42421

Равносильность формул. Закон двойственности. Логические функции

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Каждая формула представляет собой функцию входящих в нее букв А В Определение1: Формулы F1 и F2 называются равносильными если при любых значениях входящих в них переменных x1x2xn эти формулы принимают одинаковые значения. Между понятиями равносильности и эквивалентности существует связь: если формулы F1 и F2 равносильны то формула F1F2 эквивалентность принимает одни и те же значения при всех значениях переменных и обратно: если формула F1F2 принимает одни и те же значения при всех значениях переменных то формулы F1 и F2...

Русский

2013-10-29

120.5 KB

23 чел.

Практическое занятие №8

Тема: Равносильность формул. Закон двойственности.

Логические функции.

Занятие рассчитано на 2 академических часа.

Цель работы: овладение практическими навыками  равносильных преобразований булевых функций с помощью закона двойственности.

Теоретическая часть

Равносильность формул

Посредством приведенных операций над высказываниями могут быть образованы другие, сколь угодно сложные высказывания. Каждая формула представляет собой функцию входящих в нее букв А, В, …

Определение1: Формулы F1 и F2 называются равносильными, если при любых значениях входящих в них переменных x1,x2,…,xn эти формулы принимают одинаковые значения.

Примеры равносильных формул:

равносильно х

ху равносильно ух

у)z равносильно х z)

х+у равносильно у+х

(х+у)+ z равносильно х+(у+z)

х+х равно х

хх равно х

х+(ху) равносильно х

равносильно

равносильно .

Между понятиями равносильности и эквивалентности существует связь: если формулы F1 и F2 равносильны, то формула (F1F2) (эквивалентность) принимает одни и те же значения при всех значениях переменных и обратно: если формула (F1F2) принимает одни и те же значения при всех значениях переменных, то формулы F1 и F2 равносильны.

Логические операции ,,, и не являются независимыми друг от друга. Одни из них можно выражать через другие так, что при этом получаются равносильные формулы. Например, знак ~ может быть выражен через знаки и &  на основании соотношения x~y равносильно  (xy)&(yx), которое легко доказывается на основании определения действий ~, и &.

Итак, все операции посредством равносильных выражений можно заменить двумя: и  . Аналогичным образом, можно все операции заменить на &  и . Исходя из этого, операция двойственна и наоборот.

Закон двойственности

Определение 2: Формулы F и U называются двойственными, если одна получается из другой заменой каждой операции на двойственную.

Примеры.

  1.   двойственно .
  2.  двойственно .
  3.   двойственно .
  4.   двойственно .

Как для операций, так и для формул отношение двойственности взаимно.

Закон двойственности: Если формулы F и U равносильны, то и двойственные им формулы F* и  U* также равносильны.

Если, применяя к формуле F дистрибутивные преобразования на основании первого дистрибутивного закона, мы получим формулу U, то переход от двойственной формулы F* к  U* осуществляется на основании второго дистрибутивного закона.

Принцип двойственности применяют для нахождения новых равносильностей, что  позволяет почти в два раза сократить усилия на вывод тождеств, при рассмотрении свойств элементарных функций.

Логические функции.

Как известно, законы логики являются тождественно-истинными формулами (тавтологиями).

Логические функции могут зависеть от одной или более переменных в теоретико-множественном смысле, логическая функция от n переменных y=f(x1,x2,…,xn), представляет собой отображение множества наборов вида (x1,x2,…,xn), являющихся областью его определения, на множество её значений N=(a1,a2,…,ak).

Определение 3: Однородной называется функция, если её аргументы принимают свои значения из того же набора, что и сама функция.

Булевы функции одной переменной:

x

y1=f1(x)

y2=f2(x)

y3=f3(x)

y4=f4(x)

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

Функции y1=0, y2=1 –функции константы, так как не меняют своего значения при любых значениях аргумента; y4=x – равна своему аргументу, y3=x – инверсия или отрицание, т.к. принимает значение противоположное аргументу.

Число всех функций, зависящих от n переменных х1, х2,…, хn равно.

Булевы функции двух переменных:

x1

0

0

1

1

обозначение

название

чтение

x2

0

1

0

1

y0

0

0

0

0

0

константа 0

любое 0

y1

0

0

0

1

,

конъюнкция

x1 и x2

y2

0

0

1

0

\

отрицание импликации

x1, но не x2

y3

0

0

1

1



повторение первого аргумента

как x1

y4

0

1

0

0

\

отрицание обратной импликации

не x1, но x2

y5

0

1

0

1



повторение второго аргумента

как x2

y6

0

1

1

0



сумма по модулю 2

x1не как x2

y7

0

1

1

1



дизъюнкция

x1 или x2

y8

1

0

0

0



стрелка Пирса

ни x1 ни x2

y9

1

0

0

1



эквиваленция

x1 как x2

y10

1

0

1

0



отрицание второго аргумента

не x2

y11

1

0

1

1



обратная импликация

если x2, то x1

y12

1

1

0

0



отрицание первого аргумента

не x1

y13

1

1

0

1



импликация

если x1, то x2

y14

1

1

1

0



штрих Шеффера

не x1, или не x2

y15

1

1

1

1

1

константа 1

любое 1

               

Методические указания

Для лучшего запоминания теоретического материала, изучите приведенные примеры.

Пример1: Применение принципа двойственности для нахождения равносильностей.

Используя дистрибутивность & относительно получаем равносильность:

Xi&(XjXk)(Xi&Xj)(Xi&Xj)  Xi(Xi&Xk)(XiXj)&(XiXk).

Пример 2: Доказать, что функция  G является тавтологией

G(x1,x2,x3)=()((

Решение: 

Пример 3: Является ли заданная функция сомодвойственной:

f(x1,x2,x3)=x1+x2+x3

Решение:  f*(x1,x2,x3)=fx1,x2,x3x1x2x3x1+x2+x3,

Следовательно f(x1,x2,x3)-сомодвойственна.

Контрольные вопросы

1. Какие формулы называются равносильными? Приведите примеры.

2. Какие формулы называются двойственными?

3. Сформулируйте закон двойственности. С какой целью его применяют?

4. Какая функция называется однородной?

  1.  Постройте таблицы истинности булевых функций для двух переменных.
  2.  Сколько всех функций, зависящих от n переменных?

Индивидуальные задания

1. Придумайте сложное высказывание, содержащее различные союзы, и постройте его отрицание но так, чтобы знаки отрицания относились бы только к простым высказываниям.

2. Используя придуманное вами высказывание и полученную формулу, составьте двойственную ей формулу.

3. Применив эквивалентные преобразования, упростите приведённые формулы так, чтобы в результате получить только один атом:

  1.  ; 2)  3)  4)

5)  6)  

7)С

4. Упростите приведённые формулы, насколько это возможно:

1) С  11) С

2) С|  12) С

3) С  13) С

4) С|  14) С

5) С 15) 

6) С|С  16) С

7) СС  17) СС

8) С  18) С|

9)   19) С|

10) С  20) С.

21) СС       

22) С   

23) С 

24) СВА

25) С   

26) СС

27) СС  

28) СС   

29) С

30) С.

5.  Для каждой из приведенных формул составьте двойственную ей формулу:

1) (AC; 2) C; 3) (A(CD))(AC);

4) ((CC))1.

6. Примените принцип двойственности к каждой из приведенных эквивалентностей:

1) AA; 2) A(BC)(AC; 3) A(A; 4) (A.

7.  Какая формула, содержащая только операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания (отнесены только к атомам), будет истинной тогда и только тогда, когда лишь одна  из трех переменных А, В и С  принимает значение «истина»?

Какое значение истинности примет при этом условии двойственная формула?

8. Какая формула, содержащая только операции конъюнкции , дизъюнкции и отрицания (отнесены только к атомам), будет истинной тогда и только тогда, когда лишь две  из трех переменных А, В и С  истинны?

Будет ли истинной при этом двойственная формула?

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36787. Определение скорости звука, модуля Юнга и внутреннего трения резонансным методом 187.5 KB
  Деформацией твердого тела называется изменение формы или объема тела под действием внешних сил. Деформации, которые полностью исчезают после прекращения внешних воздействий, называются упругими. Деформации, которые не исчезают после прекращения действия внешних сил, называются пластическими. Деформации реальных тел после прекращения действия внешних сил никогда полностью не исчезают. Однако если остаточные деформации малы, то ими можно пренебречь и рассматривать деформации как упругие.
36788. Тоновая и цветовая коррекция 12.22 MB
  В реальном изображении могут встретиться случайные светлые и темные пятна, царапины. Для правильной настройки следует отсечь уровни с низким процентом пикселей, чтобы ориентироваться по тонам документа, а не по случайным пятнам.
36789. ЧАСТНЫЕ РЕАКЦИИ КАТИОНОВ I АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГРУППЫ 61 KB
  Тема: ЧАСТНЫЕ РЕАКЦИИ КАТИОНОВ I АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГРУППЫ. Перечень заданий: Частные реакции катиона N. Частные реакции катиона К. Частные реакции катиона NH4.
36790. Определение концентрации и подвижности основных носителей заряда в полупроводниках 174.5 KB
  Эффект Холла обусловлен взаимодействием носителей заряда электронов проводимости и дырок с магнитным полем. В магнитном поле на электрон действует магнитная сила F= e[B v] на положительные заряды F= q[B v] v = j ne – средняя скорость направленного движения носителей в электрическом поле; nконцентрация носителей; e qзаряды под действием которой частицы отклоняются в направлении перпендикулярном j и B. При одном и том же направлении тока на передней грани накапливаются разные по знаку заряды в зависимости от типа...
36791. Изучение распределения термоэлектронов по скоростям. Распределение Максвелла 211 KB
  Краткое теоретическое введение Известно что свободные электроны внутри металла описываются квантовой статистикой ФермиДирака согласно которой распределение электронов по скоростям имеет вид 1 где число свободных электронов в единице объема металла с компонентами скоростей в интервалах от до от до от до ; масса электрона; постоянная Планка; энергия электрона; постоянная Больцмана; температура; энергия Ферми такое значение энергии электрона ниже которой все состояния...
36793. Определение горизонтальной составляющей напряженности магнитного поля Земли 46.5 KB
  Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования “Томский политехнический университет†Факультет Естественных наук и математики Кафедра Общая физика Направление Физика Лабораторная работа № 216 Определение горизонтальной составляющей напряженности магнитного поля Земли. Лабораторная работа № 216 Определение горизонтальной составляющей напряженности магнитного поля...
36794. Измерение напряженности магнитного поля соленоида 182 KB
  Магнитные поля созданные каждым витком в отдельности складываются. Напряженность магнитного поля соленоида в средней его части при прохождении по нему электрического тока определяется формулой: 1 Величина пропорциональна силе тока и зависит от числа витков приходящихся на единицу длины соленоида. Напряженность магнитного поля можно определить по воздействию этого поля на данный магнит.
36795. Измерение напряженности магнитного поля длинного соленоида с помощью датчика Холла 270 KB
  Цель работы: ознакомиться с одним из широко используемых на практике методов измерений и исследования магнитных полей с помощью датчика Холла; исследовать магнитное поле внутри длинного соленоида. Приборы и принадлежности: соленоид датчик Холла блок питания для соленоида источник питания для датчика Холла милливольтметр для измерения электродвижущей силы Холла. Эффект Холла.