43279

ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СВЯЗИ

Курсовая

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

При передаче сигнала St по каналу связи на него воздействуют различные шумы nt. Это означает что принятый сигнал Zt отличается от переданного сигнала St. Функция приемника заключается в нахождении переданного сигнала St по принятому сигналу Zt=Stnt. Для этого были найдены методы оптимального приема сигналов.

Русский

2013-11-06

396 KB

10 чел.

PAGE  - 14 -

Министерство науки и образования Российской Федерации

Казанский государственный технический университет

им. А.Н. Туполева.

Институт радиоэлектроники и телекоммуникаций

Кафедра радиоэлектронных и телекоммуникационных систем

Пояснительная записка к курсовой

работе по курсу

ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СВЯЗИ

на тему

 

____________________________________________________________

                                                                         Выполнила студентка гр.____________

                                                                                               ___________________

Преподаватель: ___________________

                          

 

Казань 2006 г.

1. Введение.

При передаче сигнала S(t) по каналу связи на него воздействуют различные шумы n(t). Это означает, что принятый сигнал Z(t) отличается от переданного сигнала S(t). Функция приемника заключается в нахождении переданного сигнала S(t) по принятому сигналу Z(t)=S(t)+n(t). Для этого были найдены методы оптимального приема сигналов. Они позволяют уменьшить вероятность ошибки на выходе.


2. Теоретическая часть.

Пусть дискретные сообщения закодированы двоичным кодом. При их передаче используются реализации сигнала s(t,bi), соответствующие кодовым символам b0=0; b1=1; где i=0;1; 0<t<T. Это означает, что полезный сигнал имеет две реализации, изменяется во времени и действует на промежутке времени (0;Т). Будем считать, что реализации сигнала постоянны на отрезке времени (0;Т), например: s1=5 мВ; s2=7 мВ. При прохождении через линию связи с сигналом складывается случайный шум n, имеющий нормальное (гауссовское) распределение плотности вероятности:

.

где m - математическое ожидание (у шума оно равно 0); - среднеквадратическое отклонение (2 определяет мощность шума).

Из теории вероятностей известно [1], что если входной сигнал z есть сумма постоянного сигнала s0 или s1 и случайного шума n, то z - случайная величина, распределенная нормально с математическим ожиданием m=s0 или m=s1 и среднеквадратическим отклонением . Два нормальных распределения плотности вероятности величины z - w0 и w1 при действии сигналов s0 и s1 соответственно показаны на рисунке рис.1. Здесь w0 - левая кривая; w1 - правая кривая.

Таким образом, на вход приемника поступает входной сигнал z=si+n, (i=0;1) который из-за действия шума n не совпадает в точности ни с одним из переданных сигналов si. В этом случае приемное устройство должно выбрать одну из двух взаимоисключающих гипотез:

Гипотеза H0: Передавался символ b0, т.е. был сигнал s0;

Гипотеза H1: Передавался символ b1, т.е. был сигнал s1.

Возникает вопрос, на каком основании приемник должен делать выбор в пользу одной из гипотез? Очевидно, что надо отдать предпочтение гипотезе H0, если входной сигнал z расположен ближе к s0, чем к s1, и наоборот, если z ближе к s1, то верна гипотеза H1.

Рис.1.1 Сигнально-шумовая ситуация и граница принятия решения.

Степень близости сигналов z и si, определяется по-разному, в зависимости от различных критериев качества принятия решения. Применение того или иного критерия зависит от полноты наших знаний о сигнале и шуме, а сами критерии определяют на множестве значений z положение некоторой границы U, задающей правило принятия решения. Если U известна, то при получении любого сигнала z<U принимается решение в пользу s0, если же z>U, то принимается решение, что был передан сигнал s1. Сказанное проиллюстрировано на рисунке. Здесь величина U представлена двумя значениями для разных правил принятия решения, о которых сказано ниже. Граница U1 определена для критерия максимального правдоподобия; U2 - для критерия максимума апостериорной вероятности.

Рассмотрим критерии качества более подробно и начнем с критерия максимального правдоподобия. Пусть мы знаем только плотности распределения вероятностей w0 и w1 (см. рис.). Тогда в качестве границы принятия решения U берут точку на оси z, в которой w0(z)=w1(z) или:

.

Данный критерий носит название критерия максимального правдоподобия, а выражение w0(z)/w1(z) называется отношением правдоподобия. Если при этом окажется, что z<U, то w0(z)>w1(z) и более правдоподобна будет гипотеза H0 (был сигнал s0). Если же z>=U, то w0(z)<=w1(z) и правдоподобнее будет гипотеза H1 (был сигнал s1). Таким образом, правило принятия решения по критерию максимального правдоподобия будет выглядеть:

,

где H0 и H1 - принимаемые гипотезы.

Для этого критерия предполагается, что сигналы s0 и s1 возникают с одинаковой частотой, т.е. вероятности передачи сигналов s0 и s1 равны 0,5; Р(s0)=Р0=0,5; Р(s1)=Р1=0,5. Эти вероятности называются априорными (доопытными) вероятностями возникновения сигналов s0 и s1.

Критерий максимума апостериорной вероятности. Пусть априорные вероятности не равны между собой и известны, например, Р0=0,7, а Р1=0,3. Это случай критерия максимума апостериорной вероятности. В соответствии с этим критерием правило принятия решения формулируется так: верна гипотеза H0, если

где Р(si|z) - апостериорная (послеопытная) вероятность того, что был передан сигнал si при условии прихода на вход сигнала z. Таким образом, будет принята та гипотеза, при которой апостериорная вероятность будет максимальна. Согласно известной формуле Байеса из теории вероятностей [1] апостериорная вероятность:

,

где wj - плотности вероятности, показанные на рисунке (i=0,1); Рi) - априорные вероятности передачи сигнала si - Р0 и Р1.

Подставим последнюю формулу в предпоследнюю и учтем, что w(z) в знаменателе одинакова в обеих частях неравенства и ее можно сократить. Тогда получим:

 

или в другой форме, через отношение правдоподобия:

.

Таким образом, при критерии максимума апостериорной вероятности, как и при критерии максимального правдоподобия, отношение правдоподобия сравнивается с некоторым порогом (но уже другим), и по результатам сравнения принимается решение в пользу той или иной гипотезы. Однако в этом случае, кроме плотностей распределений w0 и w1, необходимо знать еще и априорные вероятности передачи того или иного сигнала. В результате при использовании данного критерия мы будем иметь меньшую среднюю ошибку принятия решения в длинной серии испытаний, чем для критерия максимального правдоподобия.

Необходимо отметить, что в реальном приемнике плотности вероятности не вычисляются. С их помощью определяется граничное значение U, при котором отношение правдоподобия равно порогу соответствующего критерия качества. Это пороговое значение и используется затем в приемнике. Пришедший сигнал сравнивается со значением U и по результатам сравнения принимается решение.

Критерий минимума среднего риска. Этот критерий применяется, когда необходимо учесть различные последствия ошибок принятия решения. Он наиболее полно учитывает сведения о сигнале и шуме по сравнению с другими критериями и поэтому имеет наименьшую ошибку принятия решения.

Пусть, например, при передаче сигнала si был принят сигнал sj*. При ij (i=0;1 и j=0;1) имеет место ошибка. Чтобы учесть неравноценность различных ошибок, свяжем с каждой из них некоторую величину Lij, называемую потерей или платой за риск при принятии решения. Правильному приему обычно приписывается нулевая потеря. Величину Lij следует понимать так: это плата за принятие решения что был передан сигнал sj в то время как на самом деле был передан сигнал si. Для каждого переданного сигнала si можно ввести т.н. условный средний риск:

,

где Р(sj|si) - апостериорная вероятность приема сигнала sj при условии, что на самом деле был передан сигнал si. Правило принятия решения в этом случае, выраженное через отношение правдоподобия будет выглядеть:

,

т.е. по сравнению с критерием максимума апостериорной вероятности изменился порог принятия решения на основе учета потерь. Данный критерий является наилучшим среди рассмотренных в смысле минимизации ошибок, так как он наиболее полно учитывает информацию о сигналах. При равенстве потерь он превращается в критерий максимума апостериорной вероятности, а при равенстве еще и априорных вероятностей - в критерий максимального правдоподобия.

Суммарная вероятность ошибки при принятие решения Pош. Пусть мы имеем входной сигнал z=10 мВ, и приемник работает по критерию максимального правдоподобия, т.е. используется граница U1. В нашем случае z<u1 и будет принять решение о передаче сигнале s0. однако из рисунка видно, что сигнал z такоq величины мог иметь месть и при передаче w0 в той же точке. Площадь под кривой w1 на промежутке от - до U1 равна вероятности принятия ошибочного решения s0 вместо s1.вычислим эту вероятность интегрированием:

,

где P01 – вероятность ошибочного решения «S0», когда на самом деле был сигнал Si. Этот интеграл можно вычислить приближенно известными численными методами (метод прямоугольников, трапеций, парабол). Предел «-» можно заменить на «m1-3», т.к. известно, что вероятность попадания случайной величины в интервал от m1-3 до m1+3 составляет более 98% для нормального распределения. Вероятность ошибки другого рода P01, когда присутствует сигнал S0, а приемник выдает решение «S1», вычисляется аналогично:

Взвешенная сумма вероятностей этих ошибок и есть суммарная вероятность ошибки Pош:

,

где  - весовой коэффициент при слагаемом P01;  - весовой коэффициент при слагаемом P10. P0 и P1 – априорные вероятности появления сигнала S0 и S1 соответственно.

В случае критерия максимума апостериорной вероятности (плата за риск Lij неизвестны) полагаем, что они равны между собой, поэтому  и . В случае критерия максимального правдоподобия также пологам равным между собой и априорные вероятности P0=P1=0,5. Если для одной и той же сигнально-шумовой обстановки (m0=const; m1=const; =const) вычислять Pош для разных критериев качества, то мы увидим, что для критерия максимального правдоподобия вероятность ошибки будет наибольшей по сравнению с другими критериями, а для критерия минимума среднего риска наименьше.


Задание № 19. Принимается 2 известных сигнала от 2-х источников сообщений ИС1 и ИС2. После демодуляции и декодирования имеем: S1=4 В; S2=5 В. В канале действует аддитивный гауссовский шум =300 мВ. Решающее устройство анализирует принятый сигнал и определяет источник, выдавший сообщение. Априорные вероятности гипотез о срабатывании ИС1 и ИС2 равны 0,4 и 0,6 соответственно. Плата за риск П01=10/П10, где П10 меняется: 1; 1,3; 2; 3,16; 5; 7,5; 10.

Рассчитать: суммарную вероятность ошибки для методов минимума среднего риска и максимального правдоподобия. Построить графики зависимостей вероятностей ошибок для 2-х методов от платы за риск.

Решение. Пример сигнально-шумовой ситуации, характерной для данного задания приведен на рисунке. Точки на оси U, соответствующие пикам (максимумам) кривых плотностей вероятностей w1(U) и w2(U), являются значениями сигналов S1 и S2 соответственно. Если бы на сигналы не накладывался шум, то на вход приемника поступали бы только эти два значения: либо S1, либо S2. Однако в канале действует случайный гауссовский шум n с математическим ожиданием m=0 и среднеквадратическим отклонением . Шум складывается с сигналом и поэтому невозможно заранее предсказать какое значение входного колебания Z будет на входе приемника: либо Z=S1+n, либо Z=S2+n.

Рис.1. Сигнально-шумовая ситуация и порог принятия решения.

Нормальный (гауссовсий) закон распределения шума определяется его плотностью вероятности:

При наличии только шума m=0. При складывании шума с детерминированным сигналом, мат. ожидание результирующей случайной величины Z становится равным значению сигнала: m1=S1=4В и m2=S =5В. Эти две кривые w1 и w2 изображены на рисунке. Решающее устройство определяет какой сигнал пришел на вход по порогу U1 или U2. Если значение Z<U1, то на входе имеем сигнал S1; если же Z>U1 - то сигнал S2. Порог выбирается по простому принципу: вся область значений сигнала U разбивается на две подобласти; в левой сигнал Z ближе по какому-либо критерию к S1, в правой - к S2. Критерии же эти могут быть различны. Рассмотрим сначала критерий максимального правдоподобия.

Составляют так называемое отношение правдоподобия  и сравнивают его с порогом: если >1 то это сигнал S2; если <1то сигнал S1.

Так как шум имеет нормальное распределение, то

Порог, выставленный по этому критерию показан на рисунке U1. Критерий максимума апостериорной вероятности отличается тем, что в нем учитываются не равные вероятности гипотез о возникновении сигналов S1 и S2. Здесь то же отношение правдоподобия сравнивается с порогом P(S1)/P(S2). 

В условиях этой задачи алгоритм можно записать так:

Чтобы найти пороговое значение, приравняем левую и правую части алгоритма:

Отсюда надо найти U2:

Подставляя сюда численные значения, получим:

Поэтому пороговое значение может быть другим, например как U2 на рисунке.

Критерий минимума среднего риска. Этот критерий применяется, когда необходимо учесть различные последствия ошибок принятия решения. Он наиболее полно учитывает сведения о сигнале и шуме по сравнению с другими критериями и поэтому имеет наименьшую ошибку принятия решения.

Пусть, например, при передаче сигнала Si был принят сигнал Sj. При ij (i=0;1 и j=0;1) имеет место ошибка. Чтобы учесть неравноценность различных ошибок, свяжем с каждой из них некоторую величину Пij, называемую потерей или платой за риск при принятии решения. Правильному приему обычно приписывается нулевая потеря. Величину Пij следует понимать так: это плата за принятие решения что был передан сигнал Sj в то время как на самом деле был передан сигнал Si. Для каждого переданного сигнала Si можно ввести т.н. условный средний риск:

,

где- апостериорная вероятность приема сигнала Sj при условии, что на самом деле был передан сигнал Si. Правило принятия решения в этом случае, выраженное через отношение правдоподобия будет выглядеть:

,

т.е. по сравнению с критерием максимума апостериорной вероятности изменился порог принятия решения на основе учета потерь. Данный критерий является наилучшим среди рассмотренных в смысле минимизации ошибок, так как он наиболее полно учитывает информацию о сигналах. При равенстве потерь он превращается в критерий максимума апостериорной вероятности, а при равенстве еще и априорных вероятностей - в критерий максимального правдоподобия.

 

 

                                        

 

                                        

 

                                        

 

                                        

 

                                        

 

                                        

 

                                        

Суммарная вероятность ошибки вычисляется по формуле:

.

Вычисляем критерий минимума среднего риска:

; .

;

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83846. Хирургическая тактика при флегмонах лица 54.42 KB
  Раскрытие и дренирование флегмон скуловой области. Раскрытие и дренирование флегмон височной области. В указанной области возможно возникновение поверхностной межапоневротической подапоневротической глубокой и разлитой флегмон. Поверхностная флегмона височной области образуется между кожей и собственной височной фасцией.
83847. Подчелюстная область, треугольник Пирогова. Перевязка язычной артерии, показания, техника выполнения 48.93 KB
  В пределах подчелюстной области залегают: подчелюстная слюнная железа лицевые артерия и вена подподбородочные артерия и вена подъязычный и челюстноподъязычный нервы лимфатические узлы и клетчатка окружающая эти образования. Последняя сообщается с клетчаткой подъязычной области крыловидночелюстного окологлоточного пространств боковой области лица и шеи. Подчелюстные лимфатические узлы являются регионарными узлами челюстнолицевой области полости рта. Треугольник Пирогова Треугольное пространство в боковой части надподъязычной...
83848. Коникотомия. Показания, техника выполнения, осложнения, их профилактика 116.46 KB
  Врач встав справа от больного указательным пальцем левой руки нащупывает бугорок перстневидного хряща и углубление между ним и нижним краем щитовидного хряща соответствующее расположению конической связки. Большим и средним пальцами левой руки фиксируют щитовидный хрящ натягивая кожу над хрящами гортани и смещая кзади грудиноключичнососцевидные мышцы с расположенными под ними шейными сосудистыми пучками второй палец находится между дугой перстневидного и нижним краем щитовидного хряща. Скальпелем проводят горизонтальный поперечный разрез...
83849. Трахеостомия. Верхняя и нижняя трахеостомия. Показания, техника операции. Осложнения и их профилактика 53.71 KB
  Трахеостомия это операция формирования искусственного наружного свища трахеи трахеостомы после вскрытия ее просвета. Рассечение стенки трахеи называется трахеотомией и она является этапом выполнения трахеостомии. Показания: Механическая асфиксия: инородные тела дыхательных путей при невозможности удалить их при прямой ларингоскопии и трахе обронхоскопии; нарушение проходимости дыхательных путей при ранениях и закрытых травмах гортани и трахеи; стенозы гортани: при инфекционных заболеваниях дифтерия грипп коклюш при...
83850. Хирургическая анатомия переднего отдела шеи и основного сосудисто-нервного пучка шеи. Хирургическая тактика при ранении шеи 55.76 KB
  Хирургическая тактика при ранении шеи. Трегольники шеи и их прикладное значение 1. грудиноключичнососцевидной мышцей и срединной линией шеи: Подчелюстной треугольник ограничен краем нижней челюсти и обоими брюшками двубрюшной мышцы.
83851. Хирургическая анатомия щитовидной железы и околощитовидных желёз 49.08 KB
  Хирургическая анатомия щитовидной железы Щитовидная железа состоит из двух боковых долей и перешейка. В каждой доле железы различают верхний и нижний полюсы. Примерно в одной трети случаев наблюдается наличие отходящего кверху от перешейка в виде добавочной доли железы.
83852. Оперативные вмешательства на щитовидной железе. Техника выполнения, возможные осложнения 50.05 KB
  Оперативные вмешательства на щитовидной железе В настоящее время наиболее широко применяются следующие операции на щитовидной железе: удаление части органа резекция: полное удаление щитовидной железы тиреоидэктомия. Наиболее частой патологией щитовидной железы является диффузный токсический зоб. Субтотальная субфасциальная резекция шитовидной железы по О. расположенных в толще или под второй фасцией; рассечение париетального листка внутришейной фасции: выделение железы из ее капсулы; освобождение перешейка и пересечение его между...
83853. Хирургическая анатомия средостения. Доступы при флегмоне шеи и медиастините 51.42 KB
  Содержимое: дуга аорты: плечеголовной ствол; левая общая сонная артерия; левая подключичная артерия; ви лочковая железа; плечеголовные вены: верхняя полая вена: диафрагмальные нервы: блуждающие нервы: возвратные гортанные нервы: трахея: пищевод: грудной лимфатический проток: паратрахеальные. Среднее средостение Содержимое: перикард; сердце; восходящая часть аорты; легочный ствол; легочные артерии и легочные вены; правый и левый главные бронхи; верхний сегмент верхней полой вены: правый и левый диафрагмальные нервы: перикардиодиафрагмальные...
83854. Хирургическая анатомия молочной железы. Лечение гнойного мастита 50.44 KB
  Хирургическая анатомия молочной железы Скелетотопия: между III и VI ребрами сверху и снизу и между окологрудинной и передней подмышечной линиями с боков. Дольки железы располагаются радиально вокруг соска. Лимфатическая система женской молочной железы и расположение регионарных лимфатических узлов представляют большой практический интерес в связи с частым поражением органа злокачественным процессом.