43279

ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СВЯЗИ

Курсовая

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

При передаче сигнала St по каналу связи на него воздействуют различные шумы nt. Это означает что принятый сигнал Zt отличается от переданного сигнала St. Функция приемника заключается в нахождении переданного сигнала St по принятому сигналу Zt=Stnt. Для этого были найдены методы оптимального приема сигналов.

Русский

2013-11-06

396 KB

11 чел.

PAGE  - 14 -

Министерство науки и образования Российской Федерации

Казанский государственный технический университет

им. А.Н. Туполева.

Институт радиоэлектроники и телекоммуникаций

Кафедра радиоэлектронных и телекоммуникационных систем

Пояснительная записка к курсовой

работе по курсу

ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СВЯЗИ

на тему

 

____________________________________________________________

                                                                         Выполнила студентка гр.____________

                                                                                               ___________________

Преподаватель: ___________________

                          

 

Казань 2006 г.

1. Введение.

При передаче сигнала S(t) по каналу связи на него воздействуют различные шумы n(t). Это означает, что принятый сигнал Z(t) отличается от переданного сигнала S(t). Функция приемника заключается в нахождении переданного сигнала S(t) по принятому сигналу Z(t)=S(t)+n(t). Для этого были найдены методы оптимального приема сигналов. Они позволяют уменьшить вероятность ошибки на выходе.


2. Теоретическая часть.

Пусть дискретные сообщения закодированы двоичным кодом. При их передаче используются реализации сигнала s(t,bi), соответствующие кодовым символам b0=0; b1=1; где i=0;1; 0<t<T. Это означает, что полезный сигнал имеет две реализации, изменяется во времени и действует на промежутке времени (0;Т). Будем считать, что реализации сигнала постоянны на отрезке времени (0;Т), например: s1=5 мВ; s2=7 мВ. При прохождении через линию связи с сигналом складывается случайный шум n, имеющий нормальное (гауссовское) распределение плотности вероятности:

.

где m - математическое ожидание (у шума оно равно 0); - среднеквадратическое отклонение (2 определяет мощность шума).

Из теории вероятностей известно [1], что если входной сигнал z есть сумма постоянного сигнала s0 или s1 и случайного шума n, то z - случайная величина, распределенная нормально с математическим ожиданием m=s0 или m=s1 и среднеквадратическим отклонением . Два нормальных распределения плотности вероятности величины z - w0 и w1 при действии сигналов s0 и s1 соответственно показаны на рисунке рис.1. Здесь w0 - левая кривая; w1 - правая кривая.

Таким образом, на вход приемника поступает входной сигнал z=si+n, (i=0;1) который из-за действия шума n не совпадает в точности ни с одним из переданных сигналов si. В этом случае приемное устройство должно выбрать одну из двух взаимоисключающих гипотез:

Гипотеза H0: Передавался символ b0, т.е. был сигнал s0;

Гипотеза H1: Передавался символ b1, т.е. был сигнал s1.

Возникает вопрос, на каком основании приемник должен делать выбор в пользу одной из гипотез? Очевидно, что надо отдать предпочтение гипотезе H0, если входной сигнал z расположен ближе к s0, чем к s1, и наоборот, если z ближе к s1, то верна гипотеза H1.

Рис.1.1 Сигнально-шумовая ситуация и граница принятия решения.

Степень близости сигналов z и si, определяется по-разному, в зависимости от различных критериев качества принятия решения. Применение того или иного критерия зависит от полноты наших знаний о сигнале и шуме, а сами критерии определяют на множестве значений z положение некоторой границы U, задающей правило принятия решения. Если U известна, то при получении любого сигнала z<U принимается решение в пользу s0, если же z>U, то принимается решение, что был передан сигнал s1. Сказанное проиллюстрировано на рисунке. Здесь величина U представлена двумя значениями для разных правил принятия решения, о которых сказано ниже. Граница U1 определена для критерия максимального правдоподобия; U2 - для критерия максимума апостериорной вероятности.

Рассмотрим критерии качества более подробно и начнем с критерия максимального правдоподобия. Пусть мы знаем только плотности распределения вероятностей w0 и w1 (см. рис.). Тогда в качестве границы принятия решения U берут точку на оси z, в которой w0(z)=w1(z) или:

.

Данный критерий носит название критерия максимального правдоподобия, а выражение w0(z)/w1(z) называется отношением правдоподобия. Если при этом окажется, что z<U, то w0(z)>w1(z) и более правдоподобна будет гипотеза H0 (был сигнал s0). Если же z>=U, то w0(z)<=w1(z) и правдоподобнее будет гипотеза H1 (был сигнал s1). Таким образом, правило принятия решения по критерию максимального правдоподобия будет выглядеть:

,

где H0 и H1 - принимаемые гипотезы.

Для этого критерия предполагается, что сигналы s0 и s1 возникают с одинаковой частотой, т.е. вероятности передачи сигналов s0 и s1 равны 0,5; Р(s0)=Р0=0,5; Р(s1)=Р1=0,5. Эти вероятности называются априорными (доопытными) вероятностями возникновения сигналов s0 и s1.

Критерий максимума апостериорной вероятности. Пусть априорные вероятности не равны между собой и известны, например, Р0=0,7, а Р1=0,3. Это случай критерия максимума апостериорной вероятности. В соответствии с этим критерием правило принятия решения формулируется так: верна гипотеза H0, если

где Р(si|z) - апостериорная (послеопытная) вероятность того, что был передан сигнал si при условии прихода на вход сигнала z. Таким образом, будет принята та гипотеза, при которой апостериорная вероятность будет максимальна. Согласно известной формуле Байеса из теории вероятностей [1] апостериорная вероятность:

,

где wj - плотности вероятности, показанные на рисунке (i=0,1); Рi) - априорные вероятности передачи сигнала si - Р0 и Р1.

Подставим последнюю формулу в предпоследнюю и учтем, что w(z) в знаменателе одинакова в обеих частях неравенства и ее можно сократить. Тогда получим:

 

или в другой форме, через отношение правдоподобия:

.

Таким образом, при критерии максимума апостериорной вероятности, как и при критерии максимального правдоподобия, отношение правдоподобия сравнивается с некоторым порогом (но уже другим), и по результатам сравнения принимается решение в пользу той или иной гипотезы. Однако в этом случае, кроме плотностей распределений w0 и w1, необходимо знать еще и априорные вероятности передачи того или иного сигнала. В результате при использовании данного критерия мы будем иметь меньшую среднюю ошибку принятия решения в длинной серии испытаний, чем для критерия максимального правдоподобия.

Необходимо отметить, что в реальном приемнике плотности вероятности не вычисляются. С их помощью определяется граничное значение U, при котором отношение правдоподобия равно порогу соответствующего критерия качества. Это пороговое значение и используется затем в приемнике. Пришедший сигнал сравнивается со значением U и по результатам сравнения принимается решение.

Критерий минимума среднего риска. Этот критерий применяется, когда необходимо учесть различные последствия ошибок принятия решения. Он наиболее полно учитывает сведения о сигнале и шуме по сравнению с другими критериями и поэтому имеет наименьшую ошибку принятия решения.

Пусть, например, при передаче сигнала si был принят сигнал sj*. При ij (i=0;1 и j=0;1) имеет место ошибка. Чтобы учесть неравноценность различных ошибок, свяжем с каждой из них некоторую величину Lij, называемую потерей или платой за риск при принятии решения. Правильному приему обычно приписывается нулевая потеря. Величину Lij следует понимать так: это плата за принятие решения что был передан сигнал sj в то время как на самом деле был передан сигнал si. Для каждого переданного сигнала si можно ввести т.н. условный средний риск:

,

где Р(sj|si) - апостериорная вероятность приема сигнала sj при условии, что на самом деле был передан сигнал si. Правило принятия решения в этом случае, выраженное через отношение правдоподобия будет выглядеть:

,

т.е. по сравнению с критерием максимума апостериорной вероятности изменился порог принятия решения на основе учета потерь. Данный критерий является наилучшим среди рассмотренных в смысле минимизации ошибок, так как он наиболее полно учитывает информацию о сигналах. При равенстве потерь он превращается в критерий максимума апостериорной вероятности, а при равенстве еще и априорных вероятностей - в критерий максимального правдоподобия.

Суммарная вероятность ошибки при принятие решения Pош. Пусть мы имеем входной сигнал z=10 мВ, и приемник работает по критерию максимального правдоподобия, т.е. используется граница U1. В нашем случае z<u1 и будет принять решение о передаче сигнале s0. однако из рисунка видно, что сигнал z такоq величины мог иметь месть и при передаче w0 в той же точке. Площадь под кривой w1 на промежутке от - до U1 равна вероятности принятия ошибочного решения s0 вместо s1.вычислим эту вероятность интегрированием:

,

где P01 – вероятность ошибочного решения «S0», когда на самом деле был сигнал Si. Этот интеграл можно вычислить приближенно известными численными методами (метод прямоугольников, трапеций, парабол). Предел «-» можно заменить на «m1-3», т.к. известно, что вероятность попадания случайной величины в интервал от m1-3 до m1+3 составляет более 98% для нормального распределения. Вероятность ошибки другого рода P01, когда присутствует сигнал S0, а приемник выдает решение «S1», вычисляется аналогично:

Взвешенная сумма вероятностей этих ошибок и есть суммарная вероятность ошибки Pош:

,

где  - весовой коэффициент при слагаемом P01;  - весовой коэффициент при слагаемом P10. P0 и P1 – априорные вероятности появления сигнала S0 и S1 соответственно.

В случае критерия максимума апостериорной вероятности (плата за риск Lij неизвестны) полагаем, что они равны между собой, поэтому  и . В случае критерия максимального правдоподобия также пологам равным между собой и априорные вероятности P0=P1=0,5. Если для одной и той же сигнально-шумовой обстановки (m0=const; m1=const; =const) вычислять Pош для разных критериев качества, то мы увидим, что для критерия максимального правдоподобия вероятность ошибки будет наибольшей по сравнению с другими критериями, а для критерия минимума среднего риска наименьше.


Задание № 19. Принимается 2 известных сигнала от 2-х источников сообщений ИС1 и ИС2. После демодуляции и декодирования имеем: S1=4 В; S2=5 В. В канале действует аддитивный гауссовский шум =300 мВ. Решающее устройство анализирует принятый сигнал и определяет источник, выдавший сообщение. Априорные вероятности гипотез о срабатывании ИС1 и ИС2 равны 0,4 и 0,6 соответственно. Плата за риск П01=10/П10, где П10 меняется: 1; 1,3; 2; 3,16; 5; 7,5; 10.

Рассчитать: суммарную вероятность ошибки для методов минимума среднего риска и максимального правдоподобия. Построить графики зависимостей вероятностей ошибок для 2-х методов от платы за риск.

Решение. Пример сигнально-шумовой ситуации, характерной для данного задания приведен на рисунке. Точки на оси U, соответствующие пикам (максимумам) кривых плотностей вероятностей w1(U) и w2(U), являются значениями сигналов S1 и S2 соответственно. Если бы на сигналы не накладывался шум, то на вход приемника поступали бы только эти два значения: либо S1, либо S2. Однако в канале действует случайный гауссовский шум n с математическим ожиданием m=0 и среднеквадратическим отклонением . Шум складывается с сигналом и поэтому невозможно заранее предсказать какое значение входного колебания Z будет на входе приемника: либо Z=S1+n, либо Z=S2+n.

Рис.1. Сигнально-шумовая ситуация и порог принятия решения.

Нормальный (гауссовсий) закон распределения шума определяется его плотностью вероятности:

При наличии только шума m=0. При складывании шума с детерминированным сигналом, мат. ожидание результирующей случайной величины Z становится равным значению сигнала: m1=S1=4В и m2=S =5В. Эти две кривые w1 и w2 изображены на рисунке. Решающее устройство определяет какой сигнал пришел на вход по порогу U1 или U2. Если значение Z<U1, то на входе имеем сигнал S1; если же Z>U1 - то сигнал S2. Порог выбирается по простому принципу: вся область значений сигнала U разбивается на две подобласти; в левой сигнал Z ближе по какому-либо критерию к S1, в правой - к S2. Критерии же эти могут быть различны. Рассмотрим сначала критерий максимального правдоподобия.

Составляют так называемое отношение правдоподобия  и сравнивают его с порогом: если >1 то это сигнал S2; если <1то сигнал S1.

Так как шум имеет нормальное распределение, то

Порог, выставленный по этому критерию показан на рисунке U1. Критерий максимума апостериорной вероятности отличается тем, что в нем учитываются не равные вероятности гипотез о возникновении сигналов S1 и S2. Здесь то же отношение правдоподобия сравнивается с порогом P(S1)/P(S2). 

В условиях этой задачи алгоритм можно записать так:

Чтобы найти пороговое значение, приравняем левую и правую части алгоритма:

Отсюда надо найти U2:

Подставляя сюда численные значения, получим:

Поэтому пороговое значение может быть другим, например как U2 на рисунке.

Критерий минимума среднего риска. Этот критерий применяется, когда необходимо учесть различные последствия ошибок принятия решения. Он наиболее полно учитывает сведения о сигнале и шуме по сравнению с другими критериями и поэтому имеет наименьшую ошибку принятия решения.

Пусть, например, при передаче сигнала Si был принят сигнал Sj. При ij (i=0;1 и j=0;1) имеет место ошибка. Чтобы учесть неравноценность различных ошибок, свяжем с каждой из них некоторую величину Пij, называемую потерей или платой за риск при принятии решения. Правильному приему обычно приписывается нулевая потеря. Величину Пij следует понимать так: это плата за принятие решения что был передан сигнал Sj в то время как на самом деле был передан сигнал Si. Для каждого переданного сигнала Si можно ввести т.н. условный средний риск:

,

где- апостериорная вероятность приема сигнала Sj при условии, что на самом деле был передан сигнал Si. Правило принятия решения в этом случае, выраженное через отношение правдоподобия будет выглядеть:

,

т.е. по сравнению с критерием максимума апостериорной вероятности изменился порог принятия решения на основе учета потерь. Данный критерий является наилучшим среди рассмотренных в смысле минимизации ошибок, так как он наиболее полно учитывает информацию о сигналах. При равенстве потерь он превращается в критерий максимума апостериорной вероятности, а при равенстве еще и априорных вероятностей - в критерий максимального правдоподобия.

 

 

                                        

 

                                        

 

                                        

 

                                        

 

                                        

 

                                        

 

                                        

Суммарная вероятность ошибки вычисляется по формуле:

.

Вычисляем критерий минимума среднего риска:

; .

;

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47652. Методичний посібник до лабораторних робіт з радіотехнічних кіл і сигналів 963.46 KB
  За результатами роботи з приладами зробити необхідні помітки в робочому зошиті для особистого користування. Для розвязання задачі потрібно скласти n рівнянь по відношенню до n невідомих струмів використовуючи перший і другий закони Кірхгофа. Схема що подана на рис. Рис.
47653. Системы управления. Сущность систем управления 302.44 KB
  Система – это некоторая целостность, состоящая из взаимозависимых частей, каждая из которых вносит свой вклад в характеристики целого. Или, другими словами, это совокупность взаимодействующих элементов, составляющих целостное образование с новыми свойствами, которые отсутствуют у других составляющих систему, элементов.
47655. ЛОКАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИКИ 1.26 MB
  Курсовой проект по курсу âЛокальные системы автоматикиâ посвящен синтезу локальной системы регулирования технологического параметра объекта включающему в себя выбор необходимого закона регулирования регулятора и разработку системы в целом на базе приборов ГСП. Ниже рассматриваются основные системы регулирования барабанных котлов каждая из которых включена в отдельное задание на курсовое проектирование. СИСТЕМА РЕГУЛИРОВАНИЯ ДАВЛЕНИЯ ПАРА ПЕРЕД ТУРБИНОЙ к заданию № 1 Основным требованием предъявляемым к котлам является выработка...
47657. Бухгалтерський облік господарських операцій. Методичні рекомендації 311 KB
  Для виробничих потреб підприємство придбало автомобіль вартістю 100000 К1000 грн. Підприємством оплачено суму збору до Пенсійного фонду 3 та вартість державної реєстрації автомобіля в органах ДАІ 500 грн. Витрати зі страхування цивільноправової відповідальності автовласника склали 1000 грн. строк дії договору страхування 1 рік; витрати на придбання полісу КАСКО 3000 грн.
47658. Методические указания. Регионоведение 277 KB
  Новосибирск: НГТУ 2009 Рецензент: Методические указания содержат сведения о квалификационных требованиях к курсовым работам для студентов специальности направления Регионоведение организации их выполнения и защиты на кафедре Международных отношений и регионоведения НГТУ консультативные рекомендации по выбору темы и теоретических основ работы обязательные требования в отношении композиции работы научного аппарата и оформления. План выполнения курсовой работы42 Приложение 2. Основная цель курсовой работы выработка...
47659. Технологическое проектирование автотранспортного производства 665 KB
  Цель курсового проекта – формирование научных, профессиональных знаний и навыков в области технической эксплуатации подвижного состава автомобильного транспорта. При изучении дисциплины студенты получают знания о современных технологических процессах технического обслуживания и текущего ремонта автомобилей, об особенностях проектирования и реализации технологических процессов технической эксплуатации на предприятиях автомобильного транспорта
47660. Методичні вказівки. Чисельні методи в інформатиці 1.52 MB
  У тому випадку, коли заздалегідь невідомий ступінь багаточлена Лагранжа, який необхідно використовувати для забезпечення необхідної точності, уживають підхід, заснований на рекурентній схемі організації обчислень, яка звісна, як схема Ейткена