43237

Лекции по общим разделам динамики материальной точки и механической системы

Конспект

Физика

Дифференциальные уравнения движения материальной точки. Первая и вторая задача динамики. Алгоритмы их решения. Основной закон динамики относительного движения. Понятие о центре масс механической системы. Инерционные параметры твердого тела и механической системы. Дифференциальные уравнения движения механической системы в декартовой системе координат. Теорема о движении центра масс механической системы. Понятие о количестве движения материальной точки и механической системы...

Русский

2016-09-14

9.1 MB

10 чел.

Соловьев Г. Е. , Титова Л. В.

Лекции по общим разделам динамики

материальной точки и механической системы

Оглавление:

  1. Введение
  2. Основные законы динамики
  3. Дифференциальные уравнения движения материальной точки
  4. Первая и вторая задача динамики. Алгоритмы их решения
  5. Основной закон динамики относительного движения
  6. Понятие о центре масс механической системы
  7. Инерционные параметры твердого тела и механической системы
  8. Дифференциальные уравнения движения механической системы в декартовой системе координат
  9. Теорема о движении центра масс механической системы
  10. Понятие о количестве движения материальной точки и механической системы
  11. Понятие об импульсе силы
  12. Теорема об изменении количества движения  и следствия из нее
  13. Момент количества движения материальной точки
  14. Кинетический момент механической системы
  15. Кинетический момент твердого тела
  16. Теорема об изменении момента количества движения материальной точки
  17. Теорема об изменении кинетического момента механической системы и следствия из нее
  18. Работа и мощность силы
  19. Работа сил, вычисляемых непосредственно по заданным силам и перемещениям
  20. Теорема о работе равнодействующей
  21. Работа и мощность произвольной системы сил, действующих на твердое тело
  22. Кинетическая энергия материальной точки и механической системы
  23. Кинетическая энергия твердого тела
  24. Теорема об изменении кинетической энергии
  25. Потенциальное силовое поле
  26. Законы сохранения механической энергии
  27. Дифференциальные уравнения движения твердого тела
  28. Принцип Даламбера для материальной точки и механической системы
  29. Введение в аналитическую механику
  30. Понятие о возможных перемещениях, обобщенных координатах, вариациях обобщенных координат
  31. Классификация связей
  32. Работа силы на возможном перемещении
  33. Принцип возможных перемещений (принцип Лагранжа)
  34. Принцип возможных перемещений в обобщенных координатах. Понятие об обобщенной силе
  35. Общее уравнение динамики
  36. Уравнение ЛагранжаII-рода

1. Введение.

Динамика – раздел теоретической механики, содержит методы исследования движения объектов под действием сил с учетом их инерционных свойств. В число таких методов входят общие теоремы и принципы динамики. Общими теоремами динамики являются: теорема о движении центра масс механической системы, теорема об изменении количества движения материальной точки и механической системы, теорема об изменении момента количества движения материальной точки и кинетического момента механической системы, теорема об изменении кинетической энергии материальной точки и механической системы.

К принципам динамики относятся принцип Даламбера и принцип возможных перемещений (принцип Лагранжа). Эти принципы положены в основу аналитических методов исследования движения объектов.

Общие теоремы и принципы динамики доказываются с помощью основных законов динамики.

2. Основные законы динамики (Галилея, Ньютона).

1. Закон инерции утверждает, что: «Свободная материальная точка сохраняет состояние покоя или движения прямолинейно с постоянной скоростью пока какая-либо сила не выведет ее из этого состояния».

Этот закон предполагает наличие хотя бы одной системы отсчета, которая сама находилась бы  в состоянии покоя или двигалась бы поступательно прямолинейно  с постоянной скоростью. Такие системы отсчета называются инерциальными, соответствующими закону инерции.

Из этого закона следует также, что все остальные законы и общие теоремы динамики, по умолчанию, будут приведены для абсолютного движения.

2. Основной закон динами утверждает, что: «Если на свободную материальную точку действует сила, то эта материальная точка получает ускорение, направление которого совпадает с направлением силы, а величина этого ускорения прямо пропорциональна величине силы и обратно пропорциональна массе материальной точки, т.е.

 или  ».

Здесь: - ускорение;  - сила;  - масса материальной точки.

Масса материальной точки- [кг] является мерой инерционных свойств этой точки. Экспериментально доказано, что величины инерционной и гравитационной масс совпадают. Поэтому при исследовании физических и химических процессов масса является также мерой количества вещества.

3. Закон о взаимодействии утверждает, что: «Если две материальные точки взаимодействуют между собой, то они действуют друг на друга с силами, равными по величине, направленными по одной прямой, но в противоположные стороны, то есть

».

4. Закон о независимости действия сил утверждает, что:

«Если на материальную точку действует несколько сил, то она получает ускорение, равное векторной сумме ускорений, которые получила бы в результате действия каждой из сил в отдельности, т.е.

или  ».

Здесь - равнодействующая сил, действующих на материальную точку.

3. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.

I. При векторном способе задания движения ускорение материальной точки

или .

С учетом этого 4-ый закон динамики принимает вид

     (1)      или        (2).

Уравнения (1) и (2) это дифференциальные уравнения, соответственно, первого и второго порядка в векторной форме.

II. При задании движения в декартовой системе координат

,   где .

Проектируя уравнения (1) и (2) на оси декартовой системы координат, получим

                (3)                                           (4)

Эти дифференциальные уравнения должны быть дополнены кинематическими зависимостями .

Дифференциальные уравнения (3) первого порядка. Их рационально использовать, когда  или проекции сил зависят только от времени. Кроме того, эти дифференциальные уравнения надообязательно использовать, если силы являютсянелинейными функциями от проекций скоростей или координат.

Например, при  при

                          ,

аналогично для  и  .

Дифференциальные уравнения (4) второго порядка. Их необходимо обязательно использовать, когда проекции сил являются линейными функциями одновременно от проекций скоростей и координат, например, если

.

Если в дифференциальном уравнении движения материальной точки одновременно окажутся три переменныеx,vx иt, например , то для решения дифференциального уравнения может оказаться полезной следующая замена

и аналогично для

III. При задании движения в системе координат Эйлера (в естественной системе координат)

С учетом этого, проектируя уравнение (1) на оси системы координат Эйлера, получим

                (5)

Систему уравнений (5) рационально использовать для исследования движения несвободной материальной точки при известном радиусе кривизны () траектории движения.

4. Первая и вторая задача динамики.

Алгоритмы их решения.

Первая задача динамки состоит в том, что, зная массу материальной точки и закон ее движения, необходимо определить закон изменения одной из сил, действующих на эту материальную точку.

Вторая задача динамики состоит в том, что, зная массу материальной точки и закон изменения всех действующих на нее сил, необходимо определить закон движения этой материальной точки.

Алгоритм решения первой задачи приведен на следующем примере.

Пусть материальная точка, масса которойm=0,1 кг, падает вертикально под действием силы тяжести и при этом испытывает сопротивление воздуха. Движение материальной точки выражается уравнением , гдеx- в метрах,t- в секундах. Необходимо определить силу сопротивления воздуха -  и выразить ее как функцию скорости. При решении этой задачи:

  1. Выбрать систему отсчета нет необходимости. Она указана в условии задачи, т.е. это ось «x», направленная вниз.
  2. Изображаем материальную точку и действующие на нее силы в произвольном положении (см. рис.). Силу сопротивления  показываем в сторону противоположную скорости- .
  3. Записываем 4-й закон динамики для конкретной задачи

   (1)

  1. Проектируя на ось «x» векторное уравнение (1), получаем дифференциальное уравнение движения в проекции на эту ось

     (2)

5. Из уравнения (2) находим неизвестную силу

6. Определив производные (6.1)

,

Найдем силу сопротивления сначала как функцию времени, а затем и скорости, принимая  или с учетом (6.1),

.

Алгоритм решения 2-ой задачи динамики.

1. Выбираем систему отсчета.

а) одной координатной оси достаточно, если:

- несвободная материальная точка движется прямолинейно;

- начальная  скорость равна нулю;

- в начальный момент времени совпадают направления начальной скорости и равнодействующей ( ) сил, действующих на материальную точку;

(см. рис. 1)

На рис. 2 показаны оси координат, если в начальный момент времени не совпадают направления начальной скорости -  и равнодействующей  ;

б) положительное направление отсчета осей должно соответствовать направлению начальной скорости (см. рис. 1, 2);

в) начало отсчета координатных осей рационально совместить с начальным положением исследуемой материальной точки ();

г) выясняем, является ли выбранная система отсчета инерциальной.

2. В не особом положении на траектории движения показываем материальную точку и силы (активные и реакции связей), действующие на нее. (Силу сопротивления показываем в сторону, противоположную скорости).

3. Записываем 4– ый закон динамики для конкретной задачи .

4. Проектируя полученное векторное уравнение на оси выбранной системы отсчета, записываем дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на эти выбранные оси.

5. Подставив функциональные зависимости проекций сил, решаем полученные дифференциальные уравнения с учетом постоянных интегрирования.

6. По начальным условиям (при

) находим постоянные интегрирования.

7. Записываем решение дифференциальных уравнений с учетом  найденных постоянных интегрирования.

8. Делаем проверку и анализ полученного решения.

5. Основной закон динамики относительного движения.

Относительное движение материальной точки – это ее движение по отношению к подвижной системе отсчета, которая не является инерциальной. В этом случае абсолютное ускорение -  (ускорение материальной точки по отношению к инерциальной системе отсчета) может быть представлено в виде векторной суммы переносного - , относительного -  и кориолисова -  ускорений, т.е.

С учетом этого, 4 – ый закон динамики можно представить следующим образом

или

.

Здесь:  - переносная сила инерции;

- кориолисова сила инерции.

Знак минус («-») указывает, что силы инерции должны быть направлены в стороны, противоположные соответствующим ускорениям.

Тогда                             (1)

Это уравнение выражает основной закон динамики относительного движения. Причиной появления переносной и кориолисовой сил инерции является неинерциальность системы отсчета.

Условие равновесия материальной точки при относительном движении.

При относительном равновесии материальной точки относительные скорость и ускорения равны нулю, т.е. . С учетом этого оказываются равными нулю  и .

Тогда основное уравнение динамики относительного движения принимает вид:

.

Это векторное равенство и является условием равновесия материальной точки в относительном движении.

Принцип относительности классической механики.

Утверждает, что никакими опытами нельзя установить, находится исследуемый объект в состоянии покоя или равномерного поступательного прямолинейного движения.

Это следует из того, что при переносном равномерном прямолинейном поступательном движении переносное ускорение , угловая скорость , а, следовательно, и , вследствие чего ,  и основной закон динамики относительного движения  (1)  принимает такой же вид, что и основной закон динамики абсолютного движения  (2). Однако если равны первые части равенств (1) и (2), то должны быть равны абсолютное и относительное ускорения, а, следовательно,  никакими опытами нельзя установить находится ли исследуемый объект в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

Пример. Составить дифференциальное уравнение движения материальной точки – М в трубке, которая вращается вокруг неподвижной вертикальной оси с постоянной угловой скоростью –, причем трубка перпендикулярна этой оси, если коэффициент трения скольжения между материальной точкой и трубкой – 0. Также определить при отсутствии трения время и скорость вылета материальной точки из трубки, если в начальный момент времени эта точка находилась на расстоянии ℓ0 от оси вращения и имела относительную скорость, равную нулю, а длина трубки – ℓ.

Решение.

Система координатxOyz– неинерциальная, т.к. осиOx иOy вращаются вокруг оси «z».

Следовательно, для решения поставленной задачи надо применить основной закон динамики относительного движения.

                (1)

Здесь: сила инерции переносного движения

Знаки «–»  показывают, что силы инерции  и  должны быть направлены противоположно соответствующим ускорениям.

~ Кориолисова сила инерции направлена параллельно оси «x» к нам: ; Знак «–»  показывает, что  должна быть направлена противоположно .

~ Реакции боковых поверхностей  перпендикулярны труке;

~ Вес материальной точки ;

~ Сила трения .

Проектируя векторные уравнения на координатные оси, получим:

x:

y:

z:

или

Если коэффициент тренияf=0, то .

Это линейное однородное дифференциальное уравнение 2–го порядка. Корни характеристического уравнения .

Поэтому

Постоянные интегрирования определим по начальным условиям:

Поэтому                      ()

Откуда       и        (2)

Из этого равенства можно определить времяt1 вылета из трубки, т.к. приy=t=t1, то уравнение (2) принимает вид .

Если ввести , то .

Тогда     .

Откуда   , и    или

Логарифмируя это выражение и разделив на, получим

.

Чтобы определить скорость вылета материальной точки из трубки исходному дифференциальному уравнению  надо придать вид дифференциального уравнения 1–го порядка  и с помощью подстановки   проинтегрировать выражение  , то есть  .

Постоянную интегрированияС3 найдем по начальным условиям . С учетом этого  и  .

Приy= найдем скорость вылета материальной точки

.

6. Понятие о центре масс механической системы.

Центр масс механической системы (т. С)– это  геометрическая точка в пространстве, положение которой определяется по формулам:

,               (1)

           (2)

Здесь –радиус–векторы, определяющие соответственно положение центра масс механической системы (т. С) и положение материальных точек или центры тяжестиk–ых тел механической системы;

–координаты, определяющие положение центра масс механической системы;

–координаты, определяющие положение материальных точек или центры тяжести тел механической системы;

–масса материальной точки или тела;

–масса всей механической системы .

Следует отметить, что понятие центра масс механической системы является более общим, чем понятие центра тяжести, так как центр масс существует для любой механической системы, в то время как понятие центра тяжести может быть употреблено только в пределах планеты Земля.

Также существенным различием является то, что центр масс механической системы может изменять свое положение по отношению к элементам системы, а центр тяжести не может изменять своего положения по отношению к отдельным частям тела. Однако следует помнить, что понятия центра тяжести и центра масс совпадают для твердого тела, если твердое тело рассматривать как неизменяемую механическую систему.

7. Инерционные параметры твердого тела и механической системы.

При поступательном движении твердого тела мерой инерционных свойств является его масса.

При поступательном движении твердого тела и при движении механической системы мерой их инерционных свойств являются также моменты инерции. Наиболее часто используются понятия момента инерции относительно полюса– полярный момент инерции (Jo), момента инерции относительно оси–осевой момент инерции (Jx,Jy,Jz)  и центробежные моменты инерции (Jxy,Jxz,Jyz).

Если механическая система представляет собой совокупность конечного числа взаимосвязанных материальных точек, то моменты инерции определяются по следующим формулам:

ЗдесьL–ось, относительно которой определяется момент инерции (может быть ).

Для определения моментов инерции твердого тела используются следующие формулы:

Здесь – символ интегрирования по объему.

Моменты инерции относительно начала отсчета и осей декартовой системы координат.

Изобразимk–ую материальную точку в произвольном положении. Ее положение в пространстве определяется с помощью радиус–вектора () и трех координат ().

Тогда полярный момент:

Осевой момент инерции

Аналогично для других координатных осей

Если сложить осевые моменты инерции, то получим .

Момент инерции относительно оси, проходящей в заданном направлении.

Здесь – направляющие углы,  – орт оси

Момент инерции

,

но , где

Тогда

Используя формулу , чтобы избавиться от выражений в скобках.

Оси инерцииx1,y1,z1, относительно которых центробежные моменты инерции    равны нулю, называются главными осями инерции. Если ось инерции проходит через центр масс механической системы (центр тяжести тела) , но она называется центральной осью инерции. Главная ось инерции, проходящая через центр масс, называется главной центральной осью инерции.

ЭЛЛИПСОИД ИНЕРЦИИ

Если взять какую- либо точку 0 на теле и осьOL, проходящую через эту точку 0, то можно определить момент инерции относительно этой оси –YOL. При изменении направления оси OL(cos ,cos ,cos в формуле (1)) будет изменяться момент инерцииYOL=Y. Отложим на осиOL отрезок прямойOM=r = . Построим систему координат0x1y1z1 . Обозначим координаты точкиМчерезx1y1z1, так как точкаМпринадлежит прямойOL, то

, , ,

где - углы определяющие направление осиOL. С учетом найденных направлений косинусов равенство (1) примет вид

(3)

Это уравнение замкнутой поверхности второго порядка. Для главной центральной оси инерцииx1y1z1  равенство (3) имеет вид

(4)

Если ввести обозначения  то равенство (4) можно записать следующим образом  что соответствует каноническому уравнению эллипсоида. Поэтому поверхность, соответствующая равенствам (1) и (2) получила название эллипсоида инерции. Для эллипсоида инерции главные оси инерции являются осями симметрии. Моменты инерции относительно этих осей имеют экстремальные значения.

СВОЙСТВА ГЛАВНЫХ ОСЕЙ ИНЕРЦИИ

Теорема 1. Если механическая система ( твердое тело) имеет ось материальной симметрии, то эта ось является главной центрально осью инерции.

Теорема 2. Если механическая система имеет относительно материальной симметрии, то любая ось, перпендикулярная к этой плоскости является главной (но не центральной) осью инерции.

Теорема 3. Центральные моменты инерции, имеющие хотя бы один индекс главной оси инерции, равен нулю.

Теорема 4. Для любой точки, лежащей на главной центральной оси инерции, главные оси инерции, параллельны соответствующим главным центральным осям инерции.

рис 1.

ЗдесьCx2,Cy12,Cz2 –  главные центральные оси инерции.

Главные оси инерции0x1||Cx1*, 0y1 ||Cy1*, 0z1 ||Cz*

Теорема 5. (Теорема Шнейнера – Гюйгенса)

Момент инерцииYz механической системы (твердого тела) относительно центральной оси, параллельной данной, и произведение массы –М механической системы на кратчайшие расстояния между осями«d» в квадрате

Доказательство:

Рис 2.

Пусть 0z – произвольная ось инерции, 0z* - центральной оси инерции.

здесь;

получаем;

Так как yc= 0

МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ПРОСТЕЙШИХ ТЕЛ ОТНОСИТЕЛЬНО ГЛАВНЫХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ ОСЕЙ ИНЕРЦИИ

1. Моменты инерции для кольца

рис 3.

Из свойств симметрииYy1=Yz1;

Yc– полярныймомент инерции

Кромеэтого2Yc = Yx1 = Yy1= Yz1 или 2Yc = Yc + 2Y;

2. Момент инерции диска

рис 4.

Разобьем диск на кольца радиусом

Тогда

, откуда

3. Момент инерции стержня

рис 5.

По теореме Штейнера   момент инерции стержня относительно оси 0z

4. Момент инерции цилиндра

рис 6.

Чаще всего цилиндрические детали вращаются вокруг осиZ'. Для определения момента инерции цилиндра относительно этой оси, разобьем цилиндр на элементарные диски.

Момент каждого такого диска

Момент инерции цилиндра

8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ В ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

Пусть механическая система состоит из «К» материальных точек с массамиm1,m2, …,mnположение которых относительно некоторой неподвижной системы координат 0xyz определяется для любого момента времениtрадиус – векторамиr1,r2,…,rnи координатамиx1,x2, …,xn;y1,y2,…,yn;z1,z2,…,zn.В общем случае на каждую материальную точку механической системы действуют внутренние и внешние силы. Обозначим равнодействующую внешних сил, действующую на К-ую материальную точку - , а равнодействующую внутренних сил  -

Основным законом динамики для каждой материальной точки, входящей в механическую систему имеет вид

 (1)

Проектирую векторное уравнение (1) на оси декартовой системы координат, получим

k=1,2,3,…,n(2)

Однако, эти дифференциальные уравнения движения механической системы, из – за большого их числа,  можно использовать, только применяя ЭВМ. Но очень часто в этом просто нет необходимости, так как для решения многих практических задач рациональнее использовать общие теоремы динамики. К ним относятся теорема о движении центра масс, теорема об изменении количества движения, кинетического момента и кинетической энергии механической системы и в частности для материальной точки.

9. ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Для каждой материальной точки механической системы дифференциальное уравнение движения в векторной форме имеет вид

 

Сложив эти уравнения по индексу k , получим

Здесь:  - Главный вектор внешних сил,

- главный вектор внутренних сил,

, так как по определению центра масс

С учетом этого

Главный вектор внутренних сил , так как механическая система представляет собой совокупность попарно взаимодействующих материальных точек, а действуют они друг на друга с силами равными по величине, направленными по одной прямой , но в противоположные стороны.

Окончательно имеем(1)

То есть: « Центр масс механической системы двигается также, как двигалась бы одна материальная точка, имеющая массу всей системы, под действием внешних сил, действующих на эту систему.

Из формулы (1) следует, что внутренние силы не влияют непосредственно на движение центра масс механической системы, но они могут являться причиной появления внешних сил, которые и окажут влияние на движение центра масс.

Проектируя векторное уравнение (1) на  оси декартовой системы координат, получим дифференциальные уравнения движения центра масс механической системы в проекциях на декартовые оси координат:

(2)

Проектируя векторное уравнение (1) на оси естественной системы, получим уравнение, имеющее вид:

Здесь vc – скорость центра масс,

- радиус кривизны траектории движения центра масс,

-  проекцияk- ой внешней силы на главную нормаль,

- проекция k – ой внешней силы на тангенциальную ось,

- проекция k – ой внешней силы на бинормаль,

-Проекция главного вектора внешних сил соответственно на главную нормаль, тангенциальную ось и бинормаль.

СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТЕОРЕМЫ О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС

1. Если главный вектор внешних сил, действующих на механическую систему равен нулю , то центр масс этой системы или не двигается, или двигается прямолинейно с постоянной скоростью.

Если  ,  то

2. Если проекция главного вектора внешних сил на какую – либо ось равна нулю, то в направлении этой оси центр масс механической системы или не двигается или двигается с постоянной скоростью

Если  ,  то

Пример 1.

Дано: Центр масс колеса – С движется по окружности радиусаR=2м. Согласно закону .Определить приt = 1с модуль главного вектора внешних сил, приложенных к колесу, если его массаm = 20кг

рис 7.

Решение:Так как траектория движения центра масс колеса известны, то для определения главного вектора внешних сил рационально использовать теорему о движении центра масс в проекциях на оси естественной системы координат

Тогда

Приt=1с  , а

Пример 2.

Дана:Определите координату центра масс кривошинно -  шатунного механизма в указанном положении на чертеже, если масс кривошиннаОА m1= 8 кг, масса шатунаАВm2= 16кг, и масса ползуна«В» m3= 4кг, длина шатуна

рис 8.

Решение: Координату центра массxc, этого механизма надо определять по формуле :   .

Здесь масса механизма

Координаты центров масс тел : ,

Тогда

Пример 3.

Дано: Тело 1 массой m1= 4кг может двигаться по горизонтальной направляющей. На какое расстояние переместиться тело, когда однородный стержень 2 массой m2= 2 кг и длинойL = 0,6м , опускаясь под действием сил тяжести займет вертикальное положение. В начальный момент данная механическая система находиться в покое.

рис 9.

Решение: Покажем внешние силы , действующие на исследуемую механическую систему, которые должны быть изложены в центрах тяжести соответствующих тел и направлены вертикально, то есть перпендикулярно осиОХ. Кроме этих активных сил на данную механическую систему действует еще реакция гладкой поверхности , также перпендикулярная оси «х».

Теорема о движении центра масс в проекции на ось Х в данном случае имеет вид:

(1)

Интегрируя дважды это дифференциальное уравнение, получим ,

где  - начальное положение центра масс.

Определим постоянные интегрирования по начальным условиям: .

Откуда С1= 0и

При движении стержня 2 из горизонтального положения в вертикальное, вид теоремы о движении центра масс в проекции на ось Х (уравнение (1)) не изменяется. Следовательно, координата центра массxcостается постоянной. Поэтому при перемещении центра масс стержня вниз и влево координата центра масс первого тела должна переместиться вправо. Новое положение механической системы также покажем на рисунке, причем , гдеS-  перемещение груза 1.

Тогда ,  приравняем начальное  и конечное положение ,  получим равенство , откуда

10. ПОНЯТИЕ О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Количество движения материальной точки это вектор направлений по вектору скорости и определяемый по формуле:

(1)

рис 10.

Здесь  - скорость  материальной точки по отношению к неподвижной системе отсчета, то есть это абсолютная скорость.

Если материальная точка совершает сложные движения, то ее абсолютная скорость  равна векторной сумме переносной и относительной скорости, то есть

Тогда количество движений материальной точки :

(2)

то есть, оно равно векторной сумме количеств переносного   и относительного  движений.

Пример

Дано: Для момента времени t1=1c необходимо определить количество движений тела 2 массойm2= 1кг, если оно движеться по отношению к телу 1 согласно закону

рис 11.

Решение: Тело 2 совершает сложное движение, которое состоит из переносного поступательного движения в направлении оси по законуxe(t)и относительного прямолинейного движения по законуSr(t).

Найдем переносную и относительную скорости: , При

Причем  направлена параллельно оси 0x, а  по прямой ОА вверх.

Векторы количеств движения  и  направлены по соответствующим скоростям. Величины этих векторов приt1=1c

Векторное равенство  можно спроектировать на координатные оси

Величину количества движения тела 2 найдем по теореме Пифагора:

КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Количество движений механической системы равно векторной сумме количеств движения материальных точек и тел, входящих в эту систему, то есть

(1)

Если механическая система состоит только из материальных точек, то ее количество движения , здесь  - скорость центра масс.

Это равенство легко получить из формулы , с помощью которой определяется положение центра масс. Для этого эту формулу надо записать в виде равенства  , а затем дифференцировать по времени.

Формулу   удобно применять для определения количества движения тел.

Пример

Дано:Необходимо определить величину количеств движения данного механизма в заданном положении, если массы ползуновm1=4 кг,m2= , а массу шатуна не учитываем. При этом ползун номер 1 движется со скоростьюva=2 м/с(как показано на рисунке)

рис 12.

Решение: Для данного механизма , где  .

Знаяva=2 м/си массу  1 –го тела найдем .Скоростьvb найдем используя понятие о мгновенном центре скоростей

Тогда

11. ПОНЯТИЕ ОБ ИМПУЛЬСЕ СИЛ

Элементарный импульс силы  это вектор, направленный по вектору силы и определяемый по формуле . Здесь  - сила, t – время (см. рис).

рис 13.

Импульс силы это вектор, определяемый по формуле , где  - промежуток времени, в течении которого определяется импульс силы. Проекции импульса силы на оси координат определяются по формулам .

Теорема. Импульс равнодействующей (главного вектора) равен векторной сумме импульсов сил, действующих на исследуемый объект.

Доказательство: Равнодействующая

Умножая это равенство на дифференциал времени, получим

или

Интегрируя это равенство, найдем    (1)   что и требовалось доказать.

Проектируя это равенство (1) на координатные оси, получим

Направление импульсов сил можно определить только из теоремы об изменении количества движения.

Пример 1.

Дано: Тело массойm = 20 кг скользит по шероховатой поверхности с коэффициентом трения . Определить за промежуток времени t = 2cпроекцию  импульса равнодействующей сил действующих на это дело. Угол наклона поверхности к горизонту

рис 14.

Решение: На тело действует сила тяжести , направленная вертикально вниз. Сила трения , направленная в сторону противоположную движению и реакция поверхности, направленная перпендикулярно к ней. (см. рис)

Проекция импульса равнодействующей .

Здесь проекция импульса силы тяжести

(Ускорение земного притяженияg = 10 м/с2)

(т.к. )

ИтакSRx= 200 - 34,64 = 165,36 н.с.

Пример 2.

Дано: Пусть материальная точка движется по оси 0x под действием силы  Необходимо определить проекцию импульса равнодействующей этих сил за промежуток времени  на оси X.

рис 15.

Решение:

,

,

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

Эта теорема существует в двух формах, а именно, в дифференциальной и интегральной. В дифференциальной форме она может быть применена для любых сил, а в интегральной форме только для постоянных сил или сил зависящих явно только от времени.

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

В дифференциальной форме эта теорема утверждает, что «Производная по времени от количества движения материальной точки равна равнодействующей сил, действующих на эту материальную точку, то есть

(1)

Здесь  - количество движения,

           - равнодействующая.»

Доказательство: Четвертый закон динамики имеет вид  или ,

где .

Если подвести массу под дифференциал, то получим . Учитывая, что , последнее равенство преобразуем к виду

(2)

что и требовалось доказать.

В проекциях на ось координат теорема об изменении количества движения материальной точки в форме производной утверждает, что «Производная по времени от проекции количества движения на любую ось равна проекции равнодействующих сил, действующих на эту точку, на ту же ось.»

Теорема об изменении количества движения материальной точки в интегральной формеутверждает что: « Изменение количества движения материальной точки, которое произошло за некоторый промежуток времени, равно импульсу равнодействующей сил действующих на эту материальную точку, причем импульс равнодействующей должен быть определен за тот промежуток времени.»

Доказательство: Теорема об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме выражается равенством (2) , то есть , откуда очевидно, что . Интегрируя это равенство, получим  , то есть , что и требовалось доказать.

Здесь  - количество движения материальной точки в момент времени t1,

а  - количество движения материальной точки при t0 = 0.

В проекции на ось координат эта теорема утверждает, что изменение проекции количества движения на любую ось, которое произошло за некоторый промежуток времени t1,  равно проекции импульса равнодействующих сил, действующих на эту точку, на ту же ось, причем проекция импульса должна быть определена за тот же промежуток времени, то есть

Пример

Дано: Материальная точка М массой m = 2 кг, движется по окружности с постоянной скоростью  под действием некоторой системы сил, причем v = 4 м/с.

Необходимо определить импульс равнодействующей этой системы сил при перемещении материальной точки из положения M1в положение М2.

рис 16.

Решение: Скорость точкиМv1иv2(v1=v,v2=v) показаны на рисунке. Количество движения материальной точки в положенияхМ1иМ2 направлены по соответствующим скоростям и так же  показаны на рисунке. В соответствии с теоремой об изменении проекции количества движения на любую ось при указанных на рисунке направлениях координатных осей можно записать, что  или , то есть  и

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Эта теорема в дифференциальной форме утверждает, что «Производная по времени от количества движения механической системы равна главному вектору внешних сил, действующих на эту систему, то есть

(3)

Здесь  - количество движения механической системы,

           - главный вектор внешних сил.»

Доказательство: На основании теоремы о движении центра масс можно записать, что , но , что и требовалось доказать.

Теорема об изменении количества движения в интегральной форме утверждает, что: «Изменение количества движения механической системы, которое произошло за некоторый промежуток , равно импульсу главного вектора внешних сил, действующих на эту систему, причем этот импульс должен быть определен за тот же промежуток времени, то есть .

Здесь  - количество движения механической системы в конечныйt1 и начальныйt2 момент времени.»

Доказательство: На основании дифференциальной формы теорема об изменении количества движения механической системы можно записать, что .

Разделяем переменные , и интегрируя , получим , что и требовалось доказать.

В форме производной (дифференциальной форме) теорема об изменении проекции количества движения механической системы на любую ось утверждает, что «Производная по времени от проекции количества движения механической системы на любую осье равна проекции главного вектора внешних сил, действующих на механическую систему, на ту же ось е, то есть »

Здесь ось , то есть может быть одной из осей декартовой системы координат.

В интегральной форме теорема об изменении проекции количества движения механической системы на любую ось утверждает, что: «Изменение проекции количества движенияКемеханической системы на любую осье, которое произошло за некоторый промежуток времени –t1, равно проекции импульса главного вектора внешних сил, действующих на механическую систему, причем этот импульс должен быть определен за тот же промежуток времени, то есть

Здесь  - проекция количества движения механической системы в конечныйt1 и начальныйt0 момент времени;  - ось, которая может быть одной из осей декартовой системы координат.

СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

1.Если равнодействующая (главный вектор внешних сил) действующих на материальную точку (механическую систему) равен нулю, но количество движения материальной точки (механической системы) не изменяется с течением времени.

При , откуда следует, что .

2. Если проекция равнодействующий (главного вектора внешних сил), действующих на материальную точку (механическую систему) равна нулю, это проекция количества движения материальной точки (механической системы) на ту же ось не изменяется с течением времени.

При , откуда следует, что .

Пример 1.

Дано: Твердое тело весом  начинает двигаться по шероховатой поверхности с коэффициентом трения  под действием силы , гдеа = const.Какую скорость приобретет тело через t1 = 5c после начала движения, если в начальный момент времениt0=0 оно находится в покое.

рис 17.

Решение: Силы действующие на тело показаны, на рисунке.Направление координатной оси «Х» выберем по направлению скорости движения тела. Теорема об изменении количества движения для материальной точки (тело движется поступательно) в проекции на ось «Х» в данном случае имеет вид(Nx= 0;SNx= 0)

гдеmvKx=mv;mv0x = 0 (v0= 0);

, с учетом этого

Пример 2.

Дано: Механическая система состоит из груза «1» весомP =m1gи груза «2» весомG =m2g.Груз «1» двигается по наклонной плоскости под углом , тало «2» со скоростью«U». Тело «2» может двигаться по горизонтальной гладкой поверхности со скоростью«v».Необходимо определить скорость движения тела «2», если в начальный момент времениv0,U0= 0.

рис 18.

Решение: Внешние силы, действующие на эту механическую систему, показаны на рисунке. Очевидно, что .Поэтому можно утверждать, что , то есть ; Для любого момента времени  (тело «1» совершает сложное движение). Здесь

так какU0 = 0 иv0= 0, тоK0x = 0 и поэтому , откуда найдем .

Здесь знак минус показывает, что тело «2» должно иметь скорость , направленную в противоположную сторону по направлению с тем, как это показана на рисунке.

Пример 3.

Дано: Вода входит в неподвижный канал переменного сечения, симметричный относительно вертикальной плоскости, со скоростью v0= 2 м/с под углом  к горизонту; сечение канала при входеSo= 0.02 м2; скорость воды у выхода из каналаv1=4 м/с и направлена под углом  к горизонту. Определить модуль горизонтальной составляющей силы, с которой вода действует на стенки канала.

рис 19.

Решение: На жидкость внутри канала действуют равнодействующая, внешние силы тяжести -  и две составляющие реакции связей:  - горизонтальная и - вертикальная. Сила, с которой вода действует на канал в горизонтальном направлении . По утверждению теоремы об изменении проекций количества движения можно определить силы, действующие на воду. Эта теорема в интегральной форме в проекции на ось для данного случая имеет вид . Векторы  и  показана на рисунке.

Здесь: проекция количества движения в начальный момент времени , так как перпендикулярна осиХ; проекция количества движения на осьХ в конечный момент времени

Здесьm– масса воды. Импульс горизонтальной силы.

. Так как значения скоростей частиц воды на входе и на выходе не изменяется с течением времени, то можно предположить, что реакции связей , . В этом случае

.

С учетом вышеизложенного

Количество воды, поступившей на вход канала должно быть равно количеству воды на его выходе, то есть , где - удельная плотность воды (=1000 кг/м3), - объем воды, проходившей через входное сечение. С учетом этого

,

откуда .

ВычисливN, тем самым определили давление воды на канал в горизонтальном направлении .

13. Момент количества движения материальной точки

Момент количества движения материальной точки относительно центра - это вектор, начало которого находится в центре (т. О), относительно которого находится момент, равный векторному произведению радиус-вектора (), определяющего положение материальной точки по отношению к центру, на вектор количества движения (), то есть . Здесь - абсолютная скорость.

Величина и направление момента количества движения материальной точки относительно центра определяется по праву вычисления векторного произведения.

Если материальная точка совершает сложное движение, то .

Тогда , то есть в случае сложного движения материальной точки.

Момент количества движения этой точки относительно центра равен векторной сумме моментов количеств переносного и относительного движений относительно того же  центра. Аналогично в проекциях на координатные оси

, только сумма алгебраическая.

Пример 1.

Материальная точка М с массойm = 1 кг движется с постоянной скоростьюV = 4 м/с по окружности радиусаr = 0,5 м. Необходимо определить момент количества движения этой точки относительно центра – т.О.

Решение

Покажем на рисунке скорость М, ее количество движения и радиус – вектор , определяющий положение точки по отношению к центру т.О.

.

Величина вектора момента количества движения

Векторное произведение можно представить в виде матрицы, определитель которой равен моменту количества движения материальной точки относительно центра

Отсюда очевидны аналитические формулы для определения моментов количества движения материальной толчки относительно координатных осей, а именно

Здесьx,y,z – координаты материальной точки,

Vx,Vy,Vz – проекции скорости материальной точки на соответствующие осиx,y,z.

Пример 2.

Материальная точка М массойm = 0,5 кг движется по кривой. Известны координаты этой точкиx=y=z=1 м и проекции скоростиVx = 1 м/c,Vy = 2 м/с иVz = 4 м/с. Необходимо определить моменты количеств движения материальной точки относительно координатных осей и их начала отсчета.

Решение

По теореме Пифагора

. Этот вектор показан на рис.

Момент количества движения материальной точки относительно оси можно вычислить как произведение модуля проекции этого момента на плоскость, перпендикулярную к оси, на кратчайшее расстояние от точки пересечения оси с плоскостью до линии действия проекции момента количества движения на плоскость.

Пример 3.

Материальная точка М массойm = 0,5 г движется со скоростьюV = 2 м/с по прямойAB. необходимо определить момент количества движения этой точки относительно осиOx, если расстояние ОА =  м и α = 30º.

Решение

Вектор количества движения материальной точки направлен по скорости (см. рис) и лежит в плоскостиyOz перпендикулярной оси Ox. Кратчайшее расстояние от точки пересечения осиx с плоскостьюyOzh =OA*sinα = 1*0,5 = 0,5 м. Тогда

Знак момента зависит от направления скорости и положительного направления отсчета оси, относительно которой находится этот момент.

Пример 4.

Стержень ОА вращается с постоянной угловой скоростью ω = 10 с-1. По нему движется кольцо массойm = 1 кг. Необходимо определить момент количества движения кольца относительно оси вращения стержня (осьOx), когда расстояниеOМ = 0,5 м и скорость кольца по отношению к стержнюVотн = 2 м/с.

Решение

Кольцо совершает сложное движение: переносное-вращательное движение вместе со стержнем и относительное-прямолинейное движение по этому стержню. Скорость и количества этих движений показаны на рисунке.

.

, так как вектор  пересекается с осьюx.

14. Кинетический момент механической системы

Кинетический момент механической системы относительно центра (т.О) это вектор, равный векторной сумме моментов количеств движений материальных точек, входящих в эту систему, относительно того же центра, то есть

.

Здесь:  - радиус-вектор, определяющий положение материальной точки относительно центра (т.О);  - абсолютная скорость материальной точки;  - масса материальной точки.

Теорема. Кинетический момент количества движения механической системы относительно любого центра (т.О) равен векторной сумме момента количества движения центра масс системы в предположении, что масс всей системы сосредоточена в нем, относительно центра и кинетического момента механической системы в ее движении по отношению к центру масс, то есть

Здесь: - радиус-вектор, определяющий положение центра масс по отношению к центру (т.О), относительно которого определяется кинетический момент механической системы;

- масса механической системы; - скорость центра масс; - кинетический момент механической системы относительно центра масс; - радиус-вектор, определяющий положение материальной точки по отношению к центру масс; - скорость движения материальной точки по отношению к центру масс.

Доказательство

Кинетический момент механической системы относительно центра , где (см. рис), а (по теореме скоростей)

Тогда

Здесь: ;

Можно показать, что две последние суммы равны нулю, так как: ,

где - радиус-вектор, определяющий положение центра масс механической системы по отношению к самому себе, то , а следовательно и .

С учетом изложенного выше , что и требовалось доказать.

Кинетический момент количества движения механической системы относительно центра (т.О) также, как любой вектор, можно представить в виде векторной суммы трех взаимно перпендикулярных векторов, параллельных осям декартовой системы координат, то есть

.

Здесь - кинетические моменты механической системы относительно координатных осей, причем , , .

Если механическая система состоит только из твердых тел, то ее кинетический момент относительно центра /оси равен векторной/алгебраической сумме кинетических моментов тел относительно того же центра/той же оси, то есть

и , где .

Если механическая система состоит из твердых тел и материальных точек, то ее кинетический момент относительно центра/оси равен векторной/алгебраической сумме кинетических моментов тел и моментов количества движения материальных точек относительно того же центра/той же оси, то есть

и .

15. Кинетический момент твердого тела

Для вывода кинетического момента твердого тела относительно центра используем формулу  (1)

При поступательном движении твердого тела скорости всех точек одинаковые. Поэтому , т.к.  и . Если т.О принадлежит твердому телу, то тогда скорость центра масс  приобретает смысл относительной скорости центра масс по отношению к т.О. Но , а . Поэтому в этом случае .

При вращательном движении твердого тела относительно главной центральной оси инерция (осиZ) . Поэтому для точки О, лежащей на оси вращения (2), где - орт оси вращения; - кинетический момент тела относительно оси. Чтобы вычислить  разобьем тело на элементарные частички, массой , найдем их моменты количества движения относительно оси, сложим их алгебраически и определим предел этой суммы;

то есть .

Здесь: - кратчайшее расстояние отk-ой частички тела до оси вращения; - скоростьk-ой частички тела.

Тогда формула (2) принимает вид  (3), откуда очевидно, что если точка лежит на оси вращения, то вектор кинетического момента  направлен по вектору угловой скорости .

Кинетический момент относительно оси вращения “z

Если ось вращения “z” главная, но не центральная ось инерции, то можно доказать справедливость формул (2) и (3). Только в этом случае момент инерцииJz необходимо определять по формуле Штейнера

, где - ось, параллельная осиz и проходящая через центр тяжести тела (центр масс его);M – масса тела;d – кратчайшее расстояние между осями.

При плоско-параллельном движении твердого тела, если оно имеет плоскость материальной симметрии и эта плоскость параллельна плоскости, параллельно которой движется тело, то любая осьz, перпендикулярная этим плоскостям, будет главной, но возможно не центральной осью инерции.

Тогда формула (1) в проекциях на координатные оси приобретает следующий вид

.

Здесь  и окончательно  (4)

(- ось, проходящая через центр масс тела и параллельная осиz)

Пример 5.

Кривошип ОА вращается с постоянной угловой скоростью =6 с-1. Колесо «2» обкатывается по неподвижному колесу «1». Необходимо определить кинетический момент колеса «2» относительно точки «О», еслиr1=r2=0,15 м, колесо «2» однородный диск и массаm2=3 кг.

Решение

Чтобы определить угловую скорость используем понятие о мгновенном центре скоростей –Pv. Тогда . Скорость центра масс колеса «2»

или  и

Для однородного диска

По формуле (4),  зная , имеем

Вектор кинетического момента , причем осиz, направлены так, чтобы с положительного направления их отсчета направление угловой скорости тела «2» - ω2 было видно против часовой стрелки.

16. Теорема об изменении количества движения материальной точки

Эта теорема относительно центра утверждает, что:

«Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно центра (т.О) равна моменту равнодействующих сил , действующих на материальную точку относительно того центра», то есть (6)

Доказательство.

Момент количества движения материальной точки .

Производная от него

, так как .

по принципу независимости действия сил.

Итак, имеем , но .

С учетом этого , что и требовалось доказать.

Теорема об изменении момента количества движения материальной точки относительно оси утверждает, что:

«Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно оси равна моменту равнодействующих сил, действующих на эту точку, относительно той же оси»

Доказательство

Проектируя векторное равенство (6) на ось, получим

, где .

17. Теорема об изменении кинетического момента механической системы

Эта теорема относительно центра утверждает, что:

«Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно центра (т.О) равна главному моменту всех внешних сил , действующих на механическую систему с точкой приведения в центре, относительно которого определен кинетический момент, то есть

(7)

здесь главный момент внешних сил .»

Доказательство.

Для каждой материальной точки, входящей в механическую систему основной закон динамики имеет вид

Умножив это векторное равенство на радиус , определяющий положениеk-ой материальной точки по отношению к центру (т.О), получим

.

Но см. доказательство теоремы для материальной точки. Тогда

Сложив эти векторные равенства по индексу «k» и учитывая, что операции сложения и нахождения произведений можно менять местами, получим

(8)

здесь: ;

- главный момент внутренних сил.

Покажем, что главный момент внутренних сил . Для этого изобразим две материальные точки механической системы, взаимодействующий между собой с силами  (см. рисунок).

Вычислим сумму моментов от сил  относительно произвольного центра (т.О).

Очевидно, что , и тогда .

С учетом этого

, так как .

Так как механическая система представляет собой совокупность попарно взаимодействующих материальных точек, то можно считать доказанным, что главный момент внутренних сил равен нулю, от есть .

Тогда равенство (8) с учетом изложенного выше принимает вид , что и требовалось доказать.

Теорема об изменении проекции кинетического момента относительно оси утверждает, что:

«Производная по времени от проекции кинетического момента механической системы (от кинетического момента относительно любой оси) на любую ось рана проекции главного момента внешних сил, действующих на эту систему, на ту же ось». то есть

(9), здесь

- проекция главного момента внешних сил на

Проектируя векторное равенство (8) на ось, получим равенство (9).

Следствия из теоремы об изменении момента количества движения материальной точки и кинетического момента механической системы.

1. Если момент равнодействующей сил, действующих на материальную точку, относительно какого-либо центра (т.О) равен нулю, то момент количества движения этой точки относительно того же центра есть величина постоянная, то есть если , то  так как только от постоянной величины производная всегда равна нулю.

2. если момент равнодействующей сил, действующих на материальную точку, относительно какой-либо оси равен нулю, то момент количества движения этой точки относительно той же оси есть величина постоянная, то есть

, то , откуда .

3. Если главный момент внешних сил, действующих на механическую систему относительно какого-либо центра равен нулю, то кинетический момент механической системы относительно этого же центра есть величина постоянная, то есть если

, то , откуда

4. Если главный момент внешних сил, действующих на механическую систему, относительно какой-либо оси равен нулю, то кинетический момент этой системы относительно той же оси есть величина постоянная, то есть

если , то , откуда .

Пример.

Материальная точка массойm=0,5 кг движется по закону . Определить момент равнодействующей всех сил, приложенных к этой точки относительно начала координат.

Решение

Скорость материальной точки .

Момент количества движения материальной точки относительно начала отсчета

По теореме об изменении момента количества движения материальной точки

.

Пример.

По стержню АВ движется ползун с массойm=1 кг согласно закону АС=0,2+1,2t. Момент инерции вала ОА вместе со стержнемJz=2,5 кг*м2. Определить угловую скорость ω1 приt1=1 с, если начальная угловая скорость ω0=10 с-1.

Решение

Объектом исследования является механическая система, состоящая из стержня, связанного жестко с валом и ползуна, который будем считать материальной точкой, причем ползун совершает сложное движение, состоящее из переносного вращательного движения вместе со стержнем и относительного прямолинейного движения.

Силы, действующие на объект исследования показаны на рис.

- вес ползуна,G – вес стержня, - реакции связей. Очевидно, что моменты этих сил относительно оси вращения (z) равны нулю, так как эти силы или пересекают ось, или параллельны ей, тогда .

Теорема об изменении кинетического момента этой механической системы относительно оси вращения «z» имеет вид , откуда следует, что  .

Поэтому   (1)

В начальный момент времени ползун находился на расстоянии АС0=0,2+1,2*0=0,2 м,  а приt1=1 с АС=0,2+1,2+1=1,4 м.

Для любого момента времени .

Здесь:  - кинетический момент стержня относительно осиZ.

- момент количества движения ползуна относительно осиZ. Векторы количества переносного и относительного движений показаны на рисунке, причем параллельны осиX. Моменты этих количеств движения относительно оси «Z»

, так как вектор пересекает ось «Z».

С учетом этого кинетический момент данной механической системы относительно осиZ для любого момента времени , откуда

Из формулы (1)    25,4=4,46 ω1

Пример

Тело вращается вокруг вертикальной оси «Z» под действием пары сил с моментом . Момент инерции тела относительно оси вращения (OZ)Jz=3 кг м2

Необходимо определить угловую скорость тела в момент времениt1=3 с, если в начальный момент тело не вращалось.

Решение

Для решения поставленной задачи применим теорему об изменении кинетического момента тела относительно оси вращения – осиZ:

, где

В данном случае

или ,

или  , или .

Разделяя переменные, получим .

Интегрируя, найдем . Постоянную интегрированияe1 найдем по начальным условиям приt=0  ω0=0, откуда .

Таким образом, закон изменения угловой скорости

Если подставить сюдаt1=3 с получим

18. Работа и мощность силы

Элементарная работа силыdA на действительном перемещении точки ее приложения равна скалярному произведению силы на дифференциал  радиус-вектора , определяющего положение точки приложения этой силы, то есть

(1)

Если перейти к системе координат Эйлера, учитывая, что , то элементарную работу силы можно выразить следующим образом

, то есть (2).

здесьds – дифференциал дуговой координаты, которая на уровне бесконечно малых величин совпадает с понятием пройденного пути точкой приложения силы.

Если расписав скалярное произведение векторов в аналитическом виде, то формула (1) приобретает следующий вид

(3)

Здесь  - проекции силы на соответствующие координатные оси;dx,dy,dz – дифференциалы координат, определяющих положение точки приложения силы.

Формуле (2) можно придать несколько иной вид учитывая, что , где - радиус кривизны траектории движения, а - дифференциал угла смежности (См. естественный способ задания движения материальной точки).

(4)

здесь -проекция силы на тангенциальную ось,  - момент силыF относительно центра кривизны траектории движения точки приложения силы . Следует учесть, что при вращательном движении тела центры кривизны всех его точек лежат на оси вращения, следовательно  приобретает смысл момента силы относительно оси вращения, а при плоско-параллельном движении согласно теореме Шаля за центр кривизны следует принять мгновенный центр

вращения, положение которого совпадает с мгновенным центром скоростей.

Интегрируя выражения (1), (2), (3) и (4), найдем полную работу силы.

, (5)

, (6)

, (7)

. (8)

Интегралы (5), (6), (7) криволинейные, которые находятся с помощью специальных методов, однако, если удается получить функции только одной переменной эти интегралы превращаются в обыкновенные. Интеграл (8) всегда обычный, в чем его преимущество перед другими.

Единица измерения работы силы очевидна из формулы (1)

, то есть [н*м]=[н]*[м],  откуда следует, что единицей измерения работы силы джоуль – [н*м].

Если левые и праве части выражений (1) и (4)  разделить на дифференциал времени, то получим формулы по которым можно определить мощность силы.

, (9).

. (10)

Единицей измерения мощности силы является [ватт]=[н*м/с].

Формулы (8) и (10) можно использовать для вычисления, работы и мощности пар сил, соответственно.

19. Работы сил, вычисляемые непосредственно по заданным силам и перемещениям.

1. Работа силы тяжести

Для вычисления ее работы используем формулу (3) .

, где  может быть положительной и отрицательной, поэтому .

2. Работа центральной силы .

Рассмотрим случай, когда центр (т.О) куда направлена сила совпадает с началом отсчета радиус-вектора . Тогда при  по формуле (3) имеем

.

Чтобы избавиться от символов векторных величин используем равенство  и найдем дифференциалы левой и правой частей  или , откуда .

Тогда элементарная работа силы

Интегрируя получим .

Сила упругости  представляет собой частный случай центральной силы. Пусть она всегда будет направлена по осиX

. Если за начало отсчета принять точку (10), в которой  и она совпадет с начальным положением материальной точки, то  и - приобретает смысл полной деформации

пружины ().  Тогда работа силы упругости может быть выражена формулой

. Следует учесть, чтоx1 может оказатьсяx0 и тогда работа от силы упругости будет положительной.

3. Работа силы гравитации

Величина силы гравитации определяется по формуле . Здесьk – гравитационная постоянная;m1,m2 – массы тел;r – кратчайшее расстояние между телами. Принимая во внимание, что сила гравитации направлена всегда противоположно радиус-вектору, запишем ее так .

Проекции этой силы на оси координат ; ; .

Элементарная работа такой силы по формуле (3).

Интегрируя, получим .

Для постоянных сил и моментов пар сил формулы (6) и (8) принимают вид

и .

Необходимо учитывать, что работа силы может быть:

- больше нуля, если направление силы соответствует направлению перемещения, которое и указывается направлением скорости ;

- меньше нуля, если направление силы не соответствует направлению перемещения;

- равно нулю, если сила перпендикулярна к направлению перемещения

20. Теорема о работе равнодействующей и главного вектора

Равнодействующая  и главный вектор системы сил определяются одинаково

(1)

Теорема о работе равнодействующей и главного вектора утверждает, что:

«Работа равнодействующей/главного вектора системы сил равна алгебраической сумме работ всех сил, входящих в эту систему.»

Доказательство

Умножив скалярно левые и правые части векторных равенств на дифференциал () радиус-вектора, определяющего положение точки приложения равнодействующей/центра приведения главного вектора, получим

или  , а интегрируя, получим . Аналогично для главного вектора .

21. Работа и мощность произвольной системы сил, действующих на твердое тело

Пусть на свободное твердое тело действует произвольная система сил . Выберем в теле т.О за полюс. Тогда абсолютная скоростьk-ой точки тела

,

где  - угловая скорость вращения тела вокруг мгновенной оси Р, проходящей через полюс т.О; - радиус-вектор определяющий положениеk-ой силы.

Сначала найдем мощность однойk-ой силы .

Здесь - момент силы  относительно мгновенной оси Р.

Окончательно имеем , откуда находим  или

.

Элементарная работа всех сил, действующих на твердое тело:

 или

,где

- главный вектор сил

- проекция главного момента сил системы на ось ρ, происходящей через полюс (центр приведения) т.О. Тогда:

,

то есть элементарная работа всех сил, действующих на твердое тело, равна сумме элементарных работ главного вектора и проекции главного момента на мгновенную ось вращения (ρ).

Мощность всех сил:  .

Если тело двигается поступательно, тоω=0, = ωdt = 0

;

Если тело вращается вокруг неподвижной оси, то выбрав за полюс т.О, лежащую на этой оси, получим:     и тогда     и  ,

где φ-ось вращения тела.

Интегрируя, найдем  , а приМρ=const,

Если тело движется плоско-параллельно, то

,

.

Пример 1.

На тело действует силаF = 4x3, которая направлена по отношению к осиОх под постоянным угломα = 30о. Необходимо опредлить работу этой силы при перемещении тела из положения с координатойх0 = 0 в положение с координатойх1=1м.

Решение:

Работа переменной силы:

Пример 2.

К барабану «1» приложена пара сил с постоянным моментомМ = 10н.м.Цилиндр «2» массойm2 = 10 кг катится без скольжения по неподвижной шероховатой поверхности. Коэффициент трения каченияδ = 0,01 м. Необходимо определить работу всех сил, действующих на эту механическую систему при повороте барабана «1» наN1 = 10 оборотов.

Решение:

Силы, действующие на данную механическую систему показаны на рисунке:

силы тяжести тел «1» и «2»

М – пара сил,

- момент трения качения, который должен быть направлен противоположно угловой скорости тела «2»,

реакция неподвижной опоры,

- реакция поверхности, направленная по главной нормали к поверхности(N2=G2)

сила трения, причемFтр=fтр качN2 не известна по величине.

Направление перемещение указывается скоростями. Чтобы найти соотношения между перемещениями, найдем сначала соотношения между скоростями:

откуда ω21.

ЗдесьРv – мгновенный центр скоростей для тела «2», которое движется плоско-параллельно,

РvВ – расстояние от мгновенного центра скоростей Рv до точки В.

Скорость т.С2 :

Соотношение между перемещениями точно такие же, как и между скоростями (за исключением случая колебаний). Это легко показать, например:

и интегрируя, получим  , таким образомφ21 (т.к. ω21)

Работа всех сил, действующих на механическую систему, равна сумме работ каждой из сил, то есть для данной механической системы:

Работы , так как точка приложения этих сил неподвижная.

, так как перемещение точек приложения этих сил перпендикулярны силам.

Определим чему равна работа силы тренияFтр, приложенной в мгновенном центре скоростей.

(υPv=0 по определению мгновенного центра скоростей)

Работа момента пары сил:

Момент трения:  .

Работа от момента трения:

(ускорение земного притяженияg приняли равным 10м/с2)

Таким образом:

Пример 3.

К диску диаметром D=0,2м, который вращается с угловой скоростью ω=100с-1, прижимаются две колодки с силой F=200Н. Необходимо определить мощность силы трения, если коэффициент трения скольжения тормозных колодок о диск f=0,2.

Решение:

Силы трения  между колодками и диком показаны на рисунке. Они направлены противоположно скоростям в точках их приложения и образуют пару сил с моментом:

Так какМтр=const, мощность этого момента трения определим по формуле:

Знак минус появился из-за того, что Мтр направлен противоположно ω.

22. Кинетическая энергия материальной точки и механической системы.

Кинетическая энергия материальной точки.

Кинетическая энергия материальной точки определяется по формуле:

, где

m – масса,

υ – абсолютная скорость

Этой формуле можно придать иной вид:  .

Из этих формул очевидно, что кинетическая энергия материальной точки всегда положительная.

Кинетическая энергия механической системы.

Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий материальных точек и твердых тел, входящих в эту систему, то есть

Формулы для определения кинетических энергий тел зависят от вида движения этих тел.

Если механическая система состоит только из материальных точек, то справедлива теорема Кёнига, которая утверждает, что:

Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетической энергии ее центра масс (т.С) в предположении, что масса m всей системы сосредоточена в этой точке, и кинетической энергии материальных точек в их движении по отношению к центру масс, то есть:

, где

- масса всей механической системы,

υс – скорость центра масс,

- кинетическая энергия материальных точек, входящих в механическую систему, в их движении по отношению к центру масс,

mk масса к-ой материальной точки,

- скорость к-ой материальной точки по отношению к центру масс.

Доказательство:

Кинетическая энергия механической системы:

Здесь абсолютная скорость к-ой материальной точки:

(по теореме скоростей для сложного движения, причем )

Тогда:

(радиус-вектор, определяющий положение центра масс механической системы по отношению к самому себе, поэтому ).

Окочательно имеем:

, что и требовалось доказать.

23. Кинетическая энергия твердого тела.

Если тело движется поступательно, то его кинетическая энергия:

,

Так как при поступательном движении скорости всех точек тела одинаковые. Итак, формула для вычисления кинетической энергии тела при поступательном движении имеет вид:

, где

М – масса тела,

υ – скорость любой точки тела.

Если тело вращается вокруг оси «z», то

, то есть окончательно:

, где

Jz – момент инерции тела относительно оси вращения,

ω – угловая скорость тела.

Если тело движется плоско-параллельно, то на основании теорем Шаля (плоско-параллельное движении эквивалентно вращательному движению вокруг мгновенной оси вращения, проходящей через мгновенный центр вращения, положение которого совпадает с положением мгновенного центра скоростей) кинетическую энергию тела можно определить по формуле:

, где

pvz– ось, проходящая через мгновенный центр скоростей.

По теореме Штейнера:   .

С учетом этого:  ,

а окончательно: , где

Jcz*- момент инерции тела относительно осиz*, проходящей через центр масс тела (т.С) и параллельной осиz, проходящей через мгновенный центр скоростей, причем эти оси должны быть перпендикулярны плоскости, параллельно которой движется тело.

Пример 1.

Необходимо определить кинетическую энергию механической системы, изображенной на рисунке, если массы телm1=5кг, m2=10кг, m3=20кг радиусы дисковR2=0,5м,r3=0,8м,R3=1,2м, радиус инерции тела «3»i3x=1м, причем тело «1» движется со скоростьюυ=2м/с, тело «2» – однородный диск.

Решение:

Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий тел, входящих в нее, то есть Т=Т123.

Так как тело «1» движется поступательно, то:

Так как тело «2» вращается вокруг неподвижной оси вт.С2, то:

Момент инерции для однородного диска:

Угловая скорость:

с учетом этого:

Так как тело «3» двигается плоско-параллельно, то:

Здесь угловая скорость тела «3»:

(Pv- мгновенный центр скоростей для тела «3»);

Скорость центра масс тела «3»:

Момент инерции тела «3» относительно оси, проходящей через его центр масс:

Тогда:, а кинетическая энергия данной механической системы:

24. Теорема об изменении кинетической энергии.

Эта теорема существует в трех формах: в форме дифференциалов, в форме производной и в интегральной (конечной) форме. Первые две формы можно использовать для сил любой функциональной зависимости, а третью форму только для постоянных сил, или сил, зависящих только от перемещения точек приложения сил. Третью форму рационально использовать, если необходимо найти зависимость скорости от перемещения. Вторую форму, как правило, используют для определения ускорения.

Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки:

  1. В форме дифференциалов теорема утверждает, что: «Дифференциал кинетической энергии материальной точки равен элементарной работе равнодействующей сил, действующих на эту точку», то есть:(1)
  2. В форме производной теорема утверждает, что: «Производная по времени от кинетической энергии материальной точки равна мощности равнодействующей сил, действующих на эту точку», то есть:   (2)
  3. В интегральной форме теорема утверждает, что: «Изменение кинетической энергии материальной точки, которое произошло на некотором ее перемещении, равно работе равнодействующей сил, действующих на эту точку», то есть:, где

Т*0 – значения кинетической энергии в конце и в начале перемещения.

Доказательство:

На основании принципа независимости действия сил, можно записать, что:

или, где R – равнодействующая.

Умножив скалярно левую и правую части последнего векторного равенства на дифференциал () радиус-вектора, определяющего положение материальной точки и перегруппировав дифференциалы, получим:

или.

Если подвести скорость υ под символ дифференциала, то будем иметь выражение:

или,

что соответствует утверждению первой формы теоремы.

Если левую и правую части последнего векторного равенства разделить на дифференциал времени, то получим:

или,

что соответствует утверждению второй формы теоремы.

Если интегрировать выражение:  , то будем иметь:

или,

что соответствует утверждению третьей формы теоремы.

Пример 2.

Материальная точка массой m=2кг перемещается из положения М0 в положение М1,

Причем ее скорость в этих точкахυм0=8м/с иυм1=4м/с. Необходимо определить работу равнодействующей сил, действующих на материальную точку.

Решение:

Работа равнодействующей входит в интегральную форму теоремы об изменении кинетической энергии материальной точки:

В данном случае:, тогда

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы:

Эта теорема в форме дифференциалов утверждает, что: «Дифференциал кинетической энергииT механической системы равен сумме элементарных работ всех внешних и всех внутренних сил, действующих на эту систему», то есть:

(1)

Доказательство:

Для каждой материальной точки, входящей в механическую систему, закон о независимости действия сил имеет вид:

,k=1,2,…,n

Умножая скалярно векторное равенство на дифференциал () радиус-вектора и перегруппировав дифференциалы, получим:

или.

Сложив эти векторные равенства по индексу «k» и учитывая, что операции суммирования и нахождения дифференциалов можно поменять местами, получим:

или

,

что и требовалось доказать, так как

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы в форме производной утверждает, что: «Производная по времени от кинетической энергии механической системы равна сумме мощностей всех внешних и всех внутренних сил, действующих на эту систему», то есть:

,k=1,2,3,…,n

Доказательство:

Разделив на дифференциал времени(dt) левую и правую часть равенства (1), получим:

или,

что  и требовалось доказать.

Теорема об изменении кинетической энергии в интегральной (конечной) форме утверждает, что: «Изменение кинетической энергии механической системы, которое произошло на некотором ее конечном перемещении, равно сумме работ на этом перемещении всех внешних и всех внутренних сил, действующих на эту систему», то есть:

,k=1,2,3,…,n(3)

Здесь T*,T0 – кинетическая энергия механической системы в конце и в начале перемещения.

Доказательство:

Интегрируя равенство (1), получим:

,

что и требовалось доказать.

Можно показать, что, если на механическую систему наложены неизменяемые идеальные связи, то сумма работ внутренних сил, действующих на такую систему, будет равна нулю, то есть:.

Механическая система представляет собой совокупность попарно взаимодействующих материальных точек, а действуют они друг на друга с силами равными по величине, направлены по одной прямой, но в противоположные стороны (см. рисунок).

Сумма элементарных работ таких сил:

Если механическая система неизменяемая, то

, а следовательно

Тогда сумма работ всех внутренних сил, действующих на неизменяемую механическую систему:

Пример 1.

Определить скорость центра масс тела «3», когда груз «1» пройдет расстояние S1=2м, если массы тел m1=8кг,m2=4кг,m3=4кг, тела «2» и «3» представляют собой однородные диски с одинаковыми радиусами r=0,5м. В начальный момент времени данная механическая система находилась в покое.

Решение:

Эта механическая система состоит из тела «1», которое двигается поступательно, тела «2», которое совершает вращательное движение, и тела «3», которое движется плоско-параллельно. Поэтому:

Скоростиυ1 , ω2 , ω3 должны быть выражены через скоростьυс3,так как именно эту скорость необходимо определить.

  Момент инерции:

Тогда:

Данная механическая система является неизменяемой. Поэтому сумма работ всех внутренних сил равна нулю, то есть:

Из внешних сил совершают работу только силы тяжести G1 иG2. Тогда:

Работа от силы тяжести:

Работа от силы тяжести:

Перемещение точкиC3 найдем, используя соотношение между скоростямиυс3и υ1, то есть: . Поэтому: .

Тогда:

Для определения зависимости между скоростью и перемещением применим теорему об изменении кинетической энергии в интегральной форме:

В начальный момент времениυс3=0 , поэтому Т0=0. Тогда:

, откуда при

Пример 2.

Два груза весом Р1 и Р2 подвешены на гибких нерастяжимых  и невесомых нитях, которые намотаны на ступенчатый блок радиусами r и R и весом Р3. Момент инерции блока «3» относительно оси вращения J. Предполагая, что эта механическая система движется только под влиянием сил тяжести причем Р122*r и пренебрегая трением, необходимо определить угловое ускорение блока.

Решение:

Исследуемая механическая система неизменяемая, поэтому теорема об изменении ее кинетической энергии в диффренциальной форме имеет вид:

(1)

Грузы движутся поступательно, поэтому их кинетические энергии:

Блок «3» вращается вокруг неподвижной оси, поэтому:

Кинетические энергии отдельных тел и всей механической системы необходимо выразить через угловую скорость ω3, учитывая, что:

,  т.е.

Сумма мощностей внешних сил, действующих на эту систему:

.

Мощности остальных сил равны нулю, так как точка приложения этих сил (т.О) неподвижная. Найдем мощности Р1 и Р2.

Тогда:.

Производная по времени от кинетической энергии данной механической системы

Подставляя найденные  и  в равенство (1), получим , откуда получим

25. Потенциальное силовое поле.

Силовое поле- это область физического пространства, в каждой точке которой действуют силы, зависящие явно только от координат, определяющих положение исследуемого объекта и времени. Если силы поля явно от времени не зависят, то они называются консервативными, силовое поле, в котором действует только такие силы, называется силовым потенциальным полем. Дальше пойдет речь о таких полях, где проекция сил поля на оси декартовой системы координат не зависят явно от времени:

Структуру силового поля можно выявить с помощью силовых линий, дифференциальные уравнения которых имеют вид:

Признаком существования силового поля является наличие такой функции , частные производные от которой по координатам будут равны проекциям сил на соответствующие оси, то есть

и выполнение требований, чтобы:

Действительно, если силовое поле существует, то существует и силовая функция , тогда  и аналогично для остальных равенств.

Силовая функция потенциального силового поля является функцией нескольких переменных. Поэтому полный дифференциал этой функции, если она не зависит от времени явно, имеет вид

или окончательно  (2),

то есть дифференциал силовой функции равен элементарной работе силы тока.

Равенство (2) может быть использовано для нахождения силовой функции с точностью до постоянного интегрирования, потому, что интегрируя равенство (2), получим

или окончательно  (3).

1. Если равенство (3) положить А=0, то получим уравнение поверхности, при перемещении исследуемого объекта по которой силы поля не будут совершать работу. Такие поверхности называются поверхностями уровня.

2. Если материальная точка движется в силовом потенциальном поле, то работа силы поля не зависит от траектории движения этой точки.

3. Если материальная точка движется в силовом потенциальном поле по замкнутой траектории и возвращается в первоначальное положение, то работа силы поля на таком перемещении этой точки равно нулю, то есть

4. Сила поля совершает работу только при переходе материальной точки с одной поверхности уровня на другую.

5. Сила поля всегда направлена по главной нормали к поверхности уровня, так как  (4)

Здесь дифференциал  радиус-вектора , определяющее положение материальной точки, которая перемещается по поверхности уровня, направлен всегда по касательной к этой поверхности. Равенство (4) выполняется, если  перпендикулярна дифференциалу .

6. Сила поля всегда направлена в сторону возрастания силовой функции  и А>0 (см. формулу 3), но  только в том случае, когда направление силы  соответствует направлению перемещения.

Так силовая функция определяется равенством  с точностью до постоянной интегрирования, то можно за счет выбора этой постоянной интегрирования всегда сделать так, чтобы в особом положении механической системы силовая функция  обратилась в нуль, то есть . Тогда получим, что

,

то есть силовую функцию можно определить как работу, выполненную силой поля, при перемещении исследуемого объекта из положения, где силовая функция принята равной нулю, в произвольное положение. Кроме силовой функции встречаются понятие потенциальной энергии, как работа силы поля при мысленном перемещении исследуемого объекта из произвольного положения в положение, где потенциальная энергия была принята нулю. Из этого определения следует, что потенциальная энергия П равна силовой функции с обратным знаком, то есть .

В качестве особого положения механической системы, где силовая функцияU и потенциальная энергия “П” равны нулю, рационально принимать или начальное положение механической системы, или положение её устойчивого равновесия, если такое положение имеется. Под положением устойчивого равновесия механической системы следует понимать такое ее положение, в которое она возвращается под действием сил поля, после прекращения действия других сил или иных причин, из-за которых механическая система покинула это свое положение устойчивого равновесия.

Примеры силовых потенциальных полей.

  1. Поле силы тяжести

Сила тяжести является частным случаем силы гравитации в условиях планеты Земля. Хотя сила тяжести имеет постоянную величину и направление (область действия силы тяжести не соответствует определению силового поля), все-таки можно говорить о поле силы тяжести, как о частном случае поля гравитации.

Проекции силы тяжести на оси системы координат Декарта: , поэтому , откуда интегрируя, получим , где С- постоянная интегрирования.

Поверхностями уровня будутz=const, то есть плоскости ”П” параллельные координатной плоскостиxOy.

2. Поле центральной силы

, где ,x,y,z- координаты точкиM, к- коэффициент пропорциональности.

Проекции центральной силы на координатные оси .

Тогда . Дифференциал от функции  , следовательно , откуда интегрируя, получаем:

и .

Полагая , получим уравнение поверхности уровня: , то есть уравнение сферы, центр симметрии которой совпадает с началом отсчета координат (с центром, в которой направлена сила).

3. Поле силы гравитации

Силу гравитации представим в следующем виде  (см. работу силы гравитации). Её проекции на координатные оси равны:

.

С учетом этого .

Интегрируя выражение , получим .

В данном случае поверхности уровня представляют собой сферы, центры которых совпадают с центром куда направлена сила гравитации (с началом отсчета системы координат).

26. Закон сохранения механической энергии

Под механической энергией Е понимают сумму кинетической и потенциальной энергий, то есть Е=Т+П.

Пусть на механическую систему действует только консервативные внутренние и внешние силы. Тогда работа от консервативных внутренних сил , где - значения потенциальной энергии поля внутренних сил в начальном и конечном положениях механической системы.

Работа консервативных внешних сил , где -значения потенциальной энергии поля внешних сил в начальном и конечном положении механической системы.

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы в интегральной форме в этом случае принимает вид:

или

Это уравнение выражает закон сохранения механической энергии: “Если внешние и внутренние силы, действующие на механическую систему, консервативны, то полная механическая энергия этой системы остается постоянной за все время её продвижения”.

Механические системы, для которых справедлив закон сохранения механической энергии, называются консервативными.

Пример 1

Необходимо вычислить полную механическую энергию физического маятника весом  в зависимости от угла отклонения φ (см. рис), если центр тяжести (т. С) отстоит от оси вращения маятника в т. О на расстояниеl; момент инерции маятника относительно главной центральной оси инерции - .

Решение.

Механическая энергия маятника Е = Т + П. Здесь: Т – кинетическая энергия маятника, П – потенциальная энергия маятника.

Силой поля тяжести является силаP =mg. Поэтому

Кинетическая энергия маятника

По теореме Штейнера , поэтому

Тогда полная механическая энергия

Если маятник будет иметь угловую скорость  в каком-нибудь положении, то в этом положении кинетическая энергия Т = 0 и Е = П.

Например при ,φ = 0 , а при  и

  (cosπ = -1)

При  и   потенциальная энергия П = 0 ,, а механическая энергия маятника при  будет равна только кинетической энергии, то есть

При  ,   и  механическая энергия маятника Е = 0.

27. Дифференциальные уравнения движения твердого тела.

1. При поступательном движении твердого тела дифференциальное уравнение движения можно получить с помощью теоремы о движении центра масс, или с помощью теоремы об изменении количества движения в форме производной, то есть

, или .

Проектируя эти векторные равенства на оси декартовой системы координат получим

(1)

Здесь проекции главного вектора на оси координат

Дифференциальные уравнения (1) точно такие же как для одной материальной точки, поэтому примеры их применения рассматриваться не будут.

2. При вращательном движении твердого тела дифференциальное уравнение движения можно получить с помощью теоремы об изменении кинетического момента на ось вращения (z) . Здесь: кинетический момент тела относительно оси вращения (z) , а  проекция главного момента внешних сил на осьz.

. С учетом этого , откуда при   или .

Пример 1.

На твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной осиz действует пара сил с моментом , гдеA,k =const. Момент силы сопротивления пропорционален угловой скорости вращения этого тела, то есть

, где

Необходимо найти уравнение вращательного движения твердого тела, если ось вращения – главная центральная ось инерции и момент инерции тела относительно этой оси . В начальный момент времени тело находится в покое.

Решение.

В общем случае дифференциальное уравнение вращательного движения имеет вид

В данном случае дифференциальное уравнение имеет вид  или

Если записать это уравнение следующим образом

, то становится очевидным, что полученное уравнение является линейным, неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка. Полное общее решение таких уравнений складываются из общего решения  однородного дифференциального уравнения ,(2) соответствующего исходному, и частичного решения , удовлетворяющему уравнению ,(3).

Чтобы найти общее решение уравнения (2) составим характеристическое уравнение

Найдем его корни ,  и по корням характеристического уравнения запишем это общее решение

Так как правая часть уравнения (3) тригонометрическая функция, то частное решение будем искать в следующем виде:

От этого выражения найдем производные по времени, подставим их в уравнение (3), найдем значения параметровD иE:

, откуда

 ;  .

Выделив параметрыD иE, можем записать частное решение:

,

а также полное общее решение:

(4)

Чтобы определить постоянные интегрированияc1 иc2надо:

- найти производную по времени от выражения (4):

(5)

- в равенства (4) и (5) подставить начальные условия при ,,

(6)

(7)

- из равенств (6) и (7) можно определить с1и с2:

 ;

С учетом этого:

3. При плоско-параллельном движении твердого тела дифференциальные уравнения движения можно получить, применяя теорему о движении центра масс (приняв центр масс за полюс) и теорему об изменении проекции кинетического момента тела на ось, перпендикулярную к плоскости, параллельно которой движется тело и проходящую через его центр масс.

В этом случае:

(1)

Как правило, эта система уравнений не замкнута в том, что число неизвестных оказывается в больше числа уравнений. Поэтому к системе уравнений (1) приходится добавлять уравнения связей и кинематические зависимости между скоростями.

Катушка массой “m” катится под действием силы , направленной под углом α к горизонтальной оси x. Определить закон движения центра масс катушки, если известны радиусы r, R и ее момент инерции J относительно главной центральной оси инерции -

Решение.

Силы действующие на катушку показаны на рисунке. С учетом действия этих сил дифференциальные уравнения имеют следующий вид:

Эти дифференциальные уравнения должны быть дополнены уравнением связи  и кинематическим соотношением , откуда .

С учетом этих соотношений:

=>

Умножив уравнение (1) на радиусR и сложив результирующее уравнение с уравнением (3) получим:

, откуда найдем

.

Интегрируя это уравнение два раза, найдем закон движения центра масс с точностью постоянных интегрирования:

(4)

При желании, используя уравнения (1), (2) и результат решения (4), можно определить силу тренияFтр. Если она получится отрицательной, то на расчетной шкале надо измерить ее направление на противоположное и снова решить поставленную задачу.

28. Принцип Даламбера для материальной точки и механической системы.

§1 Принцип Даламбера для материальной точки

Принцип Даламбера дает метод, с помощью которого уравнениям динамики придается вид уравнений статики.

Пусть материальная точка М массыm движется под действием системы силF1,F2, …Fn с ускорениемa. (рис 1)F = ΣFk.

Основной закон динамики имеет вид:

Рис. 1

ma =F1 +F2 +…+Fn                                                         

Перенесем членma из левой части уравнения в правую:

0 =F1 +F2 +…+Fn-ma .         (1.1)

Сила Φ = -ma                             (1.2) равняется по модулю произведению массы материальной точки на модуль её ускорения, направленная противоположно ускорению, называемомусилой инерции этой точки.Сила инерции материальной точки является противодействием со стороны точки и приложены к телу, сообщающему этой точки ускорение. С учетом (1.2), (1.1) примет вид:

F1 +F2 +…+Fn + Φ = 0(1.3)

Полученное соотношение формулируется так: геометрическая сумма всех приложенных к точке сил и силы инерции этой точки равны нулю. Приложение силы инерции к точке является только условным приемом, сводящим задачу динамики при решении к задачи статики.

§2 Принцип Даламбера для механической системы

Рассмотрим несвободную механическую систему, состоящую изn материальных точек. Применим к каждой точке Мк этой системы принцип Даламбера.

Тогда:

Fka + Fkr+ Φk = 0;           (k = 1, 2,…n),                      (2.1)

гдеFka- равнодействующая активных сил, приложенных к точке Мк;

Fkr – равнодействующая реакций связей, приложенных к этой точке;

Φk  = -mkak – сила инерции материальной точки Мк.

Уравнение выражает иринции Даламбера для несвободной механической системы:

В любой момент времени геометрическая сумма равнодействующей активных сил, равнодействующей реакции связей и силы инерции для каждой материальной точки несвободной механической системы равна нулю:

Сложим всеn  уравнений (2.1)

ΣFka +ΣFkr+ ΣΦk = 0                               (2.2)

Здесь ΣFka=Ra – главный вектор активных сил,

ΣFkr =Rr-  главный вектор реакции связей,

ΣΦk =Ru-  главный вектор сил инерции точек системы.

Подставляем эти значения в (2.2)

Ra +Rr +Ru = 0                                 (2.3)

Проведем из произвольного неподвижного центра О в каждую точку системы Мкрадиусы-векторыrk. Умножим векторы слева наrk каждый из векторов равенства (2.1) и сложим всеn полученных уравнений по индексуk. В результате получим:

рис.2

ΣrkFka + ΣrkFkr + ΣrkΦk = 0                   (2.4)

Здесь ΣrkFka = Σm0(Fka) = М0а – главный момент активных сил относительно центра О.

       ΣrkFkr = Σm0(Fkr) = М0r - главный момент реакции связей относительно центра О.

         ΣrkΦk = Σm0kr) = М0u- главный момент сил инерции точек системы относительно центра О.

Подставляя эти значения в уравнение (2.4),  получаем:

М0а + М0r + М0u = 0;

Приведение сил инерции точек твердого тела к простейшему виду

Для составления уравнений статики к системе сил инерции точек твердого тела можно применить основную теорему статики. За центр приведения сил инерции удобно выбрить центр масс тела С. Тогда в результате приведения получится сила, равнаяRu, и пара сил с моментом Мсu;

Ru =  ΣΦk = - Σmkak(2.6)

Мсu = Σmc(Φk) = -(Σrkmkak),             (2.7)

гдеrk проводится из центра масс

Количество движения механической системы:

ΣmkVk =MVc

Продифференцируем это выражение по времени:

Σmk· ; или Σmkak = Мас

Используя это сочетание, получимглавный вектор сил инерции точек твердого тела при любом его движении

Ru = -Mac(2.8)

Главный момент сил инерции точек тела относительно центра масс определим для частных случаев движения твердого тела.

Поступательное движение

В случае поступательного движения ускорения всех точек тела равны ускорению его центра масс. Следовательно

Мсu = -(Σrkmkak) = - Σ(rkmkaс) = -(( Σmkrk)aс) = -Mrcaс = 0       так как радиус-вектор центра массrc = Σmkrk/М относительно центра масс равен нулю.

Таким образом при поступательном движении тела силы инерции его точек приводятся к равнодействующей, приложенной в центре масс тела и равной главному вектору сил инерцииRu = -Mac

Вращение тела, имеющего плоскость материальной симметрии вокруг неподвижной оси, перпендикулярной этой плоскости (главной оси инерции)

Рис 3.

Рис. 4

В этом случае каждой точке Мk соответствует точка М’’kтакой же массы, симметричная относительно заданной плоскости.

Из кинематики известно, что ускорения всех точек, равноудаленных от оси вращения, равны. Поэтому силы инерции Φk = -mkak и Φk’’ = -mkak’’ точек Мk и М’’k и их равнодействующая приложения в точке Мk,

Таким образом, сложение сил инерции точек тел в этом случае движения сводится к сложению сил инерции точек материальной плоской фигуры, имеющей массу данного тела и тот же момент инерции относительно оси вращения (рис. 4).

Приведем силы инерции точек фигуры к центру её вращения О (рис. 4).

Получим силу приложенную в точке О и равнуюRu = -Mac, и пару сил, лежащую в плоскости фигуры. Момент пары

М0u = Σmо(Φk) = -(ΣΦkτOMk) = -(ΣmkakτOMk) = -(ΣmkOMk2);

ЗдесьΣmkOMk2 = Σmkhz2k =Jz – момент инерции материальной плоской фигуры относительно осиOz, равный моменту инерции исходного тела относительно этой оси.

Таким образом, момент пары, составленной силами инерции равен

М0u = -Jzε                                (2.9)

Если ось вращения проходит через центр масс тела, который лежит в плоскости материальной симметрии и является неподвижным, то

Ru =Mac = 0.

Приводя силы инерции точек фигуры к центру её вращения С, получим, что силы инерции точек тела приводятся только к паре сил, лежащей в плоскости материальной симметрии, момент которой определяется по формуле

Mucz = -Jczε              (2.10)

Плоское движение тела

Рассмотрим движение тела, имеющего плоскость материальной симметрии, при которой все точки тела движутся параллельно этой плоскости. Это движение можно разложить на поступательное движение с центром масс тела С и вращательное вокруг подвижной оси, проходящей через С перпендикулярно плоскости симметрии.

Рассуждая аналогично вращательному движению, получим, что силы инерции точек тела приводятся к силе, приложенной в центре масс и равной главному вектору сил инерции, и к паре сил, лежащей в плоскости симметрии, момент которой равен

Mucz = -Jczε.

Рис 5 а)

Рис 5 б)

Определение динамических реакций подшипников при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, под действием привоженных к нему внешних силF1e,F2e, …,Fne рис 6(а).

В рассматриваемый момент тело имеет угловую скорость ω и угловое ускорение ε. Применяя принцип Даламбера, приложим к каждой точке Мк силу инерции Φк = -mkak.

При неравномерном вращении тела эта сила состоит из вращательной силы инерцииΦkτ, направленной противоположно вращательному ускорению точки Мк и центростремительной силы инерцииΦkn, направленной противоположно центростремительному ускорению этой точки. Применяя аксиому статики об освобождаемости от связей, заменим действие на тело подпятника А и подшипника В реакциямиRAиRB, разложив их на составляющие ХА, УА,ZA, ХВ, УВ.

Расстояние АВ между опорами тела обозначимh. Из (2.3) и (2.5) следует:

ΣFke + RA + RB + Ru = 0;

ΣmA(Fke) + mA(RA) + mB(RB) + MuA = 0      (2.11)

гдеmA(RA) = 0.

Этим уравнениям соответствуют шесть скалярных уравнений (рис. 6):

ΣFekx +XA +XB +ΣΦkx = 0;Σmx(Fke) – УB·h +Σmx(Φk) = 0;

ΣFekу + УA + УB +ΣΦkу = 0;Σmу(Fke) – ХB·h +Σmу(Φk) = 0;     (2.12)

ΣFekz +ZA = 0;Σmz(Fke) +Σmz(Φk) = 0;

Рис 6.

Выведем формулы для вычисления суммы проекций сил инерции на оси координат и их моментов относительно этих осей.

Φкn =mкакn =mкrк·ω2кτ =mкакτ =mкrк·ε;

гдеrк – радиус окружности, описываемой точкой.

Их проекции на оси координат (рис. 6 (б)):

Φкnх = Φкncosα =mкrк·ω2·(xк/rк) =mкxкω2;

Φкnу = Φкnsinα =mкrк·ω2·(Ук/rк) =mкукω2;

Φкτх = Φкτcosα =mкrк· ε·(xк/rк) =mкxкε;

Φкτу = - Φкτsinα = -mкrк· ε·(Ук/rк) = -mкукε;

Найдем суммы проекций сил инерции на оси х и у, используя формулы

МХс = Σmкxк и МУс = Σmкук

Σ Φкх = Φкnх + Φкτх =mкxкω2 +mкxкε = МХсω2 + МХсε.

Σ Φку = Φкnу + Φкτу =mкукω2 -mкукε = МУсω2 - МУсε.

Найдем суммы моментов сил инерции относительно осей х и у:

Σmxк) =Σmxкn) +Σmxкτ) = -ΣΦкnу·zк + ΣΦкτу·zк = - Σmкукω2·zк + Σmкxкε ·zк =    = - ω2mкук·zк)  + ε · (Σmкxк·zк) = - Ууz· ω2 + Уzx· ε,

где Ууz = Σmкук·zк и Уzx = Σmкzкxк – центростремительные моменты инерции тела относительно осей у,z иz, х.

Σmук) =Σmукn) +Σmукτ) = -ΣΦкnх·zк + ΣΦкτх·zк = Σmкхкω2·zк + Σmкукε ·zк =       = ω2mкхк·zк) +ε · (Σmкxк·zк) = Уzх· ω2 + Ууz· ε,

Σmzк) =Σmzкτ) = -Σmкrк· ε ·rк = - ε(Σmкrк2) = -Уzε.

Подставим найденные значения в уравнения (2.12)

ΣFekx +XA +XB+МХсω2 + МУсε= 0,

ΣFekу + УA + УB +МУсω2 + МХсε= 0,

ΣFekz +ZA = 0;(2.13)

Σmx(Fke) – УB· АВ -Уzx· ω2 + Уzх · ε =0,

Σmу(Fke) – ХB· АВ +Уzх· ω2 + Ууz· ε = 0,

Σmz(Fke) - Уzε = 0

Последнее уравнение представляет собой дифференциальное уравнение вращения тела. Из остальных пяти уравнений можно найти пять составляющих реакций подпятника А и подшипника В.

В первое, второе, четвертое и пятое уравнения (2.13), из которых находятся реакции связей, входят внешние заданные силы и слагаемые, полученные из сил инерции (выделены). Следовательно, каждая из этих реакций имеет статическую составляющую, вызываемую действием внешних заданных силFke и динамическую составляющую, зависящую от сил инерции. При быстром вращении тела динамические составляющие могут иметь большие значения.

Получим условия, при которых динамические составляющие реакций подшипника равны нулю. Чтобы получить эти условия, приравняем нулю сумму членов, зависящих от сил инерции, в каждом из уравнений (2.13):

МХсω2 + МУсε= 0;МУсω2 + МХсε= 0;(2.14)

-Уzx· ω2 + Уzх · ε =0;Уzх· ω2 + Ууz· ε = 0,(2.15)

Из системы уравнений (2.14) получаем:Хс = 0; Ус = 0.Это означает, что ось вращения телаZ должна быть главной осью инерции тела для начала координат.

Таким образом, установлено, что динамические составляющие реакций подпятника и подшипника равны нулю в том случае, если ось вращения тела является главной центральной осью инерции тела.

29.Введение в аналитическую механику. Понятие о числе степеней свободы. Уравнения связей.

Числом степеней свободыps называется число независимых перемещений, которые может совершать исследуемый объект. Например, у свободной материальной точки число степеней свободы равно трем , а для твердого тела, совершающего вращательное движение, число степеней свободы равно единице .

Из-за наличия связей, ограничивающих перемещение исследуемого объекта, материальные точки, входящие в него, могут двигаться только по вполне определенным кривым в пространстве. Так, если движение материальной точки ограничено невесомым стержнем, то она может двигаться только по окружности, радиус которой равен длине стержня. Уравнения кривых, по которым вынуждены двигаться материальные точки, называются уравнениями связей. Эти уравнения могут иметь вид:

;           ;                  .

Здесь:k-индекс материальной точки;i-индекс вида связи.

Если механическая система состоит только из материальных точек, то число степеней свободы этой системы можно определить как разность между общим числом степеней свободы материальных точек, предполагая их свободными, и числом уравнений связей, то есть

или      (1) при движении в плоскости

Для определения числа степеней свободы механических систем, состоящих из тел (механизмов и машин), существуют специальные методы, которые предлагаются в теории механизмов и машин. Однако в любом случае число степеней свободы механической системы равно числу дополнительных связей, которые надо наложить на механическую систему, чтобы она потеряла способность двигаться.

30.Понятие о возможных перемещениях, обобщенных координатах, вариациях обобщенных координат.

Возможными перемещениями материальных точек называются воображаемые, бесконечно малые перемещения этих точек, допускаемые связями. В отличие от действительных перемещений  возможные перемещения обозначаются символами .

Независимые переменные, с помощью которых можно однозначно определить состояние (координаты, скорость, ускорение) механической системы, называются обобщенными координатами. Они могут быть линейными, т.е. измеряться в единицах длины, и угловыми, измеряемыми как правило в радианах. Обобщенные координаты обозначаются , при чем число обобщенных координат всегда равно числу степеней свободы, то есть .

Воображаемые бесконечно малые изменения обобщенных координат, допускаемые связями, называются вариациями обобщенных координат.

Рассмотрим кривошипно-шатунный механизм, изображенный на рисунке. Здесь ОА=r, АВ=e. Будем предполагать, что данный механизм состоит из трех материальных точек О, А, В, связанных между собой невесомыми стержнями ОА, АВ. При этом перемещение всего механизма ограничено неподвижной шарнирной опорой в точке О и гладкой поверхностью, совпадающей с осью Оx. При таких связях их уравнения имеют вид:

  1. ;
  2. ;
  3. ;
  4. ;
  5. .

Число степеней свободы такого механизма по формуле (1):

.

Координаты, определяющие положение материальных точек механической системы, всегда можно представить в виде зависимости от обобщенных координат. Поэтому и уравнения связей, в которые входят координаты материальных точек, также могут быть представлены в виде функций только от обобщенных координат и времени.

За обобщенную координату для кривошипно-шатунного механизма можно принять одну угловую переменную , определяющую положение кривошипа, а следовательно и положение всего механизма. Тогда в уравнениях связей будет только одна переменная. Например, для рассматриваемого механизма:

1);

2);

3);

4);

5);

6).

Возможные перемещения точек механизма:

 или

;

Причем полный набор возможных перемещений для одного варианта имеет вид , а для другого варианта . При этом совершенно очевидно, что действительные перемещения принадлежат множеству возможных перемещений , то есть  ,  , . Этому набору возможных перемещений соответствует набор вариаций обобщенной координаты .

Всегда можно выразить возможные перемещения через вариации обобщенных координат. Пусть положение к-ой материальной точки определяется с помощью радиус-вектора , где . Полный дифференциал радиус-вектора , независящего явно от времени

.

Действительное изменение радиус-вектора  - это одно из возможных его изменений, то есть   и по индукции

     (2).

При решении практических задач зависимость возможных перемещений от вариаций обобщенных координат можно найти:1)с помощью уравнений связей, 2)из кинематических соображений, за исключением некоторых случаев,3)а также иногда из геометрических рассуждений. Для приведенного выше механизма использование уравнений связей дает следующие зависимости:

31. Классификация связей.

Если в уравнении связи не присутствует явно время, то такая связь называется стационарной, а если оно присутствует, то- нестационарной. Пример стационарной связи:   (1).

При этом материальная должна всегда находиться на окружности с постоянным радиусом  и эта окружность не изменяет своего положения в пространстве.

Если уравнение связи представляет собой строгое равенство, то такая связь называется удерживающей, а если неравенство, то - неудерживающей. Равенство (1) представляет собой уравнение удерживающей связи.

Уравнение неудерживающей связи имеет вид

.

Этот вид связи (гибкая нить) позволяет находиться материальной точке на окружности радиусом  и внутри ее.

Если уравнение связи можно проинтегрировать или оно содержит только координаты материальных точек, то такая связь называется голономной.

Если уравнение связи представляет собой дифференциальное уравнение, аналитическое решение которого пока невозможно найти, то такая связь называется неголономной. Равенство (1) представляет собой уравнение голономной связи.

Если работа реакции связи на любом перемещении равна нулю, то такая связь называется идеальной, а иначе - неидеальной. При наличии неидеальных связей их надо отбрасывать, заменив реакциями и эти реакции включать в число внешних сил.

32. Работа силы на возможном перемещении.

Обозначим работу силы  на ее возможном перемещении  как δАк . Эту работу, по аналогии с элементарной работой силы на действительном перемещении - , будем вычислять по формуле:

 (1).

Правую часть этого выражения можно выразить несколькими способами, а именно, раскрыв скалярное произведение и учитывая, что , получим:

 (2).

(здесь  - длина траектории, по которой может двигаться точка приложения силы)

Если скалярное произведение (1) представить в аналитическом виде, то

 (3).

Кроме этого длину элементарной дуги  можно определить как произведение радиуса кривизны траектории движения на элементарный центральный угол, опирающийся на эту дугу, то есть . С учетом этого элементарная работа силы на возможном перемещении:

(4).

Здесьt-тангенциальная ось, , СМ=ρ.

Если сила  приложена к телу, совершающему вращательное движение, то центр кривизны траектории движения точки приложения силы находится на оси вращения.

Если сила  приложена к телу, совершающему плоскопараллельное движение, то центр кривизны траектории движения точки приложения силы находится в мгновенном центре скоростей. Итак, очевидно, что работу силы на возможном перемещении можно вычислить как произведение момента силы относительно центра кривизны на угловое перемещение. Работа пары сил на возможном угловом перемещении вычисляется по формуле (4).

33. Принцип возможных перемещений.

Принцип возможных перемещений утверждает, что: «Для равновесия механической системы с удерживающими идеальными стационарными связями необходимо и достаточно, чтобы:

1) сумма элементарных работ всех активных сил, приложенных к системе, на ее любом возможном перемещении равнялась нулю, то есть ; (1)

2) В начальный момент времени скорости всех материальных точек системы были равны нулю ()».

Доказательство:

Необходимость. Пусть механическая система находится в равновесии. Следовательно,  и  для всех . Здесь  реакции связей. Если задать механической системе возможное перемещение, то

.

Так как связи идеальные, то , а следовательно выполняется условие, что

.

Это соответствует условию (1) теоремы, что и доказывает справедливость утверждения принципа возможных перемещений.

Достаточность. Пусть выполняются условия (1) и (2), то есть

; .

Докажем, что механическая система находится в равновесии. По определению идеальности связей .

Поэтому .

Так как по основному закону динамики , то можно записать, что

.  (2)

Здесь , но , так как (). С учетом этого (направлены по , следовательно – по  при отсутствии ),b – коэффициент пропорциональности.

С учетом этого   будет иметь место, только в случае, когда . Следовательно, выполняется условие равновесия механической системы  для всех . Что и требовалось доказать.

Принцип возможных перемещений справедлив и при движении материальных точек и тел механической системы с постоянными скоростями. Примечание. Направление возможных перемещений определяется направлением скоростей, которые могли бы иметь точки и тела при их движении.

Пример №1. Необходимо определить модуль момента М пары сил, который необходимо приложить к шкиву «3» для равномерного подъема груза 1весом 900 Н. радиусы шкивов: .

Решение:

Эта механическая система имеет число степеней свободы =?. За обобщенную координату «ρ» возьмем угол поворота шкива «3» - ().

Тогда .

Вариация обобщенной координаты  показана на расчетной схеме. Зависимости возможных перемещений от вариации обобщенной координаты найдем из кинематических зависимостей.

Так как , то , откуда ,

. Поэтому .

Принцип возможных перемещений для этой механической системы имеет вид:

  или   (1)

Знаки работ определены, исходя из направлений силовых воздействий и возможных перемещений.

Из равенства (1) имеем (Н×м).

Пример 2.

Домкрат, изображенный на рисунке имеет размеры АО=ОВ=СЕ=ЕD=l, СВ=АD=2l. Определить необходимый шаг винта (h), если усилия приложенные к рукоятке Р=80 Н, а масса поднимаемого грузаm=1000 кг. Расстояние от рукоятки до оси винта равно 20 см. СтержниAD,BC соединены шарнирно посередине.

Решение.

Механическая система находится в равновесии, поэтому можно применить принцип возможных перемещений для решения поставленной задачи. Число степеней свободы Рs=1. Обобщенная координатаq=α. Зависимости возможных перемещений от вариации обобщенной координаты найдем с помощью уравнений связи:

;;.

Возможные перемещения:

;;.

Зависимость между перемещениями  и  найдем из свойства винтовой передачи за один оборот винта (на угол 2π) гайка переместится на шаг (h) винта. Поэтому справедлива зависимость   или

Принцип возможных перемещений для данной задачи имеет вид:

.

Здесь .

Тогда ,

отсюда .

При  найдем

.

34. Принцип возможных перемещений в обобщенных координатах. Понятие об обобщенной силе.

Принцип возможных перемещений в обычном виде представляется формулой

.(1)

Ранее было доказано, что возможное перемещение  может быть выражено в виде следующей зависимости от вариаций обобщенных координат

(2)

Если подставить  выражение (2) в формулу (1), то

.

Изменив порядок суммирования, получим

 (3)

Здесь обобщенная сила  или

Если обобщенная координата имеет размерность длины, то обобщенная сила имеет размерность силы. Если обобщенная координата угловая, то обобщенная сила имеет размерность момента силы.

Принцип возможных размещений в обобщенных координатах утверждает, что для равновесия механической системы необходимо и достаточно, чтобы обобщенные силы, соответствующие всем обобщенным координатам были равны нулю, то есть , для всех .

Доказательство. Принцип возможных перемещений  т. е.

Это возможно при линейной независимости обобщенных координат только в случае, если  для всех , что и утверждает принцип возможных перемещений в обобщенных координатах.

Методы определения обобщенных сил.

Существуют два довольно простых метода определения обобщенных сил. Первый метод можно применять для любых сил, а второй – только для консервативных.

Первый метод состоит из выполнения следующих действий:

Предполагаются постоянными все обобщенные координаты за исключением той координаты, для которой необходимо найти обобщенную силу, т. е., ,

Задают вариацию  обобщенной координате , полагая остальные вариации равными нулю (для всех  перечисленных выше).

Находят зависимости возможных перемещений от одной вариации ,

Находят чему равна сумма работ активных сил на возможных перемещениях их точек приложения

Так как все вариации , кроме одной , сумма работ активных сил на возможных перемещениях , выраженная через обобщенные силы имеет вид , откуда

Для всех .

Второй метод определения обобщенных сил можно применять только для консервативных сил .

В этом случае , ,  . Поэтому силовую функцию   так же можно представить в виде функции обобщенных координат , где  .

В этом случае полный дифференциал этой функции

Тогда

Сравнивая левую и правую части этого выражения, получим

Для всех

Здесь П – потенциальная энергия (П=U).

Пример.

Определить условия, при которых механическая система, изображенная на рисунке, находится в равновесии, если: блоки 4, 5, 6 и трос, связывающий грузы и блоки невесомые; наклонные поверхности гладкие; известны радиусы блоковr5=r,r6=R  и углы α, β; блоки 5 и 6 не связаны между собой.

Решение.

Так как требуется установить условие равновесия этой механической системы, необходимо применить принцип возможных перемещений в обобщенных координатах.

Число степеней свободы в данной механической системеps=2. Следовательно необходимы две обобщенные координатыq1 иq2, определяющие положение грузов «1» и «2». Положение груза «3» однозначно определяется положением центра (т. О1) блока «4» с помощью координаты «y», которая зависит от обобщенных координатq1 иq2. Эту зависимость можно установить с помощью уравнения связи. Одной из связей этой механической системы является гибкая нерастяжимая нить, длина которой

Здесьb – длина нити на перегибах является постоянной величиной. Из этого равенства очевидно, что

Чтобы выяснить математический смысл обобщенных сил применим принцип возможных перемещений в обычном виде. Так как число степеней свободыps=2, можем задать два независимых возможных перемещения, за которые возьмем . Возможное перемещение точки приложения силы тяжести  груза «3» -  выразим с помощью уравнения связи

Принцип возможных перемещений  в данном случае записывается в следующем виде

Здесь  имеют смысл множителей, стоящих при вариации обобщенных координат в выражении для принципа возможных перемещений.

Принцип возможных перемещений в обобщенных координатах утверждает, что для равновесия данной механической системы необходимо и достаточно, чтобы обобщенные силыQ1=0 иQ2=0. Теперь эти обобщенные силы найдем с помощью первого метода. Чтобы найтиQ1 выполним следующие условия:

потребуем, чтобы  это равносильно прекращению движения груза «2». Тогда точка р1 становится мгновенным центром скоростей для блока «3»;

зададим возможные перемещения грузу «1» -   и выразим возможное перемещение  только через . Из кинематических соображений

С учетом того, сто в данном случае соотношение между скоростями точно такие же, как соотношения между перемещениями получим

определим сумму работ всех активных силG1,G2,G3 на возможных перемещениях точек их приложения

определим обобщенную силуQ1 по формуле

.

Рассуждая аналогично изложенному выше, найдем что

что совпадает с полученным ранее результатом.

Условия равновесияQ1=0 иQ2=0 в данном случае имеют вид:

Силы  являются силами поля тяжести, т. е. они являются консервативными. Поэтому обобщенные силы можно определить и вторым способом, т. е. по формулам

Силовая функция равна работе сил поля при перемещении механической системы из начального положенияq10,q20=0, показанного пунктирной линией, в конечное, т. е.

Поэтому

тогда

что так же совпадает с полученным ранее результатом.

35. Общее уравнение динамики.

Общее уравнение динамики позволяет получать дифференциальные уравнения движения механической системы. Это уравнение получено последовательным применением принципа Даламбера и принципа возможных перемещений.

Для механической системы принцип Даламбера можно представить следующим равенством

Здесь  – активная сила,  - реакция связи,  – сила инерции.

Если умножить скалярно все равенства (1) на возможное перемещение  и произвести суммирование по индексу «k», то получим

Для голономных стационарных удерживающих связей   С учетом этого равенство (2) приобретает вид

Здесь  - работа активной силы на возможном перемещении ее точки приложения;  - работа силы инерции на возможном перемещении точки приложения этой силы.

Равенство (3) получило название общего уравнения механики. Оно утверждает, что «сумма работ активных сил и сил инерции на возможном перемещении точек их приложения равна нулю».

При решении задач равенство (3) можно представить в виде следующих формул:

Общее уравнение механики можно дописать так же для обобщенных координат. Для этого в выражение (4) надо подставить  и поменять порядок суммирования. В результате получим

Здесь  – обобщенная сила активных сил (эта обобщенная сила уже встречалась в принципе возможных переменных для обобщенных координат);

  - обобщенная сила сил инерции.

Тогда равенство (6) принимает вид

Из-за линейной независимости вариаций обобщенных координат нулю должно быть равно выражение в скобках, т. е.  для всех

Итак, в обобщенных координатах общее уравнение динамики утвердает, что «сумма обобщенных сил активных сил и сил инерции должна быть равна нулю для всех ».

Пример 1.

Дано: m1=3m, m2=m, m3=m,  r2=r=0,4м, R3=2r,  f=0,1, =0,001см, t=0, .Определитьa1,aC3.

Решение.

Эта механическая система имеет одну степень свободы. За обобщенную координату примем переменную, определяющую положение груза 1 –S1. Ускорения груза 1 «a1» и центра масс тела 3 «aC3» определим с помощью общего уравнения механики.

Чтобы составить его последовательно применим сначала принцип Даламбера, а затем принцип возможных перемещений, задав возможное перемещение грузу «1».

В соответствии с принципом Даламбера: к телу «1», которое двигается поступательно, приложим только главный вектор сил инерции

. Ускорениенаправим вниз по наклонной плоскости. Если окажется, что направление ускорения  выбрано неверно, то в результате решения оно будет отрицательным.

К телу «2», которое совершает вращательное движение вокруг главной центральной оси инерции, приложим только главный момент сил инерции , направив его в сторону, противоположную угловому ускорению , направление которого должно соответствовать направлению ускорения груза 1 .  К телу «3», которое двигается плоскопараллельно, приложим главный вектор сил инерции  и главный момент сил инерции , направив его в сторону противоположную угловому ускорению . Направления углового ускорения  и ускорения  должны соответствовать направлению ускорения . Отрицательные знаки в формулах для главных векторов сил инерции  и  указывают, что эти векторы должны быть направлены в противоположную сторону соответствующих ускорений.

Теперь зададим возможное перемещение механической системы. Направление возможного перемещения тела «1» -  возьмем в соответствие с направлением ускорения  груза «1». Возможные перемещения тел и точек приложения сил выразим через  с помощью следующих кинематических соотношений:

Из этих соотношений следуют зависимости между возможными перемещениями:

Дифференцируя выражение (2), найдем зависимости между ускорениями, которые необходимы для определения главных векторов и главных моментов сил инерции.

Поэтому

Тело «2» вращается вокруг главной центральной оси инерции и известен радиус инерции , поэтому

Тело «3» двигается плоскопараллельно и представляет собой однородный диск. Поэтому

С учетом найденных моментов инерции  главные моменты сил инерции определяются по формулам

Главные векторы  ,   и главные моменты  показаны на расчетной схеме. Противоположно соответствующим ускорениям

активные силы     ,

реакции связей  показаны на расчетной схеме.

Сумма работ активных сил на возможных перемещениях их точек приложения

Здесь

так как точка С2 неподвижная,

Работа реакций связей на возможных перемещениях их точек приложения

, т. к. перпендикулярны соответствующим перемещениям.

, т. к. т. С2неподвижная.

Тогда работа активных сил на возможных перемещениях их точек приложения

Сумма работ сил инерции на возможных перемещениях их точек приложения

Здесь:

,

,

,

.

Тогда сумма работ сил инерции на возможных перемещениях их точек приложений

.(4)

Подставляя найденные суммы работ (3) и (4) в общее уравнение механики (1), получим

Откуда найдем .

36. Уравнение ЛагранжаII-го рода.

Уравнение ЛагранжаII-го рода рационально применять дифференциальные уравнения движения механической системы. Преимуществом этих уравнений является то, что число дифференциальных уравнений, определяющих движение исследуемой механической системы равно числу степеней свободы этой системы и не зависит от количества материальных точек и тел, входящих в неё.

Уравнения ЛагранжаII-го рода имеют следующий вид

Здесь:  - кинетическая энергия механической системы;  - обобщенная скорость;  - обобщенная координата;  - обобщенная сила;    – частная производная от кинетической энергии механической системы по обобщенной скорости;  - частная производная от кинетической энергии механической системы по обобщенной координате;  - полная производная по времени от выражения в скобках.

Кинетическая энергия механической системы должна быть представлена в виде функции от обобщенных скоростей и обобщенных координат.

Вывод уравнений ЛагранжаII-го рода.

Для вывода уравнения ЛагранжаII-го рода воспользуемся общим уравнением механики

которое преобразуем следующим образом

Ранее было получено, что

Подставив это выражение в равенство (1), умножив на «-1» и изменив порядок суммирования, получим

Здесь:   ;

;    (3)

, если  не зависит явно от времени.

Частная производная по обобщенной скорости от выражения позволяет получить тождество

Частная производная скорости  по обобщенной координате

а полная производная по времени от  равна

Из выражений (5) и (6) следует, что

Подставляя (4), (7) в выражение (3), получим

Теперь с учетом этого соотношения и изложенного выше равенство (2) можно представить следующим образом

Или

откуда очевидно, что

Пример.

Два груза «1» и «2» массой «m» каждый приведены к концам нерастяжимой нити. Эта нить от груза «1» идет через блоки 4, 5, 6 к грузу «2», который находится на гладкой плоскости, находящейся под углом α к горизонтали. Радиусы всех блоков одинаковы. Их массой и массой нити необходимо пренебречь. Коэффициент трения груза «1» -f. Масса груза «3» -m1. Необходимо составить дифференциальное уравнение движения этой механической системы.

Решение.

Эта механическая система имеет число степеней свободыps=2. Обобщенные координатыq1,q2 показаны на расчетной схеме. Зависимость между переменнойy, определяющей положение центра масс (т. В) блока 6, а следовательно и положение груза «3», и обобщенными координатамиq1,q2найдем с помощью уравнения связи (гибкой нерастяжимой нити)

, откуда

Здесьb=const – длина нити на блоках;L – общая длина нити.

Дифференцируя равенство (1) по времени, получим зависимость скорости точки В, а следовательно и скорости груза «3», от обобщенных скоростей

Уравнения ЛагранжаII-го для данной механической системы имеют вид

Кинетическая энергия Т=Т123.

Грузы «1», «2», «3» двигаются поступательно, поэтому

Сложив кинетические энергии тел, получим кинетическую энергию механической системы

Частные производные от кинетической энергии по обобщенным скоростям и координатам имеют вид:

Частные производные от кинетической энергии по обобщенным координатам равны нулю, так как в данном случае кинетическая энергия от них не зависит явно.

С учетом этого

Обобщенные силы определим с помощью первого метода, т. е. по формулам

Здесь

Тогда

Подставляя найденные значения производных и обобщенных сил в уравнения ЛагранжаII-го рода (3), получим дифференциальные уравнения движения механической системы:

Это система линейных неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

7877. Все мы разные: толерантность 89 KB
  Все мы разные: толерантность Цель:познакомить учащихся с понятием толерантность, с основными чертами толерантной и интолерантной личности Задачи: Обучающая: дать учащимся возможность оценить степень своей толерантности Развиваю...
7878. Сутність та форми використання доказів 22.53 KB
  Сутність та форми використання доказів Всебічна оцінка доказів завершується побудовою висновків у справі та обґрунтуванням рішень, які приймаються щодо використання доказів. Докази використовуються не тільки для формулювання та обгрунтування висновк...
7879. Загальна характеристика елементів процесу доказування 44 KB
  Загальна характеристика елементів процесу доказування Одним із найважливіших завдань сучасної Української держави і суспільства в цілому є забезпечення суворого додержання законності, викорінення будь-яких порушень громадського порядку, ліквідація з...
7880. Збирання доказів при розслідуванні злочинів 104.5 KB
  Збирання доказів при розслідуванні злочинів. Поняття та зміст збирання доказів. Будучи специфічним, процес доказування є особливим різновидом інтелектуальної діяльності суб’єктів розслідування. Найбільш складним її елементом є збирання та фор...
7881. Поняття та зміст оцінки доказів 29.11 KB
  Поняття та зміст оцінки доказів Найважливішим елементом процесу доказування є оцінка доказів. Вона вважається однією із проблем кримінального судочинства і є, як зазначає В.Д. Арсеньєв, душой уголовно-процессуального доказывания. Оцінка дозв...
7882. Перевірка (дослідження) доказів та їх джерел 62.5 KB
  Перевірка (дослідження) доказів та їх джерел Зібрані докази підлягають ретельній, усесторонній та об’єктивній перевірці. Це передбачає вивчення їх джерел, аналіз отриманих доказів і співставлення їх між собою. У силу принципу публічності...
7883. Тактичні проблеми доказування 36.5 KB
  Тактичні проблеми доказування. Тактичні прийоми роботи з доказами. Фактор раптовості, його врахування і використання в доказуванні. Перш ніж розглядати саме тактичні прийоми роботи з доказами, слід зупинитись на співвідношенні процесуального й такти...
7884. Школа и общественное дошкольное воспитание в период восстановления и дальнейшего развития народного хозяйства СССР (1946—1958 гг.) 126.5 KB
  Школа и общественное дошкольное воспитание в период восстановления и дальнейшего развития народного хозяйства СССР (1946 гг.) Еще в ходе Великой Отечественной войны Коммунистическая партия и Советское правительство принимали меры по восста...
7885. Проверочные тесты по темам Педагогика как наука, Теория обучения 87.5 KB
  Проверочные тесты по темам Педагогика как наука, Теория обучения Тест 1 Задание. Выберите наиболее точное определение объекта педагогической науки: Ученик Учитель Образование Ребенок Развивающаяся личность Задание...