42420

Булева алгебра. Законы логики высказываний. Эквивалентные преобразования

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Законы логики высказываний. Теоретическая часть Всё множество формул логики высказываний с точки зрения их значения истинности разбивается на три класса: 1 тождественно истинные тавтология; 2 тождественно ложные противоречие; 3 нейтральные. Особое место в логике высказываний занимают законы логики тождественно истинные формулы тавтологии. Законы логики высказываний Закон тождества: А эквивалентно А.

Русский

2013-10-29

83 KB

30 чел.

Практическое занятие №7

Тема: Булева алгебра.

Законы логики высказываний. Эквивалентные преобразования.

Занятие рассчитано на 2 академических часа.

Цель работы: овладение практическими навыками эквивалентных преобразований формул с помощью законов логики.

Теоретическая часть

Всё множество формул логики высказываний с точки зрения их значения истинности разбивается на три класса:

1) тождественно истинные (тавтология); 2) тождественно ложные (противоречие); 3) нейтральные.

Определение 1: Формула называется тождественно истинной, если она принимает значение «истина» при всех наборах значений входящих в неё переменных.

Определение 2: Формула называется тождественно ложной, если она принимает значение «ложь» при всех наборах значений входящих в неё переменных.

Пример: - всегда истинна,  - всегда ложна.

   

А







1

0

1

0

0

1

1

0


Определение 3: Формула называется нейтральной, если она при одних наборах значений входящих в неё переменных принимает значение «истина», а при других - «ложь».

Тождественно истинные и нейтральные формулы образуют множество выполнимых формул, а тождественно ложные - множество невыполнимых формул. Особое место в логике высказываний занимают законы логики - тождественно истинные формулы (тавтологии).

Законы логики высказываний

  1.  Закон тождества: А эквивалентно А.
  2.  Закон противоречия: (неверно, что А и не А).
  3.  Закон исключенного третьего: А или не А
  4.  Коммутативный закон: , .
  5.  Ассоциативный закон: (С  С С  С.
  6.  Дистрибутивный закон: СС СС
  7.  Закон идемпотентности: , 
  8.  Закон поглощения:  
  9.  Закон исключения тавтологии из конъюнкции: .
  10.  Закон превращения дизъюнкции в тавтологию: 
  11.  Правило превращения конъюнкции в противоречие: 
  12.  Закон исключения противоречия из дизъюнкции: 
  13.  Закон двойного отрицания: 
  14.  Законы де Моргана:  
  15.  Закон склеивания:  
  16.  Законы выражения одних союзов через другие:

    =()() ;

В логике высказываний законы логики используются для доказательства эквивалентности  формул с помощью их преобразований.

Определение 4: Эквивалентным преобразованием данной формулы будем называть замену этой формулы через другую, которая ей эквивалентна.

Эти преобразования могут служить средством упрощения формул (проблема минимизации), для того чтобы получить формулы эквивалентные данным, но с более простой структурой.

Определение 5: Более простой по сравнению с данной формулой, не содержащей знаков импликации, двойной импликации, сильной дизъюнкции, отрицаний неэлементарных формул, будем считать формулу, которая содержит меньшее число: 1) вхождений букв; 2) знаков операций; 3) пар скобок.

Рассмотрим вопрос об упрощении системы высказываний.

Пусть F1, F2,…, Fn - какие-либо формулы логики высказываний. Они будут одновременно истинны только тогда, когда будет истинна их конъюнкция F1F2Fn.  Это даёт возможность упрощать системы высказываний. Для упрощения системы высказываний, каждое из которых истинно, необходимо:

  1.  записать каждое высказывание в такой эквивалентной форме, в которой исключены знаки импликации, двойной импликации и сильной дизъюнкции, а знаки отрицания отнесены только к атомам;
  2.  записать всю систему этих высказываний в виде конъюнкции;
  3.  применяя эквивалентные преобразования, упростить эту конъюнкцию.

Методические указания

Для успешного решения логических задач необходимо знание всех законов логики, а также изучение примеров этой работы.

Пример 1: Найти формулу эквивалентную данной, но с более простой структурой.

((CC(((C)(((CCCCCCCC=CCCCCC

Пример 2: Найти более простую дизъюнкцию, эквивалентную данной системе:

  1.  А 2) С 3)(ВС).

Решение: Из всех высказываний исключим знаки импликации:

1) 2) С 3) СС

Теперь составим их конъюнкцию:

(СССССС

Пример 3: Для заданной формулы АВ составьте таблицу истинности и интерпретируйте  на диаграммах Эйлера-Венна.

Решение: Связь между высказываниями и их множествами истинности дает возможность переводить любую задачу, относящуюся к сложным высказываниям, в задачу теории множеств. Возможно и обратное: если сформулирована задача относительно операции над множествами, то универсальное множество можно представить как некоторое множество логических возможностей, а его подмножества как множества истинности некоторых высказываний. Таким образом, каждому высказыванию соответствует множество истинности. Каждой операции над высказываниями соответствует операция над множествами. Каждому отношению соответствует отношение между множествами истинности.

В нашем случае, если А и В - высказывания, то, например, АВ - также высказывание, и следовательно, оно должно иметь свое множество истинности. Изобразим это множество. Значению истинности переменных А и В в каждой из четырех строк таблицы истинности ставим в соответствие одно из четырех подмножеств на диаграмме Эйлера-Венна (рис.1).

Строки

А

В

Подмножества

истинности

1

1

1

А1∩В1

2

1

0

А1∩ ┐В1

3

0

1

┐А1∩В1

4

1

1

┐А1∩┐В1

Рис 1.

 

Рис.2.

     

Подмножества, соответствующие тем строкам, в которых молекулярное высказывание истинно, заштриховываются. Таким образом, высказыванию АВ ставится в соответствие множество (А1∩┐В1)U(┐А1∩В1), ибо АВ истинно во 2 и 3 строках таблицы, т.е.={10,01}.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение тождественно истинной, тождественно ложной и нейтральной формул.

2. В чем состоит проблема минимизации формул?

3. Что называется эквивалентным преобразованием формулы?

4. Перечислите все 15 законов логики высказываний.

5. Назовите законы выражения одних союзов через другие.

6. Как производится упрощение системы высказываний?

Индивидуальные задания

1. Определите, с помощью таблицы истинности, является ли приведенная функция тождественно-истинной, тождественно-ложной или нейтральной.

1) С 11) С    21)  

2) С|  12) С    22)  С

3) С 13) С         23)  С

4) С| 14) С     24)  С

5) С 15) С         25) 

6) С|С  16) С          26)  С 

7) СС 17)СС         27) СС

8) С  18) С       28) С

9)  19) С     29) С

10) С 20) С; 30) С

2.  Для заданной формулы составьте таблицу истинности и интерпретируйте  на диаграммах Эйлера-Венна.

1)   ССВ 11)АС      21) САС

  1.  АССВ 12) СС  22) С
  2.  ССС 13) В        23) АССВ
  3.  С   14) ССА     24) ССА
  4.  С 15) АСС25) АС
  5.  ССА 16) СА26) САС
  6.  АС 17) ВСА   27) СВС

8  СВС 18)ССС     28) С;

     9)  СС 19) СВ     29) ССС

    10) САС 20) ССВ;  30) С|СВ;

3.  Исследуйте,  подчинена ли операция:

1) импликации законам коммутативности, ассоциативности и идемпотентности, т.е. верно ли, что:

1) АВ=ВА; 2) (АВ)С=АС); 3) АА=А.

2) двойная импликация законам коммутативности, ассоциативности и идемпотентности, т.е. верно ли, что:

1) А↔В=В↔А; 2) (А↔В)↔С=А↔(В↔С); 3) А↔А=А.

3) строгая дизъюнкция (эквиваленция) законам коммутативности, ассоциативности и идемпотентности?

4) «штрих Шеффера» и «символ Лукасевича» законам коммутативности, ассоциативности и идемпотентности?

4.  Сформулируйте высказывания, которые по законам де Моргана, выражают то же, что и следующие:

1) Неверно, что треугольник АВС – прямоугольный и равнобедренный; 2) Неверно, что хотя бы одно из чисел а и в - простое;

3) Неверно, что число 9- четное или простое;

4) Неверно, что каждое из чисел m и n чётно.

PAGE  1


А
1       В1  U

     2

    3

  2  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53301. Хранение, использование и учет прекурсоров в химическом кабинете общеобразовательного учебного заведения 91.5 KB
  Прекурсоры вещества часто используемые при производстве изготовлении переработке наркотических средств и психотропных веществ включённых в Перечень наркотических средств психотропных веществ и прекурсоров утвержденный Постановлением Кабинета Министров Украины от 06. Согласно Закону Украины Об обороте в Украине наркотических средств присихотропных веществ их аналогов и прекурсоров от 15. № 503V необходимо вести строгий учет прекурсоров.
53302. Україна в подіях Північної війни. Повстання гетьмана Івана Мазепи 46.5 KB
  Повстання гетьмана Івана Мазепи. Виявити роль і значення Івана Мазепи в українському національно-визвольному русі. Внутрішня і зовнішня політика Мазепи. Мазепи.
53303. Національно-визвольна війна українського народу проти Речі Посполитої середини ХVІІ ст 64.5 KB
  Нагадую правила гри: за кожне порушення дисципліни викрики підказку журі має право зняти з команди від 2 до 5 балів. Кому розпочинати гру визначається за допомогою жеребкування Отже у нас все готове до початку КВК залишилось побажати тільки успіхів учасникам гри і оголосити склад журі. Оголошується склад журі Змагання сьогоднішнє я відкриваю 1 щиро усіх вас вітаю. Команда Ерудити Любить КВК наш дружний клас І оголосить засідання зараз Ось болільники а ось журі.
53304. Украинско-московский межгосударственный договор 1654 года. Продолжение Национально-освободительной войны 76.5 KB
  Цели: выяснить предпосылки и определить основные положения и значение украинско-московского договора 1654 года, а также дать историческую оценку событиям Национально-освободительной войны в 1654-1655 годах; развивать у учащихся жизненные умения и навыки: работать с историческими источниками и на основе их делать выводы и обобщения, давать оценку историческим событиям, высказывать свою точку зрения по отношению к ним...
53305. Україна в умовах десталінізації (1953 – 1964 рр.) 242.5 KB
  Назвіть події з історії України, які відбувалися після подій всесвітньої історії, визначених у першій колонці, але раніше, ніж події, визначені у третій колонці.
53306. НІКОПОЛЬЩИНА В РОКИ ДРУГОЇ СВІТОВОЇ ВІЙНИ 133 KB
  МЕТА: Проаналізувати події другої світової війни на Нікопольщині, удосконалювати навички самостійної роботи з додатковою літературою, картою, продовжити формувати вміння учнів, аналізувати, узагальнювати історичний матеріал, виховувати учнів у дусі патріотизму, гордості за бойові та ратні подвиги наших земляків.
53307. Порядок начисления и учета амортизации нематериальных активов 22.39 KB
  Амортизация – это процесс систематического, ежемесячного переноса стоимости на себестоимость продукции либо за счет собственных источников и накопление амортизационного фонда для замены изношенных экземпляров.
53308. Український національний рух на території Польщі (20-30-і рр. ХХ ст.) 85 KB
  Метод Припущення на основі запропонованих слів Учитель перераховує кілька слів із біографії Дмитра Донцова ідеолога право радикального руху. Учитель. Що далі Учитель. Учитель вислуховує пари із похвалою але не каже схожі вони чи ні на те що має бути почути.
53309. Україна в роки Другої світової війна (1939 -1945 рр.). Велика Вітчизняна війна (1941-1945 рр.) 131.5 KB
  Виховувати почуття гордості до історичного минулого України. Доповніть текст: Приєднання Західної України та Західної Білорусії до СРСР розпочалося після вступу Червоної армії на територію Польщі. Закон про включення Західної України до складу СРСР і возз’єднання її з Українською РСР було прийнято: а Верховними Радами СРСР та УРСР у листопаді 1939 р.; б Народними зборами Західної України у жовтні 1939 р.