42426

Нечёткие множества

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Стандартное четкое множество строится на основе математической конструкции отсеивающей из универсального множества некоторую часть его элементов. То есть фактически любое множество определяется этим самым свойством или набором свойств S и объединяет некоторое количество не обязательно конечное счетное элементов обладающих свойством S. А теперь давайте попробуем из всей бесконечности всего в нашей Вселенной в которой очевидно есть место и для таких объектов как вода и стаканы сформировать множество на основе вполне понятного...

Русский

2013-10-29

218 KB

45 чел.

Практическое занятие №16

Тема: Нечёткие множества

Цель работы: изучить основные операции над нечёткими множествами, научиться применять их для решения практических задач.

Теоретическая часть

Наверное, самым впечатляющим у человеческого интеллекта является способность принимать правильные решения в условиях неполной и нечеткой информации. Построение моделей приближенных размышлений человека и использование их в компьютерных системах представляет сегодня одну из важнейших проблем науки.

Стандартное "четкое" множество строится на основе математической конструкции, "отсеивающей" из "универсального множества" некоторую часть его элементов. За "отсев" отвечает так называемая характеристическая функция, значение которой для каждого элемента универсального множества может принимать строго одно из двух возможных значений: 1 или 0. Формального описания "характеристической функции вообще" в математических терминах не существует, о ней принято говорить естественным языком примерно так: если элемент универсального множества обладает свойством S, то характеристическая функция для этого элемента равна 1, в противном случае ее значение 0. То есть фактически любое множество определяется этим самым свойством (или набором свойств) S и объединяет некоторое количество (не обязательно конечное, счетное) элементов, обладающих свойством S. Четкость классических множеств заключается в строгой определенности значений характеристической функции элемент или строго определенно принадлежит множеству (характеристическая функция равна 1) или строго определенно не принадлежит ему (характеристическая функция 0). И такая определенность очень долго устраивала специалистов по теоретической и прикладной математике.
А теперь давайте попробуем из всей бесконечности "всего" в нашей Вселенной, в которой, очевидно, есть место и для таких объектов, как "вода" и "стаканы", сформировать множество на основе вполне понятного человеку свойства S, определенного словами "стакан воды". Стакан, до краев наполненный водой, очевидно, удовлетворяет этому свойству
и характеристическая функция для такого элемента множества будет равна единице. А какое значение должна принимать характеристическая функция, если стакан наполнен водой на две трети? А если наполовину? А если стакан наполнен водой всего на треть он еще "стакан воды" или уже не совсем?

Этот "парадокс стакана воды" на самом деле не иллюстрирует ничего другого, кроме специфики формирования характеристической функции. Люди понимают (или умеют понимать) неформально определенные свойства вроде "стакана воды", "среднего возраста", "небольшого роста". Машинные (традиционные вычислительные) алгоритмы же, напротив, оперируют строгими значениями: "123 миллилитра", "34 года", "163 сантиметра". Именно эти отличия в свое время провоцировали модные рассуждения об ЭВМ пятого поколения на основе нечеткой логики, которым, дескать, суждено стать вычислительной основой искусственного интеллекта.

Основные определения

Нечёткое множество — понятие, расширяющее классическое понятие множества, допускающее, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале [0,1], а не только значения 0 или 1.

Определение: Под нечётким множеством  понимается совокупность , где — универсальное множество, а — функция принадлежности (характеристическая функция), характеризующая степень принадлежности элемента  нечёткому множеству .

Функция  принимает значения в некотором вполне упорядоченном множестве . Множество  называют множеством принадлежностей, часто в качестве  выбирается отрезок . Если , то нечёткое множество может рассматриваться как обычное, чёткое множество.

Пример: Рассмотрим как с помощью нечеткого множества определить выражение "он еще молодой".  Для наглядности приведем характеристическую функцию множества молодых людей.

Пусть E = {x1, x2, x3, x4, x5 }, M = [0,1]; A - нечеткое множество, для которого mA(x1)=0,3; mA(x2)=0; mA(x3)=1; mA(x4)=0,5; mA(x5)=0,9. Тогда A можно представить в виде:

A = {0,3/x1; 0/x2; 1/x3; 0,5/x4; 0,9/x5 } или A = 0,3/x1 + 0/x2 + 1/x3 + 0,5/x4 + 0,9/x5, (знак "+" является операцией не сложения, а объединения) или

 

x1

x2

x3

x4

x5

A =

0,3

0

1

0,5

0,9

Основные характеристики нечетких множеств

Пусть  нечёткое множество с элементами из универсального множества и множеством принадлежностей . Тогда Носителем (суппортом) нечёткого множества   называется множество .

1. Величина   называется высотой нечёткого множества .

2. Нечёткое множество  нормально, если его высота равна .

3. Если высота строго меньше , нечёткое множество называется субнормальным.

4. Нечёткое множество пусто, если .

5. Непустое субнормальное нечёткое множество можно нормализовать по формуле:  .

6. Нечёткое множество унимодально, если   только на одном   из .

7. Элементы , для которых , называются точками перехода нечёткого множества .

Операции над нечеткими множествами

Пусть A и B - нечеткие множества на универсальном множестве E. Говорят, что A содержится в B, если "x ÎE mA(x) <mB(x). Обозначение: A Ì B.

Иногда используют термин "доминирование", то есть в случае если A Ì B, говорят, что B доминирует A.

Равенство: A и B равны, если "xÎE mA(x) = mB (x). Обозначение: A = B.

Дополнение: Отрицанием множества  при   называется множество с функцией принадлежности:    для каждого .

Пересечение: Пересечением нечётких множеств A и B называется наибольшее нечёткое подмножество, содержащееся одновременно в A и B:

Объединение: Объединением нечётких множеств A и B называется наименьшее нечёткое подмножество, содержащее одновременно A и B:

.

Разность: А - B = АÇ с функцией принадлежности: 

mA-B(x) = mA Ç (x) = min( mA(x), 1 - m B(x)).

Дизъюнктивная сумма: АÅB = (А - B)È(B - А) = (А Ç ) È( Ç B) с функцией принадлежности:

mA-B(x) = max{[min{m A(x), 1 - mB(x)}];[min{1 - mA(x), mB(x)}] }.

Произведение: Произведением нечётких множеств A и B называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:

Сумма: Суммой нечётких множеств A и B называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:

Примеры

Пусть:

A = 0,4/ x1 + 0,2/ x2+0/ x3+1/ x4;

B = 0,7/ x1+0,9/ x2+0,1/ x3+1/ x4;

C = 0,1/ x1+1/ x2+0,2/ x3+0,9/ x4.

Здесь:

1. AÌB, то есть A содержится в B или B доминирует A, С несравнимо ни с A, ни с B, то есть пари {A, С} и {A, С} - пары недоминируемых нечетких множеств.

2.  A ¹ B ¹C.

3. = 0,6/ x1 + 0,8/x2 + 1/x3 + 0/x4; = 0,3/x1 + 0,1/x2 + 0,9/x3 + 0/x4.

4. AÇB = 0,4/x1 + 0,2/x2 + 0/x3 + 1/x4.

5. АÈС = 0,7/x1 + 0,9/x2 + 0,1/x3 + 1/x4.

6. А - В = АÇ = 0,3/x1 + 0,1/x2 + 0/x3 + 0/x4;

   В - А = Ç В = 0,6/x1 + 0,8/x2 + 0,1/x3 + 0/x4.

7. А Å В = 0,6/x1 + 0,8/x2 + 0,1/x3 + 0/x4.

Наглядное представление операций над нечеткими множествами

Для нечетких множеств можно применить визуальное представление. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются значение mA(x), на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы E. Если E по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс. Такое представление делает наглядными простые операции над нечеткими множествами.

Пусть A нечеткий интервал между 5 до 8 и B нечеткое число около 4, как показано на рисунке.

Проиллюстрируем нечеткое множество между 5 и 8 И (AND) около 4 (синяя линия).

Нечеткое множество между 5 и 8 ИЛИ (OR) около 4 показано на следующем рисунке (снова синяя линия).

Следующий рисунок иллюстрирует операцию отрицания. Синяя линия - это ОТРИЦАНИЕ нечеткого множества A.

На следующем рисунке заштрихованная часть соответствует нечеткому множеству A и изображает область значений А и всех нечетких множеств, содержащихся в A. Остальные рисунки изображают соответственно , AÇ, AÈ.

Свойства операций È і Ç

Пусть А, В, С - нечеткие множества, тогда выполняются следующие свойства:

  •  - коммутативность;
  •  - ассоциативность;
  •  - идемпотентность;
  •  - дистрибутивность;
  •  AÈÆ = A, где Æ - пустое множество, то есть mÆ(x) = 0 "xÎE;
  •  AÇÆ = Æ;
  •  AÇE = A, где E - универсальное множество;
  •  AÈE = E;
  •  - теоремы де Моргана.

В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем случае:Aǹ Æ, Aȹ E.

Умножение на число

Если a - положительное число, такое, что a m A(x)£1, тогда нечеткое множество A имеет функцию принадлежности: maA(x) = amA(x).

Сравнение нечётких множеств

Пусть A и B нечёткие множества, заданные на универсальном множестве X.

A содержится в B, если для любого элемента из X функция его принадлежности множеству A будет принимать значение меньшее либо равное, чем функция принадлежности множеству B:

В случае, если условие выполняется не для всех , говорят о степени включения нечёткого множества A в B, которое определяется так:   где

Два множества называются равными, если они содержатся друг в друге:

В случае, если значения функций принадлежности   и   почти равны между собой, говорят о степени равенства нечётких множеств A и B, например, в виде

где  

Свойства нечётких множеств

α-разрезом нечёткого множества , обозначаемым как , называется следующее чёткое множество:   

то есть множество, определяемое следующей характеристической функцией (функцией принадлежности):  

Для α-разреза нечёткого множества истинна импликация

Нечёткое множество  является выпуклым тогда и только тогда, когда выполняется условие

для любых и .

Нечёткое множество является вогнутым тогда и только тогда, когда выполняется условие

для любых и .

Контрольные вопросы

  1.  Обоснуйте появление теории нечётких множеств. Что явилось её истоками?
  2.  Что такое нечёткое множество?
  3.  Какие виды функции принадлежности вы знаете?
  4.  Объясните основные операции в алгебре  нечётких множеств.
  5.  Какое нечёткое множество называется нормальным, а какое субнормальным? Можно ли привести субнормальное множество к нормальному множеству и как?
  6.  Дайте определение понятию «уровень α».
  7.  Проанализируйте соотношение основных операций в булевой алгебре и в алгебре нечётких множеств.

Индивидуальные задания

  1.  Пусть в универсальном множестве Х={x1,…, xn} определены два нечётких множества А и В, и для каждого из них определёны уровни α и β.
    1.  Что будет нечётким множеством уровня α и β?
    2.  Постройте, для основных операций над  нечёткими множествами, их графическое представление.

А

x1

x2

x3

x4

x5

В

x1

x2

x3

x4

x5

α

β

1

0,1

0,2

0,6

0

1

0

0,5

0,2

0,1

1

0,6

0,4

2

0,8

0

0,7

0,2

1

0,6

0,4

0

0,3

0,8

0,4

0,3

3

0

0,6

0,4

1

0,1

1

0,8

1

0,6

0,3

0,8

0,7

4

0,9

0,1

0,6

0

0,5

0

0,1

0,4

0,2

1

0,3

0,6

5

0,5

0,1

0

1

0

0,4

0,9

0,3

0,2

0

0,7

0,8

6

0,9

0,3

1

0,3

0,5

1

0

1

0,4

0,7

0,5

0,6

7

0,1

0,5

0,3

0,4

1

0,5

0,2

0,6

0,7

0,3

0,9

0,5

8

0,2

0,5

0,4

0

0,3

0,1

0,7

0,6

1

0,3

0,3

0,4

9

0,3

0,1

0,3

0

1

0,5

1

0,4

0,7

0

0,2

0,9

10

0,2

0,6

0,1

0,3

0

1

0,8

0,9

0,1

0

0,4

0,7

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36452. КОЛЛОИДНАЯ ХИМИЯ 475.42 KB
  Удельная геометрическая поверхность Sуд = S V м2 м3 м2 кгВ общем случае: Sуд = kD Размеры частиц дисперсной фазы: Грунты: песчаные больше 50 мкм пылеватые 150 мкм Эритроциты крови человека 7 мкм Кишечная палочка 3 мкм Вирус гриппа 01 мкм 10 нм Дым древесный уголь 30 40 мкм Тонкие поры угля 110 нм...
36453. НЕОРГАНИЧЕСКАЯ ХИМИЯ 79.4 KB
  Активность возрастает отLi к Сs в данном ряду. растёт радиус атома а притяжение последнего электрона к ядру ослабевает поэтому самый активный в данном ряду Цезий. По отношению к воде: 2R2H2O=2ROHH2 где Rлюбой металл из семейства щелочных только литий растворяется спокойно натрий может загореться на поверхности воды а калий взрывоопасен с водой очень бурно реагирует Объясните кажущуюся аномалию положения Li в ряду электродных потенциалов Eo процесса Э 1е → Э в растворе представленных в таблице по сравнению с положением в...
36454. Сущность, значение и место управления персоналом в организации 171 KB
  Персонал это постоянные и временные сотрудники предприя представители квалифицированного и неквалифицго труда.цированного и неквалифицго труда в. зависит от: числа элементов разнообразия элов сложности элов числа и харра связей м у ними; в автоматизыция произвва не только произвва но и управления возрастание интеллектой составляющей персонала и требования к нему; г повсеместное распространение коллективных форм оргции труда труд людей усложняется → они должны свободно работать → стремление к самостоятельности; д рост...
36455. ТАКТИКО-СПЕЦІАЛЬНА ПІДГОТОВКА 14.51 MB
  Основні завдання звязку. Засоби та види звязку. Основні вимоги до звязку. Основними задачами зв'язку є: забезпечення стійкого зв'язку з вищим штабом та своєчасного приймання сигналів бойового управління; забезпечення управління підлеглими військами в будь яких умовах обстановки; забезпечення передач i сигналів та своєчасне попередження та повідомлення військ про безпосередню загрозу застосування противником ЗМЗ та повітряного противника; забезпечення обміну інформацією між взаємодіючими зєднаннями частинами підрозділами;...
36456. Основные характеристики и достижения Древнего Рима 38 KB
  переход от патриархального к классическому рабству на территории Италии произошел в греческих городахколониях Южной Италии и Сицилии. Сельское хозяйство Италии переживало подъем. Одним из важных показателей прогресса в сельском хозяйстве Италии является выделение новых отраслей: животноводства и приусадебного птицеводства. Скот и птицу разводили в Италии с незапамятных времен но лишь во III вв.
36457. Основные пути перехода античных обществ к феодализму 34 KB
  Византийский путь. Итальянский путь. ЗФранцузский путь Фр. Самый быстрый путь из которого возникли госва Европы Скандинавскорусский путь.
36458. Переход античных обществ к феодализму (один из вариантов на историческом примере) 26.5 KB
  Римская империя = Византия Как и любой переход между цивилизациями данный переход проходил в четыре этапа. Однако неравномерность развития регионов мира приводила к большим различиям в развитии процесса переходного периода. Однако латентный этап перехода начался раннее сформировав ряд важных тенденций ставших впоследствии элементами феодальной цивилизации. Переход по византийскому пути был наименее болезненным но проходило очень медленно.
36459. Основные особенности и достижения Византии 27.5 KB
  Большая роль городов. Высокая роль государства в экономич. Основные достижения: 1 большая роль городов 2развитие торговли 3Высокая роль государства в экономике 4развитие архитектуры 5 использование религии в политических целях 6культурная экспансия 7развита централизация 8социальная мобильность 9Византии удавалось сдерживать натиск с Востока 10 Система подготовки кадров 11иерархическая система правления.
36460. Особенности экономического строя государств феодальной цивилизации на историческом примере 31 KB
  Крупное независимое землевладение значительный слой мелких земельных собственников и крестьянские общины вот что лежало в основе византийской экономики. Наступал период преобладания семейной общины. К 6 веку была утрачена социальная почва для укрепления мелкого крестьянства что привело к ослаблению деревни упадку земельной собственности городской общины античная традиция и последующему кризису мелких городов конец V в.