42799

Метод Флетчера-Ривса

Курсовая

Физика

Все описываемые градиентные методы основаны на итерационной процедуре реализуемой в соответствии с формулой Где текущее приближение к решению ; параметр характеризующий длину шага; направление поиска управляемых переменных x. Первый называется методом градиентного спуска с постоянным шагом. Где направление движения на каждом шаге совпадает с антиградиентом функции. А длина шага задается пользователем и остается постоянной до тех пор пока функция убывает в точках последовательности .

Русский

2015-08-30

3.14 MB

61 чел.

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский государственный университет»

Механико-математический факультет

Кафедра процессов управления и

информационной безопасности

Курсовая работа по методам оптимизиции

Метод Флетчера-Ривса

Выполнил:

студент III курса

очной формы обучения

группы

Научный руководитель:

к.ф.-м.н., доцент кафедры ПУиИБ

Лутманов Сергей Викторович


Введение

Пусть дана функция f(x), ограниченная снизу на множестве Rn и имеющая непрерывные частные производные во всех его точках. Требуется найти локальный минимум функции на множестве допустимых решений. В теории оптимизации f называется целевой функцией.

Все описываемые градиентные методы основаны на итерационной процедуре, реализуемой в соответствии с формулой

Где  - текущее приближение к решению  ; - параметр, характеризующий длину шага; - направление поиска управляемых переменных x.Способ определения  и  на каждой итерации связано с особенностями применяемого метода. Рассмотрим простейшие градиентные методы.

Первый называется методом градиентного спуска с постоянным шагом. Где направление движения на каждом шаге совпадает с антиградиентом функции. А длина шага  задается пользователем и остается постоянной до тех пор, пока функция убывает в точках последовательности  .

Второйметод наискорейшего градиентного спуска, где величина шага  определяется для каждого значения k из условия:

,  .

Есть еще градиентные методы со своими особенностями определения направления поиска и величины шага на каждой итерации.

Более подробно рассмотрим метод Флетчера-Ривса. Относительно невысокий уровень требований к объему памяти ЭВМ делает метод Флетчера-Ривса и его модификации особенно полезным при решении задач большой размерности.

1. Градиентный метод Флетчера-Ривса

Постановка задачи

Пусть дана функция f(x), ограниченная снизу на множестве Rn и имеющая непрерывные частные производные во всех его точках.

Требуется найти локальный минимум функции f(x) на множестве допустимых решений X=Rn, т.е. найти такую точку , что f(x*)=min f(x).

Стратегия поиска

Стратегия метода Флетчера-Ривса состоит в построении последовательности точек {xk}, k=0,1,, таких, что f (xk+1)< f (xk), k=0,1,. Точки последовательности {xk} вычисляются по правилу:

x k + 1 = x k +t d k, k = 0,1,…;

d k =  +βk-1 d k -1;

d0 = ;

βk-1 = ;

Точка x0 задается пользователем, величину шага t выбираем постоянной.

Вычисление величины βk -1 обеспечивает для квадратичной формы построение последовательности Н-сопряженных направлений d0, d1,.., dk,. При этом в точках последовательности {xk} градиенты функции f(x) взаимно перпендикулярны.

Для квадратичных функций f(x) метод Флетчера-Ривса является конечным и сходится за число шагов, не превышающих размерность вектора x.

Алгоритм

Шаг 1. Задать x0, ε1>0, ε2>0, M –предельное число итераций, t - длина шага. Найти градиент ;

Шаг 2. Положить k = 0;

Шаг 3. Вычислить ;

Шаг 4. Проверить выполнение критерия окончания ;

Шаг 5. Проверить условие :

  1.  если неравенство выполняется, то расчет окончен и  ;

б) если нет, то при k = 0 перейти к шагу 6, а при  перейти к шагу 7.

Шаг 6. Определить 

Шаг 7. Определить .

Шаг 8. Определить 

Шаг 9. Вычислить 

Шаг 10. Проверить выполнение условий

,  :

а) в случае выполнения обоих условий в двух последовательных итерациях с номерами k и k - 1 расчет окончен, найдена точка  ;

б) если не выполняется хотя бы одно из условий, полагаем  и переходим к шагу 3.

Тестовый пример

Применим градиентный метод Флетчера-Ривса для нахождения локального минимума функции:

Задаем начальные условия:

Величину шага  на каждой итерации определяем из следующего условия:

,  .

Текст программы, выполненной в системе Wolfram Mathematica,

Тестовый пример:

Найти локальный минимум функции  .

Задача оптимизации

Исследовать величину скорости и ускорения точки С на минимум по параметрам a, b, t.


Скорость:

Ускорение:


Литература

1. Лутманов С.В. Курс лекций по методам оптимизацииРХД Ижевск, 2001.

2. Пантелеев А.В., Летова Т.А. Методы оптимизации в примерах и задачах. М: Высш. шк., 2005


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

8417. Общая педагогика. Курс лекций 642 KB
  В пособии три части: в первой рассматриваются вопросы педагогических систем и технологий, во второй представлены сущностные характеристики современной дидактической системы проблемно-развивающего обучения и в третьей - раскрыты актуальные вопросы п...
8418. Політекономія. Конспект лекцій та плани семінарських занять 505 KB
  Тема 1. Політична економія як фундаментальна суспільна наука Лекція 1 План 1. Виникнення політичної економії і основні етапи її розвитку 2. Предмет політичної економії. 3. Економічні категорії та закони 4.Методи дослідження соціально-економічних яви...
8419. Зіставлення художнього відтворення зради у творах О. Кобилянської та Л. Костенко про народну поетесу-співачку 70.72 KB
  Цей аспект кохання постійно хвилює людські душі, не лишає байдужою жодну людину. Звісно, що й у літературі тема любові та зради – чи не найпоширеніша та найблагодатніша для творчого вияву митця.
8420. Проектирование экологически чистого технологического процесса изготовления фланца 6Р13РФ3.64.203 1.4 MB
  Введение Главным средством интенсификации производства любого назначения является парк машин, которым располагает государство. Прогресс в развитии общества предопределяется техническим уровнем применяемых машин. Их создание, то есть конструирование ...
8421. Разработка технологического процесса восстановления блока цилиндров двигателя ЗМЗ-53-11 (ЗМЗ-53) с применением прогрессивных форм и методов организации авторемонтного производства 241 KB
  Введение Ремонт автомобилей является объективной необходимостью, которая обусловлена техническими и экономическими причинами. Во-первых, потребность народного хозяйства в автомобилях частично удовлетворяется путем эксплуатации отремонтированных а...
8422. Проектирование привода главного движения токарно-винторезного станка 268.5 KB
  Проектирование привода главного движения токарно-винторезного станка Оглавление Оглавление Выбор прототипа станка. Кинематический расчет привода. Построение структурной сетки и графика частот вращения. Расчет чисел зубьев в групповых передачах...
8423. Проект здания механосборочного цеха среднего машиностроения сельскохозяйственной продукции 96.97 KB
  ВВЕДЕНИЕ Проект здания механосборочного цеха среднего машиностроения (с/х машины) выполнен на основании задания, выданного кафедрой строительных конструкций. Цех включает в себя следующие отделения и участки: Механическая обработка Токар...
8424. Судовые навигационные радиолокационные станции 10.4 MB
  Судовые навигационные радиолокационные станции Пособие содержит описание состава комплекта, эксплуатационно-технических характеристик, устройства, функциональных схем, правил эксплуатации судовых навигационных радиолокационных станций типа Донец-2...
8425. Технологический процесс обработки детали типа Корпус 1.53 MB
  Аннотация. В данном проекте рассмотрен один из возможных технологических процессов обработки детали типа Корпус, разработан технологический процесс для выполнения на металлорежущих станках, выбран вид заготовки и метод её получения, рассчитаны припу...