42465

Ряды. Интегралы. Ряды и произведения

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Ряды и произведения Вычисление суммы ряда и произведений. Если требуется вычислить сумму бесконечного ряда то в качестве верхнего предела вводится infinity. Найти полную и Nчастичную суммы ряда общий член которого равен: n=. Найти сумму степенного ряда .

Русский

2013-10-29

149.5 KB

4 чел.

Лабораторная работа (3).

3. Ряды. Интегралы.

§1. Ряды и произведения

Вычисление суммы ряда и произведений.

Конечные и бесконечные суммы  вычисляются командой прямого исполнения sum и отложенного исполнения Sum. Аргументы этих команд одинаковые: sum(expr, n=a..b), где expr – выражение, зависящее от индекса суммирования, a..b – пределы индекса суммирования, указывающие, что суммировать следует от n=a до n=b.

Если требуется вычислить сумму бесконечного ряда, то в качестве верхнего предела вводится infinity.

Аналогичным образом вычисляются произведения  командами прямого product(P(n),n=a..b) и отложенного действий Product P(n),n=a..b).

Задание 1.1.

1. Найти полную и N-частичную суммы ряда, общий член которого равен: an=.

> restart: a[n]:=1/((3*n-2)*(3*n+1));

an:=

> S[N]:=Sum(a[n], n=1..N)=sum(a[n], n=1..N);

> S:=limit(rhs(S[N]), N=+infinity);

2. К какой функции сходится степенной ряд: ?

> Sum((-1)^(n+1)*n^2*x^n, n=1..infinity)=

sum((-1)^(n+1)*n^2*x^n, n=1..infinity);

.

3. Найти сумму степенного ряда .

> Sum((1+x)^n/((n+1)*n!), n=0..infinity)=

sum((1+x)^n/((n+1)*n!), n=0..infinity);

4. Вычислить бесконечное произведение:

> Product(2/n,n=1..infinity)=

product(2/n, n=1..infinity);

5.Вычислить произведение: 

> Product( k^2, k=1..4 )= product( k^2, k=1..4 );

Разложение функции в степенной ряд и ряд Тейлора.

Разложение функции f(x) в степенной ряд в окрестности точки а

осуществляется командой series(f(x), x=a, n), где а – точка, в окрестности которой производится разложение, n – число членов ряда.

Аналогичного действия команда taylor(f(x), x=a, n) раскладывает функции f(x) в окрестности точки x=a до порядка n-1 по формуле Тейлора.

Команды series и taylor выдают результат, имеющий тип series. Для того, чтобы иметь возможность дальнейшей работы с полученным разложением, его следует преобразовать в полином с помощью команды convert(%,polynom).

Функцию многих переменных f(x1,…,xn) можно разложить в ряд Тейлора по набору переменных (x1,…,xn) в окрестности точки (a1,…,an) до порядка n с помощью команды mtaylor(f(x), [x1,…,xn], n). Эта команда находится в стандартной библиотеке, поэтому перед использованием должна быть вызвана readlib(mtaylor).

Задание 1.2.

1. Разложить в степенной ряд  в окрестности х0=0, удерживая 5 первых членов.

> f(x)=series(exp(-x)*sqrt(x+1), x=0, 5);

2. Построить на одном рисунке графики интеграла ошибок  и его разложения в ряд Тейлора в окрестности нуля.

> taylor(erf(x),x,8): p:=convert(%,polynom);

> plot({erf(x),p},x=-2..2,thickness=[2,2],

linestyle=[1,3], color=[red,green]);

Пунктирной линей изображен график ряда Тейлора, а сплошной – самой функции.

3.Разложить  в ряд Тейлора в окрестности точки (0, 0) до 6-ого порядка.

> readlib(mtaylor):

> f=mtaylor(sin(x^2+y^2), [x=0,y=0], 7);

Создание собственных процедур. Разложение функции в ряд Фурье.

В Maple имеется возможность создавать собственные процедуры. Процедура начинается с заголовка. Заголовок состоит из имени процедуры (его пользователь определяет сам), далее следует обязательный оператор присваивания := и служебное слово proc, после которого в круглых скобках через запятую указываются формальные параметры процедуры.

Во избежании неполадок работы процедуры, рекомендуется в строке заголовка процедуры описывать переменные, которые будут использоваться только внутри тела процедуры (они называются локальными переменными). Для этого используется служебное слово local, после которого через запятую перечисляются локальные переменные.

После заголовка следует основное тело процедуры, состоящее из составленных пользователем команд, причем последняя команда будет выводить окончательный результат выполнения процедуры. Процедура должна обязательно оканчиваться служебным словом end.

Общий вид процедуры (стандартный синтаксис):

> name:=proc(var1, var2, …) local vloc1, vloc2,…;

> expr1;

> expr2;

……………

> exprn;

> end;

В Maple нет команды, позволяющей производить разложение функции в тригонометрический ряд Фурье. Однако можно создать собственную процедуру разложения ряд Фурье. Пусть требуется разложить на интервале [x1, x2] 2l-периодическую функцию f(x). Тогда ряд Фурье имеет вид:

,

где l=(x2x1)/2;

; ; .

Получить первые n членов ряда Фурье можно с помощью следующей процедуры:

> fourierseries:=proc(f,x,x1,x2,n) local k, l,

a, b, s;

> l:=(x2-x1)/2;

> a[0]:=int(f,x=x1..x2)/l;

> a[k]:=int(f*cos(k*Pi*x/l),x=x1..x2)/l;

> b[k]:=int(f*sin(k*Pi*x/l),x=x1..x2)/l;

> s:=a[0]/2+sum(a[k]*cos(k*Pi*x/l)+

b[k]*sin(k*Pi*x/l), k=1..n);

> end;

Порядок обращения к этой процедуре такой: fourierseries(f,x,x1,x2,n), где f – имя функции, разложение которой требуется найти, где х – имя независимой переменной, где х1, x2 – интервал разложения, где n – число членов ряда.

Задание 1.3.

  1.  Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=x/2 с периодом 2 на интервале [0; 2], удерживая 6 членов ряда. Построить на одном рисунке графики функции и ее n-частичной суммы ряда Фурье.

Сначала полностью наберите процедуру fourierseries, предложенную выше в теоретической части.

> f:=x/2:x1:=0:x2:=2*Pi:

> fr:=fourierseries(f,x,x1,x2,6);

> plot({fr,f}, x=x1..x2, color=[blue,black],

thickness=2, linestyle=[3,1]);

Пунктирной линией изображен график n-частичной суммы ряда Фурье, а сплошной – самой функции. По виду n-частичной суммы ряда Фурье в данном примере легко установить общий вид этого ряда:

.

  1.  Разложить несколько раз в ряд Фурье функцию  с периодом 2 на интервале [;], удерживая 2, 4 и 8 членов ряда. Построить на одном рисунке графики функции и ее n-частичных сумм ряда Фурье.

> f:=exp(-x);x1:=-Pi;x2:=Pi:

> fr1:=fourierseries(f,x,x1,x2,2):

> fr2:=fourierseries(f,x,x1,x2,4):

> fr3:=fourierseries(f,x,x1,x2,8):

> plot({f,fr1,fr2,fr3},x=x1..x2,color=[black, blue, green, red], thickness=2, linestyle= [1,3,2,2]);

Сплошной линией изображен график функции, пунктирными – графики n-частичных сумм ряда Фурье. Видно, что чем больше слагаемых ряда удерживать, тем ближе расположен график суммы ряда к графику самой функции.

                        §2 Обучение основным методам интегрирования.

В Maple имеется пакет student, предназначенный для обучения математике. Он содержит набор подпрограмм, предназначенных для выполнения расчетов шаг за шагом, так, чтобы была понятна последовательность действий, приводящих к результату. К таким командам относятся интегрирование по частям inparts и замена переменной changevar.

Формула интегрирования по частям:

Если обозначить подынтегральную функцию f=u(x)v’(x), то параметры команды интегрирования по частям такие: intparts(Int(f, x), u), где u – именно та функция u(x), производную от которой предстоит вычислить по формуле интегрирования по частям.Если в интеграле требуется сделать замену переменных x=g(t) или t=h(x), то параметры команды замены переменных такие: changevar(h(x)=t, Int(f, x), t), где t новая переменная.

Обе команды intparts и changevar не вычисляют окончательно интеграл, а лишь производят промежуточную выкладку. Для того, чтобы получить окончательный ответ, следует, после выполнения этих команд ввести команду value(%); где % - обозначают предыдущую строку.

Не забудьте, перед использованием описанных здесь команд обязательно загрузить пакет student командой with(student). 

Задание 1.

  1.  Полностью проделать все этапы вычисления интеграла  по частям.

> restart; with(student): J=Int(x^3*sin(x),x);

> J=intparts(Int(x^3*sin(x),x),x^3);

> intparts(%,x^2);

> intparts(%,x);

> value(%);

  1.  Вычислить интеграл  с помощью универсальной подстановки .

> J=Int(1/(1+cos(x)), x=-Pi/2..Pi/2);

> J=changevar(tan(x/2)=t,Int(1/(1+cos(x)),

x=-Pi/2..Pi/2), t);

> value(%);

J=2

Контрольные задания.

При выполнении контрольных заданий студенту необходимо подставить вместо буквенных параметров индивидуальные анкетные характеристики:

- число букв в фамилии студента,

- число букв в имени студента,

- число букв в отчестве студента.

В отчете на титульном листе необходимо обязательно указать, какие анкетные данные использовались при выполнении контрольных заданий (имя, отчество, фамилия).

1. Найти сумму ряда  и сумму первых N членов.

а)    б)

2. К какой функции сходится степенной ряд: ?

3. Найти сумму степенного ряда .

4. Вычислить бесконечное произведение:

5. Вычислить произведение с точностью до 0,00001

6. Разложить в степенной ряд в окрестности x=0 до 11-ого порядка.

7. Разложить в ряд Тейлора функцию  до 6 – ого порядка в окрестности точки (0, 0).

8. Полностью проделать все этапы вычисления интеграла  по частям.

9. Вычислить интеграл  с помощью универсальной подстановки .

Контрольные вопросы.

  1.  Как вычислить сумму или произведение в Maple?
  2.  Какие команды осуществляют разложение функции в степенные ряды?
  3.  Для чего предназначен пакет student?
  4.  Опишите команду интегрирования по частям.
  5.  Опишите команду интегрирования методом замены переменных.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

15560. Реклама алкогольной продукции 51.5 KB
  21. Реклама алкогольной продукции1. Реклама алкогольной продукции не должна:1 содержать утверждение о том что употребление алкогольной продукции имеет важное значение для достижения общественного признания профессионального спортивного или личного успеха либо способ
15561. Реклама пива и напитков, изготавливаемых на его основе 61.5 KB
  22. Реклама пива и напитков изготавливаемых на его основе1. Реклама пива и напитков изготавливаемых на его основе не должна:1 содержать утверждение о том что употребление пива и напитков изготавливаемых на его основе имеет важное значение для достижения общественного п...
15562. Реклама табака, табачных изделий и курительных принадлежностей 52.5 KB
  23. Реклама табака табачных изделий и курительных принадлежностей1. Реклама табака табачных изделий и курительных принадлежностей в том числе трубок кальянов сигаретной бумаги зажигалок и других подобных товаров не должна:1 содержать утверждение о том что курение им
15563. Реклама лекарственных средств, медицинской техники, изделий медицинского назначения и медицинских услуг, в том числе методов лечения 54.5 KB
  24. Реклама лекарственных средств медицинской техники изделий медицинского назначения и медицинских услуг в том числе методов лечения1. Реклама лекарственных средств не должна:1 обращаться к несовершеннолетним;2 содержать ссылки на конкретные случаи излечения от забол...
15564. Реклама биологически активных добавок и пищевых добавок, продуктов детского питания 25 KB
  25. Реклама биологически активных добавок и пищевых добавок продуктов детского питания1. Реклама биологически активных добавок и пищевых добавок не должна:1 создавать впечатление о том что они являются лекарственными средствами и или обладают лечебными свойствами;2 со
15565. Реклама продукции военного назначения и оружия 53.5 KB
  26. Реклама продукции военного назначения и оружия1. Не допускается реклама:1 продукции военного назначения за исключением рекламы такой продукции в целях осуществления военнотехнического сотрудничества Российской Федерации с иностранными государствами;2 оружия не ук...
15566. Реклама основанных на риске игр, пари 50 KB
  27. Реклама основанных на риске игр пари1. Реклама основанных на риске игр пари не должна:1 обращаться к несовершеннолетним;2 создавать впечатление что участие в основанных на риске играх пари является способом заработка или получения иного дохода либо иным способом пол
15567. Реклама финансовых услуг 138.5 KB
  28. Реклама финансовых услуг1. Реклама банковских страховых и иных финансовых услуг должна содержать наименование или имя лица оказывающего эти услуги для юридического лица – наименование для индивидуального предпринимателя – фамилию имя отчество.2. Реклама банковски...
15568. Реклама ценных бумаг 63 KB
  29. Реклама ценных бумаг1. Не допускается реклама ценных бумаг предложение которых неограниченному кругу лиц не предусмотрено федеральными законами и иными нормативными правовыми актами Российской Федерации.2. Не допускается реклама имущественных прав не удостоверенны