43280

Оптимальный прием сигнала

Курсовая

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

При прохождении через линию связи с сигналом складывается случайный шум n имеющий нормальное гауссовское распределение плотности вероятности: . Два нормальных распределения плотности вероятности величины z w0 и w1 при действии сигналов s0 и s1 соответственно показаны на рисунке рис. Граница U1 определена для критерия максимального правдоподобия; U2 для критерия максимума апостериорной вероятности. вероятности передачи сигналов s0 и s1 равны 05; Рs0=Р0=05; Рs1=Р1=05.

Русский

2013-11-04

246.5 KB

3 чел.

Казанский Государственный технический университет им. А.Н. Туполева

Кафедра Радиоуправления

Пояснительная записка к курсовой

работе по курсу

ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СВЯЗИ

на тему:

Оптимальный прием сигнала

Выполнил студент гр.5312

Руководитель: Замалеев И.Г.____

Оценка ________________________

Комиссия  ________ ( _________ )

 ________ ( _________ )

 ________ ( _________ )

Казань 2006


Оглавление

  1.  Введение.    ___________________________3
  2.  Теоретическая часть.  ___________________________4
  3.  Расчетная часть.   ___________________________9
  4.  Заключение.   ___________________________14
  5.  Использованная литература. ___________________________15


1. Введение.

При передаче сигнала S(t) по каналу связи на него воздействуют различные шумы n(t). Это означает, что принятый сигнал Z(t) отличается от переданного сигнала S(t). Функция приемника заключается в нахождении переданного сигнала S(t) по принятому сигналу Z(t)=S(t)+n(t). Для этого были найдены методы оптимального приема сигналов. Они позволяют уменьшить вероятность ошибки на выходе.


2. Теоретическая часть.

Пусть дискретные сообщения закодированы двоичным кодом. При их передаче используются реализации сигнала s(t,bi), соответствующие кодовым символам b0=0; b1=1; где i=0;1; 0<t<T. Это означает, что полезный сигнал имеет две реализации, изменяется во времени и действует на промежутке времени (0;Т). Будем считать, что реализации сигнала постоянны на отрезке времени (0;Т), например: s1=5 мВ; s2=7 мВ. При прохождении через линию связи с сигналом складывается случайный шум n, имеющий нормальное (гауссовское) распределение плотности вероятности:

.

где m - математическое ожидание (у шума оно равно 0); - среднеквадратическое отклонение (2 определяет мощность шума).

Из теории вероятностей известно [1], что если входной сигнал z есть сумма постоянного сигнала s0 или s1 и случайного шума n, то z - случайная величина, распределенная нормально с математическим ожиданием m=s0 или m=s1 и среднеквадратическим отклонением . Два нормальных распределения плотности вероятности величины z - w0 и w1 при действии сигналов s0 и s1 соответственно показаны на рисунке рис.1. Здесь w0 - левая кривая; w1 - правая кривая.

Таким образом, на вход приемника поступает входной сигнал z=si+n, (i=0;1) который из-за действия шума n не совпадает в точности ни с одним из переданных сигналов si. В этом случае приемное устройство должно выбрать одну из двух взаимоисключающих гипотез:

Гипотеза H0: Передавался символ b0, т.е. был сигнал s0;

Гипотеза H1: Передавался символ b1, т.е. был сигнал s1.

Возникает вопрос, на каком основании приемник должен делать выбор в пользу одной из гипотез? Очевидно, что надо отдать предпочтение гипотезе H0, если входной сигнал z расположен ближе к s0, чем к s1, и наоборот, если z ближе к s1, то верна гипотеза H1.

Рис.1.1 Сигнально-шумовая ситуация и граница принятия решения.

Степень близости сигналов z и si, определяется по-разному, в зависимости от различных критериев качества принятия решения. Применение того или иного критерия зависит от полноты наших знаний о сигнале и шуме, а сами критерии определяют на множестве значений z положение некоторой границы U, задающей правило принятия решения. Если U известна, то при получении любого сигнала z<U принимается решение в пользу s0, если же z>U, то принимается решение, что был передан сигнал s1. Сказанное проиллюстрировано на рисунке. Здесь величина U представлена двумя значениями для разных правил принятия решения, о которых сказано ниже. Граница U1 определена для критерия максимального правдоподобия; U2 - для критерия максимума апостериорной вероятности.

Рассмотрим критерии качества более подробно и начнем с критерия максимального правдоподобия. Пусть мы знаем только плотности распределения вероятностей w0 и w1 (см. рис.). Тогда в качестве границы принятия решения U берут точку на оси z, в которой w0(z)=w1(z) или:

.

Данный критерий носит название критерия максимального правдоподобия, а выражение w0(z)/w1(z) называется отношением правдоподобия. Если при этом окажется, что z<U, то w0(z)>w1(z) и более правдоподобна будет гипотеза H0 (был сигнал s0). Если же z>=U, то w0(z)<=w1(z) и правдоподобнее будет гипотеза H1 (был сигнал s1). Таким образом, правило принятия решения по критерию максимального правдоподобия будет выглядеть:

,

где H0 и H1 - принимаемые гипотезы.

Для этого критерия предполагается, что сигналы s0 и s1 возникают с одинаковой частотой, т.е. вероятности передачи сигналов s0 и s1 равны 0,5; Р(s0)=Р0=0,5; Р(s1)=Р1=0,5. Эти вероятности называются априорными (доопытными) вероятностями возникновения сигналов s0 и s1.

Критерий максимума апостериорной вероятности. Пусть априорные вероятности не равны между собой и известны, например, Р0=0,7, а Р1=0,3. Это случай критерия максимума апостериорной вероятности. В соответствии с этим критерием правило принятия решения формулируется так: верна гипотеза H0, если

где Р(si|z) - апостериорная (послеопытная) вероятность того, что был передан сигнал si при условии прихода на вход сигнала z. Таким образом, будет принята та гипотеза, при которой апостериорная вероятность будет максимальна. Согласно известной формуле Байеса из теории вероятностей [1] апостериорная вероятность:

,

где wj - плотности вероятности, показанные на рисунке (i=0,1); Рi) - априорные вероятности передачи сигнала si - Р0 и Р1.

Подставим последнюю формулу в предпоследнюю и учтем, что w(z) в знаменателе одинакова в обеих частях неравенства и ее можно сократить. Тогда получим:

 

или в другой форме, через отношение правдоподобия:

.

Таким образом, при критерии максимума апостериорной вероятности, как и при критерии максимального правдоподобия, отношение правдоподобия сравнивается с некоторым порогом (но уже другим), и по результатам сравнения принимается решение в пользу той или иной гипотезы. Однако в этом случае, кроме плотностей распределений w0 и w1, необходимо знать еще и априорные вероятности передачи того или иного сигнала. В результате при использовании данного критерия мы будем иметь меньшую среднюю ошибку принятия решения в длинной серии испытаний, чем для критерия максимального правдоподобия.

Необходимо отметить, что в реальном приемнике плотности вероятности не вычисляются. С их помощью определяется граничное значение U, при котором отношение правдоподобия равно порогу соответствующего критерия качества. Это пороговое значение и используется затем в приемнике. Пришедший сигнал сравнивается со значением U и по результатам сравнения принимается решение.

Критерий минимума среднего риска. Этот критерий применяется, когда необходимо учесть различные последствия ошибок принятия решения. Он наиболее полно учитывает сведения о сигнале и шуме по сравнению с другими критериями и поэтому имеет наименьшую ошибку принятия решения.

Пусть, например, при передаче сигнала si был принят сигнал sj*. При ij (i=0;1 и j=0;1) имеет место ошибка. Чтобы учесть неравноценность различных ошибок, свяжем с каждой из них некоторую величину Lij, называемую потерей или платой за риск при принятии решения. Правильному приему обычно приписывается нулевая потеря. Величину Lij следует понимать так: это плата за принятие решения что был передан сигнал sj в то время как на самом деле был передан сигнал si. Для каждого переданного сигнала si можно ввести т.н. условный средний риск:

,

где Р(sj|si) - апостериорная вероятность приема сигнала sj при условии, что на самом деле был передан сигнал si. Правило принятия решения в этом случае, выраженное через отношение правдоподобия будет выглядеть:

,

т.е. по сравнению с критерием максимума апостериорной вероятности изменился порог принятия решения на основе учета потерь. Данный критерий является наилучшим среди рассмотренных в смысле минимизации ошибок, так как он наиболее полно учитывает информацию о сигналах. При равенстве потерь он превращается в критерий максимума апостериорной вероятности, а при равенстве еще и априорных вероятностей - в критерий максимального правдоподобия.

Суммарная вероятность ошибки при принятие решения Pош. Пусть мы имеем входной сигнал z=10 мВ, и приемник работает по критерию максимального правдоподобия, т.е. используется граница U1. В нашем случае z<u1 и будет принять решение о передаче сигнале s0. однако из рисунка видно, что сигнал z такоq величины мог иметь месть и при передаче w0 в той же точке. Площадь под кривой w1 на промежутке от - до U1 равна вероятности принятия ошибочного решения s0 вместо s1.вычислим эту вероятность интегрированием:

,

где P01 – вероятность ошибочного решения «S0», когда на самом деле был сигнал Si. Этот интеграл можно вычислить приближенно известными численными методами (метод прямоугольников, трапеций, парабол). Предел «-» можно заменить на «m1-3», т.к. известно, что вероятность попадания случайной величины в интервал от m1-3 до m1+3 составляет более 98% для нормального распределения. Вероятность ошибки другого рода P01, когда присутствует сигнал S0, а приемник выдает решение «S1», вычисляется аналогично:

Взвешенная сумма вероятностей этих ошибок и есть суммарная вероятность ошибки Pош:

,

где  - весовой коэффициент при слагаемом P01;  - весовой коэффициент при слагаемом P10. P0 и P1 – априорные вероятности появления сигнала S0 и S1 соответственно.

В случае критерия максимума апостериорной вероятности (плата за риск Lij неизвестны) полагаем, что они равны между собой, поэтому  и . В случае критерия максимального правдоподобия также пологам равным между собой и априорные вероятности P0=P1=0,5. Если для одной и той же сигнально-шумовой обстановки (m0=const; m1=const; =const) вычислять Pош для разных критериев качества, то мы увидим, что для критерия максимального правдоподобия вероятность ошибки будет наибольшей по сравнению с другими критериями, а для критерия минимума среднего риска наименьше.


3. Расчетная часть. Задание №20.

Дано:

На фоне аддитивной полигауссовой помехи с распределением wп(u)=q1N{m1,1}+q2N{m2,2} ведется прием полезного сигнала wc(u)=N{mc,c}. Априорная вероятность возникновения сигнала - 0.6. Решение о наличии сигнала принимается по методу максимума апостериорной вероятности. q1=0.3; q2=0.7; m1 =5В; m2, =10В; 1=2В; 2=3В mс =8В; с=1.2В.

Задание:

  1.  Построить графики wп и wcп и алгоритм принятия решения.
  2.  Определить зоны принятия решений для методов максимального правдоподобия и максимума апостериорной вероятности.
  3.  Определить суммарные ошибки для двух методов.

Решение:

Так как помеха аддитивная полигауссовская, то распределение плотности вероятности будет выглядеть:

.

где:  q1=0,3В;

q2=0,7В;

m1=5В;

m2=10В;

1=2;

2=3.

График распределения представлен на Рис.3.1

Рис.3.1 распределение плотности вероятности wп 

Для того, чтобы построить график wcп, необходимо наложить шум wп на сигнал wc

По условию сигнал распределен по нормальному закону:

где:  mс=8В;

с=1,2.

По условию помеха аддитивная полигауссовская:

где:  q1=0,3В;

q2=0,7В;

m1=5В;

m2=10В;

2=2;

1=3.

График распределения представлен на рис.3.2

Рис.3.2 распределение плотности вероятности wСП

Рис.3.3Алгоритм принятия решения для критерия максимума апостериорной вероятности


Определим зоны принятия решения для метода максимального правдоподобия.

В качестве границы принятия решения U1 берем точку на оси z, в которой wsп(z)=wп(z) или:

.

Определим границу принятия решения на графике на рис.3.4. Видим, что данное условие для границы U1 выполняется в точке z=12,5мВ.

Рис.3.4 График принятия решения по критерию максимального правдоподобия

Определим зоны принятия решения для метода максимума апостериорной вероятности.

В качестве границы принятия решения U2 берем точку на оси z, в которой вероятность возникновения помехи Pn=Р–Ps=1-0,6=0,4. В точке z=10мВ выполняется условие для границы U2.

Рис.3.4 График принятия решения по критерию максимума апостериорной вероятности

Определим суммарные ошибки для критериев максимального правдоподобия и максимума апостериорной вероятности.

Суммарная вероятность ошибки Pош:

,

В случае критерия максимума апостериорной вероятности  и .

В случае критерия максимального правдоподобия равны между собой априорные вероятности PN=PSN=0,5 и  и .

;  


4. Заключение

Таким образом, мы построили графики wп и wcп и алгоритм принятия решения, а также определили зоны принятия решений для методов максимального правдоподобия и максимума апостериорной вероятности и нашли суммарные ошибки для двух методов.


5. Использованная литература.

  1.  Зюко А.Г. и др. Теория передачи сигналов. -М.: Радио и связь, 1986.
  2.  Кловский Д.Д., Шилкин В.А. Теория электрической связи. -М.: Радио и связь, 1990.
  3.  Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники Т2. -М.: Советское Радио, 1975.
  4.  Вентцель Е.С. Теория вероятностей. -М.: Наука, 1969.
  5.  Седов С.С. Курс лекций. Оптимальный прием сигнала.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

3346. Физика среды и ограждающих конструкций 167.29 KB
  Физика среды и ограждающих конструкций К ограждающим конструкциям относятся элементы зданий и сооружений, ограничивающие некоторое пространство для создания в нем заданного режима эксплуатации. К ограждающим конструкциям жилых и общественных зданий...
3347. Магнитное поле и его характеристики 673 KB
  Магнитное поле и его характеристики План лекции: Магнитное поле. Индукция и напряженность магнитного поля. Магнитный поток. Теорема Гаусса для магнитного потока. Закон Био-Савара-Лапласа и его применение для расчета магнитных полей. Теорема о циркул...
3348. Краткий курс физики 430 KB
  Методические указания содержат рабочую программу разделов «Классическая механика» и «Молекулярная физика и термодинамика» дисциплины «Физика» и краткое теоретическое изложение основных вопросов этих разделов. Приведены определения физических величин...
3349. Распределения Максвелла и Больцмана. Явления переноса 377.5 KB
  Распределения Максвелла и Больцмана. Явления переноса План лекции: Закон Максвелла о распределении молекул по скоростям. Характерные скорости молекул. Распределение Больцмана. Средняя длина свободного пробега молекул. Явления...
3350. Действие магнитного поля на проводники с током и движущиеся электрические заряды 496 KB
  Действие магнитного поля на проводники с током и движущиеся электрические заряды  Закон Ампера. Взаимодействие параллельных токов. Контур с током в магнитном поле. Работа перемещения проводника с током в магнитном поле. Сила Лоренца...
3351. Методические указания к лабораторным работам по механике 408.5 KB
  В методических указаниях приведены основные теоретические сведения и практические рекомендации по выполнению лабораторных работ по механике. Законы сохранения в механике. Изучение центрального столкновения шаров Цель работы: изучение законов уп...
3352. Исследование электростатического поля 196 KB
  Исследование электростатического поля Изучение электростатического поля; экспериментальное построение эквипотенциальных линий (эквипотенциалей) и линий напряженности; вычисление напряженности поля. Теоретические основы работы Как известно, взаимодей...
3353. Электростатический вольтметр 183.5 KB
  Электростатический вольтметр Цель работы состоит в практическом изучении работы электростатического вольтметра, применении метода измерений разности потенциалов для градуирования электростатического вольтметра. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ Взаимодейс...
3354. Определение электроемкости конденсатора и диэлектрической проницаемости диэлектрика 244.5 KB
  Определение электроемкости конденсатора и диэлектрической проницаемости диэлектрика Определение электрической емкости плоского конденсатора с помощью мостовой схемы. Определение относительной диэлектрической проницаемости диэлектрика. Теоретические ...