42465

Ряды. Интегралы. Ряды и произведения

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Ряды и произведения Вычисление суммы ряда и произведений. Если требуется вычислить сумму бесконечного ряда то в качестве верхнего предела вводится infinity. Найти полную и Nчастичную суммы ряда общий член которого равен: n=. Найти сумму степенного ряда .

Русский

2013-10-29

149.5 KB

4 чел.

Лабораторная работа (3).

3. Ряды. Интегралы.

§1. Ряды и произведения

Вычисление суммы ряда и произведений.

Конечные и бесконечные суммы  вычисляются командой прямого исполнения sum и отложенного исполнения Sum. Аргументы этих команд одинаковые: sum(expr, n=a..b), где expr – выражение, зависящее от индекса суммирования, a..b – пределы индекса суммирования, указывающие, что суммировать следует от n=a до n=b.

Если требуется вычислить сумму бесконечного ряда, то в качестве верхнего предела вводится infinity.

Аналогичным образом вычисляются произведения  командами прямого product(P(n),n=a..b) и отложенного действий Product P(n),n=a..b).

Задание 1.1.

1. Найти полную и N-частичную суммы ряда, общий член которого равен: an=.

> restart: a[n]:=1/((3*n-2)*(3*n+1));

an:=

> S[N]:=Sum(a[n], n=1..N)=sum(a[n], n=1..N);

> S:=limit(rhs(S[N]), N=+infinity);

2. К какой функции сходится степенной ряд: ?

> Sum((-1)^(n+1)*n^2*x^n, n=1..infinity)=

sum((-1)^(n+1)*n^2*x^n, n=1..infinity);

.

3. Найти сумму степенного ряда .

> Sum((1+x)^n/((n+1)*n!), n=0..infinity)=

sum((1+x)^n/((n+1)*n!), n=0..infinity);

4. Вычислить бесконечное произведение:

> Product(2/n,n=1..infinity)=

product(2/n, n=1..infinity);

5.Вычислить произведение: 

> Product( k^2, k=1..4 )= product( k^2, k=1..4 );

Разложение функции в степенной ряд и ряд Тейлора.

Разложение функции f(x) в степенной ряд в окрестности точки а

осуществляется командой series(f(x), x=a, n), где а – точка, в окрестности которой производится разложение, n – число членов ряда.

Аналогичного действия команда taylor(f(x), x=a, n) раскладывает функции f(x) в окрестности точки x=a до порядка n-1 по формуле Тейлора.

Команды series и taylor выдают результат, имеющий тип series. Для того, чтобы иметь возможность дальнейшей работы с полученным разложением, его следует преобразовать в полином с помощью команды convert(%,polynom).

Функцию многих переменных f(x1,…,xn) можно разложить в ряд Тейлора по набору переменных (x1,…,xn) в окрестности точки (a1,…,an) до порядка n с помощью команды mtaylor(f(x), [x1,…,xn], n). Эта команда находится в стандартной библиотеке, поэтому перед использованием должна быть вызвана readlib(mtaylor).

Задание 1.2.

1. Разложить в степенной ряд  в окрестности х0=0, удерживая 5 первых членов.

> f(x)=series(exp(-x)*sqrt(x+1), x=0, 5);

2. Построить на одном рисунке графики интеграла ошибок  и его разложения в ряд Тейлора в окрестности нуля.

> taylor(erf(x),x,8): p:=convert(%,polynom);

> plot({erf(x),p},x=-2..2,thickness=[2,2],

linestyle=[1,3], color=[red,green]);

Пунктирной линей изображен график ряда Тейлора, а сплошной – самой функции.

3.Разложить  в ряд Тейлора в окрестности точки (0, 0) до 6-ого порядка.

> readlib(mtaylor):

> f=mtaylor(sin(x^2+y^2), [x=0,y=0], 7);

Создание собственных процедур. Разложение функции в ряд Фурье.

В Maple имеется возможность создавать собственные процедуры. Процедура начинается с заголовка. Заголовок состоит из имени процедуры (его пользователь определяет сам), далее следует обязательный оператор присваивания := и служебное слово proc, после которого в круглых скобках через запятую указываются формальные параметры процедуры.

Во избежании неполадок работы процедуры, рекомендуется в строке заголовка процедуры описывать переменные, которые будут использоваться только внутри тела процедуры (они называются локальными переменными). Для этого используется служебное слово local, после которого через запятую перечисляются локальные переменные.

После заголовка следует основное тело процедуры, состоящее из составленных пользователем команд, причем последняя команда будет выводить окончательный результат выполнения процедуры. Процедура должна обязательно оканчиваться служебным словом end.

Общий вид процедуры (стандартный синтаксис):

> name:=proc(var1, var2, …) local vloc1, vloc2,…;

> expr1;

> expr2;

……………

> exprn;

> end;

В Maple нет команды, позволяющей производить разложение функции в тригонометрический ряд Фурье. Однако можно создать собственную процедуру разложения ряд Фурье. Пусть требуется разложить на интервале [x1, x2] 2l-периодическую функцию f(x). Тогда ряд Фурье имеет вид:

,

где l=(x2x1)/2;

; ; .

Получить первые n членов ряда Фурье можно с помощью следующей процедуры:

> fourierseries:=proc(f,x,x1,x2,n) local k, l,

a, b, s;

> l:=(x2-x1)/2;

> a[0]:=int(f,x=x1..x2)/l;

> a[k]:=int(f*cos(k*Pi*x/l),x=x1..x2)/l;

> b[k]:=int(f*sin(k*Pi*x/l),x=x1..x2)/l;

> s:=a[0]/2+sum(a[k]*cos(k*Pi*x/l)+

b[k]*sin(k*Pi*x/l), k=1..n);

> end;

Порядок обращения к этой процедуре такой: fourierseries(f,x,x1,x2,n), где f – имя функции, разложение которой требуется найти, где х – имя независимой переменной, где х1, x2 – интервал разложения, где n – число членов ряда.

Задание 1.3.

  1.  Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=x/2 с периодом 2 на интервале [0; 2], удерживая 6 членов ряда. Построить на одном рисунке графики функции и ее n-частичной суммы ряда Фурье.

Сначала полностью наберите процедуру fourierseries, предложенную выше в теоретической части.

> f:=x/2:x1:=0:x2:=2*Pi:

> fr:=fourierseries(f,x,x1,x2,6);

> plot({fr,f}, x=x1..x2, color=[blue,black],

thickness=2, linestyle=[3,1]);

Пунктирной линией изображен график n-частичной суммы ряда Фурье, а сплошной – самой функции. По виду n-частичной суммы ряда Фурье в данном примере легко установить общий вид этого ряда:

.

  1.  Разложить несколько раз в ряд Фурье функцию  с периодом 2 на интервале [;], удерживая 2, 4 и 8 членов ряда. Построить на одном рисунке графики функции и ее n-частичных сумм ряда Фурье.

> f:=exp(-x);x1:=-Pi;x2:=Pi:

> fr1:=fourierseries(f,x,x1,x2,2):

> fr2:=fourierseries(f,x,x1,x2,4):

> fr3:=fourierseries(f,x,x1,x2,8):

> plot({f,fr1,fr2,fr3},x=x1..x2,color=[black, blue, green, red], thickness=2, linestyle= [1,3,2,2]);

Сплошной линией изображен график функции, пунктирными – графики n-частичных сумм ряда Фурье. Видно, что чем больше слагаемых ряда удерживать, тем ближе расположен график суммы ряда к графику самой функции.

                        §2 Обучение основным методам интегрирования.

В Maple имеется пакет student, предназначенный для обучения математике. Он содержит набор подпрограмм, предназначенных для выполнения расчетов шаг за шагом, так, чтобы была понятна последовательность действий, приводящих к результату. К таким командам относятся интегрирование по частям inparts и замена переменной changevar.

Формула интегрирования по частям:

Если обозначить подынтегральную функцию f=u(x)v’(x), то параметры команды интегрирования по частям такие: intparts(Int(f, x), u), где u – именно та функция u(x), производную от которой предстоит вычислить по формуле интегрирования по частям.Если в интеграле требуется сделать замену переменных x=g(t) или t=h(x), то параметры команды замены переменных такие: changevar(h(x)=t, Int(f, x), t), где t новая переменная.

Обе команды intparts и changevar не вычисляют окончательно интеграл, а лишь производят промежуточную выкладку. Для того, чтобы получить окончательный ответ, следует, после выполнения этих команд ввести команду value(%); где % - обозначают предыдущую строку.

Не забудьте, перед использованием описанных здесь команд обязательно загрузить пакет student командой with(student). 

Задание 1.

  1.  Полностью проделать все этапы вычисления интеграла  по частям.

> restart; with(student): J=Int(x^3*sin(x),x);

> J=intparts(Int(x^3*sin(x),x),x^3);

> intparts(%,x^2);

> intparts(%,x);

> value(%);

  1.  Вычислить интеграл  с помощью универсальной подстановки .

> J=Int(1/(1+cos(x)), x=-Pi/2..Pi/2);

> J=changevar(tan(x/2)=t,Int(1/(1+cos(x)),

x=-Pi/2..Pi/2), t);

> value(%);

J=2

Контрольные задания.

При выполнении контрольных заданий студенту необходимо подставить вместо буквенных параметров индивидуальные анкетные характеристики:

- число букв в фамилии студента,

- число букв в имени студента,

- число букв в отчестве студента.

В отчете на титульном листе необходимо обязательно указать, какие анкетные данные использовались при выполнении контрольных заданий (имя, отчество, фамилия).

1. Найти сумму ряда  и сумму первых N членов.

а)    б)

2. К какой функции сходится степенной ряд: ?

3. Найти сумму степенного ряда .

4. Вычислить бесконечное произведение:

5. Вычислить произведение с точностью до 0,00001

6. Разложить в степенной ряд в окрестности x=0 до 11-ого порядка.

7. Разложить в ряд Тейлора функцию  до 6 – ого порядка в окрестности точки (0, 0).

8. Полностью проделать все этапы вычисления интеграла  по частям.

9. Вычислить интеграл  с помощью универсальной подстановки .

Контрольные вопросы.

  1.  Как вычислить сумму или произведение в Maple?
  2.  Какие команды осуществляют разложение функции в степенные ряды?
  3.  Для чего предназначен пакет student?
  4.  Опишите команду интегрирования по частям.
  5.  Опишите команду интегрирования методом замены переменных.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75640. Особенности интерпретации невербальных средств общения дошкольниками с тяжёлыми нарушениями 52.22 KB
  Психические и физические недостатки вызывают отклонения в развитии детей замедляя и затрудняя процесс освоения знаковой действительности. При достаточной разработанности вопроса о языковом развитии детей с общим недоразвитием речи сведений об особенностях понимания и употребления ими других видов знаков недостаточно. В настоящее время общепризнано что помимо недостатков фонетического лексико-грамматического и синтаксического оформления высказываний речевая деятельность детей с ОНР характеризуется когнитивной слабостью...
75641. Использование невербальных средств общения в коррекционно-развивающей работе с дошкольниками с общим недоразвитием речи 56.67 KB
  Использование невербальных средств общения в коррекционно-развивающей работе с дошкольниками с общим недоразвитием речи Вестник Ленинградского государственного университета им. Изучение невербального общения детей с недоразвитием речи и определение коррекционно-развивающего эффекта невербальных средств общения является одной из актуальных проблем современной логопедии. Исследование было посвящёно определению значения невербальных средств общения в формировании базовых предпосылок речи у дошкольников с ОНР и разработке содержания научно...
75642. Цветообозначение в работе по развитию семантической стороны речи и обогащению эмоционального словаря детей с ОНР 1.12 MB
  Общечеловеческий родовой национально-культурный и индивидуально-психологический. Общечеловеческое значение цвета напрямую связано с его физическими характеристиками и определено способностью цвета оказывать воздействие на эмоции человека его состояние. Так выявлено что синий и зеленый цвета и их оттенки расслабляют успокаивают человека. Выявлено что светлые цвета максимально удалённые от чёрного преимущественно связаны с позитивными эмоциями; тёмные...
75643. Как понять себя и другого 7.47 MB
  Особое внимание следует обратить на подбираемую к текстам наглядность: она должна отражать мимику и пантомимику персонажей. Педагог обращает внимание детей на выражении лица и позу персонажей. Аналитичность просмотра подразумевает детальный разбор мимики позы жестов персонажей мультфильма. Используются разнообразные невербальные средства: экспрессивные выражающие эмоции и чувства персонажей; изобразительные имитирующие определённые действия персонажей; указательные и символические.
75644. Особенности невербального кодирования информации детьми с общим недоразвитием речи 25.54 KB
  Выраженность вариантов невербального кодирования информации Категория детей Варианты невербального кодирования Дети с нормальным х развитием речи в Дети с общим х недоразвитием речи в 4 г. В целом в ходе выполнения диагностического задания дети с общим недоразвитием речи гораздо реже чем их нормально развивающиеся сверстники могли правильно воспроизвести невербальный знак чаще отказывались от выполнения задания. Дети с ОНР могли справиться с заданием лучше если экспериментатор задавал наводящие вопросы подсказывал...
75645. Особенности фонетических ориентировок у детей с речевой патологией 20.41 KB
  Особенности фонетических ориентировок у детей с речевой патологией Актуальные проблемы механизмов и структуры нарушений устной и письменной речи: материалы междунар. Функционирование фонетического чутья позволяет ребёнку улавливать правильность фонетического оформления речи дифференцировать нормативное...
75646. Формирование невербальных основ речи в доречевой период 282.28 KB
  Формирование невербальных основ речи в доречевой период Инновационные подходы к профилактике нарушений развития Под ред. Человека впервые заинтересовавшегося вопросом развития речи ребёнка может удивить и обескуражить выбранное нами название. Основы для развития речи закладываются задолго до того когда будут произнесено первое слово. Учёные наблюдавшие за развитием младенцев находящихся в разных социальных условиях смогли выделить невербальные неречевые факторы определяющие интенсивность и качество развития речи малыша.
75647. Амвросова О.А. Рефлексия в общении как условие социализации дошкольников с общим недоразвитием речи 39.82 KB
  Основные подходы к исследованию рефлексии В рамках философского подхода рефлексия рассматривается как процесс размышления индивида о происходящем в его собственном сознании. Уже у Аристотеля Платона и позже у средневековых схоластов можно найти много глубоких рассуждений касающихся разных сторон того что сейчас относится к рефлексии все же принято считать что основной и специфический круг проблем связываемых сегодня с этим понятием зарождается лишь в новое время а именно благодаря полемике...
75648. О доминирующих мотивах деятельности детей старшего дошкольного возраста с нарушениями речи 21.09 KB
  В отечественных и зарубежных логопедических исследованиях уделяется много внимания вопросам объема, характера и качества речевых навыков, знаний, которые должны быть усвоены детьми с недоразвитием речи. Однако такой важнейший компонент деятельности, как мотивация