42478

Дифференциальные уравнения

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Аналитическое решение дифференциальных уравнений. Численное решение дифференциальных уравнений. Аналитическое решение дифференциальных уравнений Общее решение дифференциальных уравнений. Параметры могут указывать метод решения задачи например по умолчанию ищется аналитическое решение: type=exct.

Русский

2013-10-29

184 KB

10 чел.

VI. Дифференциальные уравнения.

  1.  Аналитическое решение дифференциальных уравнений.
  2.  Численное решение дифференциальных уравнений.

§1. Аналитическое решение дифференциальных уравнений

 Общее решение дифференциальных уравнений.

Для нахождения аналитических решений дифференциальных уравнений в Maple применяется команда dsolve(eq,var,options), где eq – дифференциальное уравнение, var – неизвестные функции, options – параметры. Параметры могут указывать метод решения задачи, например, по умолчанию ищется аналитическое решение: type=exact. При составлении дифференциальных уравнений для обозначения производной применяется команда  diff, например, дифференциальное уравнение y''+y=x записывается в виде: diff(y(x),x$2)+y(x)=x. 

Общее решение дифференциального уравнения зависит от произвольных постоянных, число которых равно порядку дифференциального уравнения. В Maple такие постоянные, как правило, обозначаются как _С1, _С2, и т.д.

Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения всегда выводится так, чтобы была четко видна, структура этого решения. Как известно, общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения и частного решения этого же неоднородного дифференциального уравнения. Поэтому в строке вывода решение неоднородного линейного дифференциального уравнения всегда состоит из слагаемых, которые содержат произвольные постоянные (это общее решения соответствующего однородного дифференциального уравнения), и слагаемых без произвольных постоянных (это частное решения этого же неоднородного дифференциального уравнения).

Команда dsolve выдает решение дифференциального уравнения в невычисляемом формате. Для того, чтобы с решением можно было бы работать далее (например, построить график решения) следует отделить правую часть полученного решения командой rhs(%).

Задание 1.1.

1. Найти общее решение дифференциального уравнения y'+ycosx=sinxcosx.

> restart;

> de:=diff(y(x),x)+y(x)*cos(x)=sin(x)*cos(x);

de:=

> dsolve(de,y(x));

1

Итак, решение искомого уравнения есть функция 1.

Замечание: при записи решения диффреренциального уравнения в Maple в строке вывода произвольная постоянная обозначена как _С1.

  1.  Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка y''2y'+y=sinx+ex.

> restart;

> deq:=diff(y(x),x$2)-2*diff(y(x),x)+y(x)

=sin(x)+exp(-x);

deq:=

> dsolve(deq,y(x));

Замечание: так как исходное уравнение было второго порядка, то полученное решение содержит две произвольные константы, которые в Maple обычно обознаются как _С1 и _С2. Первые два слагаемых представляют собой общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения, а вторые два – частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

  1.  Найти общее решение дифференциального уравнения порядка y''+k2y=sin(qx) в двух случаях: qk и q=k (резонанс).

> restart; de:=diff(y(x),x$2)+k^2*y(x)=sin(q*x);

dsolve(de,y(x));

Теперь найдем решение в случае резонанса. Для этого перед вызовом команды dsolve следует приравнять q=k.

>  q:=k: dsolve(de,y(x));

Замечание: в обоих случаях частное решение неоднородного уравнения и общее решение, содержащее произвольные постоянные, выводятся отдельными слагаемыми.

Фундаментальная (базисная) система решений.

Команда dsolve предоставляет возможность найти фундаментальную систему решений (базисные функции) дифференциального уравнения. Для этого в параметрах команды dsolve следует указать output=basis.

Задание 1.2.

Найти фундаментальную систему решений дифференциального уравнения: y(4)+2y''+y=0.

> de:=diff(y(x),x$4)+2*diff(y(x),x$2)+y(x)=0;

de:=

> dsolve(de, y(x), output=basis);

Решение задачи Коши или краевой задачи.

Команда dsolve может найти решение задачи Коши  или краевой задачи, если помимо дифференциального уравнения задать начальные или краевые условия для неизвестной функции. Для обозначения производных в начальных или краевых условиях используется дифференциальный оператор , например, условие y''(0)=2 следует записать в виде , или условие y'(1)=0: . Напомним, что производная n-го порядка записывается в виде .

Задание 1.3.

1. Найти решение задачи Коши: y(4)+y''=2cosx, y(0)=2, y'(0)=1, y''(0)=0, y'''(0)=0.

> de:=diff(y(x),x$4)+diff(y(x),x$2)=2*cos(x);

> cond:=y(0)=-2, D(y)(0)=1, (D@@2)(y)(0)=0,

(D@@3)(y)(0)=0;

cond:=y(0)=2, D(y)(0)=1, (D(2))(y)(0)=0, (D(3))(y)(0)=0

> dsolve({de,cond},y(x));

y(x)=2cos(x)xsin(x)+х

2. Найти решение краевой задачи: , , . Построить график решения.

> restart; de:=diff(y(x),x$2)+y(x)=2*x-Pi;

de:=

> cond:=y(0)=0,y(Pi/2)=0;

 

> dsolve({de,cond},y(x));

y(x)=2x+cos(x)

Замечание: для построения графика решения предварительно следует отделить правую часть полученного выражения.

> y1:=rhs(%):plot(y1,x=-10..20,thickness=2);

Системы дифференциальных уравнений.

Команда dsolve может найти решение системы дифференциальных уравнений (или задачи Коши), если в ней указать: dsolve({sys},{x(t),y(t),…}), где sys  система дифференциальных уравнений, x(t),y(t),… набор неизвестных функций.

Задание 1.4.

Найти решение системы дифференциальных уравнений:

> sys:=diff(x(t),t)=-4*x(t)-2*y(t)+2/(exp(t)-1),

diff(y(t),t)=6*x(t)+3*y(t)-3/(exp(t)-1):

> dsolve({sys},{x(t),y(t)});

Найдены две функции x(t) и y(t), которые зависят от двух произвольных постоянных _С1 и _С2.

Приближенное решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

Для многих типов дифференциальных уравнений не может быть найдено точное аналитическое решение. В этом случае дифференциальное уравнение  можно решить с помощью приближенных методов, и, в частности, с помощью разложения в степенной ряд неизвестной функции.

Чтобы найти приближенное решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда, в команде dsolve следует после переменных указать параметр type=series (или просто series). Для того, чтобы указать порядок разложения n, т.е. порядок степени, до которой производить разложение, следует перед командой dsolve вставить определение порядка с помощью команды Order:=n.

Если ищется общее решение дифференциального уравнения в виде разложения в степенной ряд, то коэффициенты при степенях х найденного разложения будут содержать неизвестные значения функции в нуле y(0) и ее производных D(y)(0), (D@@2)(y)(0) и т.д. Полученное в строке вывода выражение будет иметь вид, похожий на разложение искомого решения в ряд Маклорена, но с другими коэффициентами при степенях х. Для выделения частного решения следует задать начальные условия y(0)=у1, D(y)(0)=у2, (D@@2)(y)(0)=у3 и т.д., причем количество этих начальных условий должно совпадать с порядком соответствующего дифференциального уравнения.

Разложение в степенной ряд имеет тип series, поэтому для дальнейшей работы с этим рядом его следует преобразовать в полином с помощью команды convert(%,polynom), а затем выделить правую часть полученного выражения командой rhs(%).

Задание 1.5.

1. Найти решение задачи Коши: ,  в виде степенного ряда с точностью до 5-го порядка.

> restart; Order:=5:

> dsolve({diff(y(x),x)=y(x)+x*exp(y(x)),

y(0)=0}, y(x), type=series);

В полученном решении слагаемое  означает, что точность разложения была до 5-го порядка.

2. Найти общее решение дифференциального уравнения y''(х)y3(х)=ехcosx, в виде разложения в степенной ряд до 4-го порядка. Найти разложение при начальных условиях: y(0)=1, y'(0)=0.

> restart; Order:=4: de:=diff(y(x),x$2)-

y(x)^3=exp(-x)*cos(x):

> f:=dsolve(de,y(x),series);

Замечание: в полученном разложении запись D(y)(0) обозначает производную в нуле: y'(0). Для нахождения частого решения осталось задать начальные условия:

> y(0):=1: D(y)(0):=0:f;

3. Найти приближенное решение в виде степенного ряда до 6-го порядка и точное решение задачи Коши: , , , . Построить на одном рисунке графики точного и приближенного решений.

> restart; Order:=6:

> de:=diff(y(x),x$3)-diff(y(x),x)=

3*(2-x^2)*sin(x);

de:=

> cond:=y(0)=1, D(y)(0)=1, (D@@2)(y)(0)=1;

cond:=y(0)=1, D(y)(0)=1, D(2)(y)(0)=1

> dsolve({de,cond},y(x));

y(x)=

> y1:=rhs(%):

> dsolve({de,cond},y(x), series);

y(x)=

Замечание: тип решения дифференциального уравнения в виде ряда есть series, поэтому для дальнейшего использования такого решения (вычислений или построения графика) его обязательно следует конвертировать в полином с помощью команды convert

> convert(%,polynom): y2:=rhs(%):

> p1:=plot(y1,x=-3..3,thickness=2,color=black):

> p2:=plot(y2,x=-3..3, linestyle=3,thickness=2,

color=blue):

> with(plots): display(p1,p2);

  

На этом рисунке видно, что наилучшее приближение точного решения степенным рядом достигается примерно на интервале 1<x<1.

§2. Численное решение дифференциальных уравнений

Численное решение дифференциальных уравнений с помощью команды dsolve. Построение графиков решений дифференциальных уравнений с помощью команды odeplot.

Для того, чтобы найти численное решение дифференциального уравнения (задачи Коши или краевой задачи) в команде dsolve следует указать параметр type=numeric (или просто numeric). Тогда команда решения дифференциального уравнения будет иметь вид dsolve(eq, vars, type=numeric, options), где eq – уравнения, vars – список неизвестных функций, options – параметры, позволяющие указать метод численного интегрирования дифференциального уравнения. В Maple реализованы такие методы: method=rkf45  метод Рунге-Кутта-Фельберга 4-5-ого порядка (установлен по умолчанию); method=dverk78 – метод Рунге-Кутта 7-8 порядка; mtthod=classical – классический метод Рунге-Кутта 3-его порядка; method=gear и method=mgear – одношаговый и многошаговый методы Гира.

График численного решения дифференциального уравнения можно построить с помощью команды odeplot(dd, [x,y(x)], x=x1..x2), где в качестве функции используется команда dd:=dsolve({eq,cond}, y(x), numeric) численного решения, после нее в квадратных скобках указывают переменную и неизвестную функцию [x,y(x)], и интервал x=x1..x2 для построения графика.

Задание 2.1.

1. Найти численное и приближенное решение в виде степенного ряда до 6-ого порядка задачи Коши: , , .

Сначала найдем численное решение задачи Коши и построим его график.

> restart; Ordev=6:

> eq:=diff(y(x),x$2)-x*sin(y(x))=sin(2*x):

> cond:=y(0)=0, D(y)(0)=1:

> de:=dsolve({eq,cond},y(x),numeric);

de:=proc(rkf45_x)...end

Замечание: в строке вывода появляется сообщение о том, что при решении использован метод rkf45. Во избежание вывода строк, не несущих полезной информации, рекомендуется отделять промежуточные команды двоеточием. Если необходимо получить значение решения при каком-то фиксированном значении переменной х (заодно будет выведено значение производной решения в этой точке), например, при х=0.5, то следует набрать:

> de(0.5);

> with(plots):

> odeplot(de,[x,y(x)],-10..10,thickness=2);

Теперь найдем приближенное решение задачи Коши в виде степенного ряда и построим графики численного решения и полученного степенного ряда в интервале их наилучшего совпадения.

> dsolve({eq, cond}, y(x), series);

> convert(%, polynom):p:=rhs(%):

> p1:=odeplot(de,[x,y(x)],-2..3, thickness=2,

color=black):

> p2:=plot(p,x=-2..3,thickness=2,linestyle=3,

color=blue):

> display(p1,p2);

Наилучшее приближение решения степенным рядом достигается примерно на интервале 1<x<1 (так же как и в примере 3 задания 1.5).

2. Построить графики решений задачи Коши системы дифференциальных уравнений:

х'(t)=2y(t)sin(t)х(t)t,

y'(t)=x(t),

х(0)=1, y(0)=2.

> restart; cond:=x(0)=1,y(0)=2:

> sys:=diff(x(t),t)=2*y(t)*sin(t)-x(t)-t,

diff(y(t),t)=x(t):

> F:=dsolve({sys,cond},[x(t),y(t)],numeric):

> with(plots):

> p1:=odeplot(F,[t,x(t)],-3..7, color=black,

thickness=2,linestyle=3):

> p2:=odeplot(F,[t,y(t)],-3..7,color=green,

thickness=2):

> p3:=textplot([3.5,8,"x(t)"], font=[TIMES,

ITALIC, 12]):

> p4:=textplot([5,13,"y(t)"], font=[TIMES,

ITALIC, 12]):

> display(p1,p2,p3,p4);

Пакет графического представления решений дифференциальных уравнений Detools.

Для численного решения задачи Коши, построения графиков решения и фазовых портретов в Maple имеется специальный пакет DEtools.

Команда DEplot из пакета DEtools строит численными методами графики решения или фазовые портреты. Эта команда аналогична команде odeplot, но более функциональна. Она, в отличие от odeplot, сама производит численное решение дифференциального уравнения. Основные параметры DEplot похожи на параметры odeplot: DEplot(de, vars, range, x=х1..х2, y=у1..у2, cond, ptions), где de  дифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений; vars – список неизвестных функций; range – диапазон измерения независимой переменной; cond – начальные условия; x=х1..х2 и y=у1..у2 – диапазоны изменения функций; options – дополнительные параметры.

Наиболее часто используемые параметры: linecolor=цвет линии; scene=[x,y] определяет, какие зависимости выводить на график; iterations=число итераций, необходимое для повышения точности вычислений (по умолчанию это число равно 1); stepsize=число, равное расстоянию между точками на графике, по умолчанию оно равно (x2x1)/20, этот параметр необходим для вывода более гладкой кривой решения; obsrange=true/false  прерывать или нет вычисления, если график решения выходит за установленный для рисования интервал.

Для решения дифференциального уравнения n-ого порядка начальные условия можно задавать в более компактной форме: [x0, y0, y'0, y''0,…], где x0 точка, в которой задаются начальные условия, y0 значение искомой функции в точке x0, y'0, y''0,…  значения производных первой, второй и т.д. до (n1)-ого порядка.

Задание 2.2.

Нарисовать график решения дифференциального уравнения: y cosx - y +  y = y - x ,

 , ,  в интервале [-2,5; 1,4].

> restart;  with(DEtools):

DEplot(cos(x)*diff(y(x),x$3)-diff(y(x),x$2)+Pi*diff(y(x),x)=y(x)-x,y(x),x=-2.5..1.4,[[y(0)=0,D(y)(0)=1,(D@@2)(y)(0)=1]],stepsize=.1,linecolor=black, thickness=2); 

Контрольные задания.

При выполнении контрольных заданий студенту необходимо подставить вместо буквенных параметров индивидуальные анкетные характеристики:

- число букв в фамилии студента,

- число букв в имени студента,

- число букв в отчестве студента.

В отчете на титульном листе необходимо обязательно указать, какие анкетные данные использовались при выполнении контрольных заданий (имя, отчество, фамилия).

1. Найти общее решение дифференциального уравнения:

а)

б)

2. Найти фундаментальную систему решений дифференциального уравнения:

3. Найти решение задачи Коши: ,

4. Найти решение системы дифференциальных уравнений:

при начальных условиях х(0)=1, х'(0)=0; у(0)=1.

5.  Построить график численного решения задачи Коши

а)

б) , , .

6. Построить график численного решения задачи Коши  на интервале [1.5; 3], используя команду DEplot.

Контрольные вопросы.

  1.  Какая команда позволяет решить дифференциальное уравнение? Опишите ее параметры.
  2.  С помощью каких операторов обозначается производная в дифференциальном уравнении и в начальных условиях?
  3.  Какой параметр команды dsolve следует установить, чтобы получить фундаментальную систему дифференциальных уравнений?
  4.  Какой параметр команды dsolve следует установить, чтобы получить приближенное решение дифференциального уравнения в виде разложения в степенной ряд? Как определяется порядок разложения?
  5.  Опишите, какие команды нужно ввести, прежде чем построить график приближенного решения, полученного в виде степенного ряда.
  6.  Какой параметр команды dsolve следует установить, чтобы решить дифференциальное уравнение численно?
  7.  Как найти значение решения дифференциального уравнения в какой-либо конкретной точке?
  8.  Какая команда позволяет построить график численно решенного дифференциального уравнения? В каком пакете находится эта команда?
  9.  Какой пакет предназначен для графического представления и численного решения дифференциального уравнения?
  10.  В чем отличие команд odeplot и DEplot?


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

17738. ПРИНЦИПЫ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ЛОКАЛЬНЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СЕТЕЙ 124.87 KB
  Лабораторная работа №1 ПРИНЦИПЫ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ЛОКАЛЬНЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СЕТЕЙ Цель работы : ознакомиться с основными принципами функционирования локальных вычислительных сетей Основные компоненты и типы ЛВС ЛВС на базе ПК получили в настоящее время
17739. Компоновка локальных вычислительных сетей 103.5 KB
  Лабораторная работа №2. Компоновка локальных вычислительных сетей Цель работы: изучить варианты компоновки локальных вычислительных сетей Понятие топологии сети и базовые топологии Существует большое число способов которыми можно соединить компьютеры
17740. ФИЗИЧЕСКАЯ СРЕДА ПЕРЕДАЧИ ДАННЫХ 205.5 KB
  Лабораторная работа №3 Физическая среда передачи данных Цель работы: изучить оборудование предназначенное для передачи данных Основные типы кабельных и беспроводных сред передачи данных На сегодня большая часть компьютерных сетей используют для соединен...
17741. РАСШИРЕНИЕ ЛОКАЛЬНЫХ СЕТЕЙ 230.5 KB
  Лабораторная работа № 6 РАСШИРЕНИЕ ЛОКАЛЬНЫХ СЕТЕЙ Цель занятия: Изучить причины расширения ЛВС и используемые для этого устройства Краткие сведения из теории ЛВС имеют свойство перерастать начальные проекты. С ростом компаний растут и ЛВС. Изменение профи...
17742. СЕТЕВЫЕ АРХИТЕКТУРЫ 219.5 KB
  Лабораторная работа №5. СЕТЕВЫЕ АРХИТЕКТУРЫ Цель работы : Ознакомиться со стандартами топологией и протоколами сети. Краткие сведения из теории Сетевая архитектура – это комбинация стандартов топологий и протоколов необходимых для создания работоспособной с
17743. Основы протокола TCP/IP 180 KB
  Лабораторная работа №7 Основы протокола TCP/IP Цель работы: Изучить уровни TCP/IP протокола. И IP адресацию. Краткие сведения из теории Термин TCP/IP обычно обозначает все что связано с протоколами TCP и IP. Он охватывает целое семейство протоколов прикладные программы и д...
17744. ПРАВА ДОСТУПА 63.5 KB
  Лабораторная работа № 4 ПРАВА ДОСТУПА Администраторское Supervisory версия З.х. Право Supervisory предоставляет все права в определенном каталоге или файле. На уровне каталогов оно дает все права доступа к каталогу а также к любому файлу подкаталогу и к файлам подкатало...
17745. Течение жидкости в колесе центробежного насоса. КПД насосов 226.5 KB
  Лекция 4. Течение жидкости в колесе центробежного насоса. КПД насосов. 4.1. Течение жидкости в колесе центробежного насоса. В реальных насосах число лопастей конечно. Соответственно построение треугольников скоростей здесь должно быть выполнено с учётом реального движ...