42426

Нечёткие множества

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Стандартное четкое множество строится на основе математической конструкции отсеивающей из универсального множества некоторую часть его элементов. То есть фактически любое множество определяется этим самым свойством или набором свойств S и объединяет некоторое количество не обязательно конечное счетное элементов обладающих свойством S. А теперь давайте попробуем из всей бесконечности всего в нашей Вселенной в которой очевидно есть место и для таких объектов как вода и стаканы сформировать множество на основе вполне понятного...

Русский

2013-10-29

218 KB

43 чел.

Практическое занятие №16

Тема: Нечёткие множества

Цель работы: изучить основные операции над нечёткими множествами, научиться применять их для решения практических задач.

Теоретическая часть

Наверное, самым впечатляющим у человеческого интеллекта является способность принимать правильные решения в условиях неполной и нечеткой информации. Построение моделей приближенных размышлений человека и использование их в компьютерных системах представляет сегодня одну из важнейших проблем науки.

Стандартное "четкое" множество строится на основе математической конструкции, "отсеивающей" из "универсального множества" некоторую часть его элементов. За "отсев" отвечает так называемая характеристическая функция, значение которой для каждого элемента универсального множества может принимать строго одно из двух возможных значений: 1 или 0. Формального описания "характеристической функции вообще" в математических терминах не существует, о ней принято говорить естественным языком примерно так: если элемент универсального множества обладает свойством S, то характеристическая функция для этого элемента равна 1, в противном случае ее значение 0. То есть фактически любое множество определяется этим самым свойством (или набором свойств) S и объединяет некоторое количество (не обязательно конечное, счетное) элементов, обладающих свойством S. Четкость классических множеств заключается в строгой определенности значений характеристической функции элемент или строго определенно принадлежит множеству (характеристическая функция равна 1) или строго определенно не принадлежит ему (характеристическая функция 0). И такая определенность очень долго устраивала специалистов по теоретической и прикладной математике.
А теперь давайте попробуем из всей бесконечности "всего" в нашей Вселенной, в которой, очевидно, есть место и для таких объектов, как "вода" и "стаканы", сформировать множество на основе вполне понятного человеку свойства S, определенного словами "стакан воды". Стакан, до краев наполненный водой, очевидно, удовлетворяет этому свойству
и характеристическая функция для такого элемента множества будет равна единице. А какое значение должна принимать характеристическая функция, если стакан наполнен водой на две трети? А если наполовину? А если стакан наполнен водой всего на треть он еще "стакан воды" или уже не совсем?

Этот "парадокс стакана воды" на самом деле не иллюстрирует ничего другого, кроме специфики формирования характеристической функции. Люди понимают (или умеют понимать) неформально определенные свойства вроде "стакана воды", "среднего возраста", "небольшого роста". Машинные (традиционные вычислительные) алгоритмы же, напротив, оперируют строгими значениями: "123 миллилитра", "34 года", "163 сантиметра". Именно эти отличия в свое время провоцировали модные рассуждения об ЭВМ пятого поколения на основе нечеткой логики, которым, дескать, суждено стать вычислительной основой искусственного интеллекта.

Основные определения

Нечёткое множество — понятие, расширяющее классическое понятие множества, допускающее, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале [0,1], а не только значения 0 или 1.

Определение: Под нечётким множеством  понимается совокупность , где — универсальное множество, а — функция принадлежности (характеристическая функция), характеризующая степень принадлежности элемента  нечёткому множеству .

Функция  принимает значения в некотором вполне упорядоченном множестве . Множество  называют множеством принадлежностей, часто в качестве  выбирается отрезок . Если , то нечёткое множество может рассматриваться как обычное, чёткое множество.

Пример: Рассмотрим как с помощью нечеткого множества определить выражение "он еще молодой".  Для наглядности приведем характеристическую функцию множества молодых людей.

Пусть E = {x1, x2, x3, x4, x5 }, M = [0,1]; A - нечеткое множество, для которого mA(x1)=0,3; mA(x2)=0; mA(x3)=1; mA(x4)=0,5; mA(x5)=0,9. Тогда A можно представить в виде:

A = {0,3/x1; 0/x2; 1/x3; 0,5/x4; 0,9/x5 } или A = 0,3/x1 + 0/x2 + 1/x3 + 0,5/x4 + 0,9/x5, (знак "+" является операцией не сложения, а объединения) или

 

x1

x2

x3

x4

x5

A =

0,3

0

1

0,5

0,9

Основные характеристики нечетких множеств

Пусть  нечёткое множество с элементами из универсального множества и множеством принадлежностей . Тогда Носителем (суппортом) нечёткого множества   называется множество .

1. Величина   называется высотой нечёткого множества .

2. Нечёткое множество  нормально, если его высота равна .

3. Если высота строго меньше , нечёткое множество называется субнормальным.

4. Нечёткое множество пусто, если .

5. Непустое субнормальное нечёткое множество можно нормализовать по формуле:  .

6. Нечёткое множество унимодально, если   только на одном   из .

7. Элементы , для которых , называются точками перехода нечёткого множества .

Операции над нечеткими множествами

Пусть A и B - нечеткие множества на универсальном множестве E. Говорят, что A содержится в B, если "x ÎE mA(x) <mB(x). Обозначение: A Ì B.

Иногда используют термин "доминирование", то есть в случае если A Ì B, говорят, что B доминирует A.

Равенство: A и B равны, если "xÎE mA(x) = mB (x). Обозначение: A = B.

Дополнение: Отрицанием множества  при   называется множество с функцией принадлежности:    для каждого .

Пересечение: Пересечением нечётких множеств A и B называется наибольшее нечёткое подмножество, содержащееся одновременно в A и B:

Объединение: Объединением нечётких множеств A и B называется наименьшее нечёткое подмножество, содержащее одновременно A и B:

.

Разность: А - B = АÇ с функцией принадлежности: 

mA-B(x) = mA Ç (x) = min( mA(x), 1 - m B(x)).

Дизъюнктивная сумма: АÅB = (А - B)È(B - А) = (А Ç ) È( Ç B) с функцией принадлежности:

mA-B(x) = max{[min{m A(x), 1 - mB(x)}];[min{1 - mA(x), mB(x)}] }.

Произведение: Произведением нечётких множеств A и B называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:

Сумма: Суммой нечётких множеств A и B называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:

Примеры

Пусть:

A = 0,4/ x1 + 0,2/ x2+0/ x3+1/ x4;

B = 0,7/ x1+0,9/ x2+0,1/ x3+1/ x4;

C = 0,1/ x1+1/ x2+0,2/ x3+0,9/ x4.

Здесь:

1. AÌB, то есть A содержится в B или B доминирует A, С несравнимо ни с A, ни с B, то есть пари {A, С} и {A, С} - пары недоминируемых нечетких множеств.

2.  A ¹ B ¹C.

3. = 0,6/ x1 + 0,8/x2 + 1/x3 + 0/x4; = 0,3/x1 + 0,1/x2 + 0,9/x3 + 0/x4.

4. AÇB = 0,4/x1 + 0,2/x2 + 0/x3 + 1/x4.

5. АÈС = 0,7/x1 + 0,9/x2 + 0,1/x3 + 1/x4.

6. А - В = АÇ = 0,3/x1 + 0,1/x2 + 0/x3 + 0/x4;

   В - А = Ç В = 0,6/x1 + 0,8/x2 + 0,1/x3 + 0/x4.

7. А Å В = 0,6/x1 + 0,8/x2 + 0,1/x3 + 0/x4.

Наглядное представление операций над нечеткими множествами

Для нечетких множеств можно применить визуальное представление. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются значение mA(x), на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы E. Если E по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс. Такое представление делает наглядными простые операции над нечеткими множествами.

Пусть A нечеткий интервал между 5 до 8 и B нечеткое число около 4, как показано на рисунке.

Проиллюстрируем нечеткое множество между 5 и 8 И (AND) около 4 (синяя линия).

Нечеткое множество между 5 и 8 ИЛИ (OR) около 4 показано на следующем рисунке (снова синяя линия).

Следующий рисунок иллюстрирует операцию отрицания. Синяя линия - это ОТРИЦАНИЕ нечеткого множества A.

На следующем рисунке заштрихованная часть соответствует нечеткому множеству A и изображает область значений А и всех нечетких множеств, содержащихся в A. Остальные рисунки изображают соответственно , AÇ, AÈ.

Свойства операций È і Ç

Пусть А, В, С - нечеткие множества, тогда выполняются следующие свойства:

  •  - коммутативность;
  •  - ассоциативность;
  •  - идемпотентность;
  •  - дистрибутивность;
  •  AÈÆ = A, где Æ - пустое множество, то есть mÆ(x) = 0 "xÎE;
  •  AÇÆ = Æ;
  •  AÇE = A, где E - универсальное множество;
  •  AÈE = E;
  •  - теоремы де Моргана.

В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем случае:Aǹ Æ, Aȹ E.

Умножение на число

Если a - положительное число, такое, что a m A(x)£1, тогда нечеткое множество A имеет функцию принадлежности: maA(x) = amA(x).

Сравнение нечётких множеств

Пусть A и B нечёткие множества, заданные на универсальном множестве X.

A содержится в B, если для любого элемента из X функция его принадлежности множеству A будет принимать значение меньшее либо равное, чем функция принадлежности множеству B:

В случае, если условие выполняется не для всех , говорят о степени включения нечёткого множества A в B, которое определяется так:   где

Два множества называются равными, если они содержатся друг в друге:

В случае, если значения функций принадлежности   и   почти равны между собой, говорят о степени равенства нечётких множеств A и B, например, в виде

где  

Свойства нечётких множеств

α-разрезом нечёткого множества , обозначаемым как , называется следующее чёткое множество:   

то есть множество, определяемое следующей характеристической функцией (функцией принадлежности):  

Для α-разреза нечёткого множества истинна импликация

Нечёткое множество  является выпуклым тогда и только тогда, когда выполняется условие

для любых и .

Нечёткое множество является вогнутым тогда и только тогда, когда выполняется условие

для любых и .

Контрольные вопросы

  1.  Обоснуйте появление теории нечётких множеств. Что явилось её истоками?
  2.  Что такое нечёткое множество?
  3.  Какие виды функции принадлежности вы знаете?
  4.  Объясните основные операции в алгебре  нечётких множеств.
  5.  Какое нечёткое множество называется нормальным, а какое субнормальным? Можно ли привести субнормальное множество к нормальному множеству и как?
  6.  Дайте определение понятию «уровень α».
  7.  Проанализируйте соотношение основных операций в булевой алгебре и в алгебре нечётких множеств.

Индивидуальные задания

  1.  Пусть в универсальном множестве Х={x1,…, xn} определены два нечётких множества А и В, и для каждого из них определёны уровни α и β.
    1.  Что будет нечётким множеством уровня α и β?
    2.  Постройте, для основных операций над  нечёткими множествами, их графическое представление.

А

x1

x2

x3

x4

x5

В

x1

x2

x3

x4

x5

α

β

1

0,1

0,2

0,6

0

1

0

0,5

0,2

0,1

1

0,6

0,4

2

0,8

0

0,7

0,2

1

0,6

0,4

0

0,3

0,8

0,4

0,3

3

0

0,6

0,4

1

0,1

1

0,8

1

0,6

0,3

0,8

0,7

4

0,9

0,1

0,6

0

0,5

0

0,1

0,4

0,2

1

0,3

0,6

5

0,5

0,1

0

1

0

0,4

0,9

0,3

0,2

0

0,7

0,8

6

0,9

0,3

1

0,3

0,5

1

0

1

0,4

0,7

0,5

0,6

7

0,1

0,5

0,3

0,4

1

0,5

0,2

0,6

0,7

0,3

0,9

0,5

8

0,2

0,5

0,4

0

0,3

0,1

0,7

0,6

1

0,3

0,3

0,4

9

0,3

0,1

0,3

0

1

0,5

1

0,4

0,7

0

0,2

0,9

10

0,2

0,6

0,1

0,3

0

1

0,8

0,9

0,1

0

0,4

0,7

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20627. Химическая эволюция Земли 81.5 KB
  Общая теория химической эволюции и биогенезаТеории возникновения жизниГипотеза ОпаринаХолдейна Контрольные вопросыЛитература Ранее уже говорилось о том что использование ЭВМ позволило строить и рассчитывать образование и развитие солнечной системы и Земли в частности на различных моделях. Химическая эволюция Земли В процессе эволюции Земли складывались определенные пропорции различных элементов. Земля наиболее массивная среди внутренних планет прошла сложнейший путь химической эволюции. Следует подчеркнуть что геологическая история Земли...
20628. Специфика живого 72 KB
  Предмет изучение задачи и методы биологииТри образа биологииАксиомы биологии 2. Предмет изучения задачи и методы биологии Биология – совокупность или система наук о живых системах. Предмет изучения биологии – все проявления жизни а именно: строение и функции живых существ и их природных сообществ; распространение происхождение и развитие новых существ и их сообществ; связи живых существ и их сообществ друг с другом и с неживой природой. Задачи биологии состоят в изучении всех биологических закономерностей и раскрытии сущности жизни.
20629. Термодинамика живых систем. Жизнь как информационный процесс 76.5 KB
  Термодинамика живых систем Состояние живых систем в любой момент времени динамическое состояние характерно тем что элементы системы постоянно разрушаются и строятся заново. Это означает что живые системы обязательно должны быть открытыми системами. Именно на этом неравновесии основана работоспособность живой системы направленная на поддержание высокой упорядоченности своей структуры а. Переход живо системы в такое состояние означает для нее смерть.
20630. Концепция эволюции в биологии 87 KB
  Концепция эволюции в биологии 1. Современная синтетическая теория эволюцииОсновные законы эволюцииОсновные факторы эволюцииФормы естественного отбора Контрольные вопросыЛитература Под эволюцией подразумевается процесс длительных постепенных медленных изменений которые в конечном итоге приводят к изменениям коренным качественным завершающимся образованием новых систем структур и видов. Представления об эволюции в естествознании имеют ключевое значение. [1] Парадигма современного естествознания – это эволюционносинергетическая...
20631. Человек. колого-эволюционные возможности человека 110.5 KB
  Место человека в системе животного мира и антропогенез2. Основные этапы развития Человека Разумного3. Экологоэволюционные возможности человека5. Место человека в системе животного мира и антропогенез Вопрос о происхождении человека имеет не только научное значение: с позиций эволюционной биологии или чисто зоологической точки зрения – это частный филогенетический вопрос.
20632. Биосфера и цивилизация 72.5 KB
  Живые организмы входящие в состав биоценоза неодинаковы с точки зрения специфики ассимиляции ими вещества и энергии из ОС. Совокупность множества параметров среды определяющих условия существования того или иного вида и его функциональных характеристик преобразование им вещества и энергии обмен информацией со средой и с себе подобными и др. Энергетика – основа цивилизации и без производства достаточного количества энергии человечество не сможет существовать и развиваться. Сегодня главный производитель энергии – теплоэлектростанции ТЭС...
20633. Основные концепции и перспективы биотехнологии 120.5 KB
  Расшифровка генома человека3. Пастер выяснивший роль микроорганизмов в брожении виноделие пивоварение и в возникновении болезней животных и человека. Исключительное значение для борьбы с заразными болезнями имел предложенный Пастером метод предохранительных прививок основанный на введении в организм животного или человека ослабленных культур болезнетворных микроорганизмов. Медицинская микробиология исследует микроорганизмы вызывающие заболевания человека и разрабатывает эффективные методы борьбы с ними.
20634. Принципы симметрии в научной картине мира 60.5 KB
  Принципы симметрии в научной картине мира 1. Понятие симметрии 2. Нарушение симметрии как источник самоорганизации Контрольные вопросыЛитература 1. Понятие симметрии Одним из важных открытий современного естествознания является тот факт что все многообразие окружающего нас физического мира связано с тем или иным нарушением определенных видов симметрий.
20635. Эволюционно-синергетическая парадигма. Открытость, нелинейность, диссипативность 64.5 KB
  4 Фазовое пространство и аттракторы системы Контрольные вопросыЛитература 1. В основе синергетики лежит среди прочих важное утверждение о том что материальные системы могут быть закрытыми и закрытыми равновесными и неравновесными устойчивыми и неустойчивыми линейными и нелинейными статическими и динамическими. Принципиальная же возможность процессов самоорганизации обусловлена тем что в целом все живые и неживые природные и общественные системы являются открытыми неравновесными нелинейными.Пригожин разрабатывая современную...