42422

Нормальные формы формул. Проблема разрешения

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Теорема 1 о приведении к ДНФ: Для любой формулы А можно найти такую формулу В находящуюся в ДНФ что АВ. Формула В называется ДНФ формулы А. Конечно например все ДНФ данной формулы равносильны. Выделим среди ДНФ так называемую совершенную дизъюнктивную нормальную форму формулы.

Русский

2013-10-29

89 KB

11 чел.

Практическое занятие №9

 

Тема: Нормальные формы формул. Проблема разрешения.

Цель работы: овладение  умением приведения булевых функций к ДНФ (СДНФ), КНФ(СКНФ).

Теоретическая часть

В силу ассоциативности операций и как бы мы не расставляли скобки в выражениях  A1&A2&…&Ak,   всегда будем приходить к равносильным формулам. Каждое из этих выражений будем считать формулой, и называть соответственно многочленной конъюнкцией и дизъюнкцией формул .

Канонические виды формул

Определение 1: Формулу называют элементарной конъюнкцией, если она является конъюнкцией переменных и отрицаний переменных.

Пример 1:    .

Определение 2:  Формула находится в дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ), если она является дизъюнкцией элементарных конъюнкций.

Пример 2: .

Теорема 1 ( о приведении к ДНФ): Для любой формулы А можно найти такую формулу В, находящуюся в ДНФ, что АВ. Формула В называется ДНФ формулы А.

Аналогично читается теорема для КНФ (конъюнктивной нормальной формы).

Необходимо отметить, что ДНФ и КНФ может быть сколько угодно. Конечно, например все ДНФ данной формулы равносильны. Выделим среди ДНФ  так называемую совершенную дизъюнктивную нормальную форму формулы.

Теорема 2:  Пусть формула А зависит от списка переменных . Говорят, что А находится в совершенной дизъюнктивной нормальной форме (СДНФ) относительно этого списка, если выполняются следующие условия:

  1.  А находится в ДНФ;
  2.  каждый дизъюнктивный член А является – членной конъюнкцией, причём на L – месте

(1L) этой конъюнкции обязательно стоит либо переменная X, либо её отрицание .

  1.  все дизъюнктивные члены А попарно различны.

Теорема 3 (о единственности СДНФ): Если В1 и В2 – совершенные дизъюнктивные нормальные формы формулы А относительно списка переменных , то В1 и В2 могут отличаться только порядком своих дизъюнктивных членов.

Аналогично определяется СКНФ.

СДНФ и СКНФ можно использовать для распознавания равносильности двух формул.

Критерий равносильности: две формулы А1 и А2 зависящие от списка переменных  и не равные тождественно Л (И), равносильны в том и только в том случае, если они приводятся к СДНФ (СКНФ), отличающимся лишь порядком своих дизъюнктивных (конъюнктивных) членов.

Проблемой разрешимости для логики высказываний называют следующую проблему: существует ли такая процедура, которая позволяла бы для произвольной формулы в конечное число шагов определить, является ли она тавтологией?

Решающим методом, во-первых, может служить составление таблицы истинности, которое позволяет всегда, для любой данной формулы, ответить является ли она тавтологией или нет. Он дает принципиальное решение проблемы, но при большом числе переменных таблица истинности становится очень громоздкой.

Второй способ решения основан на приведении формул к нормальной форме применением эквивалентных преобразований. Эта разрешающая процедура позволяет уже по структуре нормальной формы узнать является ли эквивалентная ей исходная формула тавтологией или нет. Приведение данной формулы к ее КНФ и может служить такой разрешающей процедурой.

Действительно, если каждый член КНФ - элементарная дизъюнкция - будет содержать хотя бы одну переменную вместе с ее отрицанием, то эта дизъюнкция получит значение 1, а значит, и вся конъюнкция будет иметь значение 1 при всех наборах значений переменных, т.е. тождественно истинной.

Если же хотя бы один член КНФ не содержит ни одной переменной вместе с ее отрицанием, то конъюнкция не является тождественно истинной, ибо найдется такой набор значений переменных, при котором этот член (элементарная дизъюнкция), а значит и вся конъюнкция имеет значение 0.

Это будет означать, что исходная формула является либо нейтральной, либо противоречием (всегда ложной).

Если из КНФ некоторой формулы можно узнать, является ли она всегда истинной (тавтологией), то ее ДНФ позволяет решить, является ли эта формула всегда ложной (противоречием).

Контрольные вопросы

  1.  Что называется дизъюнктивной нормальной формой булевой функции?
  2.  Дайте определение СДНФ и СКНФ переключательной функции.
  3.  В чем состоит проблема разрешимости для логики высказываний?
  4.  Какие есть разрешающие методы?

Индивидуальные задания

1. Найдите СДНФ  следующих формул, применяя соответствующие эквивалентные преобразования.

  1.  ~D 11) DС      21) СDС
  2.  DС  12) D~   22) DС
  3.  С~D  13) DС        23) СD
  4.  DС~   14)  С~D         24) DСС;
  5.  ~DС    15) DС   25) D~С
  6.  С~D  16) DСС26) DС;
  7.  ~D    17) С~С   27)  С~D;

8  D~С   18) ~DСС    28) DС

     9)  СD   19) СD    29) СD

    10) D~С    20) ~DСD; 30) DС.

2. Формула с тремя переменными имеет таблицу истинности. Какова наиболее простая эквивалентная ей формула?

А

В

С

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

0

0

0

1

1

0

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

0

1

0

1

0

0

0

1

0

0

1

0

1

1

0

0

0

1

1

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

1

1

1

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

1

0

1

1

0

0

1

1

1

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

0

0

1

0

1

0

0

1

0

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

1

0

1

0

0

0

1

1

1

0

0

1

0

0

1

1

0

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

0

 

3.  Выпишите СКНФ всякой тождественно ложной формулы, содержащей одну переменную, две переменные, три переменные. Сколько элементарных дизъюнкций содержит СКНФ тождественно ложной формулы, состоящей из n переменных?

4.  Если СДНФ некоторой формулы из четырёх переменных содержит пять членов, то сколько членов содержит СКНФ этой же формулы?

5.  СКНФ некоторой формулы из трёх переменных содержит 6 членов. Какая из двух совершенных нормальных форм этой формулы проще -СДНФ или СКНФ?

6. Определите, какие из данных формул являются тавтологиями, приведя их к КНФ:

  1.  С
  2.  САС
  3.  С

Результаты задачи проверьте при помощи таблиц истинности.

7. Установите, какие из данных формул являются противоречием, приведя каждую из них к ДНФ:

1) (AB)~(A;   2) ((A((A));

3) (AC)C).

Результаты решения проверьте при помощи таблиц истинности.

8. Для каждой из следующих формул определите, является ли она тавтологией или противоречием, или нейтральной приведением формулы к ДНФ и КНФ:

1) (A;

2) ((;

3) CC;

4) ;

5) (( ACC;

6) CCCC.

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33391. СУ класса PCNC MSH-PС104. Назначение, состав, структура 31.5 KB
  Конструктивно состоит из двух блоков: управления и пультового. Пульт управления имеет цветной плоскопанельный с активной TFT матрицей дисплей 121 мембранную клавиатуру и Flsh память емкостью 32 64 128 Mb. УЧПУ обеспечивает следующие технологические функции: токарная фрезерная версия ПО â€œMSHKCNCâ€; G M T коды параметрическое программирование подпрограммы циклы; графический интерактивный режим разработки УП; графический модуль отображения траектории движения инструмента; измерительные циклы; компенсация люфтов...
33392. СУ класса PCNC MSH-TURBO-M. Назначение, состав, структура 34 KB
  Основные принципы менеджмента включают в себя: принцип научности важно понимать причины несовпадения целей и результатов видеть противоречия между теорией и практикой знать свойства больших систем и методы работы в них; принцип системности и комплексности важно видеть наиболее значимый комплекс взаимосвязанных и взаимообусловленных подсистем входящих в организацию например как в Японии: подсистема пожизненного найма подсистема подготовки на рабочем месте подсистема ротации кадров подсистема репутаций подсистема...
33393. СУ класса PCNC NC-110. Назначение, состав, структура 32 KB
  УЧПУ является многофункциональной СУ и способна управлять станками всех основных типов: токарными фрезерными расточными копировальными шлифовальными а также кузнечнопрессовым оборудованием системами термической лазерной и гидравлической резки деревообрабатывающим оборудованием. УЧПУ NC110 выполнено на базе промышленного компьютера имеющего набор периферийных модулей для управления оборудованием. Для подготовки УЧПУ к управлению оборудованием необходимо выполнить установку параметров и характеристик аппаратных и программных модулей...
33394. СУ класса PCNC «Микрос-12Т». Назначение, состав, структура 31 KB
  УЧПУ Микрос12Т предназначено для модернизации и комплектации токарных станков. УЧПУ построено по архитектуре промышленного компьютера с использованием собственной операционной системы жесткого реального времени. Конструктивно УЧПУ состоит из двух блоков: управления рис. Блочная конструкция УЧПУ позволяет расположить компактный пульт управления близко к зоне обработки детали.
33395. АЛУ ОМК КР1816ВЕ51 30.5 KB
  АЛУ состоит из регистра аккумулятора двух программнонедоступных регистров Т1 и Т2 предназначенных для временного хранения операндов сумматора дополнительного регистра В регистра слова состояния программы ССП схемы десятичной коррекции и схемы формирования признаков. Важной особенностью АЛУ является его способность оперировать не только байтами но и битами. Таким образом АЛУ может оперировать четырьмя типами информационных объектов: булевскими 1 бит цифровыми 4 бита байтными 8 бит и адресными 16 бит.
33396. Признаки регистра ССП КР1816ВЕ51 38.5 KB
  В таблице приводится перечень флагов ССП даются их символические имена и описываются условия их формирования. Формат регистра слова состояния программы ССП Символ Позиция Наименование и назначение флага C PSW.7 Флаг переноса.6 Флаг вспомогательного переноса.
33397. Граф возможных вариантов пересылки … КР1816ВЕ51 31 KB
  Возможны следующие виды пересылки: пересылка в аккумулятор из регистра и пересылка в регистр из аккумулятор; пересылка в аккумулятор прямоадресуемого байта и пересылка по прямому адресу аккумулятора; пересылка в аккумулятор байта из РДП и пересылка в РДП из аккумулятора; пересылка в регистр прямоадресуемого байта и пересылка по прямому адресу регистра; пересылка прямоадресуемого байта по прямому адресу; пересылка в аккумулятор байта из ВПД и пересылка в ВПД из аккумулятора; пересылка в аккумулятор байта из расширенной ВПД и пересылка в...
33398. Структура РПП и ВПП КР1816ВЕ51 28.5 KB
  Организация памяти в микроконтроллере иллюстрируется рисунке Память программ имеет 16битовую адресную шину ее элементы адресуются с использованием счетчика команд PC или инструкций которые вырабатывают 16разрядные адреса. Память программ доступна только по чтению. ОМЭВМ не имеют команд и управляющих сигналов предназначенных для записи в память программ.
33399. Структура РПД и ВПД КР1816ВЕ51 27.5 KB
  Организация памяти в микроконтроллере иллюстрируется рисунке Память данных делится на внешнюю и внутреннюю каждая из них имеет свое пространство адресов. В архитектуре MК51 пространство адресов внутренней памяти данных объединяет все внутренние программно доступные ресурсы. Это пространство размером 256 байт в свою очередь делится на пространство адресов внутреннего ОЗУ резидентная память данных РПД размером 128 байт и пространство адресов регистров специальных функций.