4285

Использование стандартных функций в языке С++

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Использование стандартных функций в языке С++ Закрепление практических навыков по работе с функциями, работа со стандартными функциями. В ходе выполнения работы необходимо создать программу, которая находит все корни уравнения на...

Русский

2012-11-15

120.5 KB

13 чел.

Использование стандартных функций в языке С++

1 Цель работы 

Закрепление практических навыков по работе с функциями, работа со стандартными функциями.

В ходе выполнения работы необходимо создать программу, которая находит все корни уравнения на заданном интервале [a;b] с заданной точностью  (задается пользователем). Программа должна выводить список корней (при этом корни не должны повторяться) либо выводить соответствующее сообщение, если корней нет.

Таблица 1.1 – Индивидуальные задания

Номер студента в списке

Вид функции

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Чтобы использовать стандартные математические функции вам необходимо подключить заголовочный файл cmath. В таблице 1.2  представлены некоторые используемые функции.

Таблица 1.2 – Используемые функции

double sqrt(double x);

Берет квадратный корень положительного числа

double pow(double x, double y);

Возводит x в степень y

double log(double x);

Вычисляет натуральный логарифм

double log10(double x);

Вычисляет десятичный логарифм.

int abs(int x);

Возвращает модуль целого числа

double fabs(double x);

Возвращает модуль вещественного числа

double sin(double x);

Вычисляет синус числа

double cos(double x);

Вычисляет косинус числа

double atan(double x);

Вычисляет тангенс числа

2 Теоретические сведения

МЕТОД ДИХОТОМИИ

Для решения практических задач нахождения корней уравнения пользуются множеством методов. Одним из грубых и легко реализуемых методов является метод дихотомии (половинного деления). Данный метод позволяет находить корень уравнения на заданном интервале.

Пусть дано уравнение , где функция  непрерывна на отрезке  и . Для нахождения корня уравнения, принадлежащему отрезку , необходимо разделить этот отрезок пополам. Если , то  является корнем уравнения. Если , то выбирается та из половин  или , на концах которой функция  имеет противоположные знаки. Новый суженый отрезок  снова делится пополам и проводятся те же рассуждения и так далее. В результате получаем на каком-то этапе корень уравнения.

Итак, одним условием нахождения корня является тот факт, что. В раде случаев точного равенства получить не удается. Поэтому можно указать еще одно условие, характеризующее корень: если на -м шаге , то  - корень уравнения.

В том случае, если корни уравнения  не отделены на отрезке , то таким способом можно найти только один из корней уравнения.

К недостаткам метода можно отнести следующее - метод половинного деления практически удобно применять для грубого нахождения корня уравнения, так как при увеличении точности значительно возрастает объем вычислительной работы. Однако легко заметить и положительные его стороны – метод дихотомии легко реализуется на ЭВМ. Программа вычисления составляется так, чтобы ЭВМ находила значение правой части уравнения  в середине каждого из отрезков  и выбирала соответствующую его половину.

МЕТОД ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ

Как известно, золотым сечением отрезка называется деление отрезка на две неравные части так, чтобы отношение длины всего отрезка к длине большей части равнялось отношению длины большей части к длине меньшей части отрезка.

Деление отрезка [a;b] производится точками x1 = a + a1(ba) и x2 = a + a2(ba), где    a1 =   ;  a2 =  (a1 и a2  – дроби Фибоначчи).  Точки  x1  и  x2  расположены симметрично относительно середины отрезка, причём а < x1 < x2 < b. Надо отметить, что точка x1, в свою очередь производит золотое сечение отрезка [a;x2]. Аналогично, точка x2 производит золотое сечение отрезка [x1;b].

Метод золотого сечения применим для решения уравнения h(x) = 0, когда функция h(x) непрерывна и на концах предполагаемого интервала дислокации корня принимает значения разных знаков. Нахождение корня уравнения с помощью этого метода основывается на последовательном уменьшении длины отрезка, локализующего корень. Задача определения корня считается решенной, когда либо длина отрезка локализации становится меньше заданной погрешности, либо очередная граница отрезка попадает на корень уравнения.

Существенным недостатком метода золотого сечения является то, что он не применим в случае, когда функция h(x) на заданном интервале имеет несколько корней.

Однако существенным достоинством рассматриваемого метода является простота его алгоритмической, а значит и программной, реализации.

Пусть заданы следующие величины: a, b и e, где  a и b — границы  отрезка, в которых функция h(x) принимает значения разных знаков; e – точность вычислений. Положим a1 = a, b1 = b. На отрезке [a1 ; b1] возьмём точки x1 и x2, производящие золотое сечение, и вычислим значения h(a1), h(b1), h(x1) и h(x2). Далее, если  h(a1) * h(x1)  0, то корень находится в левой части интервала, примем a2 = a1  и b2 = x1. Если  h(x2) * h(b1)  0, то корень находится в правой части интервала, примем a2 = x2  и b2 = b1; если h(x 1) * h(x2) < 0, то корень находится в центральной части интервала, примем a2 = x1  и b2 = x2. Затем сравниваем длину полученного отрезка [a2 ; b2] с величиной e. Если длина отрезка оказалась меньшей или равной величине e, то корень уравнения z находится по формуле: z = . Если длина отрезка оказалась больше величины e, то на отрезке [a2 ; b2] снова выбираются точки x1 и x2, производящие золотое сечение, и выполняются все вышеописанные действия до тех пор, пока  длина отрезка [a n ; b n] не станет меньше величины e.

МЕТОД КАСАТЕЛЬНЫХ (метод Ньютона)

Метод касательных применяется для приближенного нахождения корней уравнения.

Суть метода:

Пусть корень ξ уравнения

  f(x) = 0  (1)

отделен на отрезке , причем f’(x) и f”(x) непрерывны и сохраняют определенные знаки при . Найдя какое-нибудь n-е приближенное значение корня xn ≈ ξ (axnb), мы можем уточнить его по методу Ньютона следующим образом. Положим

 (2)

где hn считаем малой величиной. Отсюда, применяя формулу Тейлора, получим:

Следовательно,

Внеся эту поправку в формулу (2), найдем следующее (по порядку) приближение корня

Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене небольшой дуги кривой  касательной, проведенной в некоторой точке кривой. В самом деле, положим для определенности, что при  и .

Выберем, например , для которого . Проведем касательную к кривой  в точке .

В качестве первого приближения  корня возьмем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью . Через точку  снова проведем касательную, абсцисса точки пересечения которой даст нам второе приближение  корня  и т.д. Очевидно, что уравнение касательной в точке  есть

Полагая , получим формулу (3)

(3)

Заметим, что если в нашем случае положить  и, следовательно, , то проведя касательную к кривой  в точке , мы получили бы точку , лежащую вне отрезка , т.е. при этом выборе начального значения метод Ньютона оказывается непрактичным. Таким образом, в данном случае «хорошим» начальным приближением  является то, для которого выполнено неравенство

.

3 Порядок выполнения работы

1. Разработать алгоритм для решения поставленной задачи.

2. Разработать программу для решения поставленной задачи (использовать условные операторы и операторы цикла).

3. Проверить работоспособность программы на тестовых данных.

4. Сохранить результаты работы. Оформить отчет по лабораторной работе.

Содержание отчета:

  1.  Титульный лист.
  2.  Название лабораторной работы.
  3.  Цель лабораторной работы.
  4.  Ход выполнения работы (включить алгоритм решения задачи; программный код; пример использования программы).
  5.  Выводы по проделанной работе c описанием ошибок, с которыми Вы столкнулись при выполнении лабораторной работы.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54321. Створення та редагування таблиць із застосуванням режиму конструктора, використання звязків між таблицями, створення форм із застосуванням майстра форм, створення звітів із застосуванням майстра звітів 2.97 MB
  ЗАДАЧА: створити БД для підприємства (фірми), яке займається реалізацією продовольчих товарів. 1.1 Створити БД в папці Мої документи та надати ім’я «Прізвище_група_учня_фірма» 1 Створити таблиці, які будуть містити основну інформацію про діяльність фірми.
54322. Метод проектов 26.5 KB
  В последние годы в связи с реформами в образовании и изменениями в школьном математическом образовании в частности остро стоит вопрос об организации учебного процесса направленного на развитие творческих способностей личности и навыков исследовательской деятельности. В результате этого возник метод проектов как способ актуализации и стимулирования познавательной деятельности учащихся. Однако за последние несколько лет многое изменилось общество поднялось на новую ступень экономического развития потребовались кардинальные перемены во...
54323. МЕТОД ПРОЕКТІВ ЯК ТЕХНОЛОГІЯ НАВЧАННЯ 257.5 KB
  Метод проектів це метод в основі якого лежить розвиток пізнавальних творчих навичок студентів умінь самостійно конструювати свої знання орієнтуватися в інформаційному просторі критично мислити. Мета застосування методу полягає у формуванні навичок ефективного використання різних джерел інформації при навчанні студентів за допомогою інноваційних педагогічних технологій якими передбачається самостійна індивідуальна чи групова дослідницькопошукова та творча діяльність студентів підвищення рівня комунікабельності. Завдання методу...
54324. З’єднання болтом і шпилькою 496 KB
  Оформлення завдання Завдання виконується на креслярському папері в олівці у відповідність з правилами ЕСКД. Креслення повинне мати основний напис. Діаметри крізних отворів
54325. МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ ДО СТВОРЕННЯ НАВЧАЛЬНОГО ПРОЕКТУ 146.5 KB
  АНАТОМІЯ НАВЧАЛЬНОГО ПРОЕКТУ. Планування реалізації проекту. Методика управління для неосяжної кількості найрізноманітніших проектів має єдину структуру у якій можна виділити такі групи процесів: ініціації прийняття рішення щодо запуску проекту зазвичай завершується складанням і затвердженням уставу проекту із визначенням його мети терміну виконання критеріїв успіху призначенням та чітким окресленням повноважень керівника проекту; планування безперервне визначення кращих...
54326. Особливості використання кейс-методу при викладанні інженерної графік 704.5 KB
  Наявність головної умови використання кейс-методу при викладанні будь–якої дисципліни – наявність протиріч, на основі яких формуються і формулюються проблемні ситуації, задачі, практичні завдання для обговорення та знаходження оптимального розвязання учнями або студентами.
54327. Методичні рекомендації щодо формування комунікативно-мовленнєвих умінь в учнів початкових класів на уроках української мови в російськомовних класах 367.5 KB
  Діти що приходять у 1 клас особливо російськомовні мають обмежений словниковий запас для спілкування українською мовою. Наприклад: ТВАРИНИ Ведмідь медведь Лисиця лисица Вовк волк Заєць заяц Білка белка Їжак ежик Мавпа обезьяна Пташка птичка Жаба лягушка Ящірка ящерица Бобер бобёр Кажан летучая мышь Паралельно з цією карткою діти працюють з карткою з малюнками на якій намальовані ті предмети які були записані в картці словами. Скажіть діти кого із названих членів сім'ї ви вдома називаєте не так Пропоную з...
54328. Метод проектів як основа творчого розвитку особистості 170.5 KB
  Практична теоретична пізнавальна значимість передбачуваних результатів наприклад доповідь у відповідні служби про демографічний стан даного регіону фактори що впливають на цей стан тенденції що просліджуються в розвитку даної проблеми; спільний з партнером по проекту випуск газети альманаху з репортажами з місця подій; охорона лісу в різних місцевостях план заходів і т. Структурування змістовної частини проекту із указівкою поетапних результатів. Але незалежно від типу проекту всі вони в означеній мірі неповторні та унікальні;...
54329. Групування, формули, адресація, імена комірок, авто заповнення в Microsoft Excel (MICROSOFT OFFICE 2010) 429 KB
  Мета: Навчитися обєднувати дані за природними групами, користуватися документом, в якому є групування, створювати в комірках формули для обчислення нових даних, копіювати дані та формули, призначати імена коміркам, користуватися автозаповненням.