42420

Булева алгебра. Законы логики высказываний. Эквивалентные преобразования

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Законы логики высказываний. Теоретическая часть Всё множество формул логики высказываний с точки зрения их значения истинности разбивается на три класса: 1 тождественно истинные тавтология; 2 тождественно ложные противоречие; 3 нейтральные. Особое место в логике высказываний занимают законы логики тождественно истинные формулы тавтологии. Законы логики высказываний Закон тождества: А эквивалентно А.

Русский

2013-10-29

83 KB

30 чел.

Практическое занятие №7

Тема: Булева алгебра.

Законы логики высказываний. Эквивалентные преобразования.

Занятие рассчитано на 2 академических часа.

Цель работы: овладение практическими навыками эквивалентных преобразований формул с помощью законов логики.

Теоретическая часть

Всё множество формул логики высказываний с точки зрения их значения истинности разбивается на три класса:

1) тождественно истинные (тавтология); 2) тождественно ложные (противоречие); 3) нейтральные.

Определение 1: Формула называется тождественно истинной, если она принимает значение «истина» при всех наборах значений входящих в неё переменных.

Определение 2: Формула называется тождественно ложной, если она принимает значение «ложь» при всех наборах значений входящих в неё переменных.

Пример: - всегда истинна,  - всегда ложна.

   

А







1

0

1

0

0

1

1

0


Определение 3: Формула называется нейтральной, если она при одних наборах значений входящих в неё переменных принимает значение «истина», а при других - «ложь».

Тождественно истинные и нейтральные формулы образуют множество выполнимых формул, а тождественно ложные - множество невыполнимых формул. Особое место в логике высказываний занимают законы логики - тождественно истинные формулы (тавтологии).

Законы логики высказываний

  1.  Закон тождества: А эквивалентно А.
  2.  Закон противоречия: (неверно, что А и не А).
  3.  Закон исключенного третьего: А или не А
  4.  Коммутативный закон: , .
  5.  Ассоциативный закон: (С  С С  С.
  6.  Дистрибутивный закон: СС СС
  7.  Закон идемпотентности: , 
  8.  Закон поглощения:  
  9.  Закон исключения тавтологии из конъюнкции: .
  10.  Закон превращения дизъюнкции в тавтологию: 
  11.  Правило превращения конъюнкции в противоречие: 
  12.  Закон исключения противоречия из дизъюнкции: 
  13.  Закон двойного отрицания: 
  14.  Законы де Моргана:  
  15.  Закон склеивания:  
  16.  Законы выражения одних союзов через другие:

    =()() ;

В логике высказываний законы логики используются для доказательства эквивалентности  формул с помощью их преобразований.

Определение 4: Эквивалентным преобразованием данной формулы будем называть замену этой формулы через другую, которая ей эквивалентна.

Эти преобразования могут служить средством упрощения формул (проблема минимизации), для того чтобы получить формулы эквивалентные данным, но с более простой структурой.

Определение 5: Более простой по сравнению с данной формулой, не содержащей знаков импликации, двойной импликации, сильной дизъюнкции, отрицаний неэлементарных формул, будем считать формулу, которая содержит меньшее число: 1) вхождений букв; 2) знаков операций; 3) пар скобок.

Рассмотрим вопрос об упрощении системы высказываний.

Пусть F1, F2,…, Fn - какие-либо формулы логики высказываний. Они будут одновременно истинны только тогда, когда будет истинна их конъюнкция F1F2Fn.  Это даёт возможность упрощать системы высказываний. Для упрощения системы высказываний, каждое из которых истинно, необходимо:

  1.  записать каждое высказывание в такой эквивалентной форме, в которой исключены знаки импликации, двойной импликации и сильной дизъюнкции, а знаки отрицания отнесены только к атомам;
  2.  записать всю систему этих высказываний в виде конъюнкции;
  3.  применяя эквивалентные преобразования, упростить эту конъюнкцию.

Методические указания

Для успешного решения логических задач необходимо знание всех законов логики, а также изучение примеров этой работы.

Пример 1: Найти формулу эквивалентную данной, но с более простой структурой.

((CC(((C)(((CCCCCCCC=CCCCCC

Пример 2: Найти более простую дизъюнкцию, эквивалентную данной системе:

  1.  А 2) С 3)(ВС).

Решение: Из всех высказываний исключим знаки импликации:

1) 2) С 3) СС

Теперь составим их конъюнкцию:

(СССССС

Пример 3: Для заданной формулы АВ составьте таблицу истинности и интерпретируйте  на диаграммах Эйлера-Венна.

Решение: Связь между высказываниями и их множествами истинности дает возможность переводить любую задачу, относящуюся к сложным высказываниям, в задачу теории множеств. Возможно и обратное: если сформулирована задача относительно операции над множествами, то универсальное множество можно представить как некоторое множество логических возможностей, а его подмножества как множества истинности некоторых высказываний. Таким образом, каждому высказыванию соответствует множество истинности. Каждой операции над высказываниями соответствует операция над множествами. Каждому отношению соответствует отношение между множествами истинности.

В нашем случае, если А и В - высказывания, то, например, АВ - также высказывание, и следовательно, оно должно иметь свое множество истинности. Изобразим это множество. Значению истинности переменных А и В в каждой из четырех строк таблицы истинности ставим в соответствие одно из четырех подмножеств на диаграмме Эйлера-Венна (рис.1).

Строки

А

В

Подмножества

истинности

1

1

1

А1∩В1

2

1

0

А1∩ ┐В1

3

0

1

┐А1∩В1

4

1

1

┐А1∩┐В1

Рис 1.

 

Рис.2.

     

Подмножества, соответствующие тем строкам, в которых молекулярное высказывание истинно, заштриховываются. Таким образом, высказыванию АВ ставится в соответствие множество (А1∩┐В1)U(┐А1∩В1), ибо АВ истинно во 2 и 3 строках таблицы, т.е.={10,01}.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение тождественно истинной, тождественно ложной и нейтральной формул.

2. В чем состоит проблема минимизации формул?

3. Что называется эквивалентным преобразованием формулы?

4. Перечислите все 15 законов логики высказываний.

5. Назовите законы выражения одних союзов через другие.

6. Как производится упрощение системы высказываний?

Индивидуальные задания

1. Определите, с помощью таблицы истинности, является ли приведенная функция тождественно-истинной, тождественно-ложной или нейтральной.

1) С 11) С    21)  

2) С|  12) С    22)  С

3) С 13) С         23)  С

4) С| 14) С     24)  С

5) С 15) С         25) 

6) С|С  16) С          26)  С 

7) СС 17)СС         27) СС

8) С  18) С       28) С

9)  19) С     29) С

10) С 20) С; 30) С

2.  Для заданной формулы составьте таблицу истинности и интерпретируйте  на диаграммах Эйлера-Венна.

1)   ССВ 11)АС      21) САС

  1.  АССВ 12) СС  22) С
  2.  ССС 13) В        23) АССВ
  3.  С   14) ССА     24) ССА
  4.  С 15) АСС25) АС
  5.  ССА 16) СА26) САС
  6.  АС 17) ВСА   27) СВС

8  СВС 18)ССС     28) С;

     9)  СС 19) СВ     29) ССС

    10) САС 20) ССВ;  30) С|СВ;

3.  Исследуйте,  подчинена ли операция:

1) импликации законам коммутативности, ассоциативности и идемпотентности, т.е. верно ли, что:

1) АВ=ВА; 2) (АВ)С=АС); 3) АА=А.

2) двойная импликация законам коммутативности, ассоциативности и идемпотентности, т.е. верно ли, что:

1) А↔В=В↔А; 2) (А↔В)↔С=А↔(В↔С); 3) А↔А=А.

3) строгая дизъюнкция (эквиваленция) законам коммутативности, ассоциативности и идемпотентности?

4) «штрих Шеффера» и «символ Лукасевича» законам коммутативности, ассоциативности и идемпотентности?

4.  Сформулируйте высказывания, которые по законам де Моргана, выражают то же, что и следующие:

1) Неверно, что треугольник АВС – прямоугольный и равнобедренный; 2) Неверно, что хотя бы одно из чисел а и в - простое;

3) Неверно, что число 9- четное или простое;

4) Неверно, что каждое из чисел m и n чётно.

PAGE  1


А
1       В1  U

     2

    3

  2  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52530. Дисидентський рух 60-х – 80-х рр. ХХ ст. в Україні 1.09 MB
  Мета: розкрити процес зародження дисидентського руху; зясувати мету та основні цілі дисидентів; ознайомити школярів із провідними учасниками дисидентського руху; розглянути причини придушення дисидентства; розвивати вміння синтезувати матеріал; критично оцінювати історичні події; виховувати в учнів почуття патріотизму інтерес та повагу до історичного минулого своєї країни до борців за незалежність України. Оголошення теми та завдань уроку План до уроку Зародження дисидентського руху Мета та основні цілі дисидентів Діяльність...
52532. Meet Disney Heroes 92.47 KB
  T: (divides pupils into two teams. Teams choose the names for them). Now I’m going to tell you the names of some colour and you will pick up the flag with this colour.) Each pupil can get one point for his team.
52533. THE MAGIC WALT DISNEY WORLD 2.04 MB
  It’s the Main Street. But we can’t go. We don’t know the names of cartoons in English. You can get 1 ball. Let’s underline the letter combinations and read them correctly. (дети подчеркивают и читают хором за учителем)
52534. W.Disney and His Amusement Park - Disneyland 61 KB
  The topic of our today’s lesson is “Walt Disney and His Amusement Park – Disneyland” and “The Past Indefinite Tense”. By the end of the lesson you should be able: 1. To talk about Walt Disney and his amusement park Disneyland, using active vocabulary.
52535. Складання розповіді за художньою картиною В. Хабарова „Портрет дівчинки” 529 KB
  Діти пропоную вам розглянути ось цу картину. Діти ви розглянули картину російського художника В. Де розмістив художник героїню Якою вона зображена Діти пригадайте свої відчуття коли ви захоплено читаєте або щось майструєте або малюєте. Діти у парах відновлюють розповідь за картиною.
52536. Проект «Я дитина всесвіту» 947.5 KB
  Вірно діти це вода. В казках мертва вода заживляла рани. Глибока вона там а вода знай в ній холодна джерельна студена. Журавель напоїв хлопчика джерельною водою а потім на своїх широких крилах відніс хлопчика додому і сказав: Запамятай вода жива її треба берегти Хлопчик подякував і повторив: вода жива.
52537. Всі ми родом із дитинства. Подорож в українську минувшину. Живопис на склі «Ікона святого Миколая» 87.5 KB
  Миколай народився в Патарі тепер Туреччина біля 280 р. Миколай і потайки вечором кинув у відкрите вікно кімнати мішечок з золотом. І знову Святий Миколай підкинув торбинку грошей так щоб ніхто того не бачив. Коли прийшов час наймолодшій дочці виходити заміж а грошей не булоі її чекала неволя батько дівчат заховався біля хати; і коли Святий Миколай кинув знову мішечок з золотом батько схопив його за руку.
52538. Дитинство Ісуса Христа 116 KB
  Мета: ознайомити учнів з дитинством Спасителя, вказуючи на Його чесноти; розвивати бажання брати собі за взірець Христа; виховувати послух, покірність та повагу до батьків.