42535

Определение линейных и угловых скоростей и ускорений, моментов инерции, сил натяжения нитей. Исследование энергетического баланса

Книга

Физика

Уравнения кинематики и динамики. Исследование энергетического баланса. Опыты с диском Максвелла без дополнительного кольца. Опыты с диском Максвелла с дополнительным кольцом. Определение максимальной и средней сил натяжения при рывке нити...

Русский

2016-09-14

950.5 KB

19 чел.

PAGE  10

ФГОУ ВПО «КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

КАФЕДРА ФИЗИКИ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3

ИССЛЕДОВАНИЕ МЕХАНИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ ПРИ СКАТЫВАНИИ ТЕЛ ПО ОТВЕСНЫМ НИТЯМ НА УСТАНОВКЕ МАКСВЕЛЛА

Методическое указание к выполнению лабораторной работы по курсу общей физики для студентов инженерно-технических специальностей

Калининград

2008

ОГЛАВЛЕНИЕ

                                                                                                            стр.

                                                                                                                  

1. Введение                                                                                                            2

2. Уравнения кинематики и динамики                                                         6

3. Исследование энергетического баланса                                                          9

4. Порядок выполнения работы                                                                         11

4.1. Экспериментальная часть                                                                      11

4.2. Общие указания по подготовке и выполнению работы                         15

4.3.  Экспериментальные задания и обработка результатов                         16

Задание №1. Опыты с диском Максвелла без дополнительного кольца    16

Задание №2. Опыты с диском Максвелла с дополнительным кольцом    18

Задание №3. Определение максимальной и средней сил натяжения при       рывке нити                                                                                                           19

5.Вопросы для проверки                                                                                     19                                                                                                                                        6.Литература                                                                                                        20                                                                                                                           
Приложение 1. Исследование некоторых свойств движения на установке Максвелла и определение средней и максимальной сил натяжения при рывке нити                                                                                                           21

Приложение 2. Определение потерь энергии при рывке нити и скорости центра масс тела в конце рывка на установке Максвелла                         30

  Цель работы:   1. Ознакомление с условиями качения тел.

                                  2. Изучение кинематики и динамики при скатывании     тел по отвесным нитям.

                                          3. Определение линейных и угловых скоростей и ускорений, моментов инерции, сил натяжения нитей. Исследование энергетического баланса.

             Используемый реквизит:  дополнительное кольцо,  угольник, ручной секундомер (при необходимости).

             

    1. ВВЕДЕНИЕ

1.1. Тела с радиальной симметрией (шары, цилиндры, колёса и т. п.) обладают свойством катиться по твёрдой поверхности. Такое свойство
обеспечивается тем, что точки катящегося тела, соприкасающиеся с
опорной (твёрдой) поверхностью, на мгновение "сцепляются" с этой
поверхностью. Сцепление обусловлено электрическими силами
межмолекулярного взаимодействия между точками тела и поверхности, по которой оно катится. При полном сцеплении оказывается, что скорости точек тела, контактирующих с поверхностью, должны быть равны скоростям точек поверхности, которая обычно считается неподвижной в заданной системе отсчёта.

     Эти точки катящегося тела называются  мгновенными   центрами

скоростей (м.ц.с.). Через них в каждое данное мгновение проходит неподвижная   мгновенная ось,   относительно   которой катящееся   тело совершает "мгновенное вращение", т. е. поворот в том направлении,  куда тело движется.

Если сцепления недостаточно, тогда возникает скольжение, и качение тела может полностью прекратиться. Отсутствием сцепления объясняется, например, буксование ведущих колес автотранспорта на мокром глинистом грунте. На твёрдой поверхности при отсутствии сцепления нормальное качение тел также не происходит.

Нормальным качением (качением без скольжения) называется движение тел с радиальной симметрией при наличии мгновенной оси вращения в точках контакта с опорной поверхностью.

Для нормального качения также необходимо, чтобы центр масс тел совпадал с центром симметрии. Если это требование не выполняется, тогда  катящееся тело будет периодически отрываться от опорной поверхности ("подпрыгивать"). Это явление изменяет тип движения тела.

1.2. В условиях земного притяжения сцеплению способствует сила тяжести, прижимающая тело к опорной поверхности и обеспечивающая "плотный контакт" между точками тела и поверхности. Наглядным примером является скатывание по наклонной поверхности. Когда угол наклона плоскости мал, тело катится так же, как и по горизонтальной поверхности. Однако с ростом угла наклона - при некотором предельном угле - тело начинает скользить вдоль поверхности. Качение при большом угле наклона прекращается, так как нормальная (перпендикулярная) к поверхности составляющая силы тяжести уменьшилась настолько, что не обеспечивает сцепления между точками тела и наклонной плоскости.

   Ещё пример. Прислоните к вертикальной стенке шарик или, проще, круглый карандаш и отпустите. Качения не возникает, тела будут падать вдоль стенки. Но можно заставить те же тела катиться и по вертикальной поверхности, если прижать их к ней рукой, т. е. обеспечить условие сцепления, о котором говорилось выше.

       1.3. Качение тел вдоль вертикального направления в гравитационном поле Земли можно осуществить оригинальным способом, используя для этого намотанную на тело нить (или ленту). Этот способ легко проверить с помощью обычной катушки с нитками. Надо взяться одной рукой за свободный конец намотанной на катушку нити, другой рукой поднять катушку, затем отпустить её, удерживая конец нити на одной высоте. Катушка будет опускаться вниз, разматывая нить. Однако это не обычное (свободное) падение тела.

Катушка, опускаясь вниз, вращается, а если присмотреться внимательно, оказывается, что катушка катится по неподвижной нити, одновременно разматывая её со своей поверхности. В точке схода нити с поверхности катушки расположен мгновенный центр скоростей.

        Нетрудно также заметить, что во время опускания катушки нить при сматывании совершает движение вдоль её поверхности, и по этой причине катушка будет крениться то в одну, то в другую стороны. В результате, ориентация тела и мгновенной оси вращения в пространстве оказываются не стабильными, и расчёты движения усложняются.

Примечание. Ориентация тел в пространстве в общем случае характеризуется тремя углами. Разработано несколько способов отсчёта таких углов, определяющих повороты тел в пространстве по отношению к трём взаимно-перпендикулярным осям

В корабельной и авиационной практике используются углы Крылова: угол крена, угол рысканья, угол дифферента (или тангажа- в авиации).

Для многих исследований применяются также углы Эйлера: угол прецессии, угол нутации, угол собственного вращения. Правила отсчёта углов Крылова и Эйлера изучаются в теоретической механике и в специальных курсах.

Ориентация тела при вращении на неподвижной оси характеризуется одним углом, который принято называть углом поворота. Этот угол можно считать идентичным углу дифферента или углу собственного вращения в методах Крылова и Эйлера, если тело совершает повороты только относительно одной оси, не изменяющей ориентации в пространстве.

При качении, в общем случае, тело может изменять направление движения (менять курс) и наклоняться (крениться), совершая одновременно повороты относительно мгновенной оси. При этом мгновенная ось будет также разворачиваться и изменять ориентацию. Для исследования кинематики и динамики такого движения требуется учёт поворотов тела относительно трёх осей, что и приводит к усложнению расчётов.

Расчёты качения тел становятся более простыми, если мгновенная ось остаётся параллельной самой себе, т. е. сохраняет ориентацию в пространстве.

Оптимальная стабилизация положения  мгновенной _оси  вращения

получается при скатывании по двум нитям. Для этого на тело цилиндрической формы следует намотать две нити, расположив намотку симметричными рядами относительно середины (центра масс) тела.

Схема такой конструкции, разработанной Максвеллом, показана на рис. 1а. Дня проведения опытов один конец каждой нити закрепляют на поверхности цилиндра, другой - на неподвижном кронштейне. Поднятое вверх тело с намотанными на его поверхность нитями - после отпускания -скатывается вниз по двум отвесным нитям. Качение вниз продолжается до тех пор, пока нити не разматываются полностью. После этого тело начнёт подниматься вверх, продолжая катиться по нитям и наматывая их на свою поверхность. 'Это движение "вниз - вверх" многократно повторяется с уменьшающейся высотой подъёма из-за потерь механической энергии.

LLLL LLLL  LLLL LLLL  LLLL LLLL

         а) схема намотки нитей                                        б) схема для расчётов                               

                                                       Рис. 1.

Движение цилиндра "вверх" с продолжающимся качением по нити объясняется двумя причинами:

1) в нижней точке спуска (когда нить полностью размотана с поверхности тела) вектор импульса центра масс в течение малого интервала времени изменяет свое направление на противоположное. Изменение направления вектора импульса центра масс обеспечивается кратковременным увеличением силы натяжения нити, называемом рывком нити. Во время рывка нити сила натяжения становится больше силы тяжести, и центр масс тела получает начальный импульс для движения "вверх". Однако этого импульса недостаточно для подъёма вверх, который наблюдается в опыте, так как основная часть начальной энергии преобразуется в энергию вращательного движения цилиндра.

      2) когда нить полностью размотана, качение цилиндра по нити прекращается. Мгновенная ось вращения исчезает, и вместо неё возникает новая ось, проходящая через точки закрепления нитей на поверхности цилиндра. По отношению к этой оси тело начинает поворачиваться (вращаться), имея начальную угловую скорость, полученную в конце спуска с заданной высоты. За время поворота цилиндра в нижней точке спуска его центр масс движется с ускорением по дуге окружности с радиусом, равным радиусу тела r. Полная длина пути центра масс за время поворота тела равна . Это время равно времени, в течение которого происходит рывок нити.

Если считать нить абсолютно упругой (т. е. потерь энергии за время рывка нет), то момент импульса цилиндра полностью сохраняется за время поворота в нижней точке спуска, т.е. выполняется закон сохранения момента  импульса. Следовательно, угловая скорость вращения тела должна иметь одинаковые величину и направление в конце и в начале рывка нити. По этой причине цилиндр будет наматывать нить на свою поверхность, обладая основным запасом энергии, преобразованной за время спуска в кинетическую энергию вращательного движения.

Примечание. В Приложении 1 дана схема разворота цилиндра в нижней точке спуска, в результате чего происходит переброска нити с изменением направления её дальнейшей намотки при качении "вверх". Там же рассмотрена методика расчёта средней и максимальной сил натяжения при рывке нити.

С учётом названных двух причин и при условии, что потери энергии отсутствуют, по окончании рывка нити цилиндр начинает движение "вверх" со скоростью центра масс и угловой скоростью вращения, имеющими такие же значения, как и в нижней точке предыдущего спуска.

При качении "вверх" снова появляется мгновенная ось вращения. Скорость центра масс и угловая скорость тела уменьшаются (из-за действия силы тяжести и её момента). При отсутствии потерь энергии центр масс должен подняться на ту же высоту, с которой начинался спуск "вниз".

В реальных установках механическая энергия (сумма кинетической и потенциальной энергий) движущегося тела частично преобразуется в другие формы энергии в результате работы непотенциальных (диссипативных) сил: сопротивления среды, трения нитей о поверхность тела, а также  в процессе кратковременного рывка нити в нижней точке спуска.

Примечание. При качении тел по твёрдым поверхностям (горизонтальным и наклонным) возникают потери энергии из-за деформаций поверхности катящегося тела и опорной поверхности в точках контакта. Такие деформации являются главным источником сил сопротивления со стороны твёрдых опорных поверхностей. Действие таких сил в механике характеризуется моментом сопротивление качению, величина которого зависит от материала, качества изготовления, температуры и чистоты поверхностей.

В процессе скатывания тел в воздухе по отвесным, упругим, гладким, нерастяжимым нитям потери энергии незначительные. Однако, если изучается возвратное движение "вниз - вверх",  то потери энергии увеличиваются и объясняются работой сил неупругих деформаций нитей во время рывка в нижней точке спуска. По этой причине высота подъёма после рывка всегда заметно меньше высоты начального спуска.

         2. УРАВНЕНИЕ КИНЕМАТИКИ И ДИНАМИКИ

   2.1. На схеме рис. 1б изображён цилиндр в процессе движения вниз со скоростью и ускорением центра масс  и ас и с угловыми скоростью и
ускорением
ω и ε. Изогнутая стрелка с обозначениями ω и ε показываетнаправление поворота цилиндра с увеличением угловой скорости. Векторы и  при этом направлены вдоль оси Y перпендикулярно плоскости рисунка; проекции этих векторов на ось Y - отрицательные.

Примечание. Вектор угловой скорости  всегда направлен вдоль оси вращения таким образом, что с его конца поворот тела виден против хода часовой стрелки. Вектор углового ускорения сонаправлен вектору  , если угловая скорость увеличивается.

В т. Р, где нить касается поверхности цилиндра, находится м. ц. с. и через эту точку проходит мгновенная ось вращения, параллельная оси Y.

К цилиндру приложены: сила тяжести G в точке С (центр масс) и силы натяжения S двух нитей в точках схода нитей с поверхности тела (на схеме рис. 1б эти точки объединены в т. Р).

Для теоретическою описания механического движения тела вначале надо установить, к какому типу относится исследуемое движение. В механике все движения твёрдых тел подразделяются на пять типов: поступательное, вращательное, плоское, сферическое и свободное. При исследовании каждого типа движения требуется соответствующая ему система уравнений кинематики и динамики.

2.2. Качение тел при постоянной ориентации оси мгновенного вращения является частным случаем плоского движения. Следовательно, скатывание тел по двум отвесным нитям, стабилизирующим ориентацию мгновенной оси, также относится к типу плоского движения.

Примечание. Движение твёрдого тела называется плоским (или плоско-параллельным), если тело, перемещаясь в пространстве, совершает повороты, не имея закреплённых точек, и при этом каждая точка тела движется в одной и той же плоскости, параллельной некоторой неподвижной плоскости.

Плоское движение могут совершать тела любой формы (стержни, пластины, диски, пространственные фигуры). Это движение имеет ряд характерных особенностей, которые используются для проектирования машин и механизмов. Одной из таких особенностей является существование мгновенного центра скоростей (м. ц. с.) в плоскости движения каждой точки тела. Все м. ц. с. лежат на одной прямой, называемой мгновенной осью вращения. Относительно этой оси тело при плоском движении совершает повороты в пространстве. Положение мгновенной оси непрерывно изменяется, однако эта ось остаётся параллельной самой себе.

Свойства плоского движения, в том числе  методы определения положения м. ц. с., изучаются в курсе теоретической механики. В курсе общей физики обычно рассматривается только частный случай плоского движения - качение тел при постоянной ориентации оси мгновенного вращения.

В механике доказано, что плоское движение можно исследовать двумя способами.    В первом  -    плоское    движение    рассматривается    как совокупность двух движений: поступательного движения вместе с условной осью, проходящей через центр масс тела, и вращательного движения вокруг этой оси.  Во втором - плоское движение рассматривается как мгновенно-вращательное движение вокруг мгновенной оси, расположение которой изменяется с течением времени и должно определяться соответствующими расчётами и схемами. Для теоретических исследований и практических расчётов оба способа обычно используются совместно.

При качении тел по поверхностям заданного профиля (например, в данной схеме по отвесным нитям) задача исследования упрощается, т. к. всегда известно расположение м. ц. с. и оси мгновенного вращения.

     2.3. Считаем, что при скатывании тела по отвесной нити в воздушной среде силами трения и сопротивления можно пренебречь. Силу натяжения нити S,силу тяжести G и радиус намотки нити принимаем постоянными.

При этих условиях уравнения, описывающие движение тела, имеют простой вид типа алгебраических выражений, которые формулируются на основе известных законов кинематики и динамики равнопеременного движения с постоянным ускорением центра масс и постоянным угловым ускорением.

В первом способе - динамика скатывания цилиндра, показанного на схеме рис. 1б, описывается уравнениями:

                                     (1а)

                                   (1б)

Здесь: т - масса цилиндра; Jc - момент инерции цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс; ас - линейное ускорение центра масс; ε - угловое ускорение цилиндра; r - радиус цилиндра.

Первое уравнение (1а) - это закон динамики движения центра масс тела под действием внешних сил: силы тяжести G и силы натяжения 2S. Второе уравнение (1б) - это закон динамики вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через центр масс. Заметим, что согласно уравнению (1б) цилиндр вращается в результате действия момента сил натяжения нитей; момент силы тяжести относительно точки  С оказывается равным нулю.

Примечание. Уравнения (1) и следующие ниже уравнения (2) записаны в виде проекций на соответствующие оси координат: Z и Y.

В двух уравнениях (1) при известной массе т и силе G содержатся четыре неизвестных величины (ac, ε, S, Jc), так что для теоретического решения необходимо привлечь второй способ описания качения, учитывающий вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через т. Р.

Во втором способе  применяются закон динамики для мгновенно-вращательного движения тела и формулы для расчёта ускорений и скоростей точек вращающегося тела:

 (2a)

  (2б)

=  (2в)

      Здесь: Jp=Jc+r2· m - момент инерции относительно мгновенной оси в т. Р, который вычисляется по теореме Штейнера, если, например, известен .

Первое уравнение (2а) - это закон динамики мгновенно-вращательного движения тела вокруг мгновенной оси, проходящей через т. Р. Согласно уравнению (2а) вращение происходит под действием момента силы тяжести, т. к. момент сил натяжения нитей относительно точки Р оказывается равным нулю.

Уравнения (2б) и (2в) получены из формулы Эйлера для скоростей точек при вращении тела вокруг оси в т. Р и в данной системе координат они описывают условия кинематических связей между проекциями линейных и угловых скоростей и ускорений (с учётом разных знаков проекций).

Однако системы уравнений (1)-(2) также недостаточно для расчёта параметров движущегося тела, т. к. количество неизвестных больше числа уравнений. Следовательно, невозможно сравнение теоретических результатов расчёта с данными опыта.

Систему (1)-(2) дополним уравнениями кинематики прямолинейного движения центра масс, учитывая, что т. С цилиндра должна иметь постоянное ускорение ас, т. к. силы G и S - стационарные, т. е. не изменяются со временем.

Длина пути т. С равна высоте спуска h при скатывании цилиндра из верхнего положения в нижнее (см. рис. 1б). Время спуска с высоты h измеряется в опыте.

Примечание. При качении тела по твёрдым поверхностям центр масс - это единственная точка тела, траектория которой повторяет профиль опорной поверхности. Если поверхность ровная, тогда центр масс движется прямолинейно, а все остальные точки тела движутся по криволинейным траекториям типа циклоид. На "холмистой" поверхности траектория центра масс становится криволинейной; у остальных точек тела вид траекторий еще более усложняется.

Если при скатывании по нити  сама нить неподвижна, тогда центр масс тела движется прямолинейно по вертикали. Следует, однако, отметить, что приведённая здесь теория качения верна только для таких тел, у которых центр масс совпадает с центром симметрии. Если тело неоднородное, тогда центр масс и центр симметрии могут оказаться в разных точках, и расчёты движения усложняются

При условии, что в верхнем положении тело покоилось (т. е. = 0),

для длины пути центра масс получаем:

                                                 ,                                                            (3)

где  tK  - время спуска, измеряемое в опыте.

Из (3) имеем:

                                                                                                                  (4)

При постоянном ускорении скорость центра масс в конце спуска равна:

                                                                                                     (5)

С помощью уравнений (1)-(5) при известных (из опыта) h и tк полностью решается задача определения всех параметров при скатывании тела по отвесной нити.

Угловые скорость ω и ускорение ε вычисляются из (2б) и (2в). Неизвестный момент инерции Jp рассчитывается с помощью уравнения

(2а), затем - с учётом теоремы Штейнера - находим момент инерции Jс.

Силу натяжения нитей S можно найти из уравнений (1а), (1б) или почленным делением (1б) на (2а).

Примечание. В Приложении 1 дано дополнительное исследование некоторых свойств механического движения при скатывании тел по нитям, получен ряд формул, удобных для практических расчётов.

Значения , ω , Jc, найденные с помощью уравнений (1)-(5), позволяют также исследовать энергетический баланс в проводимом опыте.

     3. ИССЛЕДОВАНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО БАЛАНСА

              3.1. Уравнение энергетического баланса для механических установок получается из общефизического закона сохранения энергии и записываете в виде:

                                        (6)

      Здесь: E0 - начальная (запасённая) энергия в установке; E(t) - энергия

установки в некоторый момент времени; Et - потери энергии.

      В     механических    установках    потери     энергии    равны     paботе непотенциальных (диссипативных) сил. В данной установке Максвелла к ним относятся: силы трения и сопротивления в процессе качения тела по нити и сила неупругой деформации при рывке нити в конце спуска.

Примечание. Понятие энергии и формулировки общефизического закона сохранения энергии и закона сохранения механической энергии даны  в описании  лабораторной работы  №6   " Исследование  преобразования энергии на установке "машина Обербека".

 3.2. Для  схемы движения,  показанной  на рис. 1б,  значения   Е0   и  Е(t) определяются формулами для механической энергии:

                                                (7)

     Здесь: Т0, П0 и Т(tк), П0(tK) - кинетическая и потенциальная энергии тела в начальный и конечный моменты времени.

Потенциальная энергия в установке Максвелла равна энергии тела в гравитационном поле Земли. Разность этих энергий на верхнем уровне (на высоте h для центра масс тела) и на нижнем уровне (в точке спуска для центра масс тела) равна:

                                     (8)

Принимая нижнюю точку  за нулевой уровень  отсчёта потенциальной энергии, получаем:

                                                                                              (9)

                                                                                                                   

Кинетическая энергия при качении тела равна:

      ,                                           (10)                                                   

где:  - кинетическая энергия центра масс;

       -  кинетическая энергия при вращении вокруг оси,                       проходящей через центр масс тела.

Формула (10) записана   при условии, что качение тела представлено как совокупность поступательного и вращательного движения;  здесь   Jc -  момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс.

Если рассматривать качение как мгновенно-вращателъное движение относительно мгновенной оси в т. Р, тогда формула для кинетической энергии тела преобразуется к виду:

                                                                       ,                                              (11)                                                                                            

где: Jp - момент инерции относительно мгновенной оси вращения.

Примечание. Формула (11) легко получается из (10) с учётом формулы Эйлера для скорости точек вращающегося тела и теоремы Штейнера для моментов инерции.

Учитывая, что на верхнем уровне подъёма тело покоится, получаем:

                                                     

                                                              (12)

Здесь: Т0 - кинетическая энергия тела на верхнем уровне подъёма; T(tк) -

кинетическая энергия тела на нижнем уровне спуска и, соответственно,  и ω - скорость центра масс и угловая скорость тела в конце спуска, определяемые формулами (5) и (2в).

Подставляя в (6) значения (7), (9) и (12), запишем уравнение энергетического баланса при скатывании тела с верхнего уровня на нижний:

                                                                                        (13)

Примечание. Уравнение (13) позволяет найти численное значение потерь энергии при скатывании тела с верхнего уровня на нижний, когда центр масс опускается с высоты h.

Внимание: механическое движение на установке Максвелла разделяется на этапы:

     1) движение (качение по нитям) "вниз";

                      2) рывок в нижней точке спуска, после которого изменяется направление   вектора   импульса   центра   масс   тела   при сохранении направления вектора момента импульса, т.  е. направления вращения тела;

     3) движение (качение по нитям) "вверх".

Результаты эксперимента, который выполняется в данном исследовании, позволяют - с учётом энергетического баланса - выяснить: на каких этапах допустимо пренебрежение непотенциальными силами трения,     сопротивления и неупругой деформации.

        4. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

      4.1. Экспериментальная часть

             4.1.1.Установка Максвелла изготовлена в настольном варианте и находится в собранном виде в лаборатории. Для выполнения измерений дополнительно требуются:

        1. Металлическое кольцо  массой  т к  = (205,5 ±0,2) г.

       2. Угольник с прямым углом.

На рис. 2а, б показан в двух проекциях внешний вид установки, смонтированной на платформе (1), которая размещается на столе и приводится в горизонтальное положение с помощью винтовых опор с одновременным контролем с помощью уровнемера. На платформе расположены: круглая вертикальная стойка (2) и секундомер (10). На вертикальной стойке с помощью втулок (3) и (4) закрепляются фотозатвор (11) и кронштейн (5).

В кронштейне имеются два отверстия, сквозь которые пропущена сплошная нить (8). Средняя часть нити навита на регулировочный винт (6), что позволяет корректировать длину участков нити, пропущенных через отверстия.

Концы нити закреплены на поверхности цилиндрического вала (см. рис. 2б), в центре которого установлен однородный диск. Такая фигура твёрдого тела - центральный диск с большим радиусом, жёстко соединенный с цилиндрическим валом - называется диском Максвелла (9). При намотке двух участков нити на вал  диск Максвелла поднимается вверх, затем скатывается вниз по двум нитям, как это было показано на схемах рис. 1.

В лабораторной установке на нитях постоянно закреплён диск Максвелла, имеющий общую (вал с центральным диском) массу тд= =(141,2 ±0,2)г. На центральный диск можно устанавливать дополнительное кольцо, что приводит к изменению массы и момента инерции диска Максвелла. Радиус намотки нити (радиус вала)  r = (5,0 ±0,1) мм.

           4.1.2. На рис. 2а диск Максвелла изображён в процессе движения. Для фиксации его начального (верхнего) положения имеется упор (7). С помощью упора задаётся постоянная начальная координата центра масс тела для отсчёта высоты спуска, а также  обеспечивается начальное положение центра масс на вертикальной траектории его движения при спуске. Кроме того, упор должен задавать правильную ориентацию оси мгновенного вращения диска Максвелла при скатывании по нитям.

Примечание. В установках могут применяться разные конструкции упоров: электромагнитные и механические. Электромагнитные упоры удобны тем, что удерживают тело до начала скатывания по нитям. Однако при отключении питания электромагнита появляется значительная погрешность в синхронизации начала отсчёта времени спуска и момента реального отпуска тела от упора.

В механических упорах используются специальные профилированные

углубления (выточки), в которые (при намотанных нитях) устанавливается вал или центральный диск. При этом тело - до начала скатывания –удерживается пальцами руки экспериментатора. На схеме рис. 2а показан вариант механического упора с радиальной выточкой, куда устанавливается верхний сегмент вала диска Максвелла.

 4.1.3. Для определения высоты спуска (и подъёма), т. е. длины пути центра масс тела, имеется шкала, расположенная на вертикальной стойке. Из схемы рис. 2б видно, что при движении диска Максвелла как "вниз", так и "вверх" длина пути центра масс равна разности отсчётов по шкале, определяющих вертикальные координаты нижнего среза центрального диска.

Начальный отсчёт в верхнем положении делается с помощью угольника, имеющего прямой угол. Для этого одна сторона угольника прикладывается к шкале, другая - прижимается к нижнему срезу диска.

Конечный отсчёт внизу определяет координату оптической оси светового луча, который пересекается нижним срезом диска при опускании в зазор фотозатвора (см. рис. 26).

На рис. 2б показано, что корпус фотозатвора имеет форму перевёрнутой буквы "П". В левой части корпуса (А) установлен фотоэлемент, в правой (В) - источник света, формирующий световой луч, направленный на фотоэлемент. Координата оптической оси луча определяется по шкале с помощью указателя на консоли (12).

Фотозатвор соединён с электрической схемой секундомера так, чтобы обеспечить отсчёт времени спуска центра масс диска Максвелла с заданной высоты.

4.1.4. Для регистрации времени установка подключается к сети с напряжением ~220В. На корпусе секундомера расположены три кнопки управления: "Сеть", "Пуск" и "Сброс". При нажатии кнопки "Сеть" загорается источник света в фотозатворе, и на табло секундомера высвечиваются пять цифровых разрядов: два первых - количество секунд, четвертый и пятый - сотые и тысячные доли секунды. С помощью кнопки "Сброс" на табло устанавливаются "нули". Кнопка "Пуск" управляет началом отсчёта времени при условии, что световой луч беспрепятственно попадает на фотоэлемент. Прерывание светового луча останавливает счёт времени.

     4.2. Общие указания по подготовке и выполнению измерений

      4.2.1. Подготовка

      1. Проверить горизонтальность и устойчивость платформы. Когда платформа расположена горизонтально, тогда нити, на которых подвешен диск Максвелла, параллельны вертикальной стойке. Для устойчивости платформа должна стоять на четырёх опорах.

       2. Опустить фотозатвор в крайнее нижнее положение. Затем, регулируя длину участков нити и взаимное расположение кронштейна и консоли, установить свободно висящий диск Максвелла таким образом, чтобы его нижняя часть находилась в середине зазора фотозатвора параллельно боковым стенкам.

       Для регулирования длины можно снять либо добавить несколько витков нити с винта (6). Равенство длин участков нити обеспечивается "оттяжкой" нити с винта - с целью горизонтальной установки вала; для этого требуется приложить небольшое усилие (руками) на левой либо правой нити.

3. Окончательная (точная) регулировка длины нити и положения фотозатвора выполняется при включённом источнике света. Необходимо, чтобы нижний срез диска (с кольцом либо без кольца - это зависит от задания в опыте) "отсекал" 1/2 площади светового пятна, проецируемого источником света.

Внимание: только при указанном условии точной регулировки момент прекращения счёта времени на секундомере совпадает с моментом времени, когда нить полностью размотана с поверхности вала после спуска диска Максвелла с заданной высоты; для получения точной регулировки фотозатвор можно немного поднять из нижнего положения.

       4.2.2. Измерения

1. Подключить установку к сети и нажать кнопку "Сеть".

2. Проверить условие точной регулировки и записать отсчёт по шкале для координаты оптической оси светового луча.

3. Вращая вал "от себя" пальцами левой и правой руки, наматывать нить на вал плотными витками, сходящимися к центру. Намотку вести до подъёма диска Максвелла к упору. Не натягивать нить в верхнем положении, т. к. диск может "прилипнуть'' к упору.

       4. С помощью угольника измерить (и записать) отсчёт по шкале, определяющий координату нижнего среза диска.

5. Удерживая диск на упоре одной рукой, другой нажать кнопку "Сброс". Затем - одновременно - отпустить диск и нажать кнопку "Пуск". Данную операцию должен выполнять один экспериментатор!

       Внимание: перед отпусканием диска проверить симметричность его расположения на упоре и горизонтальное положение вала. Если эти условия нарушены, тогда при спуске диск Максвелла будет крениться и рыскать в разные стороны, и измерения становятся  неправильными.

       6. Секундомер отсчитывает время движения до тех пор, пока нижний срез диска не пересечёт оптическую ось луча в фотозатворе. В этот момент счёт прекращается и секундомер фиксирует (на табло) время спуска, которое надо записать.

7. После спуска в нижнее положение диск Максвелла поднимается вверх, наматывая нить на вал. Необходимо зафиксировать (на шкале) координату нижнего среза диска в момент его подъёма на максимальную высоту.

       Внимание: в этот момент диск Максвелла на мгновение   останавливается; требуется задержать диск рукой в этом положении (нити держать вертикально!) и с помощью угольника найти отсчёт по шкале для нижнего среза диска.

         8. Вручную плавно опустить диск Максвелла вниз. Записать  координату подъёма.

         9. Повторить измерения (п.п. 3-8) согласно заданию в опыте.

4.3. Экспериментальные задания и обработка результатов

 Примечание: Количество заданий устанавливает преподаватель. Перед   выполнением   каждого   экспериментального   задания   провести подготовку установки согласно п. п. 1-3 раздела 4.2.1.

    Задание №1. Опыты с диском Максвелла без дополнительного      кольца

Подготовить установку. Изучить п.п. 1- 9 раздела 4.2.2 и выполнить несколько пробных пусков диска для проверки срабатывания фотозатвора, а также дня тренировки в наматывании нити на вал и в измерении высоты подъёма при движении диска "вверх".

Измерить и записать координату Zo (отсчёт по шкале в верхнем положении на упоре) - среза диска и координату Z1 (отсчёт по шкале) - оптической оси луча. Погрешности отсчётов по шкале для Zo и Z1 принять равными:. Значения  Zo и Z1 сохраняются в опытах.

Выполнить 10 измерений времени спуска t и координаты Z2 (отсчёт по шкале) - нижнего среза диска при подъёме после скатывания.

Результаты прямых измерений t и Z2 занести в табл. I.

                                                                                                                                              

Таблица 1

Колич.

измер.,

    n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

t, сек

Z2, м

Примечание: Разброс значений Z2 может достигать  1 см, что объясняется как нестабильностью условий запуска из начального положения, так и свойствами деформации нитей во время рывка в нижней точке спуска. Значения Z0 и Z1 записать отдельно, т.к. они постоянны в опыте.

Обработка   результатов прямых   измерений   состоит   в   определении средних значений времени спуска tk и координаты подъёма Z2, а также погрешностей этих величин. При расчёте погрешностей достаточно учесть только случайную статистическую ошибку, т. к. ошибки округления на шкале линейки и секундомера и систематические ошибки этих приборов оказываются малыми по сравнению со случайной ошибкой. При расчёте погрешностей руководствоваться методическими указаниями №100.

Среднее значение времени tk (в секундах с четырьмя значащими цифрами) занести в табл.2. Среднее значение координаты Z2 (в метрах с тремя значащими цифрами) занести в табл.3. Средние значения всех остальных параметров являются здесь результатом косвенных измерений, т. к. вычисляются с использованием соответствующих формул.

В табл.2 необходимо занести результаты для следующих кинематических и динамических параметров: высоты спуска центра масс, которую обозначим h1= Z1Z0; линейных и угловых ускорений и скоростей, которые 2б обозначим ас1, ε1, , ω - эти значения вычисляются с помощью формул (), (2в), (4) и (5); силы тяжести G=mд g и момента силы тяжести M=Gr; моментов инерции Jp и Jc, где Jp - вычисляется с помощью формулы (2а), Jc - с помощью теоремы Штейнера; суммарной силы натяжения двух нитей So =2S , которую можно найти либо с помощью формулы (1а),  либо - формулы (1П -2) Приложения 1.

                                                                                                                                Таблица 2

t,

сек

h1,

 м

ас1,

м∙с--2

ε1,

с-2

,

м∙с--1

ω,

с-1

G ,

H

М ,

H м

Jp ,

кг∙ м2

Jc ,

кг∙ м2

So, 

H

Примечание. Кроме высоты h1 , которая определяется с тремя значащими цифрами, все остальные величины в табл. 2 вычислить с пятью значащими  цифрами.   Ускорение  силы  тяжести   g =(9,815 ±0,001) м∙с-2.

Найти погрешности для величин  h1,  ac1, ε1,  ,   ω1  , учитывая,  что значения этих величин являются результатами косвенных измерений. Погрешности измерения остальных величин в табл. 2 вычисляются по указанию преподавателя.

Следующие расчёты должны определить энергетический баланс при механическом движении диска Максвелла. В том числе - потери энергии в процессе качения по нитям и за время рывка в нижней точке спуска. Для выполнения расчётов необходимо ознакомиться с разделом п. 3 "Исследование энергетического баланса" и с Приложением 2 "Определение потерь энергии при рывке нити и скорости центра масс тела в конце рывка на установке Максвелла".

Результаты вычислений требуется занести  в табл. 3.

                                                                                                                           

                                                                                                                              Таблица 3

Z2 м

h2,

м

П1,

Дж

Тс1,

Дж

Твр1,

Дж

Т1,

Дж

Еs1,

Дж

ΔT* Дж

Т2 ,

Дж

,

м∙с--1

 В первой графе табл. 3 приводится среднее значение координаты Z2 -результата прямых измерений. Далее приводятся результаты косвенных измерений, полученных с помощью расчётов, использующих данные табл. 2.

Высота подъёма центра масс тела h2 = Z1Z2  вычисляется с тремя значащими цифрами. Значения остальных величин в табл. 3 должны быть вычислены с пятью значащими цифрами.

 Начальная потенциальная энергия (перед спуском) определяется формулой . Значения кинетической энергии Тс1, Твр1 и Т1 в конце спуска (т. е. в начале рывка нити) вычисляются с помощью формул (10) -(12). Потери энергии при скатывании  .

 Значения ΔТ*, Т2  и   (потери энергии за время рывка, кинетическая энергия и скорость центра масс тела в конце рывка)  вычисляются по формулам (2П-5), (2П-6) и (2П-9) Приложения 2. Погрешности измерения этих величин определяются согласно указанию преподавателя.

В завершение расчётов следует найти: какую часть (в %) от начальной потенциальной энергии П1 составляют потери энергии в процессе качения диска Максвелла по нитям и за время рывка в нижней точке спуска

С учётом данных об энергетическом балансе сделать выводы: на каких этапах механического движения в установке Максвелла допустимо пренебрежение непотенциальными силами.

     

     Задание №2. Опыты с диском Максвелла и дополнительным

кольцом

Установить на ободе центрального диска дополнительное кольцо и выполнить регулировку длины нити.

    Внимание: для установки кольца использовать имеющуюся в нём прорезь, сквозь которую пропускается нить. На внутренней поверхности кольца с одной стороны имеется круговой упор, необходимый для центровки кольца на ободе диска Кольцо следует устанавливать со стороны, противоположной этому упору, затем  пальцами обеих рук прижать диск к поверхности упора так, чтобы кольцо симметрично (без перекоса) располагалось на ободе диска

Для регулировки длины нити надо (не трогая фотозатвора) укоротить нить, намотав один виток на регулировочный винт. Затем проверить точность регулировки по величине площади светового пятна, отсекаемого нижним срезом кольца (см. п. 4.2.1). Выполнить несколько пробных пусков для проверки срабатывания фотозатвора.

 Провести измерения и обработку результатов в соответствии с методикой, описанной в задании №1. Учесть, что масса диска с кольцом равна m = mд + +mк.

 Задание №3. Определение максимальной и средней сил

       натяжения при рывке нити

        Для выполнения задания необходимо ознакомиться с Приложением 1, изучить метод расчёта сил натяжения нити при рывке в нижней точке спуска диска Максвелла

  Значение максимальной силы натяжения S*max вычисляется с помощью формулы (1П-20), значение средней силы натяжения S*ср - с помощью формул (1П-23) или (1П-26) Приложения 1.

        Для   расчётов   использовать   результаты   измерений,   полученные   в заданиях №1 и №2.

Примечание. Расчёты по формулам Приложения I проводятся при условии, что за время рывка нити потери энергии отсутствуют, т. е. все действующие силы являются потенциальными. Для реальных нитей это условие может выполняться лишь приближённо. Либо вообще не выполняться, когда, например, нити обрываются. Определение сил, действующих при неупругих деформациях, в том числе  разрушающих нагрузок, изучается в курсе "Сопротивление материалов".

      5. ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРОВЕРКИ (ПРИМЕРНЫЕ)

       5.1. Объяснить цели и методику эксперимента. Какие задания выполняются в данной работе и какие результаты получены способом прямых и косвенных измерений?

      5.2. Понятие о линейных и угловых скоростях и ускорениях, массе и моменте инерции, силе и моменте силы, импульсе и моменте импульса.

      5.3. Понятие о качении твёрдых тел и способы описания качения. Понятие о мгновенном центре скоростей и оси мгновенного вращения. Законы динамики при поступательном и вращательном движениях тел.

     5.4. Какой вид механического движения твёрдого тела реализуется при скатывании тел по двум отвесным нитям?

      5.5. Какие силы в механике называются потенциальными и непотенциальными? Привести перечень потенциальных и непотенциальных сил.

      5.6. Понятие об энергии и работе силы. Общефизический закон сохранения энергии. Понятие о механической энергии. Закон сохранения механической энергии.

      5.7. Объяснить, почему диск Максвелла с добавочным кольцом опускается медленнее, чем диск без добавочного кольца.

     5.8. Как найти момент инерции кольца относительно оси симметрии, перпендикулярной его плоскости, используя результаты опытов заданий №1 и №2?

      5.9. Какие законы механики объясняют движение (качение по нитям) диска Максвелла "вверх" после рывка в нижней точке спуска.  

     5.10. Понятие о рывке нити. Расчёты сил натяжения во время рывка и при скатывании по нитям.

     5.11. Объяснить,    согласуются    ли    результаты    эксперимента    с    условием пренебрежения непотенциальными силами, принятым для теоретических расчётов механического движения диска Максвелла.

6. ЛИТЕРАТУРА

6.1. Савельев И.В. Курс общей физики, т.1, Москва, «Наука», 1977г.

6.2. Трофимова Т.И. Курс физики, Москва, «Высшая школа», 2003г.

                                                

                                             ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВ ДВИЖЕНИЯ НА УСТАНОВКЕ МАКСВЕЛЛА И ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ И МАКСИМАЛЬНОЙ СИЛ НАТЯЖЕНИЯ ПРИ РЫВКЕ НИТИ

Примечание. В приложении 1 рассматривается скатывание тел на "идеализированных", т.е. абсолютно упругих, нерастяжимых, гладких нитях при отсутствии потерь механической энергии. Получен ряд формул, характеризующих свойства механического движения при скатывании тел по отвесным нитям. Дано сравнение сил натяжения, действующих на тело во время скатывания по нити и во время рывка в нижней точке спуска..

1. На рис. 1-П1 дана схема, на которой показан цилиндр радиуса  r в процессе скатывания, т. е. движения "вниз". Принимаем, что скатывание происходит по двум нитям. Цилиндр может являться осью, на которой закреплено другое симметричное тело, например,   шар или диск   радиуса

R > r (на схеме не показано), тогда r - это радиус намотки нити. Сила натяжения обозначена S0 и равна удвоенной силе натяжения каждой нити. Сила тяжести G приложена в центре масс. В т. P в каждый момент времени расположен мгновенный центр скоростей (м. ц. с.) и через него проходит мгновенная ось вращения. Считаем, что за время tk нити полностью разматываются, и центр масс опускается с высоты h.

                                                         Рис. 1-П1

Для расчёта силы S0 и скорости  в конце спуска используем уравнения динамики вращательного движения тела относительно осей в точках С и Р, дополненные условием кинематической связи между ускорениями  и  и формулами для пути  и скорости  центра масс при равнопеременном, прямолинейном движении из начального состояния покоя:

                                             (1П-1)

В уравнениях (1П-1) полагаем известными значения: , где   -время спуска с высоты .

После почленного деления первого уравнения на второе, получаем для величины (модуля) силы натяжения следующую формулу:

                                                                                         (1П-2)

где ;   - масса;  - радиус намотки нити. Значение  определяем из второго уравнения с помощью третьего и четвертого уравнений.

Величину (модуль) скорости центра масс при спуске с высоты  можно найти с помощью формул, которые получаются из системы (1П-1):

                                    

                                   

                                                                                  (1П-3)                                     

      

Общий вид выражения для ускорения центра масс тела при скатывании определяется дифференцированием по времени второй формулы скорости в (1П-3). В результате получаем:

                                                                                    (1П-3а)

Ускорение  оказывается постоянным и не зависящим от массы тел, т.к. момент инерции   включает в себя массу в качестве сомножителя. Формулы для скорости  эквивалентны между собой и могут применяться в зависимости от условий и цели исследования.

Например, рассмотрим, как вторая формула в (1П-3) позволяет найти общую формулировку   закона   движения   центра   масс   тела   вдоль вертикальной

оси Z. Для этого надо учесть, что скорость ,  задать начальные условия 

для координаты и скорости центра масс и выполнить интегрирование. Помещая начало координат в точку подвеса нити и принимая, что при t0 =0 начальная координата т. С равна Zo и начальная скорость ,  запишем (для произвольного времени  t):

                                                                                                         (1П-4)  

Разделяя в (1П-4) переменные (умножая обе части на дифференциал dt) и учитывая, что величина - постоянная, получим после интегрирования:

                                                                                         (1П-5)    

где С - константа, определяемая из начальных условий. При подстановке в (1П-5) начальных данных (при to = 0) получаем: C = Zo.

Окончательная формулировка для закона движения центра масс тела при скатывании по отвесной нити из состояния покоя (т. е. ) с учётом (1П-3а) имеет вид:

                                                   (1П-6)

Из формулы (1П-6) определяется высота спуска h как разность координат центра масс в конечный момент времени tk  и начальный момент времени t0:

                                           (1П-7)

Отметим характерную особенность при скатывании по нитям в гравитационном поле, состоящую в том, что все кинематические параметры,

т. е. линейные и угловые скорости и ускорения, не зависят от массы скатывающихся тел. Однако имеется сильная зависимость от радиуса намотки нити и пространственной конфигурации тела, определяющей его момент инерции.

2. На рис. 2-П1 дана схема разворота тела в конце спуска после полной размотки нити. В этом положении качение по нити прекратилось и т. Р - это точка закрепления нити на поверхности, через которую проходит ось вращения тела. По отношению к нити - в начале и в конце разворота - тело всегда будет иметь положение, показанное на рис. 2-П1. При развороте одновременно происходит переброска нити, так что в конце разворота т. Р оказывается на другой стороне от т. С по сравнению с её положением в начальный момент времени.

Для лучшего понимания процесса разворота рассмотрим неподвижную ось, на которой закреплён конец стержня (см. рис. 3-П1). Если стержень вначале установить в горизонтальном положении справа и затем отпустить, то, совершив поворот вокруг оси на угол , он окажется в горизонтальном положении слева. Такое же перемещение произойдёт с телом любой формы, в том числе  с диском, если ось поворота не совпадает с центром масс тела.

Примечание. Устройство, включающее в себя твёрдое тело, подвешенное в гравитационном поле на оси, не проходящей через центр масс, называется физическим маятником.  В таком маятнике, если он не находится в состоянии равновесия, происходят колебания, которые могут быть линейными либо нелинейными. Рассматриваемый здесь процесс разворота тела на оси представляет собой цикл нелинейных колебаний. Следовательно, все явления в нижней точке спуска тела (после скатывания по нити) можно было бы изучать методом теории нелинейных колебаний.

Однако особенность процесса в нижней точке спуска на нити в том, что колебания завершаются на одном полупериоде (т. к. после разворота вращающееся тело начинает катиться по нити "вверх", наматывая нить на свою поверхность). Математическое описание физики явлений на этом интервале времени можно выполнить без привлечения специальных методов теории колебаний.

Вернёмся к схеме рис. 2-П1. Здесь показано, что в начальный момент времени разворота скорость центра масс и угловая скорость тела имеют значения    v0    и    ω0.    Очевидно,    эти   значения   равны    скоростям, приобретённым телом в конце спуска с заданной высоты h. Пунктиром на схеме изображена траектория центра масс - это дуга окружности радиусом r  и длиной  r . В процессе разворота скорости  и ω вначале растут и достигают максимальных значений в нижнем положении тела.

В конце разворота скорости  и ω должны иметь такие же значения, как и в начальный момент времени, т. к. принято условие абсолютной упругости и нерастяжимости нити. При развороте тела работу выполняет только потенциальная сила тяжести. Сумма таких работ при опускании и подъёме центра масс на одну и ту же высоту h равна нулю, что и доказывает равенство скоростей в начале и конце разворота

В ходе разворота тела вокруг оси в т. Р происходит кратковременное увеличение силы натяжения нити, называемое рывком нити. Время разворота равно времени рывка. Этот интервал времени t можно приближённо оценить, считая, что центр масс движется по дуге длиной r с постоянной скоростью, равной начальной скорости :

                                                      (1П-8)

Используя только теорему импульсов для точки, можно также приближённо оценить среднюю силу натяжения Sср за время рывка Δt. Согласно этой теореме: импульс сил , приложенных к материальной точке, равен изменению (приращению) импульса самой точки:

                                            (1П-9)

Принимая за материальную точку центр масс тела, к которому приложены две противоположно направленные силы scp и  G, затем учитывая, что в проекции на вертикаль имеем: Δ (т· )   = -2 · т·  ,   получим:

                                                                                         (1П-10)                

В формуле (1П-10) учтено, что ось Z направлена вниз, scp- это некоторая

усреднённая за время разворота проекция силы натяжения нити на ось Z, G - сила тяжести.

Подставляя в (1П-10) значение Δt из (1П-8), имеем:

                                           (1П-11)

      Формула (1П-11) даёт несколько заниженную величину силы scp, т. к. не учитывает ускоренное движение центра масс за время разворота тела. Кроме того, рассмотренный приближённый метод расчёта не позволяет найти максимальное значение силы натяжения в ходе переброски нити.

     Для   более   точных   вычислений   применим   уравнение   динамики

вращательного движения тела вокруг оси в т. Р.  Решение такого уравнения

позволяет найти скорость центра масс как функцию угла поворота и затем

рассчитать центростремительную силу, приложенную в т. С.

  На рис. 4-П1 изображено тело в процессе разворота. Углы поворота тела φ либо α  связаны простым соотношением: . Мгновенные (т. е. для данного момента времени и угла поворота) значения скоростей и сил обозначены "звездочкой". Показано, что центростремительная сила  равна и противоположна силе F*,  приложенной к т. Р и увеличивающей натяжение нити S*, т. к. проекция Fя*   суммируется с силой G.

Используя  условие равновесия  (покоя)  для т. Р,  запишем  сумму проекций мгновенных сил на ось Z:

G+FZ*-S*=0, (-12)

где   FZ*   =F*∙ sin a .

Применим    уравнение    динамики    вращательного    движения    для определения угловой скорости тела и затем скорости центра масс:

 (1П-13)

Умножая в (1П-13) обе части равенства на  и учитывая  и  ,  получим:

                                   (1П-14)

Интегрирование (1П-14) дает:

                                                                                  (1П-15)

где С - константа, определяемая начальными условиями:  и    т.е. С = .

Заменяя  в (1П-15) угол      на угол     с учётом     и

используя   формулу   Эйлера  для   скоростей  точек   вращающегося   тела, получим:

                                                             (1П-16)

             

       Далее, применяя формулу для центростремительной силы  

                                                                                              (1П-17)                         

            

и учитывая, что  , получаем для проекции на ось Z мгновенного  значения силы  выражение:

                     ,                              (1П-18)

где угол  изменяется от 0 (в начале разворота) до  (в конце разворота) Мгновенное значение силы натяжения нити, согласно (1П-12), равно

                                        (1П-19)

Из (1П-19)  следует,  что максимальное значение силы натяжения нити достигается при , т. е. в нижнем положении тела (см. рис. 2-П1). Максимальная мгновенная сила равна:

                                                          (1П-20)

Для определения среднего значения силы натяжения за время рывка, т. е. за время полного разворота тела,  необходимо выполнить усреднение по углу поворота, равному . Процедура усреднения состоит в том, «что вначале задаётся элементарное значение силы  на элементарном угле поворота так,  что , затем - все значения  суммируются, т е. вычисляется интеграл на промежутке углов  от 0 до , и окончательное решение, т. е. среднее значение силы, получается делением результата суммирования (интегрирования) на полный интервал углов, равный .

Запишем:

                                 (1П-21)

V

Обозначая среднее значение силы натяжения - , получаем выражение

               (1П-22)

Несложное интегрирование в (1П-22) приводит к результату:

                                                      (1П-23)

Формула  (1П-23)   показывает,   что  точное  значение  средней силы натяжения      за время рывка нити больше значения , вычисляемого в  (1П-11), на величину, равную:

                                                         (1П-24)

Например, для однородного цилиндра с радиусом, равным радиусу намотки   нити, разница сил натяжения  . С уменьшением радиуса намотки  нити и с увеличением момента инерции    эта разница уменьшается.

Сравнение формул (1П-20) и (1П-23) показывает, что максимальное значение мгновенной силы натяжения заметно превышает среднее значение той же силы за время рывка нити. Разность этих сил равна:

                                              (1П-25)

Для сравнения средней силы  натяжения при рывке нити с силой натяжения  во время скатывания тела преобразуем формулу (1П-23) к другому виду. Учитывая:  (см. формулу (1П-2)) -из (Ш-23) получим:

                                                       (1П-26)

Простые расчеты показывают, что в зависимости от высоты спуска и конфигурации скатывающегося тела, значение      может многократно превосходить значение .

В   ряде   исследований   формулу   для   средней   силы          удобно представлять в виде:

                           ,                       (1П-27)

где  - число оборотов тела при скатывании с высоты . При выводе  (1П-27)  использована соответствующая   (третья)  формула для скорости   из (1П-3).

                                                                                   ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕРЬ ЭНЕРГИИ ПРИ РЫВКЕ НИТИ И СКОРОСТИ ЦЕНТРА МАСС ТЕЛА В КОНЦЕ РЫВКА НА УСТАНОВКЕ МАКСВЕЛЛА

1. Реальные нити не обладают свойствами "идеализированных" нитей, т.е. абсолютной упругостью и отсутствием деформаций. При каждом рывке нить получает микроскопическую неупругую деформацию. Эти
деформации, накапливаясь за несколько тысяч рывков, приводят к обрыву
нити.

Если бы нить имела "идеальные" свойства, тогда скорости центра масс и угловые скорости тел в начале и конце рывка были бы одинаковыми по величине. Однако неупругая деформация нити приводит к потерям части кинетической энергии тела, в результате чего скорости в конце рывка становятся меньше скоростей в начале рывка нити. Это является основной причиной заметного уменьшения высоты подъёма центра масс тела при движении "вверх", по сравнению с высотой начального спуска в опытах на установке Максвелла.

2. Выполним расчёт потерь кинетической энергии за время рывка нити, полагая известными (из опыта) высоту начального спуска центра масс при движении тела "вниз", высоту подъёма центра масс при движении "вверх" после рывка и кинетическую энергию тела в конце спуска (т.е. в начале рывка нити).

Обозначим: высоту спуска - , высоту подъёма - , кинетическую энергию в начале и конце рывка – Т1 и Т2. На рисунке 1-П2 приведена схема, на которой показаны: высоты  и  положение тела в начале и в конце рывка нити; точки В1 и В2 начального и конечного положений центра масс тела.

             начало                                       конец

             рывка  нити                              рывка   нити

                                            Рис. 1-П2.

Запишем уравнения энергетическою баланса для спуска и подъёма тела с учётом потерь энергии  и , сумма которых ( +) - равна работе непотенциальных сил в процессе качения по нити "вниз" и "вверх":

                                                                                   (2П-1)

Здесь:  - начальная энергия при движении "вниз"; Т2 - начальная энергия при движении "вверх";  - масса тела. Из (2П-1) получаем:

                                          (2П-2)

Здесь величина  равна потерям энергии за время рывка, т.к. из разности потенциальных энергий, определяющей полные потери энергии при движении от верхней точки В1 начала спуска до верхней точки В2 конца подъёма центра масс тела, вычитается сумма работ непотенциальных сил в процессе качения тела по нити.

Преобразуем формулу (2П-2) к другому виду так, чтобы величина  определялась только величинами ,  и Т1. Для этого учтём, что потери энергии  и  при опускании и подъёме тела должны быть пропорциональны высотам  и  :

                                                                                            (2П-3)

Согласно (2П-3), имеем:

                                   ,                                                   (2П-4)

где:                 .

Подставляя (2П-4) (с учётом формулы для ) в (2П-2), получим искомое выражение:

                                                                   (2П-5)

Значения ,  и Т1 определяются в эксперименте на установке Максвелла. После вычисления  с помощью (2П-5) легко найти величину кинетической энергии тела Т2 в конце рывка:

                                   Т21 -                                                (2П-6)

3. Для расчёта скорости центра масс тела в конце рывка учтём, что кинетические энергии Т1  и Т2 определяются формулами:

                                                                                        (2П-7)

                                    ,

где  - момент инерции тела относительно оси в т. Р,   и   - угловые

скорости тела в начальный и конечный моменты времени рывка нити.

Из (2П-7) получаем:

                                                                                 (2П-8)

Используя формулу Эйлера для скоростей точек тела» вращающегося вокруг оси в т. Р, получим из (2П-8) ещё одно искомое выражение - для скорости центра масс тела в конце рывка:

                                              ,                                    (2П-9)

где  - скорость центра масс в начале рывка, измеряемая в опыте при скатывании тела из верхнего в нижнее положение.

PAGE  

PAGE  10


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74896. Складання і розв’язування прикладів на додавання та віднімання 80 KB
  На основі практичних дій з предметами та розгляду малюнків показати різні випадки числа 10 з двох менших чисел і засвоїти їх. Формувати навички складання та розв’язування прикладів на додавання та віднімання на основі знань складу числа 10. Закріплювати знання про нумерацію чисел першого десятка, про склад чисел
74897. Складання і розв’язування прикладів на додавання та віднімання. Урок-винахідник 80.5 KB
  Урок дає можливість розвивати творчу уяву учнів логічне мислення винахідливість та вміння співпрацювати в групах парах та індивідуально викликає великий інтерес до опереджувального навчання. Лісова школа Зайчику 1 група розв’язати приклади на 1 дію Їжачку 2 група розв’язати приклади в яких більше ніж одна дія...
74898. Сложение вида 46+4. Решение составных задач. Геометрический материал. Урок математики, 2-й класс 88 KB
  Учитель проводит математический диктант учащиеся записывают полученные выражения в тетради. Дальше по лесу идём и встречаем зайчика который не может решить пример. Кто из вас поможет ему решить такой пример учащиеся в группах находят решение этого примера а затем спикер из любой группы объясняет решение этого примера у доски. Из каких геометрических фигур он состоит учащиеся называют...
74899. Сложение двузначных чисел без перехода через десяток 55.5 KB
  Оборудование: снежинки на которых написаны этапы уроков Дед Мороз карточки наглядность для устного счёта. Ребята какой долгожданный всеми любимый праздник скоро наступит Новый год Вот к нам на урок и заглянул Дед Мороз. Интересно какие задания приготовил для нас Дед Мороз. Ну что посмотрим Проверка домашнего задания Снежинка №1 – Дед Мороз желает узнать как мы выполнили домашнее задание.
74900. Узагальнена таблиця додавання і віднімання одноцифрових чисел. Задачі на дві дії 162.5 KB
  Учитель: Любі діти У наш клас Завітали гості щирі Привітайте в добрий час Гостей посмішкою й миром Девіз нашого уроку: Працюй наполегливо швидко старанно щоб жодна хвилинка не тратилась марно ІІ. Сьогодні діти ми з детективом у мандрівку вирушаємо Узагальнюючу таблицю додавання і віднімання одноцифрових чисел вивчаємо. Діти ведуть очима. Але нитка обірвалась біля дерева на якому сидить працьовитий дятел Діти хто з вас знає чому дятел стукає по дереву Як називають...
74901. Вправи та задачі на додавання круглих десятків. Задачі на знаходження третього доданка 44 KB
  Сьогодні у нас незвичайний урок і тому я хочу щоб ви: Слайд Не просто слухали а чули Не просто дивилися а бачили Не просто відповідали а міркували Дружно й плідно працювали. Слайд Отже нашого героя звуть Капітошка. Слайд 1 краплинка нам пропонує Усний рахунок. Робота з фішками Яку дію потрібно робити щоб знайти суму Різницю Зменшити на Збільшити на Слайд 2 краплинка принесла Математичний диктант Записати числа: 3 дес.
74902. Множення і ділення на 2-9. Розв`язання текстових задач 37.5 KB
  Перевірка домашнього завдання. В ній наше домашнє завдання. Який кінцевий результат Який порядок дій у виразах з дужками Молодці Ви гарно справилися із завданням. Завдання наступної папки потребує вашої уваги і так як цей матеріал опрацьований нами зовсім недавно то вам потрібна буде і взаємодопомога.
74903. Складання таблиці множення числа 3. Приклади і задачі на дві дії різного ступеня 71.5 KB
  З цим завданням ви справились і ось розквітла перша квіточка на нашій конвалії. Ось у нас з’явилась ще одна квіточка на конвалії. Ось з’явилась ще одна квіточка на конвалії. З’явилась ще одна квіточка.
74904. Тиждень – сім діб. Дні тижня. Розв’язування прикладів і задач. Математика. 2 клас 66.5 KB
  І щоб ліс чарівний зимовий впустив нас до себе вам потрібно відповісти на такі питання: Скільки мам у кожної дитиниодна Скільки очей у людейдвоє Скільки вогників у світлофоратроє Скільки пальців на руціп’ять Скільки ніг у бджілкишість Скільки кольорів у веселкиСім Скільки різних використовується для запису чисел 2. Яка 3 Порахуйте скільки цифр 3 зображено на малюнку і покажіть їх. Скільки всього грошей стало у бджілки Короткий запис задачі: Мама – 15 грн.