42534

ИССЛЕДОВАНИЕ КАЧЕНИЯ СТАЛЬНЫХ ШАРОВ

Книга

Физика

Сцепление и сопротивление при качении тел по твёрдым поверхностям.Уравнения динамики и энергетического баланса при качении тел по наклонным поверхностям. Исследование столкновения стальных шариков при качении. Изучение законов динамики при качении тел по наклонным поверхностям; 2.

Русский

2013-10-30

274.5 KB

11 чел.

20

PAGE  22

ФГОУ ВПО «КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

КАФЕДРА ФИЗИКИ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

ИССЛЕДОВАНИЕ КАЧЕНИЯ СТАЛЬНЫХ ШАРОВ

Методическое указание к выполнению лабораторной работы по курсу общей физики для студентов инженерно-технических специальностей

Калининград

2008

ОГЛАВЛЕНИЕ:

                                                                                                                                 стр.

1. Введение………………………………………………………………………    2

2. Сцепление и сопротивление при качении тел по твёрдым поверхностям…………………………………………………………. .. ……        3

3.Уравнения динамики и энергетического баланса при качении тел по

наклонным поверхностям…………………………………………………..…...  6

3.1.Уравнения динамики и расчёты коэффициента

сопротивления качению………………………………………………….……..   6

3.2.Уравнения энергетического баланса, расчёты и методика

определения коэффициента сопротивления качению……………………….… 9

4. Порядок выполнения работы…………………………………………              12 4.1.Экспериментальная часть……………………………………………..…..     12

4.2.Задание№1. Измерение коэффициента сопротивления

качению для стальных шариков…………………………………...…………... 12

4.3.Задание№2. Исследование столкновения стальных шариков

при качении………………………………………………….…………………...15

Вопросы для проверки…………………………………………….…………….18

Список литературы……………………………………………..………………..19

Приложение. Классификация катящихся тел в зависимости от

способа качения………………………………………………………..………   19


         
Цель работы:

1. Изучение законов динамики при качении тел по наклонным поверхностям;

2. Изучение энергетического баланса при качении тел по наклонным поверхностям;

3. Измерение коэффициента сопротивления качению для стальных шариков;

4. Исследование столкновения стальных шариков при качении.

         Используемый реквизит:  стальные шарики.

         1. ВВЕДЕНИЕ

1.1. Качение (катание) – это разновидность плоского либо совокупность поступательного и сферического движений твёрдого тела. Катиться могут только тела с радиальной симметрией, имеющие центр симметрии (шары) или ось симметрии (цилиндры, обручи, а также тела специальных форм: колёса, катушки и т. п.).

Обычно тела катятся по твёрдым (горизонтальным либо наклонным) поверхностям. При этом в точках касания между телом и опорной поверхностью должна действовать сила сцепления Fсц. При полном сцеплении точки тела, находящиеся в контакте с неподвижной опорной поверхностью, на мгновение теряют свои скорости. Такие точки называются мгновенными центрами скоростей (м. ц. с.) и через них проходит мгновенная ось вращения, относительно которой катящееся тело совершает поворот. Силы сцепления Fсц, приложенные к неподвижным точкам – м. ц. с., работу не выполняют. Следовательно, действие таких сил не изменяет механическую энергию катящихся тел.

Качение тел при наличии мгновенной оси называется нормальным качением или качением без скольжения. Если сцепление между телом и опорной поверхностью недостаточное, тогда в точках контакта происходит проскальзывание, и качение называется качением со скольжением. При этом действует сила трения скольжения Fтр, момент которой уменьшает угловую скорость тела. Силы трения Fтр, относятся к типу непотенциальных (диссипативных) сил, работа которых уменьшает механическую энергию катящихся тел посредством преобразования в тепловую энергию трущихся поверхностей. В результате – происходит нагревание опорной поверхности и движущегося тела.

1.2. Системы сил, приложенных к катящимся телам, и системы уравнений динамики, описывающих такое движение, имеют специфические особенности в зависимости: от типа движения при качении, от свойств опорных поверхностей, а также от способа качения тел. Эти вопросы изучаются в специальных курсах и имеют важное значение ввиду широкого применения качения тел в разнообразных технических устройствах. Например, практически все виды наземного транспорта (за исключением саней) используют катящиеся колёса, что позволяет снизить затраты энергии при перемещении грузов с достаточно высокими скоростями.

Снижение потерь энергии, т. е. повышение к. п. д. транспорта, объясняется тем, что сопротивление при качении в десятки и в сотни раз меньше, чем при скольжении тел по твёрдым поверхностям в условиях сухого трения.

1.3. В следующих разделах дано краткое описание физических явлений при качении тел по твёрдым поверхностям. Получены формулы для определения коэффициента сопротивления качению с использованием эксперимента.

Приводятся методики простых опытов по изучению сопротивления и столкновения при качении стальных шариков.

    2. СЦЕПЛЕНИЕ И СОПРОТИВЛЕНИЕ ПРИ КАЧЕНИИ ТЕЛ ПО ТВЁРДЫМ ПОВЕРХНОСТЯМ

2.1. Значение (модуль) силы сцепления при качении определяется формулой:

,      (1)

где N – нормальная реакция;

  - безразмерный коэффициент сцепления.

Отметим, что формула (1) похожа на формулу закона Амонтона-Кулона для силы сухого трения при скольжении тел по твёрдым поверхностям. Однако физический смысл формулы (1) иной, т. к. она характеризует силу Fсц, обеспечивающую полное сцепление соприкасающихся точек катящегося тела и опорной поверхности.

Сцепление тел вообще объясняется силами электрического взаимодействия и зависит от типа вещества, качества обработки поверхностей, адсорбционных слоёв на поверхностях и т. д. Исследование свойств поверхностей, обеспечивающих сцепление при качении тел, в настоящее время представляет одну из актуальных научно-технических проблем. При этом ставится цель повышения коэффициента сцепления .

Силы Fсц всегда направлены по касательной к опорной поверхности, однако направления векторов этих сил зависят от способа качения тел. В зависимости от способа качения – необходимо различать ведущие и ведомые катящиеся тела (см. Приложение). У ведущих тел сила Fсц направлена в сторону вектора ускорения центра масс, у ведомых тел – сила Fсц направлена противоположно.

Из формулы (1) следует, что величина силы Fсц зависит от нормальной реакции N. При N0 сцепление исчезает. В условиях земной гравитации сцепление обеспечивается силой тяжести, "прижимающей" катящееся тело к опорной поверхности. Однако при качении по наклонным поверхностям нормальная реакция уменьшается. В результате, при некотором предельном угле наклона поверхности нормальное качение тела, как показывает опыт, прекращается и начинается скольжение.

Это явление описывается теоретически на основе законов динамики качения тел. Расчёты показывают, что предельный угол наклона, при котором прекращается нормальное качение, зависит от коэффициента сцепления , а также – от формы тела, определяющей его момент инерции.

Упрощённое решение такой задачи без учёта сопротивления качению для тела, совершающего при скатывании плоское движение под действием силы тяжести и силы сцепления, имеет вид:

      (2)

Здесь: - угол наклона поверхности;

 Ip – момент инерции тела относительно мгновенной оси;

 Ic – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной мгновенной оси.

Формула (2) получается с помощью двух уравнений (7а) и (7б) без учёта величины Ms (см. раздел 3) методом их почленного деления при подстановке выражения (1) для силы Fсц.

Если известен коэффициент , тогда из (2) можно вычислить предельный угол наклона для скатывания тела данной формы. Кроме того, используя (2), можно находить коэффициенты из опыта, устанавливая на наклонной поверхности исследуемое тело и увеличивая угол наклона до появления скольжения.

2.2. При качении тел в обычных земных условиях источниками сопротивления являются окружающая среда (воздух) и опорные поверхности.

Однако, в случае движения отдельных тел (например, обруч, диск, шар) небольших размеров с невысокими скоростями сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Рассмотрим, чем объясняется сопротивление при нормальном качении (без скольжения) тел по твёрдым поверхностям. При нормальном качении по неподвижным поверхностям – тело в точках контакта "сцепляется" с поверхностью из-за действия сил сцепления. Эти точки тела на мгновение теряют свои скорости, т. е. силы сцепления Fсц оказываются приложенными к телу в неподвижных точках – м. ц. с.

Силы, приложенные к неподвижным точкам, работу не выполняют. Работа сил в таком случае равна нулю. Это следует из определения физического содержания понятия: - работа силы. Работой силы называется мера действия силы по преобразованию энергии из одной формы в другую и равная скалярному произведению вектора силы и вектора перемещения той точки, где данная сила приложена. Величина элементарной работы  силы  на перемещении точки приложения  определяется формулой:

,    (3)

где  - угол между векторами  и .

Напомним: а) если к движущимся точкам (к системе точек) приложены потенциальные силы, тогда кинетическая энергия преобразуется в потенциальную энергию тех же точек (или, наоборот, потенциальная – в кинетическую), т. е. механическая энергия точек сохраняется при условии, что работу на их перемещении выполняют только потенциальные силы (закон сохранения механической энергии); б) если к движущимся точкам (к системе точек) приложены непотенциальные (диссипативные) силы (силы трения и сопротивления), тогда кинетическая энергия преобразуется в другие формы энергии (тепловую энергию, энергию излучения и пр.), и механическая энергия заданной системы не сохраняется.

Работа сил сцепления, приложенных к неподвижным точкам катящихся тел, согласно формуле (3) равна нулю. Следовательно, наличие сил сцепления не изменяет механическую энергию движущихся тел, т. е. эти силы нельзя отнести к разряду непотенциальных сил. Действие сил сцепления сводится лишь к тому, что они обеспечивают появление мгновенной оси вращения, относительно которой происходит поворот катящихся тел.

Опыт, однако, показывает, что при качении существует сопротивление, причиной которого являются не силы сцепления, а взаимные деформации поверхностей в точках контакта. Деформация опорной поверхности происходит в результате действия силы веса катящегося тела. Нормальная реакция вызывает деформацию поверхности тела. При этом опорная поверхность немного "продавливается", поверхность тела "сплющивается", и на поверхности тела в зоне контакта возникает плоская площадка. Размеры таких деформаций обычно невелики, порядка (10-1 – 10-3) см, и зависят от свойств материалов и качества обработки поверхностей.

Появление деформаций в зоне контакта ведёт к тому, что при качении тела линия действия нормальной реакции смещается в сторону движения и не проходит через центр масс тела.

На рис. 1 показаны схемы векторов сил тяжести и нормальной реакции для случаев качения тел по горизонтальной и наклонной поверхностям. Показаны также вектор скорости центра масс Vс и направление поворота (изогнутой стрелкой с обозначением ).

Из схем на рис. 1 видно, что при движении по горизонтали силы тяжести G и нормальной реакции N образуют пару сил; при движении по наклонной поверхности пару сил образуют нормальная составляющая силы тяжести GN и нормальная реакция N. Значения GN и N при качении по наклонной поверхности равны . Расстояние между линиями действия сил пары обозначено .

Схемы векторов сил  и  при качении тел

Рис 1.

Очевидно, момент указанной пары сил "препятствует" повороту тел  и, согласно законам динамики, уменьшает угловую скорость и скорость центра масс Vc при качении. Момент этой пары сил называется моментом сопротивления качению, и его величина определяется формулой:

,      (4)

где  - имеет в данном случае специальное название: коэффициент сопротивления качению. В технических справочниках значение этого коэффициента принято измерять сотыми долями метра, т. е. размерность [ ] = см.

Величина элементарной работы dAs момента сопротивления качению определяется формулой:

,     (5)

где d - элементарный угол поворота катящегося тела.

С помощью формулы (5) вычисляются потери кинетической энергии при нормальном качении тел. Физическая причина таких потерь заключается в том, что кинетическая энергия катящегося тела преобразуется в энергию деформации поверхностей в точках контакта.

        3. УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО БАЛАНСА    ПРИ КАЧЕНИИ ТЕЛ ПО НАКЛОННЫМ ПОВЕРХНОСТЯМ

3.1. Уравнения динамики и  расчёты коэффициента сопротивления качению

В данной работе рассматривается качение для плоского типа движения тела. Движение твёрдого тела называется плоским (или плоско – параллельным), если тело, перемещаясь в пространстве, совершает повороты, не имея закреплённых точек, и при этом каждая точка тела движется в одной и той же плоскости, параллельной некоторой неподвижной плоскости.

Плоское движение могут совершать тела разной формы, в данном случае: стальной шар, катящийся по наклонным поверхностям. Исследуемое тело (шар) является однородным, так что центр его масс совпадает с центром симметрии. Следует подчеркнуть, что только при выполнении этого условия траектория центра масс повторяет профиль опорной поверхности, вдоль которой перемещается вместе с катящимся телом ось мгновенного вращения. В классической механике доказано, что в этом случае для теоретических расчётов можно использовать уравнение динамики вращательного движения тела относительно мгновенной оси в виде:

      (6)

Здесь:  - угловое ускорение;

 Jp и Mp – момент инерции и суммарный момент внешних сил относительно мгновенной оси, проходящей через точку касания между телом и опорой поверхностью (обозначается буквой P, см. рис. 2).

Для более детальных расчётов уравнение (6) дополняют: условием кинематической связи между ускорением центра масс ас и угловым ускорением тела ; уравнением динамики движения центра масс (II закон динамики Ньютона) и уравнением динамики вращательного движения тела относительно

                                                                               Рис.2

оси, проходящей через центр масс параллельно мгновенной оси в т. Р.

На рис. 2 изображено однородное тело (шар радиусом r), скатывающееся без скольжения по наклонной поверхности. Направление поворота с угловыми

скоростью и ускорением показано изогнутой стрелкой (при этом векторы  и  направлены вдоль оси Y). Показаны направления скорости Vc и ускорения ac центра масс тела – т. С. В т. Р – м. ц. с. и здесь приложена сила Fсц. Сила тяжести G всегда приложена в центре масс. Пара сил с моментом сопротивления Ms обозначена здесь изогнутой стрелкой (силы N и GN, образующие эту пару сил, показаны на рис 1б).

Принимая, что скатывающееся тело совершает плоское движение, запишем полную систему уравнений динамики в проекциях на оси координат (см. рис. 2):

    

Система уравнений (7) дана с учётом момента сопротивления Ms, который действует при вычислении моментов сил как относительно т. Р, так и относительно т. С. Соотношение (7г) – это условие кинематической связи между ac и , выполняющееся только при качении без скольжения.

Уравнения (7) описывают качение ведомого тела, и сила Fсц направлена противоположно ускорению центра масс ac. Отметим, что с ростом угла наклона величиной Ms для упрощения некоторых расчётов можно пренебречь, т. к. в (7а) sin  - возрастает, а в (7б), где Fсц и Ms зависят от величины cos , надо учитывать, что всегда значения коэффициентов <<. Это условие было использовано при выводе формулы (2) для предельного значения коэффициента , обеспечивающего сцепление с ростом угла наклона.

Общий вид решения для ускорения ac, скорости Vc и длины пути lc центра масс тела легко получается из уравнения (7а) при условиях постоянства угла наклона и момента сопротивления Ms. При этих условиях движение тела является равнопеременным, т. е. качением с постоянными угловым ускорением  и ускорением центра масс ac. Для скатывающегося шара с радиусом r такие решения имеют вид:

     (8а)

    (8б)

    (8в)

Здесь: tk – время скатывания;

 lc – длина прямолинейного пути центра масс шара.

Из (8в) получаем следующую формулу для коэффициента сопротивления качению :

    (9)

Формулу (9) можно, в принципе, использовать для определения величины , измеряя в эксперименте время скатывания tk на пути lc при заданном угле наклона. Однако, как показывает предварительный анализ, постановка таких измерений нецелесообразна, т. к. требует громоздких устройств и особо точных приборов.

Это объясняется тем, что значения коэффициентов  обычно невелики. Например, при качении стальных шариков по стальным поверхностям значения лежат в интервале: = (1 – 5)10-3 см. Несложный анализ формулы (8в) показывает, что при таких значениях ожидаемая разница времён скатывания без учёта и с учётом сопротивления качению даже на длине lc  100м при углах   (5 – 10) лежит в интервале (0,1 – 0,2) сек при времени скатывания tk  (14 – -15)сек.

Такая малая разность времён скатывания "маскируется" погрешностями измерений параметров в формуле (9). Следовательно, результаты измерений коэффициента на основе решений уравнений динамики (7) не дают достоверных сведений о его величине, если в опытах не используется особо точная (и, соответственно, дорогая) аппаратура.

В следующем разделе 3.2 рассмотрена более простая методика определения коэффициента , основанная на применении уравнения энергетического баланса.

3.2. Уравнение энергетического баланса и методика определения коэффициента сопротивления качению

Уравнение энергетического баланса – это математическая формулировка общефизического закона сохранения энергии. Для установок, где механическая энергия может – под действием непотенциальных сил – преобразовываться в другие формы энергии, уравнение баланса имеет вид:

     (10)

Здесь:Е0 – начальная механическая энергия;

 E(t) – механическая энергия в момент времени t;

 Es – потери механической энергии, обусловленные работой непотенциальных сил.

Уравнение (10) позволяет в ряде случаев выполнять исследования более простыми методами, чем с применением системы уравнений динамики, например, типа (7) для качения тел.

Рассмотрим методику определения коэффициента сопротивления качению с учётом уравнения (10) на установке "Механический лоток". Принципиальная схема такой установки дана на рис. 3.

Рис. 3.

Установка состоит из двух наклонных плоскостей с равными углами наклона. Исследуемое тело – шар может перекатываться с одной плоскости на другую по желобу, обеспечивающему плоско – параллельный тип движения при качении.

Поднятое в верхнее положение и покоящееся тело имеет начальную механическую энергию Е0, равную потенциальной энергии П0 = mgh0, где h0 – высота подъёма центра масс, отсчитываемая от нижнего уровня спуска (см. рис 3).

Механическая энергия при движении в произвольный момент времени t равна:

,     (11)

где П(t) = mgh;  - потенциальная и кинетическая энергии при качении без скольжения.

Если допустить, что потери механической энергии при качении отсутствуют (Es = 0), тогда тело, перекатываясь с одной плоскости на другую, в моменты остановок (когда ω = 0) поднималось бы на одну и ту же высоту, равную h0. Этот вывод легко проверить теоретически, подставляя формулу (11) в уравнение (10). При условии, что Es = 0 и кинетическая энергия в момент времени tk остановки T(tk) = 0, получим: П0 = П(tk), т.е. высота h в момент остановки тела должна равняться начальной высоте h0.

В опыте, однако, наблюдается уменьшение высоты подъёма тела после каждого очередного перекатывания. На схеме рис.3 показан шар, поднявшийся на высоту hN после числа перекатываний, равного N. Поскольку в моменты остановок кинетическая энергия равна нулю, из (10) и (11) получаем:

     (12)

Здесь: Es потери энергии, равные работе момента сопротивления качению As за всё время движения.

Используя формулу (5), получаем:

     (13)

Здесь: φ – полный угол поворота шара при качении, который определяется простым выражением:

 ,     (14)

где L – длина пути центра масс шара за время катаний с одной плоскости на другую.

Схема, приведённая на рис.3, позволяет найти для расчёта величины L следующую простую формулу:

     (15)

Из схемы на рис.3 также видно, что высоты h0 и hN можно найти  с помощью выражений:

      (16)

Подставляя (13), (14), (16) в уравнение (12) и учитывая:, получим выражение для расчёта коэффициента сопротивления качению в следующем виде:

,     (17)

где: ‹b = l0 - lN› – разность отсчётов расстояний от нижней точки  спуска до центра шара;

L – вычисляется с помощью формулы (15).

Выражение (17) показывает, что использование закона сохранения энергии (в форме уравнения энергетического баланса) позволяет проводить опыты для определения коэффициента δ без измерения времени движения. Требуются только линейные измерения величин b и L. Экспериментальная установка при этом может иметь небольшие размеры.

Кроме того, значительно повышается  достоверность результатов измерения коэффициента δ по сравнению с результатами, получаемыми по формуле (9). Это объясняется тем, что погрешности линейных измерений параметров в формуле (17) обеспечивают для коэффициента δ доверительный интервал, величина которого на два порядка меньше среднего значения δ, получаемого в опыте.

         4. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

4.1. Экспериментальная часть

Лабораторная работа состоит из двух заданий. Для выполнения первого задания требуется один стальной шарик; для второго задания – два одинаковых стальных шарика.

Радиус и масса шариков указаны на установке. Значения этих величин в расчётах принять константами.

Измерения выполняются на установке «Механический лоток», принципиальная схема которой показана на рис.3. Основной деталью установки является стальная  полоса длиной 204 см, симметрично изогнутая в средней части радиусом R1. На поверхности полосы по всей её длине проточен жёлоб с радиусом R2, предназначенный для катания шариков с радиусом

r ≤ 1,5 см.

         

         Внимание! В комплекте установки имеются два дополнительных сменных жёлоба из других материалов, которые могут быть использованы по заданию преподавателя.

Глубина и ширина жёлоба, радиусы R1 и R2, размеры участков, сопряжённых радиусом R1 , указаны на схеме установки, имеющейся в лаборатории. Там же указано среднее значение угла наклона плоскостей – <α> и погрешность Δα, так что угол наклона  определён в интервале : α = <α> ± Δα.

Изогнутая стальная полоса стационарно закреплена с помощью опор на горизонтальной станине. Вдоль полосы имеется миллиметровая шкала, предназначенная для измерения расстояний от нижней точки изгиба, которая является также нижней точкой спуска при скатывании шарика. Погрешность измерений на шкале (ошибка прибора) равна: Δпр = 0,2 см.

По заданию преподавателя могут быть использованы полосы из других материалов – дерева и пластмассы, которые укладываются инженером на время выполнения работы  поверх стальной полосы.

4.2. Экспериментальные задания и обработка результатов

Примечание. Количество заданий устанавливает преподаватель. Жёлоб для катания шариков должен быть чистым от пыли и иных загрязнений.

Задание № 1. Измерение коэффициента сопротивления качению для стальных шариков.

Опыт удобнее выполнять вдвоём, т.к. при этом сокращается время эксперимента. Один участник опыта располагается у правого конца установки, другой – у левого.

Необходимо заранее приготовить таблицу (по форме таблицы 1-1) для записи результатов прямых измерений.

Выполнить несколько пробных пусков шарика для тренировки в правильных измерениях по шкале. Расстояния от средней части жёлоба до центра шарика отсчитываются как справа, так и слева в моменты остановок шарика с точностью до десятых долей сантиметра.

Для выполнения измерений необходимо:

1) Установить шарик в верхнем положении справа и записать отсчёт l0 в таблицу 1-1.

2) Отпустить (без толчка) шарик, который катится сначала вниз, затем – вверх и останавливается первый раз. Записать отсчёт l1 в таблицу 1-1.

3) Шарик катится после первой остановки вниз, затем – вверх и останавливается второй раз. Записать отсчёт l2 в таблицу 1-1.

4) Шарик продолжает кататься по жёлобу, уменьшая при этом высоту подъёма. Необходимо фиксировать и  записывать отсчёты расстояний в течение 10 катаний шарика.

5) После записи отсчёта lN с номером N = 10 остановить шарик. Повторить опыт согласно п.п. 1-4 десять раз, заполняя таблицу 1-1.

Примечание. Для выполнения всего цикла измерений в задании № 1 требуется время, не превышающее 10 минут.

                                                                                                                              Таблица 1-1

l, 

см

Количество измерений, n

<l>,

см

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

l0

l1

l2

l3

l4

l5

l6

l7

l8

l9

l10

Данные таблицы 1-1 являются результатами прямых измерений. Обработка этих результатов состоит  в расчёте средних значений расстояний и погрешности их измерений. Средние значения <l> занести в таблицу 1-1.

При вычислении погрешности каждого из десяти значений l1l10 учесть случайную статистическую ошибку при доверительной вероятности 0,95 и систематическую ошибку шкалы, равную Δпр = ±0,2 см. Ошибку округления можно не учитывать ввиду её малой величины по сравнению с другими ошибками.

Коэффициент сопротивления качению δ определяется формулой (17), т. е. его величина  является результатом косвенного измерения. В формулу (17) подставить средние значения величин: <b>, <L> и tg<α>.

Средние значения <b> и <L> вычисляются по формулам раздела 3.2 при подстановке в них средних величин <l> , найденных с помощью таблицы 1-1. При вычислении <b>, <L> и tg<α> необходимо сохранять 4-5 значащих цифр (с учётом округления).

Результаты вычислений <b>, <L>,. tg<α> и среднего значения коэффициента <δ>, а также погрешностей этих величин занести в таблицу 1-2. При вычислении погрешностей сохранять одну-две значащие цифры.

                                                                                                            Таблица 1-2

<b>, см

Δb, см

<L>, см

ΔL, см

tg<α>

Δ(tgα)

<δ>, см

Δδ, см

Погрешности вычисляются с помощью формул:

  (18)

Необходимо провести доказательство вывода формул (18). Здесь значение Δδ определяет величину доверительного интервала для найденного в опыте коэффициента сопротивления качению:

      (19)

При расчёте погрешностей руководствоваться методическими указаниями №100.

4.3. Дополнительное замечание  к заданию № 1

Необходимо отметить, что данная здесь методика определения коэффициента сопротивления качению приводит к систематической ошибке в результате измерения. Эта ошибка невелика: ~1% , т.е. не меняет ни порядка, ни главных двух значащих цифр у получаемой в опыте величины коэффициента δ. Несколько завышается третья значащая цифра результата измерения.

Появление систематической ошибки объясняется конструкцией установки, а именно, наличием участка окружности с радиусом R1, обеспечивающего плавный переход с одной наклонной плоскости на другую при катании шарика. На этом участке момент сопротивления качению Ms становится переменным по двум причинам:

1) Изменяется проекция силы тяжести GN, т. к. меняется угол наклона поверхности.

2) Центр масс шарика получает добавочное ускорение при движении по дуге окружности с радиусом R1, и, следовательно, появляется дополнительное давление на поверхности из-за действия центростремительной силы.

Названные причины ведут к некоторому увеличению суммарной работы момента сопротивления. Теоретический вывод уточнённых формул здесь не приводится. Однако студенты, интересующиеся физикой и механикой, могут самостоятельно получить формулы для расчёта работы момента сопротивления качению на участке дуги с радиусом R1 (эти размеры указаны на схеме установки в лаборатории) и определить уточнённое значение коэффициента сопротивления качению. Такие расчёты, как отмечено выше, приведут к незначительному уменьшению величины коэффициента δ по сравнению с результатом, полученным по методике задания №1.

Задание №2. Исследование столкновения стальных шариков при качении

Пояснение к заданию №2

Для выполнения эксперимента требуются два стальных шарика с равными радиусами r и массами m. Эти параметры шариков указаны отдельно. В опыте один шарик устанавливается на середине механического лотка. Второй шарик вначале устанавливается в верхней точке и затем отпускается и катится вниз по жёлобу до столкновения с первым шариком.

Столкновение в данном случае является центральным, т. к. вектор скорости набегающего шарика расположен (при ударе) на линии, соединяющей центры шариков. При этом столкновение можно считать упругим, т. к. в опыте используются шарики, предназначенные для подшипников качения (потерями энергии при столкновении таких шариков в данном опыте можно пренебречь).

Напомним, что при поступательном движении свободно летящих шаров для расчётов упругих столкновений используются законы сохранения импульса и механической энергии. Как известно, эти расчёты показывают, что при центральном столкновении шаров с равными массами происходит обмен импульсом таким образом, что при ударе летящего шара по неподвижному – движущийся шар полностью теряет свою скорость (останавливается), а другой – получает скорость, равную скорости шара, движущегося до столкновения.

Однако столкновения катящихся шаров происходят иначе. Это объясняется тем, что тела при качении вращаются, и, следовательно, действуют законы сохранения и изменения момента импульса (разумеется, совместно с такими же законами для импульса и энергии).

В опыте, который проводится на установке "Механический лоток", при столкновении шариков наблюдается следующее явление. После удара скатившегося вниз шарика по неподвижному – оба шарика затем начинают катиться в одном направлении, но с разными скоростями. Первый (вначале неподвижный) шарик получает более высокую начальную скорость и катится вверх по жёлобу до остановки на расстоянии, превышающем половину расстояния от нижней до верхней точки жёлоба. Второй шарик после столкновения некоторое время (этот интервал хотя и небольшой, но заметен без специальных приборов) остается на месте, а затем вдруг начинает катиться вслед первому. Начальная скорость движения второго шарика меньше, и он катится вверх по жёлобу, проходя до остановки более короткое расстояние, чем первый шарик.

Примечание. Студентам, интересующимся физикой и механикой, предлагается самостоятельно описать физический механизм наблюдаемого явления. Решить соответствующую систему уравнений динамики и доказать, что при центральном упругом столкновении нормально катящегося шара со скоростью центра масс V0c – с неподвижным шаром (радиусы и массы шаров равные) получается следующий результат:

а) первый (ранее неподвижный) шар начинает нормально катиться со скоростью центра масс V1c = 5/7 V0c, (учесть, что нормальное качение начинается не сразу после удара при столкновении);

б) второй шар (имевший перед столкновением скорость центра масс V0c) начинает нормально катиться вслед за первым со скоростью центра масс V2c = 2/7 V0c (учесть, что нормальное качение начинается не сразу после удара при столкновении).

Расчёты выполнять для столкновения на горизонтальной поверхности, т. к. удар по неподвижному шару в проводимом опыте происходит на горизонтали – в нижней части механического лотка. Объяснить причину уменьшения суммарной кинетической энергии шаров после столкновения по сравнению с кинетической энергией до столкновения.

Первая цель эксперимента в задании №2 состоит в сравнении начальной кинетической энергии нормального качения шариков после столкновения с потенциальной энергией шариков в моменты остановок после качения вверх по жёлобу.

Считаем известным, что угловые скорости шариков в начале нормального качения после столкновения определяются выражениями:

      (20)

Здесь:ω01 – угловая скорость первого шарика (покоящегося до столкновения);

 ω02 – угловая скорость второго шарика, имевшего до столкновения скорость ω0.

Формулы (20) верны только для центрального упругого столкновения шаров с равными радиусами и массами.

Угловая скорость ω0 определяется в опыте с помощью уравнения энергетического баланса:

,     (21)

где: h0 – высота подъёма центра масс второго шарика в момент пуска;

 – кинетическая энергия второго шарика в момент времени перед столкновением;

 Es – потери энергии при качении, которые можно рассчитать приближённо по формуле:  (здесь: lc – длина пути центра масс от точки пуска до точки столкновения; δ – коэффициент сопротивления качению, найденный в Задании №1; α – угол наклона плоскости качения).

Напомним, что потери энергии можно вычислять более точно, разделяя движение шарика на качение по поверхности с постоянным углом наклона α и по дуге окружности радиусом R1. Однако в данном опыте достаточно приближённого расчёта величины Es.

После определения угловой скорости ω0 вычисляются (с учётом (20)) значения начальной механической энергии нормального качения шариков после столкновения:

    (22)

Здесь учтено, что механическая энергия равна кинетической энергии шариков, т. к. столкновение происходит в нижней точке спуска.

Если принять условие, что дальнейшее качение шариков происходит без потерь механической энергии (т. е. сопротивлением качению можно пренебречь), тогда, используя закон сохранения механической энергии, получим:

      (23)

где h1* и h2* – теоретические высоты подъёма центров масс шариков в момент остановки (после качения без потерь энергии).

Значения h1* и h2* легко вычислить, использую формулы (23) и данные о величине ω0. Однако в опыте будут получаться значения высот h1 < h1* и h2 < h2*, т. к. имеются потери энергии, равные работе As момента сопротивления качению. Работы As1 и As2 моментов сопротивления при качении первого и второго шариков до остановки определяются с учётом результатов опыта по формулам:

     (24)

Второй целью эксперимента в задании №2 является опытное подтверждение соотношения начальных скоростей качения шариков после столкновения. Согласно формулам (20) отношение начальных угловых скоростей равно:

     (25)

Заметим, что это соотношение верно также и для скоростей центров масс шариков после столкновения.

Легко проверить, применяя формулы (22) и (23), что для отношения высот h1* и h2* получается:

     (26)

В опыте измеряются реальные высоты подъёма центров масс шариков, совершающих качение при наличии сопротивления. Потери энергии при качении шариков до остановки на высотах h1 и h2 вносят некоторое отклонение от теоретического значения отношения скоростей ω01 и ω02, определяемого формулой (25). Такие отклонения составляют обычно несколько процентов и могут быть учтены строгим расчётом работы момента сопротивления качению. Однако в данной работе достаточно качественного подтверждения соотношения (26) с использованием значений высот h1 и h2, найденных в эксперименте.

4.4. Измерения и обработка результатов

4.4.1. Установить первый шарик в нижней части жёлоба так, чтобы его центр находился на расстоянии (5 – 10) мм слева от начала шкалы отсчёта. Эту точку установки не всегда удается фиксировать в опыте постоянной и по этой причине необходимо занести в таблицу 2-1 её положение в виде начальной координаты x01 центра масс первого шарика.

4.4.2. Установить второй шарик в верхней части жёлоба справа. Отметить положение центра масс шарика на шкале в виде расстояния l0 (значение l0 будет повторяться в следующих опытах, так что эту величину можно записать один раз).

4.4.3. Отпустить (без толчка) второй шарик и наблюдать за его качением и последующим столкновением с первым шариком в нижней точке спуска.

4.4.4. После столкновения первый и второй шарики начинают катиться влево, поднимаясь по жёлобу вверх, и затем останавливаются. Зафиксировать и занести в таблицу 2-1 отсчёты по шкале в виде координат x1 и x2 центров масс первого и второго шариков в моменты их остановок в верхней точке подъёма.

4.4.5. Повторить опыты 10 раз, занося результаты отсчётов по шкале в таблицу 2-1.

                                                                                                                                Таблица 2-1

х, см

Номер опыта

<x>,

см

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x01

x1

x2

Таблица 2-1 содержит результаты прямых измерений. Обработка этих результатов состоит в определении средних значений <x01>, <x1> и <x2>, которые следует занести в последнюю графу таблицы 2-1.

Все остальные данные получаются с помощью формул, т. е. являются результатом косвенных измерений. Погрешности измерений вычисляются по отдельному указанию преподавателя. Основные расчёты выполняются для средних значений по формулам, приведённым в разделе "Пояснение к заданию №2".

Вначале следует найти значения высот h0, h1 и h2, используя для этого данные опыта (т. е. значения l0, <x1> и <x2>) и схему установки, имеющуюся в лаборатории.

Вычислить длину пути центра масс lc при скатывании второго шарика до столкновения с первым по формуле: lc = l0 – <x02>, где <x02> = 2r – <x01> – средняя координата центра масс второго шарика в момент столкновения.

Используя уравнение энергетического баланса (21), найти величину 0. Затем вычислить значения начальных кинетических энергий Т01 и Т02 шариков после столкновения и значения высот h1* и h2* подъёма шариков по жёлобу при отсутствии потерь механической энергии.

По формулам (24) вычислить работу моментов сопротивления качению, определяющую потери энергии при качении шариков до остановки после столкновения.

Последний результат: соотношение скоростей шариков после столкновения – определяется с помощью формулы (26), куда подставляются значения высот h1 и h2, найденные в опыте.

5. ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРОВЕРКИ (ПРИМЕРНЫЕ)

5.1. Объяснить цель опытов, схему установки и методику выполнения эксперимента.

5.2. Какое механическое движение называется нормальным качением? Условия нормального качения тел.

5.3. Понятие момента сопротивления качению. Работа момента сопротивления качению.

5.4. Уравнения динамики качения по наклонной поверхности.

5.5. Уравнение энергетического баланса при качении тел.

5.6. На каком расстоянии от начальной точки остановится шарик радиусом

r =1см при качении по горизонтальной поверхности с коэффициентом сопротивления качению = 210-3 см при начальной скорости центра масс V0c =

=1 м/с и 10 м/с?

5.7. Понятие работы силы. По какой причине работа сил сцепления при нормальном качении тел равна нулю?

5.8. Объяснить, как вычисляется высота подъёма центра масс шарика, если точка его остановки находится на дуге окружности с радиусом R1, величина которого указана на схеме установки.

5.9. По какой причине столкновения шаров при качении отличаются от столкновений свободно летящих шаров?

5.10. Объяснить результаты опытов Задания №1.

5.11. Объяснить результаты опытов Задания №2.

                                          6. ЛИТЕРАТУРА

          6.1. Д. В. Сивухин. Общий курс физики, т. 1, "Механика". М., Наука, 1974, 519с.

          6.2. Н. В. Крагельский, В. С. Щедров. Развитие науки о трении. М., Издание АН СССР, 1956, 235с.

          6.3. Н. В. Крагельский, И. Э. Виноградова. Коэффициенты трения. М., Машгиз, 1962.

          6.4. К. Джонсон. Механика контактного взаимодействия. М., Мир, 1989.

          6.5. Г. В. Дедков. Нанотрибология: экспериментальные факты и теоретические модели. Успехи физических наук, т. 170, №6, 2000, с.585-618.

                                                                                        

                                                           

                                               

                                                                                       

                                                                                         ПРИЛОЖЕНИЕ

КЛАССИФИКАЦИЯ КАТЯЩИХСЯ ТЕЛ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ СПОСОБА КАЧЕНИЯ

В зависимости от способа качения  колёса транспортных устройств подразделяются на два основных типа: ведущие и ведомые. Соответствующие термины используются также для определения назначения колёс.

Колесо называется ведущим, если на его оси приложена пара сил, т. е. система из двух сил, равных по модулю, противоположных по направлению и расположенных на разных (параллельных) линиях действия. Сумма сил пары равна нулю, но момент пары отличен от нуля.

Если пару сил приложить к телу, свободному от связей, тело начинает вращаться вокруг оси, проходящей через его центр масс. Однако в случае колеса, поставленного на опорную поверхность при наличии сцепления, поворот под действием пары сил будет происходить вокруг оси, расположенной в точках касания между телом и поверхностью. Таким образом, качение ведущего колеса можно рассматривать как вращение вокруг мгновенной оси под действием пары сил, момент которой равен Мвед (момент ведущей пары сил).

Колесо называется ведомым, если к нему приложена сосредоточенная сила, изображаемая одним вектором. Такая сила обычно действует на оси, проходящей через центр масс, но может быть приложена и к другим точкам колеса, например, на ободе или на дополнительном шкиве. Колесо, поставленное на опорную поверхность при наличии сцепления, начинает катиться под действием приложенной силы, поворачиваясь вокруг оси, расположенной в точках касания между телом и опорной поверхностью. Следовательно, качение ведомого колеса – так же как и ведущего – можно рассматривать как вращение вокруг мгновенной оси под действием силы, момент которой определяется произведением модуля приложенной силы и её плеча, т. е. расстояния от мгновенной оси до линии действия силы.

Кроме указанных выше двух способов качения, необходимо отметить третий случай, который условно называется качением тел по инерции. Такое движение, например, происходит, если на ведомом колесе прекращается действие приложенной к нему силы и не включается какое-нибудь специальное тормозное устройство. Следует также отметить, что названия: ведущие, ведомые и тела, катящиеся по инерции – справедливы для тел любой формы.

PAGE  

PAGE  22


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

5374. Трансляция программы на языке программирования keil-C. Отладчик программ 64 KB
  Цель работы. Изучить интегрированную среду программирования keil-C. Получить навыки работы с текстовым редактором этой среды программирования. Получить навыки работы с программными проектами. Научиться транслировать программы...
5375. Системы передачи дискретной цифровой информации 219 KB
  В настоящее время системы передачи дискретной - цифровой информации играют огромнейшую роль в современной жизни и являются основой современной техники связи. Это накладывает требования на знание методов расчета параметров этих устройств и ...
5376. Проектирование фрагмента цифровой сети связи Старый Оскол-Роговатое с использованием оборудования SDH 6.96 MB
  Современная эпоха характеризуется стремительным процессом информатизации общества. Это сильней всего проявляется в росте пропускной способности и гибкости информационных сетей. Противодействовать растущим объемам, передаваемой информации на...
5377. Политическая культура России: прошлое и настоящее 83.5 KB
  Политизация современной жизни - факт очевидный. Нередко беседа, дискуссия по той или иной теме вне зависимости от нашего желания приобретает политический оттенок. Когда же дискуссия обостряется, и кто-нибудь из спорящих переходит на высокий...
5378. Антивирусное ПО для серверов 86.5 KB
  Одной из самых опасных на сегодняшний день угроз информационной безопасности являются компьютерные вирусы. Компьютерным вирусом называется специально написанная программа, способная самопроизвольно присоединяться к другим программам, с...
5379. Секундомер на базе микроконтроллера МК51 155.5 KB
  В данном курсовом проекте разработан секундомер на базе микроконтроллера МК51. Проанализированы алгоритмы работы устройства и микроконтроллера. По алгоритму работы микроконтроллера на языке Ассемблер написана программа и разработана принципиальная э...
5380. Товар: методы и организация разработки товара, новые товары в рыночной стратегии 380 KB
  В современном мире создание и производство новых товаров является решающим для процветания фирмы. Потребители хотят и ждут новых и усовершенствованных изделий. И конкуренты приложат максимум усилий, чтобы обеспечить их этими новинками. След...
5381. Расчет и выбор допусков и посадок типовых соединений деталей машин 675.5 KB
  Одной из главных целей конструктора в ходе проектирования и конструирования новых и усовершенствования устаревших изделий, является разработка чертежной документации для чертежей, обеспечивающей необходимую технологичность и высокое качеств...