42465

Ряды. Интегралы. Ряды и произведения

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Ряды и произведения Вычисление суммы ряда и произведений. Если требуется вычислить сумму бесконечного ряда то в качестве верхнего предела вводится infinity. Найти полную и Nчастичную суммы ряда общий член которого равен: n=. Найти сумму степенного ряда .

Русский

2013-10-29

149.5 KB

4 чел.

Лабораторная работа (3).

3. Ряды. Интегралы.

§1. Ряды и произведения

Вычисление суммы ряда и произведений.

Конечные и бесконечные суммы  вычисляются командой прямого исполнения sum и отложенного исполнения Sum. Аргументы этих команд одинаковые: sum(expr, n=a..b), где expr – выражение, зависящее от индекса суммирования, a..b – пределы индекса суммирования, указывающие, что суммировать следует от n=a до n=b.

Если требуется вычислить сумму бесконечного ряда, то в качестве верхнего предела вводится infinity.

Аналогичным образом вычисляются произведения  командами прямого product(P(n),n=a..b) и отложенного действий Product P(n),n=a..b).

Задание 1.1.

1. Найти полную и N-частичную суммы ряда, общий член которого равен: an=.

> restart: a[n]:=1/((3*n-2)*(3*n+1));

an:=

> S[N]:=Sum(a[n], n=1..N)=sum(a[n], n=1..N);

> S:=limit(rhs(S[N]), N=+infinity);

2. К какой функции сходится степенной ряд: ?

> Sum((-1)^(n+1)*n^2*x^n, n=1..infinity)=

sum((-1)^(n+1)*n^2*x^n, n=1..infinity);

.

3. Найти сумму степенного ряда .

> Sum((1+x)^n/((n+1)*n!), n=0..infinity)=

sum((1+x)^n/((n+1)*n!), n=0..infinity);

4. Вычислить бесконечное произведение:

> Product(2/n,n=1..infinity)=

product(2/n, n=1..infinity);

5.Вычислить произведение: 

> Product( k^2, k=1..4 )= product( k^2, k=1..4 );

Разложение функции в степенной ряд и ряд Тейлора.

Разложение функции f(x) в степенной ряд в окрестности точки а

осуществляется командой series(f(x), x=a, n), где а – точка, в окрестности которой производится разложение, n – число членов ряда.

Аналогичного действия команда taylor(f(x), x=a, n) раскладывает функции f(x) в окрестности точки x=a до порядка n-1 по формуле Тейлора.

Команды series и taylor выдают результат, имеющий тип series. Для того, чтобы иметь возможность дальнейшей работы с полученным разложением, его следует преобразовать в полином с помощью команды convert(%,polynom).

Функцию многих переменных f(x1,…,xn) можно разложить в ряд Тейлора по набору переменных (x1,…,xn) в окрестности точки (a1,…,an) до порядка n с помощью команды mtaylor(f(x), [x1,…,xn], n). Эта команда находится в стандартной библиотеке, поэтому перед использованием должна быть вызвана readlib(mtaylor).

Задание 1.2.

1. Разложить в степенной ряд  в окрестности х0=0, удерживая 5 первых членов.

> f(x)=series(exp(-x)*sqrt(x+1), x=0, 5);

2. Построить на одном рисунке графики интеграла ошибок  и его разложения в ряд Тейлора в окрестности нуля.

> taylor(erf(x),x,8): p:=convert(%,polynom);

> plot({erf(x),p},x=-2..2,thickness=[2,2],

linestyle=[1,3], color=[red,green]);

Пунктирной линей изображен график ряда Тейлора, а сплошной – самой функции.

3.Разложить  в ряд Тейлора в окрестности точки (0, 0) до 6-ого порядка.

> readlib(mtaylor):

> f=mtaylor(sin(x^2+y^2), [x=0,y=0], 7);

Создание собственных процедур. Разложение функции в ряд Фурье.

В Maple имеется возможность создавать собственные процедуры. Процедура начинается с заголовка. Заголовок состоит из имени процедуры (его пользователь определяет сам), далее следует обязательный оператор присваивания := и служебное слово proc, после которого в круглых скобках через запятую указываются формальные параметры процедуры.

Во избежании неполадок работы процедуры, рекомендуется в строке заголовка процедуры описывать переменные, которые будут использоваться только внутри тела процедуры (они называются локальными переменными). Для этого используется служебное слово local, после которого через запятую перечисляются локальные переменные.

После заголовка следует основное тело процедуры, состоящее из составленных пользователем команд, причем последняя команда будет выводить окончательный результат выполнения процедуры. Процедура должна обязательно оканчиваться служебным словом end.

Общий вид процедуры (стандартный синтаксис):

> name:=proc(var1, var2, …) local vloc1, vloc2,…;

> expr1;

> expr2;

……………

> exprn;

> end;

В Maple нет команды, позволяющей производить разложение функции в тригонометрический ряд Фурье. Однако можно создать собственную процедуру разложения ряд Фурье. Пусть требуется разложить на интервале [x1, x2] 2l-периодическую функцию f(x). Тогда ряд Фурье имеет вид:

,

где l=(x2x1)/2;

; ; .

Получить первые n членов ряда Фурье можно с помощью следующей процедуры:

> fourierseries:=proc(f,x,x1,x2,n) local k, l,

a, b, s;

> l:=(x2-x1)/2;

> a[0]:=int(f,x=x1..x2)/l;

> a[k]:=int(f*cos(k*Pi*x/l),x=x1..x2)/l;

> b[k]:=int(f*sin(k*Pi*x/l),x=x1..x2)/l;

> s:=a[0]/2+sum(a[k]*cos(k*Pi*x/l)+

b[k]*sin(k*Pi*x/l), k=1..n);

> end;

Порядок обращения к этой процедуре такой: fourierseries(f,x,x1,x2,n), где f – имя функции, разложение которой требуется найти, где х – имя независимой переменной, где х1, x2 – интервал разложения, где n – число членов ряда.

Задание 1.3.

  1.  Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=x/2 с периодом 2 на интервале [0; 2], удерживая 6 членов ряда. Построить на одном рисунке графики функции и ее n-частичной суммы ряда Фурье.

Сначала полностью наберите процедуру fourierseries, предложенную выше в теоретической части.

> f:=x/2:x1:=0:x2:=2*Pi:

> fr:=fourierseries(f,x,x1,x2,6);

> plot({fr,f}, x=x1..x2, color=[blue,black],

thickness=2, linestyle=[3,1]);

Пунктирной линией изображен график n-частичной суммы ряда Фурье, а сплошной – самой функции. По виду n-частичной суммы ряда Фурье в данном примере легко установить общий вид этого ряда:

.

  1.  Разложить несколько раз в ряд Фурье функцию  с периодом 2 на интервале [;], удерживая 2, 4 и 8 членов ряда. Построить на одном рисунке графики функции и ее n-частичных сумм ряда Фурье.

> f:=exp(-x);x1:=-Pi;x2:=Pi:

> fr1:=fourierseries(f,x,x1,x2,2):

> fr2:=fourierseries(f,x,x1,x2,4):

> fr3:=fourierseries(f,x,x1,x2,8):

> plot({f,fr1,fr2,fr3},x=x1..x2,color=[black, blue, green, red], thickness=2, linestyle= [1,3,2,2]);

Сплошной линией изображен график функции, пунктирными – графики n-частичных сумм ряда Фурье. Видно, что чем больше слагаемых ряда удерживать, тем ближе расположен график суммы ряда к графику самой функции.

                        §2 Обучение основным методам интегрирования.

В Maple имеется пакет student, предназначенный для обучения математике. Он содержит набор подпрограмм, предназначенных для выполнения расчетов шаг за шагом, так, чтобы была понятна последовательность действий, приводящих к результату. К таким командам относятся интегрирование по частям inparts и замена переменной changevar.

Формула интегрирования по частям:

Если обозначить подынтегральную функцию f=u(x)v’(x), то параметры команды интегрирования по частям такие: intparts(Int(f, x), u), где u – именно та функция u(x), производную от которой предстоит вычислить по формуле интегрирования по частям.Если в интеграле требуется сделать замену переменных x=g(t) или t=h(x), то параметры команды замены переменных такие: changevar(h(x)=t, Int(f, x), t), где t новая переменная.

Обе команды intparts и changevar не вычисляют окончательно интеграл, а лишь производят промежуточную выкладку. Для того, чтобы получить окончательный ответ, следует, после выполнения этих команд ввести команду value(%); где % - обозначают предыдущую строку.

Не забудьте, перед использованием описанных здесь команд обязательно загрузить пакет student командой with(student). 

Задание 1.

  1.  Полностью проделать все этапы вычисления интеграла  по частям.

> restart; with(student): J=Int(x^3*sin(x),x);

> J=intparts(Int(x^3*sin(x),x),x^3);

> intparts(%,x^2);

> intparts(%,x);

> value(%);

  1.  Вычислить интеграл  с помощью универсальной подстановки .

> J=Int(1/(1+cos(x)), x=-Pi/2..Pi/2);

> J=changevar(tan(x/2)=t,Int(1/(1+cos(x)),

x=-Pi/2..Pi/2), t);

> value(%);

J=2

Контрольные задания.

При выполнении контрольных заданий студенту необходимо подставить вместо буквенных параметров индивидуальные анкетные характеристики:

- число букв в фамилии студента,

- число букв в имени студента,

- число букв в отчестве студента.

В отчете на титульном листе необходимо обязательно указать, какие анкетные данные использовались при выполнении контрольных заданий (имя, отчество, фамилия).

1. Найти сумму ряда  и сумму первых N членов.

а)    б)

2. К какой функции сходится степенной ряд: ?

3. Найти сумму степенного ряда .

4. Вычислить бесконечное произведение:

5. Вычислить произведение с точностью до 0,00001

6. Разложить в степенной ряд в окрестности x=0 до 11-ого порядка.

7. Разложить в ряд Тейлора функцию  до 6 – ого порядка в окрестности точки (0, 0).

8. Полностью проделать все этапы вычисления интеграла  по частям.

9. Вычислить интеграл  с помощью универсальной подстановки .

Контрольные вопросы.

  1.  Как вычислить сумму или произведение в Maple?
  2.  Какие команды осуществляют разложение функции в степенные ряды?
  3.  Для чего предназначен пакет student?
  4.  Опишите команду интегрирования по частям.
  5.  Опишите команду интегрирования методом замены переменных.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33771. Договор розничной купли-продажи и защита прав потребителей 15.73 KB
  Договор розничной куплипродажи и защита прав потребителей. Договор розничной куплипродажи договор по которому продавец осуществляющий предпринимательскую деятельность по продаже товаров в розницу обязуется передать покупателю товар предназначенный для личного семейного домашнего или иного использования не связанного с предпринимательской деятельностью. Разновидности договора розничной куплипродажи: продажа товаров по образцам; продажа товаров с использованием автоматов; продажа с условием принятия товара покупателем в...
33772. Ответственность по договору розничной купли-продажи 14.71 KB
  Ответственность по договору розничной куплипродажи. Особенности ответственности по договору розничной куплипродажи: ответственность за нарушение прав потребителя может быть возложена не только на продавца но и на изготовителя товара; продавец не предоставивший покупателю информацию о товаре отвечает и за недостатки товара возникшие после его передачи; продавец не предоставивший покупателю информацию о товаре обязан возместить убытки возникшие у покупателя; возмещение продавцом убытков покупателю не освобождает его от...
33773. Понятие и сущность административного права. Предмет административно-правового регулирования и его особенности 18.28 KB
  Администрати́вное пра́во отрасль права регулирующая общественные отношения в сфере управленческой деятельности государственных органов и должностных лиц по исполнению публичных функций государства и муниципальных образований. Административное право как наука это составная часть юридической науки определяемая как система государственноуправленческих административных взглядов идей представлений о законах регламентирующих отношения в сфере государственного управления о его социальной обусловленности и эффективности о закономерностях...
33774. Объекты и субъекты административно-правовых отношений 140.01 KB
  Субъект это участник сторона правоотношения в сфере исполнительной власти наделенный соответствующими государственновластными полномочиями по осуществлению управленческих функций. Обычно в качестве субъекта административноправовых отношений управляющей стороны выступает орган исполнительной власти и его должностные лица в официальной форме выражающие волю и интересы государства. физические и юридические лица которые наделены правами и обязанностями в сфере исполнительной власти но в качестве управляемой стороны. Ими могут быть:...
33775. Понятие, виды и применение административных взысканий 17.05 KB
  Цель его защита правопорядка воспитание лиц совершивших административные правонарушения в духе уважения к закону и предупреждение совершения новых правонарушений самими правонарушителями и другими лицами. 24 КоАП за совершение административных правонарушений могут применяться следующие виды административных взысканий: 1 предупреждения; 2 штраф; 3 возмездное изъятие предмета явившегося орудием совершения или непосредственным объектом административного правонарушения; 4 конфискация предмета явившегося орудием совершения или...
33776. Государственные служащие и их категории 20.11 KB
  Государственный служащий гражданин Республики Беларусь занимающий в установленном законом порядке государственную должность наделенный соответствующими полномочиями и выполняющий служебные обязанности за денежное вознаграждение. К госслужащим относятся лица которые в установленном законом порядке занимают государственные должности в: 1 Палате Представителей и Совете Республики Парламента Национальное Собрание 2 в Правительстве и его аппарате 3 Конституционном Верховном Высшем Хозяйственном судах РБ иных общих и хозяйственных...
33777. Понятие и виды мер административной ответственности 21.41 KB
  Органы исполнительной власти и их должностные лица управомочены законом применять меры административной ответственности. По этому признаку административная ответственность отличается от дисциплинарной меры которой к работникам и служащим применяются в основном в порядке подчиненности вышестоящим органом должностным лицом. Меры административной ответственности применяются в соответствии с законодательством регламентирующим производство по делам об административных правонарушениях. В теории административного права меры административного...
33778. Понятие дисциплинарной ответственности. Меры дисциплинарной ответственности 17.28 KB
  Дисциплинарная ответственность вид юридической ответственности основным содержанием которой выступают меры дисциплинарное взыскание применяемые администрацией учреждения предприятия к сотруднику работнику в связи с совершением им дисциплинарного проступка. Функции дисциплинарной ответственности регулятивная направлена на формирование поведения сотрудника работника на определение границы между правомерным и противоправным исполнением своих трудовых обязанностей; превентивная предупреждение нарушения трудовой дисциплины как самим...
33779. Предмет и субъекты гражданского права 17.6 KB
  Вопервых это имущественные отношения которые представляют собой отношения возникающие по поводу имущества материальных благ имеющих экономическую форму товара. Вовторых это личные неимущественные отношения связанные с имущественными а в некоторых случаях и не связанные с ними. Имущественные и неимущественные отношения не обладающие вышеуказанными признаками не относятся к предмету гражданского права и не могут регулироваться его нормами.