42481

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА И МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТВЁРДЫХ ТЕЛ НА УСТАНОВКЕ «КРУТИЛЬНЫЙ МАЯТНИК»

Лабораторная работа

Физика

Крутильный маятник по своему конструктивному устройству аналогичен крутильным весам. Различие, однако, в том, что весы используются в статическом режиме равновесия, а маятник применяется в динамическом режиме. При этом детали его конструкции вращаются, периодически изменяя направление поворота. Определение моментов инерции тел относительно главных и парал лельных осей 7 2. Измерение момента инерции рамки крутильного маятника...

Русский

2013-10-29

1.2 MB

14 чел.

ФГОУ ВПО «КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ     ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

КАФЕДРА ФИЗИКИ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА И МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТВЁРДЫХ ТЕЛ НА УСТАНОВКЕ «КРУТИЛЬНЫЙ МАЯТНИК»

Методическое указание к выполнению лабораторной работы по курсу общей физики для студентов инженерно-технических специальностей

Калининград

2008

ОГЛАВЛЕНИЕ

                                                                                                                                          стр.

 I. ВВЕДЕНИЕ                                                                                                       1             

1.1. Общие сведения о деформации тел при кручении и моменте сил

упругих деформаций нитей в установках типа крутильных весов и

крутильного маятника                                                                                             1            

1.2. Вывод уравнения крутильных колебаний и методика определения

коэффициента кручения                                                                                  4                      1.3. Определение моментов инерции тел относительно главных и парал-

лельных осей                                                                                                       7                                            

2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ                                                     9                

2.1. Экспериментальная часть                                                                         9                  

2.2. Общие указания по подготовке и проведению измерений.            11         

2.2.1. Подготовка                                                                                                      11                       

2.2.2. Измерения                                                                                                      12                       

2.3. Экспериментальные задания и обработка результатов                               13                       

Задание № I. Измерение коэффициента кручения и модуля сдвига

cтальногопровода                                                                                                     13                  

Задание № 2. Измерение момента инерции рамки крутильного

маятника                                                                                                                15              

Задание № 3. Измерение моментов инерции тел относительно главных

осей                                                                                                                          15                Задание № 4. Измерение моментов инерции тел относительно оси, не

проходящей через центр масс                                                                                 17                    

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРОВЕРКИ                                                                                 18     

ПРИЛОЖЕНИЕ. Главные оси и главные моменты инерции симметричных

однородных тел                                                                                                     19              СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ                                                                                 20                       

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

1. Изучение характеристик крутильных колебаний и определение коэффициента кручения в экспериментальной установке "крутильный маятник".

 2.Измерение модуля сдвига стального провода.

          3.Измерение главных моментов инерции твёрдых тел разной формы.

          4.Измерение моментов инерции твёрдых тел относительно оси, не проходящей через центр масс тела. Изучение теоремы Штейнера о параллельных осях.

         ИСПОЛЬЗУЕМЫЙ РЕКВИЗИТ: сменные грузы, штангенциркуль, ручной секундомер (при необходимости).

I. ВВЕДЕНИЕ

1.1. Общие сведения о деформации тел при кручении и моменте сил упругих деформаций нитей в установках типа крутильных весов и крутильного маятника.

Крутильный маятник по своему конструктивному устройству аналогичен крутильным весам. Различие, однако, в том, что весы используются в статическом режиме равновесия, а маятник  применяется в динамическом режиме. При этом детали его конструкции вращаются, периодически изменяя направление поворота.

Простейшая конструкция крутильных весов (и крутильного маятника) представляет собой подвес на вертикальной нити, на свободном конце которой закреплена симметричная горизонтальная штанга или иное приспособление (например, рамка для установки изучаемых тел). С целью лучшей стабилизации оси поворота часто применяют растяжку, т.е. натянутые и закреплённые на концах две нити. В средней части располагается штанга либо рамка с боковыми рычагами (см. рис.1).

                   

Рис.1

                                     I – нити,   2  - рамка с рычагами

                     

Если к рычагам рамки приложить горизонтальную силу, тогда нить, закреплённая на другом конце, начинает закручиваться. При закрутке нити происходят деформации сдвига её слоёв и возникает момент упругих сил, препятствующий повороту и стремящийся вернуть нить в исходное, недеформированное состояние.

При излишне большой закрутке деформация нити становится неупругой (пластической), т.е. после снятия внешней силы, приложенной к рычагу, нить не возвращается в исходное состояние. Все измерения на крутильных весах (и маятнике) требуется выполнять в условиях упругой деформации при ограниченном угле закрутки нити. В  этом случае по углу закрутки, т.е. по углу поворота рычага (и рамки)  на крутильных весах можно определить момент внешних сил  Мвн, приложенных к рычагам.

В условиях равновесия имеем:

                                      М вн =  Мкр  ,                                                            (1)             

где Мкр. - момент сил упругой деформации закрученной нити, равный:

                                      ;                                           (2)     

(Единица измерения «радиан», как дополнительная в системе СИ, размерности не имеет).                                                                

В формуле (2) величина  f  называется коэффициентом кручения, который определяется для каждой данной конструкции в зависимости от материала, радиуса и длины нити следующим выражением:

                                            ,                                                     (3)

где r - радиус нити;   - длина нити;  G - модуль сдвига материала нити. Размерность коэффициента , согласно формуле (2), равна  = Н∙м/рад.= Н∙м.

Выражение (3) определяет коэффициент кручения для подвеса на одной нити. В случае растяжки на двух разных нитях действуют два момента упругих сил, равные:

                                     ;      ,                                     (4)

где:

                                                                     (5)          

Суммарный момент сил упругой деформации растяжки на двух разных нитях равен:

                                  Мкр = М1 + М2                                                                                 (5а)

или

                                                                        (5б)

Если нити растяжки изготовлены из одного материала, имеют одинаковые радиусы, но разную длину, тогда выражение (5б) преобразуется к виду:

                                                                             (6)

В формулах (5б) и (6) коэффициент при угле поворота  является коэффициентом кручения для данной, конкретной установки и обозначается аналогично формуле (2). Для растяжки на двух нитях из одинакового материала при равных радиусах получаем:

                                                                                    (7)

ПРИМЕЧАНИЕ I. Формулы (2), (4), (5б) и (6) определяют величину (модуль) момента сил упругой деформации кручения без учёта знака проекции вектора момента этих сил.

ПРИМЕЧАНИЕ 2. Нити подвесов и растяжек для крутильных весов и маятников изготавливают из тонкого стального провода специальных марок. Для особо точных приборов применяются кварцевые нити.

ПРИМЕЧАНИЕ 3. Вывод формулы (3) для коэффициента кручения изучается в курсе "Сопротивление материалов". Модуль сдвига  G  наряду с модулем Юнга Е являются справочными данными как модули упругости для каждого сорта материалов. Сведения об этих модулях необходимы для расчёта прочности и жёсткости любой конструкции машин, двигателей, строительных сооружений и т.д.

Модуль Юнга определяется как отношение плотности силы FN, действующей по нормали к сечению, к величине относительной деформации растяжения материала   , т.е. равен E=FN/ ;  размерность [ Е ] = Н/м2 . Модуль сдвига G определяется как отношение плотности силы  , действующей по касательной к сечению,  к величине угла  скоса    рёбер куба, основание которого закреплено и остается неподвижным, а противоположная грань, к которой приложена касательная сила с плотностью , сдвигается. Формула для величины G имеет вид:

G = /; размерность   [G] = Н/м2 •рад. = Н/м2.

Модули Е и G для каждого материала определяются опытным методом. Для измерения величины Е существуют специальные установки, где материал подвергается испытаниям на сжатие и растяжение. Измерение величины  G  выполняется обычно методом кручения, т.е. для расчётов применяется формула типа (3), где коэффициент кручения     измеряется независимо также на основе опытных данных.

Понятие о модулях как характеристиках упругих свойств материалов при малых деформациях было введено в конце XVIII- начале XIX веков. В этот же период С. Пуассоном было теоретически вычислено соотношение между модулями Е и  G  , имеющее вид:

,  где       - коэффициент Пуассона, который равен отношению относительного поперечного сжатия образца материала к соответствующему относительному продольному удлинению.  Например, для многих металлов коэффициент  0,3.

Устройства, использующие подвесы (или растяжки) на тонких нитях, были и остаются одними из наиболее чувствительных приборов для измерения сил. Применяя установку типа крутильных весов, Ш. Кулон в 1785 г. исследовал взаимодействие электрически заряженных тел и установил закон, определяющий силу электростатического взаимодействия; Г. Кавендиш в 1798 г. измерил силу гравитационного притяжения двух небольших свинцовых шаров и впервые определил величину гравитационной постоянной в законе всемирного тяготения; П.Н. Лебедев в 1899 г. экспериментально доказал, что свет оказывает давление на твёрдые тела.

Полезно отметить, что наиболее точные измерения коэффициентов кручения в особо чувствительных крутильных весах выполняются методом крутильных колебаний, т.е. с использованием той же установки в динамическом режиме крутильного маятника.

1.2. Вывод уравнения крутильных колебаний и методика определения коэффициента кручения.

Показанная на рис.1 рамка на растяжке из двух нитей может находиться в состоянии покоя сколь угодно большое время. Однако, если рамку вывести из состояния покоя, например, повернуть на некоторый угол     в пределах упругой деформации нитей и затем  отпустить, тогда рамка начнёт периодически поворачиваться то  в одну, то в другую стороны, вращаясь вокруг оси, проходящей через нити. Такая система называется крутильным маятником. Получим уравнение движения этой системы и покажем, что оно имеет вид известного в теории уравнения свободных гармонических колебаний, которые в данной установке называются крутильными колебаниями.

Пренебрегая сопротивлением воздуха, считаем, что вращение рамки происходит только под действием момента сил упругой деформации закручиваемых нитей. Обозначим момент инерции рамки относительно оси вращения J0  и запишем уравнение вращательного движения рамки под действием момента сил Мкр :

                                                J0ε = Мкр                                                 (8)

Здесь ε  и  Мкр     - проекции векторов углового ускорения рамки и момента сил упругой деформации на ось координат, проходящую через ось вращения.

С учётом направлений соответствующих векторов и выражений для ε и  Мкр      запишем (8) в виде дифференциального уравнения:

                                                                                       (9)

Здесь:  - вторая производная по времени от угла поворота рамки, определяющая её угловое ускорение ;    - коэффициент кручения, определяемый формулой (7) для растяжки на двух нитях разной длины, изготовленных из стали одной марки с одинаковыми радиусами (такие нити используются в установке настоящей лабораторной работы). В установках, применяемых в качестве крутильного маятника, коэффициент     иногда называют коэффициентом  жёсткости.

Уравнение (9) преобразуется к более наглядной канонической форме, позволяющей сразу найти его решение, т.е. функцию  , определяющую зависимость угла поворота от времени. Для этого надо перенести все члены (9) в левую часть, разделить на коэффициент при второй производной по времени и ввести обозначение:  . Полученное таким способом уравнение имеет вид:

                                         +                                                  (10)

Уравнение типа (10) называется уравнением свободных гармонических колебаний, т.к. решение этого уравнения   

                                                                            (11)

показывает, что угол поворота периодически изменяется с течением времени. Значение  определяет максимальный угол поворота (амплитуду);       называется собственной циклической частотой колебаний и определяет число одинаковых состояний системы за время 2 сек;  - начальная фаза колебаний;  - время.

Примечание. Колебаниями называются периодические изменения состояния системы при условии, что данная система обладает собственной циклической частотой и состоянием с минимальной потенциальной энергией.

Период колебаний Т0, т.е. интервал времени между двумя ближайшими одинаковыми состояниями системы, определяется формулой:

                                                                                                  (12)     

Отметим, что при исследовании крутильного маятника уравнение (10) называется уравнением крутильных колебаний, т.к. период колебаний определяется формулой:

                                        ,                                                   (13)

где   - коэффициент кручения, зависящий только от параметров нитей исследуемой установки.

Рассмотрим теперь методику определения коэффициента кручения с помощью крутильных колебаний. Согласно формуле (13) период колебаний зависит от момента инерции, если коэффициент кручения  постоянный.

Обычно момент инерции рамки  нельзя вычислить теоретически
с достаточной точностью, т.к. её детали имеют разную конструктивную
форму и массу. Следовательно, если выполнить измерение периода колебаний с одной рамкой и рассматривать формулу (13) в качестве уравнения для опр
еделения величины , то в этом уравнении будут две неизвестные: и . Однако это уравнение можно дополнить вторым уравнением, измеряя период колебаний рамки с дополнительным грузом, момент инерции которого известен (обычно такой груз имеет форму однородного цилиндра с известными массой и радиусом, при этом цилиндр устанавливается строго на оси вращения маятника).

Обозначая известный момент инерции добавочного груза , период колебаний рамки с грузом , имеем:

                                                                                        (14)

        Возводя в квадрат выражения (13) и (14) и затем  вычитая первое из второго, получим:

                                                                                       (15)

Из (15) находим коэффициент кручения:

                                                                                       (16)

Периоды колебаний Т0 и Т1 измеряются в опыте. Описанный здесь метод применялся для определения коэффициентов  в установках, на которых выполнялись отмеченные выше классические эксперименты.

1.3. Определение моментов инерции тел относительно главных и параллельных осей.

Моменты инерции являются одной из важнейших характеристик твёрдых тел, т.к. определяют инертные свойства тел при поворотах (вращениях) в пространстве. Повороты (вращения) могут происходить относительно различных осей и соответствующие этим осям моменты инерции тел обычно имеют разные значения.

Теорией и опытом доказано, что все твёрдые тела (любой формы) обладают тремя особыми взаимно-перпендикулярными осями, пересекающимися в центре масс. Эти оси называются главными осями тела ввиду их примечательных свойств, описанных в литературе (см. Приложение).

Моменты инерции тел относительно главных осей принято называть главными моментами инерции, для однородных симметричных тел главные моменты инерции легко вычисляются способом интегрирования. Такие моменты инерции тел простейших геометрических форм приводятся в справочной литературе (см. Приложение). При известных главных моментах инерции можно рассчитать моменты инерции тел относительно любых других осей. Наиболее просто такие расчёты выполняются для осей, параллельных главным осям (с применением теоремы Штейнера).

На практике, однако, часто применяются вращающиеся неоднородные тела сложной формы (например, гребные винты судов, роторы турбин, роторы электродвигателей и т.п.). Моменты инерции таких тел относительно заданных осей определяют опытным методом с помощью различных экспериментальных установок, где исследуемые тела совершают вращательное движение.

Наиболее точные измерения моментов инерции выполняются на установках типа физического и крутильного маятников.

Для измерений моментов инерции относительно осей, проходящих через центр масс тела, исследуемое тело устанавливают на платформе крутильного маятника (закреплённой, например, в рамке, показанной на рис.1). Заданную ось тела совмещают с осью вращения маятника и затем измеряют период колебаний Т.

Обозначая момент инерции рамки   , (который можно найти в предварительном опыте при известном коэффициенте кручения  ), запишем формулу для периодаколебаний:                                                        

(17)                                                                                

Здесь  - неизвестный момент инерции исследуемого тела.

Возводя (17) в квадрат, получаем:

                                                 (18)        

В данной лабораторной работе формула (18) применяется для определения главных моментов инерции тел разной формы. Для однородных симметричных тел результаты измерений можно сравнить с результатами расчётов моментов инерции по формулам, данным в Приложении.

Измерения моментов инерции относительно параллельной оси на крутильном маятнике следует выполнять с использованием двух одинаковых тел. Исследуемые тела необходимо установить на платформе внутри рамки симметрично, на одинаковых расстояниях заданных осей тел от оси вращения маятника (см. рис.2).

Рис. 2.

По теореме Штейнера момент инерции тела JN относительно некоторой оси  N , не проходящей через центр масс тела, равен сумме момента инерции тела  Jc относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно заданной оси N , и произведения ,  где  - масса тела,  - расстояние между параллельными осями.

                                                                                        (19)

В крутильном маятнике осью N является ось вращения маятника, проходящая через нити растяжки (показана на рис.2). Параллельные оси, проходящие через центры масс тел на расстоянии   от оси  N , также показаны на рис.2.

Суммарный момент инерции конструкции (рис.2) равен , где  - момент инерции рамки. Период колебаний маятника:

                                                                                        (20)

Возводя (20) в квадрат, получаем:

                                                                                         (21)

Выражение (21) позволяет определить момент инерции  для тела любой формы. Если момент инерции    известен (для однородного симметричного тела), можно сравнить результаты измерения и расчёта с помощью формул (19) и (21).

2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ.

  2.1.Экспериментальная часть.

Установка "крутильный маятник" изготовлена в настольном варианте и находится в лаборатории в собранном виде. В учебном процессе используются два варианта установок (№5А и №5Б), различающихся параметрами некоторых своих элементов.

Для выполнения измерений дополнительно требуются:

1) набор тел:

         а) два металлических одинаковых цилиндра;

б)два-три тела разной формы из различных материалов
(по заданию преподавателя); массы тел указаны, геометрические размеры треб
уется определить;

2) штангенциркуль (для определения размеров тел).

Внешний вид установки показан на рис.3. Крутильный маятник смонтирован на платформе, которая приводится в горизонтальное положение с помощью винтовых опор. На платформе (1) закреплены круглая вертикальная стойка (2) и блок регистрации (11).

На вертикальной стойке с помощью втулок (3,4,5) регулируется положение трех кронштейнов. Верхний и нижний кронштейны служат для крепления концов нитей (6) и (10). На среднем кронштейне крепятся фотозатвор (9) и ограничители угла поворота (8).

Рамка (7), размещённая между двумя натянутыми нитями, имеет платформу для установки исследуемых тел и два рычага - левый и правый.

Правый рычаг предназначен для поворота рамки на начальный угол (поворот осуществляется пальцами руки по часовой стрелке). Левый рычаг должен входить в зазор фотозатвора и прерывать световой луч, направленный на фотоэлемент.

На рис.3 показано, что фотозатвор имеет форму буквы "П", положенной боком. Узкий световой луч формируется в верхней части фотозатвора, фотоэлемент находится в его нижней части.

Фотозатвор соединён с электрической схемой блока регистрации (11) так, чтобы обеспечить счёт числа периодов и времени колебаний маятника.

Блок регистрации включается в сеть с напряжением ~220 В. На панели блока имеются три кнопки управления: "Сеть", "Стоп" и "Сброс" и два табло: "Периоды" и "Время”. На первом табло высвечиваются два цифровых разряда для счёта числа периодов; на втором табло -пять цифровых разрядов: два первых - число секунд; третий, четвертый и пятый - десятые, сотые и тысячные доли секунды соответственно.

ПРИМЕЧАНИЕ 1. Правила пользования кнопками управления блока регистрации рамки приводятся в следующем разделе II.2.

ПРИМЕЧАНИЕ 2. Кронштейн, закреплённый на втулке (4), выполнен в форме полукруга и снабжён шкалой, предназначенной для отсчёта углов поворота рамки. В опытах данной работы эта шкала не используется.

         ВНИМАНИЕ: Параметры установок  указаны на установках и ниже:

                 Наименование параметра

                          Номер установки

                5А

              5Б

Масса сплошного цилиндра А1 (по 2 шт.), г

       (590,0 0,1)

      (589,8 0,1)

Масса параллелепипеда А2, г

     (190,90 0,05)

    (240,10 0,05)

Масса пустотелого цилиндра А3, г

     (209,20 0,05)

    (225,60 0,05)

Длина нити l1, мм

      (132,0 0,8)

      (151,0 0,8)

Длина нити l2, мм

      (115,0 0,8)

      (102,0 0,8)

Радиус нити r, мм

                      (0,237 0,005)

Размер b, мм

                         (30,0 0,2)

2.2. Общие указания по подготовке и проведению измерений.

2.2.1. Подготовка.

1. Проверить горизонтальность и устойчивость платформы (1). При необходимости  выполнить регулировку её положения с помощью винтовых опор;

2. Проверить натяжение и вертикальность нитей. Регулировка осуществляется разворотом втулок (3) и (5), которые крепятся винтами на стойке (2);

3. Рамка (7) должна располагаться симметрично по центру среднего кронштейна. При этом в состоянии покоя левый рычаг рамки должен находиться в середине фотозатвора (9). Регулировка начального положения рамки может осуществляться поворотами всех трёх втулок на стойке, а также разворотом нитей, закреплённых на концах верхнего и нижнего кронштейнов.

ПРИМЕЧАНИЕ. Для регулировки по п.п. 2,3 необходимо обратиться к инженеру или к преподавателю.

Рис.3. Крутильный маятник.

  1.  платформа; 2 – стойка; 3,4,5 – втулки кронштейна; 6 – верхняя часть;

7 – рамка; 8 – ограничители угла поворота; 9 – фотозатвор; 10 – нижняя часть;

11 - блок регистрации.

 2.2.2. Измерения.

      1.Подключить установку к электросети и нажать кнопку "Сеть". При этом загорается источник света в фотозатворе и высвечиваются оба табло блока регистрации. На табло "Время" обычно вначале появляется случайный набор цифр, который устраняется в следующем пункте – 4.

     2. В зависимости от задания разместить на платформе рамки исследуемые тела (или оставить рамку пустой).

     3. Одной рукой повернуть маятник по ходу часовой стрелки на угол ~15 град. При этом левый рычаг должен располагаться на расстоянии несколько миллиметров до ограничительного упора на среднем кронштейне.

     4. Удерживая (одной рукой) маятник в отклонённом положении, другой рукой нажать кнопку "Сброс". При этом на обоих табло блока регистрации должны высвечиваться "нули".

     5. Освободить (без толчка) маятник от удерживания. Рамка маятника (с грузом или без груза согласно заданию опыта) начинает периодически поворачиваться, а левый рычаг - периодически прерывать световой луч фотозатвора.

     6. Измерительная схема устроена таким образом, что начинает счёт числа периодов после второго пересечения луча (т.е. со второго периода колебаний), а отсчёт времени  начинается с первого периода.

С учётом этого свойства схемы  для измерения полного времени колебаний в течение 10 периодов (которое требуется в каждом задании) необходимо нажать кнопку "Стоп" при числе периодов (на табло "Периоды"), равном 9. Измерительная схема продолжает счёт ещё одного периода и фиксирует (на табло "Время") суммарное время 10 периодов колебаний, число которых фиксируется цифрой 10 (на табло "Периоды").

      7.Не останавливая движения маятника, занести в таблицу
измерений время 10 периодов колебаний и нажать кнопку "Сброс".

   На обоих табло опять высвечиваются "нули", а затем  снова начинается счёт                       числа  периодов и полного времени колебаний.

ВНИМАНИЕ: Маятник продолжает периодически поворачиваться в течение времени, достаточного для выполнения полного числа измерений, которое в каждом задании опыта равно 5 (т.е. необходимо 5 раз измерить время 10 периодов колебаний). Для измерений требуется только нажимать кнопку "Стоп" при числе периодов, равном "9", записывать полное время 10 периодов (которое фиксируется на табло "Время"), а затем  нажимать кнопку "Сброс" и следить за счётом числа периодов (до цифры "9").

2.3. Экспериментальные задания и обработка результатов.

ПРИМЕЧАНИЕ. Количество заданий устанавливает преподаватель.

ЗАДАНИЕ №1. Измерение коэффициента кручения и модуля сдвига стального  провода.

В задании вначале определяется период колебаний Т0 пустой рамки и период колебаний Т1 с добавочным грузом в виде металлического сплошного цилиндра с моментом инерции . Момент инерции цилиндра относительно оси симметрии вычисляется по формуле:

                                           ,                                                        (22)

где  - известная масса; R -  радиус, который определяется штангенциркулем (5-10) раз в разных сечениях.

Необходимо выполнить пять измерений n времени 10 периодов колебаний пустой рамки и рамки с грузом в соответствии с указаниями п.II2. Данные опыта заносить в таблицу 1-1.

                                                                                                                                         Таблица 1-1

Время, сек

          t1

         t2

         t3

          t4

         t5

Рамка

Рамка с грузом

Диаметр D цилиндра,     мм

ВНИМАНИЕ: при установке цилиндра его ось симметрии должна совпадать с осью вращения маятника; для центровки в донной части цилиндра имеется штифт, который должен войти в отверстие на середине рамки.

Таблица 1-1 содержит данные прямых измерений времени 10 колебаний. На основе этих данных определяются средние значения периодов колебаний  рамки <Т0> и рамки с грузом <Т1> , а затем - коэффициент кручения    по формуле (16) и модуль сдвига стального провода (нити) G  .

Для расчёта величины  G  надо использовать формулу (7), в которой средние значения радиуса нити  r и длин нитей    и    известны. Табличное значение модуля Юнга 8∙1010 Н/м2.

При выполнении расчётов все значения величин: размеры, масса и время  должны применяться в системе СИ.  Число   принять постоянной величиной, равной 3,1416.

ПОЯСНЕНИЕ К ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ. Вычисление среднего периода колебаний рамки и рамки с грузом удобно выполнять следующим образом. Вначале определяются пять значений периодов колебаний, т.е. каждая величина  делится на число периодов, равное 10. При этом следует просто передвинуть влево запятую у величин   и записать значения периодов в виде таблицы 1-2.

                                                                                                                               Таблица 1-2

Рамка, сек

Т01

Т02

Т03

Т04

Т05

Рамка с грузом, сек

Т1-1

Т1-2

Т1-3

Т1-4

Т1-5

Средние значения каждого периода вычисляются по формулам:

                   ,                                                             (23)

После расчёта значений     и   необходимо найти случайные отклонения периодов и случайную статистическую ошибку с учётом коэффициента Стьюдента для  n = 5 и  p = 0,95. Величина этой ошибки определяет полную погрешность измерения периода колебаний, т.к. ошибками прибора и округления здесь можно пренебречь. При расчёте погрешностей руководствоваться методическими указаниями №100.

Коэффициент кручения   определяется с  помощью формулы (16), т.е. способом косвенного измерения, т.к. в формулу подставляются данные прямых измерений периодов колебаний Т0 и Т1. Кроме того,  используется значение момента инерции , погрешность  которого требуется вычислить по данным о погрешностях  для массы  и радиуса R цилиндра. Погрешность массы  указана. Погрешность  потребуется найти по данным прямых измерений диаметра цилиндра с помощью штангенциркуля.

Выражения для расчёта погрешностей   и    надо вывести самостоятельно методом вычисления полного дифференциала (затем - его модуля) функций, определяемых формулами (16) и (22).

Модуль сдвига G здесь также определяется методом косвенного измерения. Погрешность  вычисляется по отдельному указанию преподавателя.

Задание № 2. Измерение момента инерции рамки крутильного маятника.

Момент инерции рамки  определяется методом косвенного измерения с использованием формулы (13). Из этой формулы получаем:

                                                                                                      (24)

     

Все величины в правой части (24), т.е. средние значения  и     и  погрешности, были найдены в Задании № 1.

Требуется определить среднее значение  и погрешность . Для расчёта  вычислить полный дифференциал (и его модуль) функции, определяемой формулой (24).

Задание №3. Измерение моментов инерции тел относительно главных осей.

В задании требуется измерить главные моменты инерции двух-трёх тел (по указанию преподавателя). Тела имеют разные формы (параллелепипед, пустотелый цилиндр, диск и т.д.), изготовлены из разных материалов (металл, дерево, пластмасса).

В комплекте имеются однородные и неоднородные тела (например, диски и  параллелепипеды с отверстиями в разных точках тел). Однако  все тела имеют ось симметрии, которая должна совпасть с осью вращения маятника при установке тел на платформу рамки.

Следовательно, в задании определяются моменты инерции тел относительно главной оси, совпадающей с осью вращения маятника.

Массы однородных тел известны (в соответствии с номерами, указанными на поверхности тела). Для таких тел следует измерить 510 раз штангенциркулем в разных сечениях   геометрические размеры,  необходимые для расчёта их моментов инерции относительно заданных осей (см. Приложение).

Массы неоднородных тел не указаны и геометрические размеры таких тел не требуется определять.

Для выполнения задания необходимо:

1.Нарисовать от руки эскиз каждого исследуемого тела и указать на нём средние значения геометрических размеров (для однородных тел).

2.Установить тело симметрично  на платформу рамки крутильного маятника. В соответствии с п.II.2. выполнить пять измерений времени 10 периодов колебаний маятника с установленным на него телом.

3. Результаты измерений для каждого тела занести в таблицу 3-1.

Таблица 3-1

Время (сек)

Тело №

Тело №

Тело №

4. Применяя методику  " задания №1",определить среднее значение периода колебаний маятника при установке каждого тела. Периоды колебаний обозначить индексами в соответствии с номерами тела (например, для тела №4 период колебаний Т4).

5. Используя формулу (18), определить значение момента инерции каждого тела. Учесть, что величиныи  в формуле (18) определены в заданиях №1 и №2  .

Вычисленному моменту инерции присвоить индекс в соответствии с номером тела.

6. Для однородных тел выполнить расчёты моментов инерции, используя данные о массе тела и найденных геометрических размерах. Формулы для расчётов даны в Приложении.

Сравнить результаты расчётов с результатами измерений на крутильном маятнике.

7. Погрешности измерений определяются по отдельному указанию преподавателя.

Задание №4 .  Измерение  моментов инерции тел  относительно оси, не проходящей через центр масс.

В опыте используются два однородных цилиндра с одинаковыми массами и размерами. Следовательно, главные моменты инерции этих тел относительно соответствующих осей  равны между собой.

Момент инерции цилиндра относительно заданной главной оси был уже определён в Задании №1 и обозначался  .

В Задании № 4 используем новые обозначения:  .

Для выполнения задания необходимо:

1. Установить оба тела на платформу рамки симметрично по отношению к середине платформы /см. рис.2/. Для правильной установки тел в донной части цилиндров имеются штифты, которые должны войти в отверстия на краях платформы. Расстояния этих отверстий от оси вращения рамки указаны на установке  (на рис.2 такие расстояния обозначены буквой "").

2. В соответствии с п.II.2 выполнить пять измерений времени 10 периодов колебаний маятника с установленными телами. Результаты измерений занести в таблицу 4-1.

                                                                                                Таблица 4-1

Время, сек

       t1

     t2

     t3

       t4

         t5

Два тела №

3. Применяя методику Задания №1,определить среднее значение периода колебаний маятника с двумя телами. Период колебаний обозначить индексом в соответствии с номером пары цилиндров (например, для тел   –  период  Т).

4. Используя формулу (21), определить момент инерции цилиндра
относительно оси, не проходящей через центр масс и расположенной в данном опыте вне тела. Учесть, что величины   и  определены в зад
аниях  №1 и № 2.

5. Изобразить схему двух тел, установленных на платформе
рамки (см. рис.2). Учитывая, что ось
N  параллельна оси, проходящей через центр масс тела и момент инерции   относительно этой оси известен,  вычислить величину   по формуле (19). Сравнить результаты измерения и расчёта момента инерции  .

6. Погрешности измерений определяются по отдельному указанию преподавателя.

    3. ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРОВЕРКИ (ПРИМЕРНЫЕ):

    3.1. Объяснить схему установки, цель и методику выполнения опытов. Какие измерения были прямыми и какие - косвенными?

    3.2. Понятия о модулях упругости (модуль Юнга и модуль сдвига) тел. Понятие о коэффициенте кручения в установках типа крутильных весов и крутильного маятника.  Понятие о моменте сил упругой деформации при кручении.

    3.3. Уравнение крутильных колебаний и его решение. Характеристики колебаний.

    3.4. Метод и результаты измерения коэффициента кручения и модуля  сдвига с применением крутильных колебаний.

    3.5. Понятие о моменте инерции. Какие моменты инерции тел называются главными?

    3.6.Теорема Штейнера для определения моментов инерции тел относительно па- раллельных осей.

    3.7.   Метод и результаты измерения моментов инерции.

                                              4. ЛИТЕРАТУРА

  4.1. Савельев И.А. Курс общей физики, т.1, Москва, «Наука», 1982г.

  4.2. Трофимова Т.И. Курс физики, Москва, «Высшая школа», 2003г.

  4.2.Физический энциклопедический словарь.  М.:  Советская энциклопедия,  

                                                                                                                                   

ПРИЛОЖЕНИЕ

Главные оси и главные моменты инерции симметричных однородных тел.

1. Моментом инерции называется мера инертности вещественных
объектов при изменении ориентации (поворотах) в пространстве.
Необходимость введения понятия о моментах инерции связано с тем, что
механическое движение любых объектов (от элементарных частиц до
космических тел) подразделяется на два фундаментальных класса: переносы и
повороты.

Переносы - это движения без изменения ориентации. При таком движении мерой инертности является инертная масса изучаемого объекта.

Повороты -  это движения с изменением ориентации и, согласно опыту и теоретическим  исследованиям,  инертность   при  этом  (т.   е.   сопротивление изменению    ориентации)   характеризуется   другой    физической    скалярной величиной - моментом инерции (размерность: кг∙м2). Без учёта и без умения определять моменты инерции нельзя понять множество физических явлений как в атомно-молекулярных, так и в космических системах, невозможны расчёты и конструирование механизмов, двигателей, транспортных средств и т. д.

2. В зависимости от вида изучаемой системы изменение ориентации
может происходить относительно точки (полюса) или относительно некоторой
оси. Моменты инерции относительно полюса
называются полярными
моментами инерции.
Моменты инерции относительно оси называются осевыми моментами инерции.

Все моменты инерции вычисляются методом суммирования моментов инерции материальных точек, образующих изучаемый объект. Если точки распределены в  объёме  непрерывно,  тогда суммирование  представляет  собой  операцию интегрирования.

Для расчёта большинства технических устройств  требуется знание  осевых моментов инерции твёрдых тел относительно главных осей.

Тело  любой   формы  имеет  три  взаимно   перпендикулярные   главные   оси, расположенные в его объёме и пересекающиеся в центре масс. Главные оси тел получили такое название ввиду их особых свойств, объясняющихся двумя взаимосвязанными причинами:

1) при поворотах (вращениях) вокруг этих осей векторы момента
импульса и угловой скорости тела совпадают по направлению;

2) центробежные силы инерции, приложенные к точкам вращающегося тела, оказываются уравновешенными.

В результате,  если тело вращается вокруг главной оси, то  ось вращения устойчиво сохраняет свое положение в пространстве. Например,   у стрелкового оружия и в артиллерии меткость стрельбы значительно увеличилась после применения винтовой нарезки в стволах, обеспечившей вращение снаряда (и пуль) вокруг главной оси во время полёта.

В технических устройствах все вращающиеся тела должны быть насажены на оси, совпадающие с главными осями тела, т. к. только в этом случае отсутствует "бой" подшипников, удерживающих оси вращения. Если такое условие не соблюдается, подшипники разрушаются, и в техническом устройстве происходит авария.

3. Главные моменты инерции тел вычисляются относительно главных осей и обычно обозначаются индексами: , где цифры 1, 2, 3 - это условные номера главных осей.

Положение главных осей в телах сложной формы и с неоднородным распределением плотности массы находят с помощью опыта. Однако на практике обычно применяют однородные тела, обладающие признаками симметрии: центром симметрии, плоскостью симметрии, осью (осями) симметрии.

Если тело имеет три оси симметрии (например, прямоугольный параллелепипед), то главные оси совпадают с осями симметрии и положение всех трёх главных осей фиксировано в объёме тела. Дня таких тел . Эти тела называются асимметричными волчками.

Если тело имеет одну ось симметрии и плоскость симметрии (например, круговой конус или цилиндр), то одна главная ось совпадает с осью симметрии, а две другие главные оси расположены в плоскости симметрии и могут иметь всевозможные направления, пересекаясь с осью симметрии в центре масс. Для таких тел .  Эти тела называются симметричными волчками.

Если тело имеет центр симметрии (например, шар или куб), тогда все три главные оси могут иметь всевозможные направления, пересекаясь в центре симметрии, где расположен центр масс. Для таких тел . Эти тела называются шаровыми волчками.

На схемах таблицы 1-П приведены формулы для расчётов главных моментов инерции некоторых тел с разными признаками симметрии, масса тел обозначена .

Табл. 1-П

Тело

Главные моменты инерции

Прямоугольный параллелепипед

Круглый цилиндр

Прямой круглый конус

Полый круглый цилиндр

Шар

PAGE  5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

60855. Осенний бал 42.5 KB
  Я буду читать сценарий называть персонажей у кого в открытке указана эта роль пожалуйте на сцену Итак: камера мотор начали Буффонада: Снимается кино Читает вызывая по одному участников постановки и заставляя их входить в образ...
60856. Эпоха Екатерины II 65.5 KB
  ЦЕЛЬ: охарактеризовать внутреннее и внешнее развитие Российской империи в период правления Екатерины II рассмотреть причины ход и последствия восстания Пугачёва; развивать умение работать с учебником историческими документами...
60861. Построение трехмерной сцены 94.5 KB
  Более светлые и тонкие линии сетки называются главными mjor lines а самые светлые и тонкие – вспомогательными minor lines как показано на рис. По умолчанию главной является каждая десятая линия сетки. Под шагом линий сетки понимается расстояние между вспомогательными линиями вы раженное в текущих единицах измерения. По умолчанию шаг сетки равен 10 системным единицам то есть 10 дюймам.
60862. Використання технології програми „Intel Навчання для майбутнього” для створення сучасних навчальних інформаційних ресурсів на уроках технології 995 KB
  Змінюються цілі і завдання що постали перед сучасною освітою в інформаційному суспільстві особистісноорієнтована система навчання поступово приходить на зміну традиційній. Традиційні методи навчання замінюються інноваційними що передбачають зміну акцентів в навчальній діяльності спрямованій на інтелектуальний розвиток учнів за рахунок зменшення долі репродуктивної діяльності використання завдань для перевірки різних видів діяльності учнів збільшення завдань для пояснення навколишнього світу тощо. Програма IntelНавчання для...