42478

Дифференциальные уравнения

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Аналитическое решение дифференциальных уравнений. Численное решение дифференциальных уравнений. Аналитическое решение дифференциальных уравнений Общее решение дифференциальных уравнений. Параметры могут указывать метод решения задачи например по умолчанию ищется аналитическое решение: type=exct.

Русский

2013-10-29

184 KB

10 чел.

VI. Дифференциальные уравнения.

  1.  Аналитическое решение дифференциальных уравнений.
  2.  Численное решение дифференциальных уравнений.

§1. Аналитическое решение дифференциальных уравнений

 Общее решение дифференциальных уравнений.

Для нахождения аналитических решений дифференциальных уравнений в Maple применяется команда dsolve(eq,var,options), где eq – дифференциальное уравнение, var – неизвестные функции, options – параметры. Параметры могут указывать метод решения задачи, например, по умолчанию ищется аналитическое решение: type=exact. При составлении дифференциальных уравнений для обозначения производной применяется команда  diff, например, дифференциальное уравнение y''+y=x записывается в виде: diff(y(x),x$2)+y(x)=x. 

Общее решение дифференциального уравнения зависит от произвольных постоянных, число которых равно порядку дифференциального уравнения. В Maple такие постоянные, как правило, обозначаются как _С1, _С2, и т.д.

Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения всегда выводится так, чтобы была четко видна, структура этого решения. Как известно, общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения и частного решения этого же неоднородного дифференциального уравнения. Поэтому в строке вывода решение неоднородного линейного дифференциального уравнения всегда состоит из слагаемых, которые содержат произвольные постоянные (это общее решения соответствующего однородного дифференциального уравнения), и слагаемых без произвольных постоянных (это частное решения этого же неоднородного дифференциального уравнения).

Команда dsolve выдает решение дифференциального уравнения в невычисляемом формате. Для того, чтобы с решением можно было бы работать далее (например, построить график решения) следует отделить правую часть полученного решения командой rhs(%).

Задание 1.1.

1. Найти общее решение дифференциального уравнения y'+ycosx=sinxcosx.

> restart;

> de:=diff(y(x),x)+y(x)*cos(x)=sin(x)*cos(x);

de:=

> dsolve(de,y(x));

1

Итак, решение искомого уравнения есть функция 1.

Замечание: при записи решения диффреренциального уравнения в Maple в строке вывода произвольная постоянная обозначена как _С1.

  1.  Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка y''2y'+y=sinx+ex.

> restart;

> deq:=diff(y(x),x$2)-2*diff(y(x),x)+y(x)

=sin(x)+exp(-x);

deq:=

> dsolve(deq,y(x));

Замечание: так как исходное уравнение было второго порядка, то полученное решение содержит две произвольные константы, которые в Maple обычно обознаются как _С1 и _С2. Первые два слагаемых представляют собой общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения, а вторые два – частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

  1.  Найти общее решение дифференциального уравнения порядка y''+k2y=sin(qx) в двух случаях: qk и q=k (резонанс).

> restart; de:=diff(y(x),x$2)+k^2*y(x)=sin(q*x);

dsolve(de,y(x));

Теперь найдем решение в случае резонанса. Для этого перед вызовом команды dsolve следует приравнять q=k.

>  q:=k: dsolve(de,y(x));

Замечание: в обоих случаях частное решение неоднородного уравнения и общее решение, содержащее произвольные постоянные, выводятся отдельными слагаемыми.

Фундаментальная (базисная) система решений.

Команда dsolve предоставляет возможность найти фундаментальную систему решений (базисные функции) дифференциального уравнения. Для этого в параметрах команды dsolve следует указать output=basis.

Задание 1.2.

Найти фундаментальную систему решений дифференциального уравнения: y(4)+2y''+y=0.

> de:=diff(y(x),x$4)+2*diff(y(x),x$2)+y(x)=0;

de:=

> dsolve(de, y(x), output=basis);

Решение задачи Коши или краевой задачи.

Команда dsolve может найти решение задачи Коши  или краевой задачи, если помимо дифференциального уравнения задать начальные или краевые условия для неизвестной функции. Для обозначения производных в начальных или краевых условиях используется дифференциальный оператор , например, условие y''(0)=2 следует записать в виде , или условие y'(1)=0: . Напомним, что производная n-го порядка записывается в виде .

Задание 1.3.

1. Найти решение задачи Коши: y(4)+y''=2cosx, y(0)=2, y'(0)=1, y''(0)=0, y'''(0)=0.

> de:=diff(y(x),x$4)+diff(y(x),x$2)=2*cos(x);

> cond:=y(0)=-2, D(y)(0)=1, (D@@2)(y)(0)=0,

(D@@3)(y)(0)=0;

cond:=y(0)=2, D(y)(0)=1, (D(2))(y)(0)=0, (D(3))(y)(0)=0

> dsolve({de,cond},y(x));

y(x)=2cos(x)xsin(x)+х

2. Найти решение краевой задачи: , , . Построить график решения.

> restart; de:=diff(y(x),x$2)+y(x)=2*x-Pi;

de:=

> cond:=y(0)=0,y(Pi/2)=0;

 

> dsolve({de,cond},y(x));

y(x)=2x+cos(x)

Замечание: для построения графика решения предварительно следует отделить правую часть полученного выражения.

> y1:=rhs(%):plot(y1,x=-10..20,thickness=2);

Системы дифференциальных уравнений.

Команда dsolve может найти решение системы дифференциальных уравнений (или задачи Коши), если в ней указать: dsolve({sys},{x(t),y(t),…}), где sys  система дифференциальных уравнений, x(t),y(t),… набор неизвестных функций.

Задание 1.4.

Найти решение системы дифференциальных уравнений:

> sys:=diff(x(t),t)=-4*x(t)-2*y(t)+2/(exp(t)-1),

diff(y(t),t)=6*x(t)+3*y(t)-3/(exp(t)-1):

> dsolve({sys},{x(t),y(t)});

Найдены две функции x(t) и y(t), которые зависят от двух произвольных постоянных _С1 и _С2.

Приближенное решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

Для многих типов дифференциальных уравнений не может быть найдено точное аналитическое решение. В этом случае дифференциальное уравнение  можно решить с помощью приближенных методов, и, в частности, с помощью разложения в степенной ряд неизвестной функции.

Чтобы найти приближенное решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда, в команде dsolve следует после переменных указать параметр type=series (или просто series). Для того, чтобы указать порядок разложения n, т.е. порядок степени, до которой производить разложение, следует перед командой dsolve вставить определение порядка с помощью команды Order:=n.

Если ищется общее решение дифференциального уравнения в виде разложения в степенной ряд, то коэффициенты при степенях х найденного разложения будут содержать неизвестные значения функции в нуле y(0) и ее производных D(y)(0), (D@@2)(y)(0) и т.д. Полученное в строке вывода выражение будет иметь вид, похожий на разложение искомого решения в ряд Маклорена, но с другими коэффициентами при степенях х. Для выделения частного решения следует задать начальные условия y(0)=у1, D(y)(0)=у2, (D@@2)(y)(0)=у3 и т.д., причем количество этих начальных условий должно совпадать с порядком соответствующего дифференциального уравнения.

Разложение в степенной ряд имеет тип series, поэтому для дальнейшей работы с этим рядом его следует преобразовать в полином с помощью команды convert(%,polynom), а затем выделить правую часть полученного выражения командой rhs(%).

Задание 1.5.

1. Найти решение задачи Коши: ,  в виде степенного ряда с точностью до 5-го порядка.

> restart; Order:=5:

> dsolve({diff(y(x),x)=y(x)+x*exp(y(x)),

y(0)=0}, y(x), type=series);

В полученном решении слагаемое  означает, что точность разложения была до 5-го порядка.

2. Найти общее решение дифференциального уравнения y''(х)y3(х)=ехcosx, в виде разложения в степенной ряд до 4-го порядка. Найти разложение при начальных условиях: y(0)=1, y'(0)=0.

> restart; Order:=4: de:=diff(y(x),x$2)-

y(x)^3=exp(-x)*cos(x):

> f:=dsolve(de,y(x),series);

Замечание: в полученном разложении запись D(y)(0) обозначает производную в нуле: y'(0). Для нахождения частого решения осталось задать начальные условия:

> y(0):=1: D(y)(0):=0:f;

3. Найти приближенное решение в виде степенного ряда до 6-го порядка и точное решение задачи Коши: , , , . Построить на одном рисунке графики точного и приближенного решений.

> restart; Order:=6:

> de:=diff(y(x),x$3)-diff(y(x),x)=

3*(2-x^2)*sin(x);

de:=

> cond:=y(0)=1, D(y)(0)=1, (D@@2)(y)(0)=1;

cond:=y(0)=1, D(y)(0)=1, D(2)(y)(0)=1

> dsolve({de,cond},y(x));

y(x)=

> y1:=rhs(%):

> dsolve({de,cond},y(x), series);

y(x)=

Замечание: тип решения дифференциального уравнения в виде ряда есть series, поэтому для дальнейшего использования такого решения (вычислений или построения графика) его обязательно следует конвертировать в полином с помощью команды convert

> convert(%,polynom): y2:=rhs(%):

> p1:=plot(y1,x=-3..3,thickness=2,color=black):

> p2:=plot(y2,x=-3..3, linestyle=3,thickness=2,

color=blue):

> with(plots): display(p1,p2);

  

На этом рисунке видно, что наилучшее приближение точного решения степенным рядом достигается примерно на интервале 1<x<1.

§2. Численное решение дифференциальных уравнений

Численное решение дифференциальных уравнений с помощью команды dsolve. Построение графиков решений дифференциальных уравнений с помощью команды odeplot.

Для того, чтобы найти численное решение дифференциального уравнения (задачи Коши или краевой задачи) в команде dsolve следует указать параметр type=numeric (или просто numeric). Тогда команда решения дифференциального уравнения будет иметь вид dsolve(eq, vars, type=numeric, options), где eq – уравнения, vars – список неизвестных функций, options – параметры, позволяющие указать метод численного интегрирования дифференциального уравнения. В Maple реализованы такие методы: method=rkf45  метод Рунге-Кутта-Фельберга 4-5-ого порядка (установлен по умолчанию); method=dverk78 – метод Рунге-Кутта 7-8 порядка; mtthod=classical – классический метод Рунге-Кутта 3-его порядка; method=gear и method=mgear – одношаговый и многошаговый методы Гира.

График численного решения дифференциального уравнения можно построить с помощью команды odeplot(dd, [x,y(x)], x=x1..x2), где в качестве функции используется команда dd:=dsolve({eq,cond}, y(x), numeric) численного решения, после нее в квадратных скобках указывают переменную и неизвестную функцию [x,y(x)], и интервал x=x1..x2 для построения графика.

Задание 2.1.

1. Найти численное и приближенное решение в виде степенного ряда до 6-ого порядка задачи Коши: , , .

Сначала найдем численное решение задачи Коши и построим его график.

> restart; Ordev=6:

> eq:=diff(y(x),x$2)-x*sin(y(x))=sin(2*x):

> cond:=y(0)=0, D(y)(0)=1:

> de:=dsolve({eq,cond},y(x),numeric);

de:=proc(rkf45_x)...end

Замечание: в строке вывода появляется сообщение о том, что при решении использован метод rkf45. Во избежание вывода строк, не несущих полезной информации, рекомендуется отделять промежуточные команды двоеточием. Если необходимо получить значение решения при каком-то фиксированном значении переменной х (заодно будет выведено значение производной решения в этой точке), например, при х=0.5, то следует набрать:

> de(0.5);

> with(plots):

> odeplot(de,[x,y(x)],-10..10,thickness=2);

Теперь найдем приближенное решение задачи Коши в виде степенного ряда и построим графики численного решения и полученного степенного ряда в интервале их наилучшего совпадения.

> dsolve({eq, cond}, y(x), series);

> convert(%, polynom):p:=rhs(%):

> p1:=odeplot(de,[x,y(x)],-2..3, thickness=2,

color=black):

> p2:=plot(p,x=-2..3,thickness=2,linestyle=3,

color=blue):

> display(p1,p2);

Наилучшее приближение решения степенным рядом достигается примерно на интервале 1<x<1 (так же как и в примере 3 задания 1.5).

2. Построить графики решений задачи Коши системы дифференциальных уравнений:

х'(t)=2y(t)sin(t)х(t)t,

y'(t)=x(t),

х(0)=1, y(0)=2.

> restart; cond:=x(0)=1,y(0)=2:

> sys:=diff(x(t),t)=2*y(t)*sin(t)-x(t)-t,

diff(y(t),t)=x(t):

> F:=dsolve({sys,cond},[x(t),y(t)],numeric):

> with(plots):

> p1:=odeplot(F,[t,x(t)],-3..7, color=black,

thickness=2,linestyle=3):

> p2:=odeplot(F,[t,y(t)],-3..7,color=green,

thickness=2):

> p3:=textplot([3.5,8,"x(t)"], font=[TIMES,

ITALIC, 12]):

> p4:=textplot([5,13,"y(t)"], font=[TIMES,

ITALIC, 12]):

> display(p1,p2,p3,p4);

Пакет графического представления решений дифференциальных уравнений Detools.

Для численного решения задачи Коши, построения графиков решения и фазовых портретов в Maple имеется специальный пакет DEtools.

Команда DEplot из пакета DEtools строит численными методами графики решения или фазовые портреты. Эта команда аналогична команде odeplot, но более функциональна. Она, в отличие от odeplot, сама производит численное решение дифференциального уравнения. Основные параметры DEplot похожи на параметры odeplot: DEplot(de, vars, range, x=х1..х2, y=у1..у2, cond, ptions), где de  дифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений; vars – список неизвестных функций; range – диапазон измерения независимой переменной; cond – начальные условия; x=х1..х2 и y=у1..у2 – диапазоны изменения функций; options – дополнительные параметры.

Наиболее часто используемые параметры: linecolor=цвет линии; scene=[x,y] определяет, какие зависимости выводить на график; iterations=число итераций, необходимое для повышения точности вычислений (по умолчанию это число равно 1); stepsize=число, равное расстоянию между точками на графике, по умолчанию оно равно (x2x1)/20, этот параметр необходим для вывода более гладкой кривой решения; obsrange=true/false  прерывать или нет вычисления, если график решения выходит за установленный для рисования интервал.

Для решения дифференциального уравнения n-ого порядка начальные условия можно задавать в более компактной форме: [x0, y0, y'0, y''0,…], где x0 точка, в которой задаются начальные условия, y0 значение искомой функции в точке x0, y'0, y''0,…  значения производных первой, второй и т.д. до (n1)-ого порядка.

Задание 2.2.

Нарисовать график решения дифференциального уравнения: y cosx - y +  y = y - x ,

 , ,  в интервале [-2,5; 1,4].

> restart;  with(DEtools):

DEplot(cos(x)*diff(y(x),x$3)-diff(y(x),x$2)+Pi*diff(y(x),x)=y(x)-x,y(x),x=-2.5..1.4,[[y(0)=0,D(y)(0)=1,(D@@2)(y)(0)=1]],stepsize=.1,linecolor=black, thickness=2); 

Контрольные задания.

При выполнении контрольных заданий студенту необходимо подставить вместо буквенных параметров индивидуальные анкетные характеристики:

- число букв в фамилии студента,

- число букв в имени студента,

- число букв в отчестве студента.

В отчете на титульном листе необходимо обязательно указать, какие анкетные данные использовались при выполнении контрольных заданий (имя, отчество, фамилия).

1. Найти общее решение дифференциального уравнения:

а)

б)

2. Найти фундаментальную систему решений дифференциального уравнения:

3. Найти решение задачи Коши: ,

4. Найти решение системы дифференциальных уравнений:

при начальных условиях х(0)=1, х'(0)=0; у(0)=1.

5.  Построить график численного решения задачи Коши

а)

б) , , .

6. Построить график численного решения задачи Коши  на интервале [1.5; 3], используя команду DEplot.

Контрольные вопросы.

  1.  Какая команда позволяет решить дифференциальное уравнение? Опишите ее параметры.
  2.  С помощью каких операторов обозначается производная в дифференциальном уравнении и в начальных условиях?
  3.  Какой параметр команды dsolve следует установить, чтобы получить фундаментальную систему дифференциальных уравнений?
  4.  Какой параметр команды dsolve следует установить, чтобы получить приближенное решение дифференциального уравнения в виде разложения в степенной ряд? Как определяется порядок разложения?
  5.  Опишите, какие команды нужно ввести, прежде чем построить график приближенного решения, полученного в виде степенного ряда.
  6.  Какой параметр команды dsolve следует установить, чтобы решить дифференциальное уравнение численно?
  7.  Как найти значение решения дифференциального уравнения в какой-либо конкретной точке?
  8.  Какая команда позволяет построить график численно решенного дифференциального уравнения? В каком пакете находится эта команда?
  9.  Какой пакет предназначен для графического представления и численного решения дифференциального уравнения?
  10.  В чем отличие команд odeplot и DEplot?


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23524. Водский язык в 19 – 20 веках 294.5 KB
  А теперь как здороваться и прощаться: Terve Tere päivä Тэрве Тэрэпяйвя Здравствуйте Добрый день Tere oomnikkoa Тэрэ оомниккоа Доброе утро Tere õhtagoa Тэрэ ыхтагоа Добрый вечер Jäämm yvässi Яямм ювясси До свидания Познакомимся теперь с так называемыми кумулятивными рунами: Kuza piippu Ađđaa nalla. Возьмем глаголы из прошлого урока и образуем от них будущее время: valaa наливать valavad наливают nõizõn valamaa буду наливать juvva пить joovad пьют nõizõn joomaa буду пить syvvä есть ...
23525. Повседневный арабский язык 1.95 MB
  Что касается ритма занятий то было бы оптимально если бы Вы прослушивали каждый день по новому разговору. Предисловие для преподающих арабский язык Дорогие коллеги Данный материал может быть использован для занятий как в группе так и индивидуально. Это господин Али альХаляби. Меня зовут Али альХаляби.
23526. АРАБСКИЙ ЯЗЫК В ДИАЛОГАХ 590 KB
  Разговор 3 В гостинице اَلْحِوَارُ اَلثَالِثُ فِي اَلْفُنْدُقِ Добрый вечер يُورِي: مَسَاءُ اَلْخَيْرِ Добрый вечер سَعِيدْ: مَسَاءُ اَلْخَيْرِ Меня зовут Юрий Кабанов. شُكْراً جَزِيلاً Не за что прощение اَلْعَفْوُ Разговор 6 Телефонный разговор مُكَالَمَةٌ هَاتِفِيَّةٌ Алло أَلُو Да кто на линии на проводе نَعَمْ، مَنْ عَلَى اَلْخَطِّ؟ Я Юрий из Москвы. Добро пожаловать господин Юрий Где ты сейчас أَهْلاً وَسَهْلاً يَا سَيِّدْ يُورِي أَيْنَ أَنْتَ اَلآنَ؟ Я сейчас в городе Фес в гостинице. Основная часть Разговор 1...
23527. Словарь шумеро-аккадского языка 849 KB
  Составление первого подобного словаря на русском языке при отсутствии картотеки картотека составлявшаяся в течение многих лет погибла во время Отечественной войны и блокады Ленинграда оказалось делом исключительно трудоемким и создание его потребовало большого напряжения и большой затраты сил хотя словарь этот включает только не большое число текстов рассчитанных для чтения на первых двух курсах обучения в университете и естественно не может претендовать на полноту. Струве вполне отвечает научным требованиям составления...
23528. Грамматика датского языка 475 KB
  they немое после l n r и перед t s dreng [дрэŋ] мальчик gade [гэ:ðэ] улица holdt [хольт] остановка e [e] [æ] [a] закрытое как в слове меч в конце открытое э перед g открытое a leve [лeвэ] жить spise [сби:сэ] есть jeg [яй] я meget [майэт] очень f [ф] как русское far [фа:] отец g [г] [у] [ŋ] [и] [ ] в начале слова г в середине или конце слова у носовое ŋ как в англ. слове sing после гласной и иногда немое в середине слова give [gi:væ] or [gi] give brag [брa'у] удар synge [сюŋэ] петь sang [саŋ] песня jeg...
23529. ГРАММАТИКА ИСПАНСКОГО ЯЗЫКА 1.03 MB
  1 Имя существительное Nombre sustantivo В испанском языке существительные бывают: собственные Rosa Роза Carmen Кармен 2 нарицательные la mesa стол el árbol дерево одушевленные el hombre мужчина el gato кот неодушевленные el bosque лес la silla стул конкретные la cara лицо el techo потолок абстрактные el tiempo время el aire воздух собирательные la biblioteca библиотека la muchedumbre толпа 1. Существительные которые оканчиваются в единственном числе на согласные z и x меняют их во множественном числе на c:...
23530. Повседневный немецкий язык 1.92 MB
  ru Einleitung Введение Первая часть Herr Klein Guten Tag Hören Sie bitte zu Ich bin Dieter Klein. Ich bin Lehrer. Ich bin Deutscher. Ich spreche Deutsch.
23531. ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ ФРАЗЕОЛОГИЯ НЕМЕЦКОГО ЯЗЫКА 1.56 MB
  Немец же говорит: Как стары Вы Wie alt sind Sie Сколько часов Wieviel Uhr ist es Я имею голод. Entschuldigen Sie bitte daß ich so spät anrufe. Sie wollen hier einen Dokumentarfilm drehen 4: Sieben Tage in Moskau‘. Da brauchen wir für sie einen guten Ubersetzer.