42422

Нормальные формы формул. Проблема разрешения

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Теорема 1 о приведении к ДНФ: Для любой формулы А можно найти такую формулу В находящуюся в ДНФ что АВ. Формула В называется ДНФ формулы А. Конечно например все ДНФ данной формулы равносильны. Выделим среди ДНФ так называемую совершенную дизъюнктивную нормальную форму формулы.

Русский

2013-10-29

89 KB

11 чел.

Практическое занятие №9

 

Тема: Нормальные формы формул. Проблема разрешения.

Цель работы: овладение  умением приведения булевых функций к ДНФ (СДНФ), КНФ(СКНФ).

Теоретическая часть

В силу ассоциативности операций и как бы мы не расставляли скобки в выражениях  A1&A2&…&Ak,   всегда будем приходить к равносильным формулам. Каждое из этих выражений будем считать формулой, и называть соответственно многочленной конъюнкцией и дизъюнкцией формул .

Канонические виды формул

Определение 1: Формулу называют элементарной конъюнкцией, если она является конъюнкцией переменных и отрицаний переменных.

Пример 1:    .

Определение 2:  Формула находится в дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ), если она является дизъюнкцией элементарных конъюнкций.

Пример 2: .

Теорема 1 ( о приведении к ДНФ): Для любой формулы А можно найти такую формулу В, находящуюся в ДНФ, что АВ. Формула В называется ДНФ формулы А.

Аналогично читается теорема для КНФ (конъюнктивной нормальной формы).

Необходимо отметить, что ДНФ и КНФ может быть сколько угодно. Конечно, например все ДНФ данной формулы равносильны. Выделим среди ДНФ  так называемую совершенную дизъюнктивную нормальную форму формулы.

Теорема 2:  Пусть формула А зависит от списка переменных . Говорят, что А находится в совершенной дизъюнктивной нормальной форме (СДНФ) относительно этого списка, если выполняются следующие условия:

  1.  А находится в ДНФ;
  2.  каждый дизъюнктивный член А является – членной конъюнкцией, причём на L – месте

(1L) этой конъюнкции обязательно стоит либо переменная X, либо её отрицание .

  1.  все дизъюнктивные члены А попарно различны.

Теорема 3 (о единственности СДНФ): Если В1 и В2 – совершенные дизъюнктивные нормальные формы формулы А относительно списка переменных , то В1 и В2 могут отличаться только порядком своих дизъюнктивных членов.

Аналогично определяется СКНФ.

СДНФ и СКНФ можно использовать для распознавания равносильности двух формул.

Критерий равносильности: две формулы А1 и А2 зависящие от списка переменных  и не равные тождественно Л (И), равносильны в том и только в том случае, если они приводятся к СДНФ (СКНФ), отличающимся лишь порядком своих дизъюнктивных (конъюнктивных) членов.

Проблемой разрешимости для логики высказываний называют следующую проблему: существует ли такая процедура, которая позволяла бы для произвольной формулы в конечное число шагов определить, является ли она тавтологией?

Решающим методом, во-первых, может служить составление таблицы истинности, которое позволяет всегда, для любой данной формулы, ответить является ли она тавтологией или нет. Он дает принципиальное решение проблемы, но при большом числе переменных таблица истинности становится очень громоздкой.

Второй способ решения основан на приведении формул к нормальной форме применением эквивалентных преобразований. Эта разрешающая процедура позволяет уже по структуре нормальной формы узнать является ли эквивалентная ей исходная формула тавтологией или нет. Приведение данной формулы к ее КНФ и может служить такой разрешающей процедурой.

Действительно, если каждый член КНФ - элементарная дизъюнкция - будет содержать хотя бы одну переменную вместе с ее отрицанием, то эта дизъюнкция получит значение 1, а значит, и вся конъюнкция будет иметь значение 1 при всех наборах значений переменных, т.е. тождественно истинной.

Если же хотя бы один член КНФ не содержит ни одной переменной вместе с ее отрицанием, то конъюнкция не является тождественно истинной, ибо найдется такой набор значений переменных, при котором этот член (элементарная дизъюнкция), а значит и вся конъюнкция имеет значение 0.

Это будет означать, что исходная формула является либо нейтральной, либо противоречием (всегда ложной).

Если из КНФ некоторой формулы можно узнать, является ли она всегда истинной (тавтологией), то ее ДНФ позволяет решить, является ли эта формула всегда ложной (противоречием).

Контрольные вопросы

  1.  Что называется дизъюнктивной нормальной формой булевой функции?
  2.  Дайте определение СДНФ и СКНФ переключательной функции.
  3.  В чем состоит проблема разрешимости для логики высказываний?
  4.  Какие есть разрешающие методы?

Индивидуальные задания

1. Найдите СДНФ  следующих формул, применяя соответствующие эквивалентные преобразования.

  1.  ~D 11) DС      21) СDС
  2.  DС  12) D~   22) DС
  3.  С~D  13) DС        23) СD
  4.  DС~   14)  С~D         24) DСС;
  5.  ~DС    15) DС   25) D~С
  6.  С~D  16) DСС26) DС;
  7.  ~D    17) С~С   27)  С~D;

8  D~С   18) ~DСС    28) DС

     9)  СD   19) СD    29) СD

    10) D~С    20) ~DСD; 30) DС.

2. Формула с тремя переменными имеет таблицу истинности. Какова наиболее простая эквивалентная ей формула?

А

В

С

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

0

0

0

1

1

0

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

0

1

0

1

0

0

0

1

0

0

1

0

1

1

0

0

0

1

1

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

1

1

1

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

1

0

1

1

0

0

1

1

1

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

0

0

1

0

1

0

0

1

0

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

1

0

1

0

0

0

1

1

1

0

0

1

0

0

1

1

0

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

0

 

3.  Выпишите СКНФ всякой тождественно ложной формулы, содержащей одну переменную, две переменные, три переменные. Сколько элементарных дизъюнкций содержит СКНФ тождественно ложной формулы, состоящей из n переменных?

4.  Если СДНФ некоторой формулы из четырёх переменных содержит пять членов, то сколько членов содержит СКНФ этой же формулы?

5.  СКНФ некоторой формулы из трёх переменных содержит 6 членов. Какая из двух совершенных нормальных форм этой формулы проще -СДНФ или СКНФ?

6. Определите, какие из данных формул являются тавтологиями, приведя их к КНФ:

  1.  С
  2.  САС
  3.  С

Результаты задачи проверьте при помощи таблиц истинности.

7. Установите, какие из данных формул являются противоречием, приведя каждую из них к ДНФ:

1) (AB)~(A;   2) ((A((A));

3) (AC)C).

Результаты решения проверьте при помощи таблиц истинности.

8. Для каждой из следующих формул определите, является ли она тавтологией или противоречием, или нейтральной приведением формулы к ДНФ и КНФ:

1) (A;

2) ((;

3) CC;

4) ;

5) (( ACC;

6) CCCC.

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

13498. Стеганографические методы передачи информации в сетях TCP/IP 1.27 MB
  Методические указания на проведение лабораторных работ Стеганографические методы передачи информации в сетях TCP/IP по дисциплине специальности. Введение Традиционно для защиты данных передаваемых по открытым сетям используются методы криптографии позв...
13499. Александр Александрович Блок 36.5 KB
  Александр Александрович Блок Родился в Петербурге в дворянской семье. Отец А. Л. Блок был юристом профессором Варшавского университета; мать А. А. Бекетова по второму браку КублицкаяПиоттух дочь ученогоботаника А. Н. Бекетова ректора Петербургского...
13500. Грибоедов Александр Сергеевич 40.5 KB
  Грибоедов Александр Сергеевич 1795-1829 Русский писатель поэт драматург дипломат. Александр Грибоедов родился 15 января по старому стилю 4 января 1795 в некоторых источниках указан 1790 в Москве в старинной дворянской семье. Дворянский род Грибоедовых шляхетск
13501. Гаврила Романович Державин 30 KB
  Гаврила Романович Державин 1743-1816 Державин Г.Р. российский поэт. Государственный деятель бывший статссекретарь при императрице Екатерине Второй сенатор и коммерцколлегии президент при императоре Павле член Верховного совета и государственный казначей а п
13502. Сергей Александрович Есенин 31 KB
  Сергей Александрович Есенин Сергей Александрович Есенин родился в селе Константинове Рязанской губернии в крестьянской семье. С малолетства воспитывался у деда по матери человека предприимчивого и зажиточного знатока церковных книг. Окончил четырехклассное сель...
13503. Фет Афанасий Афанасьевич 35 KB
  Фет Афанасий Афанасьевич 1820 1892 Русский поэт настоящая фамилия Шеншин членкорреспондент Петербургской Академии Наук 1886. Насыщенная конкретными приметами лирика природы мимолетные настроения человеческой души музыкальность: Вечерние огни сборники 1 4 ...
13504. ЛЕРМОНТОВ Михаил Юрьевич 29 KB
  ЛЕРМОНТОВ Михаил Юрьевич 1814-1841 Брак родителей Лермонтова богатой наследницы М. М. Арсеньевой 1795-1817 и армейского капитана Ю. П. Лермонтова 1773-1831 был неудачным. Ранняя смерть матери и ссора отца с бабушкой Е. А. Арсеньевой тяжело сказались на формировани...
13505. Владимир Владимирович Маяковский 33.5 KB
  Владимир Владимирович Маяковский 1893-1930 Выдающийся советский поэт Владимир Владимирович Маяковский родился в селе Багдады недалеко от Кутаиси в Грузии.В 1910 году студент Строгановского училища живописи ваяния и зодчества В. Маяковский сблизил...
13506. Некрасов. Н.А. 41.5 KB
  Некрасов. Н.А. 1821 1877 Родился 28 ноября 10 октября н.с. в местечке Немирове Подольской губернии в семье мелкопоместного дворянина. Детские годы прошли в селе Грешневе в родовом имении отца человека деспотического характера угнетавшего не только крепостных но и св...