42365

Двумерные графики. Дифференцирование. Интегрирование функции одной переменной. Интегрирование функции многих переменных. Действия с матрицами

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Построить на отдельных рисунках графики функций Бесселя первого рода Jn(x) для различных ее номеров n в интервале. Функции Бесселя вызываются командой BesselJ(n,x), где n – номер функции Бесселя, x – независимая переменная. Построить первые 6 функций Бесселя для. Как они выглядят и чем отличаются друг от друга Сделать подписи осей курсивом

Русский

2014-09-23

218 KB

9 чел.

ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
«МЭИ» в г. Смоленске

Кафедра высшей математики

Отчет

по лабораторной работе №2

Тема: «Двумерные графики. Дифференцирование.Интегрирование функции одной переменной .Интегрирование функции многих переменных .Действия с матрицами.

по курсу: «Дискретная математика»

                                                                       Студентка:                             Скобелева М.С.

           Группа:                                                ПИЭ-11

                                                                              Преподаватель:                        Мазалов М.Я

Смоленск, 2012

Выполнила: Скобелева М.С.

Группа: ПИЭ-11

Контрольные задания.

  1.  Построить на отдельных рисунках графики функций Бесселя первого рода Jn(x) для различных ее номеров n в интервале –20<x<20. Функции Бесселя вызываются командой BesselJ(n,x), где n – номер функции Бесселя, x – независимая переменная. Построить первые 6 функций Бесселя для n=0,1,2,3,4,5,6. Как они выглядят и чем отличаются друг от друга? Сделать подписи осей курсивом.
  2.  > restart
  3.  > plot([J(0,x)],x=-20...20,y=-1...1,color=[red]);plot([BesselJ(0,x)],x=-20...20,y=-1...1,color=[red]);

  1.  
  2.  >
  3.  > plot([J(1,x)],x=-20...20,y=-1...1,color=[red]);plot([BesselJ(1,x)],x=-20...20,y=-1...1,color=[red]),labelfont=[TIMES,ITALIC,12;
  4.  
  5.  >
  6.  > plot([J(2,x)],x=-20...20,y=-1...1,color=[red]);plot([BesselJ(2,x)],x=-20...20,y=-1...1,color=[red]);
  7.  
  8.  >
  9.  > plot([J(3,x)],x=-20...20,y=-1...1,color=[red]);plot([BesselJ(3,x)],x=-20...20,y=-1...1,color=[red]);
  10.  
  11.  >
  12.  > plot([J(4,x)],x=-20...20,y=-1...1,color=[red]);plot([BesselJ(4,x)],x=-20...20,y=-1...1,color=[red]);

  1.  
  2.  >
  3.  > plot([J(5,x)],x=-20...20,y=-1...1,color=[red]);plot([BesselJ(5,x)],x=-20...20,y=-1...1,color=[red]);
  4.  
  5.  
  6.  >
  7.  > plot(([J(6,x)],x=-20...20,y=-1...1,color=[red]));plot([BesselJ(6,x)],x=-20...20,y=-1...1,color=[red]);
  8.  

2.Построить график функции  в полярных координатах при 0<<4. Используйте цвет линии под названием magenta, установите толщину линии 3.

> restart

> plot(cos(x/3)*cos(x/3)*cos(x/3),x=0..4*Pi,color=magenta,thickness=3);

3. Построить график функции

> restart;

f(x):=piecewise(x<=0,0,  x<Pi ,sin(x),pi<x,0);

> plot(f(x), x=-1..20,y=-1..1);

4. Найти

> Diff(ln(x),x$5)=diff(ln(x),x$5);

5. Найти все частные производные 2 – ого порядка функции

.

> restert; f:=arctan*(x+y)/(1-x*y):

> Diff(f,x$2)=simplify(diff(f,x$2));

> Diff(f,x,y)=diff(f,x,y);

6. Вычислить неопределенный интеграл .

> Int((x^3-6)/(x^4+6*x^2+8),x)=int((x^3-6)/(x^4+6*x^2+8),x);

7. Вычислить несобственный интеграл  при a>0 b>0 для случаев: 1) a>b, 2) a=b,  3)a<b.

> restart; assume(a>0,b<0);

> Int(((sin(a*x)*cos(b*x))/x),x=0..+infinity)=int(((sin(a*x)*cos(b*x))/x),x=0..+infinity);

> restart; assume(a=b);

> Int(((sin(a*x)*cos(b*x))/x),x=0..+infinity)=int(((sin(a*x)*cos(b*x))/x),x=0..+infinity);

> restart; assume(a<b);

> Int(((sin(a*x)*cos(b*x))/x),x=0..+infinity)=int(((sin(a*x)*cos(b*x))/x),x=0..+infinity);

8. Вычислить тройной интеграл:

.

> restar;

> with(student): J:=Tripleint(ln(z-x-y)/((x-exp)*(x+y-exp)), z=exp..x+y+e, y=0..exp-x-1,x=0..exp-1);

> J:=value(%);

9. Даны матрицы  и . Найти: AB, BA, detA, detB.

> restart;

> with(linalg): A:=matrix([[5,7,-3,-4],[7,6,-4,-5],[6,4,-3,-2],[8,5,-6,-1]]):B:=matrix([[1,2,3,4],[2,3,4,5],[1,3,5,7],[2,4,6,8]]):

> Det(A)=det(A);Det(B)=det(B);

> multiply(A,B);

> multiply(B,A);

10. Дана матрица: . Найти: detA, А-1, M32, A'.

> restart;with(linalg): A:=matrix([[1,2,3,4],[2,3,1,2],[1,1,1,-1],[1,0,-2,-6]]);

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

> Det(A)=det(A);

> transpose(A);

> inverse(A);

> det(minor(A,3,2));

Контрольные вопросы

  1.  Команда plot и ее параметры.

Для построения графиков функции f(x) одной переменной (в интервале  по оси Ох и в интервале  по оси Оу) используется команда plot(f(x), x=a..b, y=c..d, parameters), где parameters – параметры управления изображением. Если их не указывать, то будут использованы установки по умолчанию. Настройка изображения также может осуществляться с панели инструментов.

Основные параметры команды plot:

1) title=”text”, где text-заголовок рисунка (текст можно оставлять без кавычек, если он содержит только латинские буквы без пробелов).

2) coords=polar – установка полярных координат (по умолчанию установлены декартовы).

3) axes – установка типа координатных осей: axes=NORMAL – обычные оси; axes=BOXED – график в рамке со шкалой; axes=FRAME – оси с центром в левом нижнем углу рисунка; axes=NONE – без осей.

4) scaling – установка масштаба рисунка: scaling=CONSTRAINED – одинаковый масштаб по осям; scaling=UNCONSTRAINED – график масштабируется по размерам окна.

5) style=LINE(POINT) – вывод линиями (или точками).

6) numpoints=n – число вычисляемых точек графика (по умолчанию n=49).

7) сolor – установка цвета линии: английское название цвета, например, yellow – желтый и т.д.

8) xtickmarks=nx и ytickmarks=ny – число меток по оси Оx и оси Оy, соответственно.

9) thickness=n, где n=1,2,3… - толщина линии (по умолчанию n=1).

10) linestyle=n – тип линии: непрерывная, пунктирная и т.д. (n=1 – непрерывная, установлено по умолчанию).

11) symbol=s тип символа, которым помечают точки: BOX, CROSS, CIRCLE, POINT, DIAMOND.

12) font=[f,style,size] установка типа шрифта для вывода текста: f задает название шрифтов: TIMES, COURIER, HELVETICA, SYMBOL; style задает стиль шрифта: BOLD, ITALIC, UNDERLINE; size размер шрифта в pt.

13) labels=[tx,ty] – надписи по осям координат: tx – по оси Оx и ty – по оси Оy.

14) discont=true – указание для построения бесконечных разрывов.

С помощью команды plot можно строить помимо графиков функций y=f(x), заданной явно, также графики функций, заданных параметрически y=y(t), x=x(t), если записать команду plot([y=y(t), x=x(t), t=a..b], parameters).

  1.  Аналитическое и численное интегрирование.

Неопределенный интеграл  вычисляется с помощью 2-х команд:

  1.  прямого исполнения – int(f, x), где f – подынтегральная функция, x – переменная интегрирования;
  2.  отложенного исполнения – Int(f, x) – где параметры команды такие же, как и в команде прямого исполнения int. Команда Int выдает на экран интеграл в аналитическом виде математической формулы.

Для вычисления определенного интеграла  в командах int и  Int добавляются пределы интегрирования, например,

> Int((1+cos(x))^2, x=0..Pi)=

int((1+cos(x))^2, x=0..Pi);

Если в команде интегрирования добавить опцию continuous: int(f, x, continuous), то Maple будет игнорировать любые возможные разрывы подынтегральной функции в диапазоне интегрирования. Это позволяет вычислять несобственные интегралы от неограниченных функций. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования вычисляются, если в параметрах команды int указывать, например, x=0..+infinity.

Численное интегрирование выполняется командой evalf(int(f, x=x1..x2), e), где e – точность вычислений (число знаков после запятой).

Интегралы, зависящие от параметра. Ограничения для параметров.

Если требуется вычислить интеграл, зависящий от параметра, то его значение может зависеть от знака этого параметра или каких-либо других ограничений. Рассмотрим в качестве примера интеграл , который, как известно из математического анализа, сходится при а>0 и расходится при а<0. Если вычислить его сразу, то получится:

> Int(exp(-a*x),x=0..+infinity)=

int(exp(-a*x),x=0..+infinity);

Definite integration: Can't determine if the integral is convergent.

Need to know the sign of --> a

Will now try indefinite integration and then take limits.

.

Таким способом интеграл с параметром не вычислить. Для получения явного аналитического результата вычислений следует сделать какие-либо предположения о значении параметров, то есть наложить на них ограничения. Это можно сделать при помощи команды assume(expr1), где expr1 – неравенство. Дополнительные ограничения вводятся с помощью команды additionally(expr2), где expr2 – другое неравенство, ограничивающее значение параметра с другой стороны.

После наложения ограничений на параметр Maple добавляет к его имени символ (~), например параметр a, на который были наложены некоторые ограничения, в сроке вывода будет иметь вид: a~.

Описание наложенных ограничений параметра a можно вызвать командой about(a). Пример: наложить ограничения на параметр a такие, что a>-1, a3:

> assume(a>-1); additionally(a<=3);

> about(a);

Originally a, renamed a~:

 is assumed to be: RealRange(Open(-1),3)

Вернемся к вычислению интеграла с параметром , которое следует производить в таком порядке:

> assume(a>0);

> Int(exp(-a*x),x=0..+infinity)=

int(exp(-a*x),x=0..+infinity);

4. В Maple имеются две специальные команды для вычисления двойных и тройных интегралов, содержащиеся в библиотеке student.

Для вычисления двойных интегралов  используется команда Doubleint(f(x, y), D), где D – область интегрирования, записываемая в одном из следующих форматов:

  •  x=х1..х2, y=y1..y2, где числа х1, х2, y1, y2 задают прямоугольную область интегрирования;
  •  x=f1(y)..f2(y), y=y1..y2, где f1(y), f2(y)  линии, ограничивающие область интегрирования слева и справа на интервале от y1 до y2; 
  •  x=х1..х2, y=g1(x)..g2(x) , где g1(y), g2(y)  линии, ограничивающие область интегрирования снизу и сверху на интервале от х1 до х2.

Для вычисления тройных интегралов  используется команда Tripleint(f(x, y, z),x, y, z, V), где V – область интегрирования.

Обе эти команды являются командами отложенного действия. Чтобы получить значение интеграла, следует использовать команду value(%).

Повторные интегралы можно вычислять с помощью повторения команды int, например, повторный интеграл  вычисляется командой

> int(int(x^2*y^3, x=0..1), y=0..2);

5. Основная часть команд для решения задач линейной алгебры содержится в библиотеке linalg. Поэтому перед решением задач с матрицами и векторами следует загрузить эту библиотеку командой with(linalg).

Определение матрицы.

Для определения матрицы в Maple можно использовать команду matrix(n, m, [[a11,a12,…,a1n], [a21,a22,…,a2m],…, [an1,an2,…,anm]]), где n  число строк, m – число столбцов в матрице. Эти числа задавать необязательно, а достаточно перечислить элементы матрицы построчно в квадратных скобках через запятую. Например:

> A:=matrix([[1,2,3],[-3,-2,-1]]);

Арифметические операции с матрицами.

Сложение двух матриц одинаковой размерности осуществляется теми же командами, что и сложение векторов: evalm(A+B) или matadd(A,B). Произведение двух матриц может быть найдено с помощью двух команд:

  1.  evalm(A&*B); 
  2.  multiply(A,B).

В качестве второго аргумента в командах, вычисляющих произведение, можно указывать вектор, например:

> A:=matrix([[1,0],[0,-1]]);

> B:=matrix([[-5,1], [7,4]]);

 

> v:=vector([2,4]);

> multiply(A,v);

> multiply(A,B);

> matadd(A,B);

Команда evalm позволяет также прибавлять к матрице число и умножать матрицу на число. Например:

> С:=matrix([[1,1],[2,3]]):

> evalm(2+3*С);

6. Определители, миноры и алгебраические дополнения. Ранг и след матрицы.

Определитель матрицы А вычисляется командой det(A). Команда minor(A,i,j) возвращает матрицу, полученную из исходной матрицы А вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца. Минор Mij элемента aij матрицы А можно вычислить командой det(minor(A,i,j)). Ранг матрицы А вычисляется командой rank(A). След матрицы А, равный сумме ее диагональных элементов, вычисляется командой trace(A).

> K:=matrix([[4,0,5],[0,1,-6],[3,0,4]]);

> det(K);

1

> minor(K,3,2);

> det(%);

-24

> trace(K);

9

7. Обратная и транспонированная матрицы.

Обратную матрицу А1 , такую что А1А=АА1=Е, где Е  единичная матрица, можно вычислить двумя способами:

  1.  evalm(1/A);
  2.  inverse(A).

Транспонирование матрицы А – это изменение местами строк и столбцов. Полученная в результате этого матрица называется транспонированной и обозначается А'. Транспонированную матрицу А' можно вычислить командой transpose(A). 

Например, используя заданную в предыдущем пункте матрицу K, найдем ей обратную и транспонированную:

> inverse(K);

> multiply(K,%);

> transpose(K);


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81363. Визнання та виконання рішень іноземних судів і арбітражі 23.62 KB
  Закону порядок виконання в Україні рішень іноземних судів і арбітражів встановлюється відповідними міжнародними договорами України цим Законом та іншими законами України. Клопотання про визнання і виконання рішення іноземного суду розглядається компетентним судом і після винесення ухвали про визнання та прийняття до виконання рішення іноземного суду на території України виписується виконавчий лист що і є основою для провадження виконавчих дій. Основою для виконання рішення іноземного арбітражу є наказ господарського суду та ухвала...
81364. Відповідальність за невиконання рішення, що зобов’язує боржника виконати певні дії, та рішення про поновлення на роботі 22.33 KB
  89 Закону у разі невиконання без поважних причин у встановлений державним виконавцем строк рішення що зобовязує боржника виконати певні дії та рішення про поновлення на роботі державний виконавець виносить постанову про накладення штрафу на боржника фізичну особу від десяти до двадцяти неоподатковуваних мінімумів доходів громадян; на посадових осіб від двадцяти до сорока неоподатковуваних мінімумів доходів громадян; на боржника юридичну особу від сорока до шістдесяти неоподатковуваних мінімумів доходів громадян та встановлює новий...
81365. Звільнення майна боржника з-під арешту, зняття арешту 27.57 KB
  Особа яка вважає що майно на яке накладено арешт належить їй а не боржникові може звернутися до суду з позовом про визнання права на майно і про звільнення майна зпід арешту. У разі прийняття судом рішення про звільнення майна зпід арешту або сплати боржником повної суми боргу за виконавчим документом до реалізації арештованого майна боржника майно звільняється зпід арешту за постановою державного виконавця яка затверджується начальником відповідного органу державної виконавчої служби додаток 40 не пізніше наступного дня коли...
81366. Поняття виконавчого провадження та його місце в системі права України 24.12 KB
  Виконавче провадження це врегульовані законодавством України суспільні відносини що виникають і реалізуються в процесі примусового виконання між органами державної виконавчої служби і посадовими особами які здійснюють примусову реалізацію рішень ухвал постанов судових і несудових органів з одного боку та між особами котрі беруть участь у виконавчому провадженні і залучаються до проведення виконавчих дій з другого боку на підставах у спосіб та в межах встановлених законом. Закону України Про виконавче провадження визначає...
81367. Принципи виконавчого провадження : поняття, зміст та значення 30.61 KB
  Принципи виконавчого провадження це закріплені у правових нормах основні засади керівні положення які визначають організацію органів державної виконавчої служби зміст і спрямованість її діяльності правовий статус учасників виконавчого провадження. На підставі теоретичних положень аналізу чинного законодавства та практики його застосування можна виокремити такі принципи виконавчого провадження: принцип гуманізма полягає у тому що заборонено у будьякій формі посягати на права і свободи фізичних осіб які беруть участь у виконавчому...
81368. Поняття, сутність та елементи правовідносин у виконавчому провадженні 28.23 KB
  Правовідносини у виконавчому провадженні виникають між державним виконавцем з одного боку та іншими субєктами виконавчого провадження стягувачем боржником з іншого. До ознак правовідносин що виникають у виконавчому провадженні слід віднести такі: вони виникають при примусовому виконанні рішень судів та інших юрисдикційних органів та регламентовані законодавством про виконавче провадження; без волі стягувана фізичної або юридичної особи державний виконавець не має права відкривати виконавче провадження. У випадку звернення...
81369. Суб’єкти виконавчого провадження та їх класифікація 25.45 KB
  Субєкти виконавчого провадження субєкти виконавчих правовідносин учасники виконавчого провадження це носії процесуальних прав та обовязків у виконавчому провадженні. Закону учасниками виконавчого провадження є державний виконавець сторони представники сторін прокурор експерти спеціалісти перекладачі субєкти оціночної діяльності субєкти господарювання. Прокурор бере участь у виконавчому провадженні у випадку здійснення представництва інтересів громадянина або держави в суді та відкриття виконавчого провадження на підставі...
81370. Органи і посадові особи Державної виконавчої служби, їх правове становище та повноваження 24.9 KB
  Органами державної виконавчої служби є: Департамент державної виконавчої служби Міністерства юстиції України до складу якого входить відділ примусового виконання рішень; управління державної виконавчої служби Головного управління юстиції Міністерства юстиції України в Автономній Республіці Крим головних управлінь юстиції в областях містах Києві та Севастополі до складу яких входять відділи примусового виконання рішень; районні районні у містах міські міст обласного значення міськрайонні відділи державної виконавчої служби відповідних...
81371. Державний виконавець як обов’язковий суб’єкт виконавчого провадження, його обов’язки та права 29.09 KB
  Державний виконавець у процесі здійснення виконавчого провадження має право: проводити перевірку виконання боржниками рішень що підлягають виконанню відповідно до цього Закону; здійснювати перевірку виконання юридичними особами всіх форм власності фізичними особами фізичними особами підприємцями рішень стосовно працюючих у них боржників; з метою захисту інтересів стягувача одержувати безоплатно від органів установ організацій посадових осіб сторін та учасників виконавчого провадження необхідні для проведення виконавчих дій...