42421

Равносильность формул. Закон двойственности. Логические функции

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Каждая формула представляет собой функцию входящих в нее букв А В Определение1: Формулы F1 и F2 называются равносильными если при любых значениях входящих в них переменных x1x2xn эти формулы принимают одинаковые значения. Между понятиями равносильности и эквивалентности существует связь: если формулы F1 и F2 равносильны то формула F1F2 эквивалентность принимает одни и те же значения при всех значениях переменных и обратно: если формула F1F2 принимает одни и те же значения при всех значениях переменных то формулы F1 и F2...

Русский

2013-10-29

120.5 KB

23 чел.

Практическое занятие №8

Тема: Равносильность формул. Закон двойственности.

Логические функции.

Занятие рассчитано на 2 академических часа.

Цель работы: овладение практическими навыками  равносильных преобразований булевых функций с помощью закона двойственности.

Теоретическая часть

Равносильность формул

Посредством приведенных операций над высказываниями могут быть образованы другие, сколь угодно сложные высказывания. Каждая формула представляет собой функцию входящих в нее букв А, В, …

Определение1: Формулы F1 и F2 называются равносильными, если при любых значениях входящих в них переменных x1,x2,…,xn эти формулы принимают одинаковые значения.

Примеры равносильных формул:

равносильно х

ху равносильно ух

у)z равносильно х z)

х+у равносильно у+х

(х+у)+ z равносильно х+(у+z)

х+х равно х

хх равно х

х+(ху) равносильно х

равносильно

равносильно .

Между понятиями равносильности и эквивалентности существует связь: если формулы F1 и F2 равносильны, то формула (F1F2) (эквивалентность) принимает одни и те же значения при всех значениях переменных и обратно: если формула (F1F2) принимает одни и те же значения при всех значениях переменных, то формулы F1 и F2 равносильны.

Логические операции ,,, и не являются независимыми друг от друга. Одни из них можно выражать через другие так, что при этом получаются равносильные формулы. Например, знак ~ может быть выражен через знаки и &  на основании соотношения x~y равносильно  (xy)&(yx), которое легко доказывается на основании определения действий ~, и &.

Итак, все операции посредством равносильных выражений можно заменить двумя: и  . Аналогичным образом, можно все операции заменить на &  и . Исходя из этого, операция двойственна и наоборот.

Закон двойственности

Определение 2: Формулы F и U называются двойственными, если одна получается из другой заменой каждой операции на двойственную.

Примеры.

  1.   двойственно .
  2.  двойственно .
  3.   двойственно .
  4.   двойственно .

Как для операций, так и для формул отношение двойственности взаимно.

Закон двойственности: Если формулы F и U равносильны, то и двойственные им формулы F* и  U* также равносильны.

Если, применяя к формуле F дистрибутивные преобразования на основании первого дистрибутивного закона, мы получим формулу U, то переход от двойственной формулы F* к  U* осуществляется на основании второго дистрибутивного закона.

Принцип двойственности применяют для нахождения новых равносильностей, что  позволяет почти в два раза сократить усилия на вывод тождеств, при рассмотрении свойств элементарных функций.

Логические функции.

Как известно, законы логики являются тождественно-истинными формулами (тавтологиями).

Логические функции могут зависеть от одной или более переменных в теоретико-множественном смысле, логическая функция от n переменных y=f(x1,x2,…,xn), представляет собой отображение множества наборов вида (x1,x2,…,xn), являющихся областью его определения, на множество её значений N=(a1,a2,…,ak).

Определение 3: Однородной называется функция, если её аргументы принимают свои значения из того же набора, что и сама функция.

Булевы функции одной переменной:

x

y1=f1(x)

y2=f2(x)

y3=f3(x)

y4=f4(x)

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

Функции y1=0, y2=1 –функции константы, так как не меняют своего значения при любых значениях аргумента; y4=x – равна своему аргументу, y3=x – инверсия или отрицание, т.к. принимает значение противоположное аргументу.

Число всех функций, зависящих от n переменных х1, х2,…, хn равно.

Булевы функции двух переменных:

x1

0

0

1

1

обозначение

название

чтение

x2

0

1

0

1

y0

0

0

0

0

0

константа 0

любое 0

y1

0

0

0

1

,

конъюнкция

x1 и x2

y2

0

0

1

0

\

отрицание импликации

x1, но не x2

y3

0

0

1

1



повторение первого аргумента

как x1

y4

0

1

0

0

\

отрицание обратной импликации

не x1, но x2

y5

0

1

0

1



повторение второго аргумента

как x2

y6

0

1

1

0



сумма по модулю 2

x1не как x2

y7

0

1

1

1



дизъюнкция

x1 или x2

y8

1

0

0

0



стрелка Пирса

ни x1 ни x2

y9

1

0

0

1



эквиваленция

x1 как x2

y10

1

0

1

0



отрицание второго аргумента

не x2

y11

1

0

1

1



обратная импликация

если x2, то x1

y12

1

1

0

0



отрицание первого аргумента

не x1

y13

1

1

0

1



импликация

если x1, то x2

y14

1

1

1

0



штрих Шеффера

не x1, или не x2

y15

1

1

1

1

1

константа 1

любое 1

               

Методические указания

Для лучшего запоминания теоретического материала, изучите приведенные примеры.

Пример1: Применение принципа двойственности для нахождения равносильностей.

Используя дистрибутивность & относительно получаем равносильность:

Xi&(XjXk)(Xi&Xj)(Xi&Xj)  Xi(Xi&Xk)(XiXj)&(XiXk).

Пример 2: Доказать, что функция  G является тавтологией

G(x1,x2,x3)=()((

Решение: 

Пример 3: Является ли заданная функция сомодвойственной:

f(x1,x2,x3)=x1+x2+x3

Решение:  f*(x1,x2,x3)=fx1,x2,x3x1x2x3x1+x2+x3,

Следовательно f(x1,x2,x3)-сомодвойственна.

Контрольные вопросы

1. Какие формулы называются равносильными? Приведите примеры.

2. Какие формулы называются двойственными?

3. Сформулируйте закон двойственности. С какой целью его применяют?

4. Какая функция называется однородной?

  1.  Постройте таблицы истинности булевых функций для двух переменных.
  2.  Сколько всех функций, зависящих от n переменных?

Индивидуальные задания

1. Придумайте сложное высказывание, содержащее различные союзы, и постройте его отрицание но так, чтобы знаки отрицания относились бы только к простым высказываниям.

2. Используя придуманное вами высказывание и полученную формулу, составьте двойственную ей формулу.

3. Применив эквивалентные преобразования, упростите приведённые формулы так, чтобы в результате получить только один атом:

  1.  ; 2)  3)  4)

5)  6)  

7)С

4. Упростите приведённые формулы, насколько это возможно:

1) С  11) С

2) С|  12) С

3) С  13) С

4) С|  14) С

5) С 15) 

6) С|С  16) С

7) СС  17) СС

8) С  18) С|

9)   19) С|

10) С  20) С.

21) СС       

22) С   

23) С 

24) СВА

25) С   

26) СС

27) СС  

28) СС   

29) С

30) С.

5.  Для каждой из приведенных формул составьте двойственную ей формулу:

1) (AC; 2) C; 3) (A(CD))(AC);

4) ((CC))1.

6. Примените принцип двойственности к каждой из приведенных эквивалентностей:

1) AA; 2) A(BC)(AC; 3) A(A; 4) (A.

7.  Какая формула, содержащая только операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания (отнесены только к атомам), будет истинной тогда и только тогда, когда лишь одна  из трех переменных А, В и С  принимает значение «истина»?

Какое значение истинности примет при этом условии двойственная формула?

8. Какая формула, содержащая только операции конъюнкции , дизъюнкции и отрицания (отнесены только к атомам), будет истинной тогда и только тогда, когда лишь две  из трех переменных А, В и С  истинны?

Будет ли истинной при этом двойственная формула?

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

10449. Соответствие между дискретным преобразованием Фурье, рядом Фурье и непрерывным преобразованием Фурье 62.5 KB
  Соответствие между дискретным преобразованием Фурье рядом Фурье и непрерывным преобразованием Фурье. Как правило сигнал представленный в цифровом виде состоит из последовательности из последовательности из N отсчетов – xn. Такому сигналу можно поставить в соответс
10450. Математическое описание непрерывных изображений. Преобразование Фурье. Дискретизация и восстановление изображений. Теорема Котельникова 163 KB
  Математическое описание непрерывных изображений. Преобразование Фурье. Дискретизация и восстановление изображений. Теорема Котельникова. А. Распределение освещенности на изображении описывается в общем случае непрерывной функцией от четырех переменных – двух про
10451. Схемы переходов от непрерывных преобразований к дискретным преобразованиям 44 KB
  Схемы переходов от непрерывных преобразований к дискретным преобразованиям. Введем определения следующих операций: Частотным окном FW frequency window называется ограничение спектра сигнала по частоте. При этом спектр сигнала становится финитным. Окно не обязательно дол
10452. Глаз и психофизические свойства зрения. Зрительные явления. Модель одноцветного зрения. Модель цветного зрения 301 KB
  Глаз и психофизические свойства зрения. Зрительные явления. Модель одноцветного зрения. Модель цветного зрения. На выходе изображающих систем обычно создается фотоснимок или изображение на экране которые рассматриваются человеком. Поэтому очевидно что для эффективн
10453. Квантование изображений. Фотометрия и колориметрия. Преобразование координат цвета. Цветовое тело 788.5 KB
  Квантование изображений. Фотометрия и колориметрия. Преобразование координат цвета. Цветовое тело. Рассмотрим случай чернобелого панхроматического изображения. Для его представления в цифровом виде величину каждого отсчета дискретного изображения необходимо предс...
10454. Двумерные унитарные преобразования. Преобразование Фурье, косинусное, синусное, Адамара, Хаара 2.03 MB
  Двумерные унитарные преобразования. Преобразование Фурье косинусное синусное Адамара Хаара. А. Унитарные преобразования являются частным случаем линейных преобразований когда линейный оператор точно обратим а его ядро удовлетворяет условию ортогональности. В...
10455. Вейвлет-преобразование. Алгоритмы Лифтинга и Маллата 192.5 KB
  Вейвлетпреобразование. Алгоритмы Лифтинга и Маллата. Вейвлет компрессия в последнее время стала передовой технологией среди методов представления и сжатия сигналов и изображений. Методы сжатия с вейвлет преобразованием можно отнести к классу методов с исполь
10456. Алгоритмы сжатия изображений 163 KB
  Алгоритмы сжатия изображений Введение В настоящее время в космических системах ДЗЗ отмечается быстрый рост производительности оптикоэлектронных систем съемки Земли в то время рост пропускной способности радиолиний передачи данных характеризуется более медленным...
10457. Алгоритмы сжатия на основе вейвлет-преобразования. Алгоритм SPIHT 63 KB
  Алгоритмы сжатия на основе вейвлетпреобразования. Алгоритм SPIHT. Изображение полученное при помощи вейвлетпреобразования можно сжимать различными способами. Большинство из них можно отнести к одной из двух категорий. К первой категории относятся способы сводящиеся