42365

Двумерные графики. Дифференцирование. Интегрирование функции одной переменной. Интегрирование функции многих переменных. Действия с матрицами

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Построить на отдельных рисунках графики функций Бесселя первого рода Jn(x) для различных ее номеров n в интервале. Функции Бесселя вызываются командой BesselJ(n,x), где n – номер функции Бесселя, x – независимая переменная. Построить первые 6 функций Бесселя для. Как они выглядят и чем отличаются друг от друга Сделать подписи осей курсивом

Русский

2014-09-23

218 KB

12 чел.

ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
«МЭИ» в г. Смоленске

Кафедра высшей математики

Отчет

по лабораторной работе №2

Тема: «Двумерные графики. Дифференцирование.Интегрирование функции одной переменной .Интегрирование функции многих переменных .Действия с матрицами.

по курсу: «Дискретная математика»

                                                                       Студентка:                             Скобелева М.С.

           Группа:                                                ПИЭ-11

                                                                              Преподаватель:                        Мазалов М.Я

Смоленск, 2012

Выполнила: Скобелева М.С.

Группа: ПИЭ-11

Контрольные задания.

  1.  Построить на отдельных рисунках графики функций Бесселя первого рода Jn(x) для различных ее номеров n в интервале –20<x<20. Функции Бесселя вызываются командой BesselJ(n,x), где n – номер функции Бесселя, x – независимая переменная. Построить первые 6 функций Бесселя для n=0,1,2,3,4,5,6. Как они выглядят и чем отличаются друг от друга? Сделать подписи осей курсивом.
  2.  > restart
  3.  > plot([J(0,x)],x=-20...20,y=-1...1,color=[red]);plot([BesselJ(0,x)],x=-20...20,y=-1...1,color=[red]);

  1.  
  2.  >
  3.  > plot([J(1,x)],x=-20...20,y=-1...1,color=[red]);plot([BesselJ(1,x)],x=-20...20,y=-1...1,color=[red]),labelfont=[TIMES,ITALIC,12;
  4.  
  5.  >
  6.  > plot([J(2,x)],x=-20...20,y=-1...1,color=[red]);plot([BesselJ(2,x)],x=-20...20,y=-1...1,color=[red]);
  7.  
  8.  >
  9.  > plot([J(3,x)],x=-20...20,y=-1...1,color=[red]);plot([BesselJ(3,x)],x=-20...20,y=-1...1,color=[red]);
  10.  
  11.  >
  12.  > plot([J(4,x)],x=-20...20,y=-1...1,color=[red]);plot([BesselJ(4,x)],x=-20...20,y=-1...1,color=[red]);

  1.  
  2.  >
  3.  > plot([J(5,x)],x=-20...20,y=-1...1,color=[red]);plot([BesselJ(5,x)],x=-20...20,y=-1...1,color=[red]);
  4.  
  5.  
  6.  >
  7.  > plot(([J(6,x)],x=-20...20,y=-1...1,color=[red]));plot([BesselJ(6,x)],x=-20...20,y=-1...1,color=[red]);
  8.  

2.Построить график функции  в полярных координатах при 0<<4. Используйте цвет линии под названием magenta, установите толщину линии 3.

> restart

> plot(cos(x/3)*cos(x/3)*cos(x/3),x=0..4*Pi,color=magenta,thickness=3);

3. Построить график функции

> restart;

f(x):=piecewise(x<=0,0,  x<Pi ,sin(x),pi<x,0);

> plot(f(x), x=-1..20,y=-1..1);

4. Найти

> Diff(ln(x),x$5)=diff(ln(x),x$5);

5. Найти все частные производные 2 – ого порядка функции

.

> restert; f:=arctan*(x+y)/(1-x*y):

> Diff(f,x$2)=simplify(diff(f,x$2));

> Diff(f,x,y)=diff(f,x,y);

6. Вычислить неопределенный интеграл .

> Int((x^3-6)/(x^4+6*x^2+8),x)=int((x^3-6)/(x^4+6*x^2+8),x);

7. Вычислить несобственный интеграл  при a>0 b>0 для случаев: 1) a>b, 2) a=b,  3)a<b.

> restart; assume(a>0,b<0);

> Int(((sin(a*x)*cos(b*x))/x),x=0..+infinity)=int(((sin(a*x)*cos(b*x))/x),x=0..+infinity);

> restart; assume(a=b);

> Int(((sin(a*x)*cos(b*x))/x),x=0..+infinity)=int(((sin(a*x)*cos(b*x))/x),x=0..+infinity);

> restart; assume(a<b);

> Int(((sin(a*x)*cos(b*x))/x),x=0..+infinity)=int(((sin(a*x)*cos(b*x))/x),x=0..+infinity);

8. Вычислить тройной интеграл:

.

> restar;

> with(student): J:=Tripleint(ln(z-x-y)/((x-exp)*(x+y-exp)), z=exp..x+y+e, y=0..exp-x-1,x=0..exp-1);

> J:=value(%);

9. Даны матрицы  и . Найти: AB, BA, detA, detB.

> restart;

> with(linalg): A:=matrix([[5,7,-3,-4],[7,6,-4,-5],[6,4,-3,-2],[8,5,-6,-1]]):B:=matrix([[1,2,3,4],[2,3,4,5],[1,3,5,7],[2,4,6,8]]):

> Det(A)=det(A);Det(B)=det(B);

> multiply(A,B);

> multiply(B,A);

10. Дана матрица: . Найти: detA, А-1, M32, A'.

> restart;with(linalg): A:=matrix([[1,2,3,4],[2,3,1,2],[1,1,1,-1],[1,0,-2,-6]]);

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

> Det(A)=det(A);

> transpose(A);

> inverse(A);

> det(minor(A,3,2));

Контрольные вопросы

  1.  Команда plot и ее параметры.

Для построения графиков функции f(x) одной переменной (в интервале  по оси Ох и в интервале  по оси Оу) используется команда plot(f(x), x=a..b, y=c..d, parameters), где parameters – параметры управления изображением. Если их не указывать, то будут использованы установки по умолчанию. Настройка изображения также может осуществляться с панели инструментов.

Основные параметры команды plot:

1) title=”text”, где text-заголовок рисунка (текст можно оставлять без кавычек, если он содержит только латинские буквы без пробелов).

2) coords=polar – установка полярных координат (по умолчанию установлены декартовы).

3) axes – установка типа координатных осей: axes=NORMAL – обычные оси; axes=BOXED – график в рамке со шкалой; axes=FRAME – оси с центром в левом нижнем углу рисунка; axes=NONE – без осей.

4) scaling – установка масштаба рисунка: scaling=CONSTRAINED – одинаковый масштаб по осям; scaling=UNCONSTRAINED – график масштабируется по размерам окна.

5) style=LINE(POINT) – вывод линиями (или точками).

6) numpoints=n – число вычисляемых точек графика (по умолчанию n=49).

7) сolor – установка цвета линии: английское название цвета, например, yellow – желтый и т.д.

8) xtickmarks=nx и ytickmarks=ny – число меток по оси Оx и оси Оy, соответственно.

9) thickness=n, где n=1,2,3… - толщина линии (по умолчанию n=1).

10) linestyle=n – тип линии: непрерывная, пунктирная и т.д. (n=1 – непрерывная, установлено по умолчанию).

11) symbol=s тип символа, которым помечают точки: BOX, CROSS, CIRCLE, POINT, DIAMOND.

12) font=[f,style,size] установка типа шрифта для вывода текста: f задает название шрифтов: TIMES, COURIER, HELVETICA, SYMBOL; style задает стиль шрифта: BOLD, ITALIC, UNDERLINE; size размер шрифта в pt.

13) labels=[tx,ty] – надписи по осям координат: tx – по оси Оx и ty – по оси Оy.

14) discont=true – указание для построения бесконечных разрывов.

С помощью команды plot можно строить помимо графиков функций y=f(x), заданной явно, также графики функций, заданных параметрически y=y(t), x=x(t), если записать команду plot([y=y(t), x=x(t), t=a..b], parameters).

  1.  Аналитическое и численное интегрирование.

Неопределенный интеграл  вычисляется с помощью 2-х команд:

  1.  прямого исполнения – int(f, x), где f – подынтегральная функция, x – переменная интегрирования;
  2.  отложенного исполнения – Int(f, x) – где параметры команды такие же, как и в команде прямого исполнения int. Команда Int выдает на экран интеграл в аналитическом виде математической формулы.

Для вычисления определенного интеграла  в командах int и  Int добавляются пределы интегрирования, например,

> Int((1+cos(x))^2, x=0..Pi)=

int((1+cos(x))^2, x=0..Pi);

Если в команде интегрирования добавить опцию continuous: int(f, x, continuous), то Maple будет игнорировать любые возможные разрывы подынтегральной функции в диапазоне интегрирования. Это позволяет вычислять несобственные интегралы от неограниченных функций. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования вычисляются, если в параметрах команды int указывать, например, x=0..+infinity.

Численное интегрирование выполняется командой evalf(int(f, x=x1..x2), e), где e – точность вычислений (число знаков после запятой).

Интегралы, зависящие от параметра. Ограничения для параметров.

Если требуется вычислить интеграл, зависящий от параметра, то его значение может зависеть от знака этого параметра или каких-либо других ограничений. Рассмотрим в качестве примера интеграл , который, как известно из математического анализа, сходится при а>0 и расходится при а<0. Если вычислить его сразу, то получится:

> Int(exp(-a*x),x=0..+infinity)=

int(exp(-a*x),x=0..+infinity);

Definite integration: Can't determine if the integral is convergent.

Need to know the sign of --> a

Will now try indefinite integration and then take limits.

.

Таким способом интеграл с параметром не вычислить. Для получения явного аналитического результата вычислений следует сделать какие-либо предположения о значении параметров, то есть наложить на них ограничения. Это можно сделать при помощи команды assume(expr1), где expr1 – неравенство. Дополнительные ограничения вводятся с помощью команды additionally(expr2), где expr2 – другое неравенство, ограничивающее значение параметра с другой стороны.

После наложения ограничений на параметр Maple добавляет к его имени символ (~), например параметр a, на который были наложены некоторые ограничения, в сроке вывода будет иметь вид: a~.

Описание наложенных ограничений параметра a можно вызвать командой about(a). Пример: наложить ограничения на параметр a такие, что a>-1, a3:

> assume(a>-1); additionally(a<=3);

> about(a);

Originally a, renamed a~:

 is assumed to be: RealRange(Open(-1),3)

Вернемся к вычислению интеграла с параметром , которое следует производить в таком порядке:

> assume(a>0);

> Int(exp(-a*x),x=0..+infinity)=

int(exp(-a*x),x=0..+infinity);

4. В Maple имеются две специальные команды для вычисления двойных и тройных интегралов, содержащиеся в библиотеке student.

Для вычисления двойных интегралов  используется команда Doubleint(f(x, y), D), где D – область интегрирования, записываемая в одном из следующих форматов:

  •  x=х1..х2, y=y1..y2, где числа х1, х2, y1, y2 задают прямоугольную область интегрирования;
  •  x=f1(y)..f2(y), y=y1..y2, где f1(y), f2(y)  линии, ограничивающие область интегрирования слева и справа на интервале от y1 до y2; 
  •  x=х1..х2, y=g1(x)..g2(x) , где g1(y), g2(y)  линии, ограничивающие область интегрирования снизу и сверху на интервале от х1 до х2.

Для вычисления тройных интегралов  используется команда Tripleint(f(x, y, z),x, y, z, V), где V – область интегрирования.

Обе эти команды являются командами отложенного действия. Чтобы получить значение интеграла, следует использовать команду value(%).

Повторные интегралы можно вычислять с помощью повторения команды int, например, повторный интеграл  вычисляется командой

> int(int(x^2*y^3, x=0..1), y=0..2);

5. Основная часть команд для решения задач линейной алгебры содержится в библиотеке linalg. Поэтому перед решением задач с матрицами и векторами следует загрузить эту библиотеку командой with(linalg).

Определение матрицы.

Для определения матрицы в Maple можно использовать команду matrix(n, m, [[a11,a12,…,a1n], [a21,a22,…,a2m],…, [an1,an2,…,anm]]), где n  число строк, m – число столбцов в матрице. Эти числа задавать необязательно, а достаточно перечислить элементы матрицы построчно в квадратных скобках через запятую. Например:

> A:=matrix([[1,2,3],[-3,-2,-1]]);

Арифметические операции с матрицами.

Сложение двух матриц одинаковой размерности осуществляется теми же командами, что и сложение векторов: evalm(A+B) или matadd(A,B). Произведение двух матриц может быть найдено с помощью двух команд:

  1.  evalm(A&*B); 
  2.  multiply(A,B).

В качестве второго аргумента в командах, вычисляющих произведение, можно указывать вектор, например:

> A:=matrix([[1,0],[0,-1]]);

> B:=matrix([[-5,1], [7,4]]);

 

> v:=vector([2,4]);

> multiply(A,v);

> multiply(A,B);

> matadd(A,B);

Команда evalm позволяет также прибавлять к матрице число и умножать матрицу на число. Например:

> С:=matrix([[1,1],[2,3]]):

> evalm(2+3*С);

6. Определители, миноры и алгебраические дополнения. Ранг и след матрицы.

Определитель матрицы А вычисляется командой det(A). Команда minor(A,i,j) возвращает матрицу, полученную из исходной матрицы А вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца. Минор Mij элемента aij матрицы А можно вычислить командой det(minor(A,i,j)). Ранг матрицы А вычисляется командой rank(A). След матрицы А, равный сумме ее диагональных элементов, вычисляется командой trace(A).

> K:=matrix([[4,0,5],[0,1,-6],[3,0,4]]);

> det(K);

1

> minor(K,3,2);

> det(%);

-24

> trace(K);

9

7. Обратная и транспонированная матрицы.

Обратную матрицу А1 , такую что А1А=АА1=Е, где Е  единичная матрица, можно вычислить двумя способами:

  1.  evalm(1/A);
  2.  inverse(A).

Транспонирование матрицы А – это изменение местами строк и столбцов. Полученная в результате этого матрица называется транспонированной и обозначается А'. Транспонированную матрицу А' можно вычислить командой transpose(A). 

Например, используя заданную в предыдущем пункте матрицу K, найдем ей обратную и транспонированную:

> inverse(K);

> multiply(K,%);

> transpose(K);


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75346. Государства крестоносцев на Востоке. Второй и третий крестовый походы 36.5 KB
  Вскоре после взятия Иерусалима крестоносцы овладели значительной частью восточного побережья Средиземного моря. Поделив между собой новые владения крестоносцы установили в них феодальные порядки во многом схожие с теми которые существовали на их родине. При этом крестоносцы жили главным образом в прибрежных юродах и укрепленных замках которые им пришлось построить чтобы обеспечить себе безопасность. началось сплочение мусульманских княжеств в результате чего крестоносцы стали терять свои владения.
75347. Христианство, церковь, ереси в V-XI вв. Сложение христианства как мировой религии 43.5 KB
  Социальная роль христианской религии и церкви в феодальном обществе Христианство стояло у колыбели феодального общества как сложившаяся религиозная идеология. Исключительно большая роль религии и церкви в феодальную эпоху их сильнейшее воздействие на умы людей определялись тем что мировоззрение средневекового человека было по преимуществу теологическим. он добавил разработанное им учение о единоспасающей роли церкви. Объявляя нехристиан и еретиков жертвами дьявола Августин проповедовал необходимость не только убеждать но и принуждать их...
75350. Особенности социально-экономического и политического развития Испании в V-XI веках 51.5 KB
  Особенности социальноэкономического и политического развития Испании в VXI вв. Вандалы переправились далее в Северную Африку вестготы и свевы остались в Испании которая была в конце V в. Оно занимало кроме Испании всю Южную Галлию до Луары на севере Бискайского залива йа западе Средиземного моря и реки Роны на юговостоке. В вестготской Испании начали развиваться феодальные отношения.
75351. Англия в V-XI веках 62 KB
  Завоевание Британии англосаксами После того как римские войска в начале V в. были выведены из Британии населённой бриттами кельтами на её территорию стали массами вторгаться германские племена саксованглов и ютов жившие между Эльбой и Рейном область расселения саксов и на Ютландском полуострове область расселения англов и ютов. Англосаксонское завоевание Британии продолжалось свыше 150 лет и закончилось в основном в начале VII в. Столь длительный характер завоевания объясняется прежде всего тем что кельтское население Британии...
75352. Германия в X-XI веках 42 KB
  В состав Германии входили следующие герцогства из которых каждое было заселено определённым германским племенем так называемые племенные герцогства: Саксония и Тюрингия между притоками Рейна и Эльбой; Франкония по реке Майну и среднему течению Рейна; Швабия по верхнему течению Дуная и Рейна а также его притока Неккара и Бавария по среднему течению Дуная я его притоков к востоку от реки Лех. К...
75353. Крестовые походы. Их причины, предпосылки, социальный состав и цели участников. Первый крестовый поход 61.5 KB
  Папа указал и на земные выгоды ожидающие крестоносцев на Востоке. Не ожидая подхода основных сил рыцарейкрестоносцев бедняки устремились вперед. Путь крестоносцев через византийские владения сопровождался повальным грабежом местного населения. Император Алексей 1 опасаясь нашествия крестоносцев которых утонченная верхушка византийского общества не без основания считала варварами старался воспрепятствовать объединению их ополчений в Константинополе.
75354. Особенности социально-экономического и политического развития Италии в XI-XIII вв. Причины незавершенности политической централизации Италии 44 KB
  Особенности социально-экономического и политического развития Италии в XI-XIII вв. Причины незавершенности политической централизации Италии. Государственная самостоятельность которую получили многие города Северной и Центральной Италии к концу XII в. коммуны с консульским правлением сложились в десятках городов Северной и Центральной Италии в Падуе Ферраре Кремоне Генуе Пизе Сьене Болонье и многих других.