0..+infinity)=int(((sin(a*x)*cos(b*x))/x),x=0..+infinity);

> restart; assume(a=b);

> Int(((sin(a*x)*cos(b*x))/x),x=0..+infinity)=int(((sin(a*x)*cos(b*x))/x),x=0..+infinity);

> restart; assume(a<b);

> Int(((sin(a*x)*cos(b*x))/x),x=0..+infinity)=int(((sin(a*x)*cos(b*x))/x),x=0..+infinity);

8. Вычислить тройной интеграл:

.

> restar;

> with(student): J:=Tripleint(ln(z-x-y)/((x-exp)*(x+y-exp)), z=exp..x+y+e, y=0..exp-x-1,x=0..exp-1);

> J:=value(%);

9. Даны матрицы  и . Найти: AB, BA, detA, detB.

> restart;

> with(linalg): A:=matrix([[5,7,-3,-4],[7,6,-4,-5],[6,4,-3,-2],[8,5,-6,-1]]):B:=matrix([[1,2,3,4],[2,3,4,5],[1,3,5,7],[2,4,6,8]]):

> Det(A)=det(A);Det(B)=det(B);

> multiply(A,B);

> multiply(B,A);

10. Дана матрица: . Найти: detA, А-1, M32, A'.

> restart;with(linalg): A:=matrix([[1,2,3,4],[2,3,1,2],[1,1,1,-1],[1,0,-2,-6]]);

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

> Det(A)=det(A);

> transpose(A);

> inverse(A);

> det(minor(A,3,2));

Контрольные вопросы

  1.  Команда plot и ее параметры.

Для построения графиков функции f(x) одной переменной (в интервале  по оси Ох и в интервале  по оси Оу) используется команда plot(f(x), x=a..b, y=c..d, parameters), где parameters – параметры управления изображением. Если их не указывать, то будут использованы установки по умолчанию. Настройка изображения также может осуществляться с панели инструментов.

Основные параметры команды plot:

1) title=”text”, где text-заголовок рисунка (текст можно оставлять без кавычек, если он содержит только латинские буквы без пробелов).

2) coords=polar – установка полярных координат (по умолчанию установлены декартовы).

3) axes – установка типа координатных осей: axes=NORMAL – обычные оси; axes=BOXED – график в рамке со шкалой; axes=FRAME – оси с центром в левом нижнем углу рисунка; axes=NONE – без осей.

4) scaling – установка масштаба рисунка: scaling=CONSTRAINED – одинаковый масштаб по осям; scaling=UNCONSTRAINED – график масштабируется по размерам окна.

5) style=LINE(POINT) – вывод линиями (или точками).

6) numpoints=n – число вычисляемых точек графика (по умолчанию n=49).

7) сolor – установка цвета линии: английское название цвета, например, yellow – желтый и т.д.

8) xtickmarks=nx и ytickmarks=ny – число меток по оси Оx и оси Оy, соответственно.

9) thickness=n, где n=1,2,3… - толщина линии (по умолчанию n=1).

10) linestyle=n – тип линии: непрерывная, пунктирная и т.д. (n=1 – непрерывная, установлено по умолчанию).

11) symbol=s тип символа, которым помечают точки: BOX, CROSS, CIRCLE, POINT, DIAMOND.

12) font=[f,style,size] установка типа шрифта для вывода текста: f задает название шрифтов: TIMES, COURIER, HELVETICA, SYMBOL; style задает стиль шрифта: BOLD, ITALIC, UNDERLINE; size размер шрифта в pt.

13) labels=[tx,ty] – надписи по осям координат: tx – по оси Оx и ty – по оси Оy.

14) discont=true – указание для построения бесконечных разрывов.

С помощью команды plot можно строить помимо графиков функций y=f(x), заданной явно, также графики функций, заданных параметрически y=y(t), x=x(t), если записать команду plot([y=y(t), x=x(t), t=a..b], parameters).

  1.  Аналитическое и численное интегрирование.

Неопределенный интеграл  вычисляется с помощью 2-х команд:

  1.  прямого исполнения – int(f, x), где f – подынтегральная функция, x – переменная интегрирования;
  2.  отложенного исполнения – Int(f, x) – где параметры команды такие же, как и в команде прямого исполнения int. Команда Int выдает на экран интеграл в аналитическом виде математической формулы.

Для вычисления определенного интеграла  в командах int и  Int добавляются пределы интегрирования, например,

> Int((1+cos(x))^2, x=0..Pi)=

int((1+cos(x))^2, x=0..Pi);

Если в команде интегрирования добавить опцию continuous: int(f, x, continuous), то Maple будет игнорировать любые возможные разрывы подынтегральной функции в диапазоне интегрирования. Это позволяет вычислять несобственные интегралы от неограниченных функций. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования вычисляются, если в параметрах команды int указывать, например, x=0..+infinity.

Численное интегрирование выполняется командой evalf(int(f, x=x1..x2), e), где e – точность вычислений (число знаков после запятой).

Интегралы, зависящие от параметра. Ограничения для параметров.

Если требуется вычислить интеграл, зависящий от параметра, то его значение может зависеть от знака этого параметра или каких-либо других ограничений. Рассмотрим в качестве примера интеграл , который, как известно из математического анализа, сходится при а>0 и расходится при а<0. Если вычислить его сразу, то получится:

> Int(exp(-a*x),x=0..+infinity)=

int(exp(-a*x),x=0..+infinity);

Definite integration: Can't determine if the integral is convergent.

Need to know the sign of --> a

Will now try indefinite integration and then take limits.

.

Таким способом интеграл с параметром не вычислить. Для получения явного аналитического результата вычислений следует сделать какие-либо предположения о значении параметров, то есть наложить на них ограничения. Это можно сделать при помощи команды assume(expr1), где expr1 – неравенство. Дополнительные ограничения вводятся с помощью команды additionally(expr2), где expr2 – другое неравенство, ограничивающее значение параметра с другой стороны.

После наложения ограничений на параметр Maple добавляет к его имени символ (~), например параметр a, на который были наложены некоторые ограничения, в сроке вывода будет иметь вид: a~.

Описание наложенных ограничений параметра a можно вызвать командой about(a). Пример: наложить ограничения на параметр a такие, что a>-1, a3:

> assume(a>-1); additionally(a<=3);

> about(a);

Originally a, renamed a~:

 is assumed to be: RealRange(Open(-1),3)

Вернемся к вычислению интеграла с параметром , которое следует производить в таком порядке:

> assume(a>0);

> Int(exp(-a*x),x=0..+infinity)=

int(exp(-a*x),x=0..+infinity);

4. В Maple имеются две специальные команды для вычисления двойных и тройных интегралов, содержащиеся в библиотеке student.

Для вычисления двойных интегралов  используется команда Doubleint(f(x, y), D), где D – область интегрирования, записываемая в одном из следующих форматов:

  •  x=х1..х2, y=y1..y2, где числа х1, х2, y1, y2 задают прямоугольную область интегрирования;
  •  x=f1(y)..f2(y), y=y1..y2, где f1(y), f2(y)  линии, ограничивающие область интегрирования слева и справа на интервале от y1 до y2; 
  •  x=х1..х2, y=g1(x)..g2(x) , где g1(y), g2(y)  линии, ограничивающие область интегрирования снизу и сверху на интервале от х1 до х2.

Для вычисления тройных интегралов  используется команда Tripleint(f(x, y, z),x, y, z, V), где V – область интегрирования.

Обе эти команды являются командами отложенного действия. Чтобы получить значение интеграла, следует использовать команду value(%).

Повторные интегралы можно вычислять с помощью повторения команды int, например, повторный интеграл  вычисляется командой

> int(int(x^2*y^3, x=0..1), y=0..2);

5. Основная часть команд для решения задач линейной алгебры содержится в библиотеке linalg. Поэтому перед решением задач с матрицами и векторами следует загрузить эту библиотеку командой with(linalg).

Определение матрицы.

Для определения матрицы в Maple можно использовать команду matrix(n, m, [[a11,a12,…,a1n], [a21,a22,…,a2m],…, [an1,an2,…,anm]]), где n  число строк, m – число столбцов в матрице. Эти числа задавать необязательно, а достаточно перечислить элементы матрицы построчно в квадратных скобках через запятую. Например:

> A:=matrix([[1,2,3],[-3,-2,-1]]);

Арифметические операции с матрицами.

Сложение двух матриц одинаковой размерности осуществляется теми же командами, что и сложение векторов: evalm(A+B) или matadd(A,B). Произведение двух матриц может быть найдено с помощью двух команд:

  1.  evalm(A&*B); 
  2.  multiply(A,B).

В качестве второго аргумента в командах, вычисляющих произведение, можно указывать вектор, например:

> A:=matrix([[1,0],[0,-1]]);

> B:=matrix([[-5,1], [7,4]]);

 

> v:=vector([2,4]);

> multiply(A,v);

> multiply(A,B);

> matadd(A,B);

Команда evalm позволяет также прибавлять к матрице число и умножать матрицу на число. Например:

> С:=matrix([[1,1],[2,3]]):

> evalm(2+3*С);

6. Определители, миноры и алгебраические дополнения. Ранг и след матрицы.

Определитель матрицы А вычисляется командой det(A). Команда minor(A,i,j) возвращает матрицу, полученную из исходной матрицы А вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца. Минор Mij элемента aij матрицы А можно вычислить командой det(minor(A,i,j)). Ранг матрицы А вычисляется командой rank(A). След матрицы А, равный сумме ее диагональных элементов, вычисляется командой trace(A).

> K:=matrix([[4,0,5],[0,1,-6],[3,0,4]]);

> det(K);

1

> minor(K,3,2);

> det(%);

-24

> trace(K);

9

7. Обратная и транспонированная матрицы.

Обратную матрицу А1 , такую что А1А=АА1=Е, где Е  единичная матрица, можно вычислить двумя способами:

  1.  evalm(1/A);
  2.  inverse(A).

Транспонирование матрицы А – это изменение местами строк и столбцов. Полученная в результате этого матрица называется транспонированной и обозначается А'. Транспонированную матрицу А' можно вычислить командой transpose(A). 

Например, используя заданную в предыдущем пункте матрицу K, найдем ей обратную и транспонированную:

> inverse(K);

> multiply(K,%);

> transpose(K);


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

5222. Устройство клавиатуры и мыши 60.5 KB
  Устройство клавиатуры и мыши. Давайте же разберем устройство клавиатуры и мыши. Начнем с общей характеристики, которая присуща обоим устройствам - тип подключения к ПК. По этому типу они делятся на проводные и беспроводные. Проводные устро...
5223. Інвестиційний аналіз. Конспект лекцій 706.5 KB
  Ефективне реформування економіки України неможливе без масштабних інвестицій, які є одним з найважливіших факторів економічного зростання й відновлення, що забезпечує можливість модернізації діючих виробництв, створення і впровадження новітньо...
5224. Інженерна графіка. Опорний конспект лекцій 1.79 MB
  Графіки, діаграми, структурні та класифікаційні схеми. Креслення розрізів та фасадів будівлі. Архітектурно–будівельне креслення. Комплексні креслення поверхонь. Методи проекціювання...
5225. Інженерне обладнання будівель. Опорний конспект лекцій 2.92 MB
  Тема 1. Склад інженерних систем у готельно-ресторанному комплексі. Системи опалення, їх характеристика та обладнання План Види інженерного обладнання та його призначення. Системи опалення. Нагрівальні прилади систем опалення....
5226. Економічна інформація як об’єкт автоматизованої обробки 49.5 KB
  Економічна інформація як об'єкт автоматизованої обробки Структура, форми подання та відображення економічної інформації. Інформаційні процедури Структуризація економічної інформації Структуру ЕІ утворюють конкретні інформаційні сукупності, які ...
5227. Організація поза машинної інформаційної бази 41 KB
  Організація поза машинної інформаційної бази Тема поняття позамашинної інформаційної бази,склад робіт з її організації Ефективність будь-якої інформаційної системи обробки даних багато в чому залежить від способу організації її інформаційної бази (І...
5228. Отечественная история. Курс лекций 1.75 MB
  Отечественная история Лекция. Введение в историческую науку Развитие истории как науки и возникновение основных исторических концепций. Греческое слово история означает рассказ о прошлом, о том, что действительно было. Вопрос исторического ...
5229. История развития генетики. Значение генетики для медицины 1.59 MB
  В учебном пособии рассматриваются вопросы истории развития генетики и значения генетики для медицины. Особое внимание уделено становлению и развитию отечественной генетики. Материалы пособия дополняют основную учебную литературу и содержат данные, н...
5230. Історія міжнародних відносин. Конспект лекцій 1.82 MB
  Вступ Вся історія розвитку світової цивілізації - це історія налагодження контактів, відносин, зіткнення інтересів різних цивілізацій, культур, народів, держав. Найбільш насиченим в цьому плані було XX століття. Для нього, як для жодного з попе...