43280

Оптимальный прием сигнала

Курсовая

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

При прохождении через линию связи с сигналом складывается случайный шум n имеющий нормальное гауссовское распределение плотности вероятности: . Два нормальных распределения плотности вероятности величины z w0 и w1 при действии сигналов s0 и s1 соответственно показаны на рисунке рис. Граница U1 определена для критерия максимального правдоподобия; U2 для критерия максимума апостериорной вероятности. вероятности передачи сигналов s0 и s1 равны 05; Рs0=Р0=05; Рs1=Р1=05.

Русский

2013-11-04

246.5 KB

3 чел.

Казанский Государственный технический университет им. А.Н. Туполева

Кафедра Радиоуправления

Пояснительная записка к курсовой

работе по курсу

ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СВЯЗИ

на тему:

Оптимальный прием сигнала

Выполнил студент гр.5312

Руководитель: Замалеев И.Г.____

Оценка ________________________

Комиссия  ________ ( _________ )

 ________ ( _________ )

 ________ ( _________ )

Казань 2006


Оглавление

  1.  Введение.    ___________________________3
  2.  Теоретическая часть.  ___________________________4
  3.  Расчетная часть.   ___________________________9
  4.  Заключение.   ___________________________14
  5.  Использованная литература. ___________________________15


1. Введение.

При передаче сигнала S(t) по каналу связи на него воздействуют различные шумы n(t). Это означает, что принятый сигнал Z(t) отличается от переданного сигнала S(t). Функция приемника заключается в нахождении переданного сигнала S(t) по принятому сигналу Z(t)=S(t)+n(t). Для этого были найдены методы оптимального приема сигналов. Они позволяют уменьшить вероятность ошибки на выходе.


2. Теоретическая часть.

Пусть дискретные сообщения закодированы двоичным кодом. При их передаче используются реализации сигнала s(t,bi), соответствующие кодовым символам b0=0; b1=1; где i=0;1; 0<t<T. Это означает, что полезный сигнал имеет две реализации, изменяется во времени и действует на промежутке времени (0;Т). Будем считать, что реализации сигнала постоянны на отрезке времени (0;Т), например: s1=5 мВ; s2=7 мВ. При прохождении через линию связи с сигналом складывается случайный шум n, имеющий нормальное (гауссовское) распределение плотности вероятности:

.

где m - математическое ожидание (у шума оно равно 0); - среднеквадратическое отклонение (2 определяет мощность шума).

Из теории вероятностей известно [1], что если входной сигнал z есть сумма постоянного сигнала s0 или s1 и случайного шума n, то z - случайная величина, распределенная нормально с математическим ожиданием m=s0 или m=s1 и среднеквадратическим отклонением . Два нормальных распределения плотности вероятности величины z - w0 и w1 при действии сигналов s0 и s1 соответственно показаны на рисунке рис.1. Здесь w0 - левая кривая; w1 - правая кривая.

Таким образом, на вход приемника поступает входной сигнал z=si+n, (i=0;1) который из-за действия шума n не совпадает в точности ни с одним из переданных сигналов si. В этом случае приемное устройство должно выбрать одну из двух взаимоисключающих гипотез:

Гипотеза H0: Передавался символ b0, т.е. был сигнал s0;

Гипотеза H1: Передавался символ b1, т.е. был сигнал s1.

Возникает вопрос, на каком основании приемник должен делать выбор в пользу одной из гипотез? Очевидно, что надо отдать предпочтение гипотезе H0, если входной сигнал z расположен ближе к s0, чем к s1, и наоборот, если z ближе к s1, то верна гипотеза H1.

Рис.1.1 Сигнально-шумовая ситуация и граница принятия решения.

Степень близости сигналов z и si, определяется по-разному, в зависимости от различных критериев качества принятия решения. Применение того или иного критерия зависит от полноты наших знаний о сигнале и шуме, а сами критерии определяют на множестве значений z положение некоторой границы U, задающей правило принятия решения. Если U известна, то при получении любого сигнала z<U принимается решение в пользу s0, если же z>U, то принимается решение, что был передан сигнал s1. Сказанное проиллюстрировано на рисунке. Здесь величина U представлена двумя значениями для разных правил принятия решения, о которых сказано ниже. Граница U1 определена для критерия максимального правдоподобия; U2 - для критерия максимума апостериорной вероятности.

Рассмотрим критерии качества более подробно и начнем с критерия максимального правдоподобия. Пусть мы знаем только плотности распределения вероятностей w0 и w1 (см. рис.). Тогда в качестве границы принятия решения U берут точку на оси z, в которой w0(z)=w1(z) или:

.

Данный критерий носит название критерия максимального правдоподобия, а выражение w0(z)/w1(z) называется отношением правдоподобия. Если при этом окажется, что z<U, то w0(z)>w1(z) и более правдоподобна будет гипотеза H0 (был сигнал s0). Если же z>=U, то w0(z)<=w1(z) и правдоподобнее будет гипотеза H1 (был сигнал s1). Таким образом, правило принятия решения по критерию максимального правдоподобия будет выглядеть:

,

где H0 и H1 - принимаемые гипотезы.

Для этого критерия предполагается, что сигналы s0 и s1 возникают с одинаковой частотой, т.е. вероятности передачи сигналов s0 и s1 равны 0,5; Р(s0)=Р0=0,5; Р(s1)=Р1=0,5. Эти вероятности называются априорными (доопытными) вероятностями возникновения сигналов s0 и s1.

Критерий максимума апостериорной вероятности. Пусть априорные вероятности не равны между собой и известны, например, Р0=0,7, а Р1=0,3. Это случай критерия максимума апостериорной вероятности. В соответствии с этим критерием правило принятия решения формулируется так: верна гипотеза H0, если

где Р(si|z) - апостериорная (послеопытная) вероятность того, что был передан сигнал si при условии прихода на вход сигнала z. Таким образом, будет принята та гипотеза, при которой апостериорная вероятность будет максимальна. Согласно известной формуле Байеса из теории вероятностей [1] апостериорная вероятность:

,

где wj - плотности вероятности, показанные на рисунке (i=0,1); Рi) - априорные вероятности передачи сигнала si - Р0 и Р1.

Подставим последнюю формулу в предпоследнюю и учтем, что w(z) в знаменателе одинакова в обеих частях неравенства и ее можно сократить. Тогда получим:

 

или в другой форме, через отношение правдоподобия:

.

Таким образом, при критерии максимума апостериорной вероятности, как и при критерии максимального правдоподобия, отношение правдоподобия сравнивается с некоторым порогом (но уже другим), и по результатам сравнения принимается решение в пользу той или иной гипотезы. Однако в этом случае, кроме плотностей распределений w0 и w1, необходимо знать еще и априорные вероятности передачи того или иного сигнала. В результате при использовании данного критерия мы будем иметь меньшую среднюю ошибку принятия решения в длинной серии испытаний, чем для критерия максимального правдоподобия.

Необходимо отметить, что в реальном приемнике плотности вероятности не вычисляются. С их помощью определяется граничное значение U, при котором отношение правдоподобия равно порогу соответствующего критерия качества. Это пороговое значение и используется затем в приемнике. Пришедший сигнал сравнивается со значением U и по результатам сравнения принимается решение.

Критерий минимума среднего риска. Этот критерий применяется, когда необходимо учесть различные последствия ошибок принятия решения. Он наиболее полно учитывает сведения о сигнале и шуме по сравнению с другими критериями и поэтому имеет наименьшую ошибку принятия решения.

Пусть, например, при передаче сигнала si был принят сигнал sj*. При ij (i=0;1 и j=0;1) имеет место ошибка. Чтобы учесть неравноценность различных ошибок, свяжем с каждой из них некоторую величину Lij, называемую потерей или платой за риск при принятии решения. Правильному приему обычно приписывается нулевая потеря. Величину Lij следует понимать так: это плата за принятие решения что был передан сигнал sj в то время как на самом деле был передан сигнал si. Для каждого переданного сигнала si можно ввести т.н. условный средний риск:

,

где Р(sj|si) - апостериорная вероятность приема сигнала sj при условии, что на самом деле был передан сигнал si. Правило принятия решения в этом случае, выраженное через отношение правдоподобия будет выглядеть:

,

т.е. по сравнению с критерием максимума апостериорной вероятности изменился порог принятия решения на основе учета потерь. Данный критерий является наилучшим среди рассмотренных в смысле минимизации ошибок, так как он наиболее полно учитывает информацию о сигналах. При равенстве потерь он превращается в критерий максимума апостериорной вероятности, а при равенстве еще и априорных вероятностей - в критерий максимального правдоподобия.

Суммарная вероятность ошибки при принятие решения Pош. Пусть мы имеем входной сигнал z=10 мВ, и приемник работает по критерию максимального правдоподобия, т.е. используется граница U1. В нашем случае z<u1 и будет принять решение о передаче сигнале s0. однако из рисунка видно, что сигнал z такоq величины мог иметь месть и при передаче w0 в той же точке. Площадь под кривой w1 на промежутке от - до U1 равна вероятности принятия ошибочного решения s0 вместо s1.вычислим эту вероятность интегрированием:

,

где P01 – вероятность ошибочного решения «S0», когда на самом деле был сигнал Si. Этот интеграл можно вычислить приближенно известными численными методами (метод прямоугольников, трапеций, парабол). Предел «-» можно заменить на «m1-3», т.к. известно, что вероятность попадания случайной величины в интервал от m1-3 до m1+3 составляет более 98% для нормального распределения. Вероятность ошибки другого рода P01, когда присутствует сигнал S0, а приемник выдает решение «S1», вычисляется аналогично:

Взвешенная сумма вероятностей этих ошибок и есть суммарная вероятность ошибки Pош:

,

где  - весовой коэффициент при слагаемом P01;  - весовой коэффициент при слагаемом P10. P0 и P1 – априорные вероятности появления сигнала S0 и S1 соответственно.

В случае критерия максимума апостериорной вероятности (плата за риск Lij неизвестны) полагаем, что они равны между собой, поэтому  и . В случае критерия максимального правдоподобия также пологам равным между собой и априорные вероятности P0=P1=0,5. Если для одной и той же сигнально-шумовой обстановки (m0=const; m1=const; =const) вычислять Pош для разных критериев качества, то мы увидим, что для критерия максимального правдоподобия вероятность ошибки будет наибольшей по сравнению с другими критериями, а для критерия минимума среднего риска наименьше.


3. Расчетная часть. Задание №20.

Дано:

На фоне аддитивной полигауссовой помехи с распределением wп(u)=q1N{m1,1}+q2N{m2,2} ведется прием полезного сигнала wc(u)=N{mc,c}. Априорная вероятность возникновения сигнала - 0.6. Решение о наличии сигнала принимается по методу максимума апостериорной вероятности. q1=0.3; q2=0.7; m1 =5В; m2, =10В; 1=2В; 2=3В mс =8В; с=1.2В.

Задание:

  1.  Построить графики wп и wcп и алгоритм принятия решения.
  2.  Определить зоны принятия решений для методов максимального правдоподобия и максимума апостериорной вероятности.
  3.  Определить суммарные ошибки для двух методов.

Решение:

Так как помеха аддитивная полигауссовская, то распределение плотности вероятности будет выглядеть:

.

где:  q1=0,3В;

q2=0,7В;

m1=5В;

m2=10В;

1=2;

2=3.

График распределения представлен на Рис.3.1

Рис.3.1 распределение плотности вероятности wп 

Для того, чтобы построить график wcп, необходимо наложить шум wп на сигнал wc

По условию сигнал распределен по нормальному закону:

где:  mс=8В;

с=1,2.

По условию помеха аддитивная полигауссовская:

где:  q1=0,3В;

q2=0,7В;

m1=5В;

m2=10В;

2=2;

1=3.

График распределения представлен на рис.3.2

Рис.3.2 распределение плотности вероятности wСП

Рис.3.3Алгоритм принятия решения для критерия максимума апостериорной вероятности


Определим зоны принятия решения для метода максимального правдоподобия.

В качестве границы принятия решения U1 берем точку на оси z, в которой wsп(z)=wп(z) или:

.

Определим границу принятия решения на графике на рис.3.4. Видим, что данное условие для границы U1 выполняется в точке z=12,5мВ.

Рис.3.4 График принятия решения по критерию максимального правдоподобия

Определим зоны принятия решения для метода максимума апостериорной вероятности.

В качестве границы принятия решения U2 берем точку на оси z, в которой вероятность возникновения помехи Pn=Р–Ps=1-0,6=0,4. В точке z=10мВ выполняется условие для границы U2.

Рис.3.4 График принятия решения по критерию максимума апостериорной вероятности

Определим суммарные ошибки для критериев максимального правдоподобия и максимума апостериорной вероятности.

Суммарная вероятность ошибки Pош:

,

В случае критерия максимума апостериорной вероятности  и .

В случае критерия максимального правдоподобия равны между собой априорные вероятности PN=PSN=0,5 и  и .

;  


4. Заключение

Таким образом, мы построили графики wп и wcп и алгоритм принятия решения, а также определили зоны принятия решений для методов максимального правдоподобия и максимума апостериорной вероятности и нашли суммарные ошибки для двух методов.


5. Использованная литература.

  1.  Зюко А.Г. и др. Теория передачи сигналов. -М.: Радио и связь, 1986.
  2.  Кловский Д.Д., Шилкин В.А. Теория электрической связи. -М.: Радио и связь, 1990.
  3.  Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники Т2. -М.: Советское Радио, 1975.
  4.  Вентцель Е.С. Теория вероятностей. -М.: Наука, 1969.
  5.  Седов С.С. Курс лекций. Оптимальный прием сигнала.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33098. Суспільна свідомість 13.6 KB
  Виділяють буденну і теоретичну свідомості. В основу цього членування покладено відношення свідомості до практики ступінь її узагальнення глибина зв'язку з практичними основами життя. У свідомості виділяють два рівні ідеологію і суспільну психологію. Суспільна психологія є частиною буденної свідомості.
33099. Формы собственности в условиях рыночной экономики 38 KB
  Содержание собственности в экономической литературе в том числе и учебной рассматривается как правило в трех проявлениях: социальном экономическом и правовом. Социальноэкономическую сущность собственности экономисты определяют неоднозначно. В этом определении очевидным является тесное взаимодействие социальной и экономической сторон собственности.
33100. Хозяйственные ситуации (операции), их виды и классификация 39 KB
  Хозяйственные операции фиксируются отражаются в первичных документах и регистрируются в текущем учете. Определение во времени необходимо для того чтобы установить момент регистрации хозяйственной операции. Стоимостная оценка проводится по первичным документам подтверждающим факт осуществления хозяйственной операции.
33101. Центральный банк Российской Федерации 49 KB
  Банк России выполняя роль главного координирующего и регулирующего органа всей кредитной системы страны выступает органом экономического управления. Банк России контролирует деятельность кредитных организаций выдаёт и отзывает у них лицензии на осуществление банковских операций а уже кредитные организации работают с прочими юридическими и физическими лицами. Статус цели деятельности функции и полномочия Центрального банка Российской Федерации определяются Федеральным законом О Центральном банке Российской Федерации Банке России[3] и...
33102. Цель и основы организации бухгалтерского дела 30 KB
  Цель и основы организации бухгалтерского дела Бухгалтерское дело являясь составной частью системы бухгалтерского учета обеспечивает организационные и технические аспекты сбора обработки и формирования в учете информации для внешних и внутренних пользователей. В отношении информации для внешних пользователей цель бухгалтерского учета состоит в формировании информации о финансовом положении финансовых результатах деятельности и изменениях в финансовом положении организации полезной широкому кругу заинтересованных пользователей при...
33103. Цена: понятие, виды, этапы ценообразования. Диспаритет цен 32.5 KB
  В первом случае цена определяется как денежное выражение стоимости товара. Стоимость представляет содержание а цена форму. Во втором случае цена это количество денег получаемых и уплачиваемых за товар. Цена таким образом определяется спросом покупателей которые приобретают товар прежде всего изза его ценности или полезности.
33104. Виды профессиональной деятельности на рынке ценных бумаг 32.5 KB
  Брокерская деятельность Брокерской деятельностью признается деятельность по совершению гражданскоправовых сделок с ценными бумагами от имени и за счет клиента в том числе эмитента эмиссионных ценных бумаг при их размещении или от своего имени и за счет клиента на основании возмездных договоров с клиентом. Профессиональный участник рынка ценных бумаг осуществляющий брокерскую деятельность именуется брокером. В случае оказания брокером услуг по размещению эмиссионных ценных бумаг брокер вправе приобрести за свой счет не размещенные в срок...
33105. Четыре типа хозяйственных операций 28.5 KB
  Это происходит вследствие того что всякая операция отражается на двух счетах учета записью то есть затрагивает две статьи баланса которые могут находиться как одновременно в активе и пассиве так обе в активе или обе в пассиве. Операции первого типа вносят изменения в состав имущества то есть операции затрагивают только актив баланса. При этом валюта баланса не изменяется.
33106. Четырехуровневая система нормативного регулирования бухгалтерского учета в России 35 KB
  Данный Закон определяет правовые основы бухгалтерского учета его содержание принципы организацию основные направления бухгалтерской деятельности и составления отчетности состав хозяйствующих субъектов обязанных вести бухгалтерский учет и предоставлять финансовую отчетность. № 283 Об утверждении программы реформирования бухгалтерского учета в соответствии с международными стандартами финансовой отчетности и др. Федеральный закон О бухгалтерском учете занимает центральное место в системе нормативного регулирования бухгалтерского учета...