42426

Нечёткие множества

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Стандартное четкое множество строится на основе математической конструкции отсеивающей из универсального множества некоторую часть его элементов. То есть фактически любое множество определяется этим самым свойством или набором свойств S и объединяет некоторое количество не обязательно конечное счетное элементов обладающих свойством S. А теперь давайте попробуем из всей бесконечности всего в нашей Вселенной в которой очевидно есть место и для таких объектов как вода и стаканы сформировать множество на основе вполне понятного...

Русский

2013-10-29

218 KB

44 чел.

Практическое занятие №16

Тема: Нечёткие множества

Цель работы: изучить основные операции над нечёткими множествами, научиться применять их для решения практических задач.

Теоретическая часть

Наверное, самым впечатляющим у человеческого интеллекта является способность принимать правильные решения в условиях неполной и нечеткой информации. Построение моделей приближенных размышлений человека и использование их в компьютерных системах представляет сегодня одну из важнейших проблем науки.

Стандартное "четкое" множество строится на основе математической конструкции, "отсеивающей" из "универсального множества" некоторую часть его элементов. За "отсев" отвечает так называемая характеристическая функция, значение которой для каждого элемента универсального множества может принимать строго одно из двух возможных значений: 1 или 0. Формального описания "характеристической функции вообще" в математических терминах не существует, о ней принято говорить естественным языком примерно так: если элемент универсального множества обладает свойством S, то характеристическая функция для этого элемента равна 1, в противном случае ее значение 0. То есть фактически любое множество определяется этим самым свойством (или набором свойств) S и объединяет некоторое количество (не обязательно конечное, счетное) элементов, обладающих свойством S. Четкость классических множеств заключается в строгой определенности значений характеристической функции элемент или строго определенно принадлежит множеству (характеристическая функция равна 1) или строго определенно не принадлежит ему (характеристическая функция 0). И такая определенность очень долго устраивала специалистов по теоретической и прикладной математике.
А теперь давайте попробуем из всей бесконечности "всего" в нашей Вселенной, в которой, очевидно, есть место и для таких объектов, как "вода" и "стаканы", сформировать множество на основе вполне понятного человеку свойства S, определенного словами "стакан воды". Стакан, до краев наполненный водой, очевидно, удовлетворяет этому свойству
и характеристическая функция для такого элемента множества будет равна единице. А какое значение должна принимать характеристическая функция, если стакан наполнен водой на две трети? А если наполовину? А если стакан наполнен водой всего на треть он еще "стакан воды" или уже не совсем?

Этот "парадокс стакана воды" на самом деле не иллюстрирует ничего другого, кроме специфики формирования характеристической функции. Люди понимают (или умеют понимать) неформально определенные свойства вроде "стакана воды", "среднего возраста", "небольшого роста". Машинные (традиционные вычислительные) алгоритмы же, напротив, оперируют строгими значениями: "123 миллилитра", "34 года", "163 сантиметра". Именно эти отличия в свое время провоцировали модные рассуждения об ЭВМ пятого поколения на основе нечеткой логики, которым, дескать, суждено стать вычислительной основой искусственного интеллекта.

Основные определения

Нечёткое множество — понятие, расширяющее классическое понятие множества, допускающее, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале [0,1], а не только значения 0 или 1.

Определение: Под нечётким множеством  понимается совокупность , где — универсальное множество, а — функция принадлежности (характеристическая функция), характеризующая степень принадлежности элемента  нечёткому множеству .

Функция  принимает значения в некотором вполне упорядоченном множестве . Множество  называют множеством принадлежностей, часто в качестве  выбирается отрезок . Если , то нечёткое множество может рассматриваться как обычное, чёткое множество.

Пример: Рассмотрим как с помощью нечеткого множества определить выражение "он еще молодой".  Для наглядности приведем характеристическую функцию множества молодых людей.

Пусть E = {x1, x2, x3, x4, x5 }, M = [0,1]; A - нечеткое множество, для которого mA(x1)=0,3; mA(x2)=0; mA(x3)=1; mA(x4)=0,5; mA(x5)=0,9. Тогда A можно представить в виде:

A = {0,3/x1; 0/x2; 1/x3; 0,5/x4; 0,9/x5 } или A = 0,3/x1 + 0/x2 + 1/x3 + 0,5/x4 + 0,9/x5, (знак "+" является операцией не сложения, а объединения) или

 

x1

x2

x3

x4

x5

A =

0,3

0

1

0,5

0,9

Основные характеристики нечетких множеств

Пусть  нечёткое множество с элементами из универсального множества и множеством принадлежностей . Тогда Носителем (суппортом) нечёткого множества   называется множество .

1. Величина   называется высотой нечёткого множества .

2. Нечёткое множество  нормально, если его высота равна .

3. Если высота строго меньше , нечёткое множество называется субнормальным.

4. Нечёткое множество пусто, если .

5. Непустое субнормальное нечёткое множество можно нормализовать по формуле:  .

6. Нечёткое множество унимодально, если   только на одном   из .

7. Элементы , для которых , называются точками перехода нечёткого множества .

Операции над нечеткими множествами

Пусть A и B - нечеткие множества на универсальном множестве E. Говорят, что A содержится в B, если "x ÎE mA(x) <mB(x). Обозначение: A Ì B.

Иногда используют термин "доминирование", то есть в случае если A Ì B, говорят, что B доминирует A.

Равенство: A и B равны, если "xÎE mA(x) = mB (x). Обозначение: A = B.

Дополнение: Отрицанием множества  при   называется множество с функцией принадлежности:    для каждого .

Пересечение: Пересечением нечётких множеств A и B называется наибольшее нечёткое подмножество, содержащееся одновременно в A и B:

Объединение: Объединением нечётких множеств A и B называется наименьшее нечёткое подмножество, содержащее одновременно A и B:

.

Разность: А - B = АÇ с функцией принадлежности: 

mA-B(x) = mA Ç (x) = min( mA(x), 1 - m B(x)).

Дизъюнктивная сумма: АÅB = (А - B)È(B - А) = (А Ç ) È( Ç B) с функцией принадлежности:

mA-B(x) = max{[min{m A(x), 1 - mB(x)}];[min{1 - mA(x), mB(x)}] }.

Произведение: Произведением нечётких множеств A и B называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:

Сумма: Суммой нечётких множеств A и B называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:

Примеры

Пусть:

A = 0,4/ x1 + 0,2/ x2+0/ x3+1/ x4;

B = 0,7/ x1+0,9/ x2+0,1/ x3+1/ x4;

C = 0,1/ x1+1/ x2+0,2/ x3+0,9/ x4.

Здесь:

1. AÌB, то есть A содержится в B или B доминирует A, С несравнимо ни с A, ни с B, то есть пари {A, С} и {A, С} - пары недоминируемых нечетких множеств.

2.  A ¹ B ¹C.

3. = 0,6/ x1 + 0,8/x2 + 1/x3 + 0/x4; = 0,3/x1 + 0,1/x2 + 0,9/x3 + 0/x4.

4. AÇB = 0,4/x1 + 0,2/x2 + 0/x3 + 1/x4.

5. АÈС = 0,7/x1 + 0,9/x2 + 0,1/x3 + 1/x4.

6. А - В = АÇ = 0,3/x1 + 0,1/x2 + 0/x3 + 0/x4;

   В - А = Ç В = 0,6/x1 + 0,8/x2 + 0,1/x3 + 0/x4.

7. А Å В = 0,6/x1 + 0,8/x2 + 0,1/x3 + 0/x4.

Наглядное представление операций над нечеткими множествами

Для нечетких множеств можно применить визуальное представление. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются значение mA(x), на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы E. Если E по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс. Такое представление делает наглядными простые операции над нечеткими множествами.

Пусть A нечеткий интервал между 5 до 8 и B нечеткое число около 4, как показано на рисунке.

Проиллюстрируем нечеткое множество между 5 и 8 И (AND) около 4 (синяя линия).

Нечеткое множество между 5 и 8 ИЛИ (OR) около 4 показано на следующем рисунке (снова синяя линия).

Следующий рисунок иллюстрирует операцию отрицания. Синяя линия - это ОТРИЦАНИЕ нечеткого множества A.

На следующем рисунке заштрихованная часть соответствует нечеткому множеству A и изображает область значений А и всех нечетких множеств, содержащихся в A. Остальные рисунки изображают соответственно , AÇ, AÈ.

Свойства операций È і Ç

Пусть А, В, С - нечеткие множества, тогда выполняются следующие свойства:

  •  - коммутативность;
  •  - ассоциативность;
  •  - идемпотентность;
  •  - дистрибутивность;
  •  AÈÆ = A, где Æ - пустое множество, то есть mÆ(x) = 0 "xÎE;
  •  AÇÆ = Æ;
  •  AÇE = A, где E - универсальное множество;
  •  AÈE = E;
  •  - теоремы де Моргана.

В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем случае:Aǹ Æ, Aȹ E.

Умножение на число

Если a - положительное число, такое, что a m A(x)£1, тогда нечеткое множество A имеет функцию принадлежности: maA(x) = amA(x).

Сравнение нечётких множеств

Пусть A и B нечёткие множества, заданные на универсальном множестве X.

A содержится в B, если для любого элемента из X функция его принадлежности множеству A будет принимать значение меньшее либо равное, чем функция принадлежности множеству B:

В случае, если условие выполняется не для всех , говорят о степени включения нечёткого множества A в B, которое определяется так:   где

Два множества называются равными, если они содержатся друг в друге:

В случае, если значения функций принадлежности   и   почти равны между собой, говорят о степени равенства нечётких множеств A и B, например, в виде

где  

Свойства нечётких множеств

α-разрезом нечёткого множества , обозначаемым как , называется следующее чёткое множество:   

то есть множество, определяемое следующей характеристической функцией (функцией принадлежности):  

Для α-разреза нечёткого множества истинна импликация

Нечёткое множество  является выпуклым тогда и только тогда, когда выполняется условие

для любых и .

Нечёткое множество является вогнутым тогда и только тогда, когда выполняется условие

для любых и .

Контрольные вопросы

  1.  Обоснуйте появление теории нечётких множеств. Что явилось её истоками?
  2.  Что такое нечёткое множество?
  3.  Какие виды функции принадлежности вы знаете?
  4.  Объясните основные операции в алгебре  нечётких множеств.
  5.  Какое нечёткое множество называется нормальным, а какое субнормальным? Можно ли привести субнормальное множество к нормальному множеству и как?
  6.  Дайте определение понятию «уровень α».
  7.  Проанализируйте соотношение основных операций в булевой алгебре и в алгебре нечётких множеств.

Индивидуальные задания

  1.  Пусть в универсальном множестве Х={x1,…, xn} определены два нечётких множества А и В, и для каждого из них определёны уровни α и β.
    1.  Что будет нечётким множеством уровня α и β?
    2.  Постройте, для основных операций над  нечёткими множествами, их графическое представление.

А

x1

x2

x3

x4

x5

В

x1

x2

x3

x4

x5

α

β

1

0,1

0,2

0,6

0

1

0

0,5

0,2

0,1

1

0,6

0,4

2

0,8

0

0,7

0,2

1

0,6

0,4

0

0,3

0,8

0,4

0,3

3

0

0,6

0,4

1

0,1

1

0,8

1

0,6

0,3

0,8

0,7

4

0,9

0,1

0,6

0

0,5

0

0,1

0,4

0,2

1

0,3

0,6

5

0,5

0,1

0

1

0

0,4

0,9

0,3

0,2

0

0,7

0,8

6

0,9

0,3

1

0,3

0,5

1

0

1

0,4

0,7

0,5

0,6

7

0,1

0,5

0,3

0,4

1

0,5

0,2

0,6

0,7

0,3

0,9

0,5

8

0,2

0,5

0,4

0

0,3

0,1

0,7

0,6

1

0,3

0,3

0,4

9

0,3

0,1

0,3

0

1

0,5

1

0,4

0,7

0

0,2

0,9

10

0,2

0,6

0,1

0,3

0

1

0,8

0,9

0,1

0

0,4

0,7

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

59906. Вторая мировая война (1939-1945г.г.). Причины и начало Второй мировой войны. События 1939-1941 г.г. 75 KB
  Цель: Раскрыть причины и характер Второй мировой войны; дать характеристику ходу боевых действий в 1939-1941 г.1121 Хрестоматия Карта: Вторая мировая война Начало 2 мировой войны в Европе сентября 1939 июнь 1941 г.
59908. Визитная карточка классного руководителя 52.5 KB
  На сцену по одному из макета школы выходят дети и представляют себя Лентяй: Вот так бы и сидел весь день И встать бы не решился Сегодня лучший друг мой лень Я с ней давно сдружился.
59909. Вища математика. Завдання та методичні вказівки до виконання контрольної роботи 1.56 MB
  Виробнича ділянка Час на виготовлення одиниці продукції год. Виробничі потужності год. 2 Виробнича ділянка Час на виготовлення одиниці продукції год. Виробничі потужності год.
59911. Внеклассное мероприятие: Чаем угощаем 46.5 KB
  Оборудование: самовар чайная посуда угощение к чаю. Подготовка: Дети разучивают чайные частушки русскую народную игру €œПросо; подбирают пословицы о русском гостеприимстве песни с именами людей.
59912. Внеклассное мероприятие «Дорожный марафон» 45 KB
  Учитель: Правил дорожных на свете немало Все бы их выучить нем не мешало. Какие это препятствия Дети: читают Загадочный знак Площадь ребусов Песенная остановка Наведём порядок на дороге Секрет Учитель: А помогать нам и вести к завершению марафона будет нам наш городок.
59913. «Армейский калейдоскоп» (сценарий на 23 февраля) 41.5 KB
  Ведущий 1: Февральский ветер ворошил страницы в календаре порядок наводя Потом он вдруг решил остановиться на дате 23 февраля Давным–-давно был праздник установлен Что говорить традиция сильна Мальчишек поздравляем снова мы им желаем мира и добра.
59914. Seasons. The weather 44 KB
  Now I will divide you into two teams. The first team will includes the children who were born in winter and autumn. The second team will include the children who was born in summer and spring.